2013年高考真题理科数学试卷(新课标I卷)及答案(word版)

2013年高考理科数学试题（课标Ⅰ）第Ⅰ卷一、 选择题共12小题。

每小题5分，共60分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项1.已知集合{}{2|20,|A x x x B x x =->=<<，则 ( ) A.A∩B=∅ B.A ∪B=R C.B ⊆A D.A ⊆B2.若复数z 满足(34)|43|i z i -=+，则z 的虚部为( ) A.4- B.45- C.4 D.453. 为了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学.初中.高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是 ( )A.简单随机抽样B.按性别分层抽样C.按学段分层抽样D.系统抽样4.已知双曲线C ：22221x y a b -=（0,0a b >>C 的渐近线方程为A.14y x =±B.13y x =±C.12y x =± D.y x =± 5.运行如下程序框图，如果输入的[1,3]t ∈-，则输出s 属于A.[3,4]- B .[5,2]- C.[4,3]- D.[2,5]-6.如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为 ( ) A.35003cm π B. 38663cm π C. 313723cm π D. 320483cm π 7.设等差数列{}n a 的前n 项和为11,2,0,3n m m m S S S S -+=-==，则m=( )A.3B.4C.5D.68.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A ．168π+B ．88π+C ．1616π+D ．816π+9.设m 为正整数，2()m x y +展开式的二项式系数的最大值为a ，21()m x y ++展开式的二项式系数的最大值为b ，若137a b =，则m =( )A.5B.6C.7D.810.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为(3,0)F ，过点F 的直线交椭圆于,A B 两点。

若AB 的中点坐标为(1,1)-，则E 的方程为 ( )A.2214536x y += B.2213627x y += C.2212718x y += D.221189x y += 11.已知函数()f x =22,0ln(1),0x x x x x ⎧-+≤⎨+>⎩，若|()f x |≥ax ，则a 的取值范围是A ．(,0]-∞B ．(,1]-∞C ．[2,1]-D ．[2,0]-12.设n n n A B C ∆的三边长分别为,,n n n a b c ，n n n A B C ∆的面积为n S ，1,2,3,n = ，若11111,2b c b c a >+=，111,,22n n nn n n n n c a b a a a b c +++++===，则( ) A.{S n }为递减数列 B.{S n }为递增数列C.{S 2n －1}为递增数列，{S 2n }为递减数列D.{S 2n －1}为递减数列，{S 2n }为递增数列 二．填空题：本大题共四小题，每小题5分13.已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝t a ＋(1－t)b ，若b ·c =0，则t=_____.14.若数列{n a }的前n 项和为S n ＝2133n a +，则数列{n a }的通项公式是n a =______. 15.设当x θ=时，函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值，则cos θ=______16.若函数()f x =22(1)()x x ax b -++的图像关于直线2x =-对称，则()f x 的最大值是______.三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17.（本小题满分12分）如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB= 3 ，BC=1，P 为△ABC 内一点，∠BPC ＝90°(Ⅰ)若PB=12，求PA ； (Ⅱ)若∠APB ＝150°，求tan ∠PBA 。

18.（本小题满分12分）如图，三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，CA=CB ，AB=A A 1，∠BA A 1=60°.（Ⅰ）证明AB ⊥A 1C ；（Ⅱ）若平面ABC ⊥平面AA 1B 1B ，AB=CB=2，求直线A 1C 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值。

19.（本小题满分12分）一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n 。

如果n=3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n=4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验。

假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独 立，（Ⅰ）求这批产品通过检验的概率；（Ⅱ）已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需 的费用记为X （单位：元），求X 的分布列及数学期望。

20.(本小题满分12分)已知圆M :22(1)1x y ++=,圆N :22(1)9x y -+=,动圆P 与M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线 C.（Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）l 是与圆P ,圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长时，求|AB|.21.（本小题满分共12分）已知函数()f x ＝2x ax b ++，()g x ＝()xe cx d +，若曲线()yf x =和曲线()yg x =都过点P(0，2)，且在点P 处有相同的切线42y x =+（Ⅰ）求a ，b ，c ，d 的值；（Ⅱ）若x ≥－2时，()f x ≤()kg x ，求k 的取值范围。

22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲 如图，直线AB 为圆的切线，切点为B ，点C 在圆上，∠ABC 的角平分线BE 交圆于点E ，DB 垂直BE 交圆于D 。

（Ⅰ）证明：DB=DC ；（Ⅱ）设圆的半径为1，BC= ，延长CE 交AB 于点F ，求△BCF 外接圆的半径。

23.（本小题10分）选修4—4：坐标系与参数方程 已知曲线C 1的参数方程为45cos 55sin x t y t =+⎧⎨=+⎩(t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为2sin ρθ=。

（Ⅰ）把C 1的参数方程化为极坐标方程；（Ⅱ）求C 1与C 2交点的极坐标（ρ≥0,0≤θ＜2π）。

24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数()f x =|21||2|x x a -++,()g x =3x +.（Ⅰ）当a =2时，求不等式()f x ＜()g x 的解集；（Ⅱ）设a ＞-1,且当x ∈[2a -，12)时，()f x ≤()g x ,求a 的取值范围.参考答案一、选择题1．B. 2．D. 3．C. 4．C 5．A 6．A 7．C 8．A 9．B 10．D 11．D 12．B二、填空题13．t =2. 14．n a =1(2)n --. 15．. 16．16. 三解答题17．（Ⅰ）由已知得，∠PBC=o 60，∴∠PBA=30o，在△PBA 中，由余弦定理得2PA =o 1132cos3042+-=74，∴；（Ⅱ）设∠PBA=α，由已知得，PB=sin α，在△PBA o sin sin(30)αα=-，4sin αα=，∴tan α，∴tan PBA ∠18．（Ⅰ）取AB 中点E ，连结CE ，1A B ，1A E ，∵AB=1AA ，1BAA ∠=060，∴1BAA ∆是正三角形，∴1A E ⊥AB ， ∵CA=CB ， ∴CE ⊥AB ， ∵1CE A E ⋂=E ，∴AB ⊥面1CEA ，∴AB ⊥1AC ； ……6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知EC ⊥AB ，1EA ⊥AB ，又∵面ABC ⊥面11ABB A ，面ABC ∩面11ABB A =AB ，∴EC ⊥面11ABB A ，∴EC ⊥1EA ， ∴EA ，EC ，1EA 两两相互垂直，以E 为坐标原点，EA 的方向为x 轴正方向，|EA |为单位长度，建立如图所示空间直角坐标系O xyz -，有题设知A(1,0,0),1A (0,,0),C(0,0,),B(－1,0,0),则BC =（1,0，）,1BB =1AA =(－1A C =(0,……9分设n =(,,)x y z 是平面11CBB C 的法向量，则100BC BB ⎧∙=⎪⎨∙=⎪⎩ n n，即00x x ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，可取n =，1，-1）， ∴1cos ,A C n =11|A C A C ∙ n |n|| ∴直线A 1C 与平面BB 1C 1C……12分 19．设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A ，第一次取出的4件产品中全为优质品为事件B,第二次取出的4件产品都是优质品为事件C ，第二次取出的1件产品是优质品为事件D ，这批产品通过检验为事件E ，根据题意有E=(AB)∪(CD),且AB 与CD 互斥，∴P(E)=P(AB)+P(CD)=P(A)P(B|A)+P(C)P(D|C)=3244111()()222C ⨯⨯+411()22⨯=364.…6分 （Ⅱ）X 的可能取值为400,500,800，并且 P(X=400)=1-3344111()()222C ⨯-=1116，P(X=500)=116，P(X=800)=33411()22C ⨯=14， ∴X……10分EX=400×1116+500×116+800×14=506.25 ……12分 20．由已知得圆M 的圆心为M （-1，0）,半径1r =1，圆N 的圆心为N (1,0),半径2r =3.设动圆P 的圆心为P （x ，y ），半径为R.（Ⅰ）∵圆P 与圆M 外切且与圆N 内切，∴|PM|+|PN|=12()()R r r R ++-=12r r +=4，由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左右焦点，场半轴长为2的椭圆(左顶点除外)，其方程为221(2)43x y x +=≠-. （Ⅱ）对于曲线C 上任意一点P （x ，y ），由于|PM|-|PN|=22R -≤2，∴R ≤2,当且仅当圆P 的圆心为（2，0）时，R=2.∴当圆P 的半径最长时，其方程为22(2)4x y -+=，当l 的倾斜角为090时，则l 与y 轴重合，可得|AB|=.当l 的倾斜角不为090时，由1r ≠R 知l 不平行x 轴，设l 与x 轴的交点为Q ，则||||QP QM =1R r ，可求得Q （-4，0），∴设l ：(4)y k x =+，由l 于圆M1=，解得k =当k 时，将y x =+代入221(2)43x y x +=≠-并整理得27880x x +-=，解得1,2x ，∴12||x x -=187.当k =时，由图形的对称性可知|AB|=187，综上，|AB|=187或|AB|=21．（Ⅰ）由已知得(0)2,(0)2,(0)4,(0)4f g f g ''====，而()f x '=2x b +，()g x '=()x e cx d c ++，∴a =4，b =2，c =2，d =2；……4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，2()42f x x x =++，()2(1)x g x e x =+，设函数()F x =()()kg x f x -=22(1)42x ke x x x +---（2x ≥-）， ()F x '=2(2)24x ke x x +--=2(2)(1)x x ke +-，有题设可得(0)F ≥0，即1k ≥，令()F x '=0得，1x =ln k -，2x =－2，（1）若21k e ≤<，则－2＜1x ≤0，∴当1(2,)x x ∈-时，()F x ＜0，当1(,)x x ∈+∞时，()F x ＞0，即()F x 在1(2,)x -单调递减，在1(,)x +∞单调递增，故()F x 在x =1x 取最小值1()F x ，而1()F x =21112242x x x +---=11(2)x x -+≥0，∴当x ≥－2时，()F x ≥0，即()f x ≤()kg x 恒成立，(2)若2k e =，则()F x '=222(2)()x e x e e +-，∴当x ≥－2时，()F x '≥0，∴()F x 在(－2,+∞)单调递增，而(2)F -=0， ∴当x ≥－2时，()F x ≥0，即()f x ≤()kg x 恒成立，(3)若2k e >，则(2)F -=222ke --+=222()e k e ---＜0，∴当x ≥－2时，()f x ≤()kg x 不可能恒成立，综上所述，k 的取值范围为[1,2e ].22．（Ⅰ）连结DE ，交BC 与点G.由弦切角定理得，∠ABF=∠BCE ，∵∠ABE=∠CBE ，∴∠CBE=∠BCE ，BE=CE ， 又∵DB ⊥BE ，∴DE 是直径，∠DCE=090，由勾股定理可得DB=DC. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，∠CDE=∠BDE ，BD=DC ，故DG 是BC 的中垂线，∴. 设DE 中点为O ，连结BO ，则∠BOG=o 60，∠ABE=∠BCE=∠CBE=o 30，∴CF ⊥BF ， ∴Rt △BCF. 23. 将45cos 55sin x t y t=+⎧⎨=+⎩消去参数t ，化为普通方程22(4)(5)25x y -+-=， 即1C ：22810160x y x y +--+=，将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入22810160x y x y +--+=得， 28cos 10sin 160ρρθρθ--+=，∴1C 的极坐标方程为28cos 10sin 160ρρθρθ--+=；（Ⅱ）2C 的普通方程为2220x y y +-=，由222281016020x y x y x y y ⎧+--+=⎪⎨+-=⎪⎩解得11x y =⎧⎨=⎩或02x y =⎧⎨=⎩，∴1C 与2C4π），(2,)2π. 24．当a =-2时，不等式()f x ＜()g x 化为|21||22|30x x x -+---<，[来源:]设函数y =|21||22|3x x x -+---，y =15, 212, 1236, 1x x x x x x ⎧-<⎪⎪⎪--≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩， 其图像如图所示从图像可知，当且仅当(0,2)x ∈时，y ＜0，∴原不等式解集是{|02}x x <<. （Ⅱ）当x ∈[2a -，12)时，()f x =1a +，不等式()f x ≤()g x 化为13a x +≤+， ∴2x a ≥-对x ∈[2a -，12)都成立，故2a -≥2a -，即a ≤43， ∴a 的取值范围为（-1，43].。