单位阶跃响应临界阻尼=1

sinβ
cosβ
- s = - z wn 0
sin(w d t + b )
b = arctan( 1- z 2 / z ) = arccos z ——阻尼角
4
s 2n 1 n 2 1 2 H ( s ) R( s )( s) 2 2 s s 2n s n 2 s s 2n s n
s1,2 jn
2
2 s 1 特征根： 1,2 n n
欠阻尼（0< < 1) ： Re [s1,2]<0
s1=s2，Re [s1,2]<0，Im [s1,2]=0。 临界阻尼（ ＝1)： 过阻尼（ > 1) ： Re [s1,2]<0，Im [s1,2]=0。
t
n
= 1-
e
n
1- z 2
( 1- z 2 cos w d t + z sin w d t )
5
h( t ) = 1-
e-
z wnt 2
1- z
sin(w d t + b )
——有超调，衰减振荡
稳态分量 无阻尼(＝0)
暂态分量
s1,2 jn
h(t ) = 1- cos w n t
j
0<<1
0
j
j
欠阻尼
=1
0
临界阻尼
>1
0
过阻尼
s1,2 n jn 1 2
s1,2 = - w n
s1,2 n n 2 1
3
三、二阶系统的单位阶跃响应 欠阻尼(0< < 1)
s1,2 n jn 1 2 jd
2
——有超调，等幅振荡
1
0
t
6
临界阻尼(＝1)
s1,2 = - w n
——单调增，无超调
h(t ) = 1- e- wnt (1+ wnt )
过阻尼(>1)
T1 = 1 w n (z z 2 - 1)
s1,2 n n 2 1
T2 =
1 w n (z + z 2 - 1)

——阻尼比；
n>0 ——自然振荡角频率（无阻尼振荡角频率）；
T>0 ——自然周期(=1/n)。
动态结构图
R(s)
2 wn s( s + 2z w n )
C(s)
1
二、二阶系统的特征根在复平面的分布 w n2 F (s) = 2 传递函数： s + 2z w n s + w n 2 特征方程： 特征根：
——过阻尼的
时间常数, 且T1>T2
e- t / T1 e- t / T2 h(t ) = 1+ + ——单调增，无超调 T2 / T1 - 1 T1 / T2 - 1
7
两种单调递增的曲线与一阶系统的不同，起始斜率为0。
c(t)
1
一阶系统
二阶临界阻尼系统 二阶过阻尼系统 t
0
8
无阻尼(＝0)
2
100%
20 10 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
1 s 2 1 s 2 s ( s jd )( s jd ) s ( s )2 d 2
d 1 s 2 2 2 2 s ( s ) d ( s ) d d
h( t ) 1 e (cos d t sin d t ) d t h( t ) 1 e (cos d t sin d t ) 2 1 - zw t
e
- z wnt 2
1- z
z w n td 2
sin(w d t + b )
来自百度文库
×
n

s1
j
w d = w n 1- z 2
1- z
sin(w d t d + b ) = 0.5
- s = - z wn
0
td »
1+ 0.7z wn
ez w n tr 2
上升时间 tr
h( t r ) = 1-
1- z
h(t) 1.8 1.6 1.4 1.2 0.8 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2
z= 0
0.1 0.2 0.4 1.0 2.0
h(t ) = 1- cos w n t
欠阻尼(0<<1)
h( t ) = 1ez wnt 2
1- z
sin(w d t + b )
临界阻尼(＝1)
h(t ) = 1- e- wnt (1+ wd t )
s2 + 2zwn s + wn2 = 0
s1,2 n n 2 1
无阻尼（＝0)：Re [s1,2]=0
j
Re [s1,2]>0 不稳定（<0)：
j
不稳定1
0
1<<0
不稳定2
0
<1
j
无阻尼
0
=0
s1,2 n j n 1 2
s1,2 n n 2 1
j
w d = w n 1- z 2 ——阻尼振荡角频
率 h(t ) = 1- e- z w t (cos wd t +
n
z 1- z
2
sin wd t )
×
s1
w d = w n 1- z 2
n
= 1= 1-
e-
z wnt
1- z 2 e- z w n t
1- z
2
( 1- z 2 cos w d t + z sin w d t )
§3-3 二阶系统的时域分析
一、数学模型 微分方程
d 2c (t ) dt 2
C (s)
+ 2z w n
dc (t ) dt
+ w n 2c (t ) = w n 2 r (t )
1 Kw n2 = 2 2 = F (s) = 2 传递函数 2 T s + 2z Ts + 1 R (s) s + 2z w n s + w n
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
二阶系统单位阶跃响应曲线
nt
过阻尼(>1)
e- t / T1 e- t / T2 h(t ) = 1+ + T2 / T1 - 1 T1 / T2 - 1
9
四、欠阻尼性能分析（0<<1）
h( t ) = 1延迟时间 td
h( t d ) = 1e-
sin(w d t r + b ) = 1
p- b tr » wd
10
峰值时间 tp
d h( t ) = 0 dt t= t p
%
100 90
p tp = wd
超调量 %
%
h( t p ) h( ) h( )

100%
80 70
60
50 40 30
% e
1