空间中向量的概念和运算
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考点突破 空间向量的加减运算
(1)计算两个空间向量的和或差时，与平面向量 完全相同．运算中掌握好三角形法则和平行四 边形法则是关键． (2)计算三个或多个空间向量的和或差时，要注 意以下几点：
①三角形法则和平行四边形法则； ②正确使用运算律； ③有限个向量顺次首尾相连，则从第一个向量的 起点指向最后一个向量的终点的向量即表示这有 限个向量的和向量．
2．空间向量的加减法 从任意一点 O 出发作O→A＝a，O→B＝b.并且从 A
出发作A→C＝b(如图所示)，则 a＋b＝_O→_C__，a－b ＝___B_→_A_.
思考感悟 1．空间两向量的加减法与平面内两向量的加减 法完全一样吗？ 提示：一样．因为空间中任意两个向量均可平 移到同一个平面内，所以空间向量与平面向量 加减法均可以用三角形或平行四边形法则，是 一样的．
3．两向量的数量积，其结果是个数量，而不是向 量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦值 的乘积，其符号由夹角的余弦值决定． 4．当a≠0时，由a·b＝0不能推出b一定是零向量， 这是因为任一个与a垂直的非零向量b，都有a·b＝ 0，这由向量的几何意义就可以理解．
3．1 空间中向量的概念和运算
Leabharlann Baidu
学习目标
课前自主学案 3.1
课堂互动讲练
知能优化训练
学习目标
1.理解空间向量的概念，掌握空间向量的几何表示 方法和字母表示方法． 2．掌握空间向量的线性运算，数量积． 3．能运用运算法则及运算律解决一些简单几何问 题．
课前自主学案
温故夯基
1．平面上有_大__小___和_方__向___的量叫作向量，方向 相同且模_相__等__的向量称为相等向量． 2．向量可以进行加减和数乘运算，向量加法满足 __交__换___律和_结__合___律．
(2)数量积的运算律：
数乘向量与向量 数量积的结合律
交换律
分配律
(λa)·b＝λ(a·b)
a·b＝b·a a·(b＋c)＝a·b＋
a·c
思考感悟
2．(1)两个向量a、b垂直的充要条件是a·b＝ 0，对吗？ (2)若a·b＝0，则a＝0或b＝0，对吗？ 提示：(1)不对；(2)不对．
考点一
课堂互动讲练
例3 如图所示，已知平行六面体ABCD
－
A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧 棱AA1的长为b，∠A1AB＝∠A1AD＝120°， (1)求AC1的长； (2)证明：AC1⊥BD.
自我挑战2 在三棱锥SABC中，SA⊥BC， SB⊥AC，求证：SC⊥AB.
方法感悟
1．在运用空间向量的运算法则化简向量表达式 时，要结合空间图形，观察分析各向量在图形中 的表示，运用运算法则，化简到最简为止． 2．证明两向量共线的方法为：首先判断两向量中 是否有零向量．若有，则两向量共线；若两向量 a，b中，b≠0，且有a＝λb(λ∈R)，则a，b共线．
向量AD→′、AC→′如图所示．
【名师点评】 化简向量表达式主要是利用平行 四边形法则或三角形法则．在化简过程中遇到减 法时可灵活应用相反向量转化成加法，也可按减 法法则进行运算，加、减法之间可相互转化．
考点二
空间向量的线性运算
空间向量加法、减法、数乘向量的意义及运算 律与平面向量类似．
例2 如图所示，已知空间四边形 ABCD 中，向量 A→B＝a，A→C＝b，A→D＝c，若 M 为 BC 中点，G 为 △BCD 的重心，试用 a、b、c 表示下列向量： (1)D→M；(2)G→M；(3)A→G.
知新益能
1．空间向量 (1)空间向量的定义 在空间，把具有_大__小___和__方__向__的量叫作空间向 量，向量的__大__小___叫作向量的长度或模．
(2)空间向量及其模的表示方法 空间向量用有向线段表示，有向线段的_长__度___ 表示向量的模．如图，a 的起点是 A，终点是 B，
则 a 也可记作__A→_B__，其模记作|A→B|或|a|.
3．空间向量加法的运算律 (1)交换律：a＋b＝__b_＋__a__. (2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)． 4．空间向量的数乘运算 (1)定义：实数λ与空间向量a的乘积__λ_a___仍然是 一个___向__量___，称为向量的数乘运算． (2)向量a与λa的关系
λ的范 围 λ>0
λ＝0
例1 如图，已知长方体 ABCD-A′B′C′D′， 化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向 量． (1)A→A′－C→B； (2)A→A′＋A→B＋B′→C′.
【解】 (1)A→ A′－C→B＝AA→′－D→A
＝A→ A′＋A→D＝AD→′.
(2)A→ A′＋A→B＋B′→C′ ＝(A→ A′＋A→B)＋B′→C′ ＝A→ B′＋B′→C′＝A→C′.
λ<0
方向关系
模的关系
方向相同 λa＝0，其方向是任意
的 方向相反
λa的模是 a的模的
|λ|倍
(3)空间向量的数乘运算律 设 λ、μ 是实数，则有①分配律：λ(a＋b)＝ ___λ_a_＋__λ_b_____. ②结合律：λ(μ a)＝(λμ)a. 5．空间向量的数量积 (1)定义：从空间任意一点 O 出发作O→A＝a，O→B ＝b，则 θ＝__∠_A_O__B___就是 a，b 所成的角，a， b 的数量积 a·b＝|a||b|cosθ.
【思路点拨】 连接AM得 到△ADM，利用线段中点 的向量表示和三角形的重心 的意义，在△ADM中开始 进行向量运算．
考点三
向量的数量积及应用
(1)对向量的数量积的运算律应注意以下几点： ①要准确区分两向量数量积的运算性质与数乘 向量实数与实数之积之间的差异． ②数量积运算不满足消去律． 若a、b、c(b≠0)为实数，ab＝bc⇒a＝c；但对于 向量，就不正确，即a·b＝b·c a＝c.由图可 以看出．
(1)计算两个空间向量的和或差时，与平面向量 完全相同．运算中掌握好三角形法则和平行四 边形法则是关键． (2)计算三个或多个空间向量的和或差时，要注 意以下几点：
①三角形法则和平行四边形法则； ②正确使用运算律； ③有限个向量顺次首尾相连，则从第一个向量的 起点指向最后一个向量的终点的向量即表示这有 限个向量的和向量．
2．空间向量的加减法 从任意一点 O 出发作O→A＝a，O→B＝b.并且从 A
出发作A→C＝b(如图所示)，则 a＋b＝_O→_C__，a－b ＝___B_→_A_.
思考感悟 1．空间两向量的加减法与平面内两向量的加减 法完全一样吗？ 提示：一样．因为空间中任意两个向量均可平 移到同一个平面内，所以空间向量与平面向量 加减法均可以用三角形或平行四边形法则，是 一样的．
3．两向量的数量积，其结果是个数量，而不是向 量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦值 的乘积，其符号由夹角的余弦值决定． 4．当a≠0时，由a·b＝0不能推出b一定是零向量， 这是因为任一个与a垂直的非零向量b，都有a·b＝ 0，这由向量的几何意义就可以理解．
3．1 空间中向量的概念和运算
Leabharlann Baidu
学习目标
课前自主学案 3.1
课堂互动讲练
知能优化训练
学习目标
1.理解空间向量的概念，掌握空间向量的几何表示 方法和字母表示方法． 2．掌握空间向量的线性运算，数量积． 3．能运用运算法则及运算律解决一些简单几何问 题．
课前自主学案
温故夯基
1．平面上有_大__小___和_方__向___的量叫作向量，方向 相同且模_相__等__的向量称为相等向量． 2．向量可以进行加减和数乘运算，向量加法满足 __交__换___律和_结__合___律．
(2)数量积的运算律：
数乘向量与向量 数量积的结合律
交换律
分配律
(λa)·b＝λ(a·b)
a·b＝b·a a·(b＋c)＝a·b＋
a·c
思考感悟
2．(1)两个向量a、b垂直的充要条件是a·b＝ 0，对吗？ (2)若a·b＝0，则a＝0或b＝0，对吗？ 提示：(1)不对；(2)不对．
考点一
课堂互动讲练
例3 如图所示，已知平行六面体ABCD
－
A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧 棱AA1的长为b，∠A1AB＝∠A1AD＝120°， (1)求AC1的长； (2)证明：AC1⊥BD.
自我挑战2 在三棱锥SABC中，SA⊥BC， SB⊥AC，求证：SC⊥AB.
方法感悟
1．在运用空间向量的运算法则化简向量表达式 时，要结合空间图形，观察分析各向量在图形中 的表示，运用运算法则，化简到最简为止． 2．证明两向量共线的方法为：首先判断两向量中 是否有零向量．若有，则两向量共线；若两向量 a，b中，b≠0，且有a＝λb(λ∈R)，则a，b共线．
向量AD→′、AC→′如图所示．
【名师点评】 化简向量表达式主要是利用平行 四边形法则或三角形法则．在化简过程中遇到减 法时可灵活应用相反向量转化成加法，也可按减 法法则进行运算，加、减法之间可相互转化．
考点二
空间向量的线性运算
空间向量加法、减法、数乘向量的意义及运算 律与平面向量类似．
例2 如图所示，已知空间四边形 ABCD 中，向量 A→B＝a，A→C＝b，A→D＝c，若 M 为 BC 中点，G 为 △BCD 的重心，试用 a、b、c 表示下列向量： (1)D→M；(2)G→M；(3)A→G.
知新益能
1．空间向量 (1)空间向量的定义 在空间，把具有_大__小___和__方__向__的量叫作空间向 量，向量的__大__小___叫作向量的长度或模．
(2)空间向量及其模的表示方法 空间向量用有向线段表示，有向线段的_长__度___ 表示向量的模．如图，a 的起点是 A，终点是 B，
则 a 也可记作__A→_B__，其模记作|A→B|或|a|.
3．空间向量加法的运算律 (1)交换律：a＋b＝__b_＋__a__. (2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)． 4．空间向量的数乘运算 (1)定义：实数λ与空间向量a的乘积__λ_a___仍然是 一个___向__量___，称为向量的数乘运算． (2)向量a与λa的关系
λ的范 围 λ>0
λ＝0
例1 如图，已知长方体 ABCD-A′B′C′D′， 化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向 量． (1)A→A′－C→B； (2)A→A′＋A→B＋B′→C′.
【解】 (1)A→ A′－C→B＝AA→′－D→A
＝A→ A′＋A→D＝AD→′.
(2)A→ A′＋A→B＋B′→C′ ＝(A→ A′＋A→B)＋B′→C′ ＝A→ B′＋B′→C′＝A→C′.
λ<0
方向关系
模的关系
方向相同 λa＝0，其方向是任意
的 方向相反
λa的模是 a的模的
|λ|倍
(3)空间向量的数乘运算律 设 λ、μ 是实数，则有①分配律：λ(a＋b)＝ ___λ_a_＋__λ_b_____. ②结合律：λ(μ a)＝(λμ)a. 5．空间向量的数量积 (1)定义：从空间任意一点 O 出发作O→A＝a，O→B ＝b，则 θ＝__∠_A_O__B___就是 a，b 所成的角，a， b 的数量积 a·b＝|a||b|cosθ.
【思路点拨】 连接AM得 到△ADM，利用线段中点 的向量表示和三角形的重心 的意义，在△ADM中开始 进行向量运算．
考点三
向量的数量积及应用
(1)对向量的数量积的运算律应注意以下几点： ①要准确区分两向量数量积的运算性质与数乘 向量实数与实数之积之间的差异． ②数量积运算不满足消去律． 若a、b、c(b≠0)为实数，ab＝bc⇒a＝c；但对于 向量，就不正确，即a·b＝b·c a＝c.由图可 以看出．