空间中向量的概念和运算
空间向量知识点总结公式
空间向量知识点总结公式一、空间向量的定义在三维空间中，空间向量通常用坐标表示，其中一个点P的坐标为（x，y，z），另一个点Q的坐标为（a，b，c），那么PQ的空间向量为向量（a-x，b-y，c-z）。
二、空间向量的运算1. 空间向量的加法运算若有两个向量A（a1，b1，c1）和B（a2，b2，c2），则它们的和为C（a1+a2，b1+b2，c1+c2）。
2. 空间向量的减法运算若有两个向量A（a1，b1，c1）和B（a2，b2，c2），则它们的差为C（a1-a2，b1-b2，c1-c2）。
3. 空间向量的数乘运算若有一个向量A（a，b，c），一个实数k，则kA为（ka，kb，kc）。
4. 空间向量的数量积数量积指两个向量的数量乘积，设A（a1，b1，c1）和B（a2，b2，c2），则它们的数量积为a1a2+b1b2+c1c2。
5. 空间向量的向量积向量积又称为叉积，设A（a1，b1，c1）和B（a2，b2，c2），则它们的向量积为（b1c2-c1b2，c1a2-a1c2，a1b2-b1a2）。
6. 空间向量的混合积定义为A·（B×C），其中A、B、C分别为三个向量，其中A·表示数量积，B×C表示向量积。
三、空间向量的坐标表示空间向量通常有两种常见的表示方法，即点坐标表示和参数方程表示。
1. 点坐标表示点坐标表示指的是根据两个点的坐标来表示一条向量。
设两点P（x1，y1，z1）和Q（x2，y2，z2），则以P为起点Q为终点的向量为（x2-x1，y2-y1，z2-z1）。
2. 参数方程表示参数方程表示指的是以一个点为起点，以一个方向向量为方向，通过参数t来表示。
设点P（x0，y0，z0）是向量的起点，向量v=（a，b，c）是方向向量，那么向量的参数方程为X=x0+at，Y=y0+bt，Z=z0+ct。
四、空间向量的应用1. 物理学中的运动学在物理学中，空间向量常常用于描述物体在三维空间中的运动和位置，如速度、加速度等。
空间向量及其运算
空间向量及其运算引言空间向量是三维空间中的一种重要的数学概念，用于描述具有大小和方向的物理量。
本文将介绍空间向量的基本概念、表示方法和运算规则。
基本概念空间向量是由三个实数组成的有序三元组，分别表示向量在三个坐标轴上的分量。
通常用箭头在字母上方表示向量，如向量A表示为$\vec{A}$。
表示方法空间向量可以用坐标表示或者用一个点表示。
坐标表示法将向量的三个分量写成一个有序三元组$(x。
y。
z)$，表示向量在$x$轴上的分量为$x$，在$y$轴上的分量为$y$，在$z$轴上的分量为$z$。
点表示法将向量的起点放在坐标原点，然后将向量的终点绘制在空间中，用一条箭头连接起来。
运算规则空间向量的运算包括加法、减法和数量乘法。
加法：两个向量相加，就是将它们的对应分量相加得到一个新的向量。
例如，$\vec{A} = (x_1.y_1.z_1)$，$\vec{B} =(x_2.y_2.z_2)$，则$\vec{A} + \vec{B} = (x_1 + x_2.y_1 + y_2.z_1 + z_2)$。
减法：两个向量相减，就是将它们的对应分量相减得到一个新的向量。
例如，$\vec{A} = (x_1.y_1.z_1)$，$\vec{B} =(x_2.y_2.z_2)$，则$\vec{A} - \vec{B} = (x_1 - x_2.y_1 - y_2.z_1 - z_2)$。
数量乘法：一个向量与一个实数相乘，就是将向量的每个分量都乘以这个实数。
例如，$\vec{A} = (x。
y。
z)$，$k$为实数，则$k\vec{A} = (kx。
ky。
kz)$。
总结空间向量是三维空间中描述大小和方向的数学概念。
它可以用坐标表示法或者点表示法来表示。
空间向量的运算包括加法、减法和数量乘法。
以上是关于空间向量及其运算的简要介绍，希望能对您有所帮助。
空间向量知识点归纳总结
空间向量知识点归纳总结空间向量是高中数学中的一个重要概念，出现在向量代数、几何问题、解析几何以及线性代数等多个数学分支中。
下面是空间向量知识点的归纳总结：1.空间向量的定义：空间向量是具有大小和方向的量，它可以用有序三元数组表示，例如(a,b,c)。
2.空间向量的运算：(1)向量加法：两个向量相加得到一个新的向量，加法满足交换律和结合律。
(2)向量数乘：一个向量与一个实数相乘得到一个新的向量，数乘满足分配律。
(3)内积：两个向量的内积是一个实数，可以用数量积的公式计算。
(4)外积：两个向量的外积是一个向量，可以用矢量积的公式计算。
3.空间向量的基本性质：(1)零向量：长度为零的向量，与任何向量的加法的结果都是原向量本身。
(2)单位向量：长度为1的向量，可以用一个非零向量除以其长度得到。
(3)向量的长度：向量的长度定义为该向量的模。
(4)向量的方向：向量的方向可以用与该向量共线的单位向量表示。
4.空间向量的共线与异面：(1)两个向量共线意味着它们的方向相同或者相反。
(2)三个向量共面意味着它们位于同一个平面上。
(3)两个向量异面意味着它们不共线，且它们所在的直线与另外一个直线垂直。
5.空间向量的投影：(1)向量在一些方向上的投影是一个标量，可以用点积的公式计算。
(2)向量在一些方向上的单位向量是该方向的基向量。
(3)向量在一些方向上的分量是该方向的基向量的数乘。
6.空间向量的表示：(1)分解：一个向量可以表示为它在不同方向上的分量的和。
(2)基底：一个空间中的向量可以表示为基底向量的线性组合。
(3)坐标：一个向量可以用它在基底向量上的投影的值表示。
7.空间向量的几何意义：(1)位移向量：两点之间的位移可以用一个向量表示。
(2)向量的数量积：两个向量的数量积等于一个向量在另一个向量的方向上的投影乘以另一个向量的长度。
(3)向量的矢量积：两个向量的矢量积的大小等于这两个向量张成的平行四边形的面积，方向垂直于这两个向量所在平面。
空间向量及其运算
(3|a|＋2|c|)(|a|－|c|)＝0，∴|a|－|c|＝0，即|a|＝|c|.
即当＝＝1时，A1C⊥平面C1BD.
【分析点评】
向量是解决立体几何问题的重要工具，利用向量可解决线面平行、线面垂 直、三点共线、四点共面，以及距离和成角等问题，而利用向量解决立体 几何问题关键在于适当选取基底，将几何问题转化为向量问题． 本题第二问用向量法解决是非常好的选择，大大简化了推理和运算过程． 这样就很好地解决：“会做的题目花费时间过多”这一矛盾，考试过程中 方法的选择就显的尤为重要.
解法二：(1)证明：取
由已知|a|＝|b|，且〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，
BD＝CD－CB＝a－b，C1C·B＝c·(a－b)＝c·a－c·b
＝|c||a|－|c||b|＝0，
，∴C1C⊥BD.
(2)若A1C⊥平面C1BD，则A1C⊥C1D，CA1＝a＋b＋c，C1D＝a－c.
∴CA1·C1D＝0，即(a＋b＋c)·(a－c)＝0.整理得：3a2－|a||c|－2c2＝0，
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(3)空间的两个向量可用 同一平面内 的两条有向线段来表示．
2．空间向量的运算
定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算，如
下：
＝a＋b；
．
3．运算律：(1)加法交换律：a＋)数乘分配律：λ(a＋b)＝ λa＋λb .
4．共线向量定理：空间任意两个向量a、 b(b≠0), a∥b的充要条件是存在实 数λ，使 a ＝λb .
5．共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，p与向量a，b共面的充要条件 是存在实数x，y使 p＝xa＋yb .
6．空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量
高中数学新湘教版选修2-1 空间中向量的概念和运算
3．1空间中向量的概念和运算第一课时 空间中向量的概念和线性运算[读教材·填要点]1．向量的概念既有大小又有方向的量称为向量． 2．用有向线段表示向量要表示向量a ，可以从任意一点A 出发作有向量线段AB ，使AB 的方向与a 相同，长度|AB |等于a 的模，则有向线段AB 表示向量a ，记为a ＝AB ―→.3．空间向量加法的运算律 (1)a ＋b ＝b ＋a .(加法交换律)(2)(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )．(加法结合律) 4．向量与实数相乘(1)向量与实数相乘：任何一个向量a 都可以看作某个平面上的向量，它与实数λ相乘可以按照平面向量与实数相乘的法则进行．(2)①λ(a ＋b )＝λa ＋λb .(对向量加法的分配律) ②(λ1＋λ2)a ＝λ1a ＋λ2a .(对实数加法的分配律)[小问题·大思维]1．空间向量的定义及表示方法，同平面向量的定义及表示方法有区别吗？ 提示：空间向量与平面向量没有本质区别，定义及表示方法都一样． 2．在空间中，所有单位向量平移到同一起点后，终点轨迹是什么图形？提示：因为单位向量的模均等于1，那么当所有向量移到同一起点后，终点轨迹是一个球面．3．空间两向量的加减法与平面内两向量的加减法完全相同吗？提示：因为空间中任意两个向量均可平移到同一平面内，所以空间向量与平面向量均可用三角形或平行四边形法则，是相同的．4．两个向量a ，b 共线是两个向量共面的什么条件？提示：a ，b 共线时， 这两个向量一定共面；若a 与b 共面，a 与b 所在的直线可能相交，所以a 与b 共线是a 与b 共面的充分不必要条件．已知ABCD 为正方形，P 是ABCD 所在平面外一点，P 在平面ABCD 上的射影恰好是正方形ABCD 的中心O .Q 是CD 的中点，求下列各式中x ，y 的值：(1)O Q ―→＝P Q ―→＋x PC ―→＋y PA ―→； (2)PA ―→＝x PO ―→＋y P Q ―→＋PD ―→. [自主解答]如图，(1)∵O Q ―→＝P Q ―→－PO ―→ ＝P Q ―→－12(PA ―→＋PC ―→)＝P Q ―→－12PA ―→－12PC ―→，∴x ＝y ＝－12.(2)∵PA ―→＋PC ―→＝2PO ―→，∴PA ―→＝2PO ―→－PC ―→. 又∵PC ―→＋PD ―→＝2P Q ―→，∴PC ―→＝2P Q ―→－PD ―→.从而有PA ―→＝2PO ―→－(2P Q ―→－PD ―→)＝2PO ―→－2P Q ―→＋PD ―→. ∴x ＝2，y ＝－2.本例中，若P Q ―→＝x BA ―→＋y BC ―→＋z BP ―→，则x ，y ，z 为何值？解：∵P Q ―→＝PB ―→＋BC ―→＋C Q ―→＝－BP ―→＋BC ―→＋12CD ―→＝－BP ―→＋BC ―→＋12BA ―→＝12BA ―→＋BC ―→－BP ―→，∴x ＝12，y ＝1，z ＝－1.利用多边形法则是处理此类问题的基本技巧，一般地，可以找到的封闭图形不是唯一的，但无论哪一种途径，结果应是唯一的．应用向量的加减法法则和数乘运算表示向量是向量在几何中应用的前提，一定要熟练掌握．1.如图所示，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，M 是BB 1的中点，化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量：(1) CB ―→＋BA 1―→； (2) AC ―→＋CB ―→＋12AA 1―→；(3)AA 1―→－AC ―→－CB ―→. 解：(1)CB ―→＋BA 1―→＝CA 1―→.(2)因为M 是BB 1的中点， 所以BM ―→＝12BB 1―→.又AA 1―→＝BB 1―→，所以AC ―→＋CB ―→＋12AA 1―→＝AB ―→＋BM ―→＝AM ―→.(3)AA 1―→－AC ―→－CB ―→＝CA 1―→－CB ―→＝BA 1―→. 向量CA 1―→，AM ―→，BA 1―→如图所示．空间四边形ABCD 中，E ，H 分别是AB ，AD 的中点，F ，G 分别在边CB ，CD 上，且CF ―→＝23CB ―→， CG ―→＝23CD ―→.判断EH ―→与FG ―→是否共线？若共线，并判断四边形EFGH 的形状．[自主解答] 根据题意，∵EH ―→＝AH ―→－AE ―→， BD ―→＝AD ―→－AB ―→， 又∵AH ―→＝12AD ―→，∴AE ―→＝12AB ―→.∴EH ―→＝12BD ―→.①∵FG ―→＝CG ―→－CF ―→，BD ―→＝CD ―→－CB ―→， 又∵CG ―→＝23CD ―→，CF ―→＝23CB ―→，∴FG ―→＝23(CD ―→－CB ―→)＝23BD ―→.②由①②得，EH ―→＝34FG ―→.∴EH ―→与FG ―→共线．∴EH ∥FG ―→，且|EH ―→|≠|FG ―→|. 又∵点F 不在直线EH 上， ∴EH ∥FG 且|EH |≠|FG |. ∴四边形EFGH 为梯形．判断空间图形中两个向量共线的步骤为： (1)作出空间图形；(2)结合空间图形，充分利用空间向量运算法则，用空间中的向量表示a 与b ； (3)化简得出a ＝xb ，从而得出a ∥b ，即a 与b 共线．本例中，如果F ，G 分别是边CB ，CD 的中点，你能判断出EFGH 是什么四边形吗？ 解：若F ，G 分别是边BC ，CD 的中点， ∵EH ―→＝AH ―→－AE ―→，BD ―→＝AD ―→－AB ―→， AH ―→＝12AD ―→，AE ―→＝12AB ―→，∴EH ―→＝12BD ―→.①∵FG ―→＝CG ―→－CF ―→，BD ―→＝CD ―→－CB ―→， 又∵CG ―→＝12CD ―→，CF ―→＝12CB ―→，∴FG ―→＝12(CD ―→－CB ―→)＝12BD ―→.②由①②，得EH ―→＝FG ―→， ∴EH ―→∥FG ―→且|EH ―→|＝|FG ―→|. 又∵点F 不在直线EH 上， ∴EH ∥FG 且|EH |＝|FG |. ∴四边形EFGH 是平行四边形．2.如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 在A 1D 1上，且 A 1E ―→＝2ED 1―→，F 在对角线A 1C 上，且A 1F ―→＝23FC ―→.求证：E ，F ，B 三点共线．证明：设AB ―→＝a ，AD ―→＝b ，AA 1―→＝c . ∵A 1E ―→＝2ED 1―→，A 1F ―→＝23FC ―→，∴A 1E ―→＝23A 1D 1―→，A 1F ―→＝25A 1C ―→.∴A 1E ―→＝23AD ―→＝23b ，A 1F ―→＝25(AC ―→－AA 1―→)＝25(AB ―→＋AD ―→－AA 1―→) ＝25a ＋25b －25c . ∴EF ―→＝A 1F ―→－A 1E ―→ ＝25a －415b －25c ＝25⎝⎛⎭⎫a －23b －c . 又EB ―→＝EA 1―→＋A 1A ―→＋AB ―→＝－23b －c ＋a＝a －23b －c ，∴EF ―→＝25EB ―→.所以E ，F ，B 三点共线．已知A ，B ，C 三点不共线，平面ABC 外一点M 满足OM ―→＝13OA ―→＋13OB ―→＋13OC ―→.(1)判断MA ―→， MB ―→， MC ―→三个向量是否共面； (2)判断M 是否在平面ABC 内．[自主解答] (1)∵OA ―→＋OB ―→＋OC ―→＝3OM ―→，∴OA ―→－OM ―→＝(OM ―→－OB ―→)＋(OM ―→－OC ―→)＝BM ―→＋CM ―→. ∴MA ―→＝BM ―→＋CM ―→＝－MB ―→－MC ―→. ∴向量MA ―→，MB ―→，MC ―→共面．(2)由(1)向量MA ―→，MB ―→，MC ―→共面，而它们有共同的起点M ，且A ，B ，C 三点不共线， ∴M ，A ，B ，C 共面，即M 在平面ABC 内．利用向量法解决向量共面问题，关键是熟练的进行向量的表示，恰当应用向量共面的充要条件．向量共面的充要条件的实质是：共面的四点中所形成的两个不共线的向量一定可以表示其他向量，对于向量共面的充要条件，不仅会正用，也要能够逆用它求参数的值．3．已知E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，求证：(1)E ，F ，G ，H 四点共面． (2)BD ∥平面EFGH . 证明：如图，连接EG ，BG .(1)因为EG ―→＝EB ―→＋BG ―→＝EB ―→＋12(BC ―→＋BD ―→)＝EB ―→＋BF ―→＋EH ―→＝EF ―→＋EH ―→，由向量共面的充要条件知：E ，F ，G ，H 四点共面．(2)因为EH ―→＝AH ―→－AE ―→＝12AD ―→－12AB ―→＝12BD ―→，所以EH ∥BD .又EH⊂平面EFGH ，BD ⊄平面EFGH ，所以BD ∥平面EFGH .解题高手 妙解题 什么是智慧，智慧就是简单、高效、不走弯路如图，已知斜三棱柱ABC -A ′B ′C ′中，点M ，N 分别在面对角线AC ′，棱BC 上，且AM ＝kAC ′，BN ＝kBC (0<k ≤1)．求证：MN ∥平面ABB ′A ′.[巧思] 要证明MN ∥平面ABB ′A ′，只要证明向量MN ―→可以用平面ABB ′A ′内的两个不共线的向量线性表示即可，但要注意指明MN 不在平面ABB ′A ′内．[妙解] 因为M 在AC ′上，且AM ＝kAC ′， 所以AM ―→＝kAC ′―→＝k AC ―→＋kAA ′―→，又AN ―→＝AB ―→＋BN ―→＝AB ―→＋k BC ―→＝AB ―→＋k (AC ―→－AB ―→)＝(1－k )AB ―→＋k AC ―→， 所以MN ―→＝AN ―→－AM ―→＝(1－k )AB ―→＋k AC ―→－k AC ―→－kAA ′―→＝(1－k )AB ―→－kAA ′―→. 因为AB ―→与AA ′―→不共线，由共面向量定理，可知MN ―→，AB ―→，AA ′―→共面． 因为0<k ≤1，所以MN ⊄平面ABB ′A ′， 所以MN ∥平面ABB ′A ′.1．设有四边形ABCD ，O 为空间任意一点，且AO ―→＋OB ―→＝DO ―→＋OC ―→，则四边形ABCD 是( )A ．平行四边形B ．空间四边形C ．等腰梯形D ．矩形解析：∵AO ―→＋OB ―→＝DO ―→＋OC ―→， ∴AB ―→＝DC ―→.∴AB ―→∥DC ―→且|AB ―→|＝|DC ―→|. ∴四边形ABCD 为平行四边形． 答案：A2．已知向量AB ―→，AC ―→，BC ―→满足|AB ―→|＝|AC ―→|＋|BC ―→|，则( ) A ．AB ―→＝AC ―→＋BC ―→ B ．AB ―→＝－AC ―→－BC ―→ C ．AC ―→与BC ―→同向D ．AC ―→与CB ―→同向 解析：由条件可知，C 在线段AB 上，故D 正确． 答案：D3.在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，下列各式： ①(AB ―→＋BC ―→)＋CC 1―→；②(AA 1―→＋A 1D 1―→)＋D 1C 1―→； ③(AB ―→＋BB 1―→)＋B 1C 1―→；④(AA 1―→＋A 1B 1―→)＋B 1C 1―→中，运算结果为向量AC 1―→的共有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析：①(AB ―→＋BC ―→)＋CC 1―→＝AC ―→＋CC 1―→＝AC 1―→； ②(AA 1―→＋A 1D 1―→)＋D 1C 1―→＝AD 1―→＋D 1C 1―→＝AC 1―→； ③(AB ―→＋BB 1―→)＋B 1C 1―→＝AB 1―→＋B 1C 1―→＝AC 1―→； ④(AA 1―→＋A 1B 1―→)＋B 1C 1―→＝AB 1―→＋B 1C 1―→＝AC 1―→. 答案：D4．对于空间中任意四点A ，B ，C ，D 都有DA ―→＋CD ―→－CB ―→等于________． 解析：由向量加(减)法的三角形法则可知DA ―→＋CD ―→－CB ―→＝DA ―→＋BD ―→＝BA ―→. 答案：BA ―→5．已知正方体ABCD -A ′B ′C ′D ′，则下列三个式子中： ①AB ―→－CB ―→＝AC ―→； ②AA ′―→＝CC ′―→；③AB ―→＋BB ′―→＋BC ―→＋C ′C ―→＝AC ′―→. 其中正确的有________．解析：①AB ―→－CB ―→＝AB ―→＋BC ―→＝AC ―→，正确；②显然正确；③AB ―→＋BB ′―→＋BC ―→＋C ′C ―→＝(AB ―→＋BC ―→)＋(BB ′―→＋C ′C ―→)＝AC ―→＋0≠AC ′―→，错误．答案：①②6.如图，在直四棱柱ABCD -A1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为等腰梯形，AB ∥CD ，AB ＝4，CD ＝2，E ，E 1，F 分别是棱AD ，AA 1，AB 的中点．证明：直线EE 1∥平面FCC 1.证明：由题意知AB ―→＝2DC ―→，∵F 是AB 的中点， ∴AF ―→＝12AB ―→＝DC ―→，∴四边形AFCD 是平行四边形，∴AD ―→＝FC ―→.∵E ，E 1分别是AD ，AA 1的中点，∴EE 1―→＝AE 1―→－AE ―→＝12AA 1―→－12AD ―→＝12CC 1―→－12FC ―→，又CC 1―→与FC ―→不共线，根据共面向量定理可知EE 1―→，CC 1―→，FC ―→共面． ∵EE 1不在平面FCC 1内， ∴直线EE 1∥平面FCC 1.一、选择题1．已知空间四边形ABCD 中，G 为CD 的中点，则AB ―→＋12(BD ―→＋BC ―→)等于( )A ． AG ―→B ．CG ―→C ．BC ―→D.12BC ―→ 解析：AB ―→＋12(BD ―→＋BC ―→)＝AB ―→＋12×(2BG ―→)＝AB ―→＋BG ―→＝AG ―→.答案：A2.如图所示空间四边形ABCD ，连接AC ，BD ，设M ，G 分别是BC ，CD 的中点，则MG ―→－AB ―→＋AD ―→等于( )A.32 DB ―→ B ．3MG ―→ C ．3GM ―→D ．2MG ―→解析：MG ―→－AB ―→＋AD ―→＝MG ―→－(AB ―→－AD ―→) ＝MG ―→－DB ―→＝MG ―→＋BD ―→ ＝MG ―→＋2MG ―→＝3MG ―→. 答案：B3．给出下列命题：①若A ，B ，C ，D 是空间任意四点，则有AB ―→＋BC ―→＋CD ―→＋DA ―→＝0； ②|a |－|b |＝|a ＋b |是a ，b 共线的充要条件； ③若AB ―→，CD ―→共线，则AB ∥CD ；④对空间任意一点O 与不共线的三点A ，B ，C ，若OP ―→＝x OA ―→＋y OB ―→＋z OC ―→(其中x ，y ，z ∈R)，则P ，A ，B ，C 四点共面．其中不正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：显然①正确；若a ，b 共线，则|a |＋|b |＝|a ＋b |或|a ＋b |＝||a |－|b ||，故②错误；若AB ―→，CD ―→共线，则直线AB ，CD 可能重合，故③错误；只有当x ＋y ＋z ＝1时，P ，A ，B ，C 四点才共面，故④错误．故选C.答案：C4．已知两非零向量e 1，e 2不共线，设a ＝λe 1＋μe 2(λ，μ∈R 且λ2＋μ2≠0)，则( ) A ．a ∥e 1B ．a ∥e 2C ．a 与e 1，e 2共面D ．以上三种情况均有可能解析：当λ＝0，μ≠0时，a ＝μe 2，则a ∥e 2； 当λ≠0，μ＝0时，a ＝λe 1，则a ∥e 1； 当λ≠0，μ≠0时，a 与e 1，e 2共面． 答案：D 二、填空题5．化简：AB ―→－AC ―→＋BC ―→－BD ―→－DA ―→＝________. 解析：原式＝(AB ―→－AC ―→)＋(BC ―→－BD ―→)－DA ―→＝CB ―→＋DC ―→－DA ―→＝DB ―→－DA ―→＝AB ―→. 答案：AB ―→6．设e 1，e 2是空间两个不共线的向量，已知AB ―→＝e 1＋ke 2，BC ―→＝5e 1＋4e 2，DC ―→＝－e 1－2e 2，且A ，B ，D 三点共线，则实数k 的值是________．解析：∵BC ―→＝5e 1＋4e 2，DC ―→＝－e 1－2e 2，∴BD ―→＝BC ―→＋CD ―→＝(5e 1＋4e 2)＋(e 1＋2e 2)＝6e 1＋6e 2， ∵A ，B ，D 三点共线，∴AB ―→＝λBD ―→，∴e 1＋ke 2＝λ(6e 1＋6e 2)，∵e 1，e 2是不共线向量，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＝6λ，k ＝6λ，∴k ＝1.答案：17.如图，已知空间四边形ABCD 中，AB ―→＝a －2c ，CD ―→＝5a ＋6b －8c ，对角线AC ，BD 的中点分别为E ，F ，则EF ―→＝________(用向量a ，b ，c 表示)．解析：设G 为BC 的中点， 连接EG ，FG ，则EF ―→＝EG ―→＋GF ―→ ＝12AB ―→＋12CD ―→ ＝12(a －2c )＋12(5a ＋6b －8c ) ＝3a ＋3b －5c . 答案：3a ＋3b －5c8．在空间四边形OABC 中，OA ―→＝a ，OB ―→＝b ，OC ―→＝c ，点M 在OA 上，且OM ＝2MA ，N 为BC 的中点，给出以下向量：①3a －4b ＋3c ；②－4a ＋3b ＋3c ；③3a ＋3b －4c ； ④43a －b －c . 其中与MN ―→平行的向量是________(只填相应序号即可)．解析：由已知得MN ―→＝ON ―→－OM ―→＝12(OB ―→＋OC ―→)－23OA ―→＝－23a ＋12b ＋12c .所以MN ―→＝16(－4a ＋3b ＋3c )＝－12⎝⎛⎭⎫43a －b －c ，故②④适合． 答案：②④ 三、解答题9.如图，H 为四棱锥P -ABCD 的棱PC 的三等分点，且PH ＝12HC ，点G 在AH 上，AG ＝mAH .四边形ABCD 为平行四边形．若G ，B ，P ，D 四点共面，求实数m 的值．解：连接BD ，BG ，∵AB ―→＝PB ―→－PA ―→ 且 AB ―→＝DC ―→， ∴DC ―→＝PB ―→－PA ―→. ∵PC ―→＝PD ―→＋DC ―→， ∴PC ―→＝PD ―→＋PB ―→－PA ―→ ＝－PA ―→＋PB ―→＋PD ―→. ∵PH HC ＝12，∴PH ―→＝13PC ―→＝13(－PA ―→＋PB ―→＋PD ―→)＝－13PA ―→＋13PB ―→＋13PD .又∵AH ―→＝PH ―→－PA ―→， ∴AH ―→＝－43PA ―→＋13PB ―→＋13PD ―→.∵AGAH ＝m ，∴AG ―→＝m AH ―→＝－4m 3PA ―→＋m 3PB ―→＋m 3PD ―→.∵BG ―→＝－AB ―→＋AG ―→＝PA ―→－PB ―→＋AG ―→， ∴BG ―→＝⎝⎛⎭⎫1－4m 3PA ―→＋⎝⎛⎭⎫m 3－1PB ―→＋m 3PD ―→. 又∵B ，G ，P ，D 四点共面，∴1－4m 3＝0，∴m ＝34.10.如图，在棱长为a 的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为DD 1和BB 1的中点．(1)证明：四边形AEC 1F 是平行四边形； (2)试判断A 1D 1是否平行于平面AEC 1F .解：(1)证明：∵E ，F 分别为DD 1和BB 1的中点， ∴AE ―→＝AD ―→＋DE ―→＝AD ―→＋12DD 1―→，FC 1―→＝FB 1―→＋B 1C 1―→＝12BB 1―→＋B 1C 1―→.又AD ―→＝B 1C 1―→，DD 1―→＝BB 1―→， ∴AE ―→＝FC 1―→，即AE 綊FC 1， ∴四边形AEC 1F 是平行四边形．(2)设A 1D 1平行于平面AEC 1F ，则存在x ，y ，使得A 1D 1―→＝x AE ―→＋y AF ―→，又AE ―→＝AD ―→＋ 12DD 1―→，AF ―→＝AB ―→＋BF ―→＝AB ―→＋12BB 1―→， ∴A 1D 1―→＝x (AD ―→＋12DD 1―→)＋y (AB ―→＋12BB 1―→)即(x －1)A 1D 1―→＋y AB ―→＋12(x ＋y )BB 1―→＝0.∵A 1D 1―→，AB ―→，BB 1―→不共面，∴不存在实数x ，y 使得上式成立，故不存在实数x ，y 可以使得A 1D 1―→＝x AE ―→＋y AF ―→，∴A1D1不平行于平面AEC1F.第二课时空间向量的数量积[读教材·填要点]空间向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫作a，b的数量积，记作a·b. 即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．(2)运算律：①(λa)·b＝λ(a·b)；②交换律：a·b＝b·a；③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.(3)数量积的性质：[小问题·大思维]1．已知三个非空向量a，b，c，若a·b＝a·c，那么b＝c成立吗？提示：不一定有b＝c.当a⊥b，a⊥c时，a·b＝a·c＝0，此时不一定有b＝c.2．已知向量a，b，对于|a·b|＝|a|·|b|成立吗？提示：|a·b|＝|a||b||cos〈a，b〉|≤|a||b|.∴当a与b共线时，|a·b|＝|a||b|，否则不成立．如图所示，在棱长为1的正四面体ABCD 中，E ，F 分别是AB ，AD 的中点，求值：(1)EF ―→·BA ―→； (2)EF ―→·BD ―→； (3)EF ―→·DC ―→； (4)AB ―→·CD ―→.[自主解答] (1)EF ―→·BA ―→＝12BD ―→·BA ―→＝12|BD ―→||BA ―→|·cos 〈BD ―→，BA ―→〉 ＝12cos 60°＝14. (2)EF ―→·BD ―→＝12BD ―→·BD ―→＝12|BD ―→|2＝12.(3)EF ―→·DC ―→＝12BD ―→·DC ―→＝12|BD ―→|·|DC ―→|cos 〈BD ―→，DC ―→〉＝12cos 120°＝－14.(4)AB ―→·CD ―→＝AB ―→·(AD ―→－AC ―→)＝AB ―→·AD ―→－AB ―→·AC ―→＝|AB ―→||AD ―→|cos 〈AB ―→，AD ―→〉－|AB ―→||AC ―→|cos 〈AB ―→，AC ―→〉＝cos 60°－cos 60°＝0.空间向量数量积的计算要充分利用向量所在的图形，巧妙地进行向量的分解与合成，分解时要充分利用图形的特点以及其含有的特殊向量，这里的特殊向量主要指具有特殊夹角或已知模的向量．1．已知a ＝3p －2q ，b ＝p ＋q ，p 和q 是相互垂直的单位向量，则a ·b ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：∵p ⊥q 且|p |＝|q |＝1，∴a ·b ＝(3p －2q )·(p ＋q )＝3p 2＋p ·q －2q 2＝3＋0－2＝1. 答案：A2．已知正四面体OABC 的棱长为1，求： (1)OA ―→·OB ―→；(2)(OA ―→＋OB ―→)·(CA ―→＋CB ―→)．解：(1)OA ―→·OB ―→＝|OA ―→||OB ―→|cos ∠AOB ＝1×1×cos 60°＝12.(2)(OA ＋OB ―→)·(CA ―→＋CB ―→)＝(OA ―→＋OB ―→)·(OA ―→－OC ―→＋OB ―→－OC ―→) ＝(OA ―→＋OB ―→)·(OA ―→＋OB ―→－2OC ―→)＝12＋1×1×cos 60°－2×1×1×cos 60°＋1×1×cos 60°＋12－2×1×1×cos 60°＝1.如图，已知线段AB ⊥平面α，BC ⊂α，CD ⊥BC ，DF ⊥平面α，且∠DCF ＝30°，D 与A 在α的同侧，若AB ＝BC ＝CD ＝2，求A ，D 两点间的距离．[自主解答] ∵AD ―→＝AB ―→＋BC ―→＋CD ―→，∴|AD ―→|2＝AD ―→·AD ―→＝(AB ―→＋BC ―→＋CD ―→)·(AB ―→＋BC ―→＋CD ―→)＝|AB ―→|2＋|BC ―→|2＋|CD ―→|2＋2AB ―→·BC ―→＋2BC ―→·CD ―→＋2AB ―→·CD ―→.①∵AB ＝BC ＝CD ＝2，∴|AB ―→|＝|BC ―→|＝|CD ―→|＝2.② 又∵AB ⊥α，BC ⊂α，∴AB ⊥BC .∴AB ―→·BC ―→＝0.③ ∵CD ⊥BC ，∴CD ―→·BC ―→＝0.④把②③④代入①可得|AD ―→|2＝4＋4＋4＋2AB ―→·CD ―→＝12＋2|AB ―→|·|CD ―→|cos 〈AB ―→，CD ―→〉 ＝12＋8cos 〈AB ―→，CD ―→〉．⑤ ∵∠DCF ＝30°，从而∠CDF ＝60°. 又∵AB ⊥α，DF ⊥α，∴AB ∥DF . ∴〈AB ―→，DC ―→〉＝〈DF ―→，DC ―→〉＝60°. ∴〈AB ―→，CD ―→〉＝120°.代入⑤式得到|AD ―→|2＝12＋8cos 120°＝8， ∴|AD ―→|＝2 2.即A ，D 两点间的距离为2 2.求两点间的距离或线段长度的方法如下： (1)将此线段用向量表示；(2)用其他已知夹角和模的向量表示该向量； (3)利用|a |＝a 2，通过计算求出|a |，即得所求距离．3．如图所示，在▱ABCD 中，AD ＝4，CD ＝3，∠D ＝60°，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝6，求线段PC 的长． 解：∴PC ―→＝PA ―→＋AD ―→＋DC ―→， ∴|PC ―→|2＝(PA ―→＋AD ―→＋DC ―→)2＝|PA ―→|2＋|AD ―→|2＋|DC ―→|2＋2PA ―→·AD ―→＋2AD ―→·DC ―→＋2DC ―→·PA ―→＝62＋42＋32＋2|AD ―→||DC ―→|cos 120°＝61－12＝49.∴|PC ―→|＝7，即PC ＝7.如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，O 为AC 与BD 的交点，G 为CC 1的中点，求证：A 1O ⊥平面GBD .[自主解答] 设A 1B 1―→＝a ，A 1D 1―→＝b ，A 1A ―→＝c ，则a ·b ＝0，b ·c ＝0，a ·c ＝0，|a |＝|b |＝|c |.∵A 1O ―→＝A 1A ―→＋AO ―→＝A 1A ―→＋12(AB ―→＋AD ―→)＝c ＋12a ＋12b ，BD ―→＝AD ―→－AB ―→＝b －a ，OG ―→＝OC ―→＋CG ―→＝12(AB ―→＋AD ―→)＋12CC 1―→＝12a ＋12b －12c . ∴A 1O ―→·BD ―→＝⎝⎛⎭⎫c ＋12a ＋12b ·(b －a ) ＝c ·b －c ·a ＋12a ·b －12a 2＋12b 2－12b ·a＝12(b 2－a 2)＝12(|b |2－|a |2)＝0.于是A 1O ―→⊥BD ―→，即A 1O ⊥BD . 同理可证A 1O ―→⊥OG ―→，即A 1O ⊥OG . 于是有A 1O ⊥平面GBD .用向量法证明垂直关系的操作步骤 (1)把几何问题转化为向量问题； (2)用已知向量表示所证向量；(3)结合数量积公式和运算律证明数量积为0； (4)将向量问题回归到几何问题．4.如图，在空间四边形OABC 中，OB ＝OC ，AB ＝AC .求证：OA ⊥BC .证明：在△OAC 和△OAB 中， OB ＝OC ，AB ＝AC ， ∴△OAC ≌△OAB . ∴∠AOC ＝∠AOB .∵OA ―→·BC ―→＝OA ―→·(OC ―→－OB ―→) ＝OA ―→·OC ―→－OA ―→·OB ―→＝|OA ―→|·|OC ―→|cos ∠AOC －|OA ―→|·|OB ―→|cos ∠AOB ＝0， ∴OA ⊥BC .解题高手 妙解题 什么是智慧，智慧就是简单、高效、不走弯路如图所示，在平行四边形ABCD 中，AB ＝AC ＝1，∠ACD ＝90°，沿着它的对角线AC 将△ACD 折起，使AB 与CD 成60°角，求此时B ，D 间的距离．[巧思] 求B ，D 间的距离可以转化为求向量BD ―→的模，但向量BD ―→的模无法直接求出，可以转化为其他向量，注意折起后AB 与AC ，CD 与AC 的垂直关系没有发生改变，可以充分利用这种关系．[妙解] ∵∠ACD ＝90°， ∴AC ―→·CD ―→＝0.同理AC ―→·BA ―→＝0. ∵AB 与CD 成60°角，∴〈BA ―→，CD ―→〉＝60°或〈BA ―→，CD ―→〉＝120°. 又BD ―→＝BA ―→＋AC ―→＋CD ―→，∴|BD ―→|2＝|BA ―→|2＋|AC ―→|2＋|CD ―→|2＋2BA ―→·AC ―→＋2BA ―→·CD ―→＋2AC ―→·CD ―→ ＝3＋2×1×1×cos 〈BA ―→，CD ―→〉． ∴当〈BA ―→，CD ―→〉＝60°时，|BD ―→|2＝4， 此时B ，D 间的距离为2；当〈BA ―→，CD ―→〉＝120°时，|BD ―→|2＝2， 此时B ，D 间的距离为 2.1．设a ，b 为空间的非零向量，下列各式：①a 2＝|a |2；②a ·b a2＝ba ；③(a ·b )2＝a 2·b 2；④(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2；⑤(a ·b )·c ＝b ·(a ·c )＝(b ·c )·a ；⑥向量a 在向量b 的方向上的投影为|a |cos 〈a ，b 〉，其中正确的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：由向量数量积的性质可知①正确；向量的数量积不满足消去律，故②不正确；(a ·b )2＝a 2·b 2·cos 2〈a ，b 〉≤a 2·b 2，故③不正确；由向量数量积的运算律知④正确；数量积不满足结合律，⑤不正确；|a |cos 〈a ，b 〉为向量a 在向量b 的方向上的投影，可正可负，⑥正确．答案：C2.已知正四面体A -BCD 中，AE ＝14AB ，CF ＝14CD ，则直线DE和BF 夹角的余弦值为( )A.413 B.313 C ．－413D ．－313解析：设正四面体的棱长为4.∵正四面体A -BCD 中，相邻两棱夹角为60°，对棱互相垂直．又ED ―→＝EA ―→＋AD ―→＝14BA ―→＋AD ―→，BF ―→＝BC ―→＋CF ―→＝BC ―→＋14CD ―→，∴ED ―→·BF ―→＝14BA ―→·BC ―→＋14AD ―→·CD ―→＝4，|ED ―→|2＝116BA ―→ 2＋12BA ―→·AD ―→＋AD ―→2＝1－4＋16＝13.|ED ―→|＝13，同理|BF ―→|＝13. ∴cos 〈ED ―→，BF ―→〉＝ED ―→·BF ―→| ED ―→||BF ―→|＝413.答案：A3．在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，设AB ―→＝a ，AD ―→＝b ，AA 1―→＝c ，则a ·(b ＋c )的值为( )A ．1B ．0C ．－1D ．－2解析：a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c ＝0. 答案：B4．空间四边形OABC 中，OB ＝OC ，∠AOB ＝∠AOC ＝π3，则cos 〈OA ―→，BC ―→〉的值为________．解析：cos 〈OA ―→，BC ―→〉＝OA ―→·BC ―→|OA ―→|·|BC ―→|＝OA ―→·(OC ―→－OB ―→)|OA ―→|·|BC ―→|＝|OA ―→||OC ―→|cos π3－|OA ―→||OB ―→|cosπ3|OA ―→|·|BC ―→|＝0. 答案：05．已知向量a ，b ，c 两两夹角都是60°，且|a |＝|b |＝|c |＝1，则|a －2b ＋c |＝________. 解析：∵|a －2b ＋c |2＝a 2＋4b 2＋c 2－4a ·b －4b ·c ＋2a ·c ＝1＋4＋1－4×cos 60°－4×cos 60°＋2×cos 60°＝3， ∴|a －2b ＋c |＝ 3.答案： 36．已知长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AA 1＝2，AD ＝4，E 为侧面AA 1B 1B 的中心，F 为A 1D 1的中点．求：(1)BC ―→·ED 1―→； (2)BF ―→·AB 1―→.解：如图所示，设AB ―→＝a ，AD ―→＝b ，AA 1―→＝c ， 则|a |＝|c |＝2，|b |＝4， a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝0. (1)BC ―→·ED 1―→＝b ·⎣⎡⎦⎤12(c －a )＋b ＝|b |2＝42＝16.(2)BF ―→·AB 1―→＝⎝⎛⎭⎫c －a ＋12b ·(a ＋c ) ＝|c |2－|a |2＝22－22＝0.一、选择题1．下列各命题中，不．正确的命题的个数为( ) ①a ·a ＝|a |；②m (λa )·b ＝(mλ)a ·b (m ，λ∈R)； ③a ·(b ＋c )＝(b ＋c )·a ； ④a 2b ＝b 2a .A ．4B ．3C ．2D ．1解析：∵a ·a ＝|a |2， ∴a ·a ＝|a |，故①正确．m (λa )·b ＝(mλa )·b ＝mλa ·b ＝(mλ)a ·b ，故②正确． a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c ，(b ＋c )·a ＝b ·a ＋c ·a ＝a ·b ＋a ·c ＝a ·(b ＋c )，故③正确． a 2·b ＝|a |2·b ，b 2·a ＝|b |2·a ， 故④不一定正确． 答案：D2．已知a ＋b ＋c ＝0，|a |＝2，|b |＝3，|c |＝4，则向量a 与b 之间的夹角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．以上都不对解析：由已知c ＝－(a ＋b )，所以|c |2＝(a ＋b )2＝|a |2＋|b |2＋2a ·b ，即a ·b ＝32. ∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |＝14. 答案：D3.已知PA ⊥平面ABC ，∠ABC ＝120°，PA ＝AB ＝BC ＝6，则PC等于( )A ．62B ．6C ．12D ．144 解析：∵PC ―→＝PA ―→＋AB ―→＋BC ―→，∴PC ―→2＝PA ―→2＋AB ―→2＋BC ―→2＋2AB ―→·BC ―→＝36＋36＋36＋2×36cos 60°＝144.∴|PC |＝12.答案：C4．设A ，B ，C ，D 是空间不共面的四点，且满足AB ―→·AC ―→＝0，AC ―→·AD ―→＝0，AB ―→·AD―→＝0，则△BCD 是( )A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形 解析：∵BD ―→＝AD ―→－AB ―→，BC ―→＝AC ―→－AB ―→，∴BD ―→·BC ―→＝(AD ―→－AB ―→)·(AC ―→－AB ―→)＝AD ―→·AC ―→－AD ―→·AB ―→－AB ―→·AC ―→＋|AB ―→|2＝|AB ―→|2>0，∴cos ∠CBD ＝cos 〈BC ―→，BD ―→〉＝BC ―→·BD ―→|BC ―→|·|BD ―→|>0，∴∠CBD 为锐角，同理，∠BCD 与∠BDC 均为锐角，∴△BCD 为锐角三角形．答案：B二、填空题5．在棱长为1的正方体ABCD -A ′B ′C ′D ′中，AD ′―→·BC ′―→＝________.解析：由正方体知BC ′∥AD ′，∴〈AD ′―→， BC ′―→〉＝0，又|AD ′―→|＝|BC ′―→|＝2，所以AD ′―→·BC ′―→＝2·2·1＝2.答案：26．在四面体OABC 中，棱OA ，OB ，OC 两两垂直，且OA ＝1，OB ＝2，OC ＝3，G为△ABC 的重心，则OG ―→·(OA ―→＋OB ―→＋OC ―→)＝________.解析：由已知OA ―→·OB ―→＝OA ―→·OC ―→＝OB ―→·OC ―→＝0，且OG ―→＝OA ―→＋OB ―→＋OC ―→3， 故OG ―→·(OA ―→＋OB ―→＋OC ―→)＝13(OA ―→＋OB ―→＋OC ―→)2 ＝13(|OA ―→|2＋|OB ―→|2＋|OC ―→|2) ＝13(1＋4＋9)＝143. 答案：1437．已知a ，b 是异面直线，A ，B ∈a ，C ，D ∈b ，AC ⊥b ，BD ⊥b ，且AB ＝2，CD ＝1，则a 与b 所成的角是________．解析：AB ―→＝AC ―→＋CD ―→＋DB ―→，∴AB ―→·CD ―→＝(AC ―→＋CD ―→＋DB ―→)·CD ―→＝AC ―→·CD ―→＋CD ―→2＋DB ―→·CD ―→＝0＋12＋0＝1，又|AB ―→|＝2，|CD ―→|＝1.∴cos 〈AB ―→，CD ―→〉＝AB ―→·CD ―→| AB ―→|·|CD ―→|＝12×1＝12. ∴a 与b 所成的角是60°.答案：60°8.如图所示，在▱ABCD 中，AD ＝4，CD ＝3，∠D ＝60°，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝6，则线段PC 的长为________．解析：∵PC ―→＝PA ―→＋AD ―→＋DC ―→.∴|PC ―→|2＝(PA ―→＋AD ―→＋DC ―→)2＝|PA ―→|2＋|AD ―→|2＋|DC ―→|2＋2PA ―→·AD ―→＋2AD ―→·DC ―→＋2DC ―→·PA ―→＝62＋42＋32＋2|AD―→||DC ―→|cos 120°＝61－12＝49.∴|PC ―→|＝7，即PC ＝7.答案：7三、解答题9.如图所示，已知△ADB 和△ADC 都是以D 为直角顶点的直角三角形，且AD ＝BD ＝CD ，∠BAC ＝60°.求证：BD ⊥平面ADC .证明：不妨设AD ＝BD ＝CD ＝1，则AB ＝AC ＝ 2.BD ―→·AC ―→＝(AD ―→－AB ―→)·AC ―→＝AD ―→·AC ―→－AB ―→·AC ―→，由于AD ―→·AC ―→＝AD ―→·(AD ―→＋DC ―→)＝AD ―→·AD ―→＝1，AB ―→·AC ―→＝|AB ―→|·|AC ―→|cos 60°＝2×2×12＝1. ∴BD ―→·AC ―→＝0，即BD ⊥AC ，又已知BD ⊥AD ，AC ∩AD ＝A ，∴BD ⊥平面ADC .10.如图，正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，底面边长为 2.(1)设侧棱长为1，求证：AB 1⊥BC 1；(2)设AB 1与BC 1的夹角为π3，求侧棱的长． 解：(1)证明：AB 1―→＝AB ―→＋BB 1―→， BC 1―→＝BB 1―→＋BC ―→.∵BB 1⊥平面ABC ，∴BB 1―→·AB ―→＝0，BB 1―→·BC ―→＝0.又△ABC 为正三角形，∴〈AB ―→·BC ―→〉＝π－〈BA ―→·BC ―→〉＝π－π3＝2π3. ∵AB 1―→·BC 1―→＝(AB ―→＋BB 1―→)·(BB 1―→＋BC ―→)＝AB ―→·BB 1―→＋AB ―→·BC ―→＋BB 1―→2＋BB 1―→·BC ―→＝|AB ―→|·|BC ―→|·cos 〈AB ―→，BC ―→〉＋BB 1―→2＝－1＋1＝0，∴AB 1⊥BC 1.(2)结合(1)知AB 1―→·BC 1―→＝|AB ―→|·|BC ―→|·cos 〈AB ―→，BC ―→〉＋BB 1―→2＝BB 1―→2－1.又|AB 1―→|＝AB ―→2＋BB 1―→2＝2＋BB 1―→2＝|BC 1―→|.∴cos 〈AB 1―→，BC 1―→〉＝BB 1―→2－12＋BB 1―→2＝12，∴|BB 1―→|＝2，即侧棱长为2.。
数学公式知识：空间向量的基本概念与运算法则
数学公式知识：空间向量的基本概念与运算法则空间向量的基本概念与运算法则空间向量是指在三维空间中具有大小和方向的量，通常用符号a 表示。
空间向量可以用三个坐标轴方向上的数值表示。
例如，表示向量a的三个分量分别为ax, ay和az，则a = (ax, ay, az)。
空间向量的运算法则包括向量的加法、减法、数乘和数量积。
向量加法向量加法是指将两个向量a和b相加得到一个新向量c的过程，表示为c = a + b。
向量加法的结果是两个向量的和向量，其大小等于两个向量相加的长度，方向由两个向量之间的角度和方向共同决定。
向量减法向量减法是指将两个向量a和b相减得到一个新向量c的过程，表示为c = a - b。
向量减法的结果是两个向量的差向量，其大小等于两个向量之间的距离，方向由两个向量之间的角度和方向共同决定。
数乘数乘是指一个向量a与一个标量k相乘得到一个新向量b的过程，表示为b = ka。
数乘的结果是将向量a的大小乘以标量k，得到一个新的向量b。
如果k为负数，则向量b方向与向量a相反。
数量积数量积是指两个向量a和b的乘积，表示为a·b，其结果是一个标量。
数量积的定义式为：a·b = axbx + ayby + azbz，其中ax, ay 和az是向量a的三个分量，bx, by和bz是向量b的三个分量。
数量积的结果是两个向量之间的夹角的余弦值，可以用于计算两个向量的夹角。
总结空间向量具有大小和方向的特性，可以用三个分量表示。
向量的加法、减法、数乘和数量积是空间向量的基本运算法则。
向量加法和减法的结果是新的向量，数乘的结果是原向量的缩放，数量积的结果是一个标量，用于计算两个向量之间的夹角。
在物理和工程领域，空间向量的运算法则有着广泛的应用。
空间向量的概念与运算
空间向量的概念与运算空间向量是指在空间中有大小和方向的量。
它在物理学、几何学和工程学等领域具有重要的应用。
空间向量的概念和运算是研究空间中物体位置和运动的基础。
一、空间向量的概念空间向量由大小和方向来确定。
空间中的向量通常用箭头来表示，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。
例如，一个位移向量可以表示为⃗d，箭头的长度表示位移的大小，箭头的方向表示位移的方向。
空间向量的大小也称为向量的模或长度，通常使用两点之间的距离来计算。
二、空间向量的运算1. 向量的加法空间中的两个向量可以进行加法运算。
向量的加法可以表示为：⃗a + ⃗b = ⃗c其中，⃗a和⃗b是两个空间向量，⃗c是它们的和向量。
向量的加法满足交换律和结合律。
即：⃗a + ⃗b = ⃗b + ⃗a(⃗a + ⃗b) + ⃗c = ⃗a + (⃗b + ⃗c)2. 向量的减法空间中的两个向量可以进行减法运算。
向量的减法可以表示为：⃗a - ⃗b = ⃗d其中，⃗a和⃗b是两个空间向量，⃗d是它们的差向量。
向量的减法可以通过向量的加法来实现，即：⃗a - ⃗b = ⃗a + (-⃗b)3. 向量的数量积空间中的两个向量可以进行数量积运算。
向量的数量积可以表示为：⃗a ⋅ ⃗b = abcosθ其中，⃗a和⃗b是两个空间向量，a和b分别是它们的大小，θ是它们之间的夹角。
向量的数量积满足交换律和分配律。
即：⃗a ⋅ ⃗b = ⃗b ⋅ ⃗a⃗a ⋅(⃗b + ⃗c) = ⃗a ⋅ ⃗b + ⃗a ⋅ ⃗c4. 向量的矢量积空间中的两个向量可以进行矢量积运算。
向量的矢量积可以表示为：⃗a × ⃗b = |⃗a||⃗b|sinθ⃗n其中，⃗a和⃗b是两个空间向量，|⃗a|和|⃗b|分别是它们的大小，θ是它们之间的夹角，⃗n是法向量。
向量的矢量积满足反交换律和分配律。
即：⃗a × ⃗b = -⃗b × ⃗a⃗a ×(⃗b + ⃗c) = ⃗a × ⃗b + ⃗a × ⃗c以上是对空间向量的概念与运算进行的简要介绍。
空间向量的概念和运算
空间向量的概念和运算空间向量是三维空间中的矢量概念，具有大小和方向。
在数学和物理学中，空间向量用于描述物体在三维空间中的位移、速度和加速度等物理量。
本文将介绍空间向量的概念以及其常见的运算方法。
一、空间向量的概念空间向量是由起点和终点确定的有向线段，在三维坐标系中用坐标表示。
设空间中有两点A(x1, y1, z1)和B(x2, y2, z2)，则向量AB可以表示为：AB = (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1)空间向量具有以下特点：1. 大小：空间向量的大小等于有向线段的长度，可以通过两点之间的距离公式求得。
2. 方向：空间向量的方向由起点指向终点，可以通过计算两点坐标差得到。
二、空间向量的运算空间向量的运算包括加法、减法和数量乘法，具体如下：1. 空间向量的加法设空间向量A(x1, y1, z1)和B(x2, y2, z2)，则两向量的和为：A +B = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2)向量的加法满足交换律和结合律，即：A +B = B + A(A + B) + C = A + (B + C)2. 空间向量的减法设空间向量A(x1, y1, z1)和B(x2, y2, z2)，则两向量的差为：A -B = (x1 - x2, y1 - y2, z1 - z2)向量的减法可以看作是加法的逆运算，即：A -B = A + (-B)3. 数量乘法设空间向量A(x, y, z)和标量k，数量乘法即将向量的每个分量乘以标量，得到新的向量：kA = (kx, ky, kz)数量乘法满足结合律和分配律，即：k(A + B) = kA + kB(k1 + k2)A = k1A + k2Ak1(k2A) = (k1k2)A空间向量的运算可以通过向量的坐标进行计算，也可以通过向量的几何属性进行推导。
通过运算可以得到向量的长度、点积、叉积等操作。
三、空间向量的应用空间向量在物理力学、工程力学、电磁学等学科中有广泛的应用。
空间向量相关知识点总结
空间向量相关知识点总结一、空间向量的定义和基本概念1. 空间向量的定义空间向量是指在三维空间中的一种特殊的向量，它可以用有向线段表示，也可以用坐标表示。
空间向量具有大小和方向，是空间中的一个几何概念。
2. 空间向量的基本概念（1）长度：空间向量的长度也称为模，它表示向量的大小，一般用|AB|表示，其中A和B分别表示向量的起点和终点。
（2）方向：空间向量的方向是指向量的指向，可以用一组坐标表示，也可以用夹角表示。
（3）共线：如果两个向量的方向相同或者相反，则它们是共线的。
（4）共面：如果三个向量在同一个平面内，则它们是共面的。
二、空间向量的运算1. 空间向量的加减法（1）几何法：向量的加法就是将两个向量的起点相接，然后将两个向量的终点相连，新的向量就是两个向量的和向量；向量的减法就是将减数的起点和被减数的终点相接，然后将减数的终点和被减数的起点相连，新的向量就是两个向量的差向量。
（2）坐标法：向量的加减法也可以用坐标表示，对应坐标相加或者相减即可。
2. 数乘向量的数乘即将向量与一个常数相乘，结果是一个新的向量，其大小是原向量的模与常数的乘积，方向与原向量的方向一致（如果是负数，则方向相反）。
3. 空间向量的数量积和向量积（1）数量积：也称为点积或内积，即将两个向量的对应坐标相乘再相加，结果是一个标量。
（2）向量积：也称为叉积或外积，即将两个向量的叉乘结果是一个新的向量，其大小是原向量所构成的平行四边形的面积，方向垂直于原向量所构成的平面。
三、空间向量的几何应用1. 向量的方向余弦（1）定义：设向量a=(x, y, z)，则a的方向余弦分别为l=x/|a|，m=y/|a|，n=z/|a|，它们互为方向余弦。
（2）性质：方向余弦l、m、n满足l²+m²+n²=1。
（3）应用：方向余弦可用于求向量的夹角、判断向量的共线性等。
2. 向量的投影（1）定义：设向量a和b不共线，a在b上的投影为向量a在b方向上的分量，记为prj_b a。
空间向量的基本概念和运算
空间向量的基本概念和运算空间向量是描述空间中具有大小和方向的物理量的数学工具。
它是研究几何和物理问题时不可或缺的基本工具之一。
在本文中，我们将介绍空间向量的基本概念和运算。
一、空间向量的定义和表示空间向量是空间中的一个有向线段，由起点和终点确定。
根据终点减去起点的坐标差得到的坐标集合，表示了这个向量的大小和方向。
一般而言，我们用字母加箭头上标来表示空间向量，例如向量A可以表示为向量A—>。
二、空间向量的基本运算空间向量的基本运算包括加法、数乘和内积。
1. 向量的加法向量的加法表示将两个向量端点相连后得到的向量。
具体而言，给定两个向量A—>和B—>，它们的和向量C—>可以表示为C—> = A—> + B—>。
向量的加法满足交换律和结合律。
2. 向量的数乘向量的数乘表示将一个向量与一个实数相乘后得到的新的向量。
给定一个向量A—>和一个实数k，它们的数乘kA—>可以表示为kA—>。
向量的数乘满足分配律。
3. 向量的内积向量的内积也称点乘，它是两个向量的数量积，得到的是一个标量。
给定两个向量A—>和B—>，它们的内积可以表示为A•B = ||A|| ||B||cosθ，其中||A||和||B||分别表示向量A—>和B—>的模长，θ表示两个向量之间的夹角。
内积具有交换律和分配律。
三、空间向量的基本性质空间向量具有很多重要的性质，这些性质在解决实际问题时起到了重要的作用。
1. 平行向量的性质如果两个向量A—>和B—>是平行的，则它们的模长相等且方向相同；若A—>和B—>的夹角为0度或180度，则它们互为平行向量。
2. 垂直向量的性质如果两个向量A—>和B—>垂直，则它们的内积为0，即A•B = 0。
3. 正交向量的性质如果两个非零向量A—>和B—>的内积为0，则称它们互为正交向量或垂直向量。
空间向量及其运算知识总结
空间向量及其运算1．空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量注：⑴空间的一个平移就是一个向量⑵向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量 ⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示 2．空间向量的运算定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下b a AB OA OB +=+=;b a OB OA BA -=-=;)(R a OP ∈=λλ运算律：⑴加法交换律：a b b a+=+⑵加法结合律：)()(c b a c b a++=++⑶数乘分配律：b a b aλλλ+=+)(3．平行六面体： 平行四边形ABCD 平移向量a 到D C B A ''''的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体，并记作：ABCD －D C B A '''它的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱 4. 平面向量共线定理方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量．由于任何一组平行向量都可以平移到同一条直线上，所以平行向量也叫做共线向量．向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使b ＝λa .要注意其中对向量a的非零要求． 5 共线向量如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．a平行于b 记作b a//．当我们说向量a 、b 共线（或a //b ）时，表示a、b 的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线．6． 共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b 的充要条件是存在实数λ，使a＝λb .推论：如果l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a的直线，那么对于任意一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t 满足等式t OA OP +=a ．其中向量a叫做直线l 的方向向量. 空间直线的向量参数表示式：t OA OP +=a或)(OA OB t OA OP -+=OB t OA t +-=)1(，中点公式．)(21OB OA OP +=7．向量与平面平行：已知平面α和向量a ，作O A a = ，如果直线O A 平行于α或在α内，那么我们说向量a平行于平面α，记作：//a α．通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量 说明：空间任意的两向量都是共面的8．共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p与向量,a b 共面的充要条件是存在实数,x y 使p xa yb =+推论：空间一点P 位于平面M A B 内的充分必要条件是存在有序实数对,x y ，使M P x M A y M B =+①或对空间任一点O ，有O P O M x M A y M B =++②或,(1)O P xO A yO B zO M x y z =++++=③上面①式叫做平面M A B 的向量表达式9 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++若三向量,,a b c 不共面，我们把{,,}a b c 叫做空间的一个基底，,,a b c叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底推论：设,,,O A B C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数,,x y z ，使O P xO A yO B zO C =++10 空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量,a b，在空间任取一点O ，作,OA a OB b ==，则AOB ∠叫做向量a 与b 的夹角，记作,a b <> ；且规定0,a b π≤<>≤ ，显然有,,a b b a <>=<>；若,2a b π<>= ，则称a 与b 互相垂直，记作：a b ⊥.11．向量的模：设O A a = ，则有向线段O A 的长度叫做向量a 的长度或模，记作：||a.12．向量的数量积：已知向量,a b ，则||||c o s ,a b a b ⋅⋅<> 叫做,a b的数量积，记作a b ⋅ ，即a b ⋅= ||||c o s ,a b a b ⋅⋅<>．已知向量AB a = 和轴l ，e是l 上与l 同方向的单位向量，作点A 在l 上的射影A '，作点B 在l 上的射影B '，则A B '' 叫做向量AB 在轴l 上或在e上的正射影. 可以证明A B '' 的长度||||c o s ,|A B A B a e a e''=<>=⋅． 13．空间向量数量积的性质：（1）||cos ,a e a a e ⋅=<>．（2）0a b a b ⊥⇔⋅= ． （3） 2||a a a =⋅．14．空间向量数量积运算律：（1）()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅．（2）a b b a ⋅=⋅ （交换律）．（3）()a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅（分配律）空间向量的直角坐标及其运算1 空间直角坐标系：（1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1基底，用{,,}i j k表示；（2）在空间选定一点O 和一个单位正交基底{,,}i j k ，以点O 为原点，分别以,,i j k 的方向为正方向建立三条数轴：x 轴、y 轴、z 轴，它们都叫坐标轴．我们称建立了一个空间直角坐标系O xyz -，点O 叫原点，向量 ,,i j k都叫坐标向量．通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为xOy 平面，yOz 平面，zO x 平面；2．空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系O xyz -中，对空间任一点A ，存在唯一的有序实数组(,,)x y z ，使O A xi yj z k =++，有序实数组(,,)x y z 叫作向量A 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作(,,)A x y z ，x 叫横坐标，y 叫纵坐标，z 叫竖坐标．常见坐标系①正方体如图所示，正方体''''A B C D A B C D -的棱长为a ，一般选择点D 为原点，D A 、D C 、'D D 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系D xyz -，则各点坐标为亦可选A 点为原点.在长方体中建立空间直角坐标系与之类似. ②正四面体如图所示，正四面体A B C D -的棱长为a ，一般选择A 在B C D ∆上的射影为原点，O C 、O D （或O B ）、O A 所在直线分别为x 轴、y轴、z 轴建立C空间直角坐标系O xyz -，则各点坐标为③正四棱锥如图所示，正四棱锥P A B C D -的棱长为a ，一般选择点P 在平面A B C D 的射影为原点，O A （或O C ）、O B （或O D ）、O P 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系O xyz -，则各点坐标为④正三棱柱如图所示，正三棱柱 '''A B C A B C -的底面边长为a ，高为h ，一般选择A C 中点为原点，O C （或O A ）、O B 、O E （E 为O 在''A C 上的射影）所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系O xyz -，则各点坐标为3．空间向量的直角坐标运算律：（1）若123(,,)a a a a = ，123(,,)b b b b =，则 112233(,,)a b a b a b a b +=+++ ， 112233(,,)a b a b a b a b -=--- ，123(,,)()a a a a R λλλλλ=∈，112233a b a b a b a b ⋅=++ ， 112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ⇔===∈ ， 1122330a b a b a b a b ⊥⇔++=．（2）若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则212121(,,)AB x x y y z z =---．一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标4 模长公式：若123(,,)a a a a = ，123(,,)b b b b =，则||a ==||b == ．5．夹角公式：cos ||||a ba b a b ⋅⋅==⋅ ．6．两点间的距离公式：若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则||AB ==，或,A B d = 空间向量应用一、直线的方向向量把直线上任意两点的向量或与它平行的向量都称为直线的方向向量.在空间直角坐标系中，由111(,,)A x y z 与222(,,)B x y z 确定直线A B 的方向向量是212121(,,)AB x x y y z z =---.平面法向量 如果a α⊥ ，那么向量a叫做平面α的法向量. 二、证明平行问题1．证明线线平行：证明两直线平行可用112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ⇔===∈或312123//a a aa b b b b ⇔== .2.证明线面平行直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，且l α⊄，若a n ⊥ 即0a n ⋅= 则//a α. 3.证明面面平行平面α的法向量为1n ，平面β的法向量为2n ，若12//n n 即12n n λ=则//αβ.三、证明垂直问题 1．证明线线垂直 证明两直线垂直可用1122330a b a b a b a b a b ⊥⇔⋅=++=2．证明线面垂直x y直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，且l α⊄，若//a n 即a n λ= 则a α⊥. 3.证明面面垂直平面α的法向量为1n ，平面β的法向量为2n ，若12n n ⊥ 即120n n ⋅= 则αβ⊥.四、夹角1．求线线夹角设123(,,)a a a a = ，123(,,)b b b b =，(0,90]θ∈︒︒为一面直线所成角，则：||||cos ,a b a b a b ⋅=⋅⋅<>；cos ,||||a ba b a b ⋅<>==⋅；cos |cos ,|a b θ=<> . 2．求线面夹角如图，已知P A 为平面α的一条斜线，n为平面α的一个法向量，过P 作平面α的垂线P O ，连结O A 则P A O ∠为斜线P A 和平面α所成的角，记为θ易得sin |sin(,)|2O P A P πθ=-<> |cos ,|O P A P =<>|cos ,|n A P =<> |cos ,|n PA =<> ||||||n P A n P A ⋅=. 3．求面面夹角设1n 、2n 分别是二面角两个半平面α、β的法向量，当法向量1n 、2n同时指向二面角内或二面角外时，二面角θ的大小为12,n n π-<>；当法向量1n 、2n 一个指向二面角内，另一外指向二面角外时，二面角θ的大小为12,n n <>.五、距离1．求点点距离设111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z，,A B d =||AB ==2．求点面距离如图，A 为平面α任一点，已知P A 为平面α的一条斜线，n为平面α的一个法向量，过P 作平面α的垂线P O ，连结O A 则P A O ∠为斜线P A 和平面α所成的角，记为θ易得||||sin |||cos ,|PO PA PA PA n θ=⋅=⋅<> ||||||||PA n PA PA n ⋅=⋅⋅||||P A n n ⋅= . 3．求线线距离求异面直线间的距离可以利用向量的正射影性质直接计算.如图，设两条异面直线a 、b 的公垂线的方向向量为n , 这时分别在a 、b 上任取A 、B 两点，则向量在n上的正射影长就是两条异面直线a 、b 的距离.即两异面直线间的距离等于两异面直线上分别任取两点的向量和公垂线方向向量的数量积的绝对值与公垂线的方向向量模的比值.直线a 、b 的距离||||||||n AB n d AB n n ⋅=⋅= .4．求线面距离一条直线和一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离叫做这条直线到这个平面的距离.直线到平面的距离可转化为求点到平面的距离. 5.求面面距离和两个平行平面同时垂直的直线叫做两个平行平面的公垂线.公垂线夹在这两个平行平面间的部分叫做两个平行平面的公垂线段.公垂线段的长度叫做两个平行平面间的距离. 平面和平面间的距离可转化为求点到平面的距离.。
空间向量及其运算知识点总结
空间向量及其运算知识点总结空间向量及其运算是一个数学领域的重要知识点，涉及到向量理论在三维空间中的应用，包括向量的表示、运算、分解和向量间的关系等。
以下是对该知识点的总结：一、基本概念1. 向量：在空间中，向量是由大小和方向组成的物理量，可以用有向线段来表示。
2. 向量加法：两个向量和差运算的几何实现是平行四边形。
3. 向量减法：两个向量被同一个向量所连接。
4. 向量数乘：数与向量的乘法是数乘向量的一种方式。
5. 向量的模：向量的长度或大小称为向量的模。
二、基本运算法则1. 平行四边形法则：两个向量的加法可以扩展到多个向量。
2. 三角形法则：对于两个不能直接相加的向量，可以先将其分解为若干个互相平行或垂直的向量，再对这些向量进行加法运算。
3. 数乘结果：数乘向量时，不改变方向。
4. 向量的分解：一个向量可以通过添加一组垂直的单位向量来分解成若干个互相垂直的单位向量。
三、向量的分解与表示对于空间中的每一个点，都存在一组与之垂直的单位向量，可以通过这个单位向量来将该点表示为其他点的线性组合。
对于平面上任意的非零点，都存在唯一的一组平行于坐标轴的单位基底和数量因子，使得点在坐标轴上的投影可以用基底和数量因子的线性组合来表示。
四、空间向量的数量积空间向量的数量积是一个重要的概念，它表示的是两个向量对应坐标的乘积的标量结果。
空间向量的数量积具有一些重要的性质，如它是一个实数，它与向量的方向无关等。
五、空间向量的坐标表示空间向量的坐标表示是空间向量的基本运算之一，可以将空间向量用一组有序实数来表示，从而方便了对空间向量的各种运算和讨论。
以上就是空间向量及其运算的一些基本知识点，理解和掌握这些知识对于解决空间几何问题、向量问题以及更广泛的数学问题都具有重要的意义。
向量的基本概念及运算
向量的基本概念及运算向量是数学中常用的表示量的工具，它具有大小和方向两个属性。
在物理学、几何学、工程学等学科中广泛应用。
本文将介绍向量的基本概念以及常见的运算方法。
一、向量的基本概念向量可以用箭头表示，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。
一般用大写字母加上箭头来表示向量，如A、B等。
向量的起点可以是任意的，终点也可以是任意的，只要保持方向和大小一致即可。
二、向量的表示方法1. 平面向量的表示平面向量由两个有序实数构成，可以表示为A = (x, y)，其中x和y 分别表示向量沿x轴和y轴的分量。
2. 空间向量的表示空间向量由三个有序实数构成，可以表示为A = (x, y, z)，其中x、y和z分别表示向量沿x轴、y轴和z轴的分量。
三、向量的运算1. 向量的加法向量的加法满足三角形法则，即将两个向量首尾相接，用第一个向量的起点和第二个向量的终点构成一个新的向量。
A +B = (x1 + x2, y1 + y2)A +B +C = A + (B + C) = (x1 + x2 + x3, y1 + y2 + y3)2. 向量的减法向量的减法表示为A - B，即A + (-B)，其中-B表示B的反向量。
向量的减法可以转换为向量的加法进行计算。
A -B = (x1 - x2, y1 - y2)3. 向量的数乘向量的数乘指将向量的每个分量都乘以同一个实数。
数乘后的向量与原向量方向相同（当实数大于0时），或反向（当实数小于0时），大小为原向量大小的绝对值与实数的乘积。
kA = (kx, ky)四、向量的性质1. 向量的模向量的模表示向量的大小，表示为|A|。
计算公式为：|A| = √(x^2 + y^2) （平面向量）|A| = √(x^2 + y^2 + z^2) （空间向量）2. 零向量零向量是指模为零的向量，用0表示。
零向量的方向可以是任意的，但是定义上无法确定。
3. 单位向量单位向量是指模为1的向量，可以通过将向量除以模得到。
空间向量及其运算
空间向量及其运算1．空间向量(1)定义：空间中既有大小又有方向的量称为空间向量． (2)模(或长度)：向量的大小． (3)表示方法：①几何表示法：可以用有向线段来直观的表示向量，如始点为A 终点为B 的向量，记为AB →，模为|AB →|．②字母表示法：可以用字母a ，b ，c ，…表示，模为|a |，|b |，|c |，…． 2.【几类特殊的向量】(1)零向量：始点和终点相同的向量称为零向量，记作0． (2)单位向量：模等于1的向量称为单位向量．(3)相等向量：大小相等、方向相同的向量称为相等向量． (4)相反向量：方向相反，大小相等的向量称为相反向量．(5)平行向量：方向相同或者相反的两个非零向量互相平行，此时表示这两个非零向量的有向线段所在的直线平行或重合．通常规定零向量与任意向量平行． (6)共面向量：一般地，空间中的多个向量，如果表示它们的有向线段通过平移后，都能在同一平面内，则称这些向量共面． 3．空间向量的线性运算类似于平面向量，可以定义空间向量的加法、减法及数乘运算．图1 图2(1)如图1，OB →＝OA →＋AB →＝a ＋b ，CA →＝OA →－OC →＝a －b ． (2)如图2，DA →＋DC →＋DD 1→＝DB 1→．即三个不共面向量的和，等于以这三个向量为邻边的平行六面体中，与这三个向量有共同始点的对角线所表示的向量．(3)给定一个实数λ与任意一个空间向量a ，则实数λ与空间向量a 相乘的运算称为数乘向量，记作λa ．其中：①当λ≠0且a ≠0时，λa 的模为|λ||a |，而且λa 的方向：(ⅰ)当λ＞0时，与a 的方向相同；(ⅰ)当λ＜0时，与a 的方向相反． ②当λ＝0或a ＝0时，λa ＝0．(4)空间向量的线性运算满足如下运算律：对于实数λ与μ，向量a 与b ，有①λa ＋μa ＝(λ＋μ)a ；②λ(a ＋b )＝λa ＋λb ． 4．空间向量的数量积 (1)空间向量的夹角如果〈a ，b 〉＝π2，那么向量a ，b 互相垂直，记作a ⊥b ． (2)空间向量数量积的定义：已知两个非零向量a ，b ，则|a ||b |cos 〈a ，b 〉叫做a ，b 的数量积(或内积)，记作a·b ． (3)数量积的几何意义 ①向量的投影如图所示， 过向量a 的始点和终点分别向b 所在的直线作垂线，即可得到向量a 在向量b 上的投影a ′.②数量积的几何意义：a 与b 的数量积等于a 在b 上的投影a ′的数量与b 的长度的乘积，特别地，a 与单位向量e 的数量积等于a 在e 上的投影a ′的数量．规定零向量与任意向量的数量积为0. (4)空间向量数量积的性质：①a ⊥b ⇔a ·b ＝0；②a ·a ＝|a |2＝a 2；③|a ·b |≤|a ||b |；④(λa )·b ＝λ(a ·b )；⑤a ·b ＝b ·a (交换律)；5．共面向量定理如果两个向量a，b不共线，则向量a，b，c共面的充要条件是存在唯一的实数对(x，y)，使c＝x a＋y b．思考1：平面向量基本定理中对于向量a与b有什么条件，在空间中能成立吗？【名师提醒】平面向量基本定理中要求向量a与b不共线，在空间中仍然成立．【新高二数学专题】考点一概念的辨析【例1】（2020·全国高二课时练习）下列命题中，假命题是（）A．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小B．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同C．只有零向量的模等于0D．共线的单位向量都相等【新高二数学专题】1.（2020•龙岩期末）在平行六面体中，与向量相等的向量共有A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2．（2020·全国高二课时练习）在下列命题中：①若向量,a b共线，则,a b所在的直线平行；②若向量,a b所在的直线是异面直线，则,a b一定不共面；③若三个向量,a b c，三个向量一定也共面；，两两共面，则,a b c④已知三个向量,a b c=++.，，则空间任意一个向量p总可以唯一表示为p xa yb zc 其中正确命题的个数为（）A．0B．1C．2D．3考点二 空间向量的线性运算【例2】2020·江西赣州.高二期中（理））在四面体ABCD 中，点F 在AD 上，且2AF FD =，E 为BC 中点，则EF 等于（）A ．1223EF AC AB AD →→→→=+-B ．112223EF AC AB AD →→→→=--+C ．112223EF AC AB AD →→→→=-+D ．112223EF AC AB AD →→→→=-+-【新高二数学专题】1.（多选题）已知平行六面体ABCD A B C D ''''-，则下列四式中其中正确的有（ ） A ．AB CB AC -= B ．AC AB B C CC ''''=++ C ．AA CC ''=D ．AB BB BC C C AC '''+++=2．（2020·宝山.上海交大附中高二期末）在平行六面体1111ABCD A BC D -中，M 为11AC 与11B D 的交点，若,AB a AD b ==,1AA c =，则与BM 相等的向量是（ ）A ．1122a b c ++B ．1122a b c --+C ．1122a b c -+D ．1122-++a b c3．（2020·张家口市宣化第一中学高二月考）如图，在空间四边形ABCD 中，设E ，F 分别是BC ，CD 的中点，则AD +12（BC -BD ）等于（ ）A ．ADB ．FAC ．AFD ．EF 考点三 空间向量的共线、共面问题【例3】如图所示，在空间四边形ABCD 中，点E ，F 分别是AB ，CD 的中点，请判断向量EF 与AD ＋BC 是否共线？【例4】（2020•珠海期末）已知A ，B ，C 三点不共线，点M 满足．，，三个向量是否共面点M 是否在平面ABC 内【新高二数学专题】1．（2020·全国高二）O 为空间中任意一点，A ，B ，C 三点不共线，且3148OP OA OB tOC =++，若P ，A ，B ，C 四点共面，则实数t ＝______． 2．（2020•日照期末）如图所示，已知矩形ABCD 和矩形ADEF 所在的平面互相垂直，点M ，N 分别在对角线BD ，AE 上，且，．求证：向量，，共面．3.（2020·浙江高二期末）在棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -中，,,E F G 分别在棱1,,BB BC BA 上，且满足134BE BB =，12BF BC =，12BG BA =，O 是平面1B GF ，平面ACE 与平面11B BDD 的一个公共点，设BO xBG yBF zBE =++，则x y z ++= A.45B.65C.75D.85考点四 空间向量的数量积【例5】 （2020·山东高二期末（理））在棱长为2的正四面体ABCD 中，E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则(AE CF ⋅= ) A ．0B ．2-C ．2D ．3-【例6】 （2020·全国高二课时练习）已知平行六面体ABCD ﹣A ′B ′C ′D ′中，AB ＝4，AD ＝3，AA ′＝5，∠BAD ＝90°，∠BAA ′＝∠DAA ′＝60°.。
空间向量的概念与运算
空间向量的概念与运算空间向量是三维空间中一个重要的概念，它由大小和方向组成，并可以用于解决各种几何和物理问题。
本文将介绍空间向量的定义、表示方法以及相应的运算法则。
一、空间向量的定义空间向量是指在三维空间中的一个有大小和方向的矢量。
它可以用箭头来表示，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。
通常用字母a、b、c等表示空间向量。
二、空间向量的表示方法空间向量可以用坐标表示法和分量表示法来表示。
1. 坐标表示法：在直角坐标系中，空间向量可以用一个起点和一个终点的坐标来表示。
设向量a的起点坐标为（x1, y1, z1），终点坐标为（x2, y2, z2），则向量a的坐标表示为：a = (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1)2. 分量表示法：将一个向量在坐标轴上的投影称为该向量的分量。
设向量a的分量在x、y、z三个轴上分别为ax, ay, az，则向量a可以表示为：a = axi + ayj + azk这里，i、j、k是三个相互垂直的单位向量，分别沿x、y、z轴正方向。
三、空间向量的运算法则空间向量的运算包括加法、减法和数量乘法三种基本运算法则。
1. 加法：对于两个空间向量a和b，它们的和向量c可以通过将两个向量的对应分量相加得到：c = (ax + bx)i + (ay + by)j + (az + bz)k2. 减法：对于两个空间向量a和b，它们的差向量d可以通过将第一个向量的对应分量减去第二个向量的对应分量得到：d = (ax - bx)i + (ay - by)j + (az - bz)k3. 数量乘法：一个向量与一个实数的乘积等于将该向量的每个分量都乘以该实数：ka = k(axi + ayj + azk) = (kax)i + (kay)j + (kaz)k其中，k为实数。
空间向量的概念与运算对于解决各种几何和物理问题起着重要的作用。
它可以用于求解距离、角度、投影等问题，并且在力学、电磁学等学科中得到广泛应用。
高中数学空间向量的相关概念及解答方法
高中数学空间向量的相关概念及解答方法一、引言空间向量是高中数学中的重要概念之一，它是描述空间中点的位置和方向的工具。
在解题过程中，我们常常会遇到与空间向量相关的问题。
本文将介绍空间向量的相关概念，并提供解答方法和技巧，帮助高中学生更好地理解和应用空间向量。
二、基本概念1. 空间向量的定义空间中的向量是由起点和终点确定的有向线段，它具有大小和方向。
我们可以用字母加上箭头来表示一个空间向量，如AB→表示从点A到点B的向量。
2. 向量的模与方向角向量的模表示向量的长度，用|AB→|表示。
方向角是向量与坐标轴正方向之间的夹角，通常用α表示。
3. 向量的加法与减法向量的加法是指将两个向量的起点相连，构成一个新的向量。
向量的减法是指用一个向量的终点减去另一个向量的起点，得到一个新的向量。
4. 向量的数量积与向量积向量的数量积是指两个向量的模的乘积与它们夹角的余弦值的乘积。
向量的向量积是指两个向量的模的乘积与它们夹角的正弦值的乘积。
三、解答方法与技巧1. 利用向量的平行关系当两个向量平行时，它们的方向角相等或互补。
利用这一性质，我们可以通过已知向量的方向角来求解未知向量的方向角。
例如，已知向量AB→与向量CD→平行，且α为AB→的方向角，β为CD→的方向角。
我们可以得到α=β或α+β=180°。
利用这一关系，我们可以求解未知向量的方向角。
2. 利用向量的共线关系当三个或多个向量共线时，它们的数量积为0。
利用这一性质，我们可以通过已知向量的数量积来求解未知向量的模或方向角。
例如，已知向量AB→与向量CD→共线，且|AB→|=a，|CD→|=b，α为AB→与CD→的夹角。
根据共线向量的性质，我们有a·b·cosα=0。
利用这一关系，我们可以求解未知向量的模或方向角。
3. 利用向量的垂直关系当两个向量垂直时，它们的数量积为0。
利用这一性质，我们可以通过已知向量的数量积来求解未知向量的模或方向角。
空间向量认识空间向量的运算方法
空间向量认识空间向量的运算方法空间向量是三维空间中具有大小和方向的矢量，它在许多科学和工程领域中都有广泛的应用。
在本文中，我们将介绍空间向量的概念、属性以及运算方法。
一、空间向量的定义和属性在三维坐标系中，空间向量可以表示为一个有序三元组 (x, y, z)，其中 x、y、z 分别表示向量在各个坐标轴上的分量。
空间向量具有以下属性：1. 大小：空间向量的大小由其模长表示，记为 ||V||，计算公式为||V|| = √(x² + y² + z²)。
2. 方向：空间向量的方向由其分量决定，可以用一条有向线段表示，箭头所指的方向即为向量的方向。
3. 零向量：所有分量为零的向量称为零向量，记作 O 或 0。
二、空间向量的运算方法1. 空间向量的加法：设有两个空间向量 A(x₁, y₁, z₁) 和 B(x₂, y₂, z₂)，它们的向量和为 C(x₃, y₃, z₃)。
向量和的计算公式为 C = A + B，即每个分量相加：x₃ = x₁ + x₂，y₃ = y₁ + y₂，z₃ = z₁ + z₂。
2. 空间向量的减法：设有两个空间向量 A(x₁, y₁, z₁) 和 B(x₂, y₂, z₂)，它们的向量差为 C(x₃, y₃, z₃)。
向量差的计算公式为 C = A - B，即每个分量相减：x₃ = x₁ - x₂，y₃ = y₁ - y₂，z₃ = z₁ - z₂。
3. 空间向量的数量乘法：设有一个空间向量 A(x, y, z) 和一个实数 k，向量 A 的数量乘积为 B(x₁, y₁, z₁)。
数量乘积的计算公式为 B = kA，即将 A 的每个分量分别乘以 k：x₁ = kx，y₁ = ky，z₁ = kz。
4. 点乘（内积）：设有两个空间向量 A(x₁, y₁, z₁) 和 B(x₂, y₂,z₂)，它们的点乘结果为一个标量（数量）。
点乘的计算公式为 AB =x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂，即将两个向量对应分量相乘后相加。
知识讲解_空间向量及其线性运算
空间向量及其线性运算．【要点梳理】要点一：空间向量的相关概念 1．空间向量的定义：空间向量：空间中，既有大小又有方向的量；空间向量的表示：一种是用有向线段AB u u u r表示，A 叫作起点，B 叫作终点；一种是用小写字母a （印刷体）表示，也可以用a r（而手写体）表示．向量的长度（模）：表示空间向量的有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作||AB uuu r或||a r .向量的夹角：过空间任意一点O 作向量a b ，的相等向量OA 和OB ，则↓AOB 叫作向量a b ，的夹角，记作ℵa b ，∠，规定0⇒ℵa b ，∠⇒π．如图：要点诠释：（1）空间中点的一个平移就是一个向量；（2）数学中讨论的向量是自由向量，即与向量的起点无关，只与大小和方向有关. 只要不改变大小和方向，空间向量可在空间内任意平移；（3）要确定向量a b ，的夹角必须将它们平移到同一起点；（4）当ℵa b ，∠=0或π时，向量a ，b 平行，记作a ⎩b ；当 ℵa b ，∠=2π时，向量 a b ，垂直，记作a ⊥b . 2．空间向量的有关概念：零向量：长度为0或者说起点和终点重合的向量，记为0．规定：0与任意向量平行．单位向量：长度为1的空间向量，即||1a =r．相等向量：方向相同且模相等的向量． 相反向量：方向相反但模相等的向量．共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．aρ平行于b ρ记作b a ρϖ//，此时．ℵa b ，∠=0或ℵa b ，∠=π．共面向量：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量． 要点诠释：（1）当我们说向量a ρ、b ρ共线（或a ρ//b ρ）时，表示a ρ、b ρ的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线．（2）向量在空间中是可以平移的．空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，因此我们说空间任意两个向量是共面的．（3）对于任意一个非零向量a ，我们把aa 叫作向量a 的单位向量，记作0a .0a 与a 同向.要点二：空间向量的加减法 1．向量加法与减法的定义空间中任意两个向量都是共面的，它们的加、减法运算类似于平面向量的加减法．（如下图）．2．向量加减法的运算律交换律：a b b a +=+r r r r；结合律：()()a b c a b c ++=++r r r r r r.要点诠释： （1）空间向量的运算是平面向量运算的延展，空间向量的加法运算仍然满足平行四边形法则和三角形法则．而且满足交换律、结合律，这样就可以自由结合运算，可以将向量合并；（2）向量的减法运算是向量加法运算的逆运算，满足三角形法则． （3）空间向量加法的运算的小技巧：① 首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，即：12233411n n n A A A A A A A A A A -++++=u u u u r u u u u u r u u u u u r u u u u u u r u u u u r L因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量； ② 首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量，即：122334110n n n A A A A A A A A A A -+++++=u u u u r u u u u u r u u u u u r u u u u u u r u u u u r u u r L ；要点三：空间向量的数乘运算1．向量数乘的定义：空间向量a 与实数λ的乘积a λ仍是一个向量，称为向量的数乘运算．满足： （1）|λa |=|λ||a |．当λ＞0时，a λ与a 方向相同；（2）当λ＞0时，a λ与a 方向相同；当λ< 0时，a λ与a 方向相反；当λ= 0时，a λ=0．如右图所示．2．向量数乘的运算律分配律：λ (a +b )=a λ+b λ，（λ+μ）a =a λ+μa （λ ，μ↑R ）； 结合律：λ (μa )= (λμ) a （λ ，μ↑R ）．要点诠释：（1）实数λ与空间向量a 的乘积a λ（λ∈R ）为空间向量的数乘运算，空间向量的数乘运算可把向伸长或缩短或改为反方向的向量，当0＜λ＜1时，向量缩短；当λ＞1时，向量伸长；当λ＜0时，改为反方向的向量．（2）注意实数与向量的积的特殊情况，当λ=0时，a λ=0；当λ≠0时．若a ≠0时，有a λ≠0．（3）实数与向量可以求积，但是不能进行加减运算，比如：λ+a ，λ－a 无意义． 要点四：空间向量的数量积 1．数量积的定义空间中两个向量a 和b 的数量积是一个数，等于|a ||b |cos 〈a ，b 〉，记作a ·b ，即a ·b =|a ||b |cos 〈a ，b 〉．要点诠释：（1）由于空间任意两个向量都可以转化为共面向量，所以空间两个向量的夹角的定义和取值范围、两个向量垂直的定义和表示符号及向量的模的概念和表示符号等，都与平面向量相同．（2）两向量的数量积，其结果是数而非向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积，其符号由夹角的余弦值决定．（3）两个向量的数量积是两向量的点乘，与以前学过的向量之间的乘法是有区别的，在书写时一定要将它们区别开来，不可混淆． 2.空间向量数量积的性质设,a b rr 是非零向量，e r 是单位向量，则（1）||cos ,a e e a a a e ⋅=⋅=<>r r r r r r r；（2）0a b a b ⊥⇔⋅=r rr r ；（3）2||a a a =⋅r r r或||a =r（4）cos ,||||a b a b a b ⋅<>=⋅r r r rr r ；（5）||||||a b a b ⋅≤⋅r r r r .3．空间向量的数量积满足如下运算律： （1）交换律：a ·b b =·a ； （2）分配律：a ·b c +=（）a ·b a?c + b+a ·c ；（3）(λa )·b =λ()a?b ． 要点诠释：（1） 对于三个不为0的实数a b c 、、，若a?b a?c =，则b c =；对于三个不为0的向量，若a b b c =g g 不能得出b c =，即向量不能约分．（2） 若a?b k =，不能得出a b k =（或b ak=），就是说，向量不能进行除法运算． （3） 对于三个不为0的实数，a b c 、、有()()ab c a bc =，对于三个不为0的向量a b c 、、，有()()a b c a b c ≠g g ，向量的数量积不满足结合律．要点五：共线定理1. 共线定理空间任意两个向量a 与b （b ≠0）共线的充要条件是存在实数λ，使a ≠b λ． 要点诠释：（1）此定理可分解为以下两个命题：① a ∥b （b ≠0）⇒存在唯一实数λ，使得a =b λ； ② 存在唯一实数λ，使得a =b λ（b ≠0），则a ∥b ． （2）b ≠0不可丢掉，否则实数λ就不唯一．（3）当b =0时，对于任意一个向量a ，a ∥b 恒成立. 2．共线定理的用途：①判定两条直线平行（进而证线面平行）； ②证明三点共线．注意：证明平行时，先从两直线上取有向线段表示两个向量，然后利用向量的线性运算证明向量共线，进而可以得到线线平行，这是证明平行问题的一种重要方法．证明三点共线问题，通常不用图形，直接利用向量的线性运算即可，但一定要注意所表示的向量必须有一个公共点．要点六：共面定理 1．共面向量的定义通常把平行于同一平面的向量，叫做共面向量．注意： 空间任两个向量是共面的，但空间任三个向量就不一定共面了．2．共面向量定理．如果两个向量,a b r r 不共线，p r与向量,a b r r 共面的充要条件是存在唯一的有序 实数对（,x y ），使p xa yb =+r r r．推论：空间一点P 位于平面MAB 内的充分必要条件是存在有序实数对,x y ，使MP xMA yMB =+u u u r u u u r u u u r或对空间任一点O ，有OP OM xMA yMB =++u u u r u u u u r u u u r u u u r，上式叫做平面MAB 的向量表达式． 3．共面向量定理的用途： ① 证明四点共面② 证明线面平行（进而证面面平行）． 【典型例题】类型一：空间向量的线性运算例1. 已知平行六面体''''ABCD A B C D -，M 是AA ＇的中点，点G 在对角线'A C 上且CG GA ∶＇=2∶1，设CD=CB=CC'=u u u r u u u r u u u r，，a b c ，试用、、a b c 表示CA u u u r 、'CA u u u r 、CM u u u u r 、CG u u u r ．【思路点拨】 要想用、、a b c 表示所给出的向量，只需结合图形充分利用空间向量的线性运算律即可． 【解析】如图所示．CA CB BA a b =+=+u u u r u u u r u u u r．'''CA CA AA CA CC a b c =+=+=++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r．11'22CM CA AM CB CD CC a b c =+=++=++u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u u r ．22'()33CG CA a b c ==++u u u r u u u r ．【总结升华】 在用已知向量表示未知向量的时候，要注意寻求两者之间的关系，通常可将未知向量进行一系列的转化，将其转化到与已知向量在同一四边形（更多的是平行四边形）或三角形中，从而可以建立已知与未知之间的关系式．另外，在平行六面体中，要注意相等向量之间的代换．例如，在求'CA u u u r 时，利用了''AA CC =u u u r u u u u r ，把'AA u u u r转化为'CC u u u u r．把一个向量用其他向量来表示，其实质就是把一个向量进行分解，这也是为学习向量共面定理和向量的空间坐标表示奠定基础．举一反三：【变式1】如图，在平行六面体1111D C B A ABCD -中，M 为11C A 与11D B MC1CB1D1A1ABD的交点．若AB a =u u u r r ，AD b =u u u r r ，1AA c =u u u r r，则下列向量中与BM 相等的向量是（ ）()A 1122a b c -++r r r ()B 1122a b c ++r r r()C 1122a b c --+r r r ()D c b a +-2121【答案】A显然 =+-=+=111)(21AA AB AD M B BB BM 1122a b c -++r r r ．【变式2】如图，设四面体ABCD 的三条棱AB =u u u r b ，AC =u u u r c ，AD =u u u rd ，Q 为△BCD 的重心，M 为BC 的中点，试用b 、c 、d 表示向量DM u u u u r 、AQ uuu r．【答案】DM u u u u r 1(2)2=+-b c d ；AQ uuu r =()1++3b c d∵ M 为BC 的中点，∴ 11()[()()]22DM DB DC =+=-+-u u u u r u u u r u u u r b d c d 1(2)2=+-b c d ，23AQ AD DQ DM =+=+u u u r u u u r u u u r u u u u r d 11(2)()33=++-=++d b c d b c d ．【变式3】已知在平行六面体''''ABCD A B C D -中，设CD a =u u u r ，CB b =u u u r ，'CC c =u u u u r， 试用向量a 、b 、c 来表示向量CA u u u r、'CA u u u r .【答案】CA u u u r=+a b ；'CA =++a b c u u u r在平行六面体''''ABCD A B C D -中，四边形ABCD 是平行四边形， CA CB CD =+=+=+b a a b u u u r u u u r u u u r.又因为四边形''ACC A 为平行四边形， ∴'''CA CA CC CB CD CC =+=++=++a b c u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u u r.例2. 如右图，在长方体1111—ABCD A B C D 中，下列各式中运算结果为向量1BD u u u u r的是（ ）． ①111()A D A A AB --u u u u r u u u r u u u r ； ②111()BC BB DC +-u u u r u u u r u u u u r ； ③1()AD AB DD --u u u r u u u r u u u u r ； ④1111()B D A A DD -+u u u u r u u u r u u u u r ．A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④ 【思路点拨】 在进行减法运算时，可将减去一个向量转化为加上这个向量的相反向量，而在进行加法运算时，首先考虑这两个向量在哪个平面内，然后像平面向量求和那样，运用向量运算定律、平行四边形法则、三角形法则及多边形法则来求解．【答案】A 【解析】① 1111111()A D A A AB A D AA BA BD --=++=u u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u u r ；②1111111111()BC BB DC BC BB C D BC C D BD +-=++=+=u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r ；③11111111()22AD AB DD BD D D BD DD BD DD DD BD DD BD --=+=-=+-=-≠u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r ； ④111111*********()B D A A DD B D AA DD B D BB DD BD DD BD -+=++=++=+≠u u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r．因此，①②两式的运算结果为向量1BD u u u u r ，而③④两式运算的结果不为向量1BD u u u u r．故选A ．【总结升华】化简向量表达式主要是利用平行四边形法则或三角形法则，遇到减法时既可转化为加法，也可按减法法则进行运算，加、减之间可以相互转化．表达式中各向量系数相等时，根据数乘分配律，可以把相同的系数提到括号外面．举一反三：【变式1】如图，已知长方体''''ABCD A B C D -，化简下列向量表达式：（1）'AA CB -u u u r u u u r ；（2）111'222AD AB A A +-u u ur u u u r u u u u r ．【解析】 化简向量时，一般先用平行四边形得到相等的向量或相反向量，再将它们转化为具有同一起点的向量，最后利用三角形法则或平行四边形法则化简．（1）''''AA CB AA BC AA AD AD -=+=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r ；（2）111111''222222AD AB A A AD AB AA +-=++u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r 11(')'22AD AB AA AC =++=u u u r u u u r u u u r u u u ur ．【变式2】 已知平行六面体1111ABCD A B C D -，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量：（1） 1AB AD AA ++u u u r u u u r u u u r； （2） 1DD AB BC -+u u u r u u u r u u u r ；【答案】 (1)11AB AD AA AC ++=u u u r u u u r u u u r u u u u r ；(2) 11DD AB BC BD -+=u u u r u u u r u u u r u u u u r【变式3】如图，已知平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点，化简下列向量表达式：（1）111AA A B +u u u r u u u u r ；（2）11111122A B A D +u u u ur u u u u r ；（3）111111122AA A B A D ++u u u r u u u u r u u u u r ；（4）1111AB BC CC C A A A ++++u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u r ．【答案】向量的加法利用平行四边形法则或三角形法则，封闭图形，首尾连接的向量的和为0．MC1CB1D1A1BD（1）1111AA A B AB +=u u u r u u u u r u u u r ；（2）111111*********()2222A B A D A B A D AC A M +=+==u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r ；（3）11111111122AA A B A D AA A M AM ++=+=u u u r u u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u u r ；（4）11110AB BC CC C A A A ++++=u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u r r ．例3．若三棱锥O ABC 中，G 是ΔABC 的重心，求证：1()3OG OA OB OC =++u u u r u u u r u u u r u u u r .【思路点拨】 先在ΔOBC 中考虑中线OD ，然后在ΔOAD 中考虑G 为AD 的分点，分成的比是2：1，两次使用向量的运算性质，把相关向量用,,OA OB OC u u u r u u u r u u u r表示即可．【解析】如图所示，∵G 是ΔABC 的重心，∴2AG GD =u u u r u u u r，D 为BC 的中点，∴22()33OG OA AG AD OA OD OA OA =+=+=-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r21[()]321()3OB OC OA OA OA OB OC =+-+=++u u ur u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r u u u r【总结升华】(1) 灵活应用向量的运算法则是解此类题目的关键；(2) 此类例题常用到结论：若OD 是ΔOBC 的中线，则有1OD (OB OC)2=+u u u r u u u r u u u r举一反三：【变式1】在如图所示的平行六面体中，求证：''2'AC AB AD AC ++=u u u r u u u u r u u u u r u u u u r．【答案】证明如下：因为 平行六面体的六个面均为平行四边形，所以 AC AB AD =+u u u r u u u r u u u r ，''AB AB AA =+u u u u r u u u r u u u r ，''AD AD AA =+u u u u r u u u r u u u r，所以 ''AC AB AD ++u u u r u u u u r u u u u r ()(')(')AB AD AB AA AD AA =+++++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 2(')AB AD AA =++u u u r u u u r u u u r， 又由于 ''AA CC =u u u r u u u u r ，AD BC =u u u r u u u r，所以 ''AB AD AA AB BC CC ++=++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r ''AC CC AC =+=u u u r u u u u r u u u u r， 所以 ''2'AC AB AD AC ++=u u u r u u u u r u u u u r u u u u r．【变式2】如图，在四边形ABCD 中，E F 、分别为AD BC 、的中点，试证：1()2EF AB DC =+u u u r u u u r u u u r．【答案】证明如下：因为 EF EA AB BF =++u u u r u u u r u u u r u u u r①EF ED DC CF =++u u u r u u u r u u u r u u u r②①+②得2()()EF EA AB BF ED DC CF AB DC =+++++=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ．所以 1()2EF AB DC =+u u u r u u u r u u u r．例4.已知正方体''''ABCD A B C D -，点E 是上底面''''A B C D 的中心，求下列各式中x y z 、、的值：（1）''BD xAD y AB z AA =++u u u u r u u u r u u u r u u u r ； （2）'AE x AD y AB z AA =++u u u r u u u r u u u r u u u r ．【思路点拨】根据向量运算法则，用向量AD u u u r 、AB u u u r 、'AA u u u r 表示BD u u u r 和AE u u u r，然后利用向量相等来确定x y z、、的值．【解析】（1）∵'''BD BD DD AB AD AA =+=-++u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r，又∵''BD xAD y AB z AA =++u u u u r u u u r u u u r u u u r，∴11 1.x y z ===，， ． （2）∵1'''''2AE AA A E AA A C =+=+u u u r u u u r u u u u r u u u ru u u u ur 1'('''')2AA A B A D =++u u u r u u u u u r u u u u u r 1111''''''2222AA A B A D AD AB AA =++=++u u u r u u u u u r u u u u u r u u u r u u u r u u u r ，又∵'AE x AD y AB z AA =++u u u r u u u r u u u r u u u r ，∴12x =，12y =，1z =． 【总结升华】任何空间向量都可以用三个不共面向量（即是一组基向量）唯一的表示．举一反三：【变式】已知''''ABCD A B C D -是平行六面体．（1）化简12'23AA BC AB ++u u u r u u ur u u u r ，并在图中标出其结果；（2）设M 是底面ABCD 的中心，N 是侧面''BCC B 对角线'BC 上的34分点，设'MN AB AD AA αβγ=++u u u u r u u u r u u u r u u u r ，试求α、β、γ的值．【答案】12α=，14β=，34γ=（1）如图所示，取'AA 的中点为E ，则1''2AA EA =u u u r u u ur取F 为''D C 的一个三等分点，则2'3D F AB =u u u u r u u u r又''BC A D =u u u r u u u u u r ，''AB D C =u u u r u u u u u r ，∴12'''''23AA BC AB EA A D D F EF ++=++=u u u r u u ur u u u r u u u r u u u u u r u u u u r u u u r ．（表示法不唯一） （2）13'24MN MB BN DB BC =+=+u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r 13()(')24DA AB BC CC =+++u u u r u u u r u u u r u u u u r13113()(')'24244AD AB AD AA AB AD AA =-+++=++u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r u u u r ∴12α=，14β=，34γ=．类型二：空间向量的数量积例5．已知向量a b ⊥r r ，向量c r 与,a b r r 的夹角都是60o，且||1,||2,||3a b c ===r r r ，试求：（1）2(2)a b c +-r r r ； （2）(32)(3)a b b c -⋅-r r r r ． 【思路点拨】和平面向量一样，空间向量数量积运算类似于多项式的乘法.【解析】∵向量a b ⊥r r ，向量c r 与,a b r r 的夹角都是60o，且||1,||2,||3a b c ===r r r ，∴22231,4,9,0,cos60,cos6032a b c a b a c a c b c b c ===•=•=•=•=•=o or r r r r r r r r r r r r（1）2(2)a b c +-r r r =222(2)2224a b c a b a c b c +++•-•-•r r r r r r r rr＝1+16+9+0-3-12=11；（2）(32)(3)a b b c -⋅-r r r r =2333223a b a c b b c •-•-+•r r r r r r r ＝0-272-8+18=72.【总结升华】向量的数量积运算除不满足乘法结合律外，其它都满足，所以其运算和实数的运算基本相同.举一反三：【变式1】设向量a 与b 互相垂直，向量c 与它们构成的角都是60°，且|a |=5，|b |=3，|c |=8，那么()()33-2a c b a +⋅= ；()22-3+a b c = .【答案】-62；373()()33232963cos9029cos606cos6062++=︒+︒-︒=-22a cb a =a b ac b a ca b a c b a c g g g g. 同理可得()223+-a b c =373【变式2】已知：0a b c ++=r r r r ， 314|a |,|b |,|c |===r r r，试计算a b b c c a ⋅+⋅+⋅r r r r r r .【答案】13由 0a b c ++=r r r r ，可得 0a b c a b c ++⋅++=r r r r r r （）（）⇒2222220|a ||b ||c |a b b c c a +++⋅+⋅+⋅=r r r r r r r r r . ∵ 314|a |,|b |,|c |===r r r，∴ 13a b b c c a ⋅+⋅+⋅=-r r r r r r.例6. 如右图，已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角线长都等于a ，点E F G 、、分别是AB AD DC 、、的中点，求下列向量的数量积．（1）AB AC ⋅u u u r u u u r ； （2）AD BD ⋅u u u r u u u r ； （3）GF AC ⋅u u u r u u u r ； （4）EF BC ⋅u u u r u u u r．【思路点拨】首先要在空间四边形中选一组恰当的基底. 【解析】 在空间四边形ABCD 中，（1） ∵||||AB AC a ==u u u r u u u r ，,60AB AC 〈〉=︒u u u r u u u r，∴21cos602AB AC a a a ⋅=⋅︒=u u u r u u u r ．（2） ∵||AD a =u u u r ，||BD a =u u u r ，,60AD BD 〈〉=︒u u u r u u u r ， ∴221cos602AD BD a a ⋅=︒=u u u r u u u r ．（3） ∵1||2GF a =u u u r ，||AC a =u u u r ，又//GF AC u u u r u u u r ，∴,GF AC π〈〉=u u u r u u u r,∴2211cos 22GF AC a a π⋅==-u u u r u u u r ．（4）∵1||2EF a =u u u r ，||BC a =u u u r，//EF BD u u u r u u u r ，∴,,60EF BC BD BC 〈〉=〈〉=︒u u u r u u u r u u u r u u u r ，∴2211cos6024EF BC a a ⋅=︒=u u u r u u u r ．【总结升华】 求空间向量数量积的运算同平面向量一样，关键在于确定两个向量之间的夹角以及它们的模，利用公式：cos =a b a b a b g ，即可顺利计算．举一反三：【变式】已知在长方体''''?ABCD A B C D 中，'2AB AA ==，4AD =，E 为侧面''AA B B 的中心，F 为''A D 的中点．求下列向量的数量积：（1）'BC ED ⋅u u u r u u u u r ； （2）'EF FC ⋅u u u r u u u u r ．【答案】 (1)'(''')'''04416BC ED BC EA A D BC EA BC A D ⋅=⋅+=⋅+⋅=+⨯=u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u u r(2)'('')(''')''''''''''EF FC EA A F FD D C EA FD EA D C A F FD A F D C ⋅=++=⋅+⋅+⋅+⋅u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u u u r u u u r u u u u r u uu r u u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u u u r04400=-++=.类型三：共线向量定理的应用例7． 证明：在四面体中连接对棱中点的三条直线交于一点且互相平分．（此点称为四面体的重心） 【思路点拨】 如图．在四面体ABCD 中，E 、F 、G 、H 、P 、Q 分别是所在棱的中点，要证明EF 、GH 、PQ 相交于一点O ，且O 为它们的中点．【解析】 ∵E 、G 分别为AB 、AC 的中点，∴1//2EG BC ，同理1//2HF BC ， ∴//EG HF ．从而四边形EGFH 为平行四边形，故其对角线EF 、GH 相交于一点O ，且O 为它们的中点．连接OP 、OQ ．只要能证明向量OP OQ =-u u u r u u u r，就可以说明P 、O 、Q 三点共线，且O 为PQ 的中点．事实上，OP OG GP =+u u u r u u u r u u u r ，OQ OH HQ =+u u u r u u u r u u u r ，而O 为GH 的中点，∴OG OH +=0u u u r u u u r ，1//2GP CD ，1//2QH CD ．∴12GP CD =u u u r u u u r ，12QH CD =u u u r u u u r ．∴1122OP OQ OG OH GP HQ CD CD +=+++=+-=00u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r ．∴OP OQ =-u u u r u u u r ．∴PQ 经过O 点，且O 为PQ 的中点．即证得EF 、GH 、Q 相交于点O ，且O 为它们的中点，故原命题得证．【总结升华】 利用共线向量定理可以判定两直线平行、证明三点共线．证平行时，先从直线上取有向线段来表示两个向量，然后利用向量的线性运算证明向量共线，进而可以得到线线平行，此为证明平行问题的一种重要方法；证明三点共线问题时，通常不用图形．直接利用向量的线性运算，但一定要注意所表示的向量必须有一个公共点．举一反三：【变式1】设1e 、2e 是平面上不共线的向量，已知122AB k =+u u u r e e ，123CB =+u u u r e e ，122CD =-u u u re e ，若A B D 、、三点共线，求k 的值．【答案】8由共线的向量定理列出关系式．∵121212(2)(3)4BD CD CB =-=--+=-u u u r u u u r u u u re e e e e e ，122AB k =+e e ．又∵A 、B 、D 三点共线， 由共线向量定理，得142k=-，∴8k =-． 【变式2】如图所示，已知空间四边形ABCD ，E 、H 分别是边AB 、AD 的中点，F 、G 分别是CB 、CD 上的点，且23CF CB =u u u r u u u r ，23CG CD =u u u r u u u r．求证：四边形EFGH 是梯形．【答案】证明过程如下：∵ E 、H 分别是边AB 、AD 的中点， ∴12AE AB =u u u r u u u r ，12AH AD =u u u u r u u u r ，1111()2222EH AH AE AD AB AD AB BD =-=-=-=u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r113333()()222244CD CB CG CF CG CF FG ⎛⎫=-=-=-= ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， ∴//EF FG u u u r u u u r 且3||||||4EH FG FG =≠u u u r u u u r u u u r，又F 不在EH 上，∴四边形EFGH 是梯形．【变式3】如图，在平行六面体1111—ABCD A B C D 中，E F G 、、分别是11111A D D D D C 、、的中点． 求证：平面EFG ∥平面1AB C ．【答案】用共线向量定理证明线线平行，从而证明面面平行．证明：设AB =u u u r a ，AD =u u u r b ，1AA =u u u r c ， 则111()2EG ED D G =+=+u u u r u u u u r u u u u r a b ， ∴2AC EG =+=u u u r u u u r a b ， ∴//EG AC u u u r u u u r，∴EG ∥AC又∵11111()222EF ED D F =+=-=-u u u r u u u u r u u u u r b c b c ，∴11112BC BC C C EF =+=-=u u u r u u u u r u u u u r u u u r b c ，∴1//EF BC u u u r u u u r ，EF ∥B 1C ．又∵EG 与EF 相交，AC 与B 1C 相交， ∴平面EFG ∥平面AB 1C ． 类型四：共面向量及应用 例8．已知ABCD Y，从平面AC 外一点O 引向量,,,OE kOA OF KOB OG kOC OH kOD ====u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r，（1）求证：四点,,,E F G H 共面；（2）平面AC //平面EG ． 【解析】（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AC AB AD =+u u u r u u u r u u u r，∵EG OG OE =-u u u r u u u r u u u r()()()k OC k OA k OC OA k AC k AB AD k OB OA OD OA OF OE OH OE EF EH=⋅-⋅=-==+=-+-=-+-=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r ∴,,,E F G H 共面；（2）∵()EF OF OE k OB OA k AB =-=-=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，又∵EG k AC =⋅u u u r u u u r ，∴//,//EF AB EG AC所以，平面//AC 平面EG ．【总结升华】在用共面向量定理及其推论的充要条件进行向量共面判断的时候，首先要选择恰当的充要条件形式，然后对照形式将已知条件进行转化运算．【变式】已知,,A B C 三点不共线，对平面外任一点，满足条件122555OP OA OB OC =++u u u r u u u r u u u r u u u r，试判断：点P 与,,A B C 是否一定共面？【答案】由题意：522OP OA OB OC =++u u u r u u u r u u u r u u u r，∴()2()2()OP OA OB OP OC OP -=-+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，∴22AP PB PC =+u u u r u u u r u u u r ，即22PA PB PC =--u u u r u u u r u u u r ，∴点P 与,,A B C 共面．例9．如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D －中，O 是11B D 的中点． 求证：1B C ∥平面ODC ． 【解析】11111===C B C D C C a b c u u u u r u u u u u r u u u u r，，，（1）利用共面向量定理证明线面平行时，只需考虑一个向量可以用平面内的两个不共线的向量表示即可． （2）利用共面向量定理证明四点共面时，通常构造有公共起点的三个向量，用其中的两个向量线性表示另一个向量，得到向量共面，即四点共面． 举一反三：【变式1】已知斜三棱柱111ABC A B C -，设AB a =u u u r r ，AC b =u u u r r， 1AA c =u u u r r．在面对角线1AC 和棱BC 上分别取点M 和N ， 1AM k AC =u u u u r u u u r ， BN k BC =u u u r u u u r（01k ≤≤）．求证：MN u u u u r 与向量 a r ，c r共面．【答案】证明如下：1AM k AC =u u u u r u u u r Q ，∴1()MA k AC k b c =-=-+u u u r u u u r r r()()(1)MN MA AB BN k b c a k b a k a kc =++=-+++-=--u u u u r u u u r u u u r u u u r r r r r r r r∴MN u u u u r 与向量 a r ，c r共面．【变式2】 如右图，已知矩形ABCD 和矩形ADEF 所在平面互相垂直，点M N ，分别在对角线BD AE ，上，且13BM BD =，13AN AE =． 求证：MN ∥平面CDE ． 【答案】证明： 如题图，因为M 在BD 上，且13BM BD =， 所以 111333MB BD DA AB ==+u u u r u u u r u u u r u u u r．同理 1133AN AD DE =+u u u r u u u r u u u r．所以 MN MB BA AN =++u u u u r u u u r u u u r u u u r 11113333DA AB BA AD DE ⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r21213333BA DE CD DE =+=+u uu r u u u r u u u r u u u r ． 又 CD uuu r 与DE u u u r不共线，根据向量共面的充要条件可知MN u u u u r ，CD uuu r ，DE u u u r共面．由于 MN 不在平面CDE 内， 所以 MN ∥平面CDE ．。
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方向关系
模的关系
方向相同 λa＝0，其方向是任意
的 方向相反
λa的模是 a的模的
|λ|倍
(3)空间向量的数乘运算律 设 λ、μ 是实数，则有①分配律：λ(a＋b)＝ ___λ_a_＋__λ_b_____. ②结合律：λ(μ a)＝(λμ)a. 5．空间向量的数量积 (1)定义：从空间任意一点 O 出发作O→A＝a，O→B ＝b，则 θ＝__∠_A_O__B___就是 a，b 所成的角，a， b 的数量积 a·b＝|a||b|cosθ.
3．两向量的数量积，其结果是个数量，而不是向 量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦值 的乘积，其符号由夹角的余弦值决定． 4．当a≠0时，由a·b＝0不能推出b一定是零向量， 这是因为任一个与a垂直的非零向量b，都有a·b＝ 0，这由向量的几何意义就可以理解．
向量AD→′、AC→′如图所示．
【名师点评】 化简向量表达式主要是利用平行 四边形法则或三角形法则．在化简过程中遇到减 法时可灵活应用相反向量转化成加法，也可按减 法法则进行运算，加、减法之间可相互转化．
考点二
空间向量的线性运算
空间向量加法、减法、数乘向量的意义及运算 律与平面向量类似．
例2 如图所示，已知空间四边形 ABCD 中，向量 A→B＝a，A→C＝b，A→D＝c，若 M 为 BC 中点，G 为 △BCD 的重心，试用 a、b、c 表示下列向量： (1)D→M；(2)G→M；(3)A→G.
例3 如图所示，已知平行六面体ABCD
－
A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧 棱AA1的长为b，∠A1AB＝∠A1AD＝120°， (1)求AC1的长； (2)证明：AC1⊥BD.
自我挑战2 在三棱锥SABC中，SA⊥BC， SB⊥AC，求证：SC⊥AB.
方法感悟
1．在运用空间向量的运算法则化简向量表达式 时，要结合空间图形，观察分析各向量在图形中 的表示，运用运算法则，化简到最简为止． 2．证明两向量共线的方法为：首先判断两向量中 是否有零向量．若有，则两向量共线；若两向量 a，b中，b≠0，且有a＝λb(λ∈R)，则a，b共线．
(2)数量积的运算律：
数乘向量与向量 数量积的结合律
交换律
分配律
(λa)·b＝λ(a·b)
a·b＝b·a a·(b＋c)＝a·b＋
a·c
思考感悟
2．(1)两个向量a、b垂直的充要条件是a·b＝ 0，对吗？ (2)若a·b＝0，则a＝0或b＝0，对吗？ 提示：(1)不对；(2)不对．
考点一
课堂互动讲练
【思路点拨】 连接AM得 到△ADM，利用线段中点 的向量表示和三角形的重心 的意义，在△ADM中开始 进行向量运算．
考点三
向量的数量积及应用
(1)对向量的数量积的运算律应注意以下几点： ①要准确区分两向量数量积的运算性质与数乘 向量实数与实数之积之间的差异． ②数量积运算不满足消去律． 若a、b、c(b≠0)为实数，ab＝bc⇒a＝c；但对于 向量，就不正确，即a·b＝b·c a＝c.由图可 以看出．
3．1 空间中向量的概念和运算
学习目标
课前自主学案 3.1
课堂互动讲练
知能优化训练
学习目标
1.理解空间向量的概念，掌握空间向量的几何表示 方法和字母表示方法． 2．掌握空间向量的线性运算，数量积． 3．能运用运算法则及运算律解决一些简单几何Байду номын сангаас 题．
课前自主学案
温故夯基
1．平面上有_大__小___和_方__向___的量叫作向量，方向 相同且模_相__等__的向量称为相等向量． 2．向量可以进行加减和数乘运算，向量加法满足 __交__换___律和_结__合___律．
知新益能
1．空间向量 (1)空间向量的定义 在空间，把具有_大__小___和__方__向__的量叫作空间向 量，向量的__大__小___叫作向量的长度或模．
(2)空间向量及其模的表示方法 空间向量用有向线段表示，有向线段的_长__度___ 表示向量的模．如图，a 的起点是 A，终点是 B，
则 a 也可记作__A→_B__，其模记作|A→B|或|a|.
考点突破 空间向量的加减运算
(1)计算两个空间向量的和或差时，与平面向量 完全相同．运算中掌握好三角形法则和平行四 边形法则是关键． (2)计算三个或多个空间向量的和或差时，要注 意以下几点：
①三角形法则和平行四边形法则； ②正确使用运算律； ③有限个向量顺次首尾相连，则从第一个向量的 起点指向最后一个向量的终点的向量即表示这有 限个向量的和向量．
例1 如图，已知长方体 ABCD-A′B′C′D′， 化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向 量． (1)A→A′－C→B； (2)A→A′＋A→B＋B′→C′.
【解】 (1)A→ A′－C→B＝AA→′－D→A
＝A→ A′＋A→D＝AD→′.
(2)A→ A′＋A→B＋B′→C′ ＝(A→ A′＋A→B)＋B′→C′ ＝A→ B′＋B′→C′＝A→C′.
3．空间向量加法的运算律 (1)交换律：a＋b＝__b_＋__a__. (2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)． 4．空间向量的数乘运算 (1)定义：实数λ与空间向量a的乘积__λ_a___仍然是 一个___向__量___，称为向量的数乘运算． (2)向量a与λa的关系
λ的范 围 λ>0
λ＝0
2．空间向量的加减法 从任意一点 O 出发作O→A＝a，O→B＝b.并且从 A
出发作A→C＝b(如图所示)，则 a＋b＝_O→_C__，a－b ＝___B_→_A_.
思考感悟 1．空间两向量的加减法与平面内两向量的加减 法完全一样吗？ 提示：一样．因为空间中任意两个向量均可平 移到同一个平面内，所以空间向量与平面向量 加减法均可以用三角形或平行四边形法则，是 一样的．