第二十讲 应力状态解析法、图解法 (之一)

50
20
300
30
50 20
2 1
1 2
x 30MPa, y 50MPa, x 20MPa
30
0
3300225500sin3xx062202o5y0y2cs0oicsno62sx06o20o2y0xcsic1on8os6.s26026oM5P2ax.3s2inM2Pa
50 20 s
30
（2）求主应力
40
60 s
max min
x
y 2
x
2
y
2
2 x
40 0 2
40
0
2
2
(60)2
20
63.25
83.25MPa 43.25MPa
解:（1）求450斜截面上的应力 大小: 1 83.25MPa, 2 0,3 43.25MPa
x 40MPa, y 0, x 60MPa
Pa
61.21MPa
x
M WT
16
(d
600 2 )3[1
(
d
d 2
)
4
]
Pa
73.24MPa
(2)求A点指定-600斜截面上的应力
x
y 2
x
2
y
cos 2
x
sin
2
61.21 0 61.21 0 cos(120o ) (73.24)sin(120o) 48.125(MPa)
2
2
x
x 2
23.2 σ1
ya 135mm 0.135m
σ3
（3）求b点的应力：
S
za
12015 (300 7.5) 256000mm 3 2
256106 m 3
b
Mc Iz
yb
80 103 88 106
0.150Pa
136MPa
b 0
（4）c截面稍左上a点的应力
a
Mc Iz
ya
80 103 88 106
1 y
σx x
若x<y，0 对应不为零的较小主应力
3 0 x y 0, x 0
x
y
0,
x
0
σ
x
3
y
3
A x σx tan 20 0
y 1
tan 20 0
x
1 y
1
σx
0
x 3
1
σx
x
y 3
x
x y 0, x 0
σ0 x tan 20 0
3 y
x y 0,x 0 σx x
(a) 0.4m P A
2m
200
FS kN)
+
80 M kN·m)
+
270 15
120 (b)
B
z
+
9
15
a
+ σa
b
σb
τa
(c)σb
b
σb
50
(d)σa
σ1
3 x b
σ σ3 23.2 ax a
aσ3
σ1 τa
023.20
1
3
之二
Mechanic of Materials
例题4 §7.3 二向应力状态分析——解析法(之二)
4 0
6
§7.4 二向应力状态分析——图解法
Mechanic of Materials
2
FS 2 S2Z IZ b
(P ' P) [b h ( h + h)]
4 48
( 1 b h3) b
（3)
σx
σx
12
M
(+)
kN·m) (-)
（4)
（（33))σx
σx
3 0 3 0 (M3 0, S 3Z 0)
Pa
（4)
σσxx
（（44))
σσxx
4
M max Wz
Pa , 1 b h2
例4 两端铰支的焊接工字钢梁，如图所示。试绘制 C截面稍 左截面上a、b两点应力单元体，并求出单元体上应力的数值，
然后求这两点的主应力。P 250kN
P
C -平面
FS 15
270
120 9
0.4m
b
1.6m
x,b
x,a
a
a
Mc Iz
ya
80 103 88 106
0.135Pa
123MPa
sin 2
x
cos 2
61.21 0 sin(120o) (73.24) cos(120o) 2
10.115(MPa)
之一
§7.3 二向应力状态分析——解析法(之二)
Mechanic of Materials
例6：试画图示拉弯构件点A的原始应力单元体，并求 A 点-60o斜截面上的应力。
MM
MM δδ
之二
例7 计算图示梁横截面上1、2、3、4点应力，作应力单元体
解：(1)求支反力 (2)画内力图如图所示。 (3) 求梁各点的正应力、切应力：
(4)画各点的应力单元体如图所示。
h/4
h
P
Pb
1
2
3
4
z
τy
1 0
（τ1y)
τx
τy
τx
1 max
3 FS1 3 p 2 A 2 bh
(3) 求梁的主应力及主平面方位角：
PP
A 30O30O A606O0O
dd
(aa))
MM
TT
PP
AA
(σb1)(σb1)τAyτ(Adyτ)στx 1σx 1
(d)
FFNN σσxx
ττyy AA
(c)
σσxx ττxx
A
A
33.9(c3)O
33.93O
σ =48.7(e)
σ =48.7(e)
min
(a) 0.4m P A
2m 200
(b) B
15
270 15
120
z
9 a b
+ σa σb
+ τa
解：（1）画Fs、M图。 （2）截面几何性质。
FS(kN)
+
80
(c)σb 50
σb σ3
Iz
120 3003 12
55.5 2703 12
2mm4
88106 m4
M(kN·m)
+
(d)σa
σa σ1 τa
x
x 2
(
x
2
x
)2
2 x
61.21 0 (61.21 0)2 (73.24)2
2
2
30.61
79.31
110 48.7
(MPa)
1 110 MPa, 2 0, 3 48.7MPa
tan 20
2 x x y
2 (73.24) 61.21 0
2.3934
0 33.93o
(4)画点的主应力单元体如图（e）所示。
切应力极值大小：
max ＝ min
x
2
y
2
2 x
＝ max min 2
复习: 3、主应力与最大切应力 主应力
最大切应力
大 小
m m
ຫໍສະໝຸດ Baiduax
in
x
y
2
x
2
y
2
2 x
max min
x
2
y
2
2 x
主平面上无切应力
最大切应力面有正应力
方
tg 2 0
2 x x
y
位
不为零的较大主应力与 τx 、τy指向趋于一
40 sin 90o (60) cos 90o 20MPa 2
方向: s 80.78o或 9.22o
正应力: 9.22o
x y
2
40 2
0
20MPa
Mechanic of Materials
§7.3 二向应力状态分析——解析法(之二)
例2 试求图示应力状态的 1）图示截面上的应力； 2）主平面位置 主应力大小并用图表示； 3）最大切应力。(单位Mpa）
x,a
a
FF
S
za
Iz b
200 103 256 106 88106 9 103
Pa 64.6MPa
aM
a
b
15 b
中性
max
之一
Iz
120
300 3 12
55.5 270 3 12
2
88 106 mm 4 88 10 6 m4
例题4 §7.3 二向应力状态分析——解析法(之二)
Mechanic of Materials
2 64.6) 123
1.05 0
23.2o
之三
§7.3 二向应力状态分析——解析法(之二)
Mechanic of Materials
例5：试画图示拉弯构件点A的原始应力单元体，并求
A 点PP -MM60o斜3300OO AA截6600O面O 上MMd的dδδ应((aa)力) 。解构力(件，1)横和构截扭件面转发上引生有起拉拉的扭伸切组引应合起力变的。形正其，应原
PP
MM
TT
AA
((bb)) ττyy
σσ11
AA ττσσxx11
((dd))
始单元体如图（c）、(d)所示：
FFNN
σσxx
ττyy AA
σσxx ττxx
AA 3333..9(9(3c3cO)O)
σσ==4488..77((ee))
x
P A
4
(0.05
20 103 2 0.002)2
0.052
mmmmaiainxnx30x2250
y
302x5202y（2-20）x2 2
40
22.36
62.36MPa 17.64MPa
1 62.36MPa，2 17.64MPa，3 0
tan 20
2 x x y
2(20) 30 50
2 0
31.72o
max min
max
min 2
62.36 17.64 2
22.36(MPa)
s
31.72o
45o
13.28 76.72
例题3 图示梁，求得m-m截面上的k点处的正应力大小70MPa,
切应力大小为50MPa。试确定k点的主应力及主平面的方位， 并
讨论同一横截面上其他点的应力状态。
FS
m
q
K
K
A
B
a ml
解：1、切取单元体，确定A的应力状态，如图所示。
tan 20 0
1
A
1 0
σx
3 y
1 若x≥y，0 对应不为零的较大主应力
y
3
x
§7.3 二向应力状态分析——解析法(之二)
例1 求:（1）450斜截面上的应力,（2）主应力;（3）最大切应力
Mechanic of Materials
单位:MPa60
60
40 3
1 040 40
1 3 60
难点： 应力单元体与实际工程结合的分析法
Mechanic of Materials
第二十讲目录
第七章 应力和应变分析 强度理论
§7.3 二向应力状态分析——解析法(之二) §7.4 二向应力状态分析——图解法 (之一)
§7.3 二向应力状态分析——解析法(之二)
复习: 1、任意斜截面上的应力
斜截面与水平方所夹锐角α—逆正
1.429
0 27.5o
m
q
2
A
B
a ml
1
3
x
K
0
x
3
主单元体 1
3、作主应力状态图，表达主平面的位置
h/2
K
1
3
2h
max
3
1
h/2
2
及大小
x y
027.5o对应最小的正应力
x = y
0
,
m-m截面
x
4、同一横截面上其他点的应力状态
45o
=
0
2
0
0
2
0
cos 90o
sin 90o
致；大偏大，小偏小，夹角不大于450
备 注
max
max
min
2
tg 2 s
x 2 x
y
αs与α0相差450角
讨论:主应力
方 向:
tan 20
2 x x y
大小:
max min
x
y
2
y 0
x
2
y
2
2 x
max min
x 2
x 2
2
2 x
1 2 0 3
不为零的较大主应力与 x、 y 指向趋于一致；大偏大，小偏小，夹角不大于450
0.135Pa
123MPa
a
Fs,C
S
za
Iz b
200103 256106 88106 9103
Pa 64.6MPa
（5）求c截面稍左截面a点的主应力
m
ax
min
123 2
0
123 0 2
2
64.62
61.5
89.2
150 .7 27.7
MPa MPa
tan 20
2 x x y
A a
P'
FS kN) (-) P
l-2a
P'-P
(+)
B a
P'
(-)
P Pa
y
τx
（1)
τττyyy
（（11))σττ x xxτ（τyτ 2)yy
στxx
τy
σ ττxxxτy
2σx
M2 IZ
y2
Pa 1 b h3 12
h 4
（2) σσxx τ ττyyy σσxx
（3)
（（22)) ττyy
x
y 2
x
y 2
cos2
x
sin 2
x
y 2
sin 2
x
cos2
方向:
tan 20
2 x x y
2 (60) 40 0
3 0
35.78o
（3）最大切应力
大小:
max min
max
min 2
83.25 (43.25) 2
63.3MPa
45o 45o
40 40 cos 90o (60) sin 90o 80MPa 22
cos 2
令：d d
( x y )sin 2 2 x cos 2
0
令 0时上式成立
主应力 方向
tan
20
2 x x
y
主应力 大小
max min
x
y 2
x
2
y
2
2 x
令：d
d
x y
cos 2 2 x sin 2 0
令
时上式成立
s
切应力极值 方向：
tan
2 s
x y 2 x
y
σy τy
汇
m
σα dA
交
x
σx
σx σx
α
力
z
τx
τx
τα
系
m
σy
τy σy
的
x
y
2
x
y
2
cos2
x
sin 2
平 衡
x
y
2
sin 2
x
cos2
复习:
2、任意斜截面上的应力是截面方位角 α的参数函数。
y x
y n x x
x
y
2
x
y
2
cos 2
x
sin 2
y
x
y
2
sin 2
x
2、应力状态分析： x 70MPa x 50MPa 计算主应力的大小及位置
M
x
K
x
max min
x
y
2
(
x
2
y
)2
2 x
70 0 2
( 70 0)2 502 2
26
( 96
MPa)
1 26MPa 2 0 3 96MPa
tan 20
2 x x y
2 50 70 0
Mechanic of Materials
第 二十讲 的内容
教学内容：
平面应力状态分析的解析法、图解法之一 教学要求：
1、掌握求解主应力和主切应力大小和方向的解 析法原理、方法
2、理解应力圆的由来、含义 3、掌握圆心、半径图解法求主应力大小 4、掌握二倍角图解法及其证明 重点： 解析法，图解法原理、方法