第二十讲 应力状态解析法、图解法 (之一)
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平面应力状态解析法推导
平面应力状态解析法推导咱们今天来聊聊一个听起来有点高大上，但实际上超有用的东西——平面应力状态解析法。
别紧张，咱们一步步来，保证让你觉得这事儿就像喝杯茶一样轻松。
想象一下，你手里有一块钢板，上面受了各种方向的力，这时候，钢板里的应力状态就复杂了。
咱们要做的，就是用平面应力状态解析法，把这复杂的应力状态给拆解开来，看看它到底是个啥模样。
首先，咱们得明确一下，什么是平面应力状态。
简单来说，就是物体在某个平面上受到的力。
这个平面啊，就像咱们平时用的白纸一样，平平整整的。
而物体在这个平面上受到的力，就像是有人在纸上画画，有直的线、弯的线，还有各种颜色的笔迹。
好，接下来咱们进入正题，看看怎么推导平面应力状态解析法。
一、从基础开始1.1 力的分解咱们知道，力是有方向的。
在平面应力状态下，一个物体受到的力可以分解成两个方向上的分量：一个水平方向，一个垂直方向。
就像是咱们小时候玩的拉力器，你往两边拉，它就有了一个水平方向上的拉力；而如果你往上拉，它就多了一个垂直方向上的拉力。
1.2 应力的概念应力呢，就是物体单位面积上受到的力。
咱们可以把物体想象成一块大蛋糕，应力就像是蛋糕上挤的奶油，越多越厚，就表示受到的力越大。
二、平面应力状态的分析2.1 方向应力方向应力啊，就是物体在某个特定方向上受到的应力。
就像是咱们吃烤肉，肉片上的纹理就是它的方向，而火烤在上面，就是给它加了一个方向应力。
2.2 剪切应力剪切应力呢，就像是咱们用剪刀剪纸一样，纸在两个方向上都受到了力的作用，但它并没有被拉断或者压扁，而是被剪开了。
在平面应力状态下，物体也可能受到这样的剪切应力。
2.3 主应力和主方向主应力和主方向啊，就像是咱们找一个人身上的优点一样。
在平面应力状态下，物体也有一个“优点”，就是它受到的最大的那个应力，叫做主应力；而这个应力的方向呢，就是主方向。
三、推导过程3.1 建立坐标系咱们得先在物体上建立一个坐标系，就像是给地图定位一样。
平面应力状态分析-解析法
x 70MPa x 0 MPa
y 50 MPa
60
x
y
2
x
y
2
cos(2 60) x
sin(2 60)
70 50 70 (50) cos120 20 MPa
2
2
60
x
y
2
sin(2 60) x cos(2 60)
70 50
sin120 2
51.96 MPa
x
y
2
x
2
y
2
2 x
10 20
2
10
20
2
2
102
3.82 MPa 26.18 MPa
三个主应力按代数值排序为
1 0
2 3.82 MPa 3 26.18 MPa
练习
求主应力?
x 60 MPa y 0 MPa x 40 MPa
max
min
x
y
2
x
2
y
2
y
可确定两个相互垂直的主平面
0 0
限定它们为正的或负的锐角
主应力的计算：
max
min
x y
2
x
2
y
2
2 x
max min x y
校核式
主应力和主平面 之间的对应关系
顺τ转最大
【例 2】 求主应力?
x 10 MPa y 20 MPa x 10 MPa
max
min
主平面和主应力
对于平面应力状态，因为单元体有一对面上没有应力，所 以这一对面就是主平面，且必有一个数值为零的主应力。
下面分析单元体的其余两个主平面和主应力： 确定主平面的位置: 切应力为零的平面为主平面
应力分析
k
E 3(1 2 )
体积弹性模量
略去高阶无穷小
讨论: ⑴θ与三个主应力和有关 ⑵一般μ<0.5,θ都存在。
例题
34
§9.7 复杂应力状态的变形比能
㈠变形比能 ⒈简单应力状态:
1 u 2
1 u 2
⒉三向应力状态
变形能、变形比能与加力次序无关，与外力和 变形的最终值有关。
1 1 1 u 11 2 2 3 3 2 2 2
4
§9.2 二向和三向应力状态的实例
㈠二向应力状态实例(受压的薄壁筒) 设内压为p,壁厚为t,D为内径, ⒈横截面上应力(σ)
1 P p D 2 4 1 2 p D P ' 4 A Dt
'
pD 4t
横截面上应力
5
⒉纵截面上应力
N "tl
微截面: l
微压力: pl
⒉广义胡克定律
由实验知：对各向同性材料， 当小变形且在弹性范围内时， ε只与σ有关，与τ无关 γ只与τ有关，与σ无关 σx单独作用
εx=
εy= εz=
σy
σx
E为何相同？
x E
σy单独作用
y
E
σz单独作用
+
+
+
+
z
x
x E
E
+
y E y
E
E z
E
+
z E
31
V1 V 1 2 3 体积应变 V 3(1 2 ) 1 2 3 m 1 2 1 2 3 ( 1 2 3 ) E 3 k E 2 3 m 1 其中: 平均应力
二向应力状态分析--解析法和图解法
0 0 90 O
练习求单元体 1 主应力的大小 2 主单元体 3 (面内)最大切应力（应力单位取MPa)
TSINGHUA UNIVERSITY
20 40
顺时针!!
x -40MPa\ \ \ \ y -20MPa xy -40MPa 40
1 11.2MPa\ \ \ \3 -71.2MPa 2 0
特别说明
y 0,
二向应力状态
xy x
横力弯曲 中性轴
其它点
中性轴
xy
圆轴扭转
除了梁顶(底) 二向应力状态
例题3
P
70
TSINGHUA UNIVERSITY
50
解：
x -70MPa
1 主应力大小 2 主平面位置 3 绘出(主应力)单元体。
y 0
xy 50MPa
1 求主应力
大 大 27.5
x
x
y
2
x
- y
2
cos 2
- xy
sin 2
b
3
00
20MPa
10 - 30 10 30 cos 60 - 20sin 60
30
2
2
30MPa
-17.32MPa
x
- y
2
sin 2
xy
cos 2
30
10 30 sin 60 2
20cos 60
27.32MPa
思考 900 ？ 900 ？？
T (Me)
Wt
x y 0 xy
TSINGHUA UNIVERSITY
2 求主应力
max min
x
y
2
x
-
2
y
二向应力状态分析—图解法
§7–4 二向应力状态分析—图解法
x
2
y
x
2
y
cos 2
x
sin
2
x
2
y
sin
2
x
cos 2
1、 莫尔圆的概念
(
x
y 2
)2
2
(x
y )2 2
2 x
(
x
y 2
)2
2
(x
y 2
)2
2x
当斜截面随方位角 变化时, 其上的应力 ， 在 - 直角坐标系内的轨迹是一个圆 。
圆心的坐标为(the coordinates of MOHR circle’s center)
y
xm
900
t
450
k
D
y
xm
900
t
450
k
D
y
3
τ max
x
τ max
k
450
1
解: 从圆筒表面 k 点处取出单元体, 其各面上的应力分量如图 所示
可求得
y 1 max 80MPa
x 3 max 80MPa
z 0
k点处的线应变 x , y 为
y
x
1 E
(x
y )
1 E
(max
z
x
二、纯剪的本构关系
xy
xy
G
i 0 ( i x,y,z ) yz zx 0
y
xy
z
x
三、复杂状态下的本构关系
y
依叠加原理,得
y
z
z
x
xy
x
x
x
E
y
E
x
2
y
x
2
y
cos 2
x
sin
2
x
2
y
sin
2
x
cos 2
1、 莫尔圆的概念
(
x
y 2
)2
2
(x
y )2 2
2 x
(
x
y 2
)2
2
(x
y 2
)2
2x
当斜截面随方位角 变化时, 其上的应力 ， 在 - 直角坐标系内的轨迹是一个圆 。
圆心的坐标为(the coordinates of MOHR circle’s center)
y
xm
900
t
450
k
D
y
xm
900
t
450
k
D
y
3
τ max
x
τ max
k
450
1
解: 从圆筒表面 k 点处取出单元体, 其各面上的应力分量如图 所示
可求得
y 1 max 80MPa
x 3 max 80MPa
z 0
k点处的线应变 x , y 为
y
x
1 E
(x
y )
1 E
(max
z
x
二、纯剪的本构关系
xy
xy
G
i 0 ( i x,y,z ) yz zx 0
y
xy
z
x
三、复杂状态下的本构关系
y
依叠加原理,得
y
z
z
x
xy
x
x
x
E
y
E
二向应力状态分析--解析法和图解法ppt共54页
1、不要轻言放弃，否则对不起自己。
2、要冒一次险!整个生命就是一场冒险。走得最远的人，常是愿意 去做，并愿意去冒险的人。“稳妥”之船，从未能从岸边走远。-戴尔．卡耐基。
梦 境
3、人生就像一杯没有加糖的咖啡，喝起来是苦涩的，回味起来却有 久久不会退去的余香。
二向应力状态分析--解析法和图解法ppt 4、守业的最好办法就是不断的发展。 5、当爱不能完美，我宁愿选择无悔，不管来生多么美丽，我不愿失 去今生对你的记忆，我不求天长地久的美景，我只要生生世世的轮 回里有你。
▪
26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
▪ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
▪
28、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子
▪
29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
▪
30、意志是一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
谢谢！
54
2、要冒一次险!整个生命就是一场冒险。走得最远的人，常是愿意 去做，并愿意去冒险的人。“稳妥”之船，从未能从岸边走远。-戴尔．卡耐基。
梦 境
3、人生就像一杯没有加糖的咖啡，喝起来是苦涩的，回味起来却有 久久不会退去的余香。
二向应力状态分析--解析法和图解法ppt 4、守业的最好办法就是不断的发展。 5、当爱不能完美，我宁愿选择无悔，不管来生多么美丽，我不愿失 去今生对你的记忆，我不求天长地久的美景，我只要生生世世的轮 回里有你。
▪
26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
▪ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
▪
28、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子
▪
29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
▪
30、意志是一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
谢谢！
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1.2应力状态解析法
Ft 0
t dA s xdAcos sin t xydAcos cos
s ydAsin cos t yxdAsin sin 0
5
sy
考虑切应力互等和三角变换，得：
y
sx
txy
s
sx
sy
2
sx
s y
2
cos 2
t xy
sin 2
Ox
图1
s
sx
y
sy
ttyx
t
sx
s y
t xy
t
m Wp
t
求极值应力
t
y
Ox
s max s min
sx
sy
2
（s x
2
s
y
）2
t
2 xy
t2 xy
t
14
s1 t ;s 2 0;s 3 t
tg20
2t xy sx sy
-
0 -45
铸铁构件破坏分析
铸铁圆试样扭转试验时，正是沿着最大拉应 力作用面（即450螺旋面）断开的。因此，可 以认为这种脆性破坏是由最大拉应力引起的。
40
解：1）s x 60 s y －40 t xy 50
50 2）求主应力
60
s max s min
sx
sy
2
sx
s y
2
2
t
2 xy
80.7 60.7
（应力单位 MPa ） s1 80.7 s 2 0 s 3 60.7
11
3）求主方向
s3
s1
tg20
2t xy sx sy
1
0 22.5
0
s x s y 0为s max与x轴夹角
《应力状态分析》课件
意义
揭示了物体在受力状态下 内部应力的分布规律，为 分析强度、刚度和稳定性 问题提供依据。
空间应力状态的分类
单向应力状态
物体只承受单向正应力作 用，即一维应力状态。
二向应力状态
物体承受两个正交方向的 正应力作用，即平面应力 状态。
三向应力状态
物体承受三个正交方向的 的正应力作用，即空间应 力状态。
02 平面应力状态分析
平面应力状态的概念
平面应力状态
在二维平面上，各应力分量均平行于平面，且均沿z轴方向变化的 应力状态。
平面应力状态的特点
各应力分量均平行于平面，且均沿z轴方向变化。
平面应力状态的应用
在工程中，许多问题可以简化为平面应力状态进行分析，如薄板、 薄壳等结构的应力分析。
平面应力状态的分类
数值法
通过有限元、有限差分等方法求解平面应力状态 的应力和应变。
3
实验法
通过实验测试和测量平面应力状态的应力和应变 。
03 空间应力状态分析
空间应力状态的概念
01
02
03
空间应状态
描述物体内部各点应力矢 量在空间位置和方向上的 分布情况。
定义
空间中任意一点处的应力 状态由三个正交的主应力 及相应的主方向组成。
将物体离散化为有限个小的单元，对 每个单元进行受力分析，再通过单元 的集合得到整体的平衡方程，求解得 到各点的应力分量。适用于复杂几何 形状和边界条件的物体。
通过实验测试得到物体的应力应变关 系，从而反推出物体的应力状态。适 用于无法通过理论分析求解的复杂问 题。
05 应变与应力的关系
应变的概念
复杂应力状态的分类
按主应力大小分类
分为三向主应力状态和二向主应力状态。
平面应力状态分析-图解法
y
yx
D
x
x
xO
B
xy
C
A
y
D′
（2）量取 OA= x
x
AD = xy 得D点
（3）量取 OB= y BD′= yx 得D′点
（4）连接 DD′两点的直线与 轴相交于C 点
（5）以C为圆心, CD 为半径作圆,该圆就是相应于该单元体的 应力圆
2.证明(Prove)
（1）该圆的圆心C点到 坐 标原点的 距离为
（1）绘出相应的应力圆
（2）确定此单元体在 =30°和 =-40°两斜面上的应力.
解: （1） 画应力圆
量取OA= x= - 1 , AD = xy= - 0.2,定出 D点;
OB =y= - 0.4和， BD′ = yx= 0.2 , 定出 D′点.
以DD′为直径绘出的圆即为应力圆.
(-0.4,0.2) D′
(
x
2
y )2
2
(
x
2
y )2
2 xy
因为x ,y ,xy 皆为已知量,所以上式是一个以,为变量的 圆周方程.当斜截面随方位角 变化时,其上的应力 , 在 - 直
角坐标系内的轨迹是一个圆.
1.圆心的坐标
C(
x
y
,0)
（Coordinate of circle center）
2
2.圆的半径（Radius of circle）
= - 40°斜截面上的应力.
30°= - 0.68MPa 30°= - 0.36MPa -40°= - 0.95MPa 40°= - 0.26MPa
40°
F
D′
40° A80°
C
B30° O
第二十讲 应力状态解析法、图解法 (之一)
PP
MM
TT
AA
((bb)) ττyy
σσ11
AA ττσσxx11
((dd))
始单元体如图（c）、(d)所示：
FFNN
σσxx
ττyy AA
σσxx ττxx
AA 3333..9(9(3c3cO)O)
σσ==4488..77((ee))
x
P A
4
(0.05
20 103 2 0.002)2
0.052
x
y 2
x
y 2
cos2
x
sin 2
x
y 2
sin 2
x
cos2
方向:
tan 20
2 x x y
2 (60) 40 0
3 0
35.78o
（3）最大切应力
大小:
max min
max
min 2
83.25 (43.25) 2
63.3MPa
45o 45o
40 40 cos 90o (60) sin 90o 80MPa 22
1 y
σx x
若x<y，0 对应不为零的较小主应力
3 0 x y 0, x 0
x
y
0,
x
0
σ
x
3
y
3
A x σx tan 20 0
y 1
tan 20 0
x
1 y
1
σx
0
x 3
1
σx
x
y 3
x
x y 0, x 0
σ0 x tan 20 0
3 y
x y 0,x 0 σx x
50
20
二向应力状态分析图解法ppt课件
3 1
u
1 2E
2 1
2 2
2 3
2
1
2
3
2
1
3
1 20( )2200( ) 2E
1 2
E
G
E
21
因此, 该圆筒变形后的厚度并无变化, 仍然为 t =10mm .
P1
P2
A
y x
P2 z
b z
a
l
b=50mm h=100mm
A
P2 A
20KN
（拉伸）
A
3FS 2A
30MPa
（负）
§7–9 复杂应力状态的应变能密度
一、应变能密度计算公式
1 、 单轴应力状态下, 物体内所积蓄的比能为
2
v
1
平行于3的方向面－其上之应力与3无关， 于是由1 、 2可作出应力圆.
y
1
max
2
3
z
x
3
2
图a
1
图b
（1）弹性理论证明，图 a 单元体内任意一点任意截面 上的应力都对应着图 b 的应力圆上或阴影区内的一点
（2）整个单元体内的最大剪应力为
max
1
2
3
最大正应力和最大剪应力
从三向应力圆中可以看出，最大正应力，最小 正应力及最大剪应力分别为
2
a1 1
a2 3
a3
五、体积应变与应力分量间的关系
V dx dy dz
V1 dx(1 1 )dy(1 2 )dz(1 3 ) dx dy dz(1 1 2 3 )
体积应变：
V1 V V
1 2 3
代入本构关系，得到体积应变与应力 分量间的关系:
《应力状态分析》课件
1 桥梁结构
2 机械设计
3 电子产品
用应力状态分析方法分析桥 梁结构的强度和稳定性，以 确保其安全可靠。
通过应力状态分析确定机械 设计的合理性，并优化结构 以提高性能。
通过应力状态分析分析电子 产品的内部布线，确保布线 的合理性和可靠性。
优势与局限性
优势
应力状态分析能够提供对物体内部应力分布和变形情况的全面了解，有助于优化设计和提高 结构的安全性。
常用的应力状态分析方法
1
解析法
解析法是应力状态分析中常用的方法之一，
有限元法
2
通过数学方程求解得出应力和变形的解析 解。
有限元法是应力状态分析中最常用的方法
之一，通过将结构划分为有限个小单元进
行计算。
3
网格法
网格法是一种常用的数值计算方法，通过 在物体表面和内部创建网格进行应力状态 分析。
实际应用案例分析
背景
随着工程设计的复杂性和要求的提高，应力状态分析在 工程领域变得越来越重要。
基本原理
1 弹性理论
应力状态分析基于弹性理论，通过计算应力和变形的关系来研究物体的应力状态。
2 有限元方法
有限元方法是一种常用的应力状态分析方法，通过将结构划分成有限个小单元进行计算， 得出应力集中区域和变形情况。
3 实验测试
《应力状态分析》PPT课 件
本课件介绍了应力状态分析的定义、背景以及基本原理。探讨了应力状态分 析的应用领域和常用方法，并通过实际案例进行分析。同时，强调了应力状 态分析的优势与局限性，展望了未来的发展方向和趋势。
定义和背景
定义
应力状态分析是研究物体内部及其表面上的应力分布和 应力引起的变形情况的一种方法。
应力状态分析还可以通过实验测试来获取数据，如拉伸试验、压缩试验等。
图解法
σ max σ min
=
σ x +σ y
2
105 σ x −σ y 2 ± MPa +τ x = 2 −65
2
σ 1 = 105MPa, σ 2 = 0, σ 3 = −65MPa
2τ x tan 2α 0 = − =1 σ x −σ y
σ max = 105
α 0 = 22.5° 或112.5°
即为圆心， 应力 连ad交 σα 轴于 点，c即为圆心，d应力 交 轴于c点 即为圆心 圆半径。 圆半径。
4、应力圆的应用 、应力圆的应用——信息源 信息源
思维分析的工具，而不是计算工具。 思维分析的工具，而不是计算工具。
§8-3 平面应力状态主应力及最大剪应力
τ
(σ x , τ x )
σ
(σ y , τ y )
1
τ σ3 σ3
D1 A2 C A1 D2 O
σ
D1 A2
2α0 C O
τ
A1 D2
σ1
3
α0 σ3
D1 D1
σ
τ
2α0= –90°
C O
σ τ
A2 O D2 2α0 C A1 D1 D1 A1
σ1
–45°
σ3 α0 σ1 τ
D2 A2 C O
D2
σ1
5
σ
σ
主应力迹线（Stress Trajectories)： 主应力方向线的包络线——曲线上每一点的切线都指示 着该点的拉主应力方位（或压主应力方位）。 实线表示拉主应力迹线 ； 虚线表示压主应力迹线 。 拉力
1 σ x −σ y 2 + 4 xy τ2 − 2
(
)
c
二向应力状态分析--解析法和图解法
多轴加载情况下处理方法
多轴加载定义
多轴加载是指物体在多个方向上同时受到外力的作用，导致物体 内部产生复杂的应力状态。
坐标变换法
通过坐标变换法可以将多轴加载情况下的应力状态转换到主应力 空间中进行分析，从而简化问题。
数值计算法
对于复杂的多轴加载情况，可以采用数值计算法求解应力张量和 主应力，以获得更精确的结果。
图形表示在工程中应用
01 02
复杂应力状态分析
在实际工程中，构件往往处于复杂的应力状态下。通过图解法，特别是 Mohr圆的应用，可以方便地确定构件的危险点和安全裕度，为工程设 计提供重要参考。
强度校核
在结构设计中，需要对关键构件进行强度校核。图解法可以直观地展示 受力构件的应力分布和大小，从而判断其是否满足强度要求。
VS
图解法适用范围
适用于简单的应力状态分析或者对精确度 要求不高的情况。例如，在初步设计阶段 或者课堂教学过程中，可以采用图解法进 行快速的应力状态分析和演示。
实例验证两种方法一致性
• 以某一具体实例为例，分别采用解析 法和图解法进行应力状态分析。通过 比较两种方法得到的结果，可以验证 两种方法的一致性和准确性。具体实 例可以根据实际情况选择，例如可以 选择一个简单的杆件结构或者一个复 杂的板壳结构进行分析。
优缺点分析
• 对数学知识要求低：相对于解析法，图解法对数 学知识的要求较低。
优缺点分析
精确度相对较低
由于绘图和测量过程中可能存在误差，因此图解法的精 确度相对较低。
适用范围有限
对于某些复杂的应力状态，图解法可能无法适用或者难 以得到准确结果。
适用范围讨论
解析法适用范围
适用于各种复杂的应力状态分析，特别 是需要高精度计算的情况。例如，在航 空航天、桥梁建筑等领域，对结构的安 全性要求极高，需要采用解析法进行精 确的分析和计算。
应力状态ppt课件
方向角的符号约定
由 x正向逆时针转到截面外法 线x‘正向为正；
反之为负。
x' y'
xy
yx
y' y x'
x
TSINGHUA UNIVERSITY
2 微元的局部平衡
y
yx
x
xy
x
y
截取微元体
TSINGHUA UNIVERSITY
TSINGHUA UNIVERSITY
截取微元体
y
x
yx xy
x
x
y＝0，yx＝0。
TSINGHUA UNIVERSITY
xco2s
x
2
sin2
TSINGHUA UNIVERSITY
y'
xco2s
x
2
sin2
x'
当α＝45º时，斜截面上既有正
α
应力又有剪应力，其值分别为
x
x
45
x
2
45
x
2
在所有的方向面中，45º斜截面上的正应力不是最大值， 而切应力却是最大值。
有时也沿斜截面发生破坏；
不仅要研究横截面上的应力， 而且也要研究斜截面上的应力。
三、如何描述一点的应力状态
微元
微元及其各面上的应力来描 述一点的应力状态。
TSINGHUA UNIVERSITY
dz
dy
dx
约定:
微元体的体积为无穷小； 相对面上的应力等值、反向、共线;
三个相互垂直面上的应力；
一般三向（空间）应力状态
TSINGHUA UNIVERSITY
面内最大剪应力
不同方向面上的切应力亦随着坐标的旋转而变化，因 而剪应力亦可能存在极值。
由 x正向逆时针转到截面外法 线x‘正向为正；
反之为负。
x' y'
xy
yx
y' y x'
x
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2 微元的局部平衡
y
yx
x
xy
x
y
截取微元体
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截取微元体
y
x
yx xy
x
x
y＝0，yx＝0。
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xco2s
x
2
sin2
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y'
xco2s
x
2
sin2
x'
当α＝45º时，斜截面上既有正
α
应力又有剪应力，其值分别为
x
x
45
x
2
45
x
2
在所有的方向面中，45º斜截面上的正应力不是最大值， 而切应力却是最大值。
有时也沿斜截面发生破坏；
不仅要研究横截面上的应力， 而且也要研究斜截面上的应力。
三、如何描述一点的应力状态
微元
微元及其各面上的应力来描 述一点的应力状态。
TSINGHUA UNIVERSITY
dz
dy
dx
约定:
微元体的体积为无穷小； 相对面上的应力等值、反向、共线;
三个相互垂直面上的应力；
一般三向（空间）应力状态
TSINGHUA UNIVERSITY
面内最大剪应力
不同方向面上的切应力亦随着坐标的旋转而变化，因 而剪应力亦可能存在极值。
《应力状态理论》课件
VS
地质工程
在地质工程领域，应力状态理论对于研究 地壳应力分布、地震成因及岩土工程稳定 性等方面具有重要意义。通过将应力状态 理论与地质工程实践相结合，可以更好地 防范地质灾害和提高工程安全性。
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THANKS
应力状态的重要性
工程应用
应力状态理论在工程领域中具有广泛应用，如结构分析、材料力学、岩石力学等，是解决实际工程问题的重要 基础。
学科发展
应力状态理论的发展推动了相关学科的进步，如断裂力学、损伤力学等，为解决复杂工程问题提供了更全面的 理论支持。
应力状态的历史与发展
早期研究
早期的应力状态研究主要集中在静力学领域，如弹性力学和塑性力学等，主要研究物体在受力作用下的平衡问题 。
多物理场耦合研究
在实际应用中，应力状态往往与温度、磁场等其他物理场存在耦合效应。未来研究应关注多物理场耦 合对应力状态的影响，建立更为完善的理论体系。
应力状态理论在其他领域的应用拓展
生物医学工程
在生物医学工程领域，应力状态理论在 骨骼、牙齿、血管等生物组织的生长、 修复和疾病防治等方面具有重要应用价 值。通过研究生物组织的应力状态，可 以为生物医学工程提供新的设计思路和 治疗方案。
应力的基本性质
应力的基本性质包括对称性、反对称性和转轴性。这 些性质反映了应力分布的内在规律，对于理解物体受 力状态和变形机制具有重要意义。
应力的基本性质包括对称性、反对称性和转轴性。对 称性是指对于任何点，其对称点的应力状态是相同的 ；反对称性则是指对于任何点，其对称点的应力状态 是相反的；转轴性则是指当坐标系旋转时，应力分量 的值会发生变化，但各向同性和各向异性状态不变。 这些性质反映了应力分布的内在规律，对于理解物体 受力状态和变形机制具有重要意义。
应力状态分析2图解法
作出应力圆。
11
?
D
20 MPa 60 MPa
20 MPa
C B1 O
2）确定主应力和主平面
D?
20 20 70 110
根据应力圆，按选定比例尺，量得主应力
60 ?
A1
20 MPa
? 1 ? OA1 ? 110 MPa ? 2 ? 0 ? 3 ? ? OB1 ? ?20 MPa
延长 D′C 连线交圆周于 D ，即得 x 截面上的正应力
6
[例1] 图示单元体，试用图解法求截面 m－m 上的应力。
解： 画应力圆
?
?y
? yx
? xy
?
?x
按选定比例尺，由 ? x = –100 MPa 、?xy = – 60 MPa 确定 D 点，由 ? y = 50 MPa 、?yx = 60 MPa 确定 D′点；连接 DD′，交 ? 轴于点
C ；以点 C 为圆心、 CD 为半径作出应力圆。
? x ? 70 MPa
故得到点 A 的单元体如图所示。
60 MPa
70 MPa
12
20 MPa 60 MPa
20 MPa
?
B1 O
D
C 2? 0
60 ?
A1
D?
20 20 70 110
20 MPa ?3
60 MPa
70 MPa
?1 ?0
x
在应力圆上，由 D 到 A1 为顺时针转向，量得∠ DCA1 = 2? 0 = 67°
在主平面。
10
[例3] 在过 A点的两个截面上的应力如图所示，试用图解法确定其 主应力以及主平面位置。
?
D
20 MPa 60 MPa
11
?
D
20 MPa 60 MPa
20 MPa
C B1 O
2）确定主应力和主平面
D?
20 20 70 110
根据应力圆，按选定比例尺，量得主应力
60 ?
A1
20 MPa
? 1 ? OA1 ? 110 MPa ? 2 ? 0 ? 3 ? ? OB1 ? ?20 MPa
延长 D′C 连线交圆周于 D ，即得 x 截面上的正应力
6
[例1] 图示单元体，试用图解法求截面 m－m 上的应力。
解： 画应力圆
?
?y
? yx
? xy
?
?x
按选定比例尺，由 ? x = –100 MPa 、?xy = – 60 MPa 确定 D 点，由 ? y = 50 MPa 、?yx = 60 MPa 确定 D′点；连接 DD′，交 ? 轴于点
C ；以点 C 为圆心、 CD 为半径作出应力圆。
? x ? 70 MPa
故得到点 A 的单元体如图所示。
60 MPa
70 MPa
12
20 MPa 60 MPa
20 MPa
?
B1 O
D
C 2? 0
60 ?
A1
D?
20 20 70 110
20 MPa ?3
60 MPa
70 MPa
?1 ?0
x
在应力圆上，由 D 到 A1 为顺时针转向，量得∠ DCA1 = 2? 0 = 67°
在主平面。
10
[例3] 在过 A点的两个截面上的应力如图所示，试用图解法确定其 主应力以及主平面位置。
?
D
20 MPa 60 MPa
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例4 两端铰支的焊接工字钢梁，如图所示。试绘制 C截面稍 左截面上a、b两点应力单元体，并求出单元体上应力的数值，
然后求这两点的主应力。P 250kN
P
C -平面
FS 15
270
120 9
0.4m
b
1.6m
x,b
x,a
a
a
Mc Iz
ya
80 103 88 106
0.135Pa
123MPa
x,a
a
FF
S
za
Iz b
200 103 256 106 88106 9 103
Pa 64.6MPa
aM
a
b
15 b
中性
max
之一
Iz
120
300 3 12
55.5 270 3 12
2
88 106 mm 4 88 10 6 m4
例题4 §7.3 二向应力状态分析——解析法(之二)
Mechanic of Materials
4 0
6
§7.4 二向应力状态分析——图解法
Mechanic of Materials
1 y
σx x
若x<y，0 对应不为零的较小主应力
3 0 x y 0, x 0
x
y
0,
x
0
σ
x
3
y
3
A x σx tan 20 0
y 1
tan 20 0
x
1 y
1
σx
0
x 3
1
σx
x
y 3
x
x y 0, x 0
σ0 x tan 20 0
3 y
x y 0,x 0 σx x
sin 2
x
cos 2
61.21 0 sin(120o) (73.24) cos(120o) 2
10.115(MPa)
之一
§7.3 二向应力状态分析——解析法(之二)
Mechanic of Materials
例6：试画图示拉弯构件点A的原始应力单元体，并求 A 点-60o斜截面上的应力。
MM
MM δδ
（2）求主应力
40
60 s
max min
x
y 2
x
2
y
2
2 x
40 0 2
40
0
2
2
(60)2
20
63.25
83.25MPa 43.25MPa
解:（1）求450斜截面上的应力 大小: 1 83.25MPa, 2 0,3 43.25MPa
x 40MPa, y 0, x 60MPa
40 sin 90o (60) cos 90o 20MPa 2
方向: s 80.78o或 9.22o
正应力: 9.22o
x y
2
40 2
0
20MPa
Mechanic of Materials
§7.3 二向应力状态分析——解析法(之二)
例2 试求图示应力状态的 1）图示截面上的应力； 2）主平面位置 主应力大小并用图表示； 3）最大切应力。(单位Mpa）
(3) 求梁的主应力及主平面方位角：
PP
A 30O30O A606O0O
dd
(aa))
MM
TT
PP
AA
(σb1)(σb1)τAyτ(Adyτ)στx 1σx 1
(d)
FFNN σσxx
ττyy AA
(c)
σσxx ττxx
A
A
33.9(c3)O
33.93O
σ =48.7(e)
σ =48.7(e)
min
难点： 应力单元体与实际工程结合的分析法
Mechanic of Materials
第二十讲目录
第七章 应力和应变分析 强度理论
§7.3 二向应力状态分析——解析法(之二) §7.4 二向应力状态分析——图解法 (之一)
§7.3 二向应力状态分析——解析法(之二)
复习: 1、任意斜截面上的应力
斜截面与水平方所夹锐角α—逆正
(a) 0.4m P A
2m 200
(b) B
15
270 15
120
z
9 a b
+ σa σb
+ τa
解：（1）画Fs、M图。 （2）截面几何性质。
FS(kN)
+
80
(c)σb 50
σb σ3
Iz
120 3003 12
55.5 2703 12
2mm4
88106 m4
M(kN·m)
+
(d)σa
σa σ1 τa
2、应力状态分析： x 70MPa x 50MPa 计算主应力的大小及位置
M
x
K
x
max min
x
y
2
(
x
2
y
)2
2 x
70 0 2
( 70 0)2 502 2
26
( 96
MPa)
1 26MPa 2 0 3 96MPa
tan 20
2 x x y
2 50 70 0
Pa
61.21MPa
x
M WT
16
(d
600 2 )3[1
(
d
d 2
)
4
]
Pa
73.24MPa
(2)求A点指定-600斜截面上的应力
x
y 2
x
2
y
cos 2
x
sin
2
61.21 0 61.21 0 cos(120o ) (73.24)sin(120o) 48.125(MPa)
2
2
x
x 2
切应力极值大小：
max ＝ min
x
2
y
2
2 x
＝ max min 2
复习: 3、主应力与最大切应力 主应力
最大切应力
大 小
m m
ax
in
x
y
2
x
2
y
2
2 x
max min
x
2
y
2
2 x
主平面上无切应力
最大切应力面有正应力
方
tg 2 0
2 x x
y
位
不为零的较大主应力与 τx 、τy指向趋于一
50
20
300
30
50 20
2 1
1 2
x 30MPa, y 50MPa, x 20MPa
30
0
3300225500sin3xx062202o5y0y2cs0oicsno62sx06o20o2y0xcsic1on8os6.s26026oM5P2ax.3s2inM2Pa
50 20 s
30
cos 2
令：d d
( x y )sin 2 2 x cos 2
0
令 0时上式成立
主应力 方向
tan
20
2 x x
y
主应力 大小
max min
x
y 2
x
2
y
2
2 x
令：d
d
x y
cos 2 2 x sin 2 0
令
时上式成立
s
切应力极值 方向：
tan
2 s
x y 2 x
(a) 0.4m P A
2m
200
FS kN)
+
80 M kN·m)
+
270 15
120 (b)
B
z
+
9
15
a
+ σa
b
σb
τa
(c)σb
b
σb
50
(d)σa
σ1
3 x b
σ σ3 23.2 ax a
aσ3
σ1 τa
023.20
1
3
之二
Mechanic of Materials
例题4 §7.3 二向应力状态分析——解析法(之二)
mmmmaiainxnx30x2250
y
302x5202y（2-20）x2 2
40
22.36
62.36MPa 17.64MPa
1 62.36MPa，2 17.64MPa，3 0
tan 20
2 x x y
2(20) 30 50
2 0
31.72o
max min
max
min 2
x
y 2
x
y 2
cos2
x
sin 2
x
y 2
sin 2
x
cos2
方向:
tan 20
2 x x y
2 (60) 40 0
3 0
35.78o
（3）最大切应力
大小:
max min
max
min 2
83.25 (43.25) 2
63.3MPa
45o 45o
40 40 cos 90o (60) sin 90o 80MPa 22
23.2 σ1
ya 135mm 0.135m
σ3
（3）求b点的应力：
S
za
12015 (300 7.5) 256000mm 3 2
256106 m 3
b
Mc Iz
yb
80 103 88 106
0.150Pa
136MPa
b 0
（4）c截面稍左上a点的应力
a
Mc Iz