811向量数量积的概念学案-辽宁省营口市第二高级中学【新教材】人教B版（2019）高一数学必修第三册（无答案）
人教课标版(B版)高中数学必修4《向量数量积的物理背景与定义》学案2
向量数量积的物理背景与定义学习目标：1、掌握向量数量积的运算律,并能熟练运用向量数量积的运算律进行相关的判断和运算；2、体会类比的数学思想和方法，进一步培养学生抽象概括、推理论证的能力。
学习过程 :一、课前准备复习：1、设两向量,a b 的夹角为θ，则θ∈ ；且当θ= 时，//a b ；当θ= 时，a b ⊥.2、已知两个非零向量a 和b ，把数量 叫做向量a 与b 的数量积，记作 ,即 ;3、向量a 在b 方向上的投影是 ；a b ⋅的几何意义为：数量积a b ⋅等于a 的长度a 与b 在a 方向上的投影 的乘积.4、设a 和b 都是非零向量， θ是a 与b 的夹角，则①当a 与b 垂直时，90θ=，即 a b a b ⊥⇔⋅= ；②当a 与b 同向时，0θ=，a b ⋅= ；当a 与反向时，180θ=，a b ⋅= ；③当a b =，即a a ⋅= ，或a = ；④cos θ =||||a b a b ⋅⑤因为cos 1θ≤，所以a b ⋅ a b .二、新课导学探究1：我们学过了实数乘法的哪些运算律？学习了向量数量积后，这些运算律对向量是否也适用？（学生猜想并给出解释说明，错误的说明理由） 探究2：你能推导向量数量积运算律()a b c a c b c+⋅=⋅+⋅吗？（师生共同完成）新知1：已知向量,,a b c 和实数λ，则⑴a b b a ⋅=⋅⑵()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅⑶()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅证明：⑴交换律 设a ，b 夹角为θ，则a ⋅ b = |a ||b |cos θ，b ⋅ a = |b ||a |cos θ ∴a ⋅ b = b ⋅ a（2）数乘结合律：(λa )⋅b =λ(a ⋅b ) = a ⋅(λb )证：若λ> 0，(λa )⋅b =λ|a ||b |cos θ， λ(a ⋅b ) =λ|a ||b |cos θ，a ⋅(λb ) =λ|a ||b |cos θ，若λ< 0，(λa )⋅b =|λa ||b |cos(π-θ) = -λ|a ||b |(-cos θ) =λ|a ||b |cos θ，λ(a ⋅b ) =λ|a ||b |cos θ，a ⋅(λb ) =|a ||λb |cos(π-θ) = -λ|a ||b |(-cos θ) =λ|a ||b |cos θ.三、典型例题例1、 我们知道，对任意,a b R ∈，恒有()2222a b a ab b +=++，()()22a b a b a b +-=- 对任意向量,a b ，是否也有下面类似的结论？⑴()2222a b a a b b +=+⋅+； ⑵()()22a b a b a b +⋅-=-.例2、 已知6a =，4b =，a 与b 的夹角为60，求：（1）a b ⋅（2）22a b -；（3）()()23a b a b +⋅-；（4）a b +.例3、 已知3,4a b ==，且a 与b 不共线，k 为何值时，向量a kb +与a kb -互相垂直？课堂练习 判断正误，并简要说明理由 ①a ·0＝0；②0·a ＝0；③0－AB ＝BA ；④｜a ·b ｜＝｜a ｜｜b ｜； ⑤若a ≠0，则对任一非零b 有a ·b ≠０；⑥a ·b ＝0，则a 与b 中至少有一个为0；⑦对任意向量a ，b ，c 都有（a ·b ）c ＝a （b ·c ）； ⑧a 与b 是两个单位向量，则a ２＝b ２；⑨若a ⋅b = b ⋅c 则a = c解：上述8个命题中只有③⑧正确；对于①：两个向量的数量积是一个实数，应有0·a ＝０；对于②：应有0·a ＝0；对于④：由数量积定义有｜a ·b ｜＝｜a ｜·｜b ｜·｜cos θ｜≤｜a ｜｜b ｜， 这里θ是a 与b 的夹角，只有θ＝0或θ＝π时，才有｜a ·b ｜＝｜a ｜·｜b ｜；对于⑤：若非零向量a 、b 垂直，有a ·b ＝0； 对于⑥：由a ·b ＝0可知a ⊥b 可以都非零； 对于⑦：若a 与c 共线，记a ＝λc则a ·b ＝（λc ）·b ＝λ（c ·b ）＝λ（b ·c ）， ∴（a ·b ）·c ＝λ（b ·c ）c ＝（b ·c ）λc ＝（b ·c ）a若a 与c 不共线，则(a ·b )c ≠（b ·c ）a 这是因为左端是与c 共线的向量，而右端是与a 共线的向量，而一般a 与c 不共线对于⑨：已知实数a 、b 、c(b ≠0)，则ab =bc ⇒ a =c 但是a ⋅b = b ⋅c a = c如右图：a ⋅b = |a ||b |cos β = |b ||OA|，b ⋅c = |b ||c |cos α = |b ||OA|⇒ a ⋅b = b ⋅c 但a ≠ c评述：这一类型题，要求学生确实把握好数量积的定义、性质、运算律四、总结提升 1、向量数量积的运算律及其应用：①交换律成立：a b b a ⋅=⋅②对实数的结合律成立：()()()()a b a b a b R λλλλ⋅=⋅=⋅∈ ③分配律成立：()a b c a c b c ±⋅=⋅±⋅特别注意：（1）结合律不成立：即一般的（a ·b ）c ≠a （b ·c ）；（2）消去律不成立：即一般的 a ⋅b = b ⋅c a = c（3）a ·b ＝0，则a 与b 中至少有一个为0是错误结论2、课本中的结论：()()2222a b a b a b a b +⋅-=-=-()2222222a b a a b b a a b b +=+⋅+=+⋅+()2222222a b a a b b a a b b -=-⋅+=-⋅+ 可直接应用.学习自我评价：你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差五、当堂检测：1. 若,,a b c 为任意向量，m R ∈，则下列等式不一定成立的是（ ） A.()()a b c a b c ++=++ B.()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅C.()m a b ma mb +=+D.()()a b c a b c ⋅⋅=⋅ 2. 已知6,a =a 与b 的夹角为60，且()()2372a b a b +⋅-=-，则b 为（） A.16 B.6 C.5 D.43. 已知1,2a b ==，且()a b -与a 垂直，则a 与b 的夹角为（ ）A.60B.30C.135D.454. 3,4a b ==，且a 与b 的夹角为150，则()2a b += .5. 已知2,5,3a b a b ==⋅=-，则a b += ， a b -= . 六、课后作业1、已知3a =，4b =，且a 与b 的夹角150θ=，求：（1）a b ⋅；（2）22a b -；（3）()2a b +；（4）a b +；（5）()()23a b a b +⋅-2、已知2a =，5b =，a b ⋅=-3，求a b +，a b -；3、已知4a =，3b =，()()23261a b a b -⋅+=，求a 与b 的夹角θ及a b +值4. 设,m n 是两个单位向量，其夹角为60，求向量2a m n =+与23b n m =-的夹角.5．已知7,4,9a b a b ==+=，求a b -.6. 已知a ,b 是非零向量，且满足(2)a b a -⊥，(2)b a b -⊥，求a 与b 的夹角．。
2021年新教材高中数学第八章8.1.1向量数量积的概念学案新人教B版必修第三册19
第八章 向量的数量积与三角恒等变换8．1 向量的数量积 8．1.1 向量数量积的概念[课程目标] 1.理解平面向量数量积的含义． 2．体会平面向量的数量积与向量投影的关系．3．提高分析事物间相互联系的能力，培养学科间相互渗透的学习意识．[填一填]1．两个向量的夹角(1)给定两个非零向量a ，b ，在平面内任选一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则称[0，π]内的∠AOB 为向量a 与向量b 的夹角，记作〈a ，b 〉．并且有〈a ，b 〉＝〈b ，a 〉．(2)当〈a ，b 〉＝π2时，称向量a 与向量b 垂直，记作a ⊥b .在讨论垂直问题时，规定零向量与任意向量垂直．(3)当〈a ，b 〉＝0时，a 与b 同向； 当〈a ，b 〉＝π时，a 与b 反向；当〈a ，b 〉＝π2或a 与b 中至少有一个为零向量时，a ⊥b .2．向量的数量积(内积)(1)当a 与b 都是非零向量时，称|a ||b |cos 〈a ，b 〉为向量a 与b 的数量积(也称为内积)，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉．(2)两向量的数量积不是向量而是实数，它可以为正数、零、负数，要注意区分两向量数量积的运算性质与数乘向量、实数乘实数之间的差异．(3)a 与b 垂直的充要条件是它们的数量积为0，即a ⊥b ⇔a ·b ＝0. 3．向量的投影与向量数量积的几何意义(1)设非零向量AB →＝a ，过A 、B 分别作直线l 的垂线，垂足分别为A ′、B ′，则称向量A ′B ′→为向量a 在直线l 上的投影向量或投影．(2)如果a ，b 都是非零向量，则称|a |cos 〈a ，b 〉为向量a 在向量b 上的投影的数量． (3)向量数量积的几何意义：两个非零向量a ，b 的数量积a ·b ，等于a 在向量b 上的投影的数量与b 的模的乘积．4．平面向量的数量积的性质(1)如果e是单位向量，则a·e＝e·a＝|a|cos〈a，e〉；(2)a⊥b⇒a·b＝0，且a·b＝0⇒a⊥b；(3)a·a＝|a|2即|a|＝a·a；(4)cos〈a，b〉＝a·b|a||b|(|a||b|≠0)；(5)|a·b|≤|a||b|.[答一答]1．如何理解平面向量的数量积？提示：(1)此定义式同时也是两向量数量积的计算式．(2)向量的数量积a·b，不能表示为a×b或ab.(3)两个向量的数量积是一个数量，而不是向量．(4)a·b的几何意义是：a的长度与b在a方向上的射影的数量的乘积或b的长度与a在b 方向上的射影的数量的乘积．2．怎样确定两向量数量积的符号？提示：两向量的数量积的大小与两个向量的长度及其夹角都有关，符号由夹角的余弦值符号决定．设两个非零向量a与b的夹角为θ，则当a与b同向时，θ＝0°，cosθ＝1，a·b＝|a||b|；当θ为锐角时，cosθ>0，a·b>0；当θ为钝角时，cosθ<0，a·b<0；当a与b垂直时，θ＝90°，cosθ＝0，a·b＝0；当a与b反向时，θ＝180°，cosθ＝－1，a·b＝－|a||b|.由上可知，a·b>0⇒/ θ为锐角，因为还有可能是θ＝0°；a·b<0⇒/ θ为钝角，因为还有可能是θ＝180°.3．向量数量积的各条性质是如何证明的？提示：(1)①如果e是单位向量，则a·e＝e·a＝|a|·cos〈a，e〉．证明：a·e＝|a||e|cos〈a，e〉＝|a|cos〈a，e〉，e·a＝|e||a|cos〈e，a〉＝|a|cos〈a，e〉，∴a·e＝e·a＝|a|·cos〈a，e〉．②a⊥b⇔a·b＝0.证明：已知a⊥b，Ⓐ若a、b中至少有一个为零向量，则符合条件a⊥b，∴a·b＝0；Ⓑ若a≠0，b≠0，由已知〈a，b〉＝90°，∴a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝0.因此，a⊥b⇒a·b＝0.已知a·b＝0，Ⓐ若a、b中至少有一个为零向量，满足a·b＝0，根据定义知a⊥b；Ⓑ若a≠0，b≠0，则a·b＝|a||b|·cos〈a，b〉＝0，即cos〈a，b〉＝0.又因为0°≤〈a，b〉≤180°，∴〈a，b〉＝90°，∴a⊥b.因此，a·b＝0⇒a⊥b.综上所述，a⊥b⇔a·b＝0.③a·a＝|a|2或|a|＝a·a.证明：a·a＝|a||a|cos〈a，a〉＝|a|2cos0°＝|a|2，且|a|＝a·a.④cos〈a，b〉＝a·b|a||b|(a≠0，b≠0)．证明：a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉， ∴当a ≠0，b ≠0时，cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a ||b |. ⑤|a ·b |≤|a ||b |.证明：a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉≤|a ||b |.(2)性质①可以帮助理解数量积的几何意义；性质②可以解决有关垂直的问题；性质③可以求向量的长度；性质④可以求两向量的夹角；性质⑤可以解决有关不等式的问题，当且仅当a ∥b 时，等号成立.类型一 平面向量数量积的定义[例1] 已知|a |＝4，|b |＝5，当(1)a ∥b ；(2)a ⊥b ；(3)a 与b 的夹角为30°时，分别求a 与b 的数量积．[解] (1)a ∥b ，若a 与b 同向，则θ＝0°，a ·b ＝|a |·|b |·cos0°＝4×5＝20； 若a 与b 反向，则θ＝180°，∴a ·b ＝|a |·|b |cos180°＝4×5×(－1)＝－20. (2)当a ⊥b 时，θ＝90°， ∴a ·b ＝|a |·|b |cos90°＝0. (3)当a 与b 的夹角为30°时， a ·b ＝|a |·|b |cos30°＝4×5×32＝10 3.求平面向量数量积的步骤是：(1)求a 与b 的夹角θ，θ∈[0，π]；(2)分别求|a |和|b |；(3)求数量积，即a ·b ＝|a ||b |cos θ，要特别注意书写时a 与b 之间用实心圆点“·”连接，而不能用“×”连接，也不能省去．[变式训练1] 在等腰直角三角形ABC 中，AB ＝BC ＝4，则AB →·BC →＝0，BC →·CA →＝－16，CA →·AB →＝－16.解析：由题意知∠B ＝90°，∠A ＝∠C ＝45°， ∴AB →·BC →＝0.BC →·CA →＝|BC →|·|CA →|·cos135°＝4×42×⎝⎛⎭⎫－22＝－16. CA →·AB →＝|CA →|·|AB →|·cos135° ＝42×4×⎝⎛⎭⎫－22＝－16. 类型二 平面向量的投影[例2] 已知a ·b ＝－9，a 在b 方向上的投影的数量为－3，b 在a 方向上的投影的数量为－32，求a 与b 的夹角θ.[解] ∵⎩⎪⎨⎪⎧|a |cos θ＝－3，|b |cos θ＝－32，∴⎩⎨⎧a ·b|b |＝－3，a ·b |a |＝－32，即⎩⎨⎧－9|b |＝－3，－9|a |＝－32，∴⎩⎪⎨⎪⎧|a |＝6，|b |＝3. ∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝－96×3＝－12.∵0°≤θ≤180°，∴θ＝120°.a 在b 方向上的投影的数量也可以写成，投影的数量可正，可负，可为0，它的符号取决于θ角的范围.[变式训练2] 设非零向量a 和b ，它们的夹角为θ. (1)若|a |＝5，θ＝150°，求a 在b 方向上的投影的数量； (2)若a ·b ＝9，|a |＝6，求b 在a 方向上的投影的数量． 解：(1)|a |·cos θ＝5×cos150° ＝5×⎝⎛⎭⎫－32＝－532.∴a 在b 方向上的投影的数量为－532.(2)a ·b |a |＝96＝32.∴b 在a 方向上的投影的数量为32.类型三 平面向量的夹角问题[例3] 已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝4，且a ·b ＝2，则a 与b 的夹角为( ) A.π6 B.π4 C.π3D.π2[解析] 设a 与b 的夹角为θ，则根据向量数量积公式可得cos θ＝a ·b |a ||b |，则cos θ＝21×4＝12.∵θ∈[0，π]．∴θ＝π3. [答案] C[变式训练3] 在等边三角形ABC 中，向量AB →与向量BC →的夹角为120°；若E 为BC 的中点，则向量AE →与EC →的夹角为90°.解析：∵△ABC 为等边三角形，∴∠ABC ＝60°.如图，延长边AB 至点D ，使BD ＝AB ，∴AB →＝BD →，∴∠DBC 为向量AB →与BC →的夹角，且∠DBC ＝120°. 又∵E 为BC 的中点， ∴AE ⊥BC ， ∴AE →与EC →的夹角为90°.1．若|a |＝2，|b |＝4，a 与b 的夹角为30°，则a ·b 的值是( C ) A ．2 3 B ．4 C ．4 3 D ．8 3解析：a ·b ＝|a ||b |cos30°＝2×4×32＝4 3. 2．已知|b |＝3，a 在b 方向上的投影的数量为32，则a ·b 为( B )A ．3 B.92 C ．2 D.12解析：a ·b ＝|a ||b |cos θ＝|b |·|a |cos θ＝3×32＝92.故选B.3．已知平面上三点A ，B ，C ，满足|AB →|＝3，|BC →|＝4，|CA →|＝5，则AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB→的值等于( D )A ．－7B ．7C ．25D ．－25 解析：由条件知∠ABC ＝90°，所以原式＝0＋4×5cos(180°－C )＋5×3cos(180°－A )＝－20cos C －15cos A ＝－20×45－15×35＝－16－9＝－25.4．已知|a |＝3，|b |＝4，且a ·b ＝－6，则a 与b 的夹角是120°. 解析：设a 与b 的夹角为θ.由题意可得cos θ＝a ·b|a ||b |＝1－2，又θ∈[0，π]，所以θ＝120°.。
高中数学 两个向量的数量积教案 新人教B版选修2
《两个向量的数量积》说课教材：人教版普通高中课程标准实验教科书数学B版（选修2-1）我将通过教材分析、学情分析、目标设计、方法手段、过程设计和教学评价六个部分，阐述本课的教学设计．一、教材分析1．教学内容《两个向量的数量积》是新课标人教版选修2-1第三章第一大节里第三小节的内容，根据教学大纲，本节共1课时，主要内容是空间两个向量的夹角的概念和空间两个向量的数量积的概念、性质、运算率及简单应用．2．地位与作用空间两个向量的夹角、数量积是高中数学向量的重要内容，也是高考的重要考查内容.从知识的网络结构上看，空间向量夹角、数量积既是平面向量夹角、数量积概念的延续和拓展，又是后续空间向量数量积的计算坐标化和空间向量在立体几何中应用的教学基础，起到承上启下的作用.同时，用向量处理立体几何问题，可使学生克服空间想象力的障碍而顺利解题，为研究立体几何提供了新的思想方法和工具，具有相当大的优越性，而且在丰富学生思维结构的同时，应用数学的能力也得到了锻炼和提高.二、学情分析1．知识准备高二年级学生在掌握了平面向量夹角、数量积以及平面向量数量积的性质、运算率的基础上，又学习了空间向量的线性运算及空间向量的基本定理等有关知识，具有了一定的知识储备.但用向量解决立体几何问题时，要将几何问题等价转化为向量问题，这是本小节的一个难点.2．能力储备学生经过初中以及高一的数学学习，已具有一定的推理能力，数学思维也逐步向理性层次跃进，逐步形成了辩证思维体系．但学生自主探究问题的能力，由特殊到一般的归纳能力普遍还不够理想．3．学生情况考虑到任课实验班级学生数学基础较好、思维较为活跃的特点，加深了对概念的理解，并对例题的选择进行了适当的调整和延展，为向量在立体几何中的综合应用打好基础．根据新课程标准的理念以及对教材、学情的分析，我进行了如下目标设计．三、目标设计１．教学目标【知识与技能】（1）掌握空间向量夹角的概念及表示方法，掌握空间向量数量积的概念、性质、计算方法及运算率；（2）初步掌握空间向量数量积的用途，会用它解决立体几何中的一些简单问题.【过程与方法】经历概念的形成过程、经历用向量方法解决某些简单的几何问题的思维过程，体验数形结合思想的指导作用，体会向量是一种解决几何问题的有利工具，并鼓励学生灵活选择运用向量法解决立体几何问题，使学生亲身体验数学发现和创造的历程.【情感态度价值观】通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯；让学生领略数学严谨、基础、系统、实用的魅力.2．教学重点、难点为更好地完成教学目标，本课教学重、难点设置为：【重点】空间两个向量的夹角、数量积的概念、计算方法及其应用．【难点】空间两个向量数量积的几何意义以及把立体几何问题转化为向量计算问题.为达到教学目标，突出重点、突破教学难点．阐述方法手段：四、方法手段1.教学方法根据教学内容、教学目标和学生的认知水平，本节课主要采取教师启发讲授，学生探究学习的教学方法.教学过程中，根据教材提供的线索，安排适当的教学情境，引导学生独立自主地开展思维活动，并让学生展示相应的数学思维过程，深入探究，并合作交流，创造性地解决问题，最终获得方法，培养能力.2.教学手段教学中使用多媒体投影和计算机来辅助教学．目的是充分发挥其快捷、生动、形象的特点，为学生提供直观感性的材料，有助于学生对问题的理解和认识．五、过程设计根据课改的精神，本着“以学生发展为本”的教学理念，结合学生实际，对教学过程作了如下的设计：首先，通过步步设问引导学生掌握教材所要求的基本面：空间向量夹角的概念和空间向量数量积的概念、性质、计算方法及运算率；其次，鉴于向量兼容了代数、几何的特色，有着其独特的魅力和发展前景，为进一步让学生感受“向量法”的优势，安排了可以分别运用“几何法”和“向量法”来处理空间几何问题的例题.同时，为日后解决空间的度量、位置关系问题寻求一种新的方法，进一步拓展了学生的思维渠道.我把教学过程设计为四个阶段：创设情境，引入课题；类比探究，获得新知；回味建构，应用拓展；归纳小结，提高认识.时间安排如下：(一)创设情境，引入课题概念的形成主要依靠对感性材料的抽象概括，只有学生对学习对象有了丰富具体经验以后，才能使学生对学习对象进行主动的、充分的理解，因此在本阶段的教学中，我从分析具体例子出发，而不是从抽象语言入手来引入空间向量的相关概念.引例：（设计意图：以学生熟悉的正方体做为教学背景，预计学生应联想到平面向量的夹角和数量积，由此类比猜想引入新课，温故知新从而有效调动学生的学习积极性．）(二)类比探究，获得新知在本阶段的教学中，为使学生加深对空间向量的夹角和空间向量的数量积概念的本质的认识，我设计了三个环节，引导学生分别完成对空间向量夹角、数量积概念的三次认识，形成并掌握空间向量的夹角和空间向量的数量积概念，以及掌握空间两个向量数量积的性质、计算方法及运算率.1．回顾旧知，类比猜想在本环节的教学中，我主要设计了两个问题：问题1：平面向量的夹角和平面向量的数量积的概念？（设计意图：是从学生的已有认知出发，即从学生已具备的平面向量相关知识出发，为类比出空间向量夹角和数量积概念做铺垫，以备完成对空间向量夹角和数量积概念的第一次认识.）问题2：能否根据自己的理解说说什么是空间向量的夹角、数量积？教学中，我引导学生用自己的语言描述空间向量的相关概念.至此，学生对空间向量的夹角和数量积的概念就有了第一次直观、描述性的认识．（设计意图：对于概念教学，若学生能用自己的语言来表述概念，则能更好的理解和掌握概念.）2．探究原因，理性认识在此环节中，我设计了两个问题，通过对两个问题的研究、交流、讨论，使学生对空间两个向量夹角概念的认识由感性认识上升到理性认识的高度，使学生完成对概念的第二次认识．问题1：引例中如何确定的夹角？为什么？问题2：还有其它平移向量的方法吗？（设计意图：对于问题1中确定两个空间向量的夹角，学生易根据空间向量相等的定义通过平移向量来解决，困难是如何选择平移向量所到的确切位置．再通过问题2的讨论，使学生感受到空间向量平移的任意性，从而将对空间向量夹角的描述性认识过渡到理性的高度.）3．抽象思维，形成概念本环节在前面研究的基础上，引导学生归纳、抽象出空间两个向量夹角的概念：使学生经历从特殊到一般，从具体到抽象的认知过程，完成对概念的第三次认识.在本环节我设计了如下问题：问题1：异面直线的概念和异面直线所成的角：我们把不在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.把异面直线平移到一个平面内，这时两条直线的夹角（锐角或直角）叫做两条异面直线所成的角.问题2：如何解决引例中？（设计意图：学生们在掌握了空间向量夹角概念的基础上容易把空间向量的数量积用平面向量数量积来定义，从而形成空间两个向量数量积的概念.）已知空间两个向量，总可以把它们平移到一个平面内，把平面向量数量积叫做两个空间向量的数量积（或内积），记作，即．问题3：空间向量数量积的性质？空间向量数量积满足的运算率？（设计意图：学生们在掌握了空间向量的数量积概念的基础上，会自主探究得到空间向量数量积的性质及其满足的运算率与平面向量数量积的性质及其满足的运算率相同的结论.）性质：（1）；（2）；（3）；（4）.运算率：（1）；（2）；（3）．（三）回味建构，应用拓展本阶段的教学，主要是通过对教材例题的讲解并延展，引导学生思考交流、分析探究、归纳反思，体会向量在立体几何中的作用.例1.已知正方体ABCD-A1B1C1E1的棱长为1，设求：(1)；(2)；(3)；(4).（设计意图：使学生们通过空间向量数量积的性质及其运算率掌握向量数量积的计算方法，同时为例题2的解决打好基础.）例2.已知平面平面，=l，点A，B在内，并且它们在l上的正射影分别为A，B；点C，D在内，并且它们在l 上的正射影分别为C，D，求证：.证明过程的教学分为三个环节：难点突破、详细板书、归纳方法.1．难点突破对于该题的证明，问题主要集中在两个方面：一方面部分学生不知道该如何处理，不敢动笔；另一方面部分学生处理方法不科学，陷入困境.困难出现在如果直接使用空间向量数量积的概念证明等式成立，向量的夹角不易求，同时向量模的关系不易找.针对这两方面的问题，教学中，我组织学生讨论：（1）如何把已知的几何条件转化为向量表示？（2）引导学生回顾例1，并考虑一些未知的向量能否用基向量或其他已知向量表示？（3）如何对已经表示出来的向量进行运算，才能获得需要的结论？2．详细板书3．归纳方法在解决三个问题以及板书的基础上，我引导学生体会、归纳解决问题的方法.“传统解法”需作辅助线，有时不易作出；而使用“向量解法”，程序化强，便于操作.（设计意图：目的在于说明用向量解决立体几何中一些典型问题的基本思考方法，同时为后续借助向量坐标运算法则及公式解决立体几何问题做了一定的铺垫.）（四）归纳小结，提高认识由学生自主归纳、总结本节课所学习的主要内容，教师加以补充说明．1．课堂小结在知识层面上，总结空间向量夹角和数量积的概念；利用空间向量性质、运算率计算和证明几何问题的方法与步骤.在方法层面上，引导学生回顾知识探究过程中用到的思想方法和思维方法，如数形结合，等价转化，类比等，强调用“向量法”解决立体几何问题的优势，同时引导学生对学习过程作必要的反思，为后续的学习做好铺垫.（设计意图：通过学生自主归纳、总结，对本节所学的知识系统化、条理化，可进一步巩固知识，明确方法．）2．布置作业板书设计(设计意图：本课内容一览无遗，且具有启发性，突出重点.)六、教学评价通过与学生的问答交流，发现其思维过程，在鼓励的基础上，纠正偏差，并对其进行定性的评价；。
向量数量积的概念 导学案- 高一数学人教B版(2019)必修第三册
课 题 向量数量积的概念 课 型 新授课 学习目标 知识技能：1.了解向量数量积的物理背景，即物体在力F 的作用下产生位移s 所做的功. 2.掌握两个向量的夹角的定义.过程方法：情感、态度、价值观：理解向量的投影与向量数量积的几何意义．学科核心素养：重点难点 重点： 难点：掌握向量数量积的定义和性质学法指导学 习 活 动调控手段 备 注 一、预学案（自主探究）知识点一 两个向量的夹角1.给定两个非零向量a ，b ，在平面内任选一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则称[0，π]内的 为向量a 与向量b 的夹角，记作〈a ，b 〉．(1)〈a ，b 〉的取值范围是[0，π]．(2)〈a ，b 〉＝〈b ，a 〉．2．当〈a ，b 〉＝π2时，称向量a 与向量b 垂直，记作a ⊥b ，在讨论垂直问题时，规定零向量与任意向量垂直．知识点二 数量积的定义一般地，当a 与b 都是非零向量时，称|a ||b |cos 〈a ，b 〉为向量a 与b 的数量积(也称内积)，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉．(1)两个非零向量的数量积a ·b 是一个实数．可以是正数，也可以是0，还可以是负数．(2)当a 与b 至少有一个是零向量时，a ·b ＝0.二、教学案（合作学习）1.预习成果展示1．a 与b 的数量积a ·b 是一个向量．( )2．已知a ·b ＝0，那么a 与b 有可能不垂直．( )3．a 在b 上的投影一定是正数．( )4．若a ·b <0，则a 与b 的夹角为钝角．( ) 2.合作探究：例1 已知正三角形ABC 的边长为1，求：(1)AB →·AC →；(2)AB →·BC →；(3)BC →·AC →.训练1 如图，在▱ABCD 中，|AB →|＝4，|AD →|＝3，∠DAB ＝60°，求：(1)AD →·BC →；(2)AB →·DA →.例2 (1)已知在△ABC 中，AB ＝AC ＝4，AB →·AC →＝8，则△ABC 的形状是________．训练2 在△ABC 中，|AB →|＝3，|BC →|＝4，AB →·BC →＝－6，则∠B ＝________.例3 (1)已知|a |＝8，|b |＝2，〈a ，b 〉＝120°，则向量a 在b 上的投影为( )A ．2B ．－2C ．2bD ．－2b训练3 已知a ·b ＝－9，a 在b 上的投影的数量为－3，b 在a 上的投影的数量为－32，求a 与b 的夹角． 3.板书设计(小结）：三、习题案（达标检测）A1．已知|a |＝3，|b |＝4，且a 与b 的夹角θ＝150°，则a ·b 等于( )A ．－6B ．6C ．－6 3D ．6 3B2．已知|a |＝9，|b |＝62，a ·b ＝－54，则a 与b 的夹角θ为( )A ．45°B ．135°C ．120°D ．150°C3．已知|a |＝6，|b |＝3，〈a ，b 〉＝150°，则向量b 在a 上的投影的数量为( )A ．2 3B ．－2 3 C.332 D ．－332四、学习反思。
高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学必修4 2.3.1 向量数量积的物理背景与定义》00
《平面向量的数量积》教学设计朝阳市第一高级中学：陈娟【设计说明】对于平面向量的数量积的学习来说，要让学生从生活实例或是其他已有知识来认识平面向量的数量积，更重要的是让学生从数与形两个方面来理解平面向量的数量积的意义，通过思考，运用数形结合、一般到特殊的数学思想方法来掌握数量积的本质，并不是机械地记忆公式、死套公式和法则，做到了“知其然”，还知其“所以然”。
经过与原有知识的结合，同化数量积的概念，提高逻辑推理能力。
【教学目标】1知识与技能目标：正确理解平面向量的数量积的概念，能够运用这一概念求两个向量的数量积，并能根据条件逆用等式求向量的夹角2过程与方法目标：掌握平面向量的数量积的重要性质，并能运用这些性质解决有关问题培养学生的探索精神和严谨的科学态度以及实际动手能力，同时培养学生分析、综合、概括以及运算能力。
3情感、态度与价值观：激发学习数学的兴趣．鼓励学生自己探索，有意识地灌输学生的一些基本的数学思想方法．【教学重点】:平面向量的数量积概念、性质其应用【教学难点】:从数形两方面掌握平面向量的数量积的概念，平面向量的数量积的重要性质的理解【教学方法】:创设情境—引入概念—概念讲解—归纳提升—知识应用—课堂小结【教学工具】：多媒体【教学过程设计】一、创设问题情境,引出新知情景1：我们学习了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？设计意图:让学生回忆上一节课所学过的运算，得到这些运算的结果都是向量是，将公式中的力与位移推广到一般向量，结果是两个向量的模及其夹角余弦的乘积，这就引出了向量的一种新的运算一个物体在力F 的作用下产生了位移，那么力F 所做的功应当怎样计算？两个向量的夹角：1． 定义：已知两个______向量a ，b ，作___________________________， 则__________称为向量a 和向量b 的夹角，记作_____________。
规定： ______ ≤ a b ≤ ______2．作两个向量夹角的关键____________________________________ 3．三种特殊情况：a b =______ a b =______ a b =______ a 与b 方向_____ a 与b 方向_____ a 与b 方向_____二、向量在轴上的正射影阅读教材第108页，看图回答下列问题：(1) 向量a 在轴l 上的正射影是什么？(2) 向量a 在轴l 上的数量是什么？ (3) 向量a 在轴l 上的正射影的坐标怎样表示？ b a a ba b θA la 1A 1O l a O思考：向量a 在向量b 上的数量怎样表示？例1． 已知轴l 如图(1) 向量||5OA =，OA l =60，求OA 在轴l 上的正射影的数量OA 2 向量||5OB =，OB l =120,求OB 在轴l 上的正射影的数量1OB三、平面向量的数量积1．定义：_____________叫做向量a 和b 的数量积（或内积），记作______________，即______________________。
教案高中数学向量数量积
教案高中数学向量数量积
教学目标：
1. 了解向量数量积的定义和性质；
2. 掌握向量数量积的计算方法；
3. 能够运用向量数量积解决实际问题。
教学重点：
1. 向量数量积的定义；
2. 向量数量积的计算方法；
3. 向量数量积的性质。
教学步骤：
一、导入（5分钟）
教师引入向量数量积的概念，并与学生讨论向量数量积在实际生活中的应用。
二、讲解（20分钟）
1. 向量数量积的定义；
2. 向量数量积的计算方法；
3. 向量数量积的性质。
三、练习（25分钟）
1. 练习向量数量积的计算方法；
2. 解决一些实际问题。
四、总结（5分钟）
教师总结本节课的重点内容，强调向量数量积在解决实际问题中的应用。
五、作业布置（5分钟）
布置相关作业，巩固学生对向量数量积的理解和应用。
教学手段：
1. 多媒体课件；
2. 教学实例；
3. 练习题；
4. 白板和彩色笔。
教学评价：
1. 学生课堂表现；
2. 课堂练习成绩；
3. 作业完成情况。
人教版高中数学高一数学《向量数量积》学案
一、学习目标与自我评估 1掌握平面向量数量积的坐标表示 2能利用坐标求向量的模与夹角 3 能用向量的坐标解决有关长度、角度和垂直问题二、学习重点、难点1、平面向量数量积的坐标表示2、运用平面向量数量积性质解决有关问题三、学法指导 向量数量积的坐标运算可以解决几何中的距离、夹角与垂直问题，解决 这类问题会用方程的思想方法、函数的思想方法，还要完成几何位置关系 与向量关系的相互转化、向量关系与向量坐标关系的相互转化。
四、学习活动与意义建构五、重点与难点探究 例1、已知向量()()2,1,3,1a b ==-，求 （1）a b ⋅；（2）()()32a b a b -⋅-；（3）,a b 的夹角；（4）a b -。
例2、已知向量,a b 同向，()1,2,10b a b =⋅=。
（1）求向量a 的坐标；（2）若()2,1c =-，求()b c a ⋅⋅；（3）求与b 垂直的单位向量。
例3、在△ABC 中，设()()2,3,1,AB AC k ==，且△ABC 是直角三角 形，求k 的值。
例4、已知()()cos ,sin ,cos ,sin a b ααββ==，()0αβπ<<<，且 ka b +与a kb -长度相等，求βα-的值（其中k 为非零实数）。
例5、已知()133,1,,22a b ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭，且存在实数k 和t 使()23,x a t b y ka tb =+-=-+，且x y ⊥，试求2k t t +的最小值。
六、自主体验与运用1、已知()()11,1,1,2,3,2A B C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则AB AC ⋅= （ ） A 、52 B 、152 C 、52- D 、152- 2、已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为()()()3,4,5,2,1,4A B C --， 则这个三角形是 （ ）A 、锐角三角形B 、钝角三角形C 、直角三角形D 、等腰直角三角形3、已知向量()()2,3,1,2a b ==-，若ma b +与2a b -平行，则m 等于（ ）A 、-2B 、2C 、12- D 、12 4、若a b ⋅=0，2,3a b ==，且()()32a b a b λ+⋅-=0，则λ等于（ ） A 、32 B 、32- C 、32± D 、4 5、已知,i j 为互相垂直的单位向量，2,a i j b i j λ=-=+，且,a b 的夹角 为锐角，则实数λ的取值范围是 （ ）A 、()1,22,2⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭B 、1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C 、222,,33⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D 、1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ 6、已知()2,4a =，则与a 垂直的单位向量的坐标是 （ ）A 、,55⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭或,55⎛-- ⎝⎭B 、55⎛- ⎝⎭或,55⎛- ⎝⎭C 、55⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭或,55⎛-- ⎝⎭D 、55⎛- ⎝⎭或55⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ 7、已知()()3,0,,5a b k ==，且,a b 的夹角为34π，则k =8、已知,,a b c 是三个向量，给出下列命题：①若a b a c ⋅=⋅，且0a ≠，则b c =； ②若a b ⋅=0，则0a =或0b =； ③若a b ⊥，则a b ⋅=0； ④若向量,a b 的夹角为θ，则向量a 在b 上的投影是一个长度等于cos ,a θ⋅方向与b 相同或相反的向量。
8. 向量数量积的概念-【新教材】人教B版(2019)高中数学必修第三册精品课件
向 量 数 量 积 的几何 意义
【例2】 (1)(一题两空)已知|a|＝3，|b|＝5，且a·b＝－12，则a 在b方向上投影的数量为________，b在a方向上投影的数量为 ________．
(2)在△ABC中，已知|A→B|＝5，|B→C|＝4，|A→C|＝3，求： ①A→B·B→C； ②A→C在A→B方向上的投影的数量．
2．若|a|＝2，|b|＝1，a与b的夹角为60°，则a·b＝( )
A．12
B．14
C．1
D．2
C [a·b＝|a|·|b|cos 60°＝2×1×12＝1.]
第8章 8.1 8.1.1 向量数量积的概念-【新教材】人教B 版（201 9）高 中数学 必修第 三册课 件
第8章 8.1 8.1.1 向量数量积的概念-【新教材】人教B 版（201 9）高 中数学 必修第 三册课 件
4.如图，在△ABC中， A→C ， A→B 的夹角与 C→A ， A→B 的夹角的关系 为________．
互补 [根据向量夹角定义可知向量 A→B ， A→C 夹角为∠BAC，而 向量C→A，A→B夹角为π－∠BAC，故二者互补．]
合作 探究 释疑 难
平 面 向 量 数 量积的 概念与 运算
第8章 8.1 8.1.1 向量数量积的概念-【新教材】人教B 版（201 9）高 中数学 必修第 三册课 件
3．向量的投影与向量数量积的几何意义
(1)作法：设非零向量A→B＝a，过A，B分别作直线l的垂线，垂足
分别为__A_′，__B__′ _. (2)结论：称__向__量__A_→_′B_′_为向量a在直线l上的投影向量或投影．
2．利用向量的投影领会向
3．会运用数量积表示两个向量的夹角， 量的数量积的几何意义，提
人教课标版(B版)高中数学必修4《向量数量积的物理背景与定义》参考教案1
2.3.1 平面向量数量积的物理背景与定义一、教学目标1.知识与技能：掌握平面向量的数量积的定义、运算律及其物理意义。
2.过程与方法：（1）通过向量数量积物力背景的了解，体会物理学和数学的关系；（2）通过向量数量积定义的给出，体会简单归纳与严谨定义的区别；（3）通过向量数量积分配律的学习，体会类比，猜想，证明的探索式学习方法。
3.情感、态度与价值观：通过本节探究性学习，让学生尝试数学研究的过程。
二、教学重点、难点重点：平面向量数量积的定义难点：数量积的性质及运算律三、教学方法：探究性设计方法，提出问题，创设情境，引导学生参与教学过程四、教学过程a般的关系意义形成问题：给θ一个精确定义问题：定义向量的一种乘积运算，使得做功公式符合这种运算一、两个非零向量夹角的概念已知非零向量a与b，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB＝θ（0≤θ≤π）叫a与b的夹角说明：（1）当θ＝0时，a与b同向；（2）当θ＝π时，a与b反向；（3）当θ＝2π时，a与b垂直，记a⊥b；（4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的范围0︒≤θ≤180︒二、平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角是θ，则数量|a||b|c osθ叫a与b的数量积，记作a⋅b，即有a⋅b=|a||b|c osθ，（0≤θ≤π）并规定0与任何向量的数量积为0教师引导学生，注意：1.两向量必须同起点；2.θ的取值范围；3.数量积的定义公式形式；4.注意特殊向量零向量让学生自己体会数学的概括性、严谨性及可操作性问题：根据向量数量积的定义进行变形分析，总结性质（考虑特殊情况）结论：两个向量的数量积的性质：设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量，C|||b b |a 与b 中至少有一个为0；⑦对任意向量·b ）c ＝a （22a b =+22a b =-2221(())2b a b a b =+--例3、△A B C 为等腰直2，求AB BC BC CA CA BA ++。
【教案】向量的数量积教学设计-2022-2023学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
§6.2.4向量的数量积一、内容和内容解析内容：向量的数量积．内容解析：本节是高中数学人教A版必修2第六章第2节的第四课时内容．教材以物理中力作功为背景引入向量的数量积，与向量的加法、减法、数乘运算一样有明显的几何意义，用途广泛，但与向量的线性运算不同的是，数量积的运算结果是数量而不是向量.会计算两个向量的数量积，提升数学抽象的核心素养.通过探究投影向量的表达式，进而得到数量积的几何意义，提升直观想象，逻辑推理的核心素养.二、目标和目标解析目标：（1）通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积．（2）通过几何直观，了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义．（3）会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．目标解析：（1）能从物理中“功”的具体实例中，引出向量的数量积的概念，能依据数量积的概念计算平面向量的数量积，并能像了解实数的运算律一样，通过具体实例了解向量数量积的性质．（2）能从图形中判断向量投影与投影向量，知道向量投影是一种正交变换，并能表示投影向量与原向量之间的关系，能借助向量投影与投影向量体会向量数量积的几何意义．（3）知道两个平面向量的垂直等价于其数量积为零，并能用这一结论进行向量运算．三、教学问题诊断分析1．教学问题一：两个向量夹角的定义是指同一点出发的两个向量所构成的较小的非负角，因此向量夹角定义理解不清而造成解题错误是一些常见的误区．同时利用向量的数量积，可以解决两向量垂直问题，要深刻理解两向量垂直的充要条件，应用的时候才能得心应手．解决方案：数形结合让学生体验夹角的概念，强调夹角一定是共起点的最小角.2．教学问题二：向量的数量积是一种新的向量运算，与向量的加法、减法、数乘运算一样，它也有明显的物理意义、几何意义，用途广泛．但与向量的线性运算不同的是，它的运算结果不是向量而是数量，正是这个不同点沟通了向量运算与数量之间的关系．解决方案：强调两个非零向量的数量积是数量，而不是向量，它的值是两个向量的长度与两个向量夹角的余弦的乘积.3．教学问题三：对于向量的数量积运算，学生容易受实数乘法运算性质的负迁移的影响，可能出现一些错误，教师要尽可能地引导学生举一些反例，纠正错误．解决方案：引导学生借助画图、举反例来澄清认识，体会向量运算与实数运算的差异．基于上述情况，本节课的教学难点定为：数量积的性质及其应用．四、教学策略分析本节课的教学目标与教学问题为我们选择教学策略提供了启示．数量积的概念既是本节课的重点，也是难点.为了突破这一难点，首先无论是在概念的引入还是应用过程中，物理中“功”的实例都发挥了重要作用.其次，作为数量积概念延伸的性质和运算律，不仅能够使学生更加全面深刻地理解概念，同时也是进行相关计算和判断的理论依据.最后，无论是数量积的性质还是运算律，都希望学生在类比的基础上，通过主动探究来发现，因而对培养学生的抽象概括能力、推理论证能力和类比思想都无疑是很好的载体.在教学设计中，采取问题引导方式来组织课堂教学．问题的设置给学生留有充分的思考空间，让学生围绕问题主线，通过自主探究达到突出教学重点，突破教学难点．在教学过程中，重视数量积的概念和运算律，让学生在类比的基础上体会到从特殊到一般是数学抽象的基本过程．因此，本节课的教学是实施数学具体内容的教学与核心素养教学有机结合的尝试．五、教学过程与设计教学环节问题或任务师生活动设计意图创设情境引入新知[问题1]我们已经研究了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？[问题2]我们是怎么引入向量的加法运算的？我们又是按照怎样的顺序研究了这种运算的？[问题3]当力F与运动方向成某一角度时，力F对物体所做的功等于多少呢？教师1：提出问题1．学生1：学生思考．教师2：提出问题2．学生2：学生思考．物理模型→概念→性质→运算律→应用.教师3：提出问题3．学生3：cosW FSθ=使学生在与向量加法类比的基础上明了本节课的研究方法和顺序，为教学活动指明方向.探寻规律，明[问题4]向量的夹角该如何定义？它的范围是什么？教师4：提出问题4．学生4：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作OA＝a，OB=b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角.范围是：[0,]π教师5：我们可以用图来表示：通过此环节不仅使学生认识到数量积的结果与线性运算的结果有着本确概念[问题5]你能用文字语言来表述功的计算公式吗?如果我们将公式中的力与位移推广到一般向量，其结果又该如何表述？[问题6]向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同？影响数量积大小的因素有哪些？例1.已知|a|=5，|b|=4，a与b的夹角θ=23π，求a⋅b．例2.设|a|=12，|b|=9，a⋅b=542-，求a与b的夹角θ．当=0，a与b同向；当=，a与b反向；当=2，a与b垂直教师6：提出问题5．学生5：功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积；两个向量的大小及其夹角余弦的乘积.教师7：明确概念：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为α，我们把数量︱a︱︱b︱cosα叫做a与b的数量积（或内积），记作：a b⋅，即：a b⋅ =︱a︱︱b︱cosα.规定：零向量与任一向量的数量积均为0.教师8：提出问题6．学生6：数量积的结果是数，线性运算的结果是向量.学生7：影响因素有：模长和夹角.教师9：完成表格：角α的范围00090α≤<090α=0090180α<≤a b⋅的符号学生8：学生思考，完成表格.教师10：追问：你能用数量积的概念解决以下问题吗？学生9：学生思考，完成例题.教师11：引入投影向量：如图，设a,b是两个非零向量，AB＝a，CD＝b，作如下变换：过AB的起点A和终点B，分别作CD所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到11AB，质的不同，而且认识到向量的夹角是决定数量积结果的重要因素，为下面更好地理解数量积的性质和运算律做好铺垫.通过例题巩固数量积的概念．这样做不仅让学生从“形”的角度重新认识数量积的概念，从中体[问题7]如图，在平面内任取一点O，作OM=a,ON=b,设与b方向相同的单位向量为e,a与b的夹角为，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则1OM等于什么？[问题8]数量积的几何意义是什么？【练习】已知非零向量a与b 的夹角为45°，|a|=2，与b方向相同的单位向量为e,向量a在向量b上的投影向量为c,则c= .[问题9]根据数量积的概念，数量积有哪些性质？[问题10]类比数的乘法运算律，结合向量的线性运算的运算律，你能得到数量积运算的哪我们称上述变换为向量a向向量b投影，11AB叫做向量a在向量b上的投影向量.教师12：提出问题7.学生10：1OM=|a|cos e.教师13：提出问题8.学生11：a b⋅=b⋅a在b上的投影向量.教师14：完成练习学生12：c=|a|cos45°e=222e=2e.教师15：提出问题9：师生共同总结数量积的性质：(1) a⋅e=e⋅a=| a|cos.(2)a⊥b⇔a⋅b＝0.(3)当a与b同向时，a⋅b＝|a||b|；当a与b反向时，a⋅b＝－|a|b|.(4) a·a＝a2=|a|2或|a|＝a·a＝a2.(5)| a⋅b|≤|a||b|.(6)cosθ＝a·b|a||b|.学生结合数量积的定义自己尝试推证上述性质，教师会数量积与向量投影的关系，同时也更符合知识的连贯性.结合数量积、投影的概念和几何意义，让学生自己尝试得到数量积些运算律？能否证明一下？给予必要的补充和提示，学生在推导过程中理解并记忆这些性质.教师16：提出问题10：学生13：教师17：表格中的结论有没有问题？学生14：数量积的结合律一般不成立，因为(a·b)·c是一个与c共线的向量，而(a·c)·b是一个与b共线的向量，两者一般不同．教师18：向量数量积的运算律交换律a·b＝b·a对数乘的结合律(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)分配律(a＋b)·c＝a·c＋b·c 的性质，培养学生独立思考的能力．有了运算方法就有运算律，通过问题让学生理解平面向量数量积运算律，并运用投影向量的性质证明数量积的分配律．典例探究落实巩固1.求投影向量例3.已知|a|＝4，e为单位向量，它们的夹角为2π3，则向量a在向量e上的投影向量是______；向量e在向量a上的投影向量是________．2.利用数量积解决向量的夹角和垂直问题例4.已知非零向量a，b满足|b|＝4|a|，且a⊥(2a＋b)，则a与b的夹角为()教师19：完成例3学生15：向量a在向量e上的投影向量是|a|cosθe=4cos2π3e=－2e.因为与向量a方向相同的单位向量为aa=14a，所以向量e在向量a上的投影向量是|e|cosθaa=cos2π314a=－18a.教师20：完成例4学生16：由题意，得a·(2a＋b)＝2a2＋a·b＝0，即a·b通过例题，让学生熟悉向量数量积的运算．A ．π3B ．π2C ．2π3D ．5π63利用数量积求向量的模例5.已知|a |＝|b |＝5，向量a 与b 的夹角为π3，求|a ＋b |，|a －b |的值．[课堂练习1] 设向量a ，b 满足|a +b|=10|a -b|=6，则 a·b =（ ）．A ．1B ．2C ．3D ．5 [课堂练习2]设向量a ，b 满足|a |=|b |=1，a·b =14-,则|a +2b|=_____.＝－2a 2，设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a |·|b |＝－2a 24a 2＝－12，所以θ＝2π3，故选C ．教师21：完成例5学生17：因为a 2＝|a |2＝25，b 2＝|b |2＝25，a·b ＝|a||b |cos θ＝5×5×cos π3＝252，所以|a ＋b |＝(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2a·b ＝25＋25＋25＝53，|a －b |＝(a －b )2＝a 2＋b 2－2a·b ＝25＋25－25＝5.教师18：布置课堂练习1、2． 学生16：完成课堂练习，并订正答案．课堂练习1：考查学生对平面向量数量积运算的掌握情况课堂练习2： 考查学生通过平面向量数量积运算求向量的模的能力． 课堂小结[问题11]通过这节课，你学到了什么知识？在解决问题时，用到了哪些数学思想？[课后练习]1.若|m |＝4，|n |＝6，m 与n 的夹角为135°，则m ·n ＝( ) A ．12 B ．12 2教师19：提出问题11． 学生17：思考.教师20：布置课后练习师生共同回顾总结：引领学生感悟数学认知的过程，体会数学核心素养．升华认知 C．－12 2 D．－122.若向量a与b的夹角为60°，|b|＝4，且(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则a的模为()A．2B．4C．6 D．123.已知|a|＝|b|＝1，a与b的夹角是90°，c＝2a＋3b，d＝k a－4b，c与d垂直，则k的值为()A．－6 B．6C．3 D．－34.已知|b|＝5，a·b＝12，则向量a在向量b上的投影向量为________．学生18：学生课后进行思考，并完成课后练习．答案：C，C，B，1225b课后练习：巩固定理，是对本节知识的一个深化认识，同时也为下节内容做好铺垫．。
高中数学人教版B版精品学案《向量数量积的概念》
向量数量积的概念
【学习过程】
一、新知初探
3aa－3b，求当m 为何值时，c 与d垂直？
[思路探究]由条件计算a·b，当c ⊥ d时，c·d＝0列方程求解m。
四、精炼反馈
1．已知点A，B，C满足|错误!3aa－3b）＝3m a2＋（5m－9）a·b－15b2＝27m＋3（5m－9）－60＝42m－87＝0，
⊥m＝错误!，即m＝错误!时，c与d垂直。
即9|b|2＝13|b|2＋12|b|2co θ，故有co θ＝－错误!。
]
四、精炼反馈
1．【答案】A
【解析】因为|错误!|2＋|错误!|2＝9＋16＝25＝|错误!|2，
所以⊥ABC＝90°，所以原式＝错误!·错误!＋错误!·（错误!＋错误!）＝0＋错误!·错误!＝－错误!2＝－25．
2．【答案】B
【解析】设a与b的夹角为α，⊥（a－b）⊥b，⊥（a－b）·b＝0，⊥a·b＝b2，⊥|a|·|b|co α＝|b|2，又|a|＝2|b|，⊥co α＝错误!，⊥α⊥[0，π]，⊥α＝错误!。
故选B．
3．【答案】12021【解析】因为a在e方向上的射影为－2，
即|a| co〈a，e〉＝－2，所以co〈a，e〉＝错误!＝－错误!，
又〈a，e〉⊥[0，π]，所以〈a，e〉＝12021]
4．【答案】设a，b的夹角为θ，
则b在a方向上的投影的数量就是|b| co θ，
因为|a||b| co θ＝a·b＝2021所以|b| co θ＝错误!＝错误!＝4，
即b在a方向上的投影的数量是4。
高中数学(人教B版)必修第三册：向量数量积的概念【精品课件】
当0 ≤ a，b π 时，a b 0； 2
b a 图4
b
a
当0 ≤ a，b π 时，a b 0；
图4
当a，b
π
2
，cosa，b
0，此时a
b
a
|b
cosa，b
0；
2
b a
图4 当 π < a，b < π, cosa，b < 0，此时a b a b cosa，b < 0；
2
b
所以1≤ cosa，b ≤ 1，
所以 cosa，b ≤ 1，
3.向量数量积的性质
设a和b都是非零向量.
由向量的数量积可知
a b a b cosa，b
a b a b cosa，b，
a b cosa，b
因为0≤ a, b ≤ π，
所以1≤ cosa，b ≤ 1，
所以 cosa，b ≤ 1，
1.两个向量的夹角
给定两个非零向量 a，b，在平面内任选一点O，作
OA a，OB b，则称[0，π]内的 AOB为向量a与向量b的
夹角，记作 a，b.
注意：判断两个非零向量的夹角必须将其平移到同一个起点. 规定：在讨论垂直问题时，零向量和任意向量垂直.
结论： (1) 0≤ a，b≤π；
(2) a，b b，a.
当 π a，b≤π时，a b 0. 2
b
a
图4
2.向量数量积的定义
(3)两个非零向量的数量积既可以 是正数，也可以是零，还可以是
b
a
负数，符号由两个向量夹角决定.
图4
当0 ≤ a，b π 时，a b 0；
2
当a，b π 时，a b 0；
规定：零向量与任意向量的数量积为0.
人教新课标版数学高一B版必修4学案 向量数量积的坐标运算与度量公式
2.3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式明目标、知重点 1.理解两个向量数量积坐标表示的推导过程，能运用数量积的坐标表示进行向量数量积的运算.2.能根据向量的坐标计算向量的模，并推导平面内两点间的距离公式.3.能根据向量的坐标求向量的夹角及判定两个向量垂直.1.平面向量数量积的坐标表示若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2. 即两个向量的数量积等于相应坐标乘积的和. 2.两个向量垂直的坐标表示设两个非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)， 则a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. 3.平面向量的长度(1)向量长度公式：设a ＝(x 1，y 1)，则|a |＝x 21＋y 21.(2)两点间距离公式：若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. 4.向量的夹角公式设两非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a·b|a||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22.在平面直角坐标系中，平面向量可以用有序实数对来表示，两个平面向量共线的条件也可以用坐标运算的形式刻画出来，那么学习了平面向量的数量积之后，它能否用坐标来表示？若能，如何通过坐标来实现？平面向量的数量积还会是一个有序实数对吗？同时，平面向量的模、夹角又该如何用坐标来表示？通过回顾两个向量的数量积的定义向向量的坐标表示，在此基础上推导、探索平面向量数量积的坐标表示. 探究点一 平面向量数量积的坐标表示思考1 已知两个非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，怎样用a 与b 的坐标表示a ·b? 答 ∵a ＝x 1i ＋y 1j ，b ＝x 2i ＋y 2j ， ∴a ·b ＝(x 1i ＋y 1j )·(x 2i ＋y 2j )＝x 1x 2i 2＋x 1y 2i ·j ＋x 2y 1j ·i ＋y 1y 2j 2. 又∵i ·i ＝1，j ·j ＝1，i ·j ＝j ·i ＝0， ∴a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.思考2 若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2，这就是平面向量数量积的坐标表示.你能用文字描述这一结论吗？答 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和. 例1 已知a 与b 同向，b ＝(1,2)，a·b ＝10. (1)求a 的坐标；(2)若c ＝(2，－1)，求a (b·c )及(a·b )c .解 (1)设a ＝λb ＝(λ，2λ) (λ>0)，则有a·b ＝λ＋4λ＝10，∴λ＝2，∴a ＝(2,4). (2)∵b·c ＝1×2－2×1＝0，a·b ＝1×2＋2×4＝10， ∴a (b·c )＝0a ＝0，(a·b )c ＝10(2，－1)＝(20，－10).反思与感悟 两个向量的数量积是实数，这和前面三种运算性质不同.同时本例进一步验证了平面向量的数量积不满足结合律.跟踪训练1 若a ＝(2,3)，b ＝(－1，－2)，c ＝(2,1)，则(a·b )·c ＝____________；a·(b·c )＝____________.答案 (－16，－8) (－8，－12) 解析 ∵a·b ＝2×(－1)＋3×(－2)＝－8， ∴(a·b )·c ＝－8×(2,1)＝(－16，－8). ∵b·c ＝(－1)×2＋(－2)×1＝－4， ∴a·(b·c )＝(2,3)×(－4)＝(－8，－12).探究点二 平面向量长度的坐标形式及两点间的距离公式 思考1 若a ＝(x ，y )，如何计算向量的长度|a |? 答 ∵a ＝x i ＋y j ，∴a 2＝(x i ＋y j )2＝(x i )2＋2xy i ·j ＋(y j )2 ＝x 2i 2＋2xy i ·j ＋y 2j 2. 又∵i 2＝1，j 2＝1，i ·j ＝0， ∴a 2＝x 2＋y 2，∴|a |2＝x 2＋y 2， ∴|a |＝x 2＋y 2.思考2 若A (x 1，y 2)，B (x 2，y 2)，如何计算向量AB →的长度？答 如图，∵AB →＝OB →－OA →＝(x 2，y 2)－(x 1，y 1) ＝(x 2－x 1，y 2－y 1)， ∴|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.例2 已知在△ABC 中，A (2，－1)、B (3,2)、C (－3，－1)，AD 为BC 边上的高，求|AD →|与点D 的坐标.解 设点D 坐标为(x ，y )，则AD →＝(x －2，y ＋1)，BC →＝(－6，－3)， BD →＝(x －3，y －2)，∵D 在直线BC 上，即BD →与BC →共线， ∴存在实数λ，使BD →＝λBC →， 即(x －3，y －2)＝λ(－6，－3).∴⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝－6λ，y －2＝－3λ.∴x －3＝2(y －2)，即x －2y ＋1＝0.① 又∵AD ⊥BC ，∴AD →·BC →＝0， 即(x －2，y ＋1)·(－6，－3)＝0， ∴－6(x －2)－3(y ＋1)＝0. 即2x ＋y －3＝0.②由①②可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，即D 点坐标为(1,1)，AD →＝(－1,2). ∴|AD →|＝(－1)2＋22＝5，即|AD →|＝5，D (1,1).反思与感悟 在几何里利用垂直及长度来求解点的题型是一种常见题型，其处理方法：设出点的坐标，利用垂直及长度列出方程组进行求解.跟踪训练2 以原点和A (5,2)为两个顶点作等腰直角△OAB ，∠B ＝90°，求点B 和AB →的坐标. 解 设B (x ，y )，则|OB →|＝x 2＋y 2，∵B (x ，y )，A (5,2)，∴|AB →|＝(x －5)2＋(y －2)2.又∵|AB →|＝|OB →|，∴(x －5)2＋(y －2)2＝x 2＋y 2.可得10x ＋4y ＝29，①又OB →＝(x ，y )，AB →＝(x －5，y －2)，且OB →⊥AB →， ∴OB →·AB →＝0，∴x (x －5)＋y (y －2)＝0， 即x 2－5x ＋y 2－2y ＝0，②由①②解得⎩⎨⎧x 1＝32，y 1＝72，或⎩⎨⎧x 2＝72，y 2＝－32.∴B ⎝⎛⎭⎫32，72或⎝⎛⎭⎫72，－32. ∴AB →＝⎝⎛⎭⎫－72，32或AB →＝⎝⎛⎭⎫－32，－72. 探究点三 平面向量夹角的坐标表示思考1 设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，若a ⊥b ，则x 1，y 1，x 2，y 2之间的关系如何？反之成立吗？答 a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.思考2 设a ，b 都是非零向量，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ是a 与b 的夹角，那么cos θ如何用坐标表示？答 cos θ＝a·b|a||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22. 例3 已知a ＝(1,2)，b ＝(1，λ)，分别确定实数λ的取值范围，使得：(1)a 与b 的夹角为直角；(2)a 与b 的夹角为钝角；(3)a 与b 的夹角为锐角. 解 设a 与b 的夹角为θ， 则a·b ＝(1,2)·(1，λ)＝1＋2λ.(1)因为a 与b 的夹角为直角，所以cos θ＝0， 所以a·b ＝0，所以1＋2λ＝0，所以λ＝－12.(2)因为a 与b 的夹角为钝角，所以cos θ<0且cos θ≠－1， 所以a·b <0且a 与b 不反向. 由a·b <0得1＋2λ<0，故λ<－12，由a 与b 共线得λ＝2，故a 与b 不可能反向. 所以λ的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－12. (3)因为a 与b 的夹角为锐角，所以cos θ>0，且cos θ≠1， 所以a·b >0且a ，b 不同向.由a·b >0，得λ>－12，由a 与b 同向得λ＝2.所以λ的取值范围为⎝⎛⎭⎫－12，2∪(2，＋∞). 反思与感悟 由于两个非零向量a ，b 的夹角θ满足0°≤θ≤180°，所以用cos θ＝a·b|a||b |来判断，可将θ分五种情况：cos θ＝1，θ＝0°；cos θ＝0，θ＝90°；cos θ＝－1，θ＝180°；cos θ<0且cos θ≠－1，θ为钝角；cos θ>0且cos θ≠1，θ为锐角.跟踪训练3 已知a ＝(1，－1)，b ＝(λ，1)，若a 与b 的夹角α为钝角，求λ的取值范围. 解 ∵a ＝(1，－1)，b ＝(λ，1)， ∴|a |＝2，|b |＝1＋λ2，a ·b ＝λ－1.∵a ，b 的夹角α为钝角.∴⎩⎪⎨⎪⎧λ－1<0，21＋λ2≠1－λ，即⎩⎪⎨⎪⎧λ<1，λ2＋2λ＋1≠0.∴λ<1且λ≠－1.∴λ的取值范围是(－∞，－1)∪(－1,1).1.已知a ＝(3，－1)，b ＝(1，－2)，则a 与b 的夹角为( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π2 答案 B解析 ∵|a |＝10，|b |＝5，a ·b ＝5. ∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝510×5＝22. 又∵a ，b 的夹角范围为. ∴a 与b 的夹角为π4.2.已知向量a ＝(1，n )，b ＝(－1，n )，若2a －b 与b 垂直，则|a |等于( ) A.1 B. 2 C.2 D.4 答案 C解析 ∵(2a －b )·b ＝2a ·b －|b |2 ＝2(－1＋n 2)－(1＋n 2)＝n 2－3＝0， ∴n 2＝3.∴|a |＝12＋n 2＝2.3.在△ABC 中，∠C ＝90°，AB →＝(k,1)，AC →＝(2,3)，则k 的值为________. 答案 5解析 ∵BC →＝AC →－AB →＝(2,3)－(k,1)＝(2－k,2)， AC →＝(2,3)，∴BC →·AC →＝2(2－k )＋6＝0，∴k ＝5.4.已知平面向量a ＝(2,4)，b ＝(－1,2)，若c ＝a －(a ·b )b ，则|c |＝________. 答案 82解析 ∵a ＝(2,4)，b ＝(－1,2)， ∴a ·b ＝2×(－1)＋4×2＝6， ∴c ＝a －6b ， ∴c 2＝a 2－12a ·b ＋36b 2 ＝20－12×6＋36×5＝128. ∴|c |＝8 2.1.向量的坐标表示简化了向量数量积的运算.为利用向量法解决平面几何问题以及解析几何问题提供了完美的理论依据和有力的工具支持.2.应用数量积运算可以解决两向量的垂直、平行、夹角以及长度等几何问题，在学习中要不断地提高利用向量工具解决数学问题的能力.3.注意区分两向量平行与垂直的坐标形式，二者不能混淆，可以对比学习、记忆.若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2).则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0，a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.一、基础过关1.已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，m ).若向量a ，b 的夹角为π6，则实数m 等于( )A.2 3B. 3C.0D.－3 答案 B解析 ∵a ·b ＝(1，3)·(3，m )＝3＋3m ， 又a ·b ＝12＋(3)2×32＋m 2×cos π6，∴3＋3m ＝12＋(3)2×32＋m 2×cos π6，∴m ＝ 3.2.已知a ＝(－3,2)，b ＝(－1,0)，向量λa ＋b 与a －2b 垂直，则实数λ的值为( ) A.－17B.17C.－16D.16答案 A解析 由a ＝(－3,2)，b ＝(－1,0)， 知λa ＋b ＝(－3λ－1,2λ)，a －2b ＝(－1,2). 又(λa ＋b )·(a －2b )＝0， ∴3λ＋1＋4λ＝0，∴λ＝－17.3.平面向量a 与b 的夹角为60°，a ＝(2,0)，|b |＝1，则|a ＋2b |等于( ) A. 3 B.23 C.4 D.12 答案 B解析 ∵a ＝(2,0)，|b |＝1， ∴|a |＝2，a ·b ＝2×1×cos 60°＝1. ∴|a ＋2b |＝a 2＋4·a ·b ＋4b 2＝2 3.4.已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3).若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c 等于( ) A.⎝⎛⎭⎫79，73 B.⎝⎛⎭⎫－73，－79 C.⎝⎛⎭⎫73，79 D.⎝⎛⎭⎫－79，－73 答案 D解析 设c ＝(x ，y )，则c ＋a ＝(x ＋1，y ＋2)， 又(c ＋a )∥b ，∴2(y ＋2)＋3(x ＋1)＝0.① 又c ⊥(a ＋b )，∴(x ，y )·(3，－1)＝3x －y ＝0.② 由①②解得x ＝－79，y ＝－73.5.若向量a ＝(1,2)，b ＝(1，－1)，则2a ＋b 与a －b 的夹角等于( ) A.－π4 B.π6 C.π4 D.3π4答案 C解析 2a ＋b ＝2(1,2)＋(1，－1)＝(3,3)， a －b ＝(1,2)－(1，－1)＝(0,3)， (2a ＋b )·(a －b )＝9， |2a ＋b |＝32，|a －b |＝3.设所求两向量夹角为α，则cos α＝932×3＝22，∵α∈，∴α＝π4.6.设a ＝(2，x )，b ＝(－4,5)，若a 与b 的夹角θ为钝角，则x 的取值范围是________. 解 ∵θ为钝角，∴cos θ＝a ·b|a ||b |<0， 即a ·b ＝－8＋5x <0，∴x <85.∵a ∥b 时有－4x －10＝0，即x ＝－52，当x ＝－52时，a ＝(2，－52)＝－12b ，∴a 与b 反向，即θ＝π.故a 与b 的夹角为钝角时，x <85且x ≠－52.7.已知a ＝(4,3)，b ＝(－1,2). (1)求a 与b 的夹角的余弦；(2)若(a －λb )⊥(2a ＋b )，求实数λ的值. 解 (1)∵a ·b ＝4×(－1)＋3×2＝2， |a |＝42＋32＝5，|b |＝(－1)2＋22＝5，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝255＝2525. (2)∵a －λb ＝(4＋λ，3－2λ)，2a ＋b ＝(7,8)， 又(a －λb )⊥(2a ＋b )，∴(a －λb )·(2a ＋b )＝7(4＋λ)＋8(3－2λ)＝0， ∴λ＝529.二、能力提升8.已知向量m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则λ等于( ) A.－4 B.－3 C.－2 D.－1答案 B解析 因为m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2). 所以m ＋n ＝(2λ＋3,3)，m －n ＝(－1，－1). 因为(m ＋n )⊥(m －n )，所以(m ＋n )·(m －n )＝0， 所以－(2λ＋3)－3＝0，解得λ＝－3.9.已知点A (－1,1)、B (1,2)、C (－2，－1)、D (3,4)，则向量AB →在CD →方向上的正射影的数量为( ) A.322B.3152C. －322D.－3152答案 A解析 ∵AB →＝(2,1)，CD →＝(5,5)， ∴AB →在CD →方向上的正射影的数量为 AB →·CD →|CD →|＝2×5＋1×552＋52＝1552＝322.10.平面向量a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，c ＝m a ＋b (m ∈R )，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝________. 答案 2解析 因为向量a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，所以c ＝m a ＋b ＝(m ＋4,2m ＋2)，所以a ·c ＝m ＋4＋2(2m ＋2)＝5m ＋8，b ·c ＝4(m ＋4)＋2(2m ＋2)＝8m ＋20. 因为c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角， 所以a ·c |a ||c |＝b ·c |b ||c |，即a ·c |a |＝b ·c|b |，所以5m ＋85＝8m ＋2025，解得m ＝2.11.在△ABC 中，AB →＝(2,3)，AC →＝(1，k )，若△ABC 是直角三角形，求k 的值. 解 ∵AB →＝(2,3)，AC →＝(1，k )， ∴BC →＝AC →－AB →＝(－1，k －3).若∠A ＝90°，则AB →·AC →＝2×1＋3×k ＝0， ∴k ＝－23；若∠B ＝90°，则AB →·BC →＝2×(－1)＋3(k －3)＝0， ∴k ＝113；若∠C ＝90°，则AC →·BC →＝1×(－1)＋k (k －3)＝0， ∴k ＝3±132.故所求k 的值为－23或113或3±132.12.设a ＝(1,2)，b ＝(－2，－3)，又c ＝2a ＋b ，d ＝a ＋m b ，若c 与d 夹角为45°，求实数m 的值.解 ∵a ＝(1,2)，b ＝(－2，－3)，∴c ＝2a ＋b ＝2(1,2)＋(－2，－3)＝(0,1)，d ＝a ＋m b ＝(1,2)＋m (－2，－3)＝(1－2m,2－3m )，∴c ·d ＝0×(1－2m )＋1×(2－3m )＝2－3m .又∵|c |＝1，|d |＝(1－2m )2＋(2－3m )2， ∴cos 45°＝c ·d |c ||d |＝2－3m (1－2m )2＋(2－3m )2＝22. 化简得5m 2－8m ＋3＝0，解得m ＝1或m ＝35. 三、探究与拓展13.已知三个点A (2,1)，B (3,2)，D (－1,4).(1)求证：AB ⊥AD ；(2)要使四边形ABCD 为矩形，求点C 的坐标并求矩形ABCD 两对角线所成的锐角的余弦值.(1)证明 ∵A (2,1)，B (3,2)，D (－1,4)，∴AB →＝(1,1)，AD →＝(－3,3)，又∵AB →·AD →＝1×(－3)＋1×3＝0，∴AB →⊥AD →，即AB ⊥AD .(2)解 AB →⊥AD →，四边形ABCD 为矩形，∴AB →＝DC →.设C 点坐标为(x ，y )，则AB →＝(1,1)，DC →＝(x ＋1，y －4)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1＝1，y －4＝1， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝5.∴C 点坐标为(0,5). 由于AC →＝(－2,4)，BD →＝(－4,2)，所以AC →·BD →＝8＋8＝16>0，|AC →|＝2 5，|BD →|＝2 5.设AC →与BD →夹角为θ，则cos θ＝AC →·BD →|AC →|·|BD →|＝1620＝45>0， ∴矩形的两条对角线所成的锐角的余弦值为45.。
辽宁省高级中学高中数学(人教B版)选修2-1教案：3.1.3向量的数量积2
2分钟
(2)设θ＝〈a，b〉＝120°，|a|＝3，|b|＝4，求：
①a·b；②(3a－2b)·(a＋2b)．
跟踪训练1已知a，b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a＋3b|等于()
A. B.
C. D．4
跟踪训练2已知正四面体OABC的棱长为1，求：
(1)( ＋ )·( ＋ )；(2)| ＋ ＋ |.
1、巡视学生作答情况。
2、公布答案。
3、评价学生作答结果。
1、小考本上作答。
2、同桌互批。
3、独立订正答案。
检查学生对本课所学知识的掌握情况。
5分钟
6
布置下节课自主学习任务
7.
板书
8.课后反思
完成优化学案，整理错题
两个向量的数量积
知识点1例1
2例2
学生分类归纳能力有了明显提高，但计算能力和知识的综合运用能力还需提升
①( ＋ ＋ )2＝3 2；
② ·( － )＝0；
③ 与 的夹角为60°.
其中真命题的个数为()
A．1 B．2 C．3 D．0
4．已知a，b为两个非零空间向量，若|a|＝2 ，|b|＝ ，a·b＝－ ，则〈a，b〉＝________.
5．已知正四面体ABCD的棱长为2，E，F分别为BC，AD的中点，则EF的长为________．
2、改正错误
明确本节课听课重点
3分钟
2.承接结果
类型一 空间向量的数量积运算
命题角度1空间向量数量积的基本运算
例1(1)下列命题是否正确？正确的请给出证明，不正确的给予说明．
①p2·q2＝(p·q)2；
②|p＋q|·|p－q|＝|p2－q2|；
812向量数量积的运算律学案-辽宁省营口市第二高级中学【新教材】人教B版（2019）高一数学必修第三册（无答案）
8.1.2向量数量积的运算律班级：小组：学生姓名：【学习目标】1.掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式.2.会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明.预学案知识点一平面向量数量积的运算律类比实数的运算律，判断下表中的平面向量数量积的运算律是否正确.运算律实数乘法向量数量积判断正误交换律ab＝ba a·b＝b·a结合律(ab)c＝a(bc)(a·b)c＝a(b·c)分配律(a＋b)c＝ac＋bc(a＋b)·c＝a·c＋b·c消去律ab＝bc(b≠0)⇒a＝ca·b＝b·c(b≠0)⇒a＝c知识点二平面向量数量积的运算性质类比多项式乘法的乘法公式，写出下表中的平面向量数量积的运算性质.多项式乘法向量数量积(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2(a－b)2＝a2－2ab＋b2(a＋b)(a－b)＝a2－b2(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca梳理与多次式乘法公式类似，平面向量数量积也有相似公式，应用公式时不要漏写数量积中的点乘符号“·”.探究案类型一向量数量积的运算性质例1 给出下列结论：①若a≠0，a·b＝0，则b＝0；②若a·b＝b·c，则a＝c；③(a·b)c＝a(b·c)；④a·[b(a·c)－c(a·b)]＝0，其中正确结论的序号是________.反思与感悟向量的数量积a·b与实数a、b的乘积a·b有联系，同时有许多不同之处.例如，由a·b＝0并不能得出a＝0或b＝0.特别是向量的数量积不满足结合律.。
高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学必修4 2.3.1 向量数量积的物理背景与定义》5
已知两个非零向量b a ,，作a OA =，b OB =，则AOB ∠叫a 与b 的夹角，记作b a ,，并规定０≤b a ,≤π。
（1）a 与b 的夹角唯一确定，且有a b b a ,,=（2）当0,=b a 时，a 与b ；当π=b a ,时，a 与b ；当2,π=b a 时，我们说a 与b ，记作 。
规定零向量与任意向量 。
例1：等边三角形ABC 中，AB 与AC 的夹角为 ；AB 与BC 的夹角为 。
问题：求向量夹角的步骤是什么？2、向量在轴上的正射影：已知向量a 与轴l （如图），作a OA=，过点O,A 分别作轴l 的垂线，垂足分别为11,A O ,则11A O 叫做向量a 在轴l 上的正射影（简称射影），该射影在轴l 上的坐标，称作向量a 在轴l 上的数量或在轴l 的方向上的数量。
a OA =在轴l 上的正射影的坐标记为l a ，向量a 的方向与轴l 的正方向所成的角为θ，则有：θcos a a l=例2：已知轴l ：向量5=OA ，︒=60,l OA ，求OA 在轴上的正射影的数量a ；变式训练：已知a 与b 的夹角为150°，且6,4==b a ，分别求向量a 在b 上正射影的数量a ，向量b 在a 上正射影的数量b 。
创设情境：如图所示，一物体在力F 的作用下产生位移S ，回答下列问题：（1）力F 所做的功W= 。
（2）请同学们分析这个公式的特点：提示：W （功）是 量，F （力）是 量，S （位移）是 量。
（3）从求功的运算中，可以抽象出什么样的数学运算？类比推理，形成概念：3、向量的数量积（内积）的定义：ba b a ,cos 叫做a 与b 数量积（或内积），记作b a •，即：b a b a b a ,cos =•强调： （1）“ · ”不能省略不写，也不能写成“×”（2）向量的数量积是一个是 ，其符号由向量的 决定。
锐角：0>•b a 钝角：0<•b a 直角：0=•b a例3：已知向量a 与b 的夹角为120214,5==b a ，求b a ⋅变式练习：若上述条件改为a //b ，其他条件不变，求b a ⋅。
人教版高中数学B版必修第三册教学设计-向量数量积的概念(2)
8.1.1向量数量积的概念（2）教学课时：第2课时教学目标：1.掌握向量在轴上的投影的概念；2.数量积定义的几何意义.教学重点：1.平面向量数量积的几何意义；2.如何利用平面向量投影的定义计算向量的数量积。
教学难点：平面向量数量积的几何意义。
教学过程：一、问题1：复习引入：1.两个非零向量夹角的概念;2.物理背景:;2.平面向量数量积（内积）的定义;已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a||b|cos叫ａ与ｂ的数量积，记作a·b，即有a·b = |a||b|cos，（０≤θ≤π）.【学生活动1】(1)学生回忆并讨论(2) 学生口答(3) 讨论得出向量数量积的概念问题2：引出向量投影的概念【学生活动2】读课本74页，小组内共同探讨下列问题：1.向量在直线上或在向量上的投影是一个数还是向量？2.向量在非零向量上的投影与向量什么关系？3.在方向上的投影为，那么向量的方向，长度与<,>有什么关联？4.向量投影的数量如何定义？正负由谁决定？5.你能总结出求向量数量积的另一个方法吗？说明：1、向量在直线上的投影是一个向量；2、向量在向量上的投影向量与向量共线，方向有可能相同，也有可能相反；3、4、如果，都是非零向量，则称为向量在向量上的投影的数量；5、利用向量数量积的几何意义来求两个向量的数量积.【学生活动3】做一做：分别作出图中在轴l上的投影，并指出所作投影的数量的符号.练一练：（1）已知（2）已知，求在方向上的投影的数量.【设计意图】通过“做一做”和“练一练”两个小组的题目，引导学生从细节上进一步理解向量投影的概念，体会夹角对投影数量正负的影响。
问题3：平面向量数量积的几何意义【设计意图】懂得挖掘概念的重要性，体会向量数量积的几何意义。
二、例题讲解，深化理解例1：如图所示，求出以下向量的数量积.(1)【设计意图】.学生计算数量积两种方法。
课堂练习，巩固所学课本75页A组3,4,5；B组4,5.三、归纳总结：。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
8.1.1向量数量积的概念
班级：小组：学生姓名：
【学习目标】1.了解平面向量数量积的物理背景，即物体在力F的作用下产生位移s所做的功.2.掌握平面向量数量积的定义和运算律，理解其几何意义.3.会用两个向量的数量积求两个向量的夹角以及判断两个向量是否垂直.
预学案
知识点一向量的夹角
思考 1 平面中的任意两个向量都可以平移至同一起点，它们存在夹角吗？若存在，向量的夹角与直线的夹角一样吗？
思考2 △ABC为正三角形，设AB→＝a，BC→＝b，则向量a与b的夹角是多少？
梳理两个向量夹角的定义
(1)已知两个非零向量a，b，作OA→＝a，OB→＝b，则________称作向量a和向量b的夹角，记作________，并规定它的范围是______________.
在这个规定下，两个向量的夹角被唯一确定了，并且有〈a，b〉＝________.
(2)当__________时，我们说向量a和向量b互相垂直，记作__________.
知识点二向量在轴上的正射影
思考向量在轴上的正射影是向量还是数量？其在轴上的坐标的符号取决于谁？
梳理向量在轴上的正射影
已知向量a和轴l(如图).
→叫作OA→＝a，过点O，A分别作轴l的垂线，垂足分别为O1，A1，则向量O1A1
做向量a在轴l上的正射影(简称射影)，该射影在轴l上的坐标，称作a 在________上的数量或在____________上的数量.OA→＝a在轴l上正射影的坐标记作a l，向量a的方向与轴l的正向所成的角为θ，则由三角函数中的余弦定义有a l＝|a|cos θ.
知识点三向量的数量积(内积)
思考1 如图，一个物体在力F的作用下产生位移s，且
力F与位移s的夹角为θ，那么力F所做的功W是多少？。