均匀随机数的产生教程
3.3.2均匀随机数的产生
的小数值,相邻两个均匀随机数的步长是人为设定的.
2.可以用计算器的RAND函数产生的0~1之间的均匀随机数进行 随机模拟吗？ 提示：可以，试验的结果是区间［ 0，1］内的任何一个实数，
思路点拨：解答本题可先计算与之相应的规则多边形的面积，
而后由几何概型概率公式进行面积估计.
1.下列命题不正确的是 (
)
n
（A）根据古典概型概率计算公式P（A）= n A 求出的值是事 件
A发生的概率的精确值
（B）根据几何概型概率算公式P（A）=
A
求出的值是事
【解析】正方形的面积为4，以A为圆心，1为半径作圆，在正 方形内部的部分面积为 ,因此取到的点到A的距离小于1的概
4 率为 4 = , 取到的点到A的距离大于1的概率为1- . 16 4 16 答案： 116
4.（15分）如图，曲线y=x2与y轴、直线y=1围成一个区域A （图中的阴影部分），用模拟的方法求图中阴影部分的面积.
（4）计算频率 N1 .
记事件A＝{面积介于36 cm2与81 cm2之间}= {边长介于6 cm与9 cm之间}， 则P（A）的近似值为fn(A)= N1 .
N N
1.（5分）在利用随机模拟法计算如图阴影部分(曲线y=(
1 x ） 2
与x轴,x=±1围成的部分)的面积时,需要经过伸缩变换得到哪 两个区间上的均匀随机数( (A) [-1,1], [0,1] )
【解题提示】已知正方形的面积，用面积之比等于豆子数 之比求解.
均匀随机数的产生 课件
类型一 几何概型的识别
例1 下列关于几何概型的说法错误的是
√A.几何概型是古典概型的一种，基本事件都要具有等可能性
B.几何概型中事件发生的概率与它的形状或位置无关 C.几何概型在一次试验中可能出现的结果有无限多个 D.几何概型中每个结果的发生都具有等可能性 解析 几何概型和古典概型是两种不同的概率模型，几何概型中的基 本事件有无限多个，古典概型中的基本事件有有限个.
类型二 几何概型的计算 命题角度1 与长度有关的几何概型 例2 取一根长为3 m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的 长都不小于1 m的概率为多少？ 解 如图，记“剪得两段的长都不小于1 m”为事件A.
把绳子三等分，于是当剪断位置处在中间一段时，事件A发生，因为中 间一段的长度为1 m，所以事件A发生的概率为P(A)＝13 .
知识点二 几何概型的概率公式
思考 既然几何概型的基本事件有无限多个，难以像古典概型那样计算 概率，那么如何度量事件A所包含的基本事件数与总的基本事件数之比？ 答案 可以用事件A所占有的几何量与总的基本事件所占有的几何量之 比来表示. 梳理 事件发生的概率与构成该事件的区域测度(如长度、面积、体积) 成比例，故可用区域的测度代替基本事件数.
反思与感悟 几何概型特点的理解 (1)无限性：在每次随机试验中，不同的试验结果有无穷多个，即基本 事件有无限多个； (2)等可能性：在每次随机试验中，每个试验结果出现的可能性相等， 即基本事件的发生是等可能的.
跟踪训练1 判断下列概率模型是古典概型还是几何概型. (1)先后抛掷两枚质地均匀的骰子，求出现两个“4点”的概率； 解 先后抛掷两枚质地均匀的骰子， 所有可能结果有6×6＝36(种)， 且它们的发生都是等可能的， 因此属于古典概型.
人教版高中必修33.3.2均匀随机数的产生教学设计
人教版高中必修3 3.3.2 均匀随机数的产生教学设计
一、教学目标
1.了解均匀随机数的定义和特点；
2.掌握利用计算机生成均匀随机数的方法；
3.培养学生的计算机编程能力和创新意识。
二、教学内容
1.均匀随机数的定义及其特点；
2.利用计算机生成均匀随机数的方法；
3.计算机编程实现产生均匀随机数。
三、教学过程
步骤一：导入
1.引导学生回顾前面所学的概率知识，特别是随机事件和概率的概念；
2.引导学生思考，如果需要产生大量的随机数，应该如何实现。
步骤二：均匀随机数的定义和特点
1.通过例子引导学生了解均匀随机数的定义和特点；
2.给学生示范如何计算均匀随机数的概率。
步骤三：计算机产生均匀随机数的方法
1.引导学生了解计算机产生均匀随机数的算法；
2.讲解线性同余法生成随机数的原理和实现方法；
3.配合案例进行演示。
步骤四：计算机编程实现
1.列出程序框架，包括主程序和子程序；
2.引导学生编写主程序和子程序的伪代码；
3.学生自主编写程序，并进行测试。
步骤五：总结
1.引导学生总结均匀随机数的特点和计算机产生随机数的方法；
2.引导学生思考如何利用随机数进行实际应用。
四、教学重点与难点
1.掌握计算机产生均匀随机数的算法和程序实现方法；
2.能够熟练地运用计算机产生随机数。
五、教学评价
1.观察学生的课堂表现，包括参与度、思维活跃度、编写程序功底等；
2.组织小组讨论，分享编程体会；
3.通过作业、期末考试等方式进行考核。
随机数的生成方法
随机数的生成方法
一、随机数的定义
随机数是指一组无规律的数字组合，每一次随机出来的结果都完全不同。
随机数是在一定范围内取出一个完全随机的数，用于计算机系统中一
些需要给定一组随机数、模拟实际环境的应用场合。
随机数可以实现一定
的不可预测性，是计算机安全性的重要保障，在数据传输安全、加密技术
中有着重要的作用。
1、基于数学模型的方法
a)均匀分布的随机数生成
均匀分布的随机数是在给定的[A,B](A<B)之间取出一个完全随机的数，即数学上的均匀分布。
一种常用的均匀随机数生成方法是线性同余法，它
的实现步骤如下：
①确定一个循环移位寄存器R，其状态位数为n，状态序列的周期为
2^n，即从0到2^n-1；
②确定一个模数运算法则，用于对R进行变换；
③设置初值R0，在此基础上,依次计算R1，R2，R3，…，Rn；
④通过将状态序列Ri映射为[A,B]区间内的均匀分布随机数。
b)指数分布的随机数生成
指数分布的随机数生成可以利用指数函数的特性，其核心思想是：以
一些概率将一个离散型随机变量转换为连续性随机变量，再根据指数函数
求出该随机变量的概率分布，从而产生均匀分布的概率分布。
指数分布随机数生成的实现步骤如下：。
均匀随机数的产生算法
均匀随机数的产生算法在计算机科学领域，均匀随机数的生成是一个重要的问题，因为许多应用程序和算法都需要使用随机数。
在下面的文章中，我们将讨论一些常见的均匀随机数生成算法。
1. 线性同余算法（Linear Congruential Algorithm，LCA）：线性同余算法是最常见和简单的随机数生成算法之一、它的基本思想是通过对当前随机数进行线性变换和模运算，得到下一个随机数。
具体的公式为：Xn+1 = (a * Xn + b) mod m其中，Xn是当前随机数，Xn+1是下一个随机数，a、b和m是参数，mod是取余运算符。
这种算法主要依靠选择适当的参数来产生随机数序列。
2. 排列算法（Permuting Algorithm，PA）：排列算法是一种将给定数字进行随机排列的算法。
它的基本思想是通过交换数字的位置来生成随机排列。
具体的步骤如下：1)首先，将数字按照正常顺序排列。
2)然后，开始从第一个数字开始，随机选择一个位置，并将该数字与选定位置的数字交换。
3)重复第2步，直到所有数字都被交换过。
4)最后得到的序列即为随机排列。
3. 梅森旋转算法（Mersenne Twister Algorithm，MTA）：梅森旋转算法是一种广泛使用的随机数生成算法，它具有较长的周期和良好的统计特性。
该算法的基本思想是使用一个巨大的状态空间，并通过一系列复杂的运算来生成随机数。
梅森旋转算法是一种伪随机数生成算法，它使用有限的状态空间来产生伪随机序列。
4. 线性同余器方法（Linear Congruential Generator Method，LCG）：线性同余器方法是一种简单但有效的随机数生成算法。
它基于线性同余算法，但加入了更多的操作，以改进随机数的质量和周期。
具体的步骤如下：1)首先，选择合适的参数a、c和m。
2)赋予一个初始值X0。
3) 计算下一个随机数Xn+1 = (a * Xn + c) mod m。
4)重复第3步，即可得到一个均匀分布的随机数序列。
自动生成n个均匀分布的随机数的算法
自动生成n个均匀分布的随机数的算法生成n个均匀分布的随机数算法如下：1. 初始化一个包含n个元素的空数组result[]，用于存储生成的随机数。
2. 假设随机数的范围是[a, b]，其中a和b是整数，且满足a < b。
3. 生成n个在[a, b]范围内的随机整数，可以使用一个随机数生成器函数rand()来生成。
4. 对于每个生成的随机整数x，计算归一化的随机数值r = (x -a) / (b - a)。
5. 将归一化的随机数值r乘以区间大小(b - a)，然后加上a，得到实际的随机数值。
6. 将实际的随机数值添加到结果数组result[]中。
7. 重复步骤3-6，直到生成n个随机数。
8. 返回结果数组result[]。
以下是一个示例的实现代码：```pythonimport randomdef generate_uniform_random_numbers(n, a, b):result = []for _ in range(n):x = random.randint(a, b)r = (x - a) / (b - a)random_num = r * (b - a) + aresult.append(random_num)return resultn = 10 # 生成10个均匀分布的随机数a = 0 # 随机数范围的最小值b = 100 # 随机数范围的最大值random_numbers = generate_uniform_random_numbers(n, a, b) print(random_numbers)```注意，上述示例代码使用Python的random模块中的randint()函数来生成随机整数。
根据实际需要，你可以根据编程语言的不同选择适合的随机数生成函数。
均匀随机数的产生张讲课文档
1．与均匀随机数特点不符的是( D ) A．它是[0，1]内的任何一个实数 B．它是一个随机数 C．出现每一个实数都是等可能的 D．是随机数的平均数 解析： A、B、C 是均匀随机数的定义，均匀随机数的均匀 是“等可能”的意思，并不是“随机数的平均数”．
第三十一页，共34页。
2．如图，边长为 2 的正方形中有一封闭曲 线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一粒
第七页，共34页。
4．整数值随机数与均匀随机数有何异同？
解：二者都是随机产生的随机数，在一定的区域长度上出现的机率
是均等的,但是整数值随机数是离散的单个整数值,相邻两个整数随 机数的步长为1；而均匀随机数是小数或整数,是连续的小数值，相
邻两个均匀随机数的步长是人为设定的．
第八页，共34页。
1．在区间[a，b]上的均匀随机数与整数值随机数的共同点都是等 可能取值，不同点是均匀随机数可以取区间内的任意一个实数， 整数值随机数只取区间内的整数．
2．用随机模拟试验求不规则图形的面积的基本思想是，构造一个包 含这个图形的规则图形作为参照,通过计算机产生某区间内的均匀随机
数，再利用两个图形的面积之比近似等于分别落在这两个图形区域内的 均匀随机点的个数之比来解决．
3．利用计算机和线性变换Y＝X*(b－a)＋a，X∈[0，1]，可以产生 任意区间[a，b]上的均匀随机数，其操作方法要通过上机实习才能掌握
第二十四页Leabharlann 共34页。3．如图所示，曲线 y＝x2 与 y 轴、直线 y＝1 围成一个区域 A(图中的阴影部分)，用模拟的方法求图中阴影部分的面积(用 两种方法)．
第二十五页，共34页。
解：法一：我们可以向正方形区域内随机地撒一把豆子，数 出落在区域 A 内的豆子数与落在正方形内的豆子数，根据 落落在在正区方域形内内的的豆豆子子数数≈正区方域形A的的面面积积，即可求区域 A 面积 的近似值．例如，假设撒 1 000 粒豆子，落在区域 A 内的豆 子数为 700，则区域 A 的面积 S≈1700000＝0.7.
均匀随机数的产生
2.古典概型与几何概型旳区别与联络： 相同：两者基本事件旳发生都是等可能旳； 不同：古典概型要求基本事件有有限个; 几何概型要求基本事件有无限多种.
3.几何概型旳概率公式：
P(A)=
构成事件A区域长度（面积或体积） 试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）.
均匀随机数旳产生
我们常用旳是 0,1 上旳均匀随机数.用计算器产生0～1
N
根据几何概型计算概率旳公式，概率等于面积之 比，假如概率用频率近似表达，在不规则旳图形外套 上一种规则图形，则不规则图形旳面积近似等于规则 图形旳面积乘频率.
3.甲、乙二人约定在0点到5点之间在某地会面，先到者等 一种小时后即离去,设二人在这段时间内旳各时刻到达是 等可能旳，且二人互不影响，求二人能会面旳概率. 解：以 x , y 分别表达甲、乙二人到达旳时刻，于是 0≤x≤5,0≤y≤5. 试验旳全部成果构成旳区域为正方形，面积为25. 二人会面旳条件是|x-y|≤1,
N
用随机模拟旳措施计算不规则图形旳面积
例3 利用随机模拟措施计算图中阴影部分（y=1和
y x2 所围成旳部分）旳面积.
y
解：以直线x=1，x=-1，y=0，
y=1为边界作矩形，用随机模
1
拟措施计算落在抛物线区域内旳
均匀随机点旳频率，则所求区
-1 0
1
x
域旳面积=频率×2.
用计算器或计算机模拟上述过程，环节如下： （1)产生两组0～1之间旳均匀随机数， a1=RAND,b=RAND; （2）经平移和伸缩变换， a=(a1-0.5)﹡2; （3）数出落在阴影内旳样本点数N1,用几何概型公式计 算阴影部分旳面积. 例如做1 000次试验，即N=1 000,模拟得到N1=698, 所以 S 2N1 1.396.
均匀随机数的产生_1-课件
规律总结：利用随机模拟方法估计图形面积的步骤
是：①把已知图形放在平面直角坐标系中，将图形看成某规
则图形(长方形或圆等)的一部分，并用阴影表示；②利用随
机模拟方法在规则图形内任取一点，求出落在阴影部分的概
率P(A)＝
NA N
；③设阴影部分的面积是S，规则图形的面积是
S′，则有
S S′
＝
N1 N
，解得S＝
第三章
3．3.2 均匀随机数的产生
思路方法技巧
命题方向 估计几何概型的概率
[例1] 在长为12cm的线段AB上任取一点M，并以线段 AM为边作正方形，用随机模拟方法求这个正方形的面积介 于36cm2与81cm2之间的概率．
[分析] 正方形的面积只与边长有关，此题可以转化为 在12 cm长的线段上取一点M，求使得AM的长度介于6 cm与 9 cm之间的概率．
规律总结：用随机模拟方法估计几何概型的步骤：① 确定需要产生随机数的组数，如长度、角度型只用一组，面 积型需要两组；②由基本事件空间对应的区域确定产生随机 数的范围；③由事件A发生的条件确定随机数应满足的关系 式；④统计事件A对应的随机数并计算A的频率来估计A的概 率．
取一根长度为3m的绳子，拉直后在任意位置剪断，用随 机模拟的方法计算剪得两段的长都不小于1 m的概率．
(1)利用计算器或计算机产生两组[0,1]上的均匀随机数， a1＝RAND，b1＝RAND；
(2)经过伸缩变换，a＝2a1，b＝8b1； (3)统计出试验总次数N和落在阴影部分(满足b<a3)点(a， b)的个数N1；
(4)计算频率NN1就是点落在阴影部分的概率的近似值；
(5)设阴影部分的面积为S.由几何概型概率公式得点落在
[解析] 步骤：(1)用计算机产生一组[0,1]内的均匀随机 数，a1＝RAND.
均匀随机数的产生算法
均匀随机数的产生算法下面将介绍几种常见的均匀随机数产生算法：1. 线性同余法算法（Linear congruential generator, LCG）：线性同余法算法是最常见的随机数产生算法之一、它的基本原理是通过以下递推公式得到随机数：Xn+1 = (a * Xn + c) mod m其中，Xn是当前的随机数，Xn+1是下一个随机数，a、c、m是常数，通常选择合适的a、c、m可以产生具有良好均匀性的随机数序列。
2. 递推式产生器（Recursive generator）：递推式产生器是一种基于数学递推公式的随机数产生算法。
其基本原理是通过递推公式不断更新随机数的值，从而产生一系列随机数。
递推式产生器的一个常见例子是Fibonacci递推式：Xn+2 = (Xn+1 + Xn) mod m其中，Xn是当前的随机数，Xn+2是下一个随机数。
3. 平方取中法（Middle-square method）：平方取中法是一种简单的随机数产生算法。
它的基本原理是通过将当前的随机数平方并取中间的几位数字作为下一个随机数。
具体步骤如下：-将当前的随机数平方，得到一个更大的数。
-取平方结果的中间几位作为下一个随机数。
-若需要较大的随机数，再次对下一个随机数进行平方取中操作。
4. 梅森旋转算法（Mersenne Twister）：梅森旋转算法是一种基于梅森素数（Mersenne prime）的随机数产生算法。
它具有周期长、随机性好等特点，广泛应用于模拟、统计等领域。
该算法基于以下递归公式生成随机数：Xn=Xn-M^(Xn-M+1，u)其中，Xn是当前的随机数，Xn-M和Xn-M+1是前面两个随机数，u是一系列位操作（如或运算、异或运算等）。
通过选择不同的Xn-M和Xn-M+1，可以生成不同的随机数序列。
混合线性同余法是一种多元随机数产生算法。
它的基本原理是将多个线性同余法的结果进行线性组合，从而产生更高质量的随机数。
均匀随机数的产生
(2)经过伸缩变换：x＝ x1*6-3， y＝ y1*6-3 ，得到 [-3,3]上的均匀随机数. (3) 统计试验总数 N 和满足条件：-2 ≤ x - y ≤2 且-2 ≤ y≤2 的点（ x， y）的个数 n;
3． 边长为 2 的正方形中有一封闭曲线围成的阴影 区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域 2 内的概率为 ，则阴影区域的面积为________． 3
典例导悟
• 类型一 用随机模拟法估计长度型 几何概型的概率 • [例1] 在长为12 cm的线段AB上任取 一 点 M ， 并 以 线 段 AM 为 边 作 正 方 形．试求这个正方形的面积介于 36 cm2与81 cm2之间的概率．
• [分析] 正方形的面积只与边长有关，此题 可以转化为12 cm长的线段上取一点M，求 使得AM的长度介于6 cm与9 cm之间的概 率． • [解] (1)用计算机产生一组[0,1]内均匀随机 数a1＝RAND.(2)经过伸缩变换，a＝a1*12 得到[0,12] 内均匀随机数． (3)统计试验总 数N和[6,9] 内随机数个数 N1 ． (4) 计算频 N1 率 ． N
a1 rand(),b rand();
(2)进行平移和伸缩变换：
a (a1 0.5) * 2;
(3)数出落在阴影内的样本点数
m ，阴影部分的面积为：
模拟试验
• [解] 记事件A＝{硬币落下后与格线有公共 点}，事件B＝{硬币落下后与格线没有公共 点}．为了确定硬币的位置，以正方形的中 心为原点平行于正方形边的直线为坐标轴， 建立如图3所示的平面直角坐标系． • (1)利用计算机或计算器产生一组0～1区间 的均匀随机数：x1＝RAND，y1＝RAND，
图2
解析：在正方形中随机撒一粒豆子，其结果有无 限个，属于几何概型．设落在阴影区域内为事件 A， 则事件 A 构成的区域为阴影部分， 设阴影区域的面积 为 S，全部结果构成的区域面积是正方形的面积，则 S S 2 8 P(A)＝ ，∴ ＝ ，即 S＝ . 4 4 3 3
第三章均匀随机数的产生
[化解疑难] 整数随机数与均匀随机数的异同
二者都是随机产生的随机数，在一定的区域长度上出 现的机率是均等的．但是整数随机数是离散的单个整数值， 相邻两个整数随机数的步长为 1；而均匀随机数是小数或整 数，是连续的小数值，相邻两个均匀随机数的步长是人为 设定的．
返回
题型一：用随机模拟法估计长度型几何概型
即为阴影部分面积的近似值．
返回
[类题通法] 利用随机模拟法估计图形面积的步骤 (1)把已知图形放在平面直角坐标系中，将图形看成某规
则图形(长方形或圆等)内的一部分，并用阴影表示； (2)利用随机模拟方法在规则图形内任取一点，求出落在
阴影部分的概率 P(A)＝NN1； (3)设阴影部分的面积是 S，规则图形的面积是 S′，则有
[例 1] 取一根长度为 5 m 的绳子，拉直后在任 意位置剪断，用均匀随机模拟方法估计剪得两段的长 都不小于 2 m 的概率有多大？
返回
[解] 设剪得两段的长都不小于 2 m 为事件 A. 法一：(1)利用计算器或计算机产生 n 个 0～1 之间的 均匀随机数，x＝RAND； (2)作伸缩变换：y＝x*(5－0)，转化为[0,5]上的均
答案：A
返回
4．广告法对插播广告时间有规定，某人对某台的电视节目 作了长期的统计后得出结论，他任意时间打开电视机看 该台节目，看不到广告的概率约为190，那么该台每小时 约有________分钟广告．
解析：这是一个与时间长度有关的几何概型，这人看不 到广告的概率约为190，则看到广告的概率约为110，故 60
返回
9.几何概型中的会面问题
[典例] (12 分)甲、乙两人约定晚上 6 点到 7 点之间 在某地见面，并约定先到者要等候另一人一刻钟，过时即可 离开．求甲、乙能见面的概率．
均匀分布随机数的产生-Read
第二章补充一随机数的产生方法1.均匀分布随机数的产生产生(0, 1)均匀分布随机数的方法很多,大致可归纳为三大类:1）利用专门的随机数表。
这种随机数随机性和均匀性较好，但是很难产生和存储足够大的随机数表，而仿真有时需要大量的随机数。
2）物理方法产生随机数例如放射粒子计数器，电子管或晶体管噪声发生器等。
这种随机数随机性和均匀性都很好，而且可以产生任意多个随机数。
缺点是没有可重复性，难以对程序和仿真的正确性作检查。
3）数学方法产生随机数常用的方法有：平方取中法和线性同余法。
i.平方取中法：平方取中法是四十年代由冯·诺依曼和梅特罗波利斯(V on Neuman and Metropolis)提出的。
其基本思想是任取一个N位整数作为初值，将初值平方，得到一个2N位的整数，如果初值的平方不是2N位时，高位用0补齐，取中间N 位作第一个随机数。
将第一个随机数平方取中间N位即得第二个随机数，以此类推可得到一系列随机数。
平方取中法虽然简单，但周期较短，产生的随机数的统计性质不好，若初值取得不恰当，还会发生退化现象。
所以必须注意初值的选取。
ii.线性同余法当今应用的大多数随机数发生器是采用线性同余法。
使用线性同余法必须事先提供三个参数；l，u，m．其迭代公式为：x i+1＝(λxi+μ)(mod m)其中，i＝1，2，…λ≠0 。
这里A称为乘子，μ为增量，m为模。
在式中，若给定初值x0(称为种子)，就可迭代算出均匀随机数序列x1、x2、……，将它们除以m，即可得到(0，1)区间均匀分布的随机数xi 。
当μ≠0、λ=1时称为加同余法；当μ=0且λ≠1时，称为乘同余法；当λ≠1且μ≠0时称为混合同余法。
乘同余法的迭代公式为：xi+1=λxi(mod m)例如用乘同余法产生随机数，其中λ=19，m=100，x。
＝11，按下面步骤计算：第i步x i-1λx i-1λx i-1(mod m)1 11 209 92 9 171 713 71 1349 494 49 931 315 31 589 89由于模数m的位数有限，这使得产生的随机数序列到了一定长度后，总会出现重复循环序列的现象。
均匀随机数的产生教程
需要注意的问题
❖rand()产生的是[0,1]上的任意实数，而
randbetween (a, b)产生的是从整数a 到整
数 b 的取整数值的随机数．
❖以上两种方法不能直接产生[a, b]上的均匀
随机数，只能通过平移或伸缩变换得到：
即如 x 是[a,b]上的均匀随机数，则
a (b a)x就是[a,b]上的均匀随机数．
由题义可得符合几何概
型的条件，所以由几何
概型的知识可得：
O
6：30
7：30
x 报纸送到时间
p( A) SCDEFG SCDHG
602 302
2 0.875
602
方法二：（随机模拟法）
x 解：设 是报纸送到时间， y 是父亲离家时间，则用[0,1]
区间上的均匀随机数可以表示为：
x 6.5 rand() y 7 rand()
想一想：你能
设计一个随机 模拟的方法来 估计圆的面积 吗？
分析1：由于每个豆子落在正 方形内任何一点是等可能的， 所以每个区域中的豆子数近 似的与该区域的面积成正比， 即有：
圆的面积
落在圆中的豆子数
正方形的面积 落在正方形中得豆子数
假设正方形的边长为2，则有：
圆的面积 正方形的面积
.
22 4
由于落在每个区域中的豆子数是可以数出来的，
(1)利用几何概型的公式；
(2)用随机模拟的方法．
解：方法一（几何概型法）
设送报人送报纸的时间为 x ，
父亲离家的时间为 y ，由题义可得父 亲要想得到报纸，则x与 y 应该满足
的条件为：
6.5 x 7.5
y 父亲离家时间
7 y8
yx
8：00
均匀随机数的产生算法
· 8·
解:以横坐标X表示报 纸送到时间,以纵坐标 Y表示父亲离家时间建 立平面直角坐标系,假 设随机试验落在方形 区域内任何一点是等 可能的,所以符合几何 概型的条件. 根据题意,只要点落到 2 30 阴影部分,就表示父亲 602 2 = 87.5%. 在离开家前能得到报 P(A)= 2 60 纸,即时间A发生,所以 • 对于复杂的实际问题,解题的关键是要建立模型,找 出随机事件与所有基本事件相对应的几何区域 ,把问 题转化为几何概率问题,利用几何概率公式求解.
思考 计算机只能产生[0，1]上的均匀 随机数，如果需要产生[a，b]上的均匀 随机数，对此，你有什么办法解决？ 首先利用计算器或计算机产生[0，1]上 的均匀随机数X=RAND, 然后利用伸缩 和平移变换： Y=X*(b—a)＋a计算Y的 值，则Y为[a，b]上的均匀随机数.
例1. 假设你家订了一份报纸,送 报人可能在早上6:30—7:30之间 把报纸送到你家,你父亲离开家去 工作的时间在早上7:00—8:00之 间,问你父亲在离开家前能得到报 纸(称为事件A)的概率是多少?
· 5·
知识探究（一）：均匀随机数的产生
思考 我们常用的是[0，1]上的均匀随 机数，可以利用计算器产生（见教材 P137）.如何利用计算机产生0～1之间的 均匀随机数？
用Excel演示. （1）选定Al格，键入“＝RAND（）”， 按Enter键，则在此格中的数是随机产生 的[0，1]上的均匀随机数；
机向正方形内丢一粒豆子，求豆子落入圆内的概 率.如何用随机模拟的方法估计圆周率的值.
解:记“豆子落在圆内”的事件A,
圆的面积 πa 2 π P(A)= = 2 = 正方形的面积面 4a 4 π 答 豆子落入圆的概率为 . 4
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例1：假如你家订了一 份报纸，送报人可能在 早上6：30~7：30之间 把报纸送到你家，你父 亲离开家去工作的时间 是在早上7：00~8：00， 问你父亲在离开家前能 得到报纸（称为事件A） 的概率是多少？
想一想：你
能设计一个 随机模拟的 方法来求它 的概率吗？
分析：我们有两方法计
算该事件的概率：
由题义可得符合几何概
型的条件，所以由几何
概型的知识可得：
O
6：30
7：30
x 报纸送到时间
p( A) SCDEFG SCDHG
602 302
2 0.875
602
方法二：（随机模拟法）
x 解：设 是报纸送到时间， y 是父亲离家时间，则用[0,1]
区间上的均匀随机数可以表示为：
x 6.5 rand() y 7 rand()
想一想：你能
设计一个随机 模拟的方法来 估计圆的面积 吗？
分析1：由于每个豆子落在正 方形内任何一点是等可能的， 所以每个区域中的豆子数近 似的与该区域的面积成正比， 即有：
圆的面积
落在圆中的豆子数
正方形的面积 落在正方形中得豆子数
假设正方形的边长为2，则有：
圆的面积 正方形的面积
.
22 4
由于落在每个区域中的豆子数是可以数出来的，
阴影部分的面积为： s 2m n
模拟试验
课堂练习：
课后作业：
❖习题3.3 B组
小结：
1：知道如何由计算器或计算机Excel软件产生均匀随 机数，并能正确区分整数值随机数与均匀随机数．
2：想一想，这一节课的三个例题分别说明了什么问 题？
答：例1告诉我们可以利用随机模拟的方法估计几何 概型中随机事件的概率值；
(1)利用几何概型的公式；
(2)用随机模拟的方法．
解：方法一（几何概型法）
设送报人送报纸的时间为 x ，
父亲离家的时间为 y ，由题义可得父 亲要想得到报纸，则x与 y 应该满足
的条件为：
6.5 x 7.5
y 父亲离家时间
7 y8
yx
8：00
画出图像如右图所示， 7：00
y=x
C
D
E G FH
所以
落在圆中的豆子数
落在正方形中的豆子数 4,
这样就得到了 的近似值。
分析2：另外，还可以用计算机模拟上述过程，步骤如下：
(1)产生两组各n 个0~1区间的均匀随机数 a1, a2 .
(2)经过平移和伸缩变换得到：
a (a1 0.5) * 2,b (b1 0.5) * 2;
(3)构造点 M (a,b) ，求出满足 a2 b2 1的点
利用随机模拟的方法可以得到落在
阴影部分内的点与落在矩形内的点
数之比，再用几何概型公式就可以
估计出阴影部分的面积．
做题步骤如下：
(1)利用计算机产生两组0~1区间的均匀随机数：
a1 rand (), b rand();
(2)进行平移和伸缩变换：
a (a1 0.5) * 2; m (3)数出落在阴影内的样本点数 ，用几何概型公式计算
3.3.2 均匀随机数 的产生
教学任务
❖让学生知道如何利用计算器或计 算机Excel软件产生均匀随机数．
❖会利用随机模拟方法（蒙特卡罗 模拟方法）估计未知量．
❖进一步体会随机事件发生的不确 定性和频率的稳定性,加深理解概 率与频率的关系．
教学重点与难点
❖重点：均匀随机数的产生，设计模型并 运用随机模拟方法估计未知量．
的个数 M (a,b) 的个数 m ，则可得：
4m .
n
模拟试验
例3：利用随机模拟方法计算
右图中阴影部分（由 y 1 和 y x2 所围成的部分）的
面积．
想一想：你
能设计一个
随机模拟的
方法来估计
阴影部分的
面积吗？ 分析：如右图所示，由直
线 x 1, y 1, y 0
围成的的矩形的面积为2，
a 设随机模拟的试验次数为 ，其中父亲得到报纸 的次数为 n （即为满足y x 的试验次数），则由
古典概型的知识可得，可以由频率近似的代替概率，
所以有： p( A) n a
随机模拟
例2：在如右图所示的正方形 盘子中随机的撒一把豆子， 计算落在圆中得豆子数与落 在正方形中的豆子数之比并 依此估计圆周率的值。
需要注意的问题
❖rand()产生的是[0,1]上的任意实数，而
randbetween (a, b)产生的是从整数a 到整
数 b 的取整数值的随机数．
❖以上两种方法不能直接产生[a, b]上的均匀
随机数，只能通过平移或伸缩变换得到：
即如 x 是[a,b]上的均匀随机数，则
a (b a)x就是[a,b]上的均匀随机数．
例2与例3说明可以利用随机模拟方法估计几何图 形的面积，而当面积容易算出时进而可以估计其它未 知量，这里的频率由随机试验获得，概率由几何概型 得到．
小结：
3：想一想，在用随机模拟方法估计未知量时，为 什么不同次数的试验得到的结果一般也不同？
答：用随机模拟方法估计未知量的基本思想是用频 率近似概率，得到的结果是不精确的，只是一个 “估计”值，而随机事件的发生具有随机性，频率 本身也是一个随机的量，因此不同次数的试验得到 的“估计”结果（即频率）可能完全不一样，但在 多数重复试验下可以看出，该值稳定的在某一确定 数值（概率）周围，也就是频率是概率的近似值； 一般地，试验的次数越多，估计值的精确度就越 高．
❖难点：如何把未知量的估计问题转化为 随机模拟问题．
[0,1]区间上均匀随机数的产生
❖用计算器产生均匀随机数的方法： 随计算器的品种与型号的不同而不同，
需要查看相关的计算器的使用说明．
❖用Excel软件产生均匀随机数的方法：
1.在选定的起始单元格内键入 “=rand( )” 2.拖动单元格右下端的手柄到需要的单 元格，直到我们需要的个数为止．