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2020中考数学 二次函数培优专题：角度和角度关系的存在性问题(含答案)

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二次函数压轴题之角度的存在性(习题及答案)

二次函数压轴题之角度的存在性(习题及答案)

例题示范先填写思路分析；再对比过程示范例1：如图，抛物线y =-x 2+2x +3与x 轴相交于A ，B 两点，与y 轴交于C ，顶点为D ，抛物线的对称轴DF 与BC 相交于点E ，与x 轴相交于点F ．（1）连接DA ，DO ，求∠DOF 的正切值；（2）设P 为x 轴上的一点，∠DAO +∠DPO =∠α，当tan ∠α=4时，求点P的坐标．第一问：研究背景图形【思路分析】①研究解析式、坐标：由抛物线解析式y =-x 2+2x +3可知，A (，)，B (，)，C (，)，D (，).②研究几何图形：连接OD ，在Rt △ODF 中，由tan ∠DOF =DF OF=________；在Rt △COB 中，发现CO =OB =_____，则△COB 为等腰直角三角形．【过程示范】解：（1）y =-x 2+2x +3=-(x -1)2+4∴抛物线顶点坐标D (1，4)，对称轴为直线x =1∴F (1，0)，∴OF =1，DF =4连接OD ，在Rt △OFD 中，tan ∠DOF 4DF OF==二次函数压轴题之角度的存在性（习题）第二问：角度的存在性【思路分析】分析不变特征：从顶点入手，定点：_________，动点：_____；∠DAO 可以放在Rt △ADF 中研究，其两直角边分别为2和4．分析形成因素：结合（1），可知tan ∠DOF =tan ∠α=4，则∠DAO +∠DPO =∠α=∠DOF ，由图可知，∠DAO +∠ADO =∠DOF ，则该问题可以转化为∠DPO=________．画图求解：先画其中一种情形，点P 在对称轴右侧，此时，∠OPD =∠ODA ，再结合∠DAO 为公共角，所以此时△ADO ∽△_________．借助对应边成比例，AD AO=_____，可求得AP 长为________，即OP 长为______，则P 1（，）考虑其他情形，则点P 还能在对称轴左侧，此时与上一情形中的点P 位置关于对称轴对称，则P 2（，）结果验证：回归点的运动范围进行验证；估算数值，结合图形进行验证．【过程示范】（2）∵tan ∠DOF =tan 4α∠=∴∠DOF =∠α∵∠DOF =∠DAO +∠ADO =∠α∠DAO +∠DPO=∠α∴∠DPO=∠ADO∴△ADP ∽△AOD∴AD 2=AP ·AO∵AF =2，DF =4∴AD 2=AF 2+DF 2=20∴OP =19同理，当点P 在对称轴左侧时，OP =17∴P 1(19，0)，P 2(-17，0)巩固练习1.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx-7的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点D，点C为抛物线的顶点，且A，C两点的横坐标分别为1和4．（1）求二次函数的表达式．（2）在（1）的抛物线上，是否存在点P，使得∠BAP=45°？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．2.如图，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线是由抛物线y=x2-3向右平移1个单位后得到的，它与y轴负半轴交于点A，点B在该抛物线上，且横坐标为3．连接AB，AM，BM，点P是抛物线上一点，且位于对称轴的右侧，设PO与x正半轴的夹角为α，当α=∠ABM时，求点P的坐标．3.如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A，B，与直线AC：y=-x-6交y轴于点C，点D是抛物线的顶点，且横坐标为-2．（1）求出抛物线的解析式．（2）判断△ACD的形状，并说明理由．（3）直线AD交y轴于点F，在线段AD上是否存在一点P，使得∠ADC=∠PCF？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．4.如图，抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点D为顶点，连接CD．若P 为抛物线上一个动点，过P作PQ⊥CD交直线CD于点Q，使∠CPQ=∠ACO，求点P的坐标．思考小结回顾角度存在性的处理流程分析不变特征：从顶点入手，分析定点、动点，确定所求角度的信息（正切值）．分析形成因素：找构成角的两条射线，判断是否有固定的射线；根据角是由两条具有公共端点的射线组成，只需找到另一条射线所在直线即可．画图，求解：结合角度常放到直角三角形中处理，考虑从固定射线上的已知点（定点）为直角顶点构造直角三角形，将所求角放到直角三角形中，借助斜直角的用法，构造三等角模型，表达线段长、坐标，求直线解析式．结果验证：回归点的运动范围进行验证；估算数值，结合图形进行验证．【参考答案】例题示范第一问【思路分析】①A (-1，0)，B (3，0)，C (0，3)，D (1，4)②4；3第二问【思路分析】分析不变特征：A ，D ，O ；P ；分析形成因素：∠ADO画图求解：AP 1D ；1AP AD；20；19；P 1(19，0)；P 2(-17，0) 巩固练习1.（1）y =-x 2+8x -7；（2）P 1(6，5)，P 2(8，-7)．2.P 1(3，1)，2597597()618P ++-，．3.（1）21262y x x =+-；（2）△ACD 的形状为直角三角形，理由略；（3）1848()77P --，．4.P 1(4，-5)，257()24P ，．。

中考数学 二次函数存在性问题 与参考答案

中考数学 二次函数存在性问题 与参考答案

中考数学二次函数存在性问题及参考答案一、二次函数中相似三角形的存在性问题1.如图，把抛物线2=向左平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线2y x=-+.y x h k()所得抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，顶点为D.（1）写出h k、的值；（2）判断△ACD的形状，并说明理由；（3）在线段AC上是否存在点M，使△AOM∽△ABC？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.2.如图，已知抛物线经过A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原点O，顶点为C．（1）求抛物线的解析式；（2）若点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标；（3）P是抛物线上的第一象限内的动点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以P、M、A为顶点的三角形△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．二、二次函数中面积的存在性问题3.如图，抛物线()20y ax bx a >=+与双曲线ky x=相交于点A ，B ．已知点B 的坐标为（－2，－2），点A 在第一象限内，且tan ∠AOX ＝4．过点A 作直线AC ∥x 轴，交抛物线于另一点C ． （1）求双曲线和抛物线的解析式； （2）计算△ABC 的面积；（3）在抛物线上是否存在点D ，使△ABD 的面积等于△ABC 的面积．若存在，请你写出点D 的坐标；若不存在，请你说明理由．4.如图，抛物线y ＝ax 2＋c （a ＞0）经过梯形ABCD 的四个顶点，梯形的底AD 在x 轴上， 其中A （－2,0），B （－1, －3）． （1）求抛物线的解析式；（3分）（2）点M 为y 轴上任意一点，当点M 到A 、B 两点的距离之和为最小时，求此时点M 的坐标；（2分） （3）在第（2）问的结论下，抛物线上的点P 使S △PAD ＝4S △ABM 成立，求点P 的坐标．（4分） (4)在抛物线的BD 段上是否存在点Q 使三角形BDQ 的面积最大，若有，求出点Q 的坐标，若没有，请说明理由。

二次函数角度类问题(带答案)

二次函数角度类问题(带答案)

二次函数角度类问题1．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线2=-+与x轴相交于O，A两点，顶点P的坐标为(2,1)y a x h k()-．点B为抛物线上一动点，连接AP，AB，过点B的直线与抛物线交于另一点C．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点B的横坐标与纵坐标相等，ABC OAP∠=∠，且点C位于x轴上方，求点C的坐标；（3）若点B的横坐标为t，90t<时，点C的横坐标ABC∠=︒，请用含t的代数式表示点C的横坐标，并求出当0的取值范围．2．如图，抛物线22(3)(69)y mx m x m =++-+与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，已知(3,0)B ．（1）求m 的值和直线BC 对应的函数表达式；（2）P 为抛物线上一点，若PBC ABC S S ∆∆=，请直接写出点P 的坐标；（3）Q 为抛物线上一点，若45ACQ ∠=︒，求点Q 的坐标．3．如图，抛物线(1)()a>与x轴交于A、B两点，交y轴于点C．y x x a=+-（其中1)（1）直接写出OCA∠的度数和线段AB的长（用a表示）；（2）若点D为ABC∆4，求此抛物线的解析式；∆的外心，且BCD∆与ACO（3）在（2）的前提下，试探究抛物线(1)()=+-上是否存在一点P，使得CAP DBAy x x a∠=∠？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．4．如图，抛物线2=++经过点(2,0)y ax bx cA-，(4,0)B，与y轴正半轴交于点C，且2OC OA=，抛物线的顶点为D，对称轴交x轴于点E．直线y mx n=+经过B，C两点．（1）求抛物线及直线BC的函数表达式；（2）点F是抛物线对称轴上一点，当FA FC+的最小值；+的值最小时，求出点F的坐标及FA FC（3）连接AC，若点P是抛物线上对称轴右侧一点，点Q是直线BC上一点，试探究是否存在以点E为直角顶点的∆，且满足tan tanRt PEQEQP OCA∠=∠．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．5．如图，已知抛物线24(0)y ax bx a=++≠与x轴交于点(1,0)A和B，与y轴交于点C，对称轴为直线52x=．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，若点P是线段BC上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，连接OQ，当线段PQ长度最大时，判断四边形OCPQ的形状并说明理由；（3）如图2，在（2）的条件下，D是OC的中点，过点Q的直线与抛物线交于点E，且2DQE ODQ∠=∠．在y轴上是否存在点F，得BEF∆为等腰三角形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．6．如图，在平面直角坐标系中，直线132y x=-+与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线213y x bx c=++经过坐标原点和点A，顶点为点M．（1）求抛物线的关系式及点M的坐标；（2）点E是直线AB下方的抛物线上一动点，连接EB，EA，当EAB∆的面积等于252时，求E点的坐标；（3）将直线AB向下平移，得到过点M的直线y mx n=+，且与x轴负半轴交于点C，取点(2,0)D，连接DM，求证：45ADM ACM∠-∠=︒．7．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线24(0)=++≠经过点(2,0)y ax bx aA-和点(4,0)B．（1）求这条抛物线所对应的函数表达式；（2）点P为该抛物线上一点（不与点C重合），直线CP将ABC∆的面积分成2:1两部分，求点P的坐标；（3）点M从点C出发，以每秒1个单位的速度沿y轴移动，运动时间为t秒，当OCA OCB OMA∠=∠-∠时，求t的值．8．如图，抛物线22=++经过(1,0)y ax bxB两点，与y轴交于点C，连接BC．A-，(4,0)（1）求该抛物线的函数表达式；（2）如图2，直线:3=+经过点A，点P为直线l上的一个动点，且位于x轴的上方，点Q为抛物线上的一个l y kx动点，当//PQ y轴时，作QM PQ⊥，交抛物线于点M（点M在点Q的右侧），以PQ，QM为邻边构造矩形PQMN，求该矩形周长的最小值；（3）如图3，设抛物线的顶点为D，在（2）的条件下，当矩形PQMN的周长取最小值时，抛物线上是否存在点F，使得CBF DQM∠=∠？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．9．已知二次函数．（1）若，，求方程的根的判别式的值； （2）如图所示，该二次函数的图象与轴交于点，、，，且，与轴的负半轴交于点，点在线段上，连接、，满足，． ①求证：；②连接，过点作于点，点在轴的负半轴上，连接，且，求的值．2(0)y ax bx c a =++>12a =2bc ==-20ax bx c ++=x 1(A x 0)2(B x 0)120x x <<y C D OC AC BD ACO ABD ∠=∠1b c x a-+=AOC DOB ∆≅∆BC D DE BC ⊥E 12(0,)F x x -y AF ACO CAF CBD ∠=∠+∠1cx10．如图，抛物线交轴于点，，是抛物线的顶点，是抛物线上的动点，点的横坐标为，交直线于点，交于点，交轴于点． （1）求抛物线的表达式；（2）设的面积为，的面积为，当时，求点的坐标；（3）连接，点在抛物线的对称轴上（位于第一象限内），且，在点从点运动到点的过程中，点也随之运动，直接写出点的纵坐标的取值范围．23y ax bx =+-x (1,0)A -(3,0)B D P P (03)m m //AE PD 1:22l y x =+E AP DE F y Q PDF ∆1S AEF ∆2S 12S S =P BQ M 45BMQ ∠=︒P B C M Mt11．抛物线过点，点，顶点为．（1）求抛物线的表达式及点的坐标；（2）如图1，点在抛物线上，连接并延长交轴于点，连接，若是以为底的等腰三角形，求点的坐标；（3）如图2，在（2）的条件下，点是线段上（与点，不重合）的动点，连接，作，边交轴于点，设点的横坐标为，求的取值范围．23y ax bx =++(1,0)A -(3,0)B C C P CP x D AC DAC ∆AC P E AC A C PE PEF CAB ∠=∠EF x F F mm12．如图，已知：抛物线与直线交于点，，与轴另一交点为．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上找一点，使的内心在轴上，求点的坐标；（3）是抛物线上一动点，过点作轴的垂线，垂足为，连接．在（2）的条件下，是否存在点，使？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．2y x bx c =++l (1,0)A -(2,3)C -x B P ACP ∆x P M M x N BM M MBN APC ∠=∠M13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．（1）求抛物线的函数表达式．（2）若点为第三象限内抛物线上一动点，作轴于点，交于点，过点作的垂线与抛物线的对称轴和轴分别交于点、，设点的横坐标为．①求的最大值；②连接、，若，求的值．2y x bx c =++x A (1,0)B y (0,3)C -P PD x ⊥D AC E E AC y F G Pm PE DF DG 45FDG ∠=︒m14．如图1，抛物线与轴负半轴交于点，与轴正半轴交于点，与轴的负半轴交于点，． （1）求抛物线的解析式；（2）点、在第四象限内抛物线上，点在点下方，连接，，，设点的横坐标为，点的横坐标为，求与的函数关系式；（3）如图2，在（2）条件下，连接交于点，过点作于，连接，，是否存在点，使，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．214y x bx c =++x A x B y C 10OC OB ==P Q P Q CP CQ 180OCP OCQ ∠+∠=︒Q m P n m n AP CO D Q QE AB ⊥E BQ DE P 2AED EQB ∠=∠P15．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于和两点，交轴于点，点是线段上一动点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，过点作直线轴于，交抛物线于点，过点作于．（1）求抛物线解析式．（2）如图2，当点恰好在抛物线上时（与点重合），①求线段的长；②连接，求的值；③试探究在直线上，是否存在点，使？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．23y ax bx =++x (1,0)A -(5,0)B y C D OB CD CD D 90︒DE E l x ⊥H M C CF l ⊥F F M EH DF tan FDE ∠lG 45EDG ∠=︒G16．已知：在平面直角坐标系中，抛物线交轴于、两点．（1）如图1，求抛物线的解析式；（2）如图2，过点作射线轴，点是射线上一点，射线交抛物线于点，交轴于点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，射线交轴于点，设点的横坐标为，长为，求与的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；（3）如图3，在（2）的条件下，延长交抛物线于点，交轴于点，过点作轴于点，交于点，延长与过点且垂直于的直线交于点，连接、，若，求的值．xOy 2y x bx c =++x (1,0)A -(3,0)B (0,2)D //DR x E DR AE P y H AE E 90︒EF FB y C P t CH d d t t FE Q x G Q QM x ⊥M DR N QM F QF K AK GK 2180GKF AKG ∠+∠=︒d17．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、，与轴交于点，直线经过、两点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点为线段上的一个动点，过点作轴，交抛物线于点，过作轴，交直线于点，以、为边作矩形，矩形的周长能为10吗？如果能，请求出点的横坐标；如果不能，请说明理由；（3）点是抛物线上的一个动点，当时，请直接写出点的坐标．232y ax x c =-+x A B y C 122y x =+A C D AC D //DE y E E EF y ⊥AC F DE EF DEFG DEFG E P PCA BCO ∠=∠P18．如图所示：二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，连接，．（1）求直线的函数表达式；（2）如图1，若点为抛物线上线段右侧的一动点，连接，．求面积的最大值及相应点的坐标；（3）如图2，该抛物线上是否存在点，使得？若存在，请求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由．26y x x =--x A B y C AC BC BC M BC CM BM BMC ∆M P ACO BCP ∠=∠P19．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，抛物线的图象经过、两点，且与轴的负半轴交于点． （1）求二次函数的表达式；（2）若点在直线下方的抛物线上，如图1，连接、，设四边形的面积为，求的最大值；（3）若点在抛物线上，如图2，过点作于点，试问是否存在点，使得中的某个角恰好等于？若存在，请求点的横坐标；若不存在，请说明理由．122y x =-x B y C 212y x bx c =++B C x A D BC DC DB OCDB S S D D DM BC ⊥M D CDM ∆ABC ∠D20．如图抛物线与轴交于、两点在的右侧），且与直线交于，两点，已知点的坐标为．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点是线段上一点，且满足； ①若点为直线上方抛物线上一动点，设点的横坐标为，当为何值时，的面积最大； ②过点向轴作垂线，交轴于点，在抛物线上是否存在一点，使得．若存在，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．2y x bx c =-++x A B (B A 2y x =+A C B (6,0)E AC 16CE AE =P AC P t t PEA ∆E x x F N NAC FEB ∠=∠N21．如图①，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．（1）求该抛物线的解析式；（2）如图②，若点是抛物线上一动点，设点的横坐标为，连接，，当的面积等于面积的2倍时，求的值；（3）抛物线上是否存在点，使？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．23(0)y ax bx a =++≠x (1,0)A -(3,0)B y C D D (03)m m <<CD BD BCD ∆AOC ∆m P CBP ACO ABC ∠+∠=∠P22．已知：抛物线经过点和点，与轴交于另一点．（1）求抛物线的解析式；（2）点为第四象限内抛物线上的点，连接，，．设点的横坐标为．①如图1，当时，求的值；②如图2，连接，过点作轴的垂线，垂足为点．过点作的垂线，与射线交于点，与轴交于点．当时，求的值．2y x bx c =++(1,0)A -(0,3)C -x B P CP AP AC P (03)m m <<CP AC ⊥tan PAB ∠AC P x D C AP PD E x F EAD ACO ∠=∠m23．如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，直线为． （1）求抛物线的解析式．（2）过点作直线与抛物线在第一象限的交点为．当时，确定直线与的位置关系．（3）在第二象限抛物线上求一点，使．2y ax c =+x A B y CBC 2y x =-A AD D 3ABD ABC S S ∆∆=AD BC P 15PCA ∠=︒24．已知抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，顶点为点，如图1所示．（1）求抛物线的解析式；（2）若点在抛物线上，点在轴上，是否存在以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2所示，抛物线的对称轴与轴交于点，连接，将绕着点顺时针旋转得到△，在旋转过程中，连接，当首次出现时．求直线的函数表达式．23y ax bx =++x (1,0)A -(3,0)B y CD P Q x A C P Q P x N CN OCN ∆N O C N ''OO 'O ON OCN '∠=∠C O ''25．综合与探究：如图，抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，直线经过，两点．（1）求，两点的坐标及直线的函数表达式．（2）点是直线上方抛物线上一点，其横坐标为，过点作直线轴于点，交直线于点．当时，求点的坐标．（3）在（2）的条件下，在轴上是否存在点，使得？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．2168y x x =-++x A B A B y C l B C A B l D l m D DE x ⊥E l F 2DF EF =D y P 2PAB DAB ∠=∠P26．如图，已知抛物线的对称轴为直线且与轴相交于点，与轴相交于点，直线经过点．（1）求该抛物线与直线的表达式；（2）设动点在该抛物线上，当时，求的值．212y x bx c =++52x =-x (6,0)A -y C :2l y x b =+C l (,)P m n 45PAC ∠=︒m27．综合与探究：如图1，已知抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，顶点为，．（1）求抛物线的函数表达式；（2）判断的形状并说明理由；（3）如图2，是下方的抛物线上的一个动点，且点的横坐标为，求面积与的函数关系式及的最大值；（4）在抛物线上是否存在一点，使得，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．2y x bx c =++x A B A B y C D 3OA OC ==ACD ∆N AC N n CAN ∆S n S N NAB ABC ∠=∠N（1）求抛物线的解析式；（2）为轴上一动点，过点作轴，交直线于点，交抛物线于点，连接． ①点在线段上运动，若直角三角形，求点的坐标；②点在轴的正半轴上运动，若．请直接写出的值．(,0)E m x E ED x ⊥AB D P BP E OA BPD ∆E E x 45PBD CBO ∠+∠=︒m（1）求抛物线的解析式．（2）是抛物线对称轴上的一点连接，，求的最小值．（3）若为轴正半轴上一动点，过点作直线轴，交直线于点，交抛物线于点，连接，，当时，请求出的值．M BM CM BM CM +(,0)E m x E ED x ⊥AB D P BP BC 45PBD CBO ∠+∠=︒m30．抛物线交轴于，两点在的左边），交轴于，直线经过，两点． （1）求抛物线的解析式；（2）如图1，为直线上方的抛物线上一点，轴交于点，过点作于点．设，求的最大值及此时点坐标； （3）如图2，点在轴负半轴上，点绕点顺时针旋转，恰好落在第四象限的抛物线上点处，且，求点坐标．213y x bx c =-++x A B (A B y C 4y x =-+B C P BC //PD y BC D D DE AC ⊥E 1021m PD DE =+m P N y A N M 180ANM ACM ∠+∠=︒N答案与解析1．【答案】（1）y 2211(2)144y x x x =--=-（2）(6,3)或5(1,)4-（3）当0t <时，点C 的横坐标的取值范围是12C x 【详解】（1）抛物线2()y a x h k =-+，顶点P 的坐标为(2,1)-，2h ∴=，1k =-，即抛物线2()y a x h k =-+为2(2)1y a x =--，抛物线2()y a x h k =-+经过O ，即2(2)1y a x =--的图象过(0,0)，20(02)1a ∴=--，解得14a =， ∴抛物线的函数表达为2211(2)144y x x x =--=-； （2）在214y x x =-中，令y x =得214x x x =-， 解得0x =或8x =，(0,0)B ∴或(8,8)B ，①当(0,0)B 时，过B 作//BC AP 交抛物线于C ，此时ABC OAP ∠=∠，如图：在214y x x =-中，令0y =，得2104x x -=， 解得0x =或4x =，(4,0)A ∴，设直线AP 解析式为y kx b =+，将(4,0)A 、(2,1)P -代入得：0412k b k b =+⎧⎨-=+⎩，解得122k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩， ∴直线AP 解析式为122y x =-， //BC AP ，∴设直线BC 解析式为12y x b '=+，将(0,0)B 代入得0b '=， ∴直线BC 解析式为12y x =， 由21214y x y x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得00x y =⎧⎨=⎩（此时为点O ，舍去）或63x y =⎧⎨=⎩， (6,3)C ∴；②当(8,8)B 时，过P 作PQ x ⊥轴于Q ，过B 作BH x ⊥轴于H ，作H 关于AB 的对称点M ，作直线BM 交抛物线于C ，连接AM ，如图：(2,1)P -，(4,0)A ，1PQ ∴=，2AQ =，Rt APQ ∆中，1tan 2PQ OAP AQ ∠==， (8,8)B ，(4,0)A ，4AH ∴=，8BH =，Rt ABH ∆中，1tan 2AH ABH BH ∠==，OAP ABH ∴∠=∠， H 关于AB 的对称点M ，ABH ABM ∴∠=∠，ABM OAP ∴∠=∠，即C 是满足条件的点，设(,)M x y ， H 关于AB 的对称点M ，4AM AH ∴==，8BM BH ==，∴222222(4)(0)4(8)(8)8x y x y ⎧-+-=⎨-+-=⎩， 两式相减变形可得82x y =-，代入即可解得80x y =⎧⎨=⎩（此时为H ，舍去）或85165x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 8(5M ∴，16)5， 设直线BM 解析式为y cx d =+，将8(5M ，16)5，(8,8)B 代入得； 8816855c d c d =+⎧⎪⎨=+⎪⎩，解得342c d ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∴直线BM 解析式为324y x =+， 解232414y x y x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得154x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩或88x y =⎧⎨=⎩（此时为B ，舍去）， 5(1,)4C ∴-， 综上所述，C 坐标为(6,3)或5(1,)4-； （3）设BC 交y 轴于M ，过B 作BH x ⊥轴于H ，过M 作MN BH ⊥于N ，如图：点B 的横坐标为t ，21(,)4B t t t ∴-，又(4,0)A ， |4|AH t ∴=-，21||4BH t t =-，||OH t MN ==， 90ABC ∠=︒，90MBN ABH BAH ∴∠=︒-∠=∠，且90N AHB ∠=∠=︒，ABH BMN ∴∆∆∽， ∴AH BH BN MN=，即21|||4|4||t t t BN t --= 22|4|41||4t t BN t t -∴==-， 2144NH t t ∴=-+， 21(0,4)4M t t ∴-+， 设直线BM 解析式为2144y ex t t =+-+， 将21(,)4B t t t -代入得2211444t t et t t -=+-+， 4e t∴=-，∴直线BC 解析式为24144y x t t t =-+-+， 由22144144y x x y x t t t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+-+⎪⎩得22141444x x x t t t -=-+-+， 解得1(x t B =的横坐标），22416164t t x t t t-+=-=--+， ∴点C 的横坐标为164t t--+； 当0t <时，164C x t t=--+224=++212=+，∴=时，C x 最小值是12，此时4t =-，∴当0t <时，点C 的横坐标的取值范围是12C x ．2．【答案】（1）1m =-，3y x =-（2）(2,1)，(1,0)，，（3）7(2Q ∴，5)4-． ：（1）将(3,0)B 代入22(3)(69)y mx m x m =++-+，化简得，20m m +=， 则0m =（舍)或1m =-，1m ∴=-，243y x x ∴=-+-．(0,3)C ∴-，设直线BC 的函数表达式为y kx b =+，将(3,0)B ，(0,3)C -代入表达式，可得，033k b b =+⎧⎨-=⎩，解得，13k b =⎧⎨=-⎩，∴直线BC 的函数表达式为3y x =-．（2）如图，过点A 作1//AP BC ，设直线1AP 交y 轴于点G ，将直线BC 向下平移GC 个单位，得到直线23P P ．由（1）得直线BC 的表达式为3y x =-，(1,0)A ，∴直线AG 的表达式为1y x =-，联立2143y x y x x =-⎧⎨=-+-⎩，解得10x y =⎧⎨=⎩，或21x y =⎧⎨=⎩， 1(2,1)P ∴或(1,0)，由直线AG 的表达式可得(0,1)G -，2GC ∴=，2CH =，∴直线23P P 的表达式为：5y x =-，联立2543y x y x x =-⎧⎨=-+-⎩，解得，x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，或，x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，2P ∴，3P； 综上可得，符合题意的点P 的坐标为：(2,1)，(1,0)，，；（3）如图，取点Q 使45ACQ ∠=︒，作直线CQ ，过点A 作AD CQ ⊥于点D ，过点D 作DF x ⊥轴于点F ，过点C 作CE DF ⊥于点E ，则ACD ∆是等腰直角三角形，AD CD ∴=，()CDE DAF AAS ∴∆≅∆，AF DE ∴=，CE DF =．设DE AF a ==，则1CE DF a ==+， 由3OC =，则3DF a =-，13a a ∴+=-，解得1a =．(2,2)D ∴-，又(0,3)C -，∴直线CD 对应的表达式为132y x =-， 设1(,3)2Q n n -，代人243y x x =-+-， ∴213432n n n -=-+-，整理得2702n n -=． 又0n ≠，则72n =． 7(2Q ∴，5)4-． 3．【答案】（1）45OCA ∴∠=︒，1AB a ∴=+（2）2(1)(2)2y x x x x =+-=--（3）存在，(1,2)-或1(2-，5)4-【详解】（1）定义抛物线(1)()y x x a =+-，令0y =，可得1x =-或a ， (1,0)B ∴-，(,0)A a ，令0x =，得到y a =-，(0,)C a ∴-，OA OC a ∴==，1OB =，1AB a ∴=+．90AOC ∠=︒，45OCA ∴∠=︒．（2）AOC ∆是等腰直角三角形，45OAC ∴∠=︒，点D 是ABC ∆的外心，290BDC CAB ∴∠=∠=︒，DB DC =， BDC ∴∆也是等腰直角三角形，DBC OAC ∴∆∆∽，∴BC AC =，∴=， 解得2a =或2(2--不是分式方程的根舍弃）， ∴抛物线的解析式为2(1)(2)2y x x x x =+-=--．（3）作点C 关于抛物线的对称轴12x =的对称点C '，连接AC '．(0,2)C -，(1,2)C '-，//PC AB ∴， BC ，AC '关于直线12x =对称， CB AC ∴='，∴四边形ABCP 是等腰梯形，CBA C AB ∴∠=∠'，45DBC OAC ∠=∠=︒，ABD CAC ∴∠=∠'，∴当点P 与点C '重合时满足条件，(1,2)P ∴-．作点P 关于直线AC 的对称点(0,1)E -，则EAC PAC ABD ∠=∠=∠，作直线AE 交抛物线于P '，点P '满足条件， (2,0)A ，(0,1)E -，∴直线AE 的解析式为112y x =-， 由21122y x y x x ⎧=-⎪⎨⎪=--⎩，解得20x y =⎧⎨=⎩（即点)A 或1254x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 1(2P ∴'-，5)4-， 综上所述，满足条件的点P 的坐标为(1,2)-或1(2-，5)4-．4．【答案】（1）4y x =-+（2）3）存在，或【详解】（1）由点A 的坐标知，2OA =， 24OC OA ==，故点C 的坐标为(0,4)，将点A 、B 、C 的坐标代入抛物线表达式得：42016404a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，解得1214a b c ⎧=-⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩， 故抛物线的表达式为2142y x x =-++； 将点B 、C 的坐标代入一次函数表达式得：044m n n =+⎧⎨=⎩，解得14m n =-⎧⎨=⎩， 故直线BC 的表达式为4y x =-+；（2）点A 、B 关于抛物线的对称轴对称， 设抛物线的对称轴交BC 于点F ，则点F 为所求点，此时，当FA FC +的值最小，理由：由函数的对称性知，AF BF =， 则AF FC BF FC BC +=+=为最小，当1x =时，43y x =-+=，故点(1,3)F ， 由点B 、C 的坐标知，4OB OC ==，则BC ==即点F 的坐标为(1,3)、FA FC +的最小值为（3）存在，理由：设点P 的坐标为21(,4)2m m m -++、点Q 的坐标为(,4)t t -+， ①当点Q 在点P 的左侧时，如图2，过点P 、Q 分别作x 轴的垂线，垂足分别为N 、M ，由题意得：90PEQ ∠=︒，90PEN QEM ∴∠+∠=︒，90EQM QEM ∠+∠=︒，PEN EQM ∴∠=∠，90QME ENP ∴∠=∠=︒，QME ENP ∴∆∆∽， ∴21tan tan 42PN EN PE OA EPQ OCA ME QM QE OC ===∠=∠===， 则2142PN m m =-++，1ME t =-，1EN m =-，4QM t =-+， ∴214112142m m m t t -++-==--+，解得m =，当m =2142m m -++=故点P的坐标为． ②当点Q 在点P 的右侧时，分别过点P 、Q 作抛物线对称轴的垂线，垂足分别为N 、M ，则1MQ t =-，4ME t =-，2142NE m m =-++、1PN m =-， 同理可得：QME ENP ∆∆∽， ∴tan 2MQ ME EQ PQE EN PN PE===∠=， 即21421142t t m m m --==--++，解得m =（舍去负值），故m =故点P的坐标为， 故点P的坐标为或． 5．【答案】（1）254y x x =-+（2）见解析（3）存在，(0,1)或(0,1)-或25(0,)8 【详解】（1）由题意得：40522a b b a ++=⎧⎪-⎨=⎪⎩，解得15a b =⎧⎨=-⎩，故抛物线的表达式为254y x x =-+①；（2）对于254y x x =-+，令2540y x x =-+=，解得1x =或4，令0x =，则4y =， 故点B 的坐标为(4,0)，点(0,4)C ，设直线BC 的表达式为y kx t =+，则440t k t =⎧⎨+=⎩，解得14k t =-⎧⎨=⎩， 故直线BC 的表达式为4y x =-+，设点P 的坐标为(,4)x x -+，则点Q 的坐标为2(,54)x x x -+，则22(4)(54)4PQ x x x x x =-+--+=-+，10-<，故PQ 有最大值，当2x =时，PQ 的最大值为4CO =，此时点Q 的坐标为(2,2)-；PQ CO =，//PQ OC ，故四边形OCPQ 为平行四边形；（3）D 是OC 的中点，则点(0,2)D ，由点D 、Q 的坐标，同理可得，直线DQ 的表达式为22y x =-+， 过点Q 作QH x ⊥轴于点H ，则//QH CO ，故AQH ODA ∠=∠，而2DQE ODQ ∠=∠．HQA HQE ∴∠=∠，则直线AQ 和直线QE 关于直线QH 对称，故设直线QE 的表达式为2y x r =+，将点Q 的坐标代入上式并解得6r =-，故直线QE 的表达式为26y x =-②，联立①②并解得54x y =⎧⎨=⎩（不合题意的值已舍去）， 故点E 的坐标为(5,4)，设点F 的坐标为(0,)m ，由点B 、E 的坐标得：222(54)(40)17BE =-+-=，同理可得，当BE BF =时，即21617m +=，解得1m =±；当BE EF =时，即225(4)17m +-=，方程无解；当BF EF =时，即221625(4)m m +=+-，解得258m =； 故点F 的坐标为(0,1)或(0,1)-或25(0,)8． 6．【答案】（1）21233y x x =-=-，(3,3)-（2）5(1,)3-或7(2，35)12-（3）见解析 【详解】（1）对于132y x =-+，令1302y x =-+=，解得6x =，令0x =，则3y =， 故点A 、B 的坐标分别为(6,0)、(0,3)， 抛物线213y x bx c =++经过坐标原点，故0c =，将点A 的坐标代入抛物线表达式得：103663b =⨯+，解得2b =-， 故抛物线的表达式为2123y x x =-； 则抛物线的对称轴为3x =，当3x =时，21233y x x =-=-， 则点M 的坐标为(3,3)-；（2）如图1，过点E 作//EH y 轴交AB 于点H ，设点E 的坐标为21(,2)3x x x -，则点1(,3)2H x x -+， 则EAB ∆的面积21111256(32)22232EHB EHA S S EH OA x x x ∆∆=+=⨯⨯=⨯⨯-+-+=， 解得1x =或72， 故点E 的坐标为5(1,)3-或7(2，35)12-； （3）直线AB 向下平移后过点(3,3)M -，故直线CM 的表达式为113(3)3222y x x =---=--， 令13022y x =--=，解得3x =-， 故点(3,0)C -；过点D 作DH CM ⊥于点H ，直线CM 的表达式为1322y x =--，故1tan 2MCD ∠=，则sin MCD ∠=则sin (23)DH CD MCD =∠=+=由点D 、M 的坐标得，DM则sin DH HMD MD ∠=== 故4545HMD DMC ADM ACM ∠=︒=∠=∠-∠=︒，45ADM ACM ∴∠-∠=︒．7．【答案】（1）2142y x x =-++（2）(6,8)-（3）2t =或10 【详解】（1）设抛物线的表达式为12()()y a x x x x =--，则2(2)(4)28y a x x ax ax a =+-=--，即84a -=，解得12a =-， 故抛物线的表达式为2142y x x =-++①； （2）由点A 、B 的坐标知，2OB OA =，故CO 将ABC ∆的面积分成2:1两部分，此时，点P 不在抛物线上；如图1，当123BH AB ==时，CH 将ABC ∆的面积分成2:1两部分， 即点H 的坐标为(2,0)，则CH 和抛物线的交点即为点P ，由点C、H的坐标得，直线CH的表达式为24y x=-+②，联立①②并解得68xy=⎧⎨=-⎩（不合题意的值已舍去），故点P的坐标为(6,8)-；（3）在OB上取点(2,0)E，则ACO OCE∠=∠，OCA OCB OMA∠=∠-∠，故AMO ECB∠=∠，过点E作EF BC⊥于点F，在Rt BOC∆中，由OB OC=知，45OBC∠=︒，则2)EF BF==-，由点B、C的坐标知，BC=则CF BC BF=-=则1tan tan3EFECB AMOCF∠===∠，则21tan 3AO AMO OM OM ∠===， 则6OM =，故642CM OM OC =±=±=或10，则2t =或10．8．【答案】（1）213222y x x =-++（2）314（3）存在，(1,0)-或， 【详解】（1）设抛物线的表达式为12()()y a x x x x =--，即22(1)(4)(34)34y a x x a x x ax ax a =+-=--=--，即42a -=，解得12a =-， 故抛物线的表达式为213222y x x =-++； （2）将点A 的坐标代入直线l 的表达式得：03k =-+，解得3k =， 故直线l 的表达式为33y x =+，设点Q 的坐标为213(,2)22x x x -++，则点P 的坐标为(,33)x x +， 由题意得，点Q 、M 关于抛物线对称轴对称，而抛物线的对称轴为直线32x =， 故点M 的横坐标为3x -，则332QM x x x =--=-，设矩形周长为C ，则22132()2[3233(2)]822C PQ QM x x x x x x =+=-++--++=-+， 10>，故C 有最小值， 当12x =时，矩形周长最小值为314； （3）当12x =时，213212228y x x =-++=，即点Q 的坐标为1(2，21)8， 由抛物线的表达式知，点D 的坐标为3(2，25)8， 5(328)9过点D作DK QM⊥于点K，则25211882D QDK y y=-=-=，同理可得，1QK=，则1 tan2DKDQMQK∠==，CBF DQM∠=∠，故1 tan tan2CBF DQM∠=∠=，在BOC∆中，21 tan42COCBOOB∠===，故BF和BO重合，故点F和点A重合，即点F的坐标为(1,0)-，当点F在直线BC的上方时，5AC=BC=5AB=，222AB AC BC∴=+，90ACB∴∠=︒，则点A关于BC的对称点(1,4)A'，∴直线BF的解析式为41633y x=-+，由24163313222y x y x x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎩，解得40x y =⎧⎨=⎩或53289x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 5(3F ∴，28)9， 综上所述，满足条件的点F 的坐标为(1,0)-或， 9．【答案】（1）△（2）见解析 【详解】（1）当，时，△；（2）①设，则，， 则，即，， ，，，；②，，，，故，， 则， 则， 则， 5(328)92214(2)4(2)82b ac =-=--⨯⨯-=12a =2b c ==-2214(2)4(2)82b ac =-=--⨯⨯-=20ax bx c ++=12b x x a +=-12c x x a =12b x x c a +=-=2x c OC =-=121c x x a a=÷=-2OB x CO ==ACO ABD ∠=∠90COA BOD ∠=∠=︒()AOC DOB ASA ∴∆≅∆OCA CAF CFA ∠=∠+∠ACO CAF CBD ∠=∠+∠CBD AFO ∴∠=∠OB OC =45OCB ∠=︒1CD OC OD OC OA c a=-=-=--1)DE c CE a==+=1)BE BC CE CE c a =-=-=-+11)tan 1c c DE a CBD BE c a ++∠===-。

中考数学总复习《二次函数中的角度问题存在性问题》专题训练-附答案

中考数学总复习《二次函数中的角度问题存在性问题》专题训练-附答案

中考数学总复习《二次函数中的角度问题存在性问题》专题训练-附答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________1．如图，抛物线与x 轴相交于原点和点()4,0A ，在第一象限内与直线y x =交于点B ()5,5，抛物线的顶点为C 点．(1)求抛物线的解析式和顶点C 的坐标；(2)点()3,M m 在抛物线上，连接MO MB ，，求MOB △的面积；(3)抛物线上是否存在点D ，使得DOB OBC ∠=∠？若存在，求出所有点D 的坐标；若不存在，请说明理由． 2．综合与探究如图，已知抛物线238y x bx c =-++与x 轴相交于()4,0A -，B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴相交于点()0,3C ，连接AC ．(1)求该抛物线的解析式及对称轴；(2)若过点B 的直线与抛物线相交于另一点D ，当ABD BAC ∠=∠时，求直线的解析式； (3)在（2）的条件下，当点D 在x 轴下方时，连接AD ，此时在y 轴左侧的抛物线上存在点P ，使23BDP ABD S S =△△，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标．3．如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点()0,2C -，2OC OA =和1tan 2ABC ∠=．直线l ：()0y kx n k =+>与抛物线交于M ，N 两点（点M 在点N 的左边）．(1)求抛物线的解析式，并写出顶点坐标；(2)当直线l BC ∥时，若MON △的面积被y 轴分成的两个三角形的面积比为1:4时，求n 的值； (3)当0n =时，试在抛物线上找一定点P ，使得90MPN ∠=︒，求P 点坐标以及点P 到MN 的最大距离． 4．如图①，抛物线2y ax bx =+的顶点为()2,4D -．(1)求抛物线的解析式；(2)连接OD ，P 为x 轴上的动点，当AOD ∠与PDO ∠互余时，求点P 的坐标；(3)如图①，点M ，N 都在抛物线上，点M 位于第四象限，点N 位于第二象限，连接MN 分别交x 轴，y 轴于点E ，F ，连接OM ON 、，求证：若NOF MOE ∠=∠，则直线MN 经过一定点．5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2=23y x x --交x 轴于A B 、两点(点A 在点B 的左边)，交y 轴于点C ．(1)直接写出、、A B C 三点的坐标；(2)若抛物线上有一点,45D ACD ∠=︒，求点D 的坐标．(3)如图2，点P 是第一象限抛物线上一点，过点P 的直线(0)y mx n n =+<与抛物线交于另一点Q ，连接AP AQ 、，分别交y 轴于M N 、两点，若2OM ON ⋅=，探究,m n 之间的数量关系，并说明理由．6．如图，顶点坐标为(3,4)的抛物线2y ax bx c =++交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点()0,5C -．(1)求a ，b 的值；(2)已知点M 在射线CB 上，直线AM 与抛物线2y ax bx c =++的另一公共点是点P ．①抛物线上是否存在点P ，满足:2:1=AM MP ，如果存在，求出点P 的横坐标；如果不存在，请说明理由； ①连接AC ，当直线AM 与直线BC 的夹角等于ACB ∠的2倍时，请直接写出点M 的坐标．7．如图，已知(2,0),(3,0)A B -，抛物线24y ax bx =++经过A 、B 两点，交y 轴于点C ．点P 是第一象限内抛物线上的一点，点P 的横坐标为m ．过点P 作PM x ⊥轴，垂足为点M ，PM 交BC 于点Q ．过点P 作PN BC ⊥，垂足为点N ．(1)求抛物线的函数表达式；(2)请用含m 的代数式表示线段PN 的长，并求出当m 为何值时PN 有最大值，最大值是多少？(3)连接PC ，在第一象限的抛物线上是否存在点P ，使得290BCO PCN ∠+∠=︒？若存在，请直接写出m 的值；若不存在，请说明理由．8．如图1，已知抛物线233y ax bx =++，与x 轴交于点()2,0A -，点()6,0B 与y 轴交于点C ，抛物线的顶点为M ，其对称轴与x 轴交于Q 点．(1)抛物线解析式为______，顶点M 的坐标为______； (2)判断MAB 的形状，并说明理曲；(3)如图2，点P 是线段MQ 上的一个动点（点P 与点M 、点Q 不重合），连结PA 和PB ，过点B 作BD AP ⊥，射线BD 交射线AP 于点D ，交抛物线于点E ；过点E 作EF AB ⊥，垂足为点F ，EF 交射线BP 于点G ． ①当ABD ①EBF 时，请求出此时点P 的坐标； ①当135APB ∠=︒时，请你直接写出BFEG的值． 9．如图1，二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象交x 轴于点A （﹣1，0），B （3，0），交y 轴于点C （0，﹣3），直线l 经过点B ．(1)求二次函数的表达式和顶点D 的坐标； (2)如图2，当直线l 过点D 时，求①BCD 的面积；(3)如图3，直线l 与抛物线有另一个交点E ，且点E 使得①BAC ﹣①CBE ＞45°，求点E 的横坐标m 的取值范围；(4)如图4，动点F 在直线l 上，作①CFG ＝45°，FG 与线段AB 交于点G ，连接CG ，当①ABC 与①CFG 相似，且S △CFG 最小时，在直线l 上是否存在一点H ，使得①FHG ＝45°存在，请求出点H 的坐标；若不存在，请说明理由．10．如图，已知抛物线2y ax bx c =++经过(1,0),(2,0),(0,2)A B C -三点，点D 在该抛物线的对称轴l 上．(1)求抛物线的表达式；(2)若DA DC =，求ADC ∠的度数及点D 的坐标；(3)若在（2）的条件下，点P 在该抛物线上，当PBC DAB ∠=∠时，请直接给出点P 的坐标． 11．如图，抛物线2y ax bx c =++经过()1,0A -，()3,0B 且与y 轴交于点()0,3C -．(1)求抛物线的函数表达式；(2)若点P 是x 轴的正半轴上一点1tan 3APC ∠=，求点P 的坐标；(3)当点P 是抛物线上第一象限上的点1tan 3APC ∠=，直接写出点P 的坐标为______．12．如图，平面直角坐标系中，抛物线24y x nx =-++过点()4,0A -，与y 轴交于点N ，与x 轴正半轴交于点B ．直线l 过定点A ．(1)求抛物线解析式；(2)连接AN ，BN ，直线l 交抛物线于另一点M ，当①MAN ＝①BNO 时，求点M 的坐标；(3)过点(),1T t -的任意直线EF （不与y 轴平行）与抛物线交于点E 、F ，直线BE 、BF 分别交y 轴于点P 、Q ，是否存在t 的值使得OP 与OQ 的积为定值？若存在，求t 的值，若不存在，请说明理由．13．抛物线y ＝ax 2+c （a <0）与x 轴交于A 、B 两点，顶点为C ，点P 在抛物线上，且位于x 轴上方．(1)如图1，若P (1，2)，A (-3，0)． ①求该抛物线的解析式；①若D 是抛物线上异于点P 一点，满足①DPO ＝①POB ，求点D 的坐标； (2)如图2，已知直线P A 、PB 与y 轴分别交于E 、F 两点．当点P 运动时，OE OFOC+是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由．14．如图1，直线y =ax ²+4ax +c 与x 轴交于点A （-6，0）和点B ，与y 轴交于点C ，且OC =3OB(1)直接写出抛物线的解析式及直线AC 的解析式；(2)抛物线的顶点为D ，F 为抛物线在第四象限的一点，直线AF 解析式为123y x =--，求①CAF -①CAD 的度数．(3)如图2，若点P 是抛物线上的一个动点，作PQ ①y 轴垂足为点Q ，直线PQ 交直线AC 于E ，再过点E 作x 轴的垂线垂足为R ，线段QR 最短时，点P 的坐标及QR 的最短长度．15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线22y ax bx =++与x 轴交于1,0A ，()4,0B 两点，与y 轴交于点C ．直线l ：2y kx =+过点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）当直线l 经过点B 时，取线段BC 的中点M ，作直线l 的平行线，恰好与抛物线有一个交点P 时，判断以点P ，O ，M ，B 为顶点的四边形是什么特殊的平行四边形，并说明理由；（3）在直线l 上是否存在唯一一点Q ，使得90AQB ∠=︒？若存在，请求出此时l 的解析式；若不存在，请说明理由．参考答案：1．(1)24y x x =- ()2,4 (2)15(3)点D 的坐标为(7,21)或1313,39⎛⎫⎪⎝⎭；2．(1)233384y x x =--+，对称轴为直线=1x -(2)3342y x =-+或3342y x =-；(3)322222⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭，或12362262⎛⎫+--- ⎪ ⎪⎝⎭， 3．(1)213222y x x =-- (2)149n =(3)()3,2P - 134．(1)24y x x =-(2)()20，或()20-，5．(1)()1,0A -，()3,0B 和()0,3C - (2)()4,5D (3)23n m =-6．(1)-1；6 (2)①存在，5172+或5332+或5332-；①1317,66⎛⎫- ⎪⎝⎭；237,66⎛⎫- ⎪⎝⎭7．(1)222433y x x =-++(2)22655PN m m =-+，当32m =时，有最大值910(3)存在 74m =8．(1)233334y x x =-++和()2,43； (2)①MAB 为等边三角形 (3)①432,3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭；①12BF EG =．9．(1)二次函数的表达式为y ＝x 2﹣2x ﹣3，顶点D 的坐标为（1，﹣4） (2)2(3)﹣23＜m ＜2(4)存在，点H 的坐标为：（65，185）或（95，185）10．(1)22y x x =-++(2)90ADC ∠=︒，点D 的坐标为11,22⎛⎫⎪⎝⎭(3)点P 的坐标为()1,2或15,24⎛⎫- ⎪⎝⎭11．(1)2=23y x x -- (2)点P 的坐标为()9,0 (3)点P 的坐标为()4,512．(1)234y x x =--+ (2)250,39⎛⎫- ⎪⎝⎭或266,525⎛⎫ ⎪⎝⎭(3)存在，4t =-13．(1)①21944y x =-+；①(-1，2)或(133，229-)(2)OE OFOC+是定值，定值为2．14．(1)抛物线的解析式为y =-12x ²-2x +6，直线BC 的解析式为y =x +6 (2)45°(3)点P 的坐标为（-2+10，3）或（-2-10，3），QR 的最短长度为3215．（1）215222y x x =-+；（2）菱形；（3）存在，122y x =-+或53224y x -+=+或53224y x --=+．。

二次函数综合--角度存在性问题

二次函数综合--角度存在性问题

二次函数综合--角度存在性问题【题型解读】二次函数综合中的角度问题是大部分地区全卷的压轴题，具有较好的区分度和选拔功能，此类试题不仅可以考查二次函数与平面几何的基础知识，还可以考查数形结合、分类讨论等数学思想方法，以及阅读理解能力、收集处理信息能力、运用数学知识探究问题的能力等.解题关键是，充分挖掘题目中的隐含条件，构造角，利用解直角三角形或相似进行计算求解.【主要类型】1.相等角的存在性，主要形式为基于动点构造某个角使其与特定已知角相等2.二倍角的存在性，主要形式为基于动点构造某个角使其等于特定已知角的2倍3.半角的存在性，主要形式为基于动点构造某个角使其等于特定已知角的一半【方法总结】角度存在性问题主要解题突破口在于构造相关角，主要有以下几种构造方法：⑴构造相等角的方法1利用平行线的性质或者等腰三角形的性质构造相等角2利用相似三角形构造相等角⑵构造二倍角的方法⑶构造半角的方法【典型例题】1．如图，已知直线BC的解析式为y＝﹣x+3，与x轴，y轴交于点B，C．抛物线y＝ax2+bx+3过A（﹣1，0），B，C三点，D点为抛物线的顶点，抛物线的对称轴与x轴交于点E，连接BD，CD．（1）求二次函数及直线CD的解析式；（2）点P是线段CD上一点（不与点C，D重合），当△BCP的面积为时，求点P的坐标．（3）点F是抛物线上一点，过点F作FG⊥CD交直线CD于点G，当∠CFG＝∠EDB 时，请直接写出点F的坐标．2．如图，已知二次函数y＝ax2+x+b的图象经过点A（﹣3，0）和点B（0，4），∠BAO 的平分线分别交抛物线和y轴于点C，D．点P为抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线交直线AC于点E，连接PC．（1）求二次函数的解析式；（2）当以点P，C，E为顶点的三角形与△ADO相似时，求点P的坐标；（3）设点F为直线AC上一点，若∠BFD＝∠ABO，请直接写出点F的坐标．3．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x﹣2的图象分别交x、y轴于点A、B，抛物线y＝x2+bx+c经过点A、B，点P为第四象限内抛物线上的一个动点．（1）求此抛物线对应的函数表达式；（2）如图1所示，过点P作PM∥y轴，分别交直线AB、x轴于点C、D，若以点P、B、C为顶点的三角形与以点A、C、D为顶点的三角形相似，求点P的坐标；（3）如图2所示，过点P作PQ⊥AB于点Q，连接PB，当△PBQ中有某个角的度数等于∠OAB度数的2倍时，请直接写出点P的横坐标．4．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过AB两点，与x轴的另一个交点为C．（1）直接写出点A和点B的坐标．（2）求抛物线的解析式．（3）D为直线AB上方抛物线上一动点．①连接DO交AB于点E，若DE：OE＝3：4，求点D的坐标；②是否存在点D，使得∠DBA的度数恰好是∠BAC的2倍？如果存在，直接写出点D的坐标；如果不存在，请说明理由．5．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）经过点A（﹣8，0）、B（2，0），与y轴交于点C，点D是AB中点，连接CD．点P是抛物线上一点．（1）求a、b的值；＝S△CDO，求点P的横坐标；（2）若S△CDP（3）过点P作直线CD的垂线，垂足为E，若∠CPE＝∠CDO，求点P的横坐标．。

二次函数中角度的存在性问题

二次函数中角度的存在性问题

二次函数中角度的存在性问题类型一：等角构造法（作垂直，找相似）例1：如图，抛物线y＝x2-4x＋3与x轴交于点A，B两点，与y轴交C，连接AC.抛物线上是否存在点M，使∠OBM ＝∠OCA.若存求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.分析：1.假设∠OBM=∠OCA，过M作ME垂直x轴，构造∆MEB~∆AOC，利用对应边成比例，可求出M点坐标。

2.利用对称性，求出点M的对称点H,可得∠HBO=∠OBM，延长BH交抛物线于点M’，则点M’就为所求的。

类型二：2倍角构造法（作垂直平分线，构造等腰三角形，则外角就为已知角的两倍）例2.如图，直线y＝-3x＋3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝-x2＋bx＋c经过点A，B．抛物线上是否存在点M，使直线AM与y轴所夹锐角是∠ABO的2倍？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.分析：1.作AB的垂直平分线CD,交y轴于点D,则构造等腰三角形BDA，所以∠ODA=2∠OBA，延长AD交抛物线于点M，则联立解析式可求点M坐标。

2.利用对称性可求点M的对称点H（或者求D点的对称点），则延长AH交抛物线于M’。

类型三：半角构造法（作角平分线或向外延长作等腰三角形）例3：如图，抛物线交x 轴于A ，C 两交y 轴于点B ，连接AB .抛物线上是否存在点M ，使∠ACM ＝？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.分析：方法1：作∠OAB 的J 角平分线AE ，求出E 点坐标及AE 解析式。

过点C 作CM ∥AE ，则∠MCA=∠OAE=∠OAB ，则点M 就为所求作的。

然后利用对称性，可求点M ’.4x 31x 31y 2+--=BAO ∠2121方法2：延长OA 至D ，使AD 等于AB ，构造等腰三角形BAD,则∠ADB=∠OAB ，过C 点作CM ∥BD,则点M 就为所求作的。

然后一样利用对称性求出点M ’。

21。

2020年初三数学下册中考专题复习 二次函数的存在性问题【含答案】

2020年初三数学下册中考专题复习 二次函数的存在性问题【含答案】

2020年初三数学下册中考专题复习二次函数的存在性问题一．解答题（共20小题）1．如图，在▱OABC中，A、C两点的坐标分别为（4，0）、（﹣2，3），抛物线W经过O、A、C三点，点D是抛物线W的顶点．（1）求抛物线W的函数解析式及顶点D的坐标；（2）将抛物线W和▱OABC同时先向右平移4个单位长度，再向下平移m（0＜m＜3）个单位长度，得到抛物线W1和□O1A1B1C1，在向下平移过程中，O1C1与x轴交于点H，▱O1A1B1C1与▱OABC重叠部分的面积记为S，试探究：当m为何值时，S有最大值，并求出S的最大值；（3）在（2）的条件下，当S取最大值时，设此时抛物线W1的顶点为F，若点M是x 轴上的动点，点N是抛物线W1上的动点，是否存在这样的点M、N，使以D、F、M、N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图1（注：与图2完全相同），在直角坐标系中，抛物线经过点A（1，0）、B（5，0）、C（0，4）三点．（1）求抛物线的解析式和对称轴；（2）P是抛物线对称轴上的一点，求满足PA+PC的值为最小的点P坐标（请在图1中探索）；（3）在第四象限的抛物线上是否存在点E，使四边形OEBF是以OB为对角线且面积为12的平行四边形？若存在，请求出点E坐标，若不存在请说明理由（请在图2中探索）3．如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）三点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，P为抛物线上在第二象限内的一点，若△PAC面积为3，求点P的坐标；（3）如图2，D为抛物线的顶点，在线段AD上是否存在点M，使得以M，A，O为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．4．如图，抛物线y＝ax2﹣2ax+c的图象经过点C（0，﹣2），顶点D的坐标为（1，﹣），与x轴交于A、B两点．（1）求抛物线的解析式．（2）连接AC，E为直线AC上一点，当△AOC∽△AEB时，求点E的坐标和的值．（3）点F（0，y）是y轴上一动点，当y为何值时，FC+BF的值最小．并求出这个最小值．（4）点C关于x轴的对称点为H，当FC+BF取最小值时，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△QHF是直角三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．5．如图1，抛物线C：y＝ax2+bx经过点A（﹣4，0）、B（﹣1，3）两点，G是其顶点，将抛物线C绕点O旋转180°，得到新的抛物线C′．（1）求抛物线C的函数解析式及顶点G的坐标；（2）如图2，直线l：y＝kx﹣经过点A，D是抛物线C上的一点，设D点的横坐标为m（m＜﹣2），连接DO并延长，交抛物线C′于点E，交直线l于点M，若DE＝2EM，求m的值；（3）如图3，在（2）的条件下，连接AG、AB，在直线DE下方的抛物线C上是否存在点P，使得∠DEP＝∠GAB？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．6．如图，抛物线y＝ax2+bx+2交x轴于点A（﹣3，0）和点B（1，0），交y轴于点C．（1）求这个抛物线的函数表达式．（2）点D的坐标为（﹣1，0），点P为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形ADCP 面积的最大值．（3）点M为抛物线对称轴上的点，问：在抛物线上是否存在点N，使△MNO为等腰直角三角形，且∠MNO为直角？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．7．已知：如图，抛物线y＝ax2+bx+3与坐标轴分别交于点A，B（﹣3，0），C（1，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．（1）求抛物线解析式；（2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积最大？（3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P作PE∥x轴交抛物线于点E，连接DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．8．如图，抛物线y＝ax2+2x+c经过A（﹣1，0），B两点，且与y轴交于点C（0，3），抛物线与直线y＝﹣x﹣1交于A，E两点．（1）求抛物线的解析式；（2）坐标轴上是否存在一点Q，使得△AQE是以AE为底边的等腰三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．（3）P点在x轴上且位于点B的左侧，若以P，B，C为顶点的三角形与△ABE相似，求点P的坐标．9．如图1，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于C点，点P是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P的横坐标为t．（1）求抛物线的表达式；（2）如图1，连接BC，PB，PC，设△PBC的面积为S．求S关于t的函数表达式，并求出当t为何值时，△PBC的面积S有最大值；（3）如图2，设抛物线的对称轴为直线l，l与x轴的交点为D．在直线l上是否存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．10．综合与探究如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣3，0）、B两点，与y轴相交于点．当x＝﹣4和x＝2时，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的函数值y相等，连接AC，BC．（1）求抛物线的解析式；（2）判断△ABC的形状，并说明理由；（3）若点M、N同时从B点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA、BC边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动，当运动时间为t秒时，连接MN，将△BMN沿MN翻折，B点恰好落在AC边上的P处，则t的值为，点P的坐标为；（4）抛物线对称轴上是否存在一点F，使得△ACF是以AC为直角边的直角三角形？若不存在，请说明理由；若存在，请直接写出点F的坐标．11．如图1，已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C．（l）求抛物线的表达式；（2）如图l，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE，CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标；（3）如图2，在x轴上是否存在一点D使得△ACD为等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由．12．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，且点B与点C的坐标分别为B（3，0）．C（0，3），点M是抛物线的顶点．（1）求二次函数的关系式；（2）点P为线段MB上一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D．若OD＝m，△PCD的面积为S，①求S与m的函数关系式，写出自变量m的取值范围．②当S取得最值时，求点P的坐标；（3）在MB上是否存在点P，使△PCD为直角三角形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．13．如图①，已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C，已知点P为抛物线第一象限上一动点，连接PB、PC、BC．（1）求抛物线的解析式，并直接写出抛物线的顶点坐标；（2）当△PBC的面积最大时，求出点P的坐标；（3）如图②，当点P与抛物线顶点重合时，过点B的直线与抛物线交于点E，在直线BE上方的抛物线上是否存在一点M，使得∠BEM＝∠PBC？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．14．如图，抛物线y＝﹣x2+2x+3与坐标轴分别交于A，B，C三点，连接AC，BC．（1）直接写出A，B，C三点的坐标；（2）点M是线段BC上一点（不与B，C重合），过点M作x轴的垂线交抛物线于点N，连接CN．若点M关于直线CN的对称点M'恰好在y轴上，求出点M的坐标；（3）在平面内是否存在一点P，使△AOC关于点P的对称△A'O'C'（点A'，O'，C'分别是点A，O，C的对称点）恰好有两个顶点落在该抛物线上？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．如果没有解题思路，可以这样考虑：变换后，A'O'与AO，O'C'与OC有什么样的位置关系？进而分析点O'，A'，C'的坐标关系！15．如图1，过原点的抛物线与x轴交于另一点A，抛物线顶点C的坐标为，其对称轴交x轴于点B．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，点D为抛物线上位于第一象限内且在对称轴右侧的一个动点，求使△ACD 面积最大时点D的坐标；（3）在对称轴上是否存在点P，使得点A关于直线OP的对称点A'满足以点O、A、C、A'为顶点的四边形为菱形．若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．16．综合与探究如图，已知抛物线y＝ax2﹣2x+c与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C，对称轴为直线l，顶点为D．（1）求抛物线的解析式及点D坐标；（2）在直线l上是否存在一点M，使点M到点B的距离与到点C的距离之和最小？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．（3）在x轴上取一动点P（m，0），﹣3＜m＜﹣1，过点P作x轴的垂线，分别交抛物线，AD，AC于点E，F，G．①判断线段FP与FG的数量关系，并说明理由②连接EA，ED，CD，当m为何值时，四边形AEDC的面积最大？最大值为多少？17．如图，抛物线y＝ax2+bx（a＞0）与双曲线y＝相交于点A、B，已知点A坐标（1，4），点B在第三象限内，且△AOB的面积为3（O为坐标原点）．（1）求实数a、b、k的值；（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点P使得△POB为等腰三角形？若存在请求出所有的P点的坐标，若不存在请说明理由．（3）在坐标系内有一个点M，恰使得MA＝MB＝MO，现要求在y轴上找出点Q使得△BQM的周长最小，请求出M的坐标和△BQM周长的最小值．18．如图，已知，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0）两点，过点A的直线y＝kx+k与该抛物线交于点C，点P是该抛物线上不与A，B重合的动点，过点P 作PD⊥x轴于D，交直线AC于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）若k＝﹣1，当PE＝2DE时，求点P坐标；（3）当（2）中直线PD为x＝1时，是否存在实数k，使△ADE与△PCE相似？若存在请求出k的值；若不存在，请说明你的理由．19．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣过点A（﹣，0）和点B（，2），连结AB交y轴于点C．（1）求抛物线的函数解析式；（2）点P在线段AB下方的抛物线上运动，连结AP，BP．设点P的横坐标为m，△ABP 的面积为s．①求s与m的函数关系式；②当s取最大值时，抛物线上是否存在点Q，使得S△ACQ＝s．若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由．20．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+6与x轴交于点A，与y轴交点C，抛物线y ＝﹣2x2+bx+c过A，C两点，与x轴交于另一点B．（1）求抛物线的解析式．（2）在直线AC上方的抛物线上有一动点E，连接BE，与直线AC相交于点F，当EF ＝BF时，求sin∠EBA的值．（3）点N是抛物线对称轴上一点，在（2）的条件下，若点E位于对称轴左侧，在抛物线上是否存在一点M，使以M，N，E，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．详细答案一．解答题（共20小题）1．【解答】解：（1）设抛物线W的函数解析式为y＝ax2+bx，图象经过A（4，0），C（﹣2，3）∴抛物线W的函数解析式为，顶点D的坐标为（2，﹣1）；（2）根据题意，由O（0，0），C（﹣2，3），得O1（4，﹣m），C1（2，3﹣m）设直线O1C1的函数解析式为y＝kx+b把O1（4，﹣m），C1（2，3﹣m）代入y＝kx+b得：，直线O1C1与x轴交于点H∴过C1作C1E⊥HA于点E，∵0＜m＜3∴，∴，∵，抛物线开口向下，S有最大值，最大值为∴当时，；（3）当时，由D（2，﹣1）得F（6，）∴抛物线W1的函数解析式为，依题意设M（t，0），以D，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形，分情况讨论：①以DF为边时∵D（2，﹣1），F点D，F横坐标之差是4，纵坐标之差是，若点M、N的横纵坐标与之有相同规律，则以D，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形，∵M（t，0），∴把分别代入得t1＝0，t2＝4，t3＝6，t4＝14∴M1（0，0），M2（4，0），M3（6，0），M4（14，0）②以DF为对角线时，以点D，F，M，N为顶点不能构成平行四边形．综上所述：M1（0，0），M2（4，0），M3（6，0），M4（14，0）．2．【解答】解：（1）将点A、B的坐标代入二次函数表达式得：y＝a（x﹣1）（x﹣5）＝a（x2﹣6x+5），则5a＝4，解得：a＝，抛物线的表达式为：y＝（x2﹣6x+5）＝x2﹣x+4，函数的对称轴为：x＝3，顶点坐标为（3，﹣）；（2）连接B、C交对称轴于点P，此时PA+PC的值为最小，将点B、C的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b得：，解得：，直线BC的表达式为：y＝﹣x+4，当x＝3时，y＝，故点P（3，）；（3）存在，理由：四边形OEBF是以OB为对角线且面积为12的平行四边形，＝OB×|y E|＝5×|y E|＝12，则S四边形OEBF点E在第四象限，故：则y E＝﹣，将该坐标代入二次函数表达式得：y＝（x2﹣6x+5）＝﹣，解得：x＝2或4，故点E的坐标为（2，﹣）或（4，﹣）．3．【解答】解：（1）把A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）代入抛物线解析式y＝ax2+bx+c 得，解得，所以抛物线的函数表达式为y＝﹣x2﹣2x+3．（2）如解（2）图1，过P点作PQ平行y轴，交AC于Q点，∵A（﹣3，0），C（0，3），∴直线AC解析式为y＝x+3，设P点坐标为（x，﹣x2﹣2x+3．），则Q点坐标为（x，x+3），∴PQ＝﹣x2﹣2x+3﹣（x+3）＝﹣x2﹣3x．＝，∴S△P AC∴，解得：x1＝﹣1，x2＝﹣2．当x＝﹣1时，P点坐标为（﹣1，4），当x＝﹣2时，P点坐标为（﹣2，3），综上所述：若△PAC面积为3，点P的坐标为（﹣1，4）或（﹣2，3），（3）如解（3）图1，过D点作DF垂直x轴于F点，过A点作AE垂直BC于E点，∵D为抛物线y＝﹣x2﹣2x+3的顶点，∴D点坐标为（﹣1，4），又∵A（﹣3，0），∴直线AD为y＝2x+6，AF＝2，DF＝4，tan∠DAB＝2，∵B（1，0），C（0，3）∴tan∠ABC＝3，BC＝，sin∠ABC＝，直线BC解析式为y＝﹣3x+3．∵AB＝4，∴AE＝AB•sin∠ABC＝＝，BE＝，∴CE＝，∴tan∠ACB＝，∴tan∠ACB＝tan∠DAB＝2，∴∠ACB＝∠DAB，∴使得以M，A，O为顶点的三角形与△ABC相似，则有两种情况，如解（3）图2Ⅰ．当∠AOM＝∠CAB＝45°时，△ABC∽△OMA，即OM为y＝﹣x，设OM与AD的交点M（x，y）依题意得：，解得，即M点为（﹣2，2）．Ⅱ．若∠AOM＝∠CBA，即OM∥BC，∵直线BC解析式为y＝﹣3x+3．∴直线OM为y＝﹣3x，设直线OM与AD的交点M（x，y）．则依题意得：，解得，即M点为（，），综上所述：存在使得以M，A，O为顶点的三角形与△ABC相似的点M，其坐标为（﹣2，2）或（，），4．【解答】解：（1）由题可列方程组：，解得：∴抛物线解析式为：y＝x2﹣x﹣2；（2）如图1，∠AOC＝90°，AC＝，AB＝4，设直线AC的解析式为：y＝kx+b，则，解得：，∴直线AC的解析式为：y＝﹣2x﹣2；当△AOC∽△AEB时＝（）2＝（）2＝，＝1，∴S△AEB＝，∵S△AOC∴AB×|y E|＝，AB＝4，则y E＝﹣，则点E（﹣，﹣）；由△AOC∽△AEB得：∴；（3）如图2，连接BF，过点F作FG⊥AC于G，则FG＝CF sin∠FCG＝CF，∴CF+BF＝GF+BF≥BE，当折线段BFG与BE重合时，取得最小值，由（2）可知∠ABE＝∠ACO∴BE＝AB cos∠ABE＝AB cos∠ACO＝4×＝，|y|＝OB tan∠ABE＝OB tan∠ACO＝3×＝，∴当y＝﹣时，即点F（0，﹣），CF+BF有最小值为；（4）①当点Q为直角顶点时（如图3）：由（3）易得F（0，﹣），∵C（0，﹣2）∴H（0，2）设Q（1，m），过点Q作QM⊥y轴于点M．则Rt△QHM∽Rt△FQM∴QM2＝HM•FM，∴12＝（2﹣m）（m+），解得：m＝，则点Q（1，）或（1，）当点H为直角顶点时：点H（0，2），则点Q（1，2）；当点F为直角顶点时：同理可得：点Q（1，﹣）；综上，点Q的坐标为：（1，）或（1，）或Q（1，2）或Q（1，﹣）．5．【解答】解：（1）将A（﹣4，0）、B（﹣1，3）代入y＝ax2+bx中，得解得∴抛物线C解析式为：y＝﹣x2﹣4x，配方，得：y＝﹣x2﹣4x＝﹣（x+2）2+4，∴顶点为：G（﹣2，4）；（2）∵抛物线C绕点O旋转180°，得到新的抛物线C′．∴新抛物线C′的顶点为：G′（2，﹣4），二次项系数为：a′＝1∴新抛物线C′的解析式为：y＝（x﹣2）2﹣4＝x2﹣4x将A（﹣4，0）代入y＝kx﹣中，得0＝﹣4k﹣，解得k＝，∴直线l解析式为y＝x﹣，设D（m，﹣m2﹣4m），∵D、E关于原点O对称，∴OD＝OE∵DE＝2EM∴OM＝2OD，过点D作DF⊥x轴于F，过M作MR⊥x轴于R，∴∠OFD＝∠ORM，∵∠DOF＝∠MOR∴△ODF∽△OMR∴＝＝＝2∴OR＝2OF，RM＝2DF∴M（﹣2m，2m2+8m）∴2m2+8m＝•（﹣2m）﹣，解得：m1＝﹣3，m2＝，∵m＜﹣2∴m的值为：﹣3；（3）由（2）知：m＝﹣3，∴D（﹣3，3），E（3，﹣3），OE＝3，如图3，连接BG，在△ABG中，∵AB2＝（﹣1+4）2+（3﹣0）2＝18，BG2＝2，AG2＝20∴AB2+BG2＝AG2∴△ABG是直角三角形，∠ABG＝90°，∴tan∠GAB＝＝＝，∵∠DEP＝∠GAB∴tan∠DEP＝tan∠GAB＝，在x轴下方过点O作OH⊥OE，在OH上截取OH＝OE＝，过点E作ET⊥y轴于T，连接EH交抛物线C于点P，点P即为所求的点；∵E（3，﹣3），∴∠EOT＝45°∵∠EOH＝90°∴∠HOT＝45°∴H（﹣1，﹣1），设直线EH解析式为y＝px+q，则，解得∴直线EH解析式为y＝﹣x，解方程组，得，，∴点P的横坐标为：或．6．【解答】解：（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+3）（x﹣1）＝a（x2+2x﹣3）＝ax2+2ax﹣3a，即﹣3a＝2，解得：a＝﹣，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣x+2，则点C（0，2），函数的对称轴为：x＝﹣1；（2）连接OP，设点P（x，﹣x2﹣x+2），＝S△APO+S△CPO﹣S△ODC＝×AO×y P+×OC×|x P|﹣×CO×OD 则S＝S四边形ADCP＝（﹣x2﹣x+2）×2×（﹣x）﹣＝﹣x2﹣3x+2，∵﹣1＜0，故S有最大值，当x＝﹣时，S的最大值为；（3）存在，理由：△MNO为等腰直角三角形，且∠MNO为直角时，点N的位置如下图所示：①当点N在x轴上方时，点N的位置为N1、N2，N1的情况（△M1N1O）：设点N1的坐标为（x，﹣x2﹣x+2），则M1E＝x+1，过点N1作x轴的垂线交x轴于点F，过点M1作x轴的平行线交N1F于点E，∵∠FN1O+∠M1N1E＝90°，∠M1N1E+∠EM1N1＝90°，∴∠EM1N1＝∠FN1O，∠M1EN1＝∠N1FO＝90°，ON1＝M1N1，∴△M1N1E≌△N1OF（AAS），∴M1E＝N1F，即：x+1＝﹣x2﹣x+2，解得：x＝（舍去负值），则点N1（，）；N2的情况（△M2N2O）：同理可得：点N2（，）；②当点N在x轴下方时，点N的位置为N3、N4，同理可得：点N3、N4的坐标分别为：（，）、（，）；综上，点N的坐标为：（，）或（，）或（，）或（，）．7．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3过点B（﹣3，0），C（1，0）∴解得：∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x+3（2）过点P作PH⊥x轴于点H，交AB于点F∵x＝0时，y＝﹣x2﹣2x+3＝3∴A（0，3）∴直线AB解析式为y＝x+3∵点P在线段AB上方抛物线上∴设P（t，﹣t2﹣2t+3）（﹣3＜t＜0）∴F（t，t+3）∴PF＝﹣t2﹣2t+3﹣（t+3）＝﹣t2﹣3t＝S△P AF+S△PBF＝PF•OH+PF•BH＝PF•OB＝（﹣t2﹣3t）＝﹣（t+）∴S△P AB2+∴点P运动到坐标为（﹣，），△PAB面积最大（3）存在点P使△PDE为等腰直角三角形设P（t，﹣t2﹣2t+3）（﹣3＜t＜0），则D（t，t+3）∴PD＝﹣t2﹣2t+3﹣（t+3）＝﹣t2﹣3t∵抛物线y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4∴对称轴为直线x＝﹣1∵PE∥x轴交抛物线于点E∴y E＝y P，即点E、P关于对称轴对称∴＝﹣1∴x E＝﹣2﹣x P＝﹣2﹣t∴PE＝|x E﹣x P|＝|﹣2﹣2t|∵△PDE为等腰直角三角形，∠DPE＝90°∴PD＝PE①当﹣3＜t≤﹣1时，PE＝﹣2﹣2t∴﹣t2﹣3t＝﹣2﹣2t解得：t1＝1（舍去），t2＝﹣2∴P（﹣2，3）②当﹣1＜t＜0时，PE＝2+2t∴﹣t2﹣3t＝2+2t解得：t1＝，t2＝（舍去）∴P（，）综上所述，点P坐标为（﹣2，3）或（，）时使△PDE为等腰直角三角形．8．【解答】解：（1）将A（﹣1，0），C（0，3）代入y＝ax2+2x+c，得，解得，，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）联立，解得，或，∴E（4，﹣5），如图1，当点Q在x轴上时，设Q（m，0），∵AE为底边，∴QA＝QE，∴QA2＝QE2，即（m+1）2＝52+（m﹣4）2，解得，m＝4，∴Q1（4，0）；当点Q在y轴上时，设Q（0，n），∵AE为底边，∴QA＝QE，∴QA2＝QE2，即n2+12＝42+（n+5）2，解得，n＝﹣4，∴Q2（0，﹣4）；综上所述，Q1（4，0），Q2（0，﹣4）；（3）如图2，过点E作EH⊥x轴于点H，∵A（﹣1，0），E（4，﹣5），∴AH＝EH＝5，AE＝＝5，∠BAE＝45°，又OB＝OC＝3，∴∠ABC＝45°，AB＝4，BC＝＝3，设P（t，0），则BP＝3﹣t，∵∠BAE＝∠ABC＝45°，∴只可能存在△PBC∽△BAE和△PBC∽△EAB两种情况，当△PBC∽△BAE时，，∴＝，∴t＝，∴P1（，0）；当△PBC∽△EAB时，，∴＝，∴t＝﹣，∴P2（﹣，0），综上所述，点P的坐标为（，0）或（﹣，0）．9．【解答】解：（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入y＝﹣x2+bx+c，得，，解得，，∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3；（2）如图1，过点P作PF∥y轴，交BC于点F，设直线BC的解析式为y＝mx+n（m≠0），将B（3，0）、C（0，3）代入y＝mx+n，得，，解得，，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，∵点P的坐标为（t，﹣t2+2t+3），∴点F的坐标为（t，﹣t+3），∴PF＝﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）＝﹣t2+3t，∴S＝PF•OB＝﹣t2+t＝﹣（t﹣）2+，∵﹣＜0，∴当t＝时，S取最大值，最大值为；（3）如图2，连接PC，交抛物线对称轴l于点E，∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，∵x D﹣x C＝1，∴x P﹣x M＝1，∴x P＝2，∴P（2，3），在y＝﹣x2+2x+3中，当x＝0时，y＝3，∴C（0，3），∴y C﹣y D＝3，∴y M﹣y P＝3，∴y M＝6，∴点M的坐标为（1，6）；当x P≠2时，不存在，理由如下，若四边形CDPM是平行四边形，则CE＝PE，∵点C的横坐标为0，点E的横坐标为1，∴点P的横坐标t＝1×2﹣0＝2，又∵x P≠2，∴不存在，综上所述，点M的坐标为（1，6）．10．【解答】解：（1）∵在抛物线y＝ax2+bx+c中，当x＝﹣4和x＝2时，二次函数y＝ax2+bx+c 的函数值y相等，∴抛物线的对称轴为x＝＝﹣1，又∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣3，0）、B两点，由对称性可知B（1，0），∴可设抛物线的解析式为y＝a（x+3）（x﹣1），将C（0，）代入y＝a（x+3）（x﹣1），得，﹣3a＝，解得，a＝﹣，∴此抛物线的解析式为y＝﹣（x+3）（x﹣1）＝﹣x2﹣x+；（2）△ABC为直角三角形，理由如下：∵A（﹣3，0），B（1，0），C（0，），∴OA＝3，OB＝1，OC＝，∴AB＝OA+OB＝4，AC＝＝2，BC＝＝2，∵AC2+BC2＝16，AB2＝16，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形；（3）∵点M、N同时从B点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA、BC边运动，∴BM＝BN＝t，由翻折知，△BMN≌△PMN，∴BM＝PM＝BN＝PN＝t，∴四边形PMBN是菱形，∴PN∥AB，∴△CPN∽△CAB，设PM与y轴交于H，∴＝＝，即＝＝，解得，t＝，CH＝，∴OH＝OC﹣CH＝﹣＝，∴y P＝，设直线AC的解析式为y＝kx+，将点A（﹣3，0）代入y＝kx+，得，k＝，∴直线AC的解析式为y＝x+，将y P＝代入y＝x+，∴x＝﹣1，∴P（﹣1，），故答案为：，（﹣1，）；（4）设直线BC的解析式为y＝kx+，将点B（1，0）代入y＝kx+，得，k＝﹣，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+，由（2）知△ABC为直角三角形，∠ACB＝90°，如图2，当∠ACF＝90°时，点B，C，F在一条直线上，在y＝﹣x+中，当x＝﹣1时，y＝2，∴F1（﹣1，2）；当∠CAF＝90°时，AF∥BC，∴可设直线AF的解析式为y＝﹣x+n，将点A（﹣3，0）代入y＝﹣x+n，得，n＝﹣3，∴直线AF的解析式为y＝﹣x﹣3，在y＝﹣x﹣3中，当x＝﹣1时，y＝﹣2，∴F2（﹣1，﹣2）；∴点F的坐标为F1（﹣1，2），F2（﹣1，﹣2）．11．【解答】解：（1）将点A（1，0），B（﹣3，0）代入y＝ax2+bx+3，得，，解得，，∴抛物线表达式为y＝﹣x2﹣2x+3；（2）如图1，过点E作EF⊥x轴于点F，设E（a，﹣a2﹣2a+3）（﹣3＜a＜0），∴EF＝﹣a2﹣2a+3，BF＝a+3，OF＝﹣a，∴＝＝＝，最大，且最大值为；∴当时，S四边形BOCE当时，，此时，点E坐标为；（3）如图2，连接AC，①当CA＝CD时，此时CO为底边的垂直平分线，满足条件的点D1，与点A关于y轴对称，点D1坐标为（﹣1，0）；②当AD＝AC时，在Rt△ACO中，∵OA＝1，OC＝3，由勾股定理得，AC＝＝，以点A为圆心，AC的长为半径作弧，交x轴于两点D2，D3，即为满足条件的点，此时它们的坐标分别为，；③当DA＝DC时，线段AC的垂直平分线与x轴的交点D4，即为满足条件的点，设垂直AC的垂直平分线交y轴于点P，过AC中点Q，∵∠AOC＝∠BOC＝∠PQC＝∠PQA＝90°，∠D4PO＝∠CPQ，∴∠ACO＝∠OD4P，∴△D4AQ∽△CAO，∴＝，即＝，∴D4A＝5，∴OD4＝D4A﹣OA＝4，∴点D4的坐标为（﹣4，0）；综上所述，存在符合条件的点D，其坐标为D1（﹣1，0）或或或D 4（﹣4，0）．12．【解答】解：（1）将点B（3，0），C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c，得，解得，，∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）①∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴顶点M（1，4），设直线BM的解析式为y＝kx+b，将点B（3，0），M（1，4）代入，得，解得，∴直线BM的解析式为y＝﹣2x+6，∵PD⊥x轴且OD＝m，∴P（m，﹣2m+6），＝PD•OD＝m（﹣2m+6）＝﹣m2+3m，∴S＝S△PCD即S＝﹣m2+3m，∵点P在线段BM上，且B（3，0），M（1，4），∴1≤m≤3；②∵S＝﹣m2+3m＝﹣（m﹣）2+，∵﹣1＞0，∴当m＝时，S取最大值，∴P（，3）；（3）存在，理由如下：如图2﹣1，当∠CPD＝90°时，∵∠COD＝∠ODP＝∠CPD＝90°，∴四边形CODP为矩形，∴PD＝CO＝3，将y＝3代入直线y＝﹣2x+6，得，x＝，∴P（，3）；如图2﹣2，当∠PCD＝90°时，∵OC＝3，OD＝m，∴CD2＝OC2+OD2＝9+m2，∵PD∥OC，∴∠PDC＝∠OCD，∴cos∠PDC＝cos∠OCD，∴＝，∴DC2＝PD•OC，∴9+m2＝3（﹣2m+6），解得，m1＝﹣3﹣3（舍去），m2＝﹣3+3，∴P（﹣3+3，12﹣6），当∠PDC＝90°时，∵PD⊥x轴，∴不存在，综上所述，点P的坐标为（，3）或（﹣3+3，12﹣6）．13．【解答】解：（1）将点A（﹣1，0）、B（3，0）代入y＝ax2+bx+3，得，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴抛物线的顶点坐标为（1，4）；（2）如图1，过点P作x轴的垂线，交BC于点N，在y＝﹣x2+2x+3中，当x＝0时，y＝3，∴C（0，3），设直线BC的解析式为y＝kx+3，将点B（3，0）代入y＝kx+3，得3k+3＝0，∴k＝﹣1，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，设P（x，﹣x2+2x+3），则N（x，﹣x+3），∴PN＝﹣x2+2x+3﹣（﹣x+3）＝﹣x2+3x，＝×PN×OB＝（﹣x2+3x）×3＝﹣（x﹣）2+，∴S△PBC∴当x＝时，△PBC的面积最大，∴P（，）；（3）存在，如图2，过点P作PH⊥x轴于H，设直线与y轴交于点Q，则Q（0，﹣），在Rt△OBQ中，tan∠OBQ＝＝＝，在Rt△PHB中，tan∠BPH＝＝＝，∴∠OBQ＝∠BHP，∵∠BPH+∠PBH＝90°，∴∠OBQ+∠PBH＝90°，即∠PBE＝90°，将点B（3，0）代入直线，得3k﹣＝0，∴k＝，∴y＝x﹣，联立，解得，x1＝3，x2＝﹣，∴E（﹣，﹣），过点E作EF⊥BC于点F，则∠FEB+∠FBE＝90°，∵∠PBC+∠FBE＝90°，∴∠FEB＝∠PBC，则此时射线EF与抛物线的交点即为所求的点M，∵BC＝＝3，PC＝＝，PB＝＝2，∴BC2+PC2＝PB2，∴△PCB为直角三角形，且∠PCB＝90°，∴sin∠PBC＝＝＝，∴sin∠FEB＝＝，∵EB＝＝，∴FB＝，过点F作FD⊥x轴于点D，∵OB＝OC＝3，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，∴∠DBF＝∠DFB＝45°，∴DB＝DF＝FB＝，∴F（，），设直线EF的解析式为y＝kx+b，将点E（﹣，﹣），F（，）代入y＝kx+b，得，解得，∴直线EF的解析式为y＝x﹣，联立，解得，x1＝，x2＝﹣，当x＝时，y＝，∴M（，）．14．【解答】解：（1）在抛物线y＝﹣x2+2x+3中，当y＝0时，x1＝﹣1，x2＝3；当x＝0时，y＝3，∴A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）（2）∵点M'与点M关于直线CN对称，且点M'在y轴上，∴∠M'CN＝∠MCN，∵MN∥y轴，∴∠M'CN＝∠CNM，∴∠MCN＝∠CNM，∴MN＝CM，∵点C的坐标为（0，3），∴可设直线BC的解析式为y＝kx+3，将点B（3，0）代入y＝kx+3，得，3k+3＝0，∴k＝﹣1，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，设点M的横坐标为t，则M（t，﹣t+3），N（t，﹣t2+2t+3），∴MN＝（﹣t2+2t+3）﹣（﹣t+3）＝﹣t2+3t，，∴，∵t≠0，∴，∴，（3）根据题意，A'O'平行于x轴，O'C'平行于y轴，A'O'＝1，O'C'＝3，点A'在点O'的右边，点C'在点O'的下方，设点O'的横坐标为m，则A'的横坐标为m+1，点C'的横坐标为m，①若A'、O'在抛物线上，则﹣m2+2m+3＝﹣（m+1）2+2（m+1）+3，∴，∴，则点P在OO'的中点处，∴；②若A'、C'在抛物线上，则﹣（m+1）2+2（m+1）+3＝﹣m2+2m+3+3∴m＝﹣1，∴O'（﹣1，3），则点P在OO'的中点处，∴，综上所述，存在点或，使△AOC关于点P的对称△A'O'C'恰好有两个顶点落在该抛物线上．15．【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x﹣h）2+k，（a≠0）∵顶点，∴，又∵图象过原点，∴，解出：，∴，即；（2）令y＝0，即，解得：x1＝0，x2＝4，∴A（4，0），设直线AC的解析式为y＝kx+b，将点A（4，0），代入，得，解得，∴直线AC的解析式为y＝﹣x+4，过点D作DF∥y轴交AC于点F，设，则，∴，∴＝，有最大值，∴当m＝3时，S△ACD当m＝3时，，∴；（3）∵∠CBO＝∠CBA＝90°，OB＝AB＝2，，∴，∴OA＝OC＝AC＝4，∴△AOC为等边三角形，①如图3﹣1，当点P在C时，OA＝AC＝CA'＝OA'，∴四边形ACA'O是菱形，∴；②作点C关于x轴的对称点C'，当点A'与点C'重合时，OC＝AC＝AA'＝OA'，∴四边形OCAA'是菱形，∴点P是∠AOA'的角平分线与对称轴的交点，记为P2，∴，∵∠OBP2＝90°，OB＝2，∴OP2＝2BP2，∵∠OBP2＝90°，OB＝2，∴OP2＝2BP2，设BP2＝x，∴OP2＝2x，又∵，∴（2x）2＝22+x2，解得或，∴；综上所述，点P的坐标为或．16．【解答】解：（1）由抛物线y＝ax2﹣2x+c与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，得，解得，∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；由y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，得，点D坐标为（﹣1，4）；（2）在直线l上存在一点M，到点B的距离与到点C的距离之和最小，根据抛物线对称性MA＝MB，∴MB+MC＝MA+MC，∴使MB+MC的值最小的点M应为直线AC与对称轴l：x＝﹣1的交点，当x＝0时，y＝3，∴C（0，3），设直线AC解析式为直线y＝kx+b，把A（﹣3，0）、C（0，3）分别代入y＝kx+b，得，，解得，，∴直线AC解析式为y＝x+3，把x＝﹣1代入y＝x+3得，y＝2，∴M（﹣1，2），即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为（﹣1，2）；（3）①PF＝2FG，理由如下，设直线AD解析式为y＝k'x+b'，把A（﹣3，0）、D（﹣1，4）分别代入直线y＝k'x+b'，得，，解得，∴直线AD解析式为y＝2x+6，则点F的坐标为（m，2m+6），同理G的坐标为（m，m+3），则FG＝（2m+6）﹣（m+3）＝m+3，FP＝2m+6＝2（m+3），∴FP＝2FG；②根据题意得点E的坐标为（m，﹣m2﹣2m+3），设直线l与x轴交于点N，EF＝（﹣m2﹣2m+3）﹣（2m+6）＝﹣m2﹣4m﹣3＝﹣（m+2）2+1＝S△AEF+S△EFD＝＝∴S△AED，的最大值为1，∴当m为﹣2时，S△AED如图，过点D作DH∥x轴，交y轴于点H，在△DHC中，∠DHC＝180°﹣∠AOB＝90°，，在Rt△AOC中，，在Rt△ADN中，，∵，∴DC2+AC2＝AD2，∴∠ACD＝90°，∴，∴，∴当m为﹣2时，四边形AEDC的面积最大，最大值为4．17．【解答】解：（1）将A（1，4）代入y＝，得，k＝4，∴双曲线解析式为y＝，设B（m，）（m＜0），连接AB，交x轴于点C，设直线AB的解析式为y＝kx+b，将点A（1，4），B（m，）代入，得，解得，，∴直线AB的解析式为y＝﹣x+，当y＝0时，x＝m+1，∴C（m+1，0），OC＝﹣m﹣1，＝OC•（y A﹣y B）∴S△AOB＝（﹣m﹣1）（4﹣），∵△AOB的面积为3，∴（﹣m﹣1）（4﹣）＝3，整理，得2m2+3m﹣2＝0，解得，m1＝（舍去），m2＝﹣2，∴B（﹣2，﹣2），将A（1，4），B（﹣2，﹣2）代入y＝ax2+bx，得，，解得，，∴抛物线的解析式为y＝x2+3x，∴a＝1，b＝3，k＝4；（2）在抛物线y＝x2+3x中，对称轴为x＝﹣，设P（﹣，y），∵O（0，0），B（﹣2，﹣2），∴PO2＝+y2，OB2＝8，PB2＝+（y+2）2，。

2020-2021中考数学二次函数(大题培优 易错 难题)含详细答案

2020-2021中考数学二次函数(大题培优 易错 难题)含详细答案

2020-2021中考数学二次函数(大题培优 易错 难题)含详细答案一、二次函数1．如图，在平面直角坐标系中有一直角三角形AOB ，O 为坐标原点，OA ＝1，tan ∠BAO ＝3，将此三角形绕原点O 逆时针旋转90°，得到△DOC ，抛物线y ＝ax 2+bx +c 经过点A 、B 、C ．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P 是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为t ，设抛物线对称轴l 与x 轴交于一点E ，连接PE ，交CD 于F ，求以C 、E 、F 为顶点三角形与△COD 相似时点P 的坐标． 【答案】（1）抛物线的解析式为y=﹣x 2﹣2x+3；（2）当△CEF 与△COD 相似时，P 点的坐标为（﹣1，4）或（﹣2，3）． 【解析】 【分析】（1）根据正切函数，可得OB ，根据旋转的性质，可得△DOC ≌△AOB ，根据待定系数法，可得函数解析式；（2）分两种情况讨论：①当∠CEF ＝90°时，△CEF ∽△COD ，此时点P 在对称轴上，即点P 为抛物线的顶点；②当∠CFE ＝90°时，△CFE ∽△COD ，过点P 作PM ⊥x 轴于M 点，得到△EFC ∽△EMP ，根据相似三角形的性质，可得PM 与ME 的关系，解方程，可得t 的值，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案． 【详解】（1）在Rt △AOB 中，OA ＝1，tan ∠BAO OBOA==3，∴OB ＝3OA ＝3． ∵△DOC 是由△AOB 绕点O 逆时针旋转90°而得到的，∴△DOC ≌△AOB ，∴OC ＝OB ＝3，OD ＝OA ＝1，∴A ，B ，C 的坐标分别为（1，0），（0，3），（﹣3，0），代入解析式为09303a b c a b c c ++=⎧⎪-+=⎨⎪=⎩，解得：123a b c =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，抛物线的解析式为y ＝﹣x 2﹣2x +3； （2）∵抛物线的解析式为y ＝﹣x 2﹣2x +3，∴对称轴为l 2ba=-=-1，∴E 点坐标为（﹣1，0），如图，分两种情况讨论：①当∠CEF ＝90°时，△CEF ∽△COD ，此时点P 在对称轴上，即点P 为抛物线的顶点，P（﹣1，4）；②当∠CFE ＝90°时，△CFE ∽△COD ，过点P 作PM ⊥x 轴于M 点，∵∠CFE=∠PME=90°，∠CEF=∠PEM ，∴△EFC ∽△EMP ，∴13EM EF OD MP CF CO ===，∴MP ＝3ME ． ∵点P 的横坐标为t ，∴P （t ，﹣t 2﹣2t +3）．∵P 在第二象限，∴PM ＝﹣t 2﹣2t +3，ME ＝﹣1﹣t ，t ＜0，∴﹣t 2﹣2t +3＝3（﹣1﹣t ），解得：t 1＝﹣2，t 2＝3（与t ＜0矛盾，舍去）．当t ＝﹣2时，y ＝﹣（﹣2）2﹣2×（﹣2）+3＝3，∴P （﹣2，3）．综上所述：当△CEF 与△COD 相似时，P 点的坐标为（﹣1，4）或（﹣2，3）． 【点睛】本题是二次函数综合题．解（1）的关键是利用旋转的性质得出OC ，OD 的长，又利用了待定系数法；解（2）的关键是利用相似三角形的性质得出MP ＝3ME ．2．已知，m ，n 是一元二次方程x 2+4x +3=0的两个实数根，且|m |＜|n |，抛物线y =x 2+bx +c 的图象经过点A （m ，0），B （0，n ），如图所示． （1）求这个抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线与x 轴的另一个交点为抛物线的顶点为D ，求出点C ，D 的坐标，并判断△BCD 的形状；（3）点P 是直线BC 上的一个动点（点P 不与点B 和点C 重合），过点P 作x 轴的垂线，交抛物线于点M ，点Q 在直线BC 上，距离点P 为2个单位长度，设点P 的横坐标为t ，△PMQ 的面积为S ，求出S 与t 之间的函数关系式．【答案】（1）223y x x =--；（2）C （3，0），D （1，﹣4），△BCD 是直角三角形；（3）2213(03)2213(03)22t t t S t t t t ⎧-+⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩＜＜＜或＞【解析】试题分析：（1）先解一元二次方程，然后用待定系数法求出抛物线解析式；（2）先解方程求出抛物线与x 轴的交点，再判断出△BOC 和△BED 都是等腰直角三角形，从而得到结论；（3）先求出QF=1，再分两种情况，当点P 在点M 上方和下方，分别计算即可． 试题解析：解（1）∵2+430x x +=，∴11x =-，23x =-，∵m ，n 是一元二次方程2+430x x +=的两个实数根，且|m|＜|n|，∴m=﹣1，n=﹣3，∵抛物线223y x x =--的图象经过点A （m ，0），B （0，n ），∴10{3b c c -+==-，∴2{3b c =-=-，∴抛物线解析式为223y x x =--；（2）令y=0，则2230x x --=，∴11x =-，23x =，∴C （3，0），∵223y x x =--=2(1)4x --，∴顶点坐标D （1，﹣4），过点D 作DE ⊥y 轴，∵OB=OC=3，∴BE=DE=1，∴△BOC 和△BED 都是等腰直角三角形，∴∠OBC=∠DBE=45°，∴∠CBD=90°，∴△BCD 是直角三角形；（3）如图，∵B （0，﹣3），C （3，0），∴直线BC 解析式为y=x ﹣3，∵点P 的横坐标为t ，PM ⊥x 轴，∴点M 的横坐标为t ，∵点P 在直线BC 上，点M 在抛物线上，∴P （t ，t ﹣3），M （t ，223t t --），过点Q 作QF ⊥PM ，∴△PQF 是等腰直角三角形，∵，∴QF=1．①当点P 在点M 上方时，即0＜t ＜3时，PM=t ﹣3﹣（223t t --）=23t t -+，∴S=12PM×QF=21(3)2t t -+=21322t t -+，②如图3，当点P 在点M 下方时，即t ＜0或t＞3时，PM=223t t --﹣（t ﹣3）=23t t -，∴S=12PM×QF=12（23t t -）=21322t t -．综上所述，S=2213(03)22{13 (03)22t t t t t t t 或-+<<-．考点：二次函数综合题；分类讨论．3．如图，过()A 1,0、()B 3,0作x 轴的垂线，分别交直线y 4x =-于C 、D 两点.抛物线2y ax bx c =++经过O 、C 、D 三点．()1求抛物线的表达式；()2点M 为直线OD 上的一个动点，过M 作x 轴的垂线交抛物线于点N ，问是否存在这样的点M ，使得以A 、C 、M 、N 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求此时点M 的横坐标；若不存在，请说明理由；()3若AOC V 沿CD 方向平移(点C 在线段CD 上，且不与点D 重合)，在平移的过程中AOC V 与OBD V 重叠部分的面积记为S ，试求S 的最大值．【答案】（1）2413y x x 33=-+；（2）32或3322+或3322-；（3）13． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）由题意，可知MN ∥AC ，因为以A 、C 、M 、N 为顶点的四边形为平行四边形，则有MN =AC =3．设点M 的横坐标为x ，则求出MN =|43x 2﹣4x |；解方程|43x 2﹣4x |=3，求出x的值，即点M 横坐标的值；（3）设水平方向的平移距离为t （0≤t ＜2），利用平移性质求出S 的表达式：S 16=-（t ﹣1）213+；当t =1时，s 有最大值为13． 【详解】（1）由题意，可得C （1，3），D （3，1）．∵抛物线过原点，∴设抛物线的解析式为：y =ax 2+bx ，∴3931a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得43133a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴抛物线的表达式为：y 43=-x 2133+x ． （2）存在．设直线OD 解析式为y =kx ，将D （3，1）代入，求得k 13=，∴直线OD 解析式为y 13=x ． 设点M 的横坐标为x ，则M （x ，13x ），N （x ，43-x 2133+x ），∴MN =|y M ﹣y N |=|13x ﹣（43-x 2133+x ）|=|43x 2﹣4x |． 由题意，可知MN ∥AC ，因为以A 、C 、M 、N 为顶点的四边形为平行四边形，则有MN =AC =3，∴|43x 2﹣4x |=3． 若43x 2﹣4x =3，整理得：4x 2﹣12x ﹣9=0，解得：x =或x = 若43x 2﹣4x =﹣3，整理得：4x 2﹣12x +9=0，解得：x 32=，∴存在满足条件的点M ，点M 的横坐标为：32． （3）∵C （1，3），D （3，1），∴易得直线OC 的解析式为y =3x ，直线OD 的解析式为y 13=x ． 如解答图所示，设平移中的三角形为△A 'O 'C '，点C '在线段CD 上． 设O 'C '与x 轴交于点E ，与直线OD 交于点P ； 设A 'C '与x 轴交于点F ，与直线OD 交于点Q ．设水平方向的平移距离为t （0≤t ＜2），则图中AF =t ，F （1+t ，0），Q （1+t ，1133+t ），C '（1+t ，3﹣t ）．设直线O 'C '的解析式为y =3x +b ，将C '（1+t ，3﹣t ）代入得：b =﹣4t ，∴直线O 'C '的解析式为y =3x ﹣4t ，∴E （43t ，0）． 联立y =3x ﹣4t 与y 13=x ，解得：x 32=t ，∴P （32t ，12t ）． 过点P 作PG ⊥x 轴于点G ，则PG 12=t ，∴S =S △OFQ ﹣S △OEP 12=OF •FQ 12-OE •PG 12=（1+t ）（1133+t ）12-•43t •12t 16=-（t ﹣1）213+当t =1时，S 有最大值为13，∴S 的最大值为13．【点睛】本题是二次函数压轴题，综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、函数图象上点的坐标特征、平行四边形、平移变换、图形面积计算等知识点，有一定的难度．第（2）问中，解题的关键是根据平行四边形定义，得到MN =AC =3，由此列出方程求解；第（3）问中，解题的关键是求出S 的表达式，注意图形面积的计算方法．4．如图，抛物线21222y x x =-++与x 轴相交于A B ，两点，（点A 在B 点左侧）与y 轴交于点C.（Ⅰ）求A B ，两点坐标.（Ⅱ）连结AC ，若点P 在第一象限的抛物线上，P 的横坐标为t ，四边形ABPC 的面积为S.试用含t 的式子表示S ，并求t 为何值时，S 最大.（Ⅲ）在（Ⅱ）的基础上，若点,G H 分别为抛物线及其对称轴上的点，点G 的横坐标为m ，点H 的纵坐标为n ，且使得以,,,A G H P 四点构成的四边形为平行四边形，求满足条件的,m n 的值.【答案】（Ⅰ）(A B ；（Ⅱ）2(2S t t =--+<<,当t =时，S =最大；（Ⅲ）满足条件的点m n 、的值为：324m n =-=，或1524m n ==-，或124m n =-= 【解析】 【分析】（Ⅰ）令y=0，建立方程求解即可得出结论；（Ⅱ）设出点P 的坐标，利用S=S △AOC +S 梯形OCPQ +S △PQB ，即可得出结论；（Ⅲ）分三种情况，利用平行四边形的性质对角线互相平分和中点坐标公式建立方程组即可得出结论． 【详解】解：（Ⅰ）抛物线2122y x x =-++，令0y =，则212022x x -++=，解得：x =x =∴((,A B（Ⅱ）由抛物线21222y x x =-++，令0x =，∴2y =，∴()0,2C ， 如图1，点P 作PQ x ⊥轴于Q ， ∵P 的横坐标为t ，∴设(),P t p ，∴212,,22p t PQ p BQ t OQ t =-++===，∴()()11122222AOC PQB OCPQ S S S S p t t p =++=++⨯+⨯⨯V V 梯形 1122t pt pt t =++-=++2122222t t t ⎛⎫=-++++ ⎪ ⎪⎭ ()22242(022)2t t =--+<<，∴当2t =时，42S =最大；（Ⅲ）由（Ⅱ）知，2t =，∴)2,2P，∵抛物线212222y x x =-++的对称轴为22x =， ∴设2122,2,222G m m m H n ⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭以,,,A G H P 四点构成的四边形为平行四边形，()2,0A ， ①当AP 和HG 为对角线时， ∴()2112111222,20222222m m n ⎛⎛⎫=++=-+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴2324m n =-=， ②当AG 和PH 是对角线时，∴(()2112112122,20222222m m n ⎛⎫=-++=+ ⎪ ⎪⎭⎝⎭， ∴52154m n ==-， ③AH 和PG 为对角线时， ∴(()2121112122,22022222m m n ⎛⎛⎫-=+-+++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴3214m n ==，即：满足条件的点m n 、的值为：23,4m n =-=，或5215,4m n ==-，或321,4m n =-= 【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了坐标轴上点的特点，三角形的面积公式，梯形的面积公式，平行四边形的性质，中点坐标公式，用方程的思想解决问题是解本题的关键．5．如图，抛物线y ＝ax 2+bx +4与x 轴交于点A （﹣1，0）、B （3，0），与y 轴交于点C ． （1）求抛物线的解析式；（2）如图1，D 为抛物线对称轴上一动点，求D 运动到什么位置时△DAC 的周长最小； （3）如图2，点E 在第一象限抛物线上，AE 与BC 交于点F ，若AF ：FE ＝2：1，求E 点坐标；（4）点M 、N 同时从B 点出发，分别沿BA 、BC 方向运动，它们的运动速度都是1个单位/秒，当点M 运动到点A 时，点N 停止运动，则当点N 停止运动后，在x 轴上是否存在点P ，使得△PBN 是等腰三角形？若存在，直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）248433y x x =-++（2）81,3D ⎛⎫⎪⎝⎭（3）点P 的坐标P 1（﹣1，0）或P 2（7，0）或P 3（﹣95，0）或P 4（13，0）． 【解析】 【分析】（1）直接待定系数法代入求解即可 （2）找到D 点在对称轴时是△DAC 周长最小的点，先求出直线BC ，然后D 点横坐标是1，直接代入直线BC 求出纵坐标即可 （3）作EH ∥AB 交BC 于H ，则∠FAB ＝∠FEH ，∠FBA ＝∠FHE ，易证△ABF ∽△EHF ，得AB AF2EH EF==,得EH=2，设E （x ，248x x 433-++），则H （x ﹣2，420x 33-+），y E ＝y H ，解出方程x ＝1或x ＝2，得到E 点坐标 （4）△PBN 是等腰三角形，分成三种情况，①BP ＝BC 时，利用等腰三角性质直接得到P 1（﹣1，0）或P 2（7，0），②当NB ＝NP 时，作NH ⊥x 轴，易得△NHB ∽△COB ，利用比例式得到NH 、 BH 从而得到 PH ＝BH ，BP ，进而得到OP ，即得到P 点坐标，③当PN ＝PB 时，取NB 中点K ，作KP ⊥BN ，交x 轴于点P ，易得△NOB ∽△PKB ，利用比例式求出PB ，进而得到OP ，即求出P 点坐标 【详解】解：（1）将A （﹣1，0）、B （3，0）代入y ＝ax 2+bx+4， 得 40930a b a b c -+=⎧⎨++=⎩解得a ＝43-，b ＝83， ∴抛物线的解析式248433y x x =-++； （2）22484164(1)3333=-++=--+y x x x ∴抛物线对称轴为直线x ＝1， ∴D 的横坐标为1，由（1）可得C （0，4）， ∵B （3，0）， ∴直线BC ：4y 43x =-+ ∵DA ＝DB ，△DAC 的周长＝AC+CD+AD ＝AC+CD+BD ， 连接BC ，与对称轴交于点D ，此时CD+BD 最小， ∵AC 为定值， ∴此时△DAC 的周长， 当x ＝1时，y ＝﹣43×1+4＝83， ∴D （1，83）； （3）作EH ∥AB 交BC 于H ，则∠FAB ＝∠FEH ，∠FBA ＝∠FHE ，∴△ABF ∽△EHF ，∵AF ：FE ＝2：1， ∴AB AF 2EH EF ==， ∵AB ＝4，∴EH ＝2， 设E （x ，248x x 433-++），则H （x ﹣2，420x 33-+） ∵EH ∥AB ，∴y E ＝y H ， ∴248x x 433-++=420x 33-+ 解得x ＝1或x ＝2， y ＝163或4， ∴E （1，163）或（2，4）； （4）∵A （﹣1，0）、B （3，0），C （0，4）∴AB ＝4，OC ＝4，点M 运动到点A 时，BM ＝AB ＝4，∴BN ＝4，∵△PBN 是等腰三角形，①BP ＝BC 时，若P 在点B 左侧，OP ＝PB ﹣OB ＝4﹣3＝1，∴P 1（﹣1，0），若P 在点B 右侧，OP ＝OB+BP ＝4+3＝7，∴P 2（7，0）；②当NB ＝NP 时，作NH ⊥x 轴，△NHB ∽△COB ， ∴45NH BH BN OC OB BC === ∴NH ＝45OC ＝445⨯＝165， BH ＝45BC ＝125， ∴PH ＝BH ＝125， BP ＝245， ∴OP ＝BP ﹣OB ＝249355-=， ∴P 3（﹣95，0）； ③当PN ＝PB 时，取NB 中点K ，作KP ⊥BN ，交x 轴于点P ，∴△NOB ∽△PKB ， ∴PB BK BN OB= ∴PB ＝83， ∴OP ＝OB ﹣PB ＝3﹣83＝13 P 4（13，0） 综上，当△PBN 是等腰三角形时，点P 的坐标P 1（﹣1，0）或P 2（7，0）或P 3（﹣95，0）或P 4（13，0）． 【点睛】 本题考查二次函数、平行线性质、相似三角形、等腰三角形性质及最短距离等知识点，综合程度比较高，对综合能力要求比较高. 第一问比较简单，考查待定系数法；第二问最短距离，找到D点是解题关键；第三问证明出相似是关键；第四问能够分情况讨论是解题关键6．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，且与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，抛物线对称轴DE交x轴于点E，连接BD．（1）求经过A，B，C三点的抛物线的函数表达式；（2）点P是线段BD上一点，当PE＝PC时，求点P的坐标．【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）点P的坐标为（2，2）．【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出过A，B，C三点的抛物线的函数表达式；（2）连接PC、PE，利用公式求出顶点D的坐标，利用待定系数法求出直线BD的解析式，设出点P的坐标为（x，﹣2x+6），利用勾股定理表示出PC2和PE2，根据题意列出方程，解方程求出x的值，计算求出点P的坐标．【详解】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，∴10930b cb c--+=⎧⎨-++=⎩，解得23bc=⎧⎨=⎩，∴所求的抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+2x+3；（2）如图，连接PC，PE．抛物线的对称轴为x＝222(1)ba-=-⨯-＝1．当x＝1时，y＝4，∴点D的坐标为（1，4）．设直线BD的解析式为y＝kx+b，则430 k bk b+=⎧⎨+=⎩，解得26kb=-⎧⎨=⎩．∴直线BD的解析式为：y＝2x+6，设点P 的坐标为（x ，﹣2x +6），又C （0，3），E （1，0），则PC 2＝x 2+（3+2x ﹣6）2，PE 2＝（x ﹣1）2+（﹣2x +6）2，∵PC ＝PE ，∴x 2+（3+2x ﹣6）2＝（x ﹣1）2+（﹣2x +6）2，解得，x ＝2，则y ＝﹣2×2+6＝2，∴点P 的坐标为（2，2）．【点睛】本题考查的是二次函数的图象和性质、待定系数法求函数解析式，掌握二次函数的图象和性质、灵活运用待定系数法是解题的关键．7．如图，对称轴为直线x 1=-的抛物线()2y ax bx c a 0=++≠与x 轴相交于A 、B 两点，其中A 点的坐标为（－3，0）．（1）求点B 的坐标；（2）已知a 1=，C 为抛物线与y 轴的交点．①若点P 在抛物线上，且POC BOC S 4S ∆∆=，求点P 的坐标；②设点Q 是线段AC 上的动点，作QD ⊥x 轴交抛物线于点D ，求线段QD 长度的最大值．【答案】（1）点B 的坐标为（1，0）.（2）①点P 的坐标为（4，21）或（－4，5）.4【解析】【分析】 （1）由抛物线的对称性直接得点B 的坐标．（2）①用待定系数法求出抛物线的解析式，从而可得点C 的坐标，得到BOC S ∆，设出点P 的坐标，根据POC BOC S 4S ∆∆=列式求解即可求得点P 的坐标．②用待定系数法求出直线AC 的解析式，由点Q 在线段AC 上，可设点Q 的坐标为(q,-q-3)，从而由QD ⊥x 轴交抛物线于点D ，得点D 的坐标为(q,q 2+2q-3)，从而线段QD 等于两点纵坐标之差，列出函数关系式应用二次函数最值原理求解.【详解】解：（1）∵A 、B 两点关于对称轴x 1=-对称 ，且A 点的坐标为（－3，0）， ∴点B 的坐标为（1，0）.（2）①∵抛物线a 1=，对称轴为x 1=-，经过点A （－3，0）， ∴2a 1b 12a 9a 3b c 0=⎧⎪⎪-=-⎨⎪-+=⎪⎩，解得a 1b 2c 3=⎧⎪=⎨⎪=-⎩. ∴抛物线的解析式为2y x 2x 3=+-.∴B 点的坐标为（0，－3）.∴OB=1，OC=3.∴BOC 13S 1322∆=⨯⨯=. 设点P 的坐标为(p,p 2+2p-3)，则POC 13S 3p p 22∆=⨯⨯=. ∵POC BOC S 4S ∆∆=，∴3p 62=，解得p 4=±. 当p 4=时2p 2p 321+-=；当p 4=-时，2p 2p 35+-=，∴点P 的坐标为（4，21）或（－4，5）.②设直线AC 的解析式为y kx b =+，将点A ，C 的坐标代入，得：3k b 0b 3-+=⎧⎨=-⎩，解得：k 1b 3=-⎧⎨=-⎩. ∴直线AC 的解析式为y x 3=--.∵点Q 在线段AC 上，∴设点Q 的坐标为(q,-q-3).又∵QD ⊥x 轴交抛物线于点D ，∴点D 的坐标为(q,q 2+2q-3).∴()22239QD q 3q 2q 3q 3q q 24⎛⎫=---+-=--=-++ ⎪⎝⎭. ∵a 10<=-，-3302<<-48．如图，已知直线y kx 6=-与抛物线2y ax bx c =++相交于A ，B 两点，且点A （1，－4）为抛物线的顶点，点B 在x 轴上。

二次函数专题三：角度问题-含答案

二次函数专题三：角度问题-含答案

二次函数与几何图形综合题角度问题1.如图，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数y ＝ax 2＋bx －3(a ，b 是常数)的图象与x 轴交于点A(－3，0)和点B (1，0)，与y 轴交于点C.动直线y ＝t (t 为常数)与抛物线交于不同的两点P 、Q.(1)求a 和b 的值及t 的取值范围； (2)若∠PCQ ＝90°，求t 的值．1. 解：(1)将点A 、点B 的坐标代入y ＝ax 2＋bx －3中可得：⎩⎨⎧=+=03-03-3-9b a b a ，解得⎩⎨⎧==21b a ；∴抛物线的解析式为y ＝x 2＋2x －3 动直线y ＝t ，联立两个解析可得：x 2＋2x －3＝t ，即x 2＋2x －(3＋t )＝0.∵动直线y ＝t (t 为常数)与抛物线交于不同的两点，∴b 2－4ac ＝4＋4(3＋t )＞0，解得t ＞－4；(3)∵y ＝x 2＋2x －3＝(x ＋1)2－4， ∴抛物线的对称轴为直线x ＝－1. 当x ＝0时，y ＝－3，∴C(0，－3)． 设点Q 的坐标为(m ，t )，则P (－2－m ，t)． 如解图，设PQ 与y 轴交于点D ， 则CD ＝t ＋3，DQ ＝m ，DP ＝m ＋2.∵∠PCQ ＝∠PCD ＋∠QCD ＝90°，∠DPC ＋∠PCD ＝90°， ∴∠QCD ＝∠DPC ，又∠PDC ＝∠QDC ＝90°，∴△QCD ∽△CPD ，∴DQ DC ＝DC PD，即3+t m ＝23++m t ，整理得：t 2＋6t ＋9＝m 2＋2m ， ∵Q (m ，t )在抛物线上，∴t ＝m 2＋2m －3，∴m 2＋2m ＝t ＋3，∴t 2＋6t ＋9＝t ＋3，化简得：t 2＋5t ＋6＝0，解得t ＝－2或t ＝－3， 当t ＝－3时，动直线y ＝t 经过点C ，故不合题意，舍去．∴t ＝－2.2. 如图①，若二次函数y ＝36x 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交于A(－2，0)、B(3，0)两点，点A 关于正比例函数y ＝3x 的图象的对称点为C. (1)求b 、c 的值；(2)证明：点C 在所求的二次函数的图象上；(3)如图②，过点B 作DB ⊥x 轴交正比例函数y ＝3x 的图象于点D ，连接AC ，交正比例函数y ＝3x 的图象于点E ，连接AD 、CD ，如果动点P 从点A 沿线段AD 方向以每秒2个单位的速度向点D 运动，同时动点Q 从点D 沿线段DC 方向以每秒1个单位的速度向点C 运动，当其中一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，连接PQ 、QE 、PE ，设运动时间为t 秒，是否存在某一时刻，使PE 平分∠APQ ，同时QE 平分∠PQC ，若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．3. (1)解：∵点A (－2，0)，B (3，0)在抛物线y ＝36x 2＋bx ＋c 上， ∴将A ，B 两点代入抛物线解析式得：⎩⎨⎧36×4－2b ＋c ＝036×9＋3b ＋c ＝0，解得：b ＝－36，c ＝－3；(2)证明：设点F 在直线y ＝3x 上，且F (2，23)．如解图①所示，过点F 作FH ⊥x 轴于点H ，则FH ＝23，OH ＝2， ∴tan ∠FOB ＝FHOH＝3，∴∠FOB ＝60°，∴∠AOE ＝∠F O B ＝60°，连接OC ，过点C 作CK ⊥x 轴于点K ，∵点A 、C 关于直线y ＝3x 对称， ∴OC ＝OA ＝2，∠COE ＝∠AOE ＝60°∴∠COK ＝180°－∠AOE －∠COE ＝60°， 在Rt △COK 中，CK ＝OC ·sin60°＝2×32＝3，OK ＝OC ·cos60°＝2×12＝1，∴C(1，－3)， 又由(1)得抛物线解析式为：y ＝36x 2－36x －3，当x ＝1时，y ＝－ 3.∴点C 在所求二次函数的图象上．(3)解：假设存在．如解图①所示，在Rt △ACK 中，由勾股定理得：AC ＝AK 2＋CK 2＝32＋（3）2＝2 3. 如解图②所示，∵OB ＝3， ∴BD ＝33，AB ＝OA ＋OB ＝5.在Rt △ABD 中，由勾股定理得：AD ＝AB 2＋BD 2＝52＋（33）2＝213.∵A 、C 关于直线y ＝3x 对称，∴C D ＝AD ＝213，∠DAC ＝∠DCA ，AE ＝CE ＝12AC ＝ 3.连接PQ 、PE 、QE ，则∠APE ＝∠QPE ，∠PQE ＝∠CQE .在四边形APQC 中，∠DAC ＋∠APQ ＋∠PQC ＋∠DCA ＝360°(四边形内角和等于360°)， 即2∠DAC ＋2∠APE ＋2∠CQE ＝360°，∴∠DAC ＋∠A P E ＋∠CQE ＝180°. 又∵∠DAC ＋∠APE ＋∠AEP ＝180°(三角形内角和定理)，∴∠AEP ＝∠CQE . 在△APE 与△CEQ 中，∵∠DAC ＝∠DCA ，∠AEP ＝∠C Q E ，∴△APE ∽△CEQ ，∴CQ AE ＝CE AP，即213－t 3＝32t ，整理得：2t 2－413t ＋3＝0， 解得：t ＝213－462或213＋462(t ＜13，舍去)∴存在某一时刻，使PE 平分∠APQ ，同时，QE 平分∠PQC ，此时t ＝213－462.3.如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝12x ＋2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，抛物线y ＝－12x 2＋bx ＋c 经过A 、C 两点，与x 轴的另一交点为点B .(1)求抛物线的函数表达式；(2)点D 为直线AC 上方抛物线上一动点．①连接BC 、CD ，设直线BD 交线段AC 于点E ，△CDE 的面积为S 1，△BCE 的面积为S 2，求S 1S 2的最大值； ②过点D 作DF ⊥AC ，垂足为点F ，连接CD ，是否存在点D ，使得△CDF 中的某个角恰好等于∠BAC 的2倍？若存在，求点D 的横坐标；若不存在，请说明理由．备用图3 解：(1)据题意得，A (－4，0)，C(0，2)，∵y ＝－12x 2＋bx ＋c 过A 、C 两点，∴⎪⎩⎪⎨⎧=+⨯=cc b 24-1621-0，∴⎪⎩⎪⎨⎧==223-c b ， ∴y ＝－12x 2－32x ＋2；(2)①如解图①，令y ＝0，∴－12x 2－32x ＋2＝0，解得x 1＝－4，x 2＝1，∴B (1，0)，过D 作DM ⊥x 轴交AC 于M ，过B 作BN ⊥x 轴交AC 延长线于N ，∴DM ∥BN ， ∴△DME ∽△BNE ，∴DE BE ＝DMBN，∴设点C 到BD 的距离为h ，则S 1S 2＝h BE h DE ·21·21＝DE BE ＝DM BN， 令D (a ，－12a 2－32a ＋2)，∴M (a ，12a ＋2)，∵B (1，0)，∴N(1，52)，∴DM ＝(－12a 2－32a ＋2)－(12a ＋2)＝－12a 2－2a ，BN ＝52，∴S 1S 2＝DM BN ＝252-21-2aa ＝－15(a ＋2)2＋45，∴当a ＝－2时，S 1S 2取最大值为45； ②存在．D 的横坐标为－2或－2911；如解图②，∵A(－4，0)，B (1，0)，C (0，2)， ∴AC ＝25，BC ＝5，AB ＝5， ∴AC 2＋BC 2＝AB 2，∴△A B C 是以∠ACB 为直角的直角三角形，取AB 的中点P ，∴P (－32，0)，∴P A ＝PC ＝PB ＝52，∴∠CPO ＝2∠BAC ，∴tan ∠CPO ＝tan(2∠BAC )＝43；(ⅰ)当∠DCF ＝2∠BAC 时，如解图③，过D 作x 轴的平行线交y 轴于点R ，交AC 的延长线于点G ，则∠DGF ＝∠BAC ，∵∠DCF ＝∠G ＋∠CDG ， ∴∠CDG ＝∠G ＝∠BAC ，∴tan ∠CDG ＝tan ∠BAC ＝12，即RC DR ＝12，令D (n ，－12n 2－32n ＋2)，∴DR ＝－n ，RC ＝－12n 2－32n ，∴nnn -23-21-2＝12， ∴n 1＝0(舍去)，n 2＝－2，∴x D ＝－2. (ⅱ)当∠CDF ＝2∠BAC 时，∴tan ∠FDC ＝43，令FC ＝4k ，∴DF ＝3k ，DC ＝5k ，tan ∠DGC ＝3k FG ＝12，∴FG ＝6k ，∴CG ＝2k ，DG ＝35k ，∴RC ＝255k ，RG ＝455k ， DR ＝35k －455k ＝1155k ，∴DRRC ＝kk5525511＝n n n 23-21--2，∴n 1＝0(舍去)，n 2＝－2911，∴x D ＝－2911，综上所述，D 的横坐标为－2或－2911.4.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于A B ，两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，点B 的坐标为(30)，，将直线y kx =沿y 轴向上平移3个单位长度后恰好经过B C ，两点．（1）求直线BC 及抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为D ，点P 在抛物线的对称轴上，且APD ACB ∠=∠，求点P 的坐标； （3）连结CD ，求OCA ∠与OCD ∠两角和的度数． 24．解：（1）y kx =沿y 轴向上平移3个单位长度后经过y 轴上的点C ，(03)C ∴，．设直线BC 的解析式为3y kx =+．(30)B ，在直线BC 上，330k ∴+=．解得1k =-∴直线BC 的解析式为3y x =-+．抛物线2y x bx c =++过点B C ，，9303b c c ++=⎧∴⎨=⎩，．解得43b c =-⎧⎨=⎩，． ∴抛物线的解析式为243y x x =-+．（2）由243y x x =-+． 可得(21)(10)D A -，，，．3OB ∴=，3OC =，1OA =，2AB =．可得OBC △是等腰直角三角形．45OBC ∴∠=，如图1，设抛物线对称轴与x 轴交于点F ，12AF ∴=过点A 作AE BC ⊥于点E ．90AEB ∴∠=． 可得BE AE ==CE =在AEC △与AFP △中，90AEC AFP ∠=∠=，∠AEC AFP ∴△∽△．xAE CEAF PF∴=，1PF =．解得2PF =． 点P 在抛物线的对称轴上，∴点P 的坐标为(22)，或(22)-，．（3）解法一：如图2，作点(10)A ，关于y 轴的对称点A '，则(10)A '-，． 连结A C A D ''，，可得A C AC '==OCA OCA '∠=∠． 由勾股定理可得220CD =，210A D '=． 又210A C '=，222A D A C CD ''∴+=．A DC '∴△是等腰直角三角形，90CA D '∠=，45DCA '∴∠=．45OCA OCD '∴∠+∠=． 45OCA OCD ∴∠+∠=．即OCA ∠与OCD ∠两角和的度数为45． 解法二：如图3，连结BD．同解法一可得CD =AC = 在Rt DBF △中，90DFB ∠=，1BF DF ==，DB ∴==在CBD △和COA △中，1DB AO ==3BC OC ==CD CA == DB BC CDAO OC CA∴==．CBD COA ∴△∽△．BCD OCA ∴∠=∠． 45OCB ∠=，45OCA OCD ∴∠+∠=．即OCA ∠与OCD ∠两角和的度数为45．x图35.已知抛物线y=x2﹣2x+c与x轴交于A．B两点，与y轴交于C点，抛物线的顶点为D点，点A的坐标为（﹣1，0）．（1）求D点的坐标；（2）如图1，连接AC，BD并延长交于点E，求∠E的度数；（3）如图2，已知点P（﹣4，0），点Q在x轴下方的抛物线上，直线PQ交线段AC于点M，当∠PMA=∠E时，求点Q的坐标．，又∵∴即：∴解得：xmm∴﹣）或（﹣，﹣）6.如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）三点．（1）求这条抛物线的解析式；（2）E为抛物线上一动点，是否存在点E使以A、B、E为顶点的三角形与△COB相似？若存在，试求出点E的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若将直线BC平移，使其经过点A，且与抛物线相交于点D，连接BD，试求出∠BDA的度数．解：（1）∵该抛物线过点C（0，2），∴可设该抛物线的解析式为y=ax2+bx+2．将A（﹣1，0），B（4，0）代入，得，解得，∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+2．（2）存在．由图象可知，以A、B为直角顶点的△ABE不存在，所以△ABE只可能是以点E为直角顶点的三角形．在Rt△BOC中，OC=2，OB=4，∴BC==．在Rt△BOC中，设BC边上的高为h，则×h=×2×4，∴h=．∵△BEA∽△COB，设E点坐标为（x，y），∴=，∴y=±2将y=2代入抛物线y=﹣x2+x+2，得x1=0，x2=3．当y=﹣2时，不合题意舍去．∴E点坐标为（0，2），（3，2）．（3）如图2，连结AC，作DE⊥x轴于点E，作BF⊥AD于点F，∴∠BED=∠BFD=∠AFB=90°．设BC的解析式为y=kx+b，由图象，得，∴，y BC=﹣x+2．由BC∥AD，设AD的解析式为y=﹣x+n，由图象，得0=﹣×（﹣1）+n,∴n=﹣，y AD=﹣x﹣．∴﹣x2+x+2=﹣x﹣，解得：x1=﹣1，x2=5∴D（﹣1，0）与A重合，舍去，D（5，﹣3）．∵DE⊥x轴，∴DE=3，OE=5．由勾股定理，得BD=．∵A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2），∴OA=1，OB=4，OC=2．∴AB=5在Rt△AOC中，Rt△BOC中，由勾股定理，得AC=，BC=2，∴AC2=5，BC2=20，AB2=25，∴AC2+BC2=AB2∴△ACB是直角三角形，∴∠ACB=90°．∵BC∥AD，∴∠CAF+∠ACB=180°，∴∠CAF=90°．∴∠CAF=∠ACB=∠AFB=90°，∴四边形ACBF是矩形，∴AC=BF=，在Rt△BFD中，由勾股定理，得DF=，∴DF=BF，∴∠ADB=45°．7.如图，抛物线24y ax bx a =+-经过()10A -，、()04C ，两点，与x 轴交于另一点B ． ⑴求抛物线的解析式；⑵已知点()1D m m +，在第一象限的抛物线上，求点D 关于直线BC 对称的点的坐标； ⑶在⑵的条件下，连接BD ，点P 为抛物线上一点，且45DBP ∠=︒，求点P 的坐标．解：⑴∵抛物线24y ax bx a =+-经过()10A -，， ()04C ，两点，∴4044a b a a --=⎧⎨-=⎩,解得13a b =-⎧⎨=⎩∴抛物线的解析式为234y x x =-++．⑵∵点()1D m m +，在抛物线上，∴2134m m m +=-++， 即2230m m --=，∴1m =-或3m =．∵点D 在第一象限，∴点D 的坐标为()34，．由⑴知OC OB =，∴45CBA ∠=︒．设点D 关于直线BC 的对称点为点E ．∵()04C ，，∴CD AB ∥，且3CD =，∴45ECB DCB ∠=∠=︒， ∴E 点在y 轴上，且3CE CD ==．∴1OE =，∴(01E ，即点D 关于直线BC 对称的点的坐标为()01，． ⑶方法一：作PF AB ⊥于F ，DE BC ⊥于E ． 由⑴有：4OB OC ==，∴45OBC ∠=︒， ∵45DBP ∠=︒，CBD PBA ∠=∠．∵()04C ，，()34D ，，∴CD O B ∥且3CD =．∴45DCE CBO∠=∠=︒，∴DE CE =∵4OB OC ==，∴BC =∴2BE BC CE =-=，∴3tan tan 5DE PBF CBD BE ∠=∠==． 设3PF t =，则5BF t =，∴54OF t =-，∴()543P t t -+，． ∵P 点在抛物线上，∴()()23543544t t t =--++-++，∴0t =（舍去）或2225t =， ∴266525P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，．方法二：过点D 作BD 的垂线交直线PB 于点Q ，过点D 作轴于H ．过Q 点作QG DH ⊥于G ．∵45PBD ∠=︒,∴QD DB =．∴90QDG BDH ∠+∠=︒， 又90DQG QDG ∠+∠=︒，∴DQG BDH ∠=∠． ∴QDG DBH △≌△，∴4QG DH ==，1DG BH ==．由⑵知()34D ，，∴()13Q -，．∵()40B ，，∴直线BP 的解析式为31255y x =-+． 解方程组23431255y x x y x ⎧=-++⎪⎨=-+⎪⎩得1140x y =⎧⎨=⎩，22256625x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，点P 的坐标为266525⎛⎫- ⎪⎝⎭，．8.如图，抛物线2y x bx c =-++与直线122y x =+交于,C D 两点，其中点C 在y 轴上，点D 的坐标为732⎛⎫ ⎪⎝⎭，．点P 是y 轴右侧的抛物线上一动点，过点P 作PE x ⊥轴于点E ，交CD 于点F .⑴ 求抛物线的解析式；⑵ 若点P 的横坐标为m ，当m 为何值时，以O ，C ，P ，F 为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由．⑶ 若存在点P ，使45PCF ∠=︒，请直接写出相应的点P 的坐标．⑴ ∵直线122y x =+经过点C ，∴()02C ，． ∵抛物线2y x bx c =-++经过点(02)C ，，732D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，∴227332cb c =⎧⎪⎨=-++⎪⎩∴722b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩． ∴抛物线的解析式为2722y x x =-++ ⑵ ∵点P 的横坐标为m 且在抛物线上，∴2722P m m m ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，，122F m m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∵PF CO ∥，∴当PF CO =时，以O ，C ，P ，F 为顶点的四边形是平行四边形． ①当3m ＜时，227122322PF m m m m m ⎛⎫=-++-+=-+ ⎪⎝⎭，∴232m m -+=，解得：11m =，22m =．即当1m =或2时，四边形OCPF 是平行四边形．②当3m ≥时，221722322PF m m m m m ⎛⎫⎛⎫=+--++=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭232m m -=，解得：1m =2m =（舍去）即当1m =时，四边形OCFP 是平行四边形． ⑶ 如图，当点P 在CD 上方且45PCF ∠=︒时，作PM CD ⊥，CN PF ⊥，则PMF CNF △∽△，∴212PM CN mMF FN m ===，∴2PM CM CF ==∴5522PF CN m ===== 又∵23PF m m =-+，∴2532m m m -+=解得：112m =，20m =（舍去），∴1722P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，． 同理可以求得：另外一点为2313618P ⎛⎫⎪⎝⎭，．。

2020中考数学压轴专题角度存在性和角度关系问题

2020中考数学压轴专题角度存在性和角度关系问题

2020 中考数学压轴专题角度存在性和角度关系问题知识导航1．角度的存在性问题角度的存在性问题分为特殊角和非特殊角的存在性问题，在考试中主要以特殊角的存在性问题为主，特殊角通常包括30 、45 、60 、90 等．几何法：利用(特殊)角度构造直角三角形，从边长比例关系进行求解．工具：2．角度关系的存在性问题角度关系的问题一般指两角或多角的和差倍分或大小关系的问题几何法：构造相似或全等三角形进行求解．解析法：利用三角函数值进行求解．例题精练模块一角度的存在性问题例题1. 如图，抛物线y ax2 bx 4a经过A( 1,0) ，C(0, 4) 两点，与x轴交于另一点B．(1)求抛物线的解析式；(2)已知点D(m, m 1)在第一象限的抛物线上，连接BD，在抛物线上是否存在点P 使得DBP 45 ？若存在，请求出点P 的坐标；不存在，说明理由．例题2. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y ax2 bx c经过点A( 3,0)、B(0, 3) 、C(1,0) 三点．(1)求抛物线的解析式和顶点 D 的坐标；(2)将抛物线的对称轴绕抛物线的顶点 D 顺时针旋转60 ，与直线y x 交于点N．在直线DN 上是否存在点M ，使得MON 75 ．若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说-4模块二 角度关系的存在性问题例题 3. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，二次函数 y并与 x 轴交于点 B( 1,0)和点 C ，顶点为 P ．1)求二次函数的解析式；2)设 D 为线段 OC 上的一点，若 DPCBAC ，求点 D 的坐标．y4 3 2 1-4 - 3 -2 -1O 1 2 3 4 5 x-1 -2 -321x 2bx c 的图象经过点 A( 3,6) ，例题4. 如图，已知抛物线y ax2 bx c的对称轴为直线，且与x轴交于A、B 两点．与y轴交于点C．其中A（1, 0），C（0, 3）．（1）求抛物线的解析式；2）若点P 在抛物线上运动（点P 异于点A ），当例题5. 如图，已知抛物线 y （3 m ）x 2 2（m 3）x 4m m 2的顶点 A 在双曲线 y 3上，直线 y mx b 经过点 A ，与 y 轴交于点 B ，与 x 轴交于点 C. （ 1）确定直线 AB 的解析式 ．（2）将直线 AB 绕点 O 顺时针旋转 90 , 与x 轴交于点 D, 与y 轴交于点 E, 求sin ∠BDE 的 值．（3）过点 B 作 x 轴的平行线与双曲线交于点 G ，点 M 在直线 BG 上，且到抛物线的对称轴 的距离为 6．设点 N 在直线 BG 上，请你直接写出使得 AMB ANB 45 的点 N 的坐标 ．yx例题6. 抛物线y （x 3）（x 1）与x轴交于A，B 两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，点 D 为顶点．（1）求点 B 及点 D 的坐标；（2）连结BD，CD ，抛物线的对称轴与x 轴交于点E．①若线段BD 上一点P，使DCP BDE ，求点P 的坐标；②若抛物线上一点M，作MN CD ，交直线CD于点N，使CMN BDE ，求点M的坐标．yAO备用图课后巩固练习练1.如图直线y 1x m与抛物线y x2bx c交于C、D两点，其中点C在y轴上，点25D 的坐标为3, 5，点P 是y 轴右侧的抛物线上一动点，过点P 作PE x 轴于点 E ，2交CD 于点 F .（1）求一次函数和抛物线的解析式．（2）若点P的横坐标为t，当t为何值时，四边形OCPF 是平行四边形？请说明理由．（3）在CD 上方是否存在点P，使PCF 45 ，若存在，求出相应的点P 的坐标，若不存在，请说明理由．练2. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，以直线x 1为对称轴的抛物线y ax2bx c 与x 轴3 从左至右依次交于A，B 两点，与y 轴交于点C，且AB 4，点 D 2, 在抛物线上，2 直线l 是一次函数y kx 2（k 0）的图象．（1）求抛物线的解析式；（2）如果直线l 平分四边形OBDC 的面积，求k 的值；（3）将抛物线作适当平移，求解与探究下列问题；①若将抛物线y ax 2 bx c 向下平移m 个单位长度后，恰与第（2）问中的直线l 有且只有一个公共点，求m 的值；②把抛物线y ax2bx c向左平移1个单位，再向下平移 2 个单位，所得抛物线与直线l 交于M，N 两点，请在备用图中画出草图，并探究：在y 轴正半轴上是否存在一定点P，使得无论k 取何值，MPN 总被y 轴平分？若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由．备用图练3. 如图3-1，已知直线y kx与抛物线y 4 x2 22交于点A（3，6）．27 3（1）求直线y kx 的解析式和线段OA 的长度．（2）点P为抛物线第一象限内的动点，过点P作直线PM，交x 轴于点M（点M、O不重合），交直线OA 于点Q，再过点Q 作直线PM 的垂线，交y 轴于点N．试探究：线段QM 与线段NQ 的长度之比是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，说明理由．（3）如图3-2，若点 B 为抛物线上对称轴右侧的点，点D（m,0）是x 轴正半轴上的动点，且满足BAE围时，符合条件的 E 点的个数分别是 1 个、2个？点 E 在线段OA 上（与点O 、A 不重合），BED。

专题 二次函数与角度有关的问题(知识解读)-中考数学(全国通用)

专题 二次函数与角度有关的问题(知识解读)-中考数学(全国通用)

专题04 二次函数与角度有关的问题（知识解读）【专题说明】二次函数背景下与角有关的存在性问题，是各地中考和模拟考试压轴题的热点问题，这种类型的题目综合性较强，更重要的是涉及方程与函数思想、数形结合思想、分类讨论等重要的思想方法，对学生分析、解决问题的能力具有较高的要求。

为此，我将与角有关的压轴题常见的题型及解法做一整理【知识点梳理】类型一：将等角问题转化成等腰三角形或平行线问题。

如例1：抛物线y=-x+3x+4,与坐标轴交于点A、B、C，CP⊥y轴交抛物线与点P，点M为A、C间抛物线上一点（包括端点），求满足∠MPO=∠POA的点M的坐标。

分析：显然符合条件的点M有两个，OP上方一个，OP下方一个、当M在OP 上方时，由∠MPO=∠POA可知PM//OA,则M与C点重合。

当M在OP下方时，∠MPO=∠POA，这两角组成的三角形是等腰三角形。

设PM与x轴交于点D，坐标为D(n,0)，由两点间距离公式可表示出OD、PD长，根据OD=PD列方程即可求出D点坐标，再求出PD直线表达式与抛物线表达式联立，进而求出M点坐标。

类型二：将等角问题转化成等角所在三角形相似或等角对应的三角函数（通常是正切值）相等问题。

这类问题有两种情况：一种是所求角的一边与坐标轴平行（重合）；例2如图，抛物线y=x221+bx+c 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其对称轴交抛物线于点D ，交x 轴于点E ，已知OB=OC=6. （1）求抛物线的解析式及点D 的坐标；（2）连接BD ，F 为抛物线上一动点，当∠FAB=∠EDB 时，求点F 的坐标；解析：通过已知条件易得抛物线表达式为6221y 2+-=x x及各定点坐标，第二问中的F 有两种情况：x 轴上方一个，x 轴下方一个。

在Rt ⊿BDE 中，可知tan∠EDB=21，则tan ∠FAB=21，过F 作x 轴垂线，构造∠FAB 所在直角三角形，接着通过设F 点坐标，表示FH 和AH 长，根据tan ∠FAB=21=AH FH 列方程，或利用相似三角形对应边成比例列式，从而求出点F 坐标，由于表示FH 时加了绝对值，已经考虑到了上下两种情况，这样两个F 就都求出来了。

2020届中考数学二轮重难题型突破二 二次函数与角度问题(含答案)

2020届中考数学二轮重难题型突破二 二次函数与角度问题(含答案)

2020届中考数学二轮重难题型 类型二 二次函数与角度问题例1、已知抛物线2y ax bx c =++的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），与y轴交于点(0C ，3)，过点C 作x 轴的平行线与抛物线交于点D ，抛物线的顶点为M ，直线5y x =+经过D 、M 两点.（1） 求此抛物线的解析式；（2）连接AM 、AC 、BC ，试比较MAB ∠和ACB ∠的大小，并说明你的理由.【答案】解：（1）∵CD ∥x 轴且点C （0，3），∴设点D 的坐标为(x ，3) ． ∵直线y= x+5经过D 点， ∴3= x+5．∴x=－2． 即点D(－2，3) ．根据抛物线的对称性，设顶点的坐标为M （－1，y ）， 又∵直线y= x+5经过M 点， ∴y =－1+5，y =4．即M （－1，4）．∴设抛物线的解析式为2(1)4y a x =++． ∵点C （0，3）在抛物线上，∴a=－1．即抛物线的解析式为223y x x =--+．…………3分 （2）作BP ⊥AC 于点P ，MN ⊥AB 于点N ． 由（1）中抛物线223y x x =--+可得点A （－3，0），B （1，0）， ∴AB=4，AO=CO=3，AC=32． ∴∠PAB ＝45°．∵∠ABP=45°，∴PA=PB=22． ∴PC=AC －PA=2．在Rt △BPC 中，tan ∠BCP=PBPC =2．在Rt △ANM 中，∵M （-1，4），∴MN=4．∴AN=2．tan ∠NAM=MNAN =2．xy8834567217564321-10-9-1-2-4-3-5-6-7-8-8-7-6-5-3-4-2-1O∴∠BCP ＝∠NAM ． 即∠ACB ＝∠MAB ．例2、在平面直角坐标系xOy 中，抛物线23y ax bx =++经过点N （2,－5），过点N 作x轴的平行线交此抛物线左侧于点M ，MN =6. （1）求此抛物线的解析式；（2）点P （x ,y ）为此抛物线上一动点，连接MP 交此抛物线的对称轴于点D ，当△DMN 为直角三角形时，求点P 的坐标；（3）设此抛物线与y 轴交于点C ，在此抛物线上是否存在点Q ，使∠QMN =∠CNM ？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由.【答案】解：（1）∵32++=bx ax y 过点M 、N （2，－5），6=MN ，由题意，得M （4-，5-）. ∴⎩⎨⎧-=+--=++.53416,5324b a b a解得 ⎩⎨⎧-=-=.2,1b a∴此抛物线的解析式为322+--=x x y . …………………………………2分 （2）设抛物线的对称轴1-=x 交MN 于点G ，若△DMN 为直角三角形，则32121===MN GD GD . ∴D 1（1-，2-），2D （1-，8-）. ………………………………………4分直线MD 1为1-=x y ，直线2MD 为9--=x y .将P （x ，322+--x x ）分别代入直线MD 1，2MD 的解析式，得1322-=+--x x x ①，9322--=+--x x x ②. 解①得 11=x ，42-=x （舍），∴1P （1,0）. …………………………………5分 解②得 33=x ，44-=x （舍），∴2P （3,－12）. ……………………………6分 （3）设存在点Q （x ，322+--x x ），使得∠QMN =∠CNM .① 若点Q 在MN 上方，过点Q 作QH ⊥MN ， 交MN 于点H ，则4tan =∠=CNM MHQH. 即）（445322+=++--x x x . 解得21-=x ，42-=x （舍）.∴1Q （2-，3）. ……………………………7分 ② 若点Q 在MN 下方，同理可得2Q （6，45-）. …………………8分例3、平面直角坐标系xOy 中，抛物线244y ax ax a c =-++与x 轴交于点A 、点B ，与y轴的正半轴交于点C ，点 A 的坐标为(1, 0)，OB =OC ，抛物线的顶点为D ． (1) 求此抛物线的解析式；(2) 若此抛物线的对称轴上的点P 满足∠APB =∠ACB ，求点P 的坐标；(3) Q 为线段BD 上一点，点A 关于∠AQB 的平分线的对称点为A '，若2=-QB QA ，求点Q 的坐标和此时△QAA '的面积．x yHQMN C O【答案】（1）∵ 2244(2)y ax ax a c a x c =-++=-+，∴ 抛物线的对称轴为直线2x =．∵ 抛物线244y ax ax a c =-++与x 轴交于点A 、点B ，点A 的坐标为(1,0)，∴ 点B 的坐标为(3,0)，OB ＝3．…………… 1分 可得该抛物线的解析式为(1)(3)y a x x =--． ∵ OB =OC ，抛物线与y 轴的正半轴交于点C ， ∴ OC =3，点C 的坐标为(0,3)．将点C 的坐标代入该解析式，解得a =1．……2分∴ 此抛物线的解析式为243y x x =-+．（如图9）…………………… 3分（2）作△ABC 的外接圆☉E ，设抛物线的对称轴与x 轴的交点为点F ，设☉E 与抛物线的对称轴位于x 轴上方的部分的交点为点1P ，点1P 关于x 轴的对称点为点2P ，点1P 、点2P 均为所求点.（如图10）可知圆心E 必在AB 边的垂直平分线即抛物线的对称轴直线2x =上．∵ 1APB ∠、ACB ∠都是弧AB 所对的圆周角， ∴ ACB B AP ∠=∠1，且射线FE 上的其它点P 都不满足ACB APB ∠=∠． 由（1）可知 ∠OBC=45°，AB=2，OF=2．可得圆心E 也在BC 边的垂直平分线即直线y x =上．图9xyO1DCBA∴ 点E 的坐标为(2,2)E ．………………………………………………… 4分∴ 由勾股定理得 5EA∴ 15EP EA ==． ∴ 点1P 的坐标为1(2,25)P+．…………………………………………… 5分 由对称性得点2P 的坐标为2(2,25)P -． ……………………………… 6分∴符合题意的点P 的坐标为1(2,25)P +、2(2,25)P --. （3）∵ 点B 、D 的坐标分别为(3,0)B 、(2,1)D -，可得直线BD 的解析式为3y x =-，直线BD 与x 轴所夹的锐角为45°． ∵ 点A 关于∠AQB 的平分线的对称点为A '，（如图11） 若设AA '与∠AQB 的平分线的交点为M ，则有 QA QA '=，AM A M '=，AA QM '⊥，Q ，B ，A '三点在一条直线上． ∵ 2QA QB -=∴ .2''=-=-=QB QA QB QA BA作A N '⊥x 轴于点N ．∵ 点Q 在线段BD 上， Q ，B ，A '三点在一条直线上， ∴ sin451A N BA ''=⋅︒=，cos451BN BA '=⋅︒=． ∴ 点A '的坐标为(4,1)A '． ∵ 点Q 在线段BD 上，∴ 设点Q 的坐标为(,3)Q x x -，其中23x <<． ∵ QA QA '=，∴ 由勾股定理得 2222(1)(3)(4)(31)x x x x -+-=-+--．解得114x =． 经检验，114x =在23x <<的范围内．∴ 点Q 的坐标为111(,)44Q -． …………………………………………… 7分此时1115()2(1)2244QAA A AB QAB A Q S S S AB y y '''∆∆∆=+=⋅⋅+=⨯⨯+=．… 8分例4、已知，抛物线c bx ax y ++=2与x 轴交于点A （－2,0）、B （8,0），与y 轴交于点C （0，－4）。

中考数学压轴题之--二次函数角度的存在性问题(一)(含答案)

中考数学压轴题之--二次函数角度的存在性问题(一)(含答案)

中考数学压轴题之--二次函数角度的存在性问题（一）试卷简介:考查平行四边形存在性问题，从分析平行四边形的顶点开始，确定定点、动点，挖掘不变特征，借助平行四边形的性质以及函数特征建等式解决问题。

一、单选题(共5道，每道20分)1.如图，已知抛物线经过点A（2，0）．设抛物线与x轴的另一交点为B，抛物线的顶点为P．若在直线上存在点D，使四边形OPBD为平行四边形，则点D的坐标为( )A.B.C.或D.，或答案：A解题思路：要使得四边形OPBD为平行四边形，分析定点、动点，O，P，B为定点，D为直线上的动点，四边形四个顶点的位置关系确定．将点A的坐标代入抛物线表达式得，，解得，∴抛物线的表达式为，∴B（6，0），．易求得直线PB的表达式为，与直线平行．要使得四边形OPBD为平行四边形，需OP∥BD．如图，过点B作OP的平行线，与直线的交点即为点D．由O（0，0），可得直线OP的表达式为，由OP∥BD得直线BD的斜率为，结合点B的坐标（6，0），得直线BD的表达式为．由得，，∴点D的坐标为．试题难度：三颗星知识点：平行四边形的存在性2.如图，在平面直角坐标系中，直线与交于点A，与x轴分别交于点B和点C，D是直线AC上一动点，E是直线AB上一动点．若以O，D，A，E为顶点的四边形是平行四边形，则点E的坐标为( )A. B.C. D.答案：B解题思路：1．解题要点①根据题目要求，确定为平行四边形存在性问题．②分析定点、动点，挖掘不变特征．O，A为定点，D，E分别为直线AC和直线AB上的动点，OA为定线段，把OA当作平行四边形的边或对角线来分类讨论．③每种情况下，分析几何特征，画出图形，表达线段长，建等式求解．2．解题过程由得，，即点的坐标为．①当OA为边时，把OA进行平移，有两种情况．如图，当四边形OAED是平行四边形时，∵AB∥OD，∴直线OD的表达式为y=x，∵，∴．如图，当四边形OEDA为平行四边形时，∵OE∥AD，∴直线OE的表达式为，由得，，即点E的坐标为．②当OA为对角线时，如图，四边形OEAD为平行四边形，此时OE∥AD，点E的坐标为．综上得，点E的坐标为．试题难度：三颗星知识点：平行四边形的存在性3.如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，AD⊥x轴，交BC于点D．P是y轴右侧的抛物线上一动点，过点P 作PE⊥x轴于点E，交直线BC于点Q．设点P的横坐标为m，当以A，D，P，Q 为顶点的四边形是平行四边形时，m的值为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：1．解题要点①根据题目要求，确定为平行四边形存在性问题．②分析定点、动点，挖掘不变特征．A，D为定点，P，Q为动点，AD∥PQ，要使得以A，D，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，只需AD=PQ．③借助坐标表达线段长，建等式求解．2．解题过程由题意得，A（1，0），B（3，0），C（0，3），∴直线BC的表达式为，点D的坐标为（1，2），∴AD=2．由题意得，AD∥PQ．要使得以A，D，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，只需AD=PQ．①如图，当时，点Q在点P的上方，由题意得，，∴．由得，m=2或m=1（舍去），∴m的值为2．②如图，当时，点P在点Q的上方，则，由得，，∴m的值为．综上得，m的值为．试题难度：三颗星知识点：平行四边形的存在性4.如图，在矩形OABC中，OA=10，AB=8，点D在AB边上，沿直线CD折叠，使点B落在OA边上的点E处．分别以OC，OA所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，抛物线经过O，D，C三点．点N在抛物线对称轴上，点M在抛物线上，当以M，N，C，E为顶点的四边形是以CE为边的平行四边形时，点M的坐标为( )A.B.C.D.答案：B解题思路：1．解题要点在以M，N，C，E为顶点的四边形中，C，E为定点，M，N分别为抛物线和对称轴上的动点，从固定线段CE入手进行分析．由于CE是平行四边形的边，故利用平移来处理问题．2．解题过程由折叠可知，BD=DE，CE=CB=10．∵在Rt△EOC中，OC=AB=8，CE=10，∴OE=6，∴AE=4．设AD=m，则DE=BD=8-m，在Rt△ADE中，由勾股定理可得，解得，即，∴D（3，10）．由O（0，0），C（8，0），D（3，10）可求得抛物线的解析式为，∴抛物线的对称轴为直线x=4．如图，MN∥CE且MN=CE．①当四边形是平行四边形时，∵点的横坐标为4，∴点的横坐标为12，∴．②当四边形是平行四边形时，∵点的横坐标为4，∴点的横坐标为-4，∴．综上，满足题意的点M的坐标为．试题难度：三颗星知识点：平行四边形的存在性5.如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），过点A的直线交抛物线于另一点D(2，-3)，且tan∠BAD=1．若点M在抛物线上，点N在x轴上，且以A，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形，则点M的坐标为( )A.B.C.D.答案：C解题思路：1．解题要点①根据题目要求，确定为平行四边形存在性问题．②分析定点、动点，挖掘不变特征．A，D为定点，M，N分别为抛物线和x轴上的动点，AD为定线段，把AD当作平行四边形的边或对角线来分类讨论．③每种情况下，分析几何特征，画出图形，表达线段长，建等式求解．2．解题过程∵tan∠BAD=1，∴．又∵点D的坐标为(2，-3)，∴直线AD的表达式为y=-x-1，∴A（-1，0）．代入得，a=1，∴抛物线的表达式为．①如图，当AD为边时，易得点的纵坐标为-3，点的纵坐标均为3，代入抛物线解析式可得．如图，当AD为对角线时，∵∥，∴点的纵坐标为3，∴．综上，点M的坐标为．试题难度：三颗星知识点：平行四边形的存在性。

(新编)2020年中考数学专题培优：二次函数图像和性质(含答案)

(新编)2020年中考数学专题培优：二次函数图像和性质(含答案)

2020年中考数学专题培优 二次函数图像和性质（含答案）一、单选题（共有10道小题）1.抛物线247y x x =--的顶点坐标是（ ）A ．(2，-11)B ．(-2，7)C ．(2，11)D ．(2，-3)2.把抛物线23y x =先向上平移2个单位，再向右平移3个单位，所得抛物线的解析式是（ ）A.()2332y x =+- B.()2322y x =++ C.()2332y x =--D.()2332y x =-+3.若抛物线22y x x c =-+与y 轴的交点坐标为（0，-3），则下列说法不正确的是（ ） A.抛物线的开口向上 B.抛物线的对称轴是直线x =1C.当x =1时，y 的最大值为-4D.抛物线与x 轴的交点坐标为（-1，0），（3，0）。

4.如图，二次函数()2,0y ax bx c a =++≠的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，且对称轴为1x =，点B 坐标为(－1，0)．则下面的四个结论中正确的个数是（）①20a b +=；②420a b c +<-；③0ac >；④当0y <时，1x <－或2x >． A ．1 B ．2 C ．3 D ．45.将抛物线216212＝－＋yx x 向左平移2个单位后，得到新抛物线的解析式为( ) A ．21(8)52＝－＋y x B ．21(4)52＝－＋y x C ．21(8)32＝－＋y x D ．21(4)32＝－＋y x6.已知二次函数()²,0y ax bx c c =++≠的图象如图所示，下列说法错误．．的是 ( )A.图像关于直线1x =对称B.函数()²,0y ax bx c c =++≠的最小值是－4C.－1和3是方程()²0,0ax bx c c ++=≠ 的两个根D.当1x <时，y 随x 的增大而增大7.对于二次函数22y x x =-+，有下列四个结论，其中正确的结论的个数为（）CA B -1x=1xy O -11-4xyO①它的对称轴是直线1x =；②设221112222,2y x x y x x =-+=-+，则21x x >时，有21y y >；③它的图象与x 轴的两个交点是(0，0)和(2，0) ④当02x << 时，0y > A.1B.2C.3D.48.已知二次函数c bx ax y ++=2的y 与x 的部分对应值如下表：x …… -1 0 1 3 …… y …… -3 1 3 1 ……则下列判断中正确的是( )A.抛物线开口向上B.抛物线与y 轴交于负半轴C.图象对称轴为直线x=1D.方程02=++c bx ax 有一个根在3与4之间9.如图，一段抛物线24(22)＝－＋－yx x ≤≤为1C ，与x 轴交于0A ，1A 两点，顶点为1D ；将1C 绕点1A 旋转180°得到2C ，顶点为2D ；1C 与2C 组成一个新的图象，垂直于y 轴的直线l 与新图象交于点111()P x y ，，222()Px y ，，与线段12D D 交于点333()P x y ，，设123x x x ，，均为正数，123＝＋＋t x x x ，则t 的取值范围是( )A ．68t <≤B ．68t ≤≤C ．1012t <≤D ．1012t ≤≤10.在同一平面直角坐标系中，函数y mx m =+,和函数222,)0y mx x m m =-++≠（是常数,且的图象可能是( )二、填空题（共有7道小题） 11.抛物线开口方向对称轴 顶点坐标yxC 2C 1A 0D 2D 1A 1OAx y O B xyO C x yODxyO()232y x =--()2132y x =+12.抛物线()2241y x =--的开口 ，顶点坐标是 ，对称轴是 ； 当x ＝ 时，y 有最 值为 ；在对称轴左侧，即当x 时，y 随x 的增大而 ， 在对称轴右侧，即当x 时，y 随x 的增大而 .13.在平面直角坐标系中，若将抛物线()132++-=x y 先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，则经过这两次平移后所得抛物线的顶点坐标是 ．14.二次函数422-+=x x y 的图象的开口方向是 ，对称轴是 ，顶点坐标是15.抛物线3422+-=x x y 绕坐标原点旋转180°所得的抛物线的表达式是 ．16.若抛物线c x x y +-=42的顶点在直线1+=x y 上，求c 的值______ 17.已知点P （m ，n ）在抛物线a x ax y --=2上，当m ≥﹣1时，总有n ≤1成立，则a 的取值范围是 .三、解答题（共有6道小题）18.抛物线()233y x =- 与x 轴交点为A ，与y 轴交点为B ，求A ，B 两点坐标及△AOB 的面积19.已知，在同一平面直角坐标系中，反比例函数xy 5=与二次函数c x x y ++-=22的图象交于点A (－1，m )． (1)求m ，c 的值；(2)求二次函数图象的对称轴和顶点坐标．20.已知抛物线32++=bx ax y 的对称轴是直线x=1．（1）求证：2a+b=0；（2）若关于x 的方程082=-+bx ax 的一个根为4，求方程的另一个根．21.当k 分别取-1，1，2时，函数()2145y k x x k =--+-都有最大值吗？请写出你的判断，并说明理由；若有最大值，请求出最大值。

初三中考数学专题复习：二次函数综合题(角度问题)含答案

初三中考数学专题复习：二次函数综合题(角度问题)含答案

中考数学专题复习：二次函数综合题（角度问题）1．如图，边长为4的正方形OABC的两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点A，点P是抛物线上点A，C间的一个动点（含端点），过点P作PM⊥OA于点M，点Q的坐标为（0，3），连接PQ．(1)求出抛物线的解析式；(2)当点P与点A或点C重合时，PQ+PM＝_____，小聪猜想：对于A，C间的任意一点P，PQ与PM之和是一个固定值，你认为正确吗，判断并说明理由；(3)延长MP交BC于点N，当⊥NPQ为锐角，cos⊥NPQ＝13时，求点P的坐标．2．如图1，抛物线y＝x2＋（m﹣2）x一2m（m＞0）与x轴交于A，B两点（A在B左边），与y轴交于点C．连接AC，BC．且⊥ABC的面积为8．(1)求m的值；(2)在（1）的条件下，在第一象限内抛物线上有一点T，T的横坐标为t，使⊥ATC＝60°．求（t﹣1）2的值．(3)如图2，点P为y轴上一个动点，连接AP，求CP的最小值，并求出此时点P的坐标．3．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣12x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝13x2+bx+c经过坐标原点和点A，顶点为点M．(1)求抛物线的关系式及点M的坐标；(2)点E是直线AB下方的抛物线上一动点，连接EB，EA，当⊥EAB的面积等于252时，求E点的坐标；(3)将直线AB向下平移，得到过点M的直线y＝mx+n，且与x轴负半轴交于点C，取点D（2，0），连接DM，求证：⊥ADM﹣⊥ACM＝45°．4．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=−14x2+bx−4的图象与x轴交于点A和点B(8，0)，与y轴交于点C．(1)求二次函数的表达式；(2)连接AC，找出图中与ACO∠相等的角，并说明理由；(3)若点P是抛物线上一点，满足PCB ACB BCO∠+∠=∠，求点P的坐标；(4)若点Q在第四象限内，且3tan2AQB∠=，()4,2M-，线段MQ是否存在最大值，如果存在，求出最大值；如果不存在，请说明理由．5．如图，直线y＝x﹣3与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线y＝49x2+bx+c经过B、C，且与x轴另一交点为A，连接AC．(1)求抛物线的解析式；(2)点E在抛物线上，连接EC，当⊥ECB+⊥ACO＝45°时，求点E的横坐标；(3)点M从点A出发，沿线段AB由A向B运动，同时点N从点C出发沿线段CA由C向A运动，M，N的运动速度都是每秒1个单位长度，当N点到达A点时，M，N同时停止运动，问在坐标平面内是否存在点D，使M，N运动过程中的某些时刻t，以A，D，M，N为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出t的值；若不存在，说明理由．6．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y12=-x2+bx﹣2的图象与x轴交于点A和点B（4，0），与y轴交于点C．(1)求二次函数的表达式；(2)若点P是抛物线上一点，满足⊥PCB+⊥ACB＝⊥BCO，求点P的坐标；(3)若点Q在第四象限内，且tan⊥AQB32=，M（﹣2，1），线段MQ是否存在最大值，如果存在，求出最大值；如果不存在，请说明理由．7．如图，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于点A，B两点，OA＝1，与y轴交于点C，连接AC，tan⊥OAC＝3，抛物线的对称轴与x轴交于点D．(1)求点A，C的坐标；(2)若点P在抛物线上，且满足⊥P AB＝2⊥ACO，求直线P A与y轴交点的坐标；(3)点Q在抛物线上，且在x轴下方，直线AQ，BQ分别交抛物线的对称轴于点M、N．求证：DM+DN为定值，并求出这个定值．8．如图1，抛物线y12=-x2+bx+c与x轴交于点A(4，0)，B(﹣2，0)，与y轴交于点C，线段BC的垂直平分线与对称轴l交于点D，与x轴交于点F，与BC交于点E．对称轴l与x轴交于点H．(1)求抛物线的函数表达式及对称轴；(2)求点D和点F的坐标；(3)如图2，若点P是抛物线上位于第一象限的一个动点，当⊥EFP＝45°时，请求出此时点P的坐标．9．如图，将抛物线W1：y＝﹣x2＋3平移后得到W2，抛物线W2经过抛物线W1的顶点C，且与x轴相交于A、B两点，其中B（1，0），抛物线W2顶点是D．(1)求抛物线W2的关系式；(2)设点E在抛物线W2上，连接AC、DC，如果CE平分⊥DCA，求点E的坐标；(3)在（2）的条件下，将抛物线W1沿x轴方向平移，点C的对应点为F，当⊥DEF与⊥ABC相似时，请求出平移后抛物线的表达式．10．如图，抛物线2=-++与x轴交于点A（-1，0）和B（3，0），与y轴交于点C．y x bx c(1)求抛物线的表达式；(2)如图1，若点M为直线BC上方抛物线一动点（与点B、C不重合），做MN平行于y轴，交直线BC于点N，当线段MN的长最大时，请求出点M的坐标；∠=∠时，请求出点Q的坐标．(3)如图2，若P为抛物线的顶点，动点Q在抛物线上，当QCO PBC11．如图，抛物线y=ax2-bx-3与x轴交于点A、C，交y轴于点B，OB=OC=3OA．(1)求抛物线的解析式及对称轴方程；(2)如图1，连接AB，点M是对称轴上一点且在第四象限，若⊥AMB是以⊥MBA为底角的等腰三角形，求点M的坐标；(3)如图2，连接AB，点P在抛物线上，当⊥P AC=2⊥ABO时，求点P的坐标．12．如图，已知抛物线23=++（a、b为常数，且a≠0）与x轴交于点A（-1，0）和点B，与y轴y ax bx交于点C，其对称轴是直线x=1，顶点为P，连接BP，CP．(1)求抛物线的表达式；(2)判断△BCP的形状，并说明理由；(3)该抛物线上是否存在点Q，使得△QBC=△ACO？若存在，请直接写出满足条件的所有点Q是坐标；若不存在，请说明理由．13．如图，点B，C分别在x轴和y轴的正半轴上，OB，OC的长分别为x2-8x+12=0的两个根（OC＞OB），点A在x轴的负半轴上，且OA=OC=3OB，连接AC．(1)求过A ，B ，C 三点的抛物线的函数解析式；(2)点P 从点C 出发，以每秒2个单位长度的速度沿CA 运动到点A ，点Q 从点O 出发，以每秒1个单位长度的速度沿OC 运动到点C ，连接PQ ，当点P 到达点A 时，点Q 停止运动，求S △CPQ 的最大值； (3)M 是抛物线上一点，是否存在点M ，使得⊥ACM =15°？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．14．已知如图，二次函数23y x bx =++的图像与x 轴相交于点A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，连接AC 、BC ，tan 1ABC ∠=，抛物线的顶点为D ．(1)求抛物线的解析式；(2)抛物线的对称轴上有一动点E ，当AE CE +取得最小值时，E 点坐标为________；此时AE 与BC 的位置关系是________，tan ACE ∠=________；(3)抛物线对称轴右侧的函数图像上是否存在点M ，满足ACB BAM ∠=∠，若存在求M 点的横坐标；若不存在，请说明理由；(4)若抛物线上一动点Q ，当BAQ ACO ∠=∠时，直接写出Q 点坐标________．15．如图1，抛物线26=++与x轴交于点A（2，0）、B（6，0），与y轴交于点C，连接AC、BC．y ax bx(1)求抛物线的表达式；(2)求△ACB的正切值；(3)如图2，过点C的直线交抛物线于点D，若△ACD=45°，求点D的坐标．16．如图1抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A（-1，0）、B（3，0），与y轴交于点C顶点为D，对称轴交x轴于点Q，过C、D两点作直线CD．(1)求抛物线的函数表达式；(2)如图2，连接CQ、CB，点P是抛物线上一点，当△DCP=△BCQ时，求点P的坐标；(3)若点M是抛物线的对称轴上的一点，以点M为圆心的圆经过A、B两点，且与直线CD相切，求点M 的坐标．17．如图，已知二次函数y＝﹣x2＋2mx＋3m2（m＞0）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为点D．(1)点B 的坐标为 ，点D 的坐标为 ；（用含有m 的代数式表示） (2)连接CD ，BC ．⊥若CB 平分⊥OCD ，求二次函数的表达式；⊥连接AC ，若CB 平分⊥ACD ，求二次函数的表达式．18．如图，抛物线()()22369=++-+y mx m x m 与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，已知()3,0B ．(1)m 的值是________；(2)P （异于点A ）为抛物线上一点，若PBC ABC S S =△△，求点P 的坐标： (3)Q 为抛物线上一点，若45ACQ ∠=︒，请直接写出点Q 的坐标．19．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于(1,0)A ，(4,0)B 两点，与y 轴交于点(0,2)C ．（1）求抛物线的表达式； （2）求证：CAO BCO ∠=∠；（3）若点P 是抛物线上的一点，且PCB ACB BCO ∠+∠=∠，求直线CP 的表达式．20．如图，已知抛物线(2)(4)y a x x =+-（a 为常数，且a ＞0）与x 轴从左至右依次交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，经过点B 的直线34y x b =-+与抛物线的另一交点为D ．（1）若点D 的横坐标为-5，求抛物线的函数表达式；（2）若在第一象限的抛物线上有点P ，使得以A ，B ，P 为顶点的三角形与⊥ABC 相似，求a 的值； （3）在（1）的条件下，直线BD 上是否存在点E ，使⊥AEC =45°？若存在，请直接写出点E 的横坐标；若不存在，请说明理由．答案1．(1)y＝﹣14x2+4(2)5，理由见解析(3)点P坐标为（﹣2）2．(1)2(3)（0，﹣1）3．(1)y＝13x2﹣2x；点M的坐标为（3，﹣3）(2)点E的坐标为（1，﹣53）或（72，﹣3512）4．(1)二次函数的表达式为y=−14x2+52x−4；(2)⊥OCA=⊥OBC，理由见解析；(3)P点坐标为（143，209）或（10，-4）；(4)MQ．5．(1)y＝49x2﹣13x﹣3(2)154或3916(3)存在，t＝7544或158或4522，理由见解析6．(1)y12=-x252+x﹣2(2)P（73，109）7．(1)点A、C的坐标分别为（1，0）、（0，﹣3）(2)直线P A在与y轴交点的坐标为（0，34-）或（0，34）(3) DM+DN＝88．(1)抛物线的表达式为：y 12=-x 2+x +4，抛物线对称轴为：直线x ＝1 (2)D (1，1)，F (3，0)(3)P (43)9．(1)223y x x =--+(2)点E ()23-，(3)2233y x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭或2132y x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭10．(1)y ＝﹣x 2＋2x ＋3(2)M （ 3 2，154） (3)Q （﹣1，0）或（5，﹣12）11．(1)223y x x =--，1x =；(2)M 坐标为（1，）或（1，﹣1）；(3)点P 的坐标是（154，5716）或（94，-3916）．12．(1)2y x 2x 3=-++(2)直角三角形，(3)Q (1,4)或Q 17(,)24-13．(1)y =−12x 2−2x +6；(2)最大值为2；(3)存在，点M 的坐标为或．14．(1)y =x 2-4x +3；(2)（2，1）；AE ⊥BC ，12； (3)存在，M 点的横坐标为52或72； (4)Q 点的坐标为(103，79)或(83，59-) ．15．(1)21462y x x =-+ (2)tan⊥ACB ＝12(3)点D 坐标5(7,)216．(1)2y x 2x 3=-++ (2)53239P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(3)()114M 、()214M -，17．(1)（3m ，0），（m ，4m 2）(2)⊥21y x =-+；⊥295y x x =-++18．(1)1-(2)()2,1P ，⎝⎭P ，⎝⎭P (3)75,24⎛⎫- ⎪⎝⎭Q19．（1）215222y x x =-+；（3）直线CP 的解析式为423y x =-+或2y =20．（1）：y =14x 2-12x -2；（2）a ；（3）在直线BD 上不存在点E ，使⊥AEC =45°。

中考数学 二次函数存在性问题 及参考答案

中考数学 二次函数存在性问题 及参考答案

中考数学二次函数存在性问题及参考答案中考数学二次函数存在性问题及参考答案一、二次函数中相似三角形的存在性问题1.如图，把抛物线 $y=x^2$ 向左平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线 $y=(x-h)^2+k$。

所得抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，顶点为D。

1）写出h、k的值；2）判断△ACD的形状，并说明理由；3）在线段AC上是否存在点M，使△AOM∽△ABC？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由。

2.如图，已知抛物线经过A（$-2,0$），B（$-3,3$）及原点O，顶点为C。

1）求抛物线的解析式；2）若点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标；3）P是抛物线上的第一象限内的动点，过点P作PM⊥x 轴，垂足为M，是否存在点P，使得以P、M、A为顶点的三角形△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

二、二次函数中面积的存在性问题3.如图，抛物线 $y=ax^2+bx$ （$a>0$）与双曲线$y=\frac{k}{x}$ 相交于点A，B。

已知点B的坐标为（$-2,-2$），点A在第一象限内，且 $\tan\angle AOX=4$。

过点A作直线AC∥x轴，交抛物线于另一点C。

1）求双曲线和抛物线的解析式；2）计算△ABC的面积；3）在抛物线上是否存在点D，使△ABD的面积等于△ABC的面积。

若存在，请写出点D的坐标；若不存在，请说明理由。

4.如图，抛物线 $y=ax^2+c$ （$a>0$）经过梯形ABCD的四个顶点，梯形的底AD在x轴上，其中A（$-2,0$），B（$-1,-3$）。

1）求抛物线的解析式；2）点M为y轴上任意一点，当点M到A、B两点的距离之和为最小时，求此时点M的坐标；3）在第（2）问的结论下，抛物线上的点P使$\triangle PAD=4\triangle ABM$ 成立，求点P的坐标。

2020-2021初三数学二次函数的专项培优 易错 难题练习题(含答案)及详细答案

2020-2021初三数学二次函数的专项培优 易错 难题练习题(含答案)及详细答案

2020-2021初三数学二次函数的专项培优 易错 难题练习题(含答案)及详细答案一、二次函数1．如图，对称轴为直线x 1=-的抛物线()2y ax bx c a 0=++≠与x 轴相交于A 、B 两点，其中A 点的坐标为（－3，0）．（1）求点B 的坐标；（2）已知a 1=，C 为抛物线与y 轴的交点．①若点P 在抛物线上，且POC BOC S 4S ∆∆=，求点P 的坐标；②设点Q 是线段AC 上的动点，作QD ⊥x 轴交抛物线于点D ，求线段QD 长度的最大值． 【答案】（1）点B 的坐标为（1，0）. （2）①点P 的坐标为（4，21）或（－4，5）. ②线段QD 长度的最大值为94. 【解析】 【分析】（1）由抛物线的对称性直接得点B 的坐标．（2）①用待定系数法求出抛物线的解析式，从而可得点C 的坐标，得到BOC S ∆，设出点P 的坐标，根据POC BOC S 4S ∆∆=列式求解即可求得点P 的坐标．②用待定系数法求出直线AC 的解析式，由点Q 在线段AC 上，可设点Q 的坐标为(q,-q-3)，从而由QD ⊥x 轴交抛物线于点D ，得点D 的坐标为(q,q 2+2q-3)，从而线段QD 等于两点纵坐标之差，列出函数关系式应用二次函数最值原理求解. 【详解】解：（1）∵A 、B 两点关于对称轴x 1=-对称 ，且A 点的坐标为（－3，0）， ∴点B 的坐标为（1，0）.（2）①∵抛物线a 1=，对称轴为x 1=-，经过点A （－3，0），∴2a 1b12a 9a 3b c 0=⎧⎪⎪-=-⎨⎪-+=⎪⎩，解得a 1b 2c 3=⎧⎪=⎨⎪=-⎩. ∴抛物线的解析式为2y x 2x 3=+-.∴B 点的坐标为（0，－3）.∴OB=1，OC=3.∴BOC 13S 1322∆=⨯⨯=. 设点P 的坐标为(p,p 2+2p-3)，则POC 13S 3p p 22∆=⨯⨯=. ∵POC BOC S 4S ∆∆=，∴3p 62=，解得p 4=±. 当p 4=时2p 2p 321+-=；当p 4=-时，2p 2p 35+-=， ∴点P 的坐标为（4，21）或（－4，5）.②设直线AC 的解析式为y kx b =+，将点A ，C 的坐标代入，得：3k b 0b 3-+=⎧⎨=-⎩，解得：k 1b 3=-⎧⎨=-⎩. ∴直线AC 的解析式为y x 3=--.∵点Q 在线段AC 上，∴设点Q 的坐标为(q,-q-3). 又∵QD ⊥x 轴交抛物线于点D ，∴点D 的坐标为(q,q 2+2q-3).∴()22239QD q 3q 2q 3q 3q q 24⎛⎫=---+-=--=-++ ⎪⎝⎭.∵a 10<=-，-3302<<- ∴线段QD 长度的最大值为94.2．如图，过()A 1,0、()B 3,0作x 轴的垂线，分别交直线y 4x =-于C 、D 两点.抛物线2y ax bx c =++经过O 、C 、D 三点．()1求抛物线的表达式；()2点M 为直线OD 上的一个动点，过M 作x 轴的垂线交抛物线于点N ，问是否存在这样的点M ，使得以A 、C 、M 、N 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求此时点M 的横坐标；若不存在，请说明理由；()3若AOC V 沿CD 方向平移(点C 在线段CD 上，且不与点D 重合)，在平移的过程中AOC V 与OBD V 重叠部分的面积记为S ，试求S 的最大值．【答案】（1）2413y x x 33=-+；（2）32332+332-；（3）13． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）由题意，可知MN ∥AC ，因为以A 、C 、M 、N 为顶点的四边形为平行四边形，则有MN =AC =3．设点M 的横坐标为x ，则求出MN =|43x 2﹣4x |；解方程|43x 2﹣4x |=3，求出x 的值，即点M 横坐标的值；（3）设水平方向的平移距离为t （0≤t ＜2），利用平移性质求出S 的表达式：S 16=-（t ﹣1）213+；当t =1时，s 有最大值为13． 【详解】（1）由题意，可得C （1，3），D （3，1）．∵抛物线过原点，∴设抛物线的解析式为：y =ax 2+bx ，∴3931a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得43133a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴抛物线的表达式为：y 43=-x 2133+x ． （2）存在．设直线OD 解析式为y =kx ，将D （3，1）代入，求得k 13=，∴直线OD 解析式为y 13=x ． 设点M 的横坐标为x ，则M （x ，13x ），N （x ，43-x 2133+x ），∴MN =|y M ﹣y N |=|13x ﹣（43-x 2133+x ）|=|43x 2﹣4x |． 由题意，可知MN ∥AC ，因为以A 、C 、M 、N 为顶点的四边形为平行四边形，则有MN =AC =3，∴|43x 2﹣4x |=3．若43x 2﹣4x =3，整理得：4x 2﹣12x ﹣9=0，解得：x 32+=或x 32-= 若43x 2﹣4x =﹣3，整理得：4x 2﹣12x +9=0，解得：x 32=，∴存在满足条件的点M ，点M 的横坐标为：32或32+或32-． （3）∵C （1，3），D （3，1），∴易得直线OC 的解析式为y =3x ，直线OD 的解析式为y 13=x ． 如解答图所示，设平移中的三角形为△A 'O 'C '，点C '在线段CD 上． 设O 'C '与x 轴交于点E ，与直线OD 交于点P ； 设A 'C '与x 轴交于点F ，与直线OD 交于点Q ．设水平方向的平移距离为t （0≤t ＜2），则图中AF =t ，F （1+t ，0），Q （1+t ，1133+t ），C '（1+t ，3﹣t ）．设直线O 'C '的解析式为y =3x +b ，将C '（1+t ，3﹣t ）代入得：b =﹣4t ，∴直线O 'C '的解析式为y =3x ﹣4t ，∴E （43t ，0）． 联立y =3x ﹣4t 与y 13=x ，解得：x 32=t ，∴P （32t ，12t ）． 过点P 作PG ⊥x 轴于点G ，则PG 12=t ，∴S =S △OFQ ﹣S △OEP 12=OF •FQ 12-OE •PG 12=（1+t ）（1133+t ）12-•43t •12t 16=-（t ﹣1）213+当t =1时，S 有最大值为13，∴S 的最大值为13．【点睛】本题是二次函数压轴题，综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、函数图象上点的坐标特征、平行四边形、平移变换、图形面积计算等知识点，有一定的难度．第（2）问中，解题的关键是根据平行四边形定义，得到MN=AC=3，由此列出方程求解；第（3）问中，解题的关键是求出S的表达式，注意图形面积的计算方法．3．二次函数y=x2-2mx+3（m＞）的图象与x轴交于点A（a，0）和点B（a+n，0）（n ＞0且n为整数），与y轴交于C点．（1）若a=1，①求二次函数关系式；②求△ABC的面积；（2）求证：a=m-；（3）线段AB（包括A、B）上有且只有三个点的横坐标是整数，求a的值．【答案】（1）y=x2-4x+3；3；（2）证明见解析；（3）a=1或a=−．【解析】试题分析：（1）①首先根据a=1求得A的坐标，然后代入二次函数的解析式，求得m的值即可确定二次函数的解析式；②根据解析式确定抛物线与坐标轴的交点坐标，从而确定三角形的面积；（2）将原二次函数配方后即可确定其对称轴为x=m，然后根据A、B两点关于x=m对称得到a+n-m=m-a，从而确定a、m、n之间的关系；（3）根据a=m-得到A（m-，0）代入y=（x-m）2-m2+3得0=（m--m）2-m2+3，求得m 的值即可确定a的值．试题解析：（1）①∵a=1，∴A（1，0），代入y=x2-2mx+3得1-2m+3=0，解得m=2，∴y=x2-4x+3；②在y=x2-4x+3中，当y=0时，有x2-4x+3=0可得x=1或x=3，∴A（1，0）、B（3，0），∴AB=2再根据解析式求出C点坐标为（0，3），∴OC=3，△ABC的面积=×2×3=3；（2）∵y=x2-2mx+3=（x-m）2-m2+3，∴对称轴为直线x=m，∵二次函数y=x2-2mx+3的图象与x轴交于点A和点B∴点A和点B关于直线x=m对称，∴a+n-m=m-a，∴a=m-；（3）y=x2-2mx+3（m＞）化为顶点式为y=（x-m）2-m2+3（m＞）①当a为整数，因为n＞0且n为整数所以a+n是整数，∵线段AB（包括A、B）上有且只有三个点的横坐标是整数，∴n=2，∴a=m-1，∴A（m-1，0）代入y=（x-m）2-m2+3得（x-m）2-m2+3=0，∴m2-4=0，∴m=2，m=-2（舍去），∴a=2-1=1，②当a不是整数，因为n＞0且n为整数所以a+n不是整数，∵线段AB（包括A、B）上有且只有三个点的横坐标是整数，∴n=3，∴a=m-∴A（m-，0）代入y=（x-m）2-m2+3得0=（m--m）2-m2+3，∴m2=，∴m=，m=-（舍去），∴a=−，综上所述：a=1或a=−．考点：二次函数综合题．4．如图，已知直线y＝﹣2x+4分别交x轴、y轴于点A、B．抛物线过A、B两点，点P是线段AB上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交抛物线于点D．（1）如图1，设抛物线顶点为M，且M的坐标是（12，92），对称轴交AB于点N．①求抛物线的解析式；②是否存在点P，使四边形MNPD为菱形？并说明理由；（2）是否存在这样的点D，使得四边形BOAD的面积最大？若存在，求出此时点D的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）①y＝﹣2x2+2x+4；；②不存在点P，使四边形MNPD为菱形；；（2）存在，点D的坐标是（1，4）．【解析】【分析】（1）①由一次函数图象上点的坐标特征求得点B的坐标，设抛物线解析式为y＝a21922x⎛⎫-+⎪⎝⎭，把点B的坐标代入求得a的值即可；②不存在点P，使四边形MNPD为菱形．设点P的坐标是（m，﹣2m+4），则D（m，﹣2m2+2m+4），根据题意知PD∥MN，所以当PD＝MN时，四边形MNPD为平行四边形，根据该等量关系列出方程﹣2m2+4m＝32，通过解方程求得m的值，易得点N、P的坐标，然后推知PN＝MN是否成立即可；（2）设点D的坐标是（n，﹣2n2+2n+4），P（n，﹣2n+4）．根据S四边形BOAD＝S△BOA+S△ABD ＝4+S△ABD，则当S△ABD取最大值时，S四边形BOAD最大．根据三角形的面积公式得到函数S△ABD＝﹣2（n﹣1）2+2．由二次函数的性质求得最值．【详解】解：①如图1，∵顶点M的坐标是19,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴设抛物线解析式为y＝21922a x⎛⎫-+⎪⎝⎭（a≠0）．∵直线y＝﹣2x+4交y轴于点B，∴点B的坐标是（0，4）．又∵点B在该抛物线上，∴21922a⎛⎫-+⎪⎝⎭＝4，解得a＝﹣2．故该抛物线的解析式为：y＝219222x⎛⎫--+⎪⎝⎭＝﹣2x2+2x+4；②不存在．理由如下：∵抛物线y＝219222x⎛⎫--+⎪⎝⎭的对称轴是直线x＝12，且该直线与直线AB交于点N，∴点N的坐标是1,32⎛⎫ ⎪⎝⎭．∴93322MN=-=．设点P的坐标是（m，﹣2m+4），则D（m，﹣2m2+2m+4），∴PD＝（﹣2m2+2m+4）﹣（﹣2m+4）＝﹣2m2+4m．∵PD∥MN．当PD＝MN时，四边形MNPD是平行四边形，即﹣2m2+4m＝32．解得 m1＝12（舍去），m2＝32．此时P（32，1）．∵PN∴PN≠MN，∴平行四边形MNPD不是菱形．∴不存在点P，使四边形MNPD为菱形；（2）存在，理由如下：设点D的坐标是（n，﹣2n2+2n+4），∵点P在线段AB上且直线PD⊥x轴，∴P（n，﹣2n+4）．由图可知S四边形BOAD＝S△BOA+S△ABD．其中S△BOA＝12OB•OA＝12×4×2＝4．则当S△ABD取最大值时，S四边形BOAD最大．S△ABD＝12（y D﹣y P）（x A﹣x B）＝y D﹣y P＝﹣2n2+2n+4﹣（﹣2n+4）＝﹣2n2+4n＝﹣2（n﹣1）2+2．当n＝1时，S△ABD取得最大值2，S四边形BOAD有最大值．此时点D的坐标是（1，4）．【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．5．抛物线L：y=﹣x2+bx+c经过点A（0，1），与它的对称轴直线x=1交于点B．（1）直接写出抛物线L的解析式；（2）如图1，过定点的直线y=kx﹣k+4（k＜0）与抛物线L交于点M、N．若△BMN的面积等于1，求k的值；（3）如图2，将抛物线L向上平移m（m＞0）个单位长度得到抛物线L1，抛物线L1与y 轴交于点C，过点C作y轴的垂线交抛物线L1于另一点D．F为抛物线L1的对称轴与x轴的交点，P为线段OC上一点．若△PCD与△POF相似，并且符合条件的点P恰有2个，求m的值及相应点P的坐标．【答案】（1）y=﹣x2+2x+1；（2）-3；（3）当2﹣1时，点P的坐标为（02）和（0，223）；当m=2时，点P的坐标为（0，1）和（0，2）．【解析】【分析】（1）根据对称轴为直线x=1且抛物线过点A（0，1）利用待定系数法进行求解可即得；（2）根据直线y=kx﹣k+4=k（x﹣1）+4知直线所过定点G坐标为（1，4），从而得出BG=2，由S△BMN=S△BNG﹣S△BMG=12BG•x N﹣12BG•x M=1得出x N﹣x M=1，联立直线和抛物线解析式求得228k k-±-，根据x N﹣x M=1列出关于k的方程，解之可得；（3）设抛物线L1的解析式为y=﹣x2+2x+1+m，知C（0，1+m）、D（2，1+m）、F（1，0），再设P（0，t），分△PCD∽△POF和△PCD∽△POF两种情况，由对应边成比例得出关于t与m的方程，利用符合条件的点P恰有2个，结合方程的解的情况求解可得．【详解】（1）由题意知()1211bc⎧-=⎪⨯-⎨⎪=⎩，解得：21bc=⎧⎨=⎩，∴抛物线L的解析式为y=﹣x2+2x+1；（2）如图1，设M点的横坐标为x M，N点的横坐标为x N，∵y=kx ﹣k+4=k （x ﹣1）+4，∴当x=1时，y=4，即该直线所过定点G 坐标为（1，4）， ∵y=﹣x 2+2x+1=﹣（x ﹣1）2+2， ∴点B （1，2）， 则BG=2，∵S △BMN =1，即S △BNG ﹣S △BMG =12BG•（x N ﹣1）-12BG•（x M -1）=1， ∴x N ﹣x M =1， 由2421y kx k y x x =-+⎧⎨=--+⎩得：x 2+（k ﹣2）x ﹣k+3=0， 解得：x=()()22243k k k -±---=228k k -±-，则x N =228k k -+-、x M =228k k ---，由x N ﹣x M =1得28k -=1， ∴k=±3， ∵k ＜0， ∴k=﹣3； （3）如图2，设抛物线L 1的解析式为y=﹣x 2+2x+1+m ， ∴C （0，1+m ）、D （2，1+m ）、F （1，0）， 设P （0，t ），（a ）当△PCD ∽△FOP 时，PC FOCD OP=， ∴112m t t+-=， ∴t 2﹣（1+m ）t+2=0①； (b)当△PCD ∽△POF 时，PC POCD OF=， ∴121m t t+-=， ∴t=13（m+1）②； （Ⅰ）当方程①有两个相等实数根时， △=（1+m ）2﹣8=0，解得：1（负值舍去），此时方程①有两个相等实数根t 1=t 2，方程②有一个实数根t=3， ∴﹣1，此时点P 的坐标为（0）和（0，3）； （Ⅱ）当方程①有两个不相等的实数根时，把②代入①，得：19（m+1）2﹣13（m+1）+2=0， 解得：m=2（负值舍去），此时，方程①有两个不相等的实数根t 1=1、t 2=2， 方程②有一个实数根t=1，∴m=2，此时点P 的坐标为（0，1）和（0，2）；综上，当﹣1时，点P 的坐标为（0）和（0）； 当m=2时，点P 的坐标为（0，1）和（0，2）．【点睛】本题主要考查二次函数的应用，涉及到待定系数法求函数解析式、割补法求三角形的面积、相似三角形的判定与性质等，（2）小题中根据三角形BMN 的面积求得点N 与点M 的横坐标之差是解题的关键；（3）小题中运用分类讨论思想进行求解是关键．6．如图1,在平面直角坐标系中,直线1y x =-与抛物线2y x bx c =-++交于A B 、两点，其中(),0A m ,()4,B n .该抛物线与y 轴交于点C ,与x 轴交于另一点D .(1)求mn 、的值及该抛物线的解析式; (2)如图2.若点P 为线段AD 上的一动点(不与A D 、重合).分别以AP 、DP 为斜边,在直线AD 的同侧作等腰直角△APM 和等腰直角△DPN ,连接MN ,试确定△MPN 面积最大时P 点的坐标.(3)如图3.连接BD 、CD ,在线段CD 上是否存在点Q ,使得以A D Q 、、为顶点的三角形与△ABD 相似,若存在,请直接写出点Q 的坐标;若不存在,请说明理由.【答案】（1）265y x x =-+-；（2）当2m =，即2AP =时，MPN S ∆最大，此时3OP =,所以()3,0P ；（3）存在点Q 坐标为2-3（，）或78-33⎛⎫⎪⎝⎭，. 【解析】分析：（1）把A 与B 坐标代入一次函数解析式求出m 与n 的值，确定出A 与B 坐标，代入二次函数解析式求出b 与c 的值即可；（2）由等腰直角△APM 和等腰直角△DPN ，得到∠MPN 为直角，由两直角边乘积的一半表示出三角形MPN 面积，利用二次函数性质确定出三角形面积最大时P 的坐标即可； （3）存在，分两种情况，根据相似得比例，求出AQ 的长，利用两点间的距离公式求出Q 坐标即可．详解：（1）把A （m ，0），B （4，n ）代入y =x ﹣1得：m =1，n =3，∴A （1，0），B （4，3）．∵y =﹣x 2+bx +c 经过点A 与点B ，∴101643b c b c -++=⎧⎨-++=⎩，解得：65b c =⎧⎨=-⎩，则二次函数解析式为y =﹣x 2+6x ﹣5；（2）如图2，△APM 与△DPN 都为等腰直角三角形，∴∠APM =∠DPN =45°，∴∠MPN =90°，∴△MPN 为直角三角形，令﹣x 2+6x ﹣5=0，得到x =1或x =5，∴D （5，0），即DP =5﹣1=4，设AP =m ，则有DP =4﹣m ，∴PM 2，PN 24﹣m ），∴S △MPN =12PM •PN =12×22m ×22（4﹣m ）=﹣14m 2﹣m =﹣14（m ﹣2）2+1，∴当m =2，即AP =2时，S △MPN 最大，此时OP =3，即P （3，0）；（3）存在，易得直线CD 解析式为y =x ﹣5，设Q （x ，x ﹣5），由题意得：∠BAD =∠ADC =45°，分两种情况讨论： ①当△ABD ∽△DAQ 时，AB DA =BD AQ ，即324=4AQ ，解得：AQ =823，由两点间的距离公式得：（x ﹣1）2+（x ﹣5）2=1283，解得：x =73，此时Q （73，﹣83）； ②当△ABD ∽△DQA 时，BDAQ=1，即AQ =10，∴（x ﹣1）2+（x ﹣5）2=10，解得：x =2，此时Q （2，﹣3）．综上，点Q 的坐标为（2，﹣3）或（73，﹣83）． 点睛：本题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质，两点间的距离公式，熟练掌握各自的性质是解答本题的关键．7．某商场销售一种商品的进价为每件30元，销售过程中发现月销售量y （件）与销售单价x （元）之间的关系如图所示．（1）根据图象直接写出y 与x 之间的函数关系式．（2）设这种商品月利润为W （元），求W 与x 之间的函数关系式． （3）这种商品的销售单价定为多少元时，月利润最大？最大月利润是多少？ 【答案】（1）y ＝180(4060)3300(6090)x x x x -+≤≤⎧⎨-+<≤⎩；（2）W ＝222105400(4060)33909000(6090)x x x x x x ⎧-+-≤≤⎨-+-<≤⎩;（3）这种商品的销售单价定为65元时，月利润最大，最大月利润是3675． 【解析】 【分析】（1）当40≤x≤60时，设y 与x 之间的函数关系式为y=kx+b ，当60＜x≤90时，设y 与x 之间的函数关系式为y=mx+n ，解方程组即可得到结论；（2）当40≤x≤60时，当60＜x≤90时，根据题意即可得到函数解析式；（3）当40≤x≤60时，W=-x 2+210x-5400，得到当x=60时，W 最大=-602+210×60-5400=3600，当60＜x≤90时，W=-3x 2+390x-9000，得到当x=65时，W 最大=-3×652+390×65-9000=3675，于是得到结论． 【详解】解：（1）当40≤x ≤60时，设y 与x 之间的函数关系式为y ＝kx +b ， 将（40，140），（60，120）代入得4014060120k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：1180k b =-⎧⎨=⎩，∴y 与x 之间的函数关系式为y ＝﹣x +180；当60＜x ≤90时，设y 与x 之间的函数关系式为y ＝mx +n ，将（90，30），（60，120）代入得903060120m n m n +=⎧⎨+=⎩，解得：3300m n =-⎧⎨=⎩，∴y ＝﹣3x +300；综上所述，y ＝180(4060)3300(6090)x x x x -+≤≤⎧⎨-+<≤⎩；（2）当40≤x ≤60时，W ＝（x ﹣30）y ＝（x ﹣30）（﹣x +180）＝﹣x 2+210x ﹣5400， 当60＜x ≤90时，W ＝（x ﹣30）（﹣3x +300）＝﹣3x 2+390x ﹣9000，综上所述，W ＝222105400(4060)33909000(6090)x x x x x x ⎧-+-≤≤⎨-+-<≤⎩； （3）当40≤x ≤60时，W ＝﹣x 2+210x ﹣5400，∵﹣1＜0，对称轴x ＝2102--＝105，∴当40≤x ≤60时，W 随x 的增大而增大，∴当x ＝60时，W 最大＝﹣602+210×60﹣5400＝3600， 当60＜x ≤90时，W ＝﹣3x 2+390x ﹣9000，∵﹣3＜0，对称轴x ＝3906--＝65，∵60＜x ≤90，∴当x ＝65时，W 最大＝﹣3×652+390×65﹣9000＝3675， ∵3675＞3600，∴当x ＝65时，W 最大＝3675，答：这种商品的销售单价定为65元时，月利润最大，最大月利润是3675． 【点睛】本题考查了把实际问题转化为二次函数，再利用二次函数的性质进行实际应用．根据题意分情况建立二次函数的模型是解题的关键．8．如图，已知抛物线2y ax bx c =++经过A （－3，0），B （1，0），C （0，3）三点，其顶点为D ，对称轴是直线l ，l 与x 轴交于点H ．（1）求该抛物线的解析式；（2）若点P 是该抛物线对称轴l 上的一个动点，求△PBC 周长的最小值；（3）如图（2），若E 是线段AD 上的一个动点（ E 与A 、D 不重合），过E 点作平行于y 轴的直线交抛物线于点F ，交x 轴于点G ，设点E 的横坐标为m ，△ADF 的面积为S ． ①求S 与m 的函数关系式；②S 是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时点E 的坐标； 若不存在，请说明理由．【答案】（1）2y x 2x 3=--+.（2）3210. （3）①2S m 4m 3=---.②当m=﹣2时，S 最大，最大值为1，此时点E 的坐标为（﹣2，2）. 【解析】 【分析】（1）根据函数图象经过的三点，用待定系数法确定二次函数的解析式即可.（2）根据BC 是定值，得到当PB+PC 最小时，△PBC 的周长最小，根据点的坐标求得相应线段的长即可.（3）设点E 的横坐标为m ，表示出E （m ，2m+6），F （m ，2m 2m 3--+），最后表示出EF 的长，从而表示出S 于m 的函数关系，然后求二次函数的最值即可. 【详解】解：（1）∵抛物线2y ax bx c =++经过A （－3，0），B （1，0）， ∴可设抛物线交点式为()()y a x 3x 1=+-.又∵抛物线2y ax bx c =++经过C （0，3），∴a 1=-. ∴抛物线的解析式为：()()y x 3x 1=-+-，即2y x 2x 3=--+. （2）∵△PBC 的周长为：PB+PC+BC ，且BC 是定值. ∴当PB+PC 最小时，△PBC 的周长最小. ∵点A 、点B 关于对称轴I 对称， ∴连接AC 交l 于点P ，即点P 为所求的点.∵AP=BP ，∴△PBC 的周长最小是：PB+PC+BC=AC+BC.∵A （－3，0），B （1，0），C （0，3），∴AC=32，BC=10. ∴△PBC 的周长最小是：3210+.（3）①∵抛物线2y x 2x 3=--+顶点D 的坐标为（﹣1，4），A （﹣3，0），∴直线AD 的解析式为y=2x+6∵点E 的横坐标为m ，∴E （m ，2m+6），F （m ，2m 2m 3--+） ∴()22EF m 2m 32m 6m 4m 3=--+-+=---.∴()22DEF AEF 1111S S S EF GH EF AG EF AH m 4m 32m 4m 32222∆∆=+=⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅=⋅---⋅=---.∴S 与m 的函数关系式为2S m 4m 3=---. ②()22S m 4m 3m 21=---=-++，∴当m=﹣2时，S 最大，最大值为1，此时点E 的坐标为（﹣2，2）.9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax 2+bx ﹣3（a≠0）与x 轴交于点A （﹣2，0）、B （4，0）两点，与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）点P 从A 点出发，在线段AB 上以每秒3个单位长度的速度向B 点运动，同时点Q 从B 点出发，在线段BC 上以每秒1个单位长度的速度向C 点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，当△PBQ 存在时，求运动多少秒使△PBQ 的面积最大，最大面积是多少？（3）当△PBQ 的面积最大时，在BC 下方的抛物线上存在点K ，使S △CBK ：S △PBQ =5：2，求K 点坐标．【答案】（1）y=38x 2﹣34x ﹣3（2）运动1秒使△PBQ 的面积最大，最大面积是910（3）K 1（1，﹣278），K 2（3，﹣158）【解析】 【详解】试题分析：（1）把点A 、B 的坐标分别代入抛物线解析式，列出关于系数a 、b 的解析式，通过解方程组求得它们的值；（2）设运动时间为t 秒．利用三角形的面积公式列出S △PBQ 与t 的函数关系式S △PBQ =﹣910（t ﹣1）2+910．利用二次函数的图象性质进行解答； （3）利用待定系数法求得直线BC 的解析式为y=34x ﹣3．由二次函数图象上点的坐标特征可设点K 的坐标为（m ，38m 2﹣34m ﹣3）．如图2，过点K 作KE ∥y 轴，交BC 于点E ．结合已知条件和（2）中的结果求得S △CBK =94．则根据图形得到：S △CBK =S △CEK +S △BEK =12EK•m+12•EK•（4﹣m ），把相关线段的长度代入推知：﹣34m 2+3m=94．易求得K 1（1，﹣278），K 2（3，﹣158）．解：（1）把点A （﹣2，0）、B （4，0）分别代入y=ax 2+bx ﹣3（a≠0），得423016430a b a b --=⎧⎨+-=⎩， 解得3834a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以该抛物线的解析式为：y=38x 2﹣34x ﹣3；（2）设运动时间为t 秒，则AP=3t ，BQ=t ． ∴PB=6﹣3t ．由题意得，点C 的坐标为（0，﹣3）． 在Rt △BOC 中，． 如图1，过点Q 作QH ⊥AB 于点H ．∴QH ∥CO ， ∴△BHQ ∽△BOC ， ∴HB OC BGBC=，即Hb 35t=，∴HQ=35t ． ∴S △PBQ =12PB•HQ=12（6﹣3t ）•35t=﹣910t 2+95t=﹣910（t ﹣1）2+910．当△PBQ 存在时，0＜t ＜2 ∴当t=1时，S △PBQ 最大=910． 答：运动1秒使△PBQ 的面积最大，最大面积是910； （3）设直线BC 的解析式为y=kx+c （k≠0）． 把B （4，0），C （0，﹣3）代入，得403k c c +=⎧⎨=-⎩， 解得3k 4c 3⎧=⎪⎨⎪=-⎩，∴直线BC 的解析式为y=34x ﹣3． ∵点K 在抛物线上．∴设点K 的坐标为（m ，38m 2﹣34m ﹣3）．如图2，过点K 作KE ∥y 轴，交BC 于点E ．则点E 的坐标为（m ，34m ﹣3）．∴EK=34m﹣3﹣（38m2﹣34m﹣3）=﹣38m2+32m．当△PBQ的面积最大时，∵S△CBK：S△PBQ=5：2，S△PBQ=9 10．∴S△CBK=94．S△CBK=S△CEK+S△BEK=12EK•m+12•EK•（4﹣m）=12×4•EK=2（﹣38m2+32m）=﹣34m2+3m．即：﹣34m2+3m=94．解得 m1=1，m2=3．∴K1（1，﹣278），K2（3，﹣158）．点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有待定系数法求二次函数解析式和三角形的面积求法．在求有关动点问题时要注意该点的运动范围，即自变量的取值范围．10．在平面直角坐标系xOy中，顶点为A的抛物线与x轴交于B、C两点，与y轴交于点D，已知A(1，4)，B(3，0)．(1)求抛物线对应的二次函数表达式；(2)探究：如图1，连接OA，作DE∥OA交BA的延长线于点E，连接OE交AD于点F，M 是BE的中点，则OM是否将四边形OBAD分成面积相等的两部分？请说明理由；(3)应用：如图2，P(m，n)是抛物线在第四象限的图象上的点，且m+n＝﹣1，连接PA、PC，在线段PC上确定一点M，使AN平分四边形ADCP的面积，求点N的坐标．提示：若点A 、B 的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，则线段AB 的中点坐标为(122x x +，122y y +)．【答案】(1)y ＝﹣x 2+2x ﹣3；(2)OM 将四边形OBAD 分成面积相等的两部分，理由见解析；(3)点N(43，﹣73)． 【解析】 【分析】(1)函数表达式为：y ＝a(x ﹣1)2+4，将点B 坐标的坐标代入上式，即可求解； (2)利用同底等高的两个三角形的面积相等，即可求解；(3)由(2)知：点N 是PQ 的中点，根据C,P 点的坐标求出直线PC 的解析式，同理求出AC,DQ 的解析式，并联立方程求出Q 点的坐标，从而即可求N 点的坐标． 【详解】(1)函数表达式为：y ＝a(x ﹣1)2+4，将点B 坐标的坐标代入上式得：0＝a(3﹣1)2+4， 解得：a ＝﹣1，故抛物线的表达式为：y ＝﹣x 2+2x ﹣3；(2)OM 将四边形OBAD 分成面积相等的两部分，理由： 如图1，∵DE ∥AO ，S △ODA ＝S △OEA ，S △ODA +S △AOM ＝S △OEA +S △AOM ，即：S 四边形OMAD ＝S △OBM ， ∴S △OME ＝S △OBM ， ∴S 四边形OMAD ＝S △OBM ；(3)设点P(m ，n)，n ＝﹣m 2+2m+3，而m+n ＝﹣1， 解得：m ＝﹣1或4，故点P(4，﹣5)；如图2，故点D 作QD ∥AC 交PC 的延长线于点Q ，由(2)知：点N是PQ的中点，设直线PC的解析式为y=kx+b，将点C(﹣1，0)、P(4，﹣5)的坐标代入得：45k bk b-+=⎧⎨+=-⎩，解得：11 kb=-⎧⎨=-⎩，所以直线PC的表达式为：y＝﹣x﹣1…①，同理可得直线AC的表达式为：y＝2x+2，直线DQ∥CA，且直线DQ经过点D(0，3)，同理可得直线DQ的表达式为：y＝2x+3…②，联立①②并解得：x＝﹣43，即点Q(﹣43，13)，∵点N是PQ的中点，由中点公式得：点N(43，﹣73)．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、图形面积的计算等，其中(3)直接利用(2)的结论，即点N是PQ的中点，是本题解题的突破点．11．如图，已知抛物线的图象与x轴的一个交点为B（5，0），另一个交点为A，且与y轴交于点C（0，5）。

2020中考数学 二次函数培优专题：角度和角度关系的存在性问题(含答案)

2020中考数学 二次函数培优专题：角度和角度关系的存在性问题(含答案)

2020中考数学培优专题：角度和角度关系的存在性问题（含答案）例题1. 如图，抛物线24y ax bx a =+-经过(1,0)A -，(0,4)C 两点，与x 轴交于另一点B ．（1）求抛物线的解析式；（2）已知点(,1)D m m +在第一象限的抛物线上，连接BD ，在抛物线上是否存在点P 使得45DBP ∠=︒？若存在，请求出点P 的坐标；不存在，说明理由．【答案】（1）∵抛物线24y ax bx a =+-经过(1,0)A -，(0,4)C 两点， ∴4044a b a a --=⎧⎨-=⎩，解得13a b =-⎧⎨=⎩∴抛物线的解析式为234y x x =-++．（2）∵点(,1)D m m +在抛物线上，∴2134m m m +=-++， 即2230m m --=，∴1m =-或3m =．∵点D 在第一象限，∴点D 的坐标为4)(3,． 过点D 作BD 的垂线交直线PB 于点Q ，过点D 作DH x ⊥轴于H ．过Q 点作QG DH ⊥于G ． ∵45PBD ∠=︒,∴QD DB =．∴90QDG BDH ∠+∠=︒， 又90DQG QDG ∠+∠=︒，∴DQG BDH ∠=∠．∴QDG DBH △≌△，∴4QG DH ==，1DG BH ==． 由（2）知(3,4)D ，∴(1,3)Q -．∵(4,0)B ，∴直线BP 的解析式为31255y x =-+．∴23431255y x x y x ⎧=-++⎪⎨=-+⎪⎩，得1140x y =⎧⎨=⎩，22256625x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴点P 的坐标为266,525⎛⎫- ⎪⎝⎭．例题2. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线2y ax bx c =++经过点(3,0)A -、(0,3)B 、(1,0)C 三点．（1）求抛物线的解析式和顶点D 的坐标；（2）将抛物线的对称轴绕抛物线的顶点D 顺时针旋转60︒，与直线y x =-交于点N ．在直线DN 上是否存在点M ，使得75MON ∠=︒．若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由；【答案】（1）由题意把(3,0)A -、(0,3)B 、(1,0)C 代入2y ax bx c =++ ∴93030a b c cab c -+=⎧⎪=⎨⎪++=⎩，解得123a b c =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩ ．∴抛物线的解析式是223y x x =--+．∵2223(1)4y x x x =--+=-++，∴抛物线的顶点D 的坐标为(1,4)-． （2）存在，理由：方法（一）：由旋转得60EDF ∠=︒，在Rt DEF △中，∵60EDF ∠=︒，4DE =， ∴tan 60EF DE=⨯︒=1OF OE EF =+=+ ∴F点的坐标为(10)--．设过点D 、F 的直线解析式是y x b κ=+， 把(1,4)D -，(10)F --代入求得4y x =+． 分两种情况:①当点M 在射线ND 上时， ∵75MON ∠=︒，45BON ∠=︒， ∴30MOB MON BON ∠=∠∠=︒﹣． ∴60MOC ∠=︒．∴直线OM 的解析式为y =．∴4y x y ⎧=++⎪⎨⎪=⎩解得，126x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．∴点M 的坐标为1,62⎛+ ⎝⎭．②当点M 在射线NF 上时，不存在点M 使得75MON ∠=︒理由：∵75MON ∠=︒，45FON ∠=︒，∴30FOM MON FON ∠=∠∠=︒－. ∵30DFE ∠=︒，∴FOM DFE ∠=∠．∴//OM FN ． ∴不存在综上所述，存在点M ，且点M的坐标为1,62⎛+ ⎝⎭．方法（二）①M 在射线ND 上，过点M 作MP x ⊥轴于点P ，由旋转得60EDF ∠=︒，在Rt DEF △中，∵60EDF ∠=︒，4DE =∴tan 60EF DE =⨯︒=1OF OE EF ==+﹢∵75MON ∠=︒，45BON ∠=︒，∴30MOB MON BON ∠=∠-∠=︒． ∴60MOC ∠=︒．在Rt MOP △中，∴MP ．在Rt MPF △中，∵tan MPMFP PF∠=，=12OP =．∴6MP = ∴M点坐标为1,62⎛+ ⎝⎭． ②M 在射线NF 上，不存在点M 使得75MON ∠=︒ 理由：∵75MON ∠=︒，45FON ∠=︒， ∴30FOM MON FON ∠=∠∠=︒﹣． ∵30DFE ∠=︒．∴FOM DFE ∠=∠．∴//OM DN ．∴不存在．…综上所述，存在点M ，且点M的坐标为1,62⎛+ ⎝⎭．例题3. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数212y x bx c =++的图象经过点(3,6)A -并与x 轴交于点(1,0)B -和点C ，顶点为P ． （1）求二次函数的解析式；（2）设D 为线段OC 上的一点，若DPC BAC ∠=∠，求点D 的坐标． 【答案】（1）将点36A-（，），10B -（，）代入212y x b x c =++中，得936,210.2b c b c ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩ 解得 1,3.2b c =-⎧⎪⎨=-⎪⎩∴二次函数的解析式为21322y x x =--．（2）令0y =，得213022x x --=，解得11x =-，23x =．∴点C 的坐标为(3,0)．∵22131(1)2222y x x x =--=--， ∴顶点P 的坐标为(1,2)-．过点A 作AE x ⊥轴，过点P 作PF x ⊥轴，垂足分别为E ，F ． 易得45ACB PCD ∠=∠=︒．AC ==PC ==又DPC BAC ∠=∠，∴ACB PCD △∽△． ∴BC ACCD PC=．∵3(1)4BC =--=， ∴43BC PC CD AC ⋅==．∴45333OD OC CD =-=-=．∴点D 的坐标为5,03⎛⎫⎪⎝⎭．例题4. 如图，已知抛物线2y ax bx c =++的对称轴为直线2x =，且与x 轴交于A 、B 两点．与y 轴交于点C ．其中(1,0)A ，(0,3)C -． （1）求抛物线的解析式；（2）若点在抛物线上运动（点异于点），当时，求点P 的坐标．（1）由题意，得0322a b c c b a⎧⎪++=⎪=-⎨⎪⎪-=⎩，解得143a b c =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩，∴抛物线的解析式为243y x x =-+-．（2）令2430x x -+-=，解得11x =，23x =，∴(3,0)B ，∴OB OC =，∴45OCB OBC ∠=∠=︒，设直线CP 的解析式为3y kx =-，如图，延长CP 交x 轴于点Q ，设OCA α∠=，则45ACB α∠=︒-，∵PCB BCA ∠=∠，∴45PCB α∠=︒-，∴OQC OBC PCB α∠=∠-∠=，∴OCA OQC ∠=∠，又∵90AOC COQ ∠=∠=︒，∴R t R t A O C C O Q △∽△，∴O A O C O C O Q =，∴133OQ =，∴9OQ =，∴(9,0)Q ，∴直线CP 的解析式为133y x =-．∴243133y x x y x ⎧=-+-⎪⎨=-⎪⎩，得113x y =⎧⎨=-⎩，图222113169x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩．∴点P 的坐标为1116,39⎛⎫- ⎪⎝⎭． 例题5. 如图，已知抛物线22(3)2(3)4y m x m x m m =-+-+-的顶点A 在双曲线3y x=上，直线y mx b =+经过点A ，与y 轴交于点B ，与x 轴交于点C .（1）确定直线AB 的解析式．（2）将直线AB 绕点O 顺时针旋转90︒, 与x 轴交于点D , 与y 轴交于点E , 求sin ∠BDE 的值．（3）过点B 作x 轴的平行线与双曲线交于点G ，点M 在直线BG 上，且到抛物线的对称轴的距离为6．设点N 在直线BG 上，请你直接写出使得45AMB ANB ∠+∠=︒的点N 的坐标．（1）2222(3)(21)43(3)(1)5 3.y m x x m m m m x m m =--++--+=--+-- ∴2(1,53)A m m -+-.∵点A 在双曲线3y x=上，∴3xy =.2533m m -+-=，解得2m =，3m =（不合题意，舍去）. ∴2m =，A (1, 3).∵直线y mx b =+经过点A ，∴321b =⨯+. 1.b = 故直线AB 的解析式为21y x =+，（2）由21y x =+，可得(0,1)B ，1,02C ⎛⎫- ⎪⎝⎭.将直线AB 绕点O 顺时针旋转90︒，得点B 的对应点为(1,0)D ，点C 的对应点为10,2E ⎛⎫⎪⎝⎭.可得直线DE 的解析式为1122y x =-+，由211122y x y x =+⎧⎪⎨=-+⎪⎩，得两直线交点为13,55F ⎛⎫- ⎪⎝⎭，可得DE BC ⊥，BD BF =，∴sin B D F BD B E =∠=.（2）1(5,1)N ，2(3,1)N -.例题6. 抛物线(3)(1)y x x =-+与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C ，点D 为顶点．（1）求点B 及点D 的坐标；（2）连结BD ，CD ，抛物线的对称轴与x 轴交于点E ．①若线段BD 上一点P ，使DCP BDE ∠=∠，求点P 的坐标；②若抛物线上一点M ，作M N CD ⊥，交直线CD 于点N ，使CM N BD E ∠=∠，求点M 的坐标．【答案】（1）(3,0)B ，(1,4)D -．（2）①(0,3)C -，(1,0)E ，连接BC ，过点C 作CH DE ⊥，交DE 于点H ，∴(1,3)H -，∴1CH DH ==， ∴45CDH BCO BCH ===︒∠∠∠，∴CD =，CB =，BCD △为直角三角形．分别延长PC ，DC 与x 轴交于点Q ，R ，则B D E D C P Q C R ==∠∠∠，45CDB CDE BDE DCP =+=︒+∠∠∠∠，∴CDB QCO =∠∠，∴B C D Q O C △∽△，∴13OC CD OQ CB ==， ∴9OQ =，即(9,0)Q -，∴直线CQ 解析式为133y x =--，直线BD 解析式为26y x =-，由方程组13326y x y x ⎧=--⎪⎨⎪=-⎩，，备yO CA DE备用图解得97247x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，，∴924,77P ⎛⎫- ⎪⎝⎭．②1）当点M 在对称轴右侧时， 若点N 在射线CD 上，如图2，延长MN 交y 轴于点F ，过点M 作MG y ⊥轴，∵CMN BDE =∠∠，∴MCN DBE △∽△， ∴12CN BE MN DE ==，∴2MN CN =， 设CN a =，则2MN a =， ∵45CDE DCF ==︒∠∠，∴CNF △，MGF △均为等腰直角三角形， ∴NF a =，CF =， ∴3MF MN NF a =+=，∴MG FG ===，∴CG FG FC =-==，∴,3M ⎫-+⎪⎪⎝⎭， 代入抛物线(3)(1)y x x =-+，解得a =，∴720,39M ⎛⎫- ⎪⎝⎭．若点N 在射线DC 上，如图3， MN 交y 轴于点F ，过点M 作MG y ⊥轴，交y 轴于点G ， ∵CMN BDE =∠∠， ∴MCN DBE △∽△， ∴12CN BE MN DE ==，∴2MN CN =， 设CN a =，则2MN a =， ∵45CDE =︒∠，∴CNF △，MGF △均为等腰直角三角形，∴NF a =，CF =， ∵45CDE =︒∠，∴CNF △，MGF △均为等腰直角三角形，∴NF a =，CF =，∴MF MN NF a =-=，∴2MG FG ==，∴CG FG FC =+==，∴,3M ⎫-+⎪⎪⎝⎭， 代入抛物线(3)(1)y x x =-+，解得a =(5,12)M ．2）当点M 在对称轴左侧时，∵45CMN BDE =<︒∠∠，∴45MCN >︒∠，而抛物线左侧任意一点K ，都有45KCN <︒∠，∴点M 不存在．综上所述，点M 坐标为720,39⎛⎫- ⎪⎝⎭，(5,12）．例题7. 如图直线12y x m =+与抛物线2y x bx c =-++交于C 、D 两点，其中点C 在y 轴上，点D 的坐标为53,2⎛⎫⎪⎝⎭，点P 是y 轴右侧的抛物线上一动点，过点P 作PE x ⊥轴于点E ，交CD 于点F .（1）求一次函数和抛物线的解析式．（2）若点P 的横坐标为t ，当t 为何值时，四边形OCPF 是平行四边形？请说明理由． （3）在CD 上方是否存在点P ，使45PCF ∠=︒，若存在，求出相应的点P 的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】（1）D 在12y x m =+图像上，代53,2D ⎛⎫⎪⎝⎭入12y x m =+，1m ∴=，112y x =+．令0x =，1y =，(0,1)c ∴，21y x bx =-++∴将53,2D ⎛⎫⎪⎝⎭代入，72b =，2712y x x ∴=-++，（2）若四边形OCPF 为平行四边形，则CO PF =且//CO PF ，设27,12P t t t ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，1,12F t t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，27111122PF t t t ⎛⎫∴=-++-+= ⎪⎝⎭，解得，1t =，2t ； （3）如图，过P 作PN CD ⊥于N ，过C 作CM PE ⊥于M ，在Rt PNF △和Rt CMF △中：90PNF CMF PFN CFM ∠=∠=︒⎧⎨∠=∠⎩Rt Rt PNF CMF ∴△∽△，设27,12P a a a ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭(03)a <<则1,12F a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭CM a ∴=，1FM a =，CF =CF CM PF PN=，即223a a a PN =-+，2PN =12FN FM PN CM ==，2FN∴=+若45PCF ∠=︒，则PN CN =，即22+=，解得12a =，15,22P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭.例题8. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，以直线1x =为对称轴的抛物线2y ax bx c =++与x 轴从左至右依次交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，且4AB =，点32,2D ⎛⎫⎪⎝⎭在抛物线上，直线l 是一次函数2(0)y kx k =-≠的图象．（1）求抛物线的解析式；（2）如果直线l 平分四边形OBDC 的面积，求k 的值； （3）将抛物线作适当平移，求解与探究下列问题；i ）若将抛物线2y ax bx c =++向下平移m 个单位长度后，恰与第（2）问中的直线l 有且只有一个公共点，求m 的值；ii ）把抛物线2y ax bx c =++向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线与直线l 交于M ，N 两点，请在备用图中画出草图，并探究：在y 轴正半轴上是否存在一定点P ，使得无论k 取何值，MPN ∠总被y 轴平分？若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线的对称轴为1x =，且4AB = (1,0)A ∴-，(3,0)B 则抛物线解析式为(1)(3)y a x x =+-代32,2D ⎛⎫⎪⎝⎭入(1)(3)y a x x =+-，解得12a =-21322y x x ∴=++（2）由（1）易得30,2C ⎛⎫⎪⎝⎭，32,2D ⎛⎫⎪⎝⎭//CD OB ∴ 设直线l 分别与OB 、CD 相交于E 、F直线l 解析式2y kx =-，令0y =，2x k =，2,0E k ⎛⎫⎪⎝⎭，令32y =，72x k =，73,22F k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则2OE k =，23BE k =-，72CF k =，722DF k=-，若l 平分四边形OBDC ，则OEFC FDBE S S =梯形梯形，11()()22OE CF OC FD BE OC +⋅=+⋅,OE CF FD BE +=+， 即27273222k k k k ⎛⎫⎛⎫+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，115k = （3）①平移后的抛物线解析式为21322y x x m =-++-则213221125y x x m y x ⎧=++-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩21670252x x m -++=由题意，3672025m =--=△，13950m =-②抛物线解析式22131(1)2222y x x x =-++=--+由题意，平移后的抛物线解析式为212y x =-如图，过M 做MD y ⊥轴，NE ⊥y 轴，由题意得MPD NPE ∠=∠，又90PDM PEN ∠=∠=︒ PDM PEN ∴△∽△设(0,)P t 、(,2)M a ka -，(,2)N b kb -则MD a =-，2PD t ka =-+，NE b =，2PE t kb =-+ MD PD NE PE ∴=，即22a t kab t kb --+=-+，()22()0a b t kab a b +-++= M 、N 是抛物线与直线交点，2212y kx y x =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，21202x kx +-=2a b k ∴+=-，4ab =-， 2840kt k k ∴-+-=，2t =，则在y 轴正半轴上存在(0,2)P ，使得不论k 取何值，MPN ∠总被y 轴平分.例题9. 如图1，已知直线y kx =与抛物线2422273y x =-+交于点36A （，）． （1）求直线y kx =的解析式和线段OA 的长度．（2）点P 为抛物线第一象限内的动点，过点P 作直线PM ，交x 轴于点M （点M 、O 不重合），交直线OA 于点Q ，再过点Q 作直线PM 的垂线，交y 轴于点N ．试探究：线段QM 与线段NQ 的长度之比是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，说明理由． （3）如图2，若点B 为抛物线上对称轴右侧的点，点E 在线段OA 上（与点O 、A 不重合），点(,0)D m 是x 轴正半轴上的动点，且满足BAE BED ∠=∠ AOD =∠．继续探究：m 在什么范围时，符合条件的E 点的个数分别是1个、2个？答图1答图2【答案】（1）把点3,6A （）代入y kx =得2k =，∴2y x =．OA ==． （2）QM QN是一个定值，理由如下：如答图1，过点Q 作QG y ⊥轴于点G ，QH x ⊥轴于点H ． ①当QH 与QM 重合时，显然QG 与QN 重合， 此时tan 2QM QH QHAOM QN QG OH ===∠=； ②当QH 与QM 不重合时，∵QN QM ⊥，QG QH ⊥ 不妨设点H ，G 分别在x 、y 轴的正半轴上， ∴MQH GQN ∠=∠，又∵90QHM QGN ∠=∠=︒， ∴QHM QGN △∽△，∴tan 2QM QH QH AOM QN QG OH===∠=， 当点P 、Q 在抛物线和直线上不同位置时，同理可得2QMQN=． （3）如答图2，延长AB 交x 轴于点F ，过点F 作FC OA ⊥于点C ， 过点A 作AR x ⊥轴于点R ， ∵AOD BAE ∠=∠， ∴AF OF =，∴12OC AC OA ==∵90ARO FCO ∠=∠=︒，AOR FOC ∠=∠，∴AOR FOC △∽△，∴OF AO OC OR ===∴152OF ==，∴点1502F ⎛⎫ ⎪⎝⎭,， 设点2422,273B x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，过点B 作BK AR ⊥于点K ，则AKB ARF △∽△，∴BK AK FR AR =，即2422632737.536x x ⎛⎫--+ ⎪-⎝⎭=-，解得16x =，23x =（舍去）， ∴点(6, 2)B ，∴633BK =-=，624AK =-=，∴5AB =； （求AB 也可采用下面的方法）图1图2设直线AF 为(0)y kx b k =+≠把点(3, 6)A ，点1502F ⎛⎫⎪⎝⎭，代入得43k =-，10b =，∴4103y x =-+，∴24103422273y x y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，∴1136x y =⎧⎨=⎩（舍去），2262x y =⎧⎨=⎩，∴(6,2)B ，∴5AB =…在ABE △与OED △中∵BAE BED ∠=∠，∴ABE AEB DEO AEB ∠+∠=∠+∠， ∴ABE DEO ∠=∠，∵BAE EOD ∠=∠，∴ABE OED △∽△． 设OE x =，则(0AE x x =<<，由ABE OED △∽△得AE OD AB OE=mx =∴211(055m x x x x ==-+<<）∴顶点为94⎫⎪⎭如答图3，当94m =时，OE x =此时E 点有1个；当904m <<时，任取一个m 的值都对应着两个x 值，此时E 点有2个．∴当94m =时，E 点只有1个当904m <<时，E 点有2个．答图3。

中考数学二次函数角度的存在性问题（教师版）

中考数学二次函数角度的存在性问题（教师版）

1 第2讲：角度的存在性问题【例1】如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于(1,0)A 、(4,0)B 两点，与y 轴交于点(0,2)C ；（1）求抛物线的表达式；（2）求证：CAO BCO Ð=Ð；（3）若点P 是抛物线上的一点，且PCB ACB BCO Ð+Ð=Ð，求直线CP 的表达式．【参考答案】（1）215222y x x =-+；（2）证明略；（3）423y x =-+或2y =．思路点拨1．设求抛物线的交点式比较简便．2．第（2）题求两个锐角的正切值相等，可以得到两个锐角相等．3．第（3）题先把3个角的关系，转化为∠PCB ＝∠2，再按点P 与CB 的位置关系分两种情况讨论．满分解答（1）因为抛物线与x 轴交于A (1, 0)、B (4, 0)两点，所以两点，所以y ＝a (x －1)(x －4)．代入点C (0, 2)，得，得12a =．所以抛物线的表达式为1(1)(4)2y x x =--＝215222x x -+．（2）如图2，tan ∠CAO ＝OC OA ＝2．如图3，tan ∠BCO ＝OBOC＝42＝2，所以∠CAO ＝∠BCO ．图2 图3 （3）如图2，图3，由于∠CAO ＝∠BCO ，根据等角的余角相等，得∠1＝∠2．因为∠PCB ＋∠ACB ＝∠BCO ，所以∠PCB ＝∠BCO －∠ACB ＝∠1＝∠2．∠PCB 存在两种情况：知识精讲①如图4，当点P 在CB 的右侧时，由∠PCB ＝＝∠2，得CP //x 轴． 此时直线CP 的解析式为y ＝2．②如图5，当点P 在CB 的左侧时，设CP 与x 轴交于点D ． 由∠PCB ＝∠2，得DC ＝DB ．设D (x , 0)，根据，根据DC 2＝DB 2，列方程x 2＋22＝(4－x )2．解得32x =．所以D 3(,0)2．由C (0, 2)、D 3(,0)2，得直线CP 的解析式为423y x =-+．图4 图5 图6 考点伸展如果第（3）题的条件不变，求点P 的坐标．第一种情形，如图4，当CP //x 轴时，点P 与点C 关于抛物线的对称轴52x =对称，所以P (5, 2)．第二种情形，如图6，设P 215(,2)22x x x -+． 作PE ⊥y 轴于E ，那么OD CO EP CE =．所以2322152(2)22x x x =--+． 解得x ＝0，或73x =．所以P 710(,)39-．【例2】已知在直角坐标系中，抛物线283y ax ax =-+(0)a <与y 轴交于点A ，顶点为D ，其对称轴交x 轴于点B ，点P 在抛物线上，且位于抛物线对称轴的右侧；在抛物线上，且位于抛物线对称轴的右侧；（1）当AB BD =时（如图），求抛物线的表达式；，求抛物线的表达式； （2）在第（1）小题的条件下，当DP ∥AB 时，求点P 的坐标；的坐标； （3）点G 在对称轴BD 上，且12AGB ABD Ð=Ð，求△ABG 的面积．的面积．【参考答案】（1）2138y x x =-++；（2）1(10,)2；（3）10或22． 思路点拨1．抛物线的解析式中隐含了对称轴（点B ）和点A 的坐标，根据AB ＝BD 求出点D 的坐标，再代入解析式求待定系数a ．2．看着12∠ABD ，结合BA ＝BD ，不由得让人联想起“三线合一”．3．以∠ABD 为外角，构造等腰三角形BAG ，BG ＝BA ，这样就满足∠ABD ＝2∠AGB ． 4．根据对称性，∠AGB 的顶点G 存在两种情况．满分解答（1）由y ＝ax 2－8ax ＋3，可得A (0, 3)，抛物线的对称轴为直线，抛物线的对称轴为直线x ＝4． 所以B (4, 0)，AB ＝5．当BD ＝AB ＝5时，D (4, 5)．将点D (4, 5)代入代入y ＝ax 2－8ax ＋3，得18a =-．所以2138y x x =-++． （2）如图2，作PE ⊥BD 于E ． 设点P 的坐标为21(,3)8x x x -++．当DP //AB 时，34ED OA EP OB ==．所以34ED EP =．图2 解方程2135(3)(4)84x x x --++=-，整理，得x 2－14x ＋40＝0．所以x ＝10，或x ＝4（与点D 重合，舍去）．所以P 1(10,)2．（3）如图3，在DB 的延长线上截取BG ＝BA ＝5，那么∠AGB ＝∠BAG ． 又因为∠ABD ＝∠AGB ＋∠BAG ，所以此时∠AGB ＝12∠ABD ． 此时S △ABG ＝10．如图4，作AH ⊥BD 于H ，点G 关于直线AH 的对称点为G ′，那么G ′H ＝GH ＝8． 所以BG ′＝BH ＋G ′H ＝11．此时S △ABG ′＝22．图3 图4 图5 考点伸展第（3）题也可以从∠ABD 的平分线开始思考： 如图5，作∠ABD 的平分线与y 轴交于点C ．因为∠1＝∠2，∠1＝∠C ，所以∠2＝∠C ．所以AC ＝AB ＝5．过点A 作BC 的平行线交抛物线的对称轴于点G ，那么四边形CAGB 是平行四边形．所以∠1＝∠G ，BG ＝AC ＝5．所以∠AGB ＝12∠ABD ．此时S △ABG＝10．求点G ′的过程同上．【例3】在平面直角坐标系中，抛物线235y x bx c =-++与y 轴角于点(0,3)A ，与x 轴的正半轴交于点(5,0)B ，点D 在线段OB 上，且1OD =，联结AD 、将线段AD 绕着点D 顺时针旋转°90得到线段DE过点E 作直线x l ^轴，垂足为H ，交抛物线于点F ． （1）求这条抛物线的解析式；）求这条抛物线的解析式； （2）联结DF ，求cot EDF Ð的值；的值；（3）点G 在直线l 上，且45EDG °Ð=，求点G 的坐标．的坐标．xyHFEDABO参考答案：（1）2312355y x x =-++； （2）25cot 5EDF Ð=； （3）3(4,6)(4,)2E 或． 满分解答（1）因为抛物线与x 轴交于点B (5, 0)，设，设3(5)()5y x x m =---，代入点A (0, 3)， 得－3m ＝3．所以m ＝－1．所以23312(5)(1)3555y x x x x =--+=-++．（2）如图2，由△AOD ≌△DHE ，得DH ＝AO ＝3，EH ＝DO ＝1．所以E (4, 1)． 由3(4)(5)(1)35fx x =--+=，得F (4, 3)． 由D (1, 0)、F (4, 3)、E (4, 1)，可得∠，可得∠DFE ＝45°，DF ＝32，EF ＝2． 如图3，作EM ⊥DF 于M ，那么EM ＝FM ＝2．在Rt △DEM 中，EM ＝2，DM ＝DF －FM ＝22，所以DE ＝10．所以cos ∠EDF ＝DM DE ＝2210＝255．图2 图3 （3）符合条件的点G 有两个：①如图4，当点G 在DE 上方时，由∠EDG ＝∠EFD ＝45°，∠DEG 是公共角，可得△EDG ∽△EFG ． 所以ED 2＝EF ·EG ．所以10＝2EG ．所以EG ＝5．此时G (4, 6)．②如图5，当G ′在DE 下方时，△GDG ′是直角三角形．此时DH 2＝HG ·HG ′．所以9＝6HG ′．所以HG ′＝32．此时G ′(4,32)．图4 图5 xyHHF EDABOxyxyGF G'H EDABOGHF EDA BO【例4】已知顶点为(2,1)A -的抛物线经过点(0,3)B ，与x 轴交于C 、D 两点（点C 在点D 的左侧）； （1）求这条抛物线的表达式；）求这条抛物线的表达式；（2）联结AB 、BD 、DA ，求△ABD 的面积；的面积；（3）点P 在x 轴正半轴上，如果45APB °Ð=，求点P 的坐标．的坐标．xyO参考答案：（1）243y x x =-+； （2）3； （3）(36,0)+ ．满分解答（1）设抛物线的顶点式为y ＝a (x －2)2－1，代入点B (0, 3)，得，得a ＝1． 所以这条抛物线的解析式为y ＝(x －2)2－1＝x 2－4x ＋3． （2）由y ＝x 2－4x ＋3＝(x －1)(x －3)，得C (1, 0)，D (3, 0)．如图2，由A (2,－1)、B (0, 3)、D (3, 0)，可得∠，可得∠BDO ＝45°，∠ADO ＝45°，BD ＝32，AD ＝2． 所以S △ABD ＝12AD BD ×＝12322´´＝3． （3）如图3，以AB 为斜边构造等腰直角三角形GAB ，以G 为圆心、GB 为半径画圆，与x 轴交于点P （圆与x 轴右侧的一个交点），根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可知∠APB ＝45°．如图4，由△BMG ≌△GNA ，得BM ＝GN ，MG ＝NA ．设G (m , n )，那么m ＝n ＋1，3－n ＝m －2．解得m ＝3，n ＝2．所以G (3, 2)． 设P (x, 0)．根据．根据GB 2＝GP 2，列方程32＋12＝(x －3)2＋22．解得(36,0)+，或(36,0)-（这是圆与x 轴左侧的交点的横坐标，此时∠APB ＝135°）．所以点P 的坐标为(36,0)+．图2 图3 图4 【裴文通老师和顾晓琴老师提供的解法】因为∠BDO ＝45°＝∠1＋∠3，∠APB ＝45°＝∠2＋∠3，∠ADO ＝45°＝∠2＋∠4， 所以∠1＝∠2，∠3＝∠4． 所以△PBD ∽△APD ．所以DP DADB DP=．于是DP 2＝DA ·DB ＝232´＝6． 所以DP ＝6，OP ＝36+．所以P (36,0)+．图5 x y D CABO P x yD CABO P【例5】已知在平面直角坐标系xOy 中，二次函数2y x mx n =-++的图像经过点(3,0)A ，(,1)B m m +，且与y 轴相交于点C ；（1）求这个二次函数的解析式并写出其图像顶点D 的坐标；的坐标； （2）求CAD Ð的正弦值；的正弦值；（3）设点P 在线段DC 的延长线上，且PAO CAD Ð=Ð，求点P 的坐标．的坐标．xyO参考答案：（1）223y x x =-++，顶点(1,4)； （2）1010； （3）33(,)22-，(6,3)--．满分解答（1）将A (3, 0)、B (m , m ＋1)两点分别代入y ＝－x 2＋mx ＋n ，得930,1.m nn m -++=ìí=+î 解得m ＝2，n ＝3．所以y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4．所以C (0, 3)，顶点，顶点D (1, 4)． （2）如图2，作DE ⊥y 轴于E ．由A (3, 0)、C (0, 3)、D (1, 4)，可得∠，可得∠ACO＝∠DCE ＝45°，AC ＝32，DC ＝2． 所以∠ACD ＝90°．所以AD 2＝AC 2＋DC 2＝18＋2＝20．所以AD ＝25． 所以tan ∠CAD ＝DCAC ＝232＝13，sin ∠CAD ＝DC AD ＝225＝1010．（3）直线CD 的解析式为y ＝x ＋3，于是可设P (x , x ＋3)． 作PH ⊥x 轴于H ，当∠P AO ＝∠CAD 时，由tan ∠P AO ＝tan ∠CAD ，得13PH AH =．①当P 在x 轴上方时，3133x x +=-．解得32x =-．此时P 33(,)22-（如图2所示）． ②当P 在x 轴下方时，(3)133x x -+=-．解得x ＝－6．此时P (－6,－3)（如图3所示）．图2 图3 【例6】如图，在平面直角坐标系中xOy 中，抛物线2y x bx c =-++与x 轴相交于点A (-1,0)和点B ，与y 轴相交于点C (0,3)，抛物线的顶点为点D ，联结AC 、BC 、DB 、DC ． （1）求这条抛物线的表达式及顶点D 的坐标；的坐标； （2）求证：△ACO ∽△DBC ；（3）如果点E 在x 轴上，且在点B 的右侧，∠BCE=∠ACO ，求点E 的坐标．y xBDCA Oy x EHBDCA O参考答案：（1）223=-++y x x ，(1,4)D ； （2）略； （3）(6,0)E ．满分解答（1）由抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 与x 轴相交于点A (－1, 0)，设，设y ＝－(x ＋1)(x －m )． 代入点C (0, 3)，得，得m ＝3．所以y ＝－(x ＋1)(x －3)＝－(x 2－2x －3)＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4． 所以点B 的坐标为(3, 0)，顶点，顶点D 的坐标为(1, 4)． （2）如图2，由B (3, 0)、C (0, 3)、D (1, 4)，可知B 、C 两点间的水平距离、竖直距离都是3，C 、D 两点间的水平距离、竖直距离都是1．因此BC 、DC 与y 轴的夹角都是45°．所以∠BCD ＝90°，tan ∠DBC ＝DC BC ＝232＝13．由A (－1, 0)、C (0, 3)，得，得OA ＝1，OC ＝3，所以tan ∠ACO ＝OA OC ＝13． 所以∠ACO ＝∠DBC ．所以△ACO ∽△DBC ．（3）设CE 与BD 交于点G ．由∠BCE ＝∠ACO ＝∠DBC ，得GB ＝GC ． 于是可得CG 是Rt △DBC 斜边上的中线，点G 是BD 的中点．所以G (2, 2)． 作GH ⊥y 轴与H ，那么CH CO GH EO =，即132EO=．解得EO ＝6．所以E (6, 0)．图2 图3 图4 【1】如图，抛物线25y ax bx =+-（0a ¹）经过点(4,5)A -，与x 轴的负半轴交于点B ，与y 轴交于点C ，且5OC OB =，抛物线的顶点为D ． （1）求这条抛物线的表达式；）求这条抛物线的表达式；（2）联结AB 、BC 、CD 、DA ，求四边形ABCD 的面积；的面积；（3）如果点E 在y 轴的正半轴上，且BEO ABC Ð=Ð，求点E的坐标．【参考答案】解：（1）∵抛物线25y ax bx =+-与y 轴交于点C ， ∴(0,5)C -， ∴5OC =．∵5OC OB =， ∴1OB =．又点B 在x 轴的负半轴上， ∴(1,0)B -．∵抛物线经过点(4,5)A -和点(1,0)B -， ∴1645550a b a b +-=-ìí--=î，解得14a b =ìí=-î． ∴这条抛物线的表达式为245y x x =--．（2）由245y x x =--，得顶点D 的坐标是(2,9)-．联结AC ．∵点A 的坐标是(4,5)-，点C 的坐标是(0,5)-， 又145102ABC S D =´´=，14482ACD S D =´´=，∴18ABC ACD ABCD S S S D D =+=四边形．（3）过点C 作CH AB ^，垂足为点H ．∵1102ABC S AB CH D =´´=，52AB =， ∴22CH =． 在RtBCH D 中，90BHC Ð=°，26BC=，2232BH BC CH =-=；∴2tan 3CH CBH BH Ð==． 在Rt BOE D 中，90BOE Ð=°，tan BOBEO EOÐ=， ∵BEO ABC Ð=Ð， ∴23BO EO =，得32EO =， ∴点E 的坐标为3(0,)2． 达标检测【2】 如图，抛物线25y x bx =++与x 轴交于点A 与(5,0)B 点，与y 轴交于点C ，抛物线的顶点为点P ． （1）求抛物线的表达式并写出顶点P 的坐标；的坐标；（2）在x 轴上方的抛物线上有一点D ，若ABD ABP ?，试求点D 的坐标；的坐标； （3）设在直线BC 下方的抛物线上有一点Q ，若15BCQ S D =，试写出点Q 坐标．坐标．xyPA CB O 参考答案：（1）265y x x =-+，(3,4)P -； （2）(1,12)D -； （3）(2,3)(3,4)Q --或．满分解答 （1）将点B (5, 0)代入代入y ＝x 2＋bx ＋5，得．解得b ＝－6． 所以y ＝x 2－6x ＋5＝－(x －3)2－4，顶点P 的坐标为(3,－4)． （2）如图2，作DN ⊥x 轴于N ．设抛物线的对称轴与x 轴交于点M ．由tan ∠ABD ＝tan ∠ABP ，得DN PM BN BM =． 设点D 的坐标为(x , x 2－6x ＋5)，那么2654252x x x -+==-． 解得x ＝－1．所以点D 的坐标为(－1, 12)．图2 图3 （3）由B (5, 0)、C (0, 5)，可知，可知BC ＝52，直线B C 与x 轴负半轴的夹角为45°．设BC 边上的高为h ，那么S △BCQ ＝1522h ´＝15．解得32h =． 如图3，设y 轴上点C 下方的点G 到直线BC 的距离GH ＝32，那么CG ＝6，G (0,－1)． 过点G 作BC 的平行线与抛物线的交点就是要求的点Q ，这条直线为y ＝－x －1．解方程组21,65,y x y x x =--ìí=-+î 得2,3,x y =ìí=-î或3,4.x y =ìí=-î 所以Q (2,－3)或(3,－4)． x yl FEG P ACB O Qx yDP A CB O H【练习1】如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21y ax bx =+-经过点(2,1)A -，它的对称轴与x 轴相交于点B ；（1）求点B 的坐标；的坐标；（2）如果直线1y x =+与此抛物线的对称轴交于点C 、与抛物线在对称轴右侧交于点D ，且BDC ACBÐ=Ð，求此抛物线的表达式．，求此抛物线的表达式．课后作业【 参考答案】（1）(1,0)B ；（2）2510133y x x =--． 满分解答（1）将点A (2,－1)代入y ＝ax 2＋bx －1，得1－＝4a ＋2b －1．所以b ＝－2a ． 抛物线的对称轴x ＝2b a -＝22a a--＝1．所以点B 的坐标为(1, 0)． （2）如图2，由y ＝x ＋1，得C (1, 2)．所以．所以BC ＝2．由A (2,－1)、B (1, 0)，得，得2BA =，∠2＝45°．因为直线y ＝x ＋1与坐标轴的夹角为45°，由此可知∠1＝45°．所以∠1＝∠2． 根据等角的邻补角相等，可知∠DCB ＝∠CBA ．当∠BDC ＝∠ACB 时，△DCB ∽△CBA ．所以DC CB CB BA =，即222DC =． 所以22DC =．因此D 、C 两点间的水平距离、竖直距离都是2．所以D (3, 4)．将点D (3, 4)代入代入y ＝ax 2－2ax －1，得4＝9a －6a －1．解得53a =． 所以抛物线的表达式是2510133y x x =--．。

二次函数与角度存在性-含答案

二次函数与角度存在性-含答案

二次函数与角度存在性评卷人得分一．解答题（共40小题）1．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，且抛物线经过B（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于点A．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，在抛物线的对称轴直线x＝﹣1上找一点M，使点M到点B的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；（3）如图2，点Q为直线AC上方抛物线上一点，若∠CBQ＝45°，请求出点Q坐标．2．如图，已知点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，1）在抛物线y＝ax2+bx+c上．（1）求抛物线解析式；（2）在直线BC上方的抛物线上求一点P，使△PBC面积为1；（3）在x轴下方且在抛物线对称轴上，是否存在一点Q，使∠BQC＝∠BAC？若存在，求出Q点坐标；若不存在，说明理由．3．已知抛物线y＝x2+c与x轴交于A（﹣1，0），B两点，交y轴于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点E（m，n）是第二象限内一点，过点E作EF⊥x轴交抛物线于点F，过点F作FG⊥y轴于点G，连接CE、CF，若∠CEF＝∠CFG．求n的值并直接写出m的取值范围（利用图1完成你的探究）．（3）如图2，点P是线段OB上一动点（不包括点O、B），PM⊥x轴交抛物线于点M，∠OBQ＝∠OMP，BQ交直线PM于点Q，设点P的横坐标为t，求△PBQ的周长．4．如图，直线y＝﹣3x+3与x轴、y轴分别交于A，B两点，抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线y ＝c分别交y轴的正半轴于点C和第一象限的点P，连接PB，得△PCB≌△BOA（O为坐标原点）．若抛物线与x轴正半轴交点为点F，设M是点C，F间抛物线上的一点（包括端点），其横坐标为m．（1）直接写出点P的坐标和抛物线的解析式；（2）当m为何值时，△MAB面积S取得最小值和最大值？请说明理由；（3）求满足∠MPO＝∠POA的点M的坐标．5．如图，在平面直角坐标系中，顶点为A（1，﹣1）的抛物线经过点B（5，3），且与x轴交于C，D两点（点C在点D的左侧）．（1）求抛物线的解析式；（2）求点O到直线AB的距离；（3）点M在第二象限内的抛物线上，点N在x轴上，且∠MND＝∠OAB，当△DMN与△OAB相似时，请你直接写出点M的坐标．6．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c的顶点D的坐标为（1，﹣），且与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，A点的坐标为（4，0）．P点是抛物线上的一个动点，且横坐标为m．（l）求抛物线所对应的二次函数的表达式；（2）若动点P满足∠P AO不大于45°，求P点的横坐标m的取值范围；（3）当P点的横坐标m＜0时，过P点作y轴的垂线PQ，垂足为Q．问：是否存在P 点，使∠QPO＝∠BCO？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．7．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣5（a≠0）与x轴交于点A（﹣5，0）和点B（3，0），与y轴交于点C．（1）求该抛物线的解析式；（2）若点E为x轴下方抛物线上的一动点，当S△ABE＝S△ABC时，求点E的坐标；（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P，使∠BAP＝∠CAE？若存在，求出点P 的横坐标；若不存在，请说明理由．8．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3a经过A（﹣1，0）、C（0，﹣3）两点，与x轴交于另一点B．（1）求此抛物线的解析式；（2）已知点D（m，﹣m﹣1）在第四象限的抛物线上，求点D关于直线BC对称的点D'的坐标．（3）在（2）的条件下，连接BD，问在x轴上是否存在点P，使∠PCB＝∠CBD？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣3ax﹣4a的图象经过点C（0，2），交x轴于点A、B（A点在B点左侧），顶点为D．（1）求抛物线的解析式及点A、B的坐标；（2）将△ABC沿直线BC对折，点A的对称点为A′，试求A′的坐标；（3）抛物线的对称轴上是否存在点P，使∠BPC＝∠BAC？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．10．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A、B，与直线AC：y＝﹣x﹣6交y轴于点C，点D是抛物线的顶点，且横坐标为﹣2．。

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2020中考数学 培优专题：角度和角度关系的存在性问题（含答案）例题1. 如图，抛物线24y ax bx a =+-经过(1,0)A -，(0,4)C 两点，与x 轴交于另一点B ．（1）求抛物线的解析式；（2）已知点(,1)D m m +在第一象限的抛物线上，连接BD ，在抛物线上是否存在点P 使得45DBP ∠=︒？若存在，请求出点P 的坐标；不存在，说明理由．【答案】（1）∵抛物线24y ax bx a =+-经过(1,0)A -，(0,4)C 两点， ∴4044a b a a --=⎧⎨-=⎩，解得13a b =-⎧⎨=⎩∴抛物线的解析式为234y x x =-++．（2）∵点(,1)D m m +在抛物线上，∴2134m m m +=-++， 即2230m m --=，∴1m =-或3m =． ∵点D 在第一象限，∴点D 的坐标为4)(3,． 过点D 作BD 的垂线交直线PB 于点Q ，过点D 作DH x ⊥轴于H ．过Q 点作QG DH ⊥于G ． ∵45PBD ∠=︒,∴QD DB =．∴90QDG BDH ∠+∠=︒， 又90DQG QDG ∠+∠=︒，∴DQG BDH ∠=∠．∴QDG DBH △≌△，∴4QG DH ==，1DG BH ==． 由（2）知(3,4)D ，∴(1,3)Q -．∵(4,0)B ，∴直线BP 的解析式为31255y x =-+．∴23431255y x x y x ⎧=-++⎪⎨=-+⎪⎩，得1140x y =⎧⎨=⎩，22256625x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴点P 的坐标为266,525⎛⎫- ⎪⎝⎭．例题2. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线2y ax bx c =++经过点(3,0)A -、(0,3)B 、(1,0)C 三点．（1）求抛物线的解析式和顶点D 的坐标；（2）将抛物线的对称轴绕抛物线的顶点D 顺时针旋转60︒，与直线y x =-交于点N ．在直线DN 上是否存在点M ，使得75MON ∠=︒．若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由；【答案】（1）由题意把(3,0)A -、(0,3)B 、(1,0)C 代入2yax bx c =++ ∴93030a bcca b c -+=⎧⎪=⎨⎪++=⎩，解得123a b c =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩ ．∴抛物线的解析式是223y x x =--+．∵2223(1)4y x x x =--+=-++， ∴抛物线的顶点D 的坐标为(1,4)-． （2）存在，理由：方法（一）：由旋转得60EDF ∠=︒，在Rt DEF △中，∵60EDF ∠=︒，4DE =， ∴tan 60EF DE =⨯︒=1OF OE EF =+=+ ∴F 点的坐标为(10)--．设过点D 、F 的直线解析式是y x b κ=+， 把(1,4)D -，(10)F --代入求得4y x =+． 分两种情况:①当点M 在射线ND 上时， ∵75MON ∠=︒，45BON ∠=︒， ∴30MOB MON BON ∠=∠∠=︒﹣． ∴60MOC ∠=︒．∴直线OM 的解析式为y =．∴4y x y ⎧=++⎪⎨⎪=⎩解得，126xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．∴点M的坐标为1,62⎛⎝⎭．②当点M在射线NF上时，不存在点M使得75MON∠=︒理由：∵75MON∠=︒，45FON∠=︒，∴30FOM MON FON∠=∠∠=︒－.∵30DFE∠=︒，∴FOM DFE∠=∠．∴//OM FN．∴不存在综上所述，存在点M，且点M的坐标为1,62⎛+⎝⎭．方法（二）①M在射线ND上，过点M作MP x⊥轴于点P，由旋转得60EDF∠=︒，在Rt DEF△中，∵60EDF∠=︒，4DE=∴tan60EF DE=⨯︒=1OF OE EF==+﹢∵75MON∠=︒，45BON∠=︒，∴30MOB MON BON∠=∠-∠=︒．∴60MOC∠=︒．在Rt MOP△中，∴MP．在Rt MPF△中，∵tanMPMFPPF∠=，=12OP=．∴6MP=∴M点坐标为1,62⎛+⎝⎭．②M在射线NF上，不存在点M使得75MON∠=︒理由：∵75MON∠=︒，45FON∠=︒，∴30FOM MON FON∠=∠∠=︒﹣．∵30DFE∠=︒．∴FOM DFE∠=∠．∴//OM DN．∴不存在．…综上所述，存在点M，且点M的坐标为1,62⎛+⎝⎭．例题3. 如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数212y x bx c=++的图象经过点(3,6)A-并与x轴交于点(1,0)B-和点C，顶点为P．（1）求二次函数的解析式；（2）设D为线段OC上的一点，若DPC BAC ∠=∠，求点D 的坐标．【答案】（1）将点36A -（，），10B -（，）代入212y x bx c =++中，得936,210.2b c b c ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩ 解得 1,3.2b c =-⎧⎪⎨=-⎪⎩ ∴二次函数的解析式为21322y x x =--． （2）令0y =，得213022x x --=，解得11x =-，23x =．∴点C 的坐标为(3,0)．∵22131(1)2222y x x x =--=--，∴顶点P 的坐标为(1,2)-．过点A 作AE x ⊥轴，过点P 作PF x ⊥轴，垂足分别为E ，F ． 易得45ACB PCD ∠=∠=︒． AC == PC ==又DPC BAC ∠=∠，∴ACB PCD △∽△．∴BC ACCD PC=．∵3(1)4BC =--=， ∴43BC PC CD AC ⋅==． ∴45333OD OC CD =-=-=．∴点D 的坐标为5,03⎛⎫⎪⎝⎭．例题4. 如图，已知抛物线2y ax bx c =++的对称轴为直线2x =，且与x 轴交于A 、B 两点．与y 轴交于点C ．其中(1,0)A ，(0,3)C -． （1）求抛物线的解析式；（2）若点P 在抛物线上运动（点P 异于点A ），当PCB BCA ∠=∠时，求点P 的坐标．【答案】（1）由题意，得0322a b c c b a⎧⎪++=⎪=-⎨⎪⎪-=⎩，解得143a b c =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩，∴抛物线的解析式为243y x x =-+-．（2）令2430x x -+-=，解得11x =，23x =，∴(3,0)B ，∴OB OC =，∴45OCB OBC ∠=∠=︒，设直线CP 的解析式为3y kx =-，如图，延长CP 交x 轴于点Q ，设OCA α∠=，则45ACB α∠=︒-，∵PCB BCA ∠=∠，∴45PCB α∠=︒-，∴OQC OBC PCB α∠=∠-∠=，∴OCA OQC ∠=∠，又∵90AOC COQ ∠=∠=︒，∴Rt Rt AOC COQ △∽△，∴OA OC OC OQ =，∴133OQ =，∴9OQ =，∴(9,0)Q ，∴直线CP 的解析式为133y x =-．∴243133y x x y x ⎧=-+-⎪⎨=-⎪⎩，得1103x y =⎧⎨=-⎩，22113169x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩．∴点P 的坐标为1116,39⎛⎫- ⎪⎝⎭．例题5. 如图，已知抛物线22(3)2(3)4y m x m x m m =-+-+-的顶点A 在双曲线3y x=上，直线y mx b =+经过点A ，与y 轴交于点B ，与x 轴交于点C .（1）确定直线AB 的解析式．（2）将直线AB 绕点O 顺时针旋转90︒, 与x 轴交于点D , 与y 轴交于点E , 求sin ∠BDE 的值．（3）过点B 作x 轴的平行线与双曲线交于点G ，点M 在直线BG 上，且到抛物线的对称轴的距离为6．设点N 在直线BG 上，请你直接写出使得45AMB ANB ∠+∠=︒的点N 的坐标．（1）2222(3)(21)43(3)(1)5 3.y m x x m m m m x m m =--++--+=--+-- ∴2(1,53)A m m -+-.∵点A 在双曲线3y x=上，∴3xy =. 2533m m -+-=，解得2m =，3m =（不合题意，舍去）.∴2m =，A (1, 3).∵直线y mx b =+经过点A ，∴321b =⨯+. 1.b = 故直线AB 的解析式为21y x =+，（2）由21y x =+，可得(0,1)B ，1,02C ⎛⎫- ⎪⎝⎭.将直线AB 绕点O 顺时针旋转90︒，得点B 的对应点为(1,0)D ，点C 的对应点为10,2E ⎛⎫⎪⎝⎭.可得直线DE 的解析式为1122y x =-+，由211122y x y x =+⎧⎪⎨=-+⎪⎩，得两直线交点为13,55F ⎛⎫- ⎪⎝⎭，可得DE BC ⊥，BDBF =，∴sin B D F BD B E ∠=. （2）1(5,1)N ，2(3,1)N -.例题6. 抛物线(3)(1)y x x =-+与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C ，点D 为顶点．（1）求点B 及点D 的坐标；（2）连结BD ，CD ，抛物线的对称轴与x 轴交于点E ．①若线段BD 上一点P ，使DCP BDE ∠=∠，求点P 的坐标；②若抛物线上一点M ，作M N CD ⊥，交直线CD 于点N ，使CM N BD E ∠=∠，求点M 的坐标．【答案】备yO CA DE备用图（1）(3,0)B ，(1,4)D -．（2）①(0,3)C -，(1,0)E ，连接BC ，过点C 作CH DE ⊥，交DE 于点H ，∴(1,3)H -，∴1CH DH ==， ∴45CDH BCO BCH ===︒∠∠∠，∴CD =CB =BCD △为直角三角形．分别延长PC ，DC 与x 轴交于点Q ，R ，则B D E DC P Q C R ==∠∠∠，45CDB CDE BDE DCP =+=︒+∠∠∠∠，∴CDB QCO =∠∠，∴BCD QOC △∽△， ∴13OC CD OQ CB ==， ∴9OQ =，即(9,0)Q -，∴直线CQ 解析式为133y x =--，直线BD 解析式为26y x =-，由方程组13326y x y x ⎧=--⎪⎨⎪=-⎩，， 解得97247x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，，∴924,77P ⎛⎫- ⎪⎝⎭．②1）当点M 在对称轴右侧时， 若点N 在射线CD 上，如图2，延长MN 交y 轴于点F ，过点M 作MG y ⊥轴， ∵CMN BDE =∠∠，∴MCN DBE △∽△， ∴12CN BE MN DE ==，∴2MN CN =， 设CN a =，则2MN a =， ∵45CDE DCF ==︒∠∠，∴CNF △，MGF △均为等腰直角三角形， ∴NF a =，CF =， ∴3MF MN NF a =+=，∴2MG FG ===，∴CG FG FC =-==，∴,3M ⎫-+⎪⎪⎝⎭， 代入抛物线(3)(1)y x x =-+，解得a =，∴720,39M ⎛⎫- ⎪⎝⎭．若点N 在射线DC 上，如图3， MN 交y 轴于点F ，过点M 作MG y ⊥轴，交y 轴于点G ， ∵CMN BDE =∠∠，∴MCN DBE △∽△，∴12CN BE MN DE ==，∴2MN CN =， 设CN a =，则2MN a =， ∵45CDE =︒∠，∴CNF △，MGF △均为等腰直角三角形，∴NF a =，CF =， ∵45CDE =︒∠，∴CNF △，MGF △均为等腰直角三角形，∴NF a =，CF =，∴MF MN NF a =-=，∴2MG FG ==，∴CG FG FC =+==，∴,3M ⎫-+⎪⎪⎝⎭，代入抛物线(3)(1)y x x =-+，解得a =(5,12)M ． 2）当点M 在对称轴左侧时，∵45CMN BDE =<︒∠∠，∴45MCN >︒∠，而抛物线左侧任意一点K ，都有45KCN <︒∠，∴点M 不存在．综上所述，点M 坐标为720,39⎛⎫- ⎪⎝⎭，(5,12）．例题7. 如图直线12y x m =+与抛物线2y x bx c =-++交于C 、D 两点，其中点C 在y 轴上，点D 的坐标为53,2⎛⎫⎪⎝⎭，点P 是y 轴右侧的抛物线上一动点，过点P 作PE x ⊥轴于点E ，交CD 于点F .（1）求一次函数和抛物线的解析式．（2）若点P 的横坐标为t ，当t 为何值时，四边形OCPF 是平行四边形？请说明理由． （3）在CD 上方是否存在点P ，使45PCF ∠=︒，若存在，求出相应的点P 的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】 （1）D 在12y x m =+图像上，代53,2D ⎛⎫⎪⎝⎭入12y x m =+，1m ∴=，112y x =+．令0x =，1y =，(0,1)c ∴，21y x bx =-++∴将53,2D ⎛⎫⎪⎝⎭代入，72b =，2712y x x ∴=-++，（2）若四边形OCPF 为平行四边形，则CO PF =且//CO PF ，设27,12P t t t ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，1,12F t t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，27111122PF t t t ⎛⎫∴=-++-+= ⎪⎝⎭，解得，1t =，2t ； （3）如图，过P 作PN CD ⊥于N ，过C 作CM PE ⊥于M ，在Rt PNF △和Rt CMF △中：90PNF CMF PFN CFM ∠=∠=︒⎧⎨∠=∠⎩Rt Rt PNF CMF ∴△∽△，设27,12P a a a ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭(03)a <<则1,12F a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭CM a ∴=，12FM a =，CF = CF CM PF PN=，即223a a a PN =-+，2PN =12FN FM PN CM ==，2FN ∴=+若45PCF ∠=︒，则PN CN=，即22+=，解得12a =，15,22P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭.例题8. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，以直线1x =为对称轴的抛物线2y ax bx c =++与x 轴从左至右依次交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，且4AB =，点32,2D ⎛⎫⎪⎝⎭在抛物线上，直线l 是一次函数2(0)y kx k =-≠的图象．（1）求抛物线的解析式；（2）如果直线l 平分四边形OBDC 的面积，求k 的值； （3）将抛物线作适当平移，求解与探究下列问题；i ）若将抛物线2y ax bx c =++向下平移m 个单位长度后，恰与第（2）问中的直线l 有且只有一个公共点，求m 的值；ii ）把抛物线2y ax bx c =++向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线与直线l 交于M ，N 两点，请在备用图中画出草图，并探究：在y 轴正半轴上是否存在一定点P ，使得无论k 取何值，MPN ∠总被y 轴平分？若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线的对称轴为1x =，且4AB = (1,0)A ∴-，(3,0)B 则抛物线解析式为(1)(3)y a x x =+-代32,2D ⎛⎫⎪⎝⎭入(1)(3)y a x x =+-，解得12a =-21322y x x ∴=++（2）由（1）易得30,2C ⎛⎫⎪⎝⎭，32,2D ⎛⎫⎪⎝⎭//CD OB ∴ 设直线l 分别与OB 、CD 相交于E 、F 直线l 解析式2y kx =-，令0y =，2x k =，2,0E k ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 令32y =，72x k =，73,22F k ⎛⎫⎪⎝⎭， 则2OE k =，23BE k =-，72CF k =，722DF k=-，若l 平分四边形OBDC ，则OEFC FDBE S S =梯形梯形，11()()22OE CF OC FD BE OC +⋅=+⋅,OE CF FD BE +=+， 即27273222k k k k ⎛⎫⎛⎫+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，115k = （3）①平移后的抛物线解析式为21322y x x m =-++-则213221125y x x m y x ⎧=++-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩21670252x x m -++=由题意，3672025m =--=△，13950m =-②抛物线解析式22131(1)2222y x x x =-++=--+由题意，平移后的抛物线解析式为212y x =-如图，过M 做MD y ⊥轴，NE ⊥y 轴，由题意得MPD NPE ∠=∠，又90PDM PEN ∠=∠=︒PDM PEN ∴△∽△设(0,)P t 、(,2)M a ka -，(,2)N b kb -则MD a =-，2PD t ka =-+，NE b =，2PE t kb =-+ MD PD NE PE ∴=，即22a t kab t kb --+=-+，()22()0a b t kab a b +-++= M 、N 是抛物线与直线交点，2212y kx y x =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，21202x kx +-=2a b k ∴+=-，4ab =-，2840kt k k ∴-+-=，2t =，则在y 轴正半轴上存在(0,2)P ，使得不论k 取何值，MPN ∠总被y 轴平分.例题9. 如图1，已知直线y kx =与抛物线2422273y x =-+交于点36A （，）． （1）求直线y kx =的解析式和线段OA 的长度．（2）点P 为抛物线第一象限内的动点，过点P 作直线PM ，交x 轴于点M （点M 、O 不重合），交直线OA 于点Q ，再过点Q 作直线PM 的垂线，交y 轴于点N ．试探究：线段QM 与线段NQ 的长度之比是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，说明理由． （3）如图2，若点B 为抛物线上对称轴右侧的点，点E 在线段OA 上（与点O 、A 不重合），点(,0)D m 是x 轴正半轴上的动点，且满足BAE BED ∠=∠ AOD =∠．继续探究：m 在什么范围时，符合条件的E 点的个数分别是1个、2个？答图1答图2【答案】（1）把点3,6A （）代入y kx =得2k =，∴2y x =．OA ==． （2）QM QN 是一个定值，理由如下：如答图1，过点Q 作QG y ⊥轴于点G ，QH x ⊥轴于点H ． ①当QH 与QM 重合时，显然QG 与QN 重合，此时tan 2QM QH QH AOM QN QG OH ===∠=；②当QH 与QM 不重合时， ∵QN QM ⊥，QG QH ⊥不妨设点H ，G 分别在x 、y 轴的正半轴上， ∴MQH GQN ∠=∠， 又∵90QHM QGN ∠=∠=︒， ∴QHM QGN △∽△， ∴tan 2QM QH QH AOM QN QG OH===∠=， 当点P 、Q 在抛物线和直线上不同位置时，同理可得2QMQN=． （3）如答图2，延长AB 交x 轴于点F ，过点F 作FC OA ⊥于点C ， 过点A 作AR x ⊥轴于点R ， ∵AOD BAE ∠=∠， ∴AF OF =，∴12OC AC OA ==∵90ARO FCO ∠=∠=︒，AOR FOC ∠=∠，∴AOR FOC △∽△，∴OF AO OC OR ===∴152OF ==，∴点1502F ⎛⎫ ⎪⎝⎭,， 设点2422,273B x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，过点B 作BK AR ⊥于点K ，则AKB ARF △∽△，图1图2∴BK AK FR AR =，即2422632737.536x x ⎛⎫--+ ⎪-⎝⎭=-，解得16x =，23x =（舍去）， ∴点(6, 2)B ，∴633BK =-=，624AK =-=，∴5AB =；（求AB 也可采用下面的方法）设直线AF 为(0)y kx b k =+≠把点(3, 6)A ，点1502F ⎛⎫⎪⎝⎭，代入得43k =-，10b =，∴4103y x =-+，∴24103422273y x y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，∴1136x y =⎧⎨=⎩（舍去），2262x y =⎧⎨=⎩，∴(6,2)B ，∴5AB =… 在ABE △与OED △中∵BAE BED ∠=∠，∴ABE AEB DEO AEB ∠+∠=∠+∠， ∴ABE DEO ∠=∠，∵BAE EOD ∠=∠，∴ABE OED △∽△． 设OE x =，则(0AE x x =<<，由ABE OED △∽△得AE OD AB OE=mx =∴211(055m x x x x ==-+<<）∴顶点为94⎫⎪⎭如答图3，当94m =时，OE x =此时E 点有1个；当904m <<时，任取一个m 的值都对应着两个x 值，此时E 点有2个． ∴当94m =时，E 点只有1个当904m <<时，E 点有2个．答图3。

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