一元三次函数的图像性质研究

f ( x) = ax3 + bx 2 + cx + d (a ≠ 0) 的图象性质而得到它的一些
主要的性质特点和结论，如：单调性、极值、最值等.这 样，在考试中解题才会做到心中有数，得心应手.
函数f ( x) = ax3 + bx 2 + cx + d的图像当a > 0时 (a < 0时同理)的图像与性质主要有以下三种情形
1 1 ≤ 1, ≥ 1,∴ x ∈ [ 1,1]时f ( x) ↓, f ( x) ∈ [a 2, 4 a ], a a Q a 2 < 0,∴ f ( x) ≥ 0不恒成立.∴ a (0,1]
3.函数f ( x) = ax3 3x + 1对x ∈ [ 1,1]总有f ( x ) ≥ 0成立, 则a =
f ( x)在x ∈ R内单调递增.
a ± a 2 3 当 > 0,即当a > 3时,由f ′( x) = 0可求得两根为, x1,2 = . 3
2
a + a 2 3 a a 2 3 ∴ 有f ( x)在x ∈ ∞， ， ∞ 时 ↑ . + 与x ∈ 3 3
a a 2 3 a + a 2 3 在x ∈ ， ↓. 3 3
f (x) = x 3x.
3
3 x0 3 x0 m / 2 2 Q f ( x0 ) = 3 x0 3,∴ 3 x0 3 = , x0 1
整理得
2 x 3x + m + 3 = 0
3 0 2 0
3 2 令g ( x0 ) = 2 x0 3x0 + m + 3
依题意有此方 程有三个根.
x1 o x2
极值点x1 ,x2 ( x1 < x2 )
x
在x ∈ (∞, x1 ), ( x2 , +∞), f ( x) ↑, x ∈ ( x1 ,x2 ), f ( x) ↓ .
例题选讲
1.(广东)函数f ( x) = x3 3 x 2 + 1是减函数的区间为( A.(2, +∞) B.(∞, 2) C.(∞, 0) D.(0, 2)
/ 1 f ( 3 ) ≤ 0, 7 ∴有 a≥ . 4 f / ( 2 ) ≤ 0, 3
3.函数f ( x) = ax3 3x + 1对x ∈ [ 1,1]总有f ( x ) ≥ 0成立, 则a =
.
∴ f ( x ) ≥ 0不恒成立,∴ a ≠ 0.
(1)当a = 0时, f ( x) = 3x + 1, 对于x ∈ [ 1,1] , f ( x) ∈ [2, 4],
(2)当a < 0时, f / ( x) = 3ax 2 3 = 0无根, 且f / ( x) < 0.∴ x ∈ [ 1,1]时, f ( x) ↓, f ( x) ∈ [a 2, 4 a],Q a 2 < 0,∴ f ( x) ≥ 0不恒成立.
(3)当0 < a ≤ 1时,由f / ( x) = 3ax 2 3 = 0, 可得两根 且 1 1 , , a a
2.已知函数f ( x) = x 3 + ax 2 + x + 1, a ∈ R. (1)讨论函数f ( x)的单调区间; 2 1 (2)设函数f ( x)在区间( , )内是减函数, 求a的取值范围. 3 3
2 1 (2)函数在 ， 内递减, 说明f / ( x) = 0有两个实根,且一个 3 3 1 2 大于或等于 ,一个小于或等于 . 3 3
点评：作为一个填空题，此题还是有一定的难度的. 点评：作为一个填空题，此题还是有一定的难度的.用导 数的手段解此题，要用导数来判断函数的单调性、极值、 数的手段解此题，要用导数来判断函数的单调性、极值、 最值及两者之间的相互关系. 最值及两者之间的相互关系.同时此题还考查了函数恒成立 的问题及分类讨论的思想等， 的问题及分类讨论的思想等，因此考查的信息量还是比较 大的，是个很好的题.如果把此题做成一个解答题， 大的，是个很好的题.如果把此题做成一个解答题，也同样 是个好题，更能展现学生应用导数解决问题的基本能力. 是个好题，更能展现学生应用导数解决问题的基本能力.
(4)当a > 1时, f / ( x) = 0的两根还是
4
.
1 1 1 1 与 ,且 > 1, < 1, a a a a 1 1 1 1 ∴ x ∈ [1, ]与[ ,1]时, f ( x) ↑; x ∈ ( , ),时f ( x) ↓, a a a a 1 ∴ x ∈ [ 1,1]时, 只有f (1) ≥ 0与f ( ) ≥ 0成立(因为这两点是函数最 a 小值可能的产生处), f ( x ) ≥ 0才能恒成立,由f (1) ≥ 0 a ≤ 4, f( 1 ) ≥ 0 a ≥ 4,∴ a = 4. a
∴ f ( x) = x 3x.
3
4.已知f ( x) = ax3 + bx 2 3 x在x = ±1处取得极值. (1)求函数f ( x)的解析式. 求实数m的取值范围.
2 (2) Q m ≠ 2, 可得点A不在曲线上, 设曲线上的切点为( x0 , x0 3x0 )
(2)若过点A(1, m)(m ≠ 2)可作曲线y = f ( x)的三条切线,
4.已知f ( x) = ax3 + bx 2 3x在x = ±1处取得极值. (1)求函数f ( x)的解析式. (2)若过点A(1, m)( m ≠ 2)可作曲线y = f ( x)的三条切线, 求实数m的取值范围.
略解：(1)
f ( x) = 3ax + 2bx 3,
/ 2
依题意有
f / (1) = 0, a = 1, b = 0. / f (1) = 0,
y
f ( x)
y
o
图1
f / ( x)
o
图1中函数f ( x)在x ∈ R
x
x
严格递增,没有极值点;
y
f ( x)
y
f / ( x)
图2中函数f ( x)在x ∈ R 严格递增,有一拐点x0 ;
o x0 x
图2
o y
x0
x
y
xx) 图3中函数f ( x)有两个
x
图3
对函数f ( x) = ax 3 + bx 2 + cx + d (a ≠ 0)的图像性质研究
导数是新课标下高考的必考内容之一，利用导数研究函数的 性质，主要是利用导数求函数的单调区间、极值和最值等，这 些年来也是高考的重点.考纲的主要要求有：(1)导数的概念及其 意义；(2)导数的运算；(3)导数在研究函数中的应用.其中第（3） 点有两个小点：①了解函数单调性和导数的关系；能利用导数 研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般 不超过三次).②了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件； 会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过 三次);会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一 般不超过三次).括号中的内容：其中多项式函数一般不超过三次. 这提示着我们，如果考与多项式有关的导数问题，多项式函数 中一元三次函数是重点.从近几年各地的高考题来看这一点也是 值得肯定的，特别是文科的高考题.基于导数高考大纲多项式函 数中一元三次函数的重要地位，因此我们有必要着重于对一元 三次函数的图象进行深入的研究，其目的在于通过研究函数
D
)
点评：三次方的系数大于0，函数的单调区间两增 点评：三次方的系数大于 ， 一减，增区间的长度是无限的， 一减，增区间的长度是无限的，减区间的长度是 有限的，故不必动手便可得答案. 有限的，故不必动手便可得答案
2.已知函数f ( x) = x 3 + ax 2 + x + 1, a ∈ R. (1)讨论函数f ( x)的单调区间; 2 1 (2)设函数f ( x)在区间( , )内是减函数, 求a的取值范围. 3 3 解： f ′( x) = 3 x 2 + 2ax + 1, 当 ≤ 0, 即当a 2 ≤ 3时, f ′( x) ≥ 0, (1)
2 g / ( x0 ) = 6 x0 6 x0 = 0得x0 = 0, x0 = 1.
g (0) > 0, 3 < m < 2. g (1) < 0,