2014年杭州市第十四中学保送生考试数学试卷

2014年杭十四中保送生综合能力测试数学试卷

一、选择题（每小题5分，共30分）

1．（ ）设a 、b 、c 均为不等于1的正数，且236a b c -==，则abc 的值为 （A ）3 （B ）2

（C ）1

（D ）

1

2

2．（ ）一只盒子中有红球m 个，白球10个，黑球n 个，每个球除颜色外都相同，从中任取一个球，取得是白球的概率与不是白球的概率相同，那么m 与n 的关系是

（A ）m + n = 10 （B ）m + n = 5 （C ）m = n = 10 （D ）m = 2，n = 3 3．（ ）已知边长为1的正方形ABCD ，E 为CD 边的中点，动点P 在正方形ABCD 边上沿A→B→C→E 运动，设点P 经过的路程为x ，△APE 的面积为y ，则y 关于x 的函数的图像大致为

4．（ ）用12根等长的火柴棒拼三角形（全部用上，不可折断、重叠），不可以拼成的是 （A ）等腰三角形 （B ）等边三角形 （C ）直角三角形 （D ）不等边三角形 5．（ ）已知△ABC 的三边长为8、12、18，又知△A 1B 1C 1也有一边长为12，且与△ABC 相似而不全等，则这样的△A 1B 1C 1个数为 （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 6．（ ）下列五个命题：①若直角三角形的两条边长为3与4，则第三边长是5；②若点(,)P a b 在

第三象限，则点(,1)Q a b --+在第一象限；③函数11y x =

-的图象平移后可以和函数1

1y x

=+的图象重合；④两边及其第三边上的中线对应相等的两个三角形全等。其中正确的命题的个数是

（A ）1个 （B ）2个

（C ）3个 （D ）4个

二、填空题（每小题5分，共20分）

7．如图是一个几何体的三视图，根据图示，可计算出该几何体的侧面积为 。

8．在△ABC 中，∠A:∠B:∠C=3:4:5，则BC:CA:AB= 。

9．如图，一个啤酒瓶的高度为30cm ，瓶中装有高度12cm 的水，将瓶盖盖好后倒置，这时瓶中水面高度20cm ，则瓶中水的体积和瓶子的容积之比为 。（瓶底的厚度不计）

正视图

俯视图

（第7题图）

10．如图所示，正实数a 1、a 2、……、a 7、a 8标在正方体相应的顶点处，满足每个点处所写的数字等于和这个点有线段相连的三个点处的数字的平均数。记 12345678(234)(5678)M a a a a a a a a =+++⋅+++，

22221234N a a a a =+++。则

M

N

= 。

三、解答题

11．在平面直角坐标系中，A 点的坐标为(0,4)，C 点的坐标为(10,0)。

（1）如图①，若直线AB//OC ，AB 上有一动点P ，当P 点的坐标为_______时，有PO=PC ； （2）如图②，若直线AB 与OC 不平行，则在过点A 的直线4y x =-+上是否存在点P ，使∠OPC=90°，若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）若点P 在直线4y kx =+上移动时，只存在一个点P 使得∠OPC=90°，试求出此时4y kx =+中k 的值是多少？

（第9题图）

20cm

30cm

12cm

a 1 a 2

a 3

a 4

a 5

a 6

a 7

a 8

（第10题图）

x y A

B

O

图①

x

y

A B C O

图②

12．已知点M ，N 的坐标分别为(0,1)，(0,1)-，点P 是抛物线

2

14

y x =

上的一个动点． （1）求证：以点P 为圆心，PM 为半径的圆与直线1y =-（2）设直线PM 与抛物线2

14

y x =

的另一个交点为点Q ，连接NP ，NQ ，求证：∠PNM=∠QNM ．

参考答案：

1．C

2．A

3．A

4．D

5．B

6．C

7．104π

8．2:6:(31)+

9．虽然啤酒瓶的形状不规则，但是瓶子的下部可视圆柱体，

由于瓶子的容积V 瓶不变，瓶中水的体积V 水也不变，故可将左图上部分不规则的空气体积V 空，用

右图上部分规则的空气体积V 空来代替. 设瓶的底面积为Scm, 则左图V 水=12Scm 3, 左图V 空=10Scm 3,∵ V 瓶=V 水+V 空=22Scm 3, ∴ V 水:V 瓶=6:11 10．65 11．（1）（5，4）

（2）如图所示，PD ⊥OC 于D ，设P （x ，－x ＋4）, PD 2=OD·CD ，（－x ＋4）2=x （10－x ） 解得：x=1或8

∴P （1，3）或P （8，－4） （3）分两种情况：

①如图Ⅰ，则0=k×10＋4,则k=2

5

-

②如图Ⅱ，则224455x x +=-+，得x=1609- B （160

9

-,0），

k=

9

40

∴25k =-或940

12．解：（1）设点P 的坐标为2

001(,

)4

x x ，则 PM ＝2

22

2220000111(1)(1)14

44

x x x x +-=

+=+; 又因为点P 到直线1y =-的距离为

22

0011(1)144

x x --=+， 所以，以点P 为圆心，PM 为半径的圆与直线1y =-相切．