构建概率模型,判断游戏公平性

构建概率模型，判断游戏的公平性

二、方法剖析与提炼

例1．（2020威海）一个盒子里有标号分别为1，2，3，4，5，6的六个小球，这些小球除标号数字外都相同．

（1）从盒中随机摸出一个小球，求摸到标号数字为奇数的小球的概率；

（2）甲、乙两人用着六个小球玩摸球游戏，规则是：甲从盒中随机摸出一个小球，记下标号数字后放回盒里，充分摇匀后，乙再从盒中随机摸出一个小球，并记下标号数字．若两次摸到小球的标号数字同为奇数或同为偶数，则判甲赢；若两次摸到小球的标号数字为一奇一偶，则判乙赢．请用列表法或画树状图的方法说明这个游戏对甲、乙两人是否公平．

【解析】（1）共有1，2，3，4，5，6六个小球，其中奇数3个，根据概率公式即可得到。

（2）画出树状图或者表格，就可以找到所有等可能的情况，找到两次摸到小球的标号数字同为奇数或同为偶数的个数及摸到小球的标号数字为一奇一偶的结果的个数，再利用概率公式分别计算甲、乙两人的概率，做比较即可知道是否公平。

【解答】(1)

(2) 【解法】

【解释】（1）第一题可以根据概率公式直接得出答案；

（2）第二题利用列表或者树状图，得出所有可能的情况数，找出所有同为奇数或者同为偶数的情况共有18种，再找出一奇一偶的情况，比较两个概率大小，即可得出游戏是否公平。此处涉及到的情况有36种，虽为有限基于情况较多，基础薄弱的容易出错；在基础较为扎实的学生中，其实应该明显能够看到

从1,2,3,4,5,6中，非奇即偶，那么每个数都是一半同奇（或同偶），一半一奇一偶，答案其实显而易见的。

（3）此类题是在等可能性的基础上产生，游戏公平与否只与概率是否相等有关，难度系数较小。

例2．（优质试题杭州）某班有50位学生，每位学生都有一个序号，将50张编有学生序号（从1号到50号）的卡片（除序号不同外其它均相同打乱顺序重新排列，从中任意抽取．．．．1．张．

卡片 （1）在序号中，是20的倍数的有：20，40，能整除20的有：1，2，4，5，10（为了不重复计数，20只计一次），求取到的卡片上序号是20的倍数或能整除20的概率

（2）若规定：取到的卡片上序号是（是满足1≤≤50的整数），则序号是的倍数或能整除（不重复计数）的学生能参加某项活动，这一规定是否公平？请说明理由；

（3）请你设计一个规定，能公平地选出10位学生参加某项活动，并说明你的规定是符合要求的。

【解析】（1）先找到在序号中，是20的倍数和能整除20，而总可能数是50，利用概率公式计算即可；

（2）特殊值代入，找到任意两个学号的可能性不相等，就可以说明不公平；

（3）设计的游戏为保证每个数字每次被抽到的概率都相等.

【解答】（1）

（2）

（3）不唯一，如先抽出一张，记下数字，然后放回．若下一次抽到的数字

不同的数字为止．

k k k k k

【解法】无论是判断游戏公平性还是设计游戏，等可能性是关键。

【解释】（1）本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．

（2）第一题根据题目要求就可以作答。第二题中，因为涉及50个数据，如果是真命题，要么要对50个学号进行验证，比较困难，对学生的思维要求比较高。但是显然，它只是一个假命题，那么只要举出反例即可，不只是学号为1的学生，可以举的反例其实是很多的。但是往往学生对游戏的公平性理解不够，导致认为它是真命题，就无法解决此题。

（3）第三题是考察设计一个公平的游戏，“等可能性”与游戏公平的原则是紧密相关的，如果能上学生认识到这一点，问题就能迎刃而解。

例3．某市准备为青少年举行一次网球知识讲座，小明和妹妹都是网球球迷，要求爸爸去买门票，但爸爸只买回一张门票，那么谁去就成了问题，小明想到一个办法：他拿出一个装有质地、大小相同的2x 个红球与3x 个白球的袋子，让爸爸从中摸出一个球，如果摸出的是红球．妹妹去听讲座，如果摸出的是白球，小明去听讲座．

（1）爸爸说这个办法不公平，请你用概率的知识解释原因．

（2）若爸爸从袋中取出3个白球，再用小明提出的办法来确定谁去听讲座，问摸球的结果是对小明有利还是对妹妹有利．说明理由．

【解析】（1）此题含有代数式，需要用代数式的比较方法；

（2）此时：妹妹去听讲座的概率为：

3322-+x x x ； 小明去听讲座的概率为：3

3232-+-x x x ， 对于这两个分母相同，分子不同的分式比较，需要采用分类讨论法，是本题的一个难点。

【解答】（1）

（2）此时：妹妹去听讲座的概率为：3322-+x x x ；

小明去听讲座的概率为：33232-+-x x x ， ∴当2x=3x ﹣3，即x=3时，他们的机会均等；

当2x ＞3x ﹣3，即x ＜3时，对妹妹有利；

当2x ＜3x ﹣3，即x ＞3时，对小明有利．

【解法】分式比较大小的方法有很多，在分母相同的情况下可以比较分子大小，也可以进而引申作差法、作商法等方法。

【解释】（1）此题涉及概率、游戏公平问题、不等式、分类讨论等知识点，对学生的综合运用能力要求较高；

（2）读懂题目，第一题找到构建概率模型，直接利用概率公式比较两者的概率大小；

（3）第二题涉及分类讨论，对学生灵活运用知识的要求较高，不少学生可能会想到不去分类讨论比较分子而匆忙下结论，是本题的难点。

三、能力训练与拓展

1．（优质试题大庆）某商场为促销开展抽奖活动，让顾客转动一次转盘，当转盘停止后，只有指针指向阴影区域时，顾客才能获得奖品，下列有四个大小相同的转盘可供选择，使顾客获得奖品可能性最大的是（ ）

A 、

B 、

C 、

D 、

2．（优质试题浙江湖州）一个布袋内只装有1个黑球和2个白球，这些球除颜色外其余都相同，随机摸出一个球后放回搅匀，再随机摸出一个球，则两次摸出的球都是黑球的概率是( )

A . 94

B . 31

C . 61

D . 9

1

3．(优质试题苏州)如图，转盘中8个扇形的面积都相等．任

意转动转盘1次，当转盘停止转动时，指针指向大于6的数

的概率为 _____．

（第3题）