含参数分式方程问题详解

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探究含参的分式方程(教学设计)

探究含参的分式方程（教学设计）成都铁中何怿熹教学目标：1、利用增根解决分式方程的参数问题2、解题过程中数学的转化思想和分类讨论思想的应用3、充分感受并学会对于复杂问题联立求解，避免漏解的重要性3、感受分式方程含参问题知识的横向联系，与不等式、概率等知识有机结合教学重点：分式方程化成整式方程时，未知数系数有参和无参的区别；有解和无解情况的具体考虑教学难点：分式方程化成整式方程时，未知数系数有参时，有解和无解情况的考虑教学信息技术的使用：爱学派平台、微课、mindmaster软件的使用、平板电脑、电子白板、Internet的使用一、课前准备工作1.通过爱学派平台给学生推送与分式方程增根问题的微课，预习相关内容，并完成一些对应习题，通过平台的数据统计反馈，了解学生对预设问题的掌握情况，便于在课堂教学中就学生的易错问题做详细剖析。

2.完成本章的知识体系的梳理，通过爱学派平台推送任务，学生以思维导图的形式呈现其总结归纳过程，并用于课堂展示，也给学生提供相互学习的机会。

二、复习回顾先做课前展示，思维导图的完成分享教学过程：（一）含参的整式方程ax=b的解的情况：①当a≠0时，方程的解x___________②当a=0时,{若此时b≠0时,等式两边___________________，此时方程___________________若此时b=0时，等式两边___________________，此时方程___________________，设计意图：以学生较为容易理解的整式方程引入，让学生感受在解决含参问题时分类讨论思想的重要性，为后面分式方程的含参问题中化成整式方程时，系数含参且无解类型的探讨埋下伏笔（二）分式方程的基本解法1、解分式方程的基本思想2、解分式方程的步骤①去分母:_________ ②解整式方程③验根：________________________________验根过程中算得使原分式方程的分母或最简公分母为零的根,我们称它为原方程的______，也叫原方程_______设计意图：对分式方程求解过程的复习也是贯穿整堂课求解含参分式方程的基础，强化学生对分式方程转化至整式方程求解通法。

求分式方程中参数的取值范围——方程无解时

求分式方程中参数的取值范围——方程无解时分式方程是一个含有分数的方程，它的解域除了使得分母不为零的数之外，还要考虑分式的约束条件。

在解分式方程时，我们需要找出参数的取值范围。

一、一次分式方程考虑一次分式方程：$\frac{ax + b}{cx + d} = e$1. 分母约束条件：$(cx + d) \neq 0$，即$cx + d$不能为零，所以$x \neq -\frac{d}{c}$。

2. 分子分母约束条件：若$a = 0$，则方程退化为常数方程$b = ed$，此时方程有解；若$a \neq 0$，则方程为真分式方程。

此时解方程的关键是找到方程的通解：将方程进行分数分解：$\frac{ax + b}{cx + d} = e \Rightarrow ax + b = e(cx + d)$ $\Rightarrow ax + b = ecx + ed$$\Rightarrow x(a - ec) = ed - b$$\Rightarrow x = \frac{ed - b}{a - ce}$综上所述，一次分式方程$\frac{ax + b}{cx + d} = e$的参数取值范围为：$x \neq -\frac{d}{c}$；$a \neq ec$。

二、二次分式方程考虑二次分式方程：$\frac{ax^2 + bx + c}{dx^2 + ex + f} = g$1. 分母约束条件：$(dx^2 + ex + f) \neq 0$，即$dx^2 + ex + f$不能为零。

2. 分子分母约束条件：若$a = 0$，则方程退化为一次分式方程$\frac{bx + c}{dx^2 + ex + f} = g$；若$a \neq 0$，则方程为真分式方程。

此时解方程的关键是找到方程的通解：将方程进行分数分解：$\frac{ax^2 + bx + c}{dx^2 + ex + f} = g \Rightarrow ax^2 + bx + c = g(dx^2 + ex + f)$$\Rightarrow ax^2 + bx + c = gdx^2 + gex + gf$$\Rightarrow (a - gd)x^2 + (b - ge)x + (c - gf) = 0$当$a - gd = 0$且$b - ge = 0$时，方程退化为常数方程，此时方程有解；当$a - gd \neq 0$且判别式$\Delta = (b - ge)^2 - 4(a - gd)(c - gf)$满足$\Delta < 0$时，方程无实数解，即当$(b -ge)^2 - 4(a - gd)(c - gf) < 0$时，方程无解。

复习课含参的分式方程教学设计

含参的分式方程（一）教学设计
教学任务分析
教学过程设计
板书设计
教学反思：
1.整节课以流畅、开放、合作、引导为基本特征，教师对学生的思维较少干预，教学过程呈现一种比较流畅的特征。

整节课学生与学生，学生与教师之间以对话、讨论为出发点，采用独立思考，以互助合作，讲台展示，屏幕讲解，等手段以解决问题为目的，让学生在一个比较宽松的环境中自主选择获得成功的方向，判断发现的价值。

2.本堂课通过暴露学生的问题，引导学生发现问题，提出问题，解决问题，并归纳解决同类型问题的方法，来突破重难点。

让学生经历不断暴露，不断辩证，不断补充，不断总结的过程，将解决问题的方法归功于学生。

3.学生的点评还需多样化。

期间有学生提出了优化增根问题的解题方法，应加以表扬，鼓励更多的学生除了要做到会做题以外，还要思考如何计算简单。

但由于词汇匮乏，点评不到位，没有起到更好的鼓舞作用。

4.因时间有限，小试牛刀的练习题学生未训练到，虽仍是无解问题，但是又比之前的无解问题多出增根不成立的情况，随即布置成了课后的练习题。

以后教学中要对时间还有好好把握，及时调整，收放自如。

分式方程的解法

分式方程的解法在初等代数中，我们经常会遇到分式方程（或称有理方程）的求解问题。

分式方程的特点是方程中包含分式（或有理式），而其求解方法与一般的代数方程有所不同。

在本文中，我将为您介绍几种常见的分式方程的解法。

一、化简与分子分母清零法对于一些简单的分式方程，我们可以通过化简和清零的方法求解。

首先，我们需要将方程中的分母清零，然后将分子进行化简。

接下来，我们将方程化简为一个代数方程，再通过解代数方程的方法求得解。

最后，我们将得到的解代入原方程中，验证是否满足。

例如，考虑以下分式方程：\[ \frac{2}{x-3} + \frac{3}{x+2} = \frac{5}{x} \]我们首先将方程两边的分母清零，得到：\[ x(x+2) + (x-3)(x) = 5(x-3)(x+2) \]然后对方程进行化简，得到：\[ x^2 + 2x + x^2 - 3x = 5x^2 - 15x - 30 \]继续化简，得到：\[ 2x^2 - 6x = 5x^2 - 15x - 30 \]将方程转化为代数方程：\[ 3x^2 - 9x - 30 = 0 \]解代数方程，得到 x = -2 或 x = 5 。

将解代入原方程进行验证，可得：\[ \frac{2}{-2-3} + \frac{3}{-2+2} = \frac{5}{-2} \]\[ \frac{2}{-5} + \frac{3}{0} = \frac{5}{-2} \]我们发现 x = -2 不满足原方程，而 x = 5 满足原方程。

因此，分式方程的解为 x = 5 。

二、通分法当分式方程中有多项式相除时，我们可以通过通分的方法将分式方程转化为一个方程，从而求解。

例如，考虑以下分式方程：\[ \frac{x+1}{x} - \frac{1}{2} = \frac{3x-4}{2x} \]首先，我们将分数进行通分，得到：\[ \frac{2(x+1)}{2x} - \frac{x}{2x} = \frac{3x-4}{2x} \]继续化简，得到：\[ \frac{2(x+1) - x}{2x} = \frac{3x-4}{2x} \]化简后，我们得到：\[ \frac{2x + 2 - x}{2x} = \frac{3x-4}{2x} \]继续合并同类项，得到：\[ \frac{x + 2}{2x} = \frac{3x-4}{2x} \]此时，分母相同，我们可以去掉分母，得到：\[ x + 2 = 3x - 4 \]然后，我们将方程化简为代数方程，得到：\[ 2 = 2x - 4 \]解代数方程，得到 x = 3 。

中考数学考点系统复习第二章方程(组)与不等式(组) 第三节分式方程及其应用

3
③若分式方程的解为正数，则 a 的取值范围为 aa＞＞－－4 且4且a a≠≠11；
yy－－33≠≠00，，
【分层分析】若分式方程的解为正数，则 yy＞＞00 ，即
3533aaa＋5＋＋5513112a22－＋－＞3130≠2≠00，，
，＞0
解得 aa＞＞－－4 且4且a a≠≠1.1
A．1 B．2 C．3 D．4
3．(2022·普宁月考)若分式方程2xx－－1a－4＝－x2＋x＋1 a的解为整数，则整
数 a 的值为
(D )
A．±2
B．±1 或±2
C．1 或 2
D．±1
4．(2022·富川县模拟)关于 x 的分式方程2m－＋xx＋x－3 2＝1 有解，则实数
m 应满足的条件是 A．m＝－1
1．(2022·鼓楼区期末)关于 x 的分式方程x＋m 3＝1，下列说法中正确的
是
( B)
A．方程的解是 x＝m－3
B．当 m＞3 时，方程的解是正数
C．当 m＜3 时，方程的解为负数
D．当 m＝3 时，方程无解
2．(2022·荷塘区模拟)分式方程2x＋x－a 1＝2 的解为 x＝2，则 a 的值为 ( A)
④若分式方程有负分数解，则 a 的值可以为－－5(5答(答案不案唯不一唯) ；
【分层分析】若分式方程有负分数解，则 3a＋一12)＝－－1，1，－2－，－2，3，－－34，，
4－，6 －…，解得 6…
a＝3－133，－134，－153，－136或－6…－，∴a
的值可以为
－55.
⑤若分式方程有非负整数解，则 a 的值可以为－－44(答(答案不案唯不唯一) . 【解分得层a＝分3－析4】，若－分73式，方－程23，1有383非，负133整或数…解，则，3a∴＋5a一1的2＝)值00或可，，1以…，1为2，，－－42，，454.4或，…5，

含参数的分式方程

特殊情况处理
当参数取某些特殊值时，分式方程可能出现特殊情况，如增根、减根等。
对于这些特殊情况，需要采取特定的处理方法，如分类讨论、验证等。
特殊情况的处理是分式方程求解过程中的重要环节，需要特别关注。
PART 04
典型例题解析与讨论
一元一次含参数分式方程方源自形式形如 $frac{ax+b}{c} = d$，其中 $a, b, c, d$ 是常数，$c neq 0$
确定参数的取值范围是分式方程求解的重要步骤。
当参数取某些特定值时，分式方程可能无解、有唯一解或有无穷多解。
参数变化对解的影响
随着参数的变化，分式方程的解也会发生变化。
参数的微小变化可能导致解的显著变化，如解的个数、解的性质
等。
通过分析参数变化对解的影响，可以深入了解分式方程的性质。
待定系数法
待定系数思想
通过设定一些待定系数，将含参数的分式方程转化为关于待定系数的整式方程组，从而求解参数值。
待定系数步骤
首先根据方程特点设定待定系数；然后利用方程条件构建关于待定系数的整式方程组；最后求解方程组得到参数值。
PART 03
参数对分式方程解的影响
参数取值范围
参数的取值范围直接影响分式方程是否有解，以及解的性质。
方程解的性质分析
本研究还对含参数分式方程的解进行了深入的性质分析，包括解的存在性、唯一性、连续性和可微性等。这些性质分析为进一步的理论研究和实际应用提供了重要的参考依据。
未来研究方向展望
01
拓展应用领域
目前，含参数分式方程在多个领域具有广泛的应用前景，如物理学、工程学、经济学等。未来研究可以进一步拓展该方法的应用领域，探索其在更多实际问题中的适用性。

专题09 分式方程中的参数问题(解析版)

八下数学思维解法技巧培优小专题专题9 分式方程中的参数问题题型一由分式方程解的情况求参数的值或取值范围【典例1】（2019•淅川县期末）若关于x的方程2m−3x−1−xx−1=0无解，则m的值是（）A．3B．2C．1D．﹣1【点拨】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解得到x﹣1＝0，求出x的值，代入整式方程求出m的值即可．【解析】解：去分母得：2m﹣3﹣x＝0，由分式方程无解，得到x﹣1＝0，即x＝1，把x＝1代入整式方程得：2m﹣4＝0，解得：m＝2，故选：B．【典例2】（2019•吉安县期末）若mx−3−1−x3−x=0无解，则m的值是（）A．3B．﹣3C．﹣2D．2【点拨】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到m的值，经检验即可得到分式方程的解．【解析】解：去分母得：m﹣x+1＝0，由分式方程无解，得到x﹣3＝0，即x＝3，把x＝3代入整式方程得：m＝2，故选：D．【典例3】（2019•齐齐哈尔）关于x的分式方程2x−ax−1−11−x=3的解为非负数，则a的取值范围为a≤4且a≠3．【点拨】根据解分式方程的方法和方程2x−ax−1−11−x=3的解为非负数，可以求得a的取值范围．【解析】解：2x−ax−1−11−x=3，方程两边同乘以x﹣1，得2x ﹣a +1＝3（x ﹣1），去括号，得 2x ﹣a +1＝3x ﹣3，移项及合并同类项，得 x ＝4﹣a ，∵关于x 的分式方程2x−a x−1−11−x=3的解为非负数，x ﹣1≠0，∴{4−a ≥0(4−a)−1≠0，解得，a ≤4且a ≠3，故答案为：a ≤4且a ≠3．【典例4】（2019•江阴市期中）若分式方程x−2x−3−2=mx−3有增根，则m 的值为 1 ．【点拨】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．把增根代入化为整式方程的方程即可求出m 的值．【解析】解：方程的两边都乘以（x ﹣3），得 x ﹣2﹣2（x ﹣3）＝m ，化简，得 m ＝﹣x +4，原方程的增根为x ＝3，把x ＝3代入m ＝﹣x +4，得m ＝1，故答案为：1．【典例5】（2019•江都区四模）若关于x 的分式方程1x−2−m 2−x=1的解是正数，求m 的取值范围．【点拨】分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，由分式方程的解为正数确定出m 的范围即可．【解析】解：去分母得：1+m ＝x ﹣2，解得：x ＝m +3，由分式方程的解为正数，得到m +3＞0，且m +3≠2，解得：m ＞﹣3且m ≠﹣1．题型二分式方程与不等式的综合【典例6】（2019•九龙坡区校级月考）已知关于x 的分式方程2−ax 1−x−1x−1+1＝0有整数解，且关于x 的不等式组{3x ≤2(x −12)2x −x−13＜a的解集为x ≤﹣1，则符合条件的所有整数a 的个数为（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【点拨】解分式方程得x =4a+1且x ≠1，则整数a 为0，1，﹣2，﹣3，﹣5时分式方程的解为整数解，再解不等式组得到a ＞−43，从而得到满足条件的整数a 的值．【解析】解：去分母得2﹣ax +1+1﹣x ＝0，解得x =4a+1且x ≠1，当整数a 为0，1，﹣2，﹣3，﹣5时，分式方程的解为整数解，解不等式组为{x ≤−1x ＜3a−15，而不等式组的解集为x ≤﹣1，所以3a−15＞−1，解得a ＞−43，∴满足条件的整数a 的值为0，1．故选：A ．【典例7】（2019•巴南区期中）若关于x 的分式方程m 2−x−1＝1−xx−2的解为正数，且关于y 的不等式组{2y−53≤−3y −m −1＞−1无解，那么符合条件的所有整数m 的和为（）A ．5B ．3C ．1D ．0【点拨】根据题意可以求得m 的取值范围，从而可以得到符合条件的m 的整数值，从而可以解答本题．【解析】解：由方程m2−x−1＝1−xx−2，解得，x ＝4﹣m ，则{4−m ＞04−m ≠2，解得，m ＜4且m ≠2，∵关于y 的不等式组{2y−53≤−3y −m −1＞−1无解，解得，m ≥﹣2，由上可得，m 的取值范围是：﹣2≤m ＜4，且m ≠2， ∴符合条件的所有整数m 的和为：﹣2+（﹣1）+0+1+3＝1，故选：C ．【典例8】（2019•沙坪坝区校级月考）若实数a 使关于x 的不等式组{13x −1≤x−1212a −3x ＞0有且只有4个整数解，且使关于x 的方程2x−1+5−a 1−x=−2的解为正数，则符合条件的所有整数a 的和为（）A ．7B ．10C ．12D ．1【点拨】解不等式组求得其解集，根据不等式组只有4个整数解得出a 的取值范围，解分式方程得出x =5−a2，由方程的解为正数且分式有意义得出a 的取值范围，综合两者所求最终确定a 的范围，据此可得答案．【解析】解：解不等式组{13x −1≤x−1212a −3x ＞0得，−3≤x ＜a 6， ∵不等式组只有4个整数解， ∴0＜a6≤1， ∴0＜a ≤6，解分式方程2x−1+5−a1−x=−2得：x =5−a2， ∵分式方程的解为正数， ∴5−a 2＞0，且5−a 2≠1，解得：a ＜5且a ≠3，综上可得，a 的取值范围为0＜a ＜5，且a ≠3，则符合条件的所有整数a 的和为：1+2+4＝7．故选：A ．【典例9】（2019•沙坪坝区校级一模）如果关于x 的不等式组{5x+36≤x +115a −x ≥0至少有3个整数解，且关于x的分式方程axx−5=1−a 5−x−3xx−5的解为整数，则符合条件的所有整数a 的取值之和为（）A ．﹣10B ．﹣9C ．﹣7D ．﹣3【点拨】先分别解不等式组里的两个不等式，因为不等式组有解，写出其解集为﹣3≤x ≤15a ，根据不等式组至少有3个整数解，可得a 的取值，再解分式方程得x =a−1a+3，根据解为整数即得到a 的范围．得到两个a 的范围必须同时满足，即求得可得到的整数a 的值．【解析】解：解不等式组{5x+36≤x +115a −x ≥0，得：﹣3≤x ≤15a ， ∵至少有3个整数解， ∴15a ≥﹣1，∴a ≥﹣5，解方程：ax x−5=1−a 5−x−3x x−5，ax ＝a ﹣1﹣3x ， x =a−1a+3，∵分式方程有解且解为整数，a−1a+3≠5，∴a ≠﹣4，a +3是a ﹣1的约数， ∵a ≥﹣5，∴a ＝﹣5，﹣2，﹣1，1，∴符合条件的所有整数a 的和为﹣7，故选：C ．【典例10】（2019•长寿区模拟）若关于x 的方程k 1−x=3x−1−2有非负实数解，关于x 的一次不等式组{x−12−2x ≤1x +k ≤2有解，则满足这两个条件的所有整数k 的值的和是 ﹣6 ．【点拨】分式方程去分母转化为整式方程，表示出分式方程的解，由分式方程有非负实数解确定出k 的范围，由不等式有解确定出k 的范围，进而确定出k 的具体范围，求出整数解，进而求出之和即可．【解析】解：分式方程去分母得：﹣k ＝3﹣2x +2，解得：x =k+52，由分式方程有非负实数解，得到k+52≥0，且k+52≠1，解得：k ≥﹣5且k ≠﹣3，不等式组整理得：{x ≥−1x ≤2−k，由不等式组有解，得到2﹣k ≥﹣1，即k ≤3，综上，k 的范围为﹣5≤k ≤3，且k ≠﹣3，即整数k ＝﹣5，﹣4，﹣2，﹣1，0，1，2，3，则所有满足题意整数k 的值的和为﹣6，故答案为：﹣6巩固练习1．（2019•九龙坡区期末）关于x 的分式方程ax−24−x+6x−4=−3的解为正数，且关于x 的不等式组{x ＞1a+x 2≥x −72有解，则满足上述要求的所有整数a 的绝对值之和为（）A ．12B ．14C ．16D ．18【点拨】根据分式方程的解为正数即可得出a ＜2且a ≠1，根据不等式组有解，即可得出a ＞﹣5，找出﹣5＜a ＜2且a ≠1中所有的整数，将其相加即可得出结论．【解析】解：解分式方程得x =43−a ，因为分式方程的解为正数，所以43−a＞0且43−a≠4，解得：a ＜3且a ≠2，解不等式a+x 2≥x −72，得：x ≤a +7，∵不等式组有解， ∴a +7＞1，解得：a ＞﹣6，综上，﹣6＜a ＜3，且a ≠2，则满足上述要求的所有整数a 绝对值之和为5+4+3+2+1+0+1＝16，故选：C ．2．（2019•南岸区模拟）若数k 使关于x 的不等式组{3x +k ≤0x3−x−12≤1只有4个整数解，且使关于y 的分式方程k y−1+1=y+ky+1的解为正数，则符合条件的所有整数k 的积为（） A ．2 B ．0 C ．﹣3 D ．﹣6【点拨】解不等式组求得其解集，根据不等式组只有4个整数解得出k 的取值范围，解分式方程得出y ＝﹣2k +1，由方程的解为整数且分式有意义得出k 的取值范围，综合两者所求最终确定k 的范围，据此可得答案．【解析】解：解不等式组{3x +k ≤0x3−x−12≤1得：﹣3≤x ≤−k3， ∵不等式组只有4个整数解， ∴0≤−k3＜1，解得：﹣3＜k ≤0，解分式方程k y−1+1=y+ky+1得：y ＝﹣2k +1，∵分式方程的解为正数， ∴﹣2k +1＞0且﹣2k +1≠1，解得：k ＜12且k ≠0，综上，k 的取值范围为﹣3＜k ＜0，则符合条件的所有整数k 的积为﹣2×（﹣1）＝2，故选：A ．3．（2019•嘉祥县模拟）若关于x 的方程3x−1=1−k1−x无解，则k 的值为（） A ．3B ．1C ．0D ．﹣1【点拨】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解确定出x 的值，代入整式方程计算即可求出k 的值．【解析】解：去分母得：3＝x ﹣1+k ，由分式方程无解，得到x ＝1，把x ＝1代入整式方程得：k ＝3，故选：A ．4．（2019•碑林区校级期末）若关于x 的分式方程x+a x−2+a 2=12x−4无解，则a 的值为（）A ．−32B ．2C ．−32或2D ．−32或﹣2【点拨】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解确定出a 的值即可．【解析】解：去分母得：2x +2a +ax ﹣2a ＝1，整理得：（a +2）x ＝1，由分式方程无解，得到a +2＝0或x =1a+2=2，解得：a ＝﹣2或a =−32，故选：D ．5．（2019•渝中区校级期中）关于y 的分式方程3−a y−2=y−62−y 有正整数解，且关于x 的不等式{3x +32＜3a 2x−36≥23无解，则满足条件的所有整数a 的和为（） A ．﹣4B ．0C ．﹣8D ．﹣12【点拨】依据不等式组无解，即可得到a ≤4；依据分式方程有正整数解，即可得到a ＞﹣12且a ≠﹣4，进而得出﹣12＜a ≤4且a ≠﹣4，根据y =a+124是正整数，可得a ＝﹣8，0，4，计算和可得结论．【解析】解：解不等式3x +32＜3a 得，x ＜2a−12，解不等式2x−36≥23得，x ≥72，∵不等式组无解， ∴72≥2a−12，解得a ≤4；由分式方程3−ay−2=y−62−y ，可得y =a+124， ∵分式方程有正整数解， ∴y ＞0且y ≠2，即a+124＞0且a+124≠2，解得a ＞﹣12且a ≠﹣4， ∴﹣12＜a ≤4且a ≠﹣4，∵a+124是正整数，∴a ＝﹣8，0，4，∴满足条件的所有整数a 的和＝﹣8+0+4＝﹣4，故选：A ．6．（2019•渝中区二模）若数a 使关于x 的不等式组{x−22≤−12x +27x +4＞−a有且只有4个整数解，且使关于y 的分式方程2y−1+a 1−y=3的解为正数，则符合条件的所有整数a 的和为（） A ．﹣2B ．0C ．3D ．6【点拨】先分别解不等式组里的两个不等式，因为不等式组有解，写出其解集为−4−a 7＜x ≤3，得到在此范围内的整数解为x ＝0，1，2，3，进而得到−4−a 7的范围，求得此时满足的a 的范围；再解分式方程得y =5−a3，解为正数即得到a 的范围．得到两个a 的范围必须同时满足，即求得可得到的整数a 的值．【解析】解：解不等式x−22≤−12x +2，得：x ≤3解不等式7x +4＞﹣a ，得：x ＞−4−a7∵不等式组有且只有4个整数解 ∴在−4−a 7＜x ≤3的范围内只有4个整数解∴整数解为x ＝0，1，2，3 ∴−1≤−4−a7＜0 解得：﹣4＜a ≤3① 解方程：2y−1+a 1−y=3解得：y =5−a 3∵分式方程有解且解为正数∴{5−a3≠15−a3＞0 解得：a ＜5且a ≠2② ∴所有满足①②的整数a 的值有：﹣3，﹣2，﹣1，0，1，3 ∴符合条件的所有整数a 的和为﹣2故选：A ．7．（2019•江油市一模）若数a 使关于x 的不等式组{x−22≤−12x +22x +4＞−a有且仅有四个整数解，且使关于y 的分式方程ay−2+22−y=2有非负数解，则满足条件的整数a 的值是 ﹣2 ．【点拨】先解不等式组，根据不等式组有且仅有四个整数解，得出﹣4＜a ≤﹣2，再解分式方程a y−2+22−y=2，根据分式方程有非负数解，得到a ≥﹣2且a ≠2，进而得到满足条件的整数a 的值．【解析】解：解不等式组{x−22≤−12x +22x +4＞−a ，可得{x ≤3x ＞−a+42，∵不等式组有且仅有四个整数解， ∴﹣1≤−a+42＜0， ∴﹣4＜a ≤﹣2，解分式方程a y−2+22−y=2，可得y =12（a +2），又∵分式方程有非负数解， ∴y ≥0，且y ≠2，即12（a +2）≥0，12（a +2）≠2，解得a ≥﹣2且a ≠2，∴满足条件的整数a 的值为﹣2，故答案为：﹣2．8．（2019•保康县模拟）若关于x 的方程x+m x−3+3m 3−x=2的解为正数，则m 的取值范围是 m ＜3且m ≠32．【点拨】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程的解为正数，确定出m 的范围即可．【解析】解：去分母得：x +m ﹣3m ＝2x ﹣6，解得：x ＝6﹣2m ，由分式方程的解为正数，得到6﹣2m ＞0，且6﹣2m ≠3，解得：m ＜3且m ≠32，故答案为：m ＜3且m ≠32，9．（2019•沙坪坝区校级期中）关于x的分式方程2x−1+kxx2−1=3x+1会产生增根，则k＝﹣4或6．【点拨】根据增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根，把增根代入化为整式方程的方程即可求出k的值．【解析】解：方程两边都乘（x+1）（x﹣1），得2（x+1）+kx＝3（x﹣1），即（k﹣1）x＝﹣5，∵最简公分母为（x+1）（x﹣1），∴原方程增根为x＝±1，∴把x＝1代入整式方程，得k＝﹣4．把x＝﹣1代入整式方程，得k＝6．综上可知k＝﹣4或6．故答案为：﹣4或6。

专题04 分式方程中的参数问题(解析版)

专题04 分式方程中的参数问题考纲要求:1. 了解分式方程的概念2.会解可化为一元一次方程的分式方程（方程中的分式不超过两个），会对分式方程的解进行检验.3.会用分式方程解决简单的事件问题.基础知识回顾:1.分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程.2.解分式方程的一般步骤：()1去分母化分式方程为整式方程.()2解这个整式方程，求出整式方程的根.()3检验，得出结论.一般代入原方程的最简公分母进行检验.3.增根是分式方程化为整式方程的根，但它使得原分式方程的分母为零.应用举例:招数一、分式方程增根问题：增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母0，确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．【例1】若关于x的分式方程+＝2m有增根，则m的值为______．【答案】1【解析】方程两边都乘x﹣2，得x﹣2m＝2m（x﹣2）∵原方程有增根，∴最简公分母x﹣2＝0，解得x＝2，当x＝2时，m＝1故m的值是1，故答案为1招数二、分式方程无解问题：分式方程无解分为以下两种情况：①原方程解不出数来，也就是整式方程无解；②整式方程能解出来，但是解出来的数使得原分式方程的分母为零，也就是所谓的增根，所以切记一定要讨论。

【例2】取5张看上去无差别的卡片，分别在正面写上数字1，2，3，4，5，现把它们洗匀正面朝下，随机摆放在桌面上．从中任意抽出1张，记卡片上的数字为m，则数字m使分式方程﹣1＝无解的概率为________．【答案】．【解答】解：由分式方程，得m＝x（x+2）﹣（x﹣1）（x+2）x＝1或﹣2时，分式方程无解，x＝1时，m＝2，x＝﹣2时，m＝0，所以在1，2，3，4，5取一个数字m使分式方程无解的概率为．招数三、已知分式方程解的范围求参数范围问题：明确告诉了解的范围，首先还是要按正常步骤解出方程，解中肯定带有参数，再根据解的范围求参数的范围，注意：最后一定要讨论增根的问题.【例3】已知关于x的分式方程＝1的解是非正数，则m的取值范围是（）A．m≤3B．m＜3 C．m＞﹣3 D．m≥﹣3【答案】A【解析】方程两边同乘以x﹣3，得2x﹣m＝x﹣3，移项及合并同类项，得x＝m﹣3，∵分式方程＝1的解是非正数，x﹣3≠0，∴，解得，m≤3，故选：A．【例4】若关于x的分式方程=1的解是负数,求m的取值范围.【答案】m<2且m≠0.【解析】解:由=1,得(x+1)2-m=x2-1,解得x=-1+.由已知可得-1+<0,-1+≠1且-1+≠-1,解得m<2且m≠0.招数四、与其它方程或不等式结合求参数问题：【例5】关于x的两个方程260x x--=与213x m x=+-有一个解相同，则m= ．【答案】﹣8．【解析】【例6】若数a使关于x的不等式组有且仅有三个整数解，且使关于y的分式方程﹣＝﹣3的解为正数，则所有满足条件的整数a的值之和是（）A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．1【答案】A【解析】由关于x的不等式组得∵有且仅有三个整数解，∴＜x≤3，x＝1，2，或3．∴，∴﹣＜a＜3；由关于y的分式方程﹣＝﹣3得1﹣2y+a＝﹣3（y﹣1），∴y＝2﹣a，∵解为正数，且y＝1为增根，∴a＜2，且a≠1，∴﹣＜a＜2，且a≠1，∴所有满足条件的整数a的值为：﹣2，﹣1，0，其和为﹣3．故选：A ．方法、规律归纳:1.按照基本步骤解分式方程时，关键是确定各分式的最简公分母，若分母为多项式时，应首先进行因式分解，将分式方程转化为整式方程，给分式方程乘最简公分母时，应对分式方程的每一项都乘以最简公分母，不能漏乘常数项；2．检验分式方程的根是否为增根，即分式方程的增根是去分母后整式方程的某个根，如果它使分式方程的最简公分母为0.则为增根．增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母0，确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．3. 分式方程的增根和无解并非同一个概念，分式方程无解，可能是解为增根，也可能是去分母后的整式方程无解；分式方程的增根是去分母后整式方程的根，也是使分式方程的分母为0的根．实战演练:1.若关于x 的分式方程﹣1＝有增根，则m 的值为______．【答案】3【解析】方程两边都乘（x ﹣2），得3x ﹣x+2＝m+3∵原方程有增根，∴最简公分母（x ﹣2）＝0，解得x ＝2，当x ＝2时，m ＝3．故答案为3．2.若关于x 的分式方程1322m x x x -=---有增根，则实数m 的值是．【答案】1．【解析】试题分析:去分母，得：13(2),m x x =---由分式方程有增根，得到20,x -= 即 2.x =把2x =代入整式方程可得： 1.m =故答案为：1.3. 若关于x 的分式方程=2a 无解，则a 的值为_____．【答案】1或【解析】解：去分母得：x-3a=2a（x-3），整理得：（1-2a）x=-3a，当1-2a=0时，方程无解，故a=；当1-2a≠0时，x==3时，分式方程无解，则a=1，故关于x的分式方程=2a无解，则a的值为：1或．故答案为：1或．4.已知关于x的分式方程﹣2＝的解为正数，则k的取值范围为（）A．﹣2＜k＜0 B．k＞﹣2且k≠﹣1 C．k＞﹣2 D．k＜2且k≠1【答案】B【解析】∵＝2，∴＝2，∴x＝2+k，∵该分式方程有解，∴2+k≠1，∴k≠﹣1，∵x＞0，∴2+k＞0，∴k＞﹣2，∴k＞﹣2且k≠﹣1，故选：B．5.已知关于x的方程无解，则a的值为_____________．【答案】-4或6或1【解析】由原方程得：2（x+2）+ax=3（x-2），整理得：（a-1）x=-10，（i）当a-1=0，即a=1时，原方程无解；（ii）当a-1≠0，原方程有增根x=±2，当x=2时，2（a-1）=-10，即a=-4；当x=-2时，-2（a-1）=-10，即a=6，即当a=1，-4或6时原方程无解．故答案为-4或6或16．关于x的方程﹣1＝的解为正数，则k的取值范围是（）A．k＞﹣4 B．k＜4 C．k＞﹣4且k≠4D．k＜4且k≠﹣4 【答案】C．【解析】分式方程去分母得：k﹣（2x﹣4）＝2x，解得：x＝，根据题意得：＞0，且≠2，解得：k＞﹣4，且k≠4．故选：C．7 . 若关于x的方程2230x x+-=与213x x a=+-有一个解相同，则a的值为（）A．1 B．1或﹣3 C．﹣1 D．﹣1或3 【答案】C．【解析】解方程2230x x+-=，得：x1=1，x2=﹣3，∵x=﹣3是方程213x x a=+-的增根，∴当x=1时，代入方程213x x a=+-，得：21131a=+-，解得a=﹣1．故选C．8．若关于x的一元一次不等式组的解集是x≤a，且关于y的分式方程﹣＝1有非负整数解，则符合条件的所有整数a的和为（）A．0 B．1 C．4 D．6【答案】B【解析】由不等式组得：∵解集是x≤a，∴a＜5；由关于y的分式方程﹣＝1得2y﹣a+y﹣4＝y﹣1∴y＝，∵有非负整数解，∴≥0，∴a≥﹣3，且a＝﹣3，a＝﹣1（舍，此时分式方程为增根），a＝1，a＝3它们的和为-3+1+3=1．故选：B．9．已知关于x的不等式组有且只有四个整数解，又关于x的分式方程﹣2=有正数解，则满足条件的整数k的和为（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】D【解析】解不等式-(4x+)＜0，得：x＞，解不等式﹣(x+2)+2≥0，得：x≤2，则不等式组的解集为＜x≤2，∵不等式组有且只有四个整数解，∴﹣2≤＜﹣1，解得:﹣3≤k＜5；解分式方程-2=得：x=，∵分式方程有正数解，∴＞0，且≠1，解得：k＞﹣3且k≠﹣1，所以满足条件的整数k的值为﹣2、0、1、2、3、4，则满足条件的整数k的和为﹣2+0+1+2+3+4=8，故选：D.10.阅读下列材料：在学习“分式方程及其解法”过程中，老师提出一个问题：若关于x的分式方程的解为正数，求a的取值范围？经过小组交流讨论后，同学们逐渐形成了两种意见：小明说：解这个关于x的分式方程，得到方程的解为x=a﹣2．由题意可得a﹣2＞0，所以a＞2，问题解决．小强说：你考虑的不全面．还必须保证a≠3才行．老师说：小强所说完全正确．请回答：小明考虑问题不全面，主要体现在哪里？请你简要说明：．完成下列问题：（1）已知关于x的方程=1的解为负数，求m的取值范围；（2）若关于x的分式方程=﹣1无解．直接写出n的取值范围．【答案】（1）：m＜且m≠﹣；（2）n=1或n=．【解析】请回答：小明没有考虑分式的分母不为0（或分式必须有意义）这个条件；（1）解关于x的分式方程得，x=，∵方程有解，且解为负数，∴，解得：m＜且m≠-；（2）分式方程去分母得：3-2x+nx-2=-x+3，即（n-1）x=2，由分式方程无解，得到x-3=0，即x=3，代入整式方程得：n=；当n-1=0时，整式方程无解，此时n=1，综上，n=1或n=．。

含参数的分式方程教学设计

含参数的分式方程教学设计导语：分式方程是代数学中的重要概念，掌握它们的解题方法对于学生来说至关重要。

本文将介绍一种教学设计，通过引入含参数的分式方程，帮助学生更好地理解分式方程的概念，掌握解题技巧。

一、教学目标：1. 理解含参数的分式方程的定义与性质。

2. 掌握含参数的分式方程的解题方法。

3. 能够应用所学知识解决实际问题。

二、教学准备：1. 教师准备教案、教材、实物、白板、笔等教学工具。

2. 学生准备纸、笔等学习用具。

三、教学过程：1. 导入向学生复习分式方程的概念和基本解题方法，强调“分母不能为零”的原则。

2. 引入含参数的分式方程给学生出示一个含参数的分式方程，例如：(2x + 3)/(x - a) = 4。

向学生解释参数a可以是任意实数，通过调整a的值，可以得到不同的分式方程。

引导学生思考这种含参数的分式方程的含义与特点。

3. 分析参数的作用让学生观察参数a对分式方程的影响。

通过代入不同的a值，解出方程并观察解的变化。

引导学生发现参数a对方程的根的影响，例如当a取某个特定值时，方程无解或有唯一解等。

4. 解决含参数的分式方程让学生根据所学知识解决含参数的分式方程。

引导学生思考如何通过解方程找出参数的取值范围，使得方程有解或无解。

5. 应用实际问题通过多个实际问题引导学生应用所学知识解决含参数的分式方程。

例如，给学生提供一个含参数的分式方程：(2x + 5)/(x - b) = 3，要求学生找出参数b的取值范围，使得方程有且仅有一个解。

6. 总结与拓展帮助学生总结本节课所学知识，并拓展到更复杂的含参数分式方程的解题方法。

鼓励学生勇于尝试和探索，培养解决问题的能力和思维能力。

四、教学评价：1. 在课堂中，观察学生对于含参数分式方程的理解和解题方法的掌握情况。

2. 针对学生的解题过程和结果，给予及时的反馈和指导，纠正错误并强化正确的解题思路。

3. 布置课后习题，检验学生对于新知识的掌握情况。

五、教学延伸：教师可根据学生的掌握情况和教学进度，进一步拓展含参数分式方程的应用领域，如实际应用中的实例分析等。

2020年重庆数学中考重难题型四含参数的方程(组)与不等式(组)

题型四含参数的方程(组)与不等式(组)1. (2019重庆实验外国语月考)如果二次函数y ＝x 2－ax ＋1，当x ≤－2时，y 随x 的增大而减小，且关于z 的分式方程12－z －1－az z －2＝2有正数解，则符合条件的整数a 的个数为( ) A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 2. (2019重庆一中模拟)若关于x 的分式方程2ax －1－3＝3－x 1－x的解为整数，且关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋43－1＞x －32，2（x －a ）＞x ＋6的解为正数，则符合条件的整数a 的个数为( ) A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个3. (2019重庆巴蜀中学一诊)如果关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧m －4x ＞4x －112＜3（x ＋12）有且仅有三个奇数解，且关于x的分式方程2－mx 2－x －30x －2＝13有非负数解，则符合条件的所有整数m 的和是( )A. 15B. 27C. 29D. 45 4. (2019重庆江北区模拟)如果关于x 的分式方程1－ax x －2＋2＝12－x有整数解，且关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －a 3＞0，x ＋2＜2（x －1）的解集为x ＞4，那么符合条件的所有整数a 的值之和是( ) A. 7 B. 8 C. 4 D. 5 5. (2019重庆沙坪坝区模拟)若关于x 的方程2ax －3＝4－x －a 3－x的解为非负数，且关于x 的不等式组⎩⎨⎧x －a3＞0，3x ＋15≥x －1有解，则所有满足条件的整数a 的值之和是( ) A. －8 B. －7 C. －5 D. －46. (2019重庆西南大附中月考七)若数a 使关于x 的方程4＋ax x －2＋2＝－62－x 有整数解，且使关于y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧3y ＋a ＜y ＋1－8y ＋43－32≤2（14－y ）最多有三个整数解，则所有满足条件的整数a 的和为( ) A. －3 B. 0 C. －4 D. 17. (2019重庆南开中学模拟)若数a 使关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －52＋1≤x ＋135x －2a >2x ＋a 至少有3个整数解，且使关于y的分式方程a －3y －1－21－y＝2有非负整数解，则满足条件的所有整数a 的和是( )A. 14B. 15C. 23D. 248. 从－3，－1，12，2，3，5这六个数中，随机抽取一个数，记为a ，若数a 使关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －a 2<0x －4<3（x ＋2）至少有三个整数解，且关于x 的分式方程 a ＋x 3－x ＋2x －3＝2有正整数解，那么这6个数中所有满足条件的a 的值之积是( )A. 7B. 6C. 10D. －109. (2019重庆八中周考二)已知关于x 的分式方程a x －1＋11－x ＝3的解为正数，且关于x 的不等式组⎩⎨⎧3x －14＋1>x ＋435x －a3<1无解，则所有满足条件的整数a 的绝对值之和是( ) A. 11 B. 10 C. 8 D. 610. 已知关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋5<5x ＋1x －a >－4的解集为x >1，且使关于x 的分式方程ax －6x －2＝2的解为非负数，那么取得满足条件的整数a 的和为( )A. 8B. 9C. 10D. 1111. 若数a 使关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧3－x ≥a －2（x －1）2－x ≥1－x2有解且所有解都是不等式2x ＋6>0的解，且使关于y 的分式方程y －51－y ＋3＝ay －1有整数解，则满足条件的所有整数a 的个数是( )A. 5B. 4C. 3D. 2参考答案题型四含参数的方程(组)与不等式(组)1. C 【解析】由题意可知－－a 2≥－2 ，∴a ≥－4.解分式方程12－z －1－az z －2＝2，得z ＝22－a ，∵分式方程有正数解，∴2－a ＞0.∴a ＜2.又∵22－a≠2，即2－a ≠1，∴a ≠1.∴－4≤a ＜2且a ≠1.∴a 的整数值可取－4，－3，－2，－1，0.∴符合条件的整数a 的值有5个.2. A 【解析】解分式方程2ax －1－3＝3－x 1－x ，得x ＝3＋a 2，且x ≠1，即a ≠－1，解不等式x ＋43－1＞x －32，得x ＜11，解不等式2(x －a )＞x ＋6，得x ＞6＋2a ，∴不等式组的解集为6＋2a <x <11.∵不等式组的解是正数，∴6＋2a ≥0, 解得a ≥－3.由6＋2a <11.解得a <2.5，又∵3＋a2取整数，∴a ＝－3，1.∴符合条件的整数a 有2个．3. C 【解析】解不等式m －4x >4，得x ＜m －44，解不等式x －112<3(x ＋12)，得x ＞－72，∵不等式组有且仅有3个奇数解，∴1＜m －44≤3.解得8＜m ≤16，解分式方程得x ＝6m －13，∵方程有非负数解，∴m ＞13 , 且6m －13≠2.∴13＜m ＜16.∴m 的整数值可取14，15.14＋15＝29. 4. A 【解析】解关于x 的分式方程1－ax x －2＋2＝12－x ，解得x ＝22－a ，其中x ＝22－a ≠2，即a ≠1，∵关于x 的分式方程有整数解，则2－a ＝±2或－1，解得a ＝0或4或3，解不等式x －a3＞0得x ＞a ，解不等式x＋2＜2(x －1)得x ＞4，∵关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －a 3＞0，x ＋2＜2（x －1）的解集为x ＞4，∴a ≤4.综上，a ＝0或4或3，∴符合条件的所有整数a 的值之和为7，故选A .5. A 【解析】解方程2ax －3＝4－x －a 3－x ，得x ＝3a ＋125，∵分式方程的解为非负数，∴x ≥0且x ≠3.∴3a ＋125≥0且3a ＋125≠3，解得a ≥－4且a ≠1.解不等式x －a 3>0，得x ＞a .解不等式3x ＋15≥x －1，得x ≤3，∴不等式组的解集为a ＜x ≤3.∵不等式组有解，∴a ＜3.∴a 的取值范围是－4≤a ＜3，且a ≠1，则a 的整数解为－4，－3，－2，－1，0，2，－4＋(－3)＋(－2)＋(－1)＋0＋2＝－8，∴所有满足条件的整数a 的值之和是－8.6. A 【解析】解分式方程4＋ax x －2＋2＝－62－x ，得x ＝6a ＋2，∵该分式方程有整数解，∴6a ＋2是整数且6a ＋2≠2.则整数a 为－8，－5，－4，－3，－1，0，4；解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧3y ＋a ＜y ＋1－8y ＋43－32≤2（14－y ），得－1≤y ＜1－a2，又∵该不等式组最多有三个整数解，∴1＜1－a2≤2.解得－3≤a ＜－1.综上所述，满足条件的整数a 为－3，则所有满足条件的整数a 的和为－3.7. A 【解析】解不等式x －52＋1≤x ＋13，得x ≤11，解不等式5x －2a ＞2x ＋a ，得x ＞a ，∴不等式组的解集为a ＜x ≤11.∵不等式组至少有3个整数解，即至少有整数解为11，10，9，则a ＜9.解分式方程a －3y －1－21－y＝2，得y ＝a ＋12，∵分式方程有非负整数解，∴y ≥0，y ≠1，且y 为整数．则a ＋12≥0，a ＋12≠1，且a＋1为偶数，解得a ≥－1且a ≠1，其中a 为奇数，又∵a ＜9，∴a 的值为－1，3，5，7，则所有整数a 的和为14.8. C 【解析】解不等式组得－5<x <a ，由不等式组至少有三个整数解，得到a >－2，∴a 的值可能为－1，12，2，3，5，解分式方程a ＋x 3－x ＋2x －3＝2得x ＝8－a 3，∵分式方程有正整数解，且x ≠3，∴a ＝2，5，则这6个数中所有满足条件的a 的值之积是2×5＝10.9. B 【解析】分式方程去分母得a －1＝3x －3，解得x ＝a ＋23，由分式方程的解为正数，得到a ＋2>0且x ≠1，解得a >－2且a ≠1；不等式组整理得⎩⎨⎧x >75x <3＋a5，由不等式组无解，得到75≥3＋a5，即a ≤4，∴a的取值范围是－2<a ≤4且a ≠1.∴满足条件的整数a 的值为－1，0，2，3，4.∴所有满足条件的整数a 的绝对值之和是10.10. B 【解析】解不等式x ＋5<5x ＋1，得x >1，解不等式x －a >－4，得x >a －4，∵该不等式组的解集为x >1，∴a －4≤1，解得a ≤5.解方程ax －6x －2＝2，得x ＝2a －2，∵分式方程ax －6x －2＝2的解为非负数，∴2a －2≥0且2a －2≠2.解得a >2且a ≠3，∴满足条件的整数a 为4、5，∴取到满足条件的整数a 的和为9. 11. D 【解析】解不等式3－x ≥a －2(x －1)，得x ≥a －1；解不等式2－x ≥1－x2，得x ≤3；解不等式2x ＋6>0，得x >－3，由题意知－3<a －1≤3，即－2<a ≤4，解分式方程y －51－y ＋3＝ay －1，得y ＝a －22，∵分式方程有整数解且y ≠1，∴a 为0，2.∴满足条件的整数a 的个数是2.。

含字母参数分式方程的有增根、有解和无解问题

含字母参数分式方程的有增根、有解和无解问题【要点梳理】要点一分式方程的增根分式方程有增根，指的是解分式方程时，在把分式方程转化为整式方程的变形过程中，方程的两边都乘了一个可能使分母为零的整式，从而扩大了未知数的取值范围而产生的未知数的值；要点二分式方程的无解而分式方程无解则是指不论未知数取何值，都不能使方程两边的值相等．它包含两种情形：（一）原方程化去分母后的整式方程无解；（二）原方程化去分母后的整式方程有解，但这个解却使原方程的分母为0，它是原方程的增根，从而原方程无解.【典型例题】类型一、概念理解1.分式方程的增根概念：把分式方程化为整式方程后，得到的整式方程的根使分式方程中分母的值为0，分式方程无解，这样的根叫做________．检验方法：将解得的整式方程的根代入最简公分母，看计算结果是否为0，不为0就是原分式方程的根，若为0则为增根，必须舍去．【答案】增根解：把分式方程化为整式方程后，得到的整式方程的根使分式方程中分母的值为0，分式方程无解，这样的根叫做增根，故答案为：增根．2.分式方程有增根与分式方程无解的关系：分式方程的增根与无解并非同一个概念，分式方程无解，可能是解为增根，也可能是去分母后的整式方程无解．分式方程的增根是去分母后的________方程的根，也是使________方程的分母为0的根．【答案】整式分式分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程的分母为0的根．故答案为：整式，分式类型二、含参分式方程的增根3、关于x 的方程225111m x x x +=+--去分母转化为整式方程后产生增根，求m 的值．【答案】－10或－4【分析】方程两边同时乘以21x -将分式方程化为整式方程，再将整式方程的增根代入整式方程中计算求解即可.解：方程两边同乘以21x -，得2(1)5(1)x x m --+=，当210x -=时，1x =±，∴关于x 的方程225111m x x x +=+--的增根为±1，当1x =时，2(11)5(11)10m =--+=-；当1x =-时，2(11)5(11)4m =----+=-，故m 的值为10-或4-．【点拨】本题主要考查分式方程的增根，解题的关键是理解增根产生的原因，并能从整式方程中代入增根求解对应参数.举一反三：【变式1】如果解关于x 的分式方程1134x m x x +-=-+出现了增根，求m 的值．【答案】-3【分析】分式方程的增根是分式方程转化为整式方程的根，且使分式方程的分母为0的未知数的值．解：由分式方程1134x m x x +-=-+去分母，整理得（m+2）x=-4m-15，由分母可知，分式方程的增根可能是3或-4，当x=3时，（m+2）×3=-4m-15，解得m=-3，当x=-4时，（m+2）×（-4）=-4m-15，此方程无解．故m 的值为-3．【点拨】本题考查了分式方程的增根．增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．【变式2】已知关于x 的方程214339m m x x x +-=+--．（1）若m ＝﹣3，解这个分式方程；（2）若原分式方程无解，求m 的值．【答案】（1）x ＝5.5；（2）m ＝﹣1，m ＝2，m ＝﹣47．【分析】（1）把m ＝−3代入原方程得23134339x x x -+-=+--，方程两边都乘最简公分母（x −3）（x ＋3），可以把分式方程转化为整式方程求解；（2）方程两边都乘最简公分母（x −3）（x ＋3），分式方程转化为整式方程，m （x −3）＋（x ＋3）＝m ＋4，整理得（m ＋1）x ＝1＋4m ，原分式方程无解，m ＋1＝0，m ＝−1，然后把x ＝3．x ＝−3分别代入整式方程求m 值．解：（1）依题意把m ＝﹣3代入原方程得23134339x x x --+-=+--．方程两边都乘最简公分母（x ﹣3）（x +3）得，﹣3（x ﹣3）+（x +3）＝1，解得x ＝5.5，检验：把x ＝5.5代入（x +3）（x ﹣3）≠0．∴x ＝5.5是原方程的解；（2）当（x +3）（x ﹣3）＝0时．x ＝±3．方程两边都乘最简公分母（x ﹣3）（x +3），得，m （x ﹣3）+（x +3）＝m +4，整理得（m +1）x ＝1+4m ，∵原分式方程无解．∴m +1＝0，m ＝﹣1．把x ＝±3代入m （x ﹣3）+（x +3）＝m +4． m ＝2，m ＝﹣47． ∴m ＝﹣1，m ＝2，m ＝﹣47．【点拨】分式方程转化为整式方程求解，最后注意需检验．无解注意整式方程一次项系数带字母系数，字母系数为零，再把增根代入化简的整式方程，这样不漏m 的值．类型三、含参分式方程的有解、无解问题4、若关于x 的分式方程212111m x x x -=--+无解．求m 的值．【答案】2或－4【分析】分式方程去分母转化为整式方程，根据分式方程无解得到x ＝1或−1，代入整式方程即可求出m 的值．解：分式方程两边同乘（x ＋1）（x −1），去分母得：m －（x ＋1）＝2（x −1），整理得：3x ＝m ＋1，由分式方程无解得到x −1＝0，或x ＋1＝0，即x ＝1或−1，代入整式方程得：m ＝2或－4．【点拨】此题考查了分式方程的解，解决本题的关键是熟记分式方程无解即最简公分母为0．举一反三：【变式1】关于x 的分式方程3601(1)x k x x x x ++-=--有解，则k 该满足什么条件？【答案】3k ≠-且5k ≠.【分析】根据分式方程有解的条件进行求解即可；解：方程去分母得：()()3160x x x k -+-+=，去括号得：3360x x x k -+--=，移项、合并得：83x k =+，∵该分式方程有解，∴0x ≠且1x ≠，即30k +≠，且38k +≠，解得：3k ≠-目5k ≠．【点拨】本题主要考查了分式方程有解的相关计算，准确分析计算是解题的关键．【变式2】若关于x 的方程：234393ax x x x +=--+无解，求a 的值．【答案】a ＝1或8或﹣6．【分析】分式的无解分两种情况来解：（1）是分式有增根，即分母为零；（2）是分式方程转化成整式方程后，整数方程无解，即未知数系数为0．解：分式方程去分母得：3x +9+ax ＝4x ﹣12，（1）由分式方程有增根，得到（x +3）（x ﹣3）＝0，即x ＝3或x ＝﹣3，把x ＝3代入整式方程得：18+3a ＝0，即a ＝﹣6；把x ＝﹣3代入整式方程得：﹣3a ＝﹣24，即a ＝8，综上，a 的值为﹣6或8．（2）整式方程整理得：（a ﹣1）x ＝﹣21，由方程无解，得到a ﹣1＝0，即a ＝1或8或﹣6．【点拨】注意区分分式方程无解和有增根两种情况．分式方程无解包括有增根和化成整数方程后无解的情况，而有增根仅仅是分式分母为0一种情形．类型四、分式方程的增根和无解综合5、有下列说法：①不论k 取何实数，多项式x 2﹣ky 2总能分解能两个一次因式积的形式；②关于x 的分式方程3122++=--x m x x 无解，则m ＝1；③关于x 、y 的方程组252ax y x ay a +=-⎧⎨-+=⎩，将此方程组的两个方程左右两边分别对应相加，得到一个新的方程，其中，当a 每取一个值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解，则这个公共解为31x y =⎧⎨=-⎩，其中正确的是____．（填序号）【答案】②③【分析】分别运用因式分解的公式法、分式方程的解法及解二元一次方程组的方法，可作出判断．解：①当k 为负值时，多项式x 2﹣ky 2不能分解能两个一次因式积的形式，故①不正确；②将关于x的分式方程3122++=--x mx x两边同时乘以（x﹣2）得3﹣x﹣m＝x﹣2∴x＝52m，∵原分式方程无解，∴x＝2，∴52m＝2，解得m＝1，故②正确；③将所给方程组的两个方程左右两边分别对应相加，得（a﹣1）x+（a+2）y＝2a﹣5，（x+y）a+2y﹣x＝2a﹣5，∴225x yy x+=⎧⎨-=-⎩，解得：31 xy=⎧⎨=-⎩则当a每取一个值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解，则这个公共解为31xy=⎧⎨=-⎩，故③正确．综上，正确答案为：②③．【点拨】本题考查了因式分解、分式方程的解、二元一次方程组的解，解题关键是理解题意，遵循题意按照相应的解题方法准确进行计算．举一反三：【变式1】已知关于x的分式方程512x ax x+-=-．(1)若分式方程的根是5x=，求a的值；(2)若分式方程有增根，求a的值；(3)若分式方程无解；求a的值的．【答案】(1)1;(2)-2;(3)3或-2【分析】分式方程去分母转化为整式方程，（1）把x=5代入整式方程求出a的值即可；（2）由分式方程有增根，得到最简公分母为0求出x的值，代入整式方程求出a的值即可；（3）分a-3=0与a-3≠0两种情况，根据分式方程无解，求出m的值即可．解：(1)去分母得，x（x+a）-5（x-2）=x（x-2），整理得：(3)100a x -+=把x =5代入(3)100a x -+=得，5(3)100a -+=，∴a =1；(2) 由分式方程有增根，得到x （x -2）=0，解得：x=2或x=0，把x=2代入整式方程(3)100a x -+=得：a=-2；把x=0代入整式方程(3)100a x -+=得：a 的值不存在，∴分式方程有增根，a=-2(3) 化简整式方程得：（a -3）x =-10，当a -3=0时，该方程无解，此时a =3；当a -3≠0时，要使原方程无解，必须为分式方程增根，由（2）得：a =-2，综上，a 的值为3或-2．【点拨】此题考查了分式方程的解和增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．【变式2】已知W ＝（1122a a +-+）÷2244a a a -+．（1）化简W ；（2）若a ，2，4恰好是等腰△ABC 的三边长，求W 的值．（3）若12k W a +=+的解为正数，求k 的取值范围．【答案】(1)22a a -+；(2)W 的值为13；(3)3k >-. 【分析】（1）先算括号里的，再运用完全平方公式进行化简即可得；（2）根据a ，2，4恰好是等腰△ABC 的三边长可得a ＝4，将a ＝4代入即可得；（3）根据题意得2122a k a a -+=++，解得3a k =+，根据12k W a +=+的解为正数得30k +>，进行计算即可得．(1)解：2112()2244a W a a a a =+÷-+-+ =2222(2)(2)(2)(2)(2)a a a a a a a a ⎡⎤+-+÷⎢⎥+-+--⎣⎦ =22(2)(2)(2)2a a a a a-+- =22a a -+ 解：∵a ，2，4恰好是等腰△ABC 的三边长，∴a ＝4，2422124263a W a --====++． (3) 解：由题意得，2122a k a a -+=++， 21a k -=+3a k =+ ∵12k W a +=+的解为正数， ∴30k +>，2320a k +=++≠3k >-．【点拨】本题考查了分式的化简求值，等腰三角形，分式方程，解题的关键是掌握这些知识点．【变式3】阅读下列材料：在学习“分式方程及其解法”的过程中，老师提出一个问题：若关于x 的分式方程14a x =-的解为正数，求a 的取值范围．经过独立思考与分析后，小明和小聪开始交流解题思路，小明说：解这个关于x 的方程，得到方程的解为4x a =+，由题目可得40a +>，所以4a >-，问题解决．小聪说：你考虑的不全面，还必须保证4a ≠-才行．(1)请回答：的说法是正确的，正确的理由是．完成下列问题：(2)已知关于x 的方程233m x x x -=--的解为非负数，求m 的取值范围； (3)若关于x 的方程322133x nx x x --+=---无解，求n 的值．【答案】(1)小聪，分式的分母不能为0；(2)6m ≥-且3m ≠-；(3)1n =或53．【解析】【分析】（1）根据分式有意义的条件：分母不能为0，即可知道小聪说得对；（2）首先按照解分式方程的步骤得到方程的解，再利用解是非负数即可求出m 的取值范围；（3）按照解分式方程的步骤去分母得到整式方程，若分式方程无解，则得到增根或者整式方程无解，即可求出n 的范围．(1)解：∵分式方程的解不能是增根，即不能使分式的分母为0∴小聪说得对，分式的分母不能为0．(2) 解：原方程可化为233m x x x +=-- 去分母得：2(3)m x x +=-解得：6x m =+∵解为非负数∴60m +≥，即6m ≥-又∵30x -≠∴63m +≠，即3m ≠-∴6m ≥-且3m ≠-(3) 解：去分母得：322(3)x nx x -+-=--解得：(1)2n x -=∵原方程无解∴10n -=或者3x =①当10n -=时，得：1n =②当3x =时，23(1)n =-，得：53n = 综上：当1n =或53n =时原方程无解．【点拨】本题考查了解分式方程以及根据分式方程的解确定参数范围，重点要掌握解分式方程的步骤：去分母化成整式方程；再解整式方程；验根．理解当分式方程无解时包含整式方程无解和有曾根两种情况．。

(完整版)含有参数的分式方程

含有参数的分式方程【问题一】解含有参数的分式方程例如：解关于x 的方程11(1)1a a x +=≠- 分析：解分式方程的一般是方法将分式方程转化为整式方程，通过在等式两边乘以最简公分母达到去分母的效果。

在解决含有参数的分式方程时，将参数看作一个常数进行运算，用含有参数的代数式表示方程的解。

解：去分母，方程两边同时乘以1x -得：1(1)1a x x +-=-整理方程得：(1)2a x a -=-∵1a ≠，∴10a -≠， ∴21a x a -=- 检验，当21a x a -=-时，10x -≠ ∴原分式方程的解为21a x a -=- 小结：将等式中的参数看作常数，用含有参数的代数式表示一个未知数的值，是解决含参问题的基本方法。

练习：解关于x 的方程10(0,1)1m m m x x -=≠≠+且（1m x m=-）【问题二】已知含有参数的分式方程有特殊解，求参数的值例如：当a 为何值时，关于x 的方程12325x a x a +-=-+的解为0. 分析：将方程的解代入原方程建立关于参数的方程。

解：当x =0是方程的解时有0123025a a +-=-+，解得 15a = 当15a =时，50a +≠ 所以15a =是方程23152a a -=-+的解. 所以当15a =时，原方程的解为0 . 小结：方程的解是指使得等式两边相等的未知数的值，所以将方程的解代入原式，等式依然成立。

练习：当a 为何值时，关于x 的方程2334ax a x +=-的解为1. （3a =）【问题三】已知含有参数的分式方程解的范围，求参数的值例如：已知关于x 的方程233x m x x -=--的解为正数，试求m 的取值范围. 分析：将m 看作常数，表示出方程的解，根据方程的解的范围建立关于m 的关系式，注意方程有意义这个前提条件.解：去分母得：2(3)x x m --=解得6x m =-∵原方程的解为正数，∴0x >，即60m ->……………①又∵原方程要有意义 ∴30x -≠，即63m -≠……………②由①②可得6m <且3m ≠所以，当6m <且3m ≠时，方程的解为正数.小结：用含有参数的代数式将方程的解表示出来，进而根据原方程解的范围，建立与参数有关的关系式子。

含参数分式方程问题详解

分式方程参数问题求分式方程中参数（字母系数）的取值范围的问题是一类非常重要的题目，在各类试题中出现频率较高，和解分式方程的题目相比，它更能考差学生思维的全面性和敏捷程度。

在此类题目中往往首先给出分式方程解的情况，让解题者作出逆向判断，从而确定参数的取值范围。

由于分式方程是先化成整式方程求解的，并且在去分母化简的过程中容易扩大未知数的范围，所以求出的参数的取值范围也就不准确了。

例1. 已知关于x 的分式方程132323-=--+--xmxx x 无解，求m 的值。

正解：将原方程化为整式方程，得：()21-=-x m ，因为原分式方程无解，所以()01=-m 或312=--m所以m=1或 m=35．辨析：产生错误的原因是只从字面意思来理解“无解”，认为“无解”就单单是解不出数来。

实际上，导致分式方程无解的原因有两个：①解不出数来，也就是整式方程无解；②解出的数不符合原方程，也就是整式方程虽然有解，但这个解能使最简公分母为零．例2. 已知关于x 的分式方程323-=--x mx x 有一个正解，求m 的取值范围。

正解：将原方程化为整式方程，得：()m x x =--32∴m x -=6，∵原方程有解且是一个正解 ∴06>-m 且36≠-m ∴m 的取值范围是：m ＜6且m ≠3辨析：产生错误的原因是忽视了分式方程的解必须满足的条件：最简公分母不等于零。

误认为分式方程有一个正解就是整式方程有一个正解，从而简单处理了事。

实际上，题目隐含着一个重要的条件：x ≠3, 有一个正解并不表示所有的正数都是它的解，而表示它有一个解并且这个解是一个正数两层含义。

例3：已知关于x 的分式方程42212-=-+x m x x 的解也是不等式组()⎪⎩⎪⎨⎧-≤-->-832221x x x x的一个解，求m 的取值范围。

正解：解不等式组()⎪⎩⎪⎨⎧-≤-->-832221x x x x得：x ≤-2 将分式方程42212-=-+x m x x 化为整式方程，得：m x x x 2)2(42=+--解这个整式方程得：2--=m x ∴分式方程42212-=-+x mx x 的解为：2--=m x （其中m ≠0和-4）由题意得：22-≤--m ,解得：0≥m ∴m 的取值范围是：m ＞0．辨析：产生错误的原因是忽视了分式方程的解必须满足的条件：最简公分母不等于零。

专题02 方程、不等式中的含参问题-玩转压轴题,争取满分之备战中考数学选填题高端精品(解析版)

专题二方程、不等式中的含参问题【考法综述】1.一次方程组的含参问题一是方程组与不等式的联系时，产生的未知数的正数解或解的范围，解决这类问题是把所给的参数作为常数，利用二元一次方程组的解法代入消元法、加减消元法，先求出二元一次方程组的解，再结合所给的条件转化为对应的不等式问题；二是利用整体思想，求代数式的值，结合所给的已知条件和所求问题，找到两者之间的联系，利用整体思想和转化思想加以解决.2.一元二次方程的参数问题主要是含有参数的一元二次方程的解、一元二次方程的解的情况、一元二次方程的公共解，针对一元二次方程的参数，常利用韦达定理、根的判别式来解决，同时注意二次项系数不能为零.若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个根分别为x1、x2,则x1+x2=-b/a,x1x2=c/a.注意运用根与系数关系的前提条件是△≥0.已知一元二次方程，求关于方程两根的代数式的值时，先把所求代数式变形为含有x1+x2、x1x2的式子，再运用根与系数的关系求解.3．分式方程的参数问题主要是分式方程无解、有正数解或负数解、整数解的问题，解决此类问题的关键是化分式方程为整式方程.在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．4.不等式、不等式组的参数问题主要涉及不等式（组）有解问题、无解问题、解的范围问题，解决此类问题，要掌握不等式组的解法口诀以及在数轴上熟练表示出解集的范围.已知不等式（组）的解集情况，求字母系数时，一般先视字母系数为常数，再逆用不等式（组）解集的定义，反推出含字母的方程，最后求出字母的值.学+科网【典例剖析】考点一、一次方程组的含参问题例1方程组的解x，y满足x＞y，则m的取值范围是（）A．m＞B．m＞C．m＞D．m＞【答案】﹣．【解析】试题分析：解此题时可以运用代入消元法，解出二元一次方程组中x，y关于m的式子，然后根据x＞y解出m的取值范围．试题解析：由①得x=，代入②得，8×﹣3y=m，y=．∵x＞y，即＞，解得m＞．故选D．【点评】此题考查的是二元一次方程组和不等式的性质，先解出x，y关于m的式子，再根据x＞y，求出m 的范围即可．&变式训练&变式1.1已知x+2y﹣3z=0，2x+3y+5z=0，则=．【点评】此题需将三元一次方程组中的一个未知数当做已知数来处理，转化为二元一次方程组来解．变式1.2已知三个非负实数a，b，c满足：3a+2b+c=5和2a+b﹣3c=1，若m=3a+b﹣7c，则m的最小值为．【解析】试题分析：解方程组，用含m的式子表示出a，b，c的值，根据a≥0，b≥0，c≥0，求得m的取值范围而求得m的最小值．试题解析：由题意可得，解得a=﹣3，b=7﹣，c=，由于a，b，c是三个非负实数，∴a≥0，b≥0，c≥0，∴﹣≥m≥﹣．﹣．所以m最小值=故本题答案为：﹣．变式1.3已知等式（2A﹣7B）x+（3A﹣8B）=8x+10对一切实数x都成立，则A=，B=．【答案】，﹣．【解析】【点评】本题考查了二元一次方程组的解法．解决本题的关键在于转化为关于A、B的二元一次方程组；体现了转化思想的应用．学科+网考点二、一元二次方程的含参问题例2关于x的方程x2+mx﹣9=0和x2﹣3x+m2+6m=0有公共根，则m的值为．【答案】﹣3，0，﹣4.5．【解析】试题分析：设这个公共根为α，那么根据两根之和的表达式，可知方程x2+mx﹣9=0的两根为α、﹣m﹣α；方程x2﹣3x+m2+6m=0的两根为α、3﹣α．再根据两根之积的表达式，可知α（﹣m﹣α）=﹣9，α（3﹣α）=m2+6m，然后对两式整理，用α表示m，再代入其中一个方程消掉α，求解即可得到m的值．试题解析：设这个公共根为α．则方程x2+mx﹣9=0的两根为α、﹣m﹣α；方程x2﹣3x+m2+6m=0的两根为α、3﹣α，由根与系数的关系有：α（﹣m﹣α）=﹣9，α（3﹣α）=m2+6m，整理得，α2+mα=9①，α2﹣3α+m2+6m=0②，②﹣①得，m2+6m﹣3α﹣mα=﹣9，即（m+3）2﹣α（m+3）=0，（m+3）（m+3﹣α）=0，所以m+3=0或m+3﹣α=0，解得m=﹣3或α=m+3，把α=m+3代入①得，（m+3）2+m（m+3）=9，m2+6m+9+m2+3m=9，m（2m+9）=0，所以m=0或2m+9=0，解得m=0或m=﹣4.5，综上所述，m的值为﹣3，0，﹣4.5．故答案为：﹣3，0，﹣4.5．【点评】本题主要考查了公共根的定义，一元二次方程根与系数的关系及由两个二元二次方程组成的方程组的解法．高次方程组的解法在初中教材中不要求掌握，属于竞赛题型，本题有一定难度．&变式训练&变式2.1已知a是一元二次方程x2﹣2008x+1=0的一个根，则代数式的值是．【答案】2007【解析】试题分析：将一个根a代入x2﹣2008x+1=0，可得：a2﹣2008a+1=0，故有a2﹣2007a=a﹣1，和a2+1=2008a；代入要求的代数式，整理化简即可．试题解析：由题意，把根a代入x2﹣2008x+1=0，可得：a2﹣2008a+1=0，∴a2﹣2007a﹣a+1=0，a2+1=2008a；∴a2﹣2007a=a﹣1，∴=a﹣1+=a+﹣1=﹣1=﹣1=2008﹣1，=2007．【点评】本题规律为已知一元二次方程的一个解，则这个解一定满足方程，将其代入方程去推理、判断；将代数式与已知条件联系起来，从两头朝中间寻找关系．变式2.2已知关于x的方程（k2﹣1）x2+（2k﹣1）x+1=0有两个不相等的实数根，那么实数k的取值范围为．【答案】k＜且k≠±1【点评】总结：1、一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．2、一元二次方程的二次项系数不为0．变式2.3已知α、β是方程x2﹣2x﹣4=0的两个实数根，则α3+8β+6的值为（）A．﹣1B．2C．22D．30【答案】D【解析】试题分析：根据求根公式x=求的α、β的值，然后将其代入所求，并求值．试题解析：方法一：方程x2﹣2x﹣4=0解是x=，即x=1±，∵α、β是方程x2﹣2x﹣4=0的两个实数根，∴①当α=1+，β=1﹣时，α3+8β+6，=（1+）3+8（1﹣）+6，=16+8+8﹣8+6，=30；②当α=1﹣，β=1+时，α3+8β+6，=（1﹣）3+8（1+）+6，=16﹣8+8+8+6，=30．方法二：∵α、β是方程x2﹣2x﹣4=0的两个实数根，∴α+β=2，α2﹣2α﹣4=0，∴α2=2α+4∴α3+8β+6=α•α2+8β+6=α•（2α+4）+8β+6=2α2+4α+8β+6=2（2α+4）+4α+8β+6=8α+8β+14=8（α+β）+14=30，故选D．变式2.4对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），下列说法：①若b=2，则方程ax2+bx+c=0一定有两个相等的实数根；②若方程ax2+bx+c=0有两个不等的实数根，则方程x2﹣bx+ac=0也一定有两个不等的实数根；③若c是方程ax2+bx+c=0的一个根，则一定有ac+b+1=0成立；④若x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，则b2﹣4ac=（2ax0+b）2，其中正确的（）A．只有①②③B．只有①②④C．①②③④D．只有③④【答案】B【解析】试题分析：判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式△=b2﹣4ac的值的符号就可以了．④难度较大，用到了求根公式表示x0．试题解析：①若b=2，方程两边平方得b2=4ac，即b2﹣4ac=0，所以方程ax2+bx+c=0一定有两个相等的实数根；②若方程ax2+bx+c=0有两个不等的实数根，则b2﹣4ac＞0方程x2﹣bx+ac=0中根的判别式也是b2﹣4ac=0，所以也一定有两个不等的实数根；③若c是方程ax2+bx+c=0的一个根，则一定有ac2+bc+c=0成立，当c≠0时ac+b+1=0成立；当c=0时ac+b+1=0不成立；④若x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，可得x0=，把x0的值代入（2ax0+b）2，可得b2﹣4ac=（2ax0+b）2，综上所述其中正确的①②④．故选B【点评】此题主要考查了根的判别式及其应用．尤其是④难度较大，用到了求根公式表示x0，整体代入求b2﹣4ac=（2ax0+b）2．考点三、分式方程的含参问题例3．已知方程的两根分别为a，，则方程=a+的根是（）A．a，B．，a﹣1C．，a﹣1D．a，【答案】D【解析】试题分析：首先观察已知方程的特点，然后把方程=a+变形成具有已知方程的特点的形式，从而得出所求方程的根．【点评】观察出已知方程的特点是解答本题的前提，把方程=a+变形成具有已知方程的特点的形式是解答本题的关键．&变式训练&变式3.1若关于x的方程=3的解是非负数，则b的取值范围是．【答案】b≤3且b≠2【解析】试题分析：先解关于x的分式方程，求得x的值，然后再依据“解是非负数”建立不等式求b的取值范围．试题解析：去分母得，2x﹣b=3x﹣3∴x=3﹣b∵x≥0∴3﹣b≥0解得，b≤3又∵x﹣1≠0∴x≠1即3﹣b≠1，b≠2则b的取值范围是b≤3且b≠2．【点评】由于我们的目的是求b的取值范围，根据方程的解列出关于b的不等式，另外，解答本题时，易漏掉分母不等于0这个隐含的条件，这应引起足够重视．变式3.2观察分析下列方程：①，②，③；请利用它们所蕴含的规律，求关于x 的方程（n为正整数）的根，你的答案是：．【答案】x=n+3或x=n+4．【解析】试题分析：首先求得分式方程①②③的解，即可得规律：方程x+=a+b的根为：x=a或x=b，然后将x+=2n+4化为（x﹣3）+=n+（n+1），利用规律求解即可求得答案．试题解析：∵由①得，方程的根为：x=1或x=2，由②得，方程的根为：x=2或x=3，由③得，方程的根为：x=3或x=4，∴方程x+=a+b的根为：x=a或x=b，∴x+=2n+4可化为（x﹣3）+=n+（n+1），∴此方程的根为：x﹣3=n或x﹣3=n+1，即x=n+3或x=n+4．故答案为：x=n+3或x=n+4．【点评】此题考查了分式方程的解的知识．此题属于规律性题目，注意找到规律：方程x+=a+b的根为：x=a或x=b是解此题的关键．变式3.3已知关于x的方程只有整数解，则整数a的值为．【答案】﹣2，0或4【解析】试题分析：首先解此分式方程，即可求得x==﹣2﹣，由方程只有整数解，可得1﹣a=3或1或﹣3或﹣1，然后分别分析求解即可求得答案，注意分式方程需检验．试题解析：方程两边同乘以（x﹣1）（x+2），得：2（x+2）﹣（a+1）（x﹣1）=3a，解得：x==﹣2﹣，∵方程只有整数解，∴1﹣a=3或1或﹣3或﹣1，当1﹣a=3，即a=﹣2时，x=﹣2﹣1=﹣3，检验，将x=﹣3代入（x﹣1）（x+2）=4≠0，故x=﹣3是原分式方程的解；当1﹣a=1，即a=0时，x=﹣2﹣3=﹣5，检验，将x=﹣5代入（x﹣1）（x+2）=18≠0，故x=﹣7是原分式方程的解；当1﹣a=﹣3，即a=4时，x=﹣2+1=﹣1，检验，将x=﹣1代入（x﹣1）（x+2）=﹣2≠0，故x=﹣1是原分式方程的解；当1﹣a=﹣1，即a=2时，x=1，检验，将x=1代入（x﹣1）（x+2）=0，故x=1不是原分式方程的解；∴整数a的值为：﹣2，0或4．学*科网故答案为：﹣2，0或4．【点评】此题考查了分式方程的解知识．此题难度较大，注意分类讨论思想的应用是解此题的关键．考点四、不等式（组）的含参问题例4．[x]表示不超过x的最大整数．如，[π]=3，[2]=2，[﹣2.1]=﹣3．则下列结论：①[﹣x]=﹣[x]；②若[x]=n，则x的取值范围是n≤x＜n+1；③当﹣1＜x＜1时，[1+x]+[1﹣x]的值为1或2；④x=﹣2.75是方程4x﹣2[x]+5=0的唯一一个解．其中正确的结论有（写出所有正确结论的序号）．【答案】②③．【解析】试题分析：①举出反例即可求解；②根据[x]表示不超过x的最大整数的定义即可求解；③分两种情况：﹣1＜x＜0；x=0；0＜x＜1；进行讨论即可求解；④首先确定x﹣[x]的范围为0～1，依此可得﹣5≤2x＜﹣7，即﹣2.5≤x＜﹣3.5，再找到满足条件的x值即为所求．④x﹣[x]的范围为0～1，4x﹣2[x]+5=0，﹣5≤2x＜﹣7，即﹣2.5≤x＜﹣3.5，x=﹣2.75或x=﹣3.25都是方程4x﹣2[x]+5=0，故原来的说法错误．故答案为：②③．【点评】本题考查了不等式的应用，正确理解[x]表示不超过x的最大整数是关键．&变式训练&变式4.1如果关于x的不等式（a+b）x+2a﹣b＞0的解集是x＜，那么关于x的不等式（b﹣a）x+a+2b≤0的解集是．【答案】x≥﹣．【解析】试题分析：先根据关于x的不等式（a+b）x+2a﹣b＞0的解集是x＜，得出b=﹣3a以及a的取值范围，进而得到b﹣a=﹣4a＜0，再根据b=﹣3a，即可得到关于x的不等式（b﹣a）x+a+2b≤0的解集．试题解析：∵关于x的不等式（a+b）x+2a﹣b＞0的解集是x＜，∴x＜，∴=，且a+b＜0，即b=﹣3a，a+b＜0，∴a﹣3a＜0，即a＞0，∴b﹣a=﹣4a＜0，∴关于x的不等式（b﹣a）x+a+2b≤0的解集是x≥，∵==﹣，∴关于x的不等式（b﹣a）x+a+2b≤0的解集是x≥﹣，故答案为：x≥﹣．【点评】本题主要考查了解一元一次不等式的应用，解题时注意：根据不等式的基本性质，在去分母和化系数为1时可能需要改变不等号方向．变式4.2若不等式组无解，则m的取值范围是．【答案】m＜【解析】试题分析：先求出各个不等式的解集，因为不等式组无解，所以必须是大大小小找不到的情况，由此即可求出答案．试题解析：解不等式组可得，因为不等式组无解，所以m＜．【点评】本题主要考查了已知一元一次不等式组的解集，求不等式组中的字母的值，同样也是利用口诀求解．变式4.3按下面程序计算，若开始输入x的值为正数，最后输出的结果为656，则满足条件所有x的值是．【答案】131或26或5或【解析】试题分析：利用逆向思维来做，分析第一个数就是直接输出656，可得方程5x+1=656，解方程即可求得第一个数，再求得输出为这个数的第二个数，以此类推即可求得所有答案．【点评】此题考查了方程与不等式的应用．注意理解题意与逆向思维的应用是解题的关键．变式4.4若关于x的不等式组解集为x＜2，则a的取值范围是．【答案】a≥2【解析】试题分析：求出不等式组的解集，与已知解集x＜2比较，可以求出a的取值范围．试题解析：由＞+1，得2x+8＞3x+6，解得x＜2，由x﹣a＜0，得x＜a，又因关于x的不等式组解集为x＜2，所以a≥2．【点评】本题是已知不等式组的解集，求不等式中另一未知数的问题．可以先将另一未知数当作已知数处理，求出解集与已知解集比较，进而求得另一个未知数．【实战演练】1.（2017重庆A 卷第12题）若数a 使关于x 的分式方程2411y a x x++=--的解为正数，且使关于y 的不等式组12()y 232y a y ⎧+->-≤⎪⎨⎪⎩的解集为y＜﹣2，则符合条件的所有整数a 的和为（）A．10B．12C．14D．16【答案】B.【解析】试题解析：分式方程2411y a x x ++=--的解为x=6-4a ，∵关于x 的分式方程+=4的解为正数，∴6-4a ＞0，∴a＜6．y 123)02(2①y ②y a ⎧+>≤--⎪⎨⎪⎩，解不等式①得：y＜﹣2；解不等式②得：y≤a．∵关于y 的不等式组12()y 232y a y ⎧+->-≤⎪⎨⎪⎩的解集为y＜﹣2，∴a≥﹣2．∴﹣2≤a＜6．∵a 为整数，∴a=﹣2、﹣1、0、1、2、3、4、5，（﹣2）+（﹣1）+0+1+2+3+4+5=12．故选B．学*科网考点：1.分式方程的解；2.解一元一次不等式组.2.（2017甘肃兰州第6题）如果一元二次方程2230x x m ++=有两个相等的实数根，那么是实数m 的取值A.98m >B.89m >C.98m =D.89m =【答案】98m =考点：根的判别式．3.（2017山东烟台第10题）若21,x x 是方程01222=--+-m m mx x 的两个根，且21211x x x x -=+，则m 的值为（）A．1-或2B．1或2- C.2-D．1【答案】D．【解析】试题解析：∵x 1，x 2是方程x 2﹣2mx+m 2﹣m﹣1=0的两个根，∴x 1+x 2=2m，x 1•x 2=m 2﹣m﹣1．∵x 1+x 2=1﹣x 1x 2，∴2m=1﹣（m 2﹣m﹣1），即m 2+m﹣2=（m+2）（m﹣1）=0，解得：m 1=﹣2，m 2=1．∵方程x 2﹣2mx+m 2﹣m﹣1=0有实数根，∴△=（﹣2m）2﹣4（m 2﹣m﹣1）=4m+4≥0，解得：m≥﹣1．∴m=1．故选D．考点：根与系数的关系．4.(2017江苏宿迁第5题)已知45m <<，则关于x 的不等式组0420x m x -<⎧⎨-<⎩的整数解共有A ．1个B．2个 C.3个D．4个5.(2017浙江金华第9题)若关于x 的一元一次不等式组()2132,x x x m->-⎧⎪⎨<⎪⎩的解是5x <，则m 的取值范围是（）A．5m ≥B．5m > C.5m ≤D．5m <【答案】A.【解析】试题分析：解第一个不等式得：x ＜5；解第二个不等式得：x ＜m ；因为不等式组的解是x ＜5，根据不等式组解集的判定方法即可得m ≥5，故选A.6.（2017甘肃庆阳第15题）若关于x 的一元二次方程（k-1）x 2+4x+1=0有实数根，则k 的取值范围是【答案】k≤5且k≠1.考点：根的判别式．7.（2017山东烟台第15题）运行程序如图所示，从“输入实数x ”到“结果是否18<”为一次程序操作，若输入x 后程序操作仅进行了一次就停止，则x 的取值范围是.【答案】x＜8．【解析】试题解析：依题意得：3x﹣6＜18，解得x＜8．考点：一元一次不等式的应用．考点：1.分式方程的解；2.解一元一次不等式9.（2017四川宜宾第13题）若关于x、y的二元一次方程组2m133x yx y⎧-=+⎨+=⎩的解满足x+y＞0，则m的取值范围是．【答案】m＞﹣2．考点：1.解一元一次不等式；2.二元一次方程组的解.10.(2017四川泸州第15题)关于x的分式方程2322x m mx x++=--的解为正实数，则实数m的取值范围是．【答案】m<6且m≠2.【解析】试题分析：方程两边同乘以x-2可得，x+m-2m=3（x-2），解得x=62m--，因方程的解为正实数，且x-2≠0，所以62m-->0且m≠2，即m<6且m≠2.11.(2017江苏宿迁第14题)若关于x的分式方程1322m xx x-=---有增根，则实数m的值是．【答案】1.【解析】试题分析：方程两边同乘以x-2，可得m=x-1-3（x-2），解得m=-2x+5，因分式方程1322m xx x-=---有增根，可得x=2，所以m=1.12.(2017山东菏泽第10题)关于的一元二次方程的一个根式，则的值是_______.【答案】0.【解析】试题分析：把x=0代入，得，解得k=1(舍去)，或k=0;。

分式方程及应用压轴(解析版)

分式方程及应用压轴考点一：解分式方程考点二：已知分式方程的解，求字母参数的值考点三：分式方程的特殊解问题考点四：分式方程的无解（增根）问题考点五：分式方程的应用问题【考点一：解分式方程】【典例1】（2023春•万源市校级期末）解方程：（1）1﹣＝（2）﹣＝．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）去分母得：x2﹣25﹣x﹣5＝x2﹣5x，解得：x＝，经检验x＝是分式方程的解；（2）去分母得：3x+3﹣2x+2＝1，解得：x＝﹣4，经检验x＝﹣4是分式方程的解．【变式1-1】（2023•青秀区校级模拟）解方程：+＝．【答案】见试题解答内容【解答】解：去分母得：2（x+1）+2x＝5x，去括号得：2x+2+2x＝5x，解得：x＝2，经检验x＝2是分式方程的解．【变式1-2】（2023秋•高邮市期末）解方程：（1）（2）﹣＝1．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）去分母得：x﹣5＝2x﹣5，移项合并得：x＝0，经检验x＝0是分式方程的解；（2）去分母得：（x+1）2﹣4＝x2﹣1，去括号得：x2+2x+1﹣4＝x2﹣1，解得：x＝1，经检验x＝1是增根，分式方程无解．【变式1-3】（2023秋•石河子校级期末）解方程：（1）；（2）．【答案】（1）x＝2；（2）无解．【解答】解：（1）去分母得：2＝5x﹣5，解得：x＝2，经检验x＝2是分式方程的解；（2）去分母得：16+x2﹣4＝x2+4x+4，解得：x＝2，经检验x＝2是增根，分式方程无解．【变式1-4】（2023秋•铁岭县期末）解方程：（1）（2）．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）去分母得：15x﹣12+x﹣3＝6x+5，移项合并得：10x＝20，解得：x＝2，经检验x＝2是分式方程的解；（2）去分母得：（x+1）2﹣4＝x2﹣1，去括号得：x2+2x+1﹣4＝x2﹣1，移项合并得：2x＝2，解得：x＝1，经检验x＝1是增根，分式方程无解．【考点二：已知分式方程的解，求字母参数的值】（2023秋•绥中县期末）已知关于x的方程的解是x＝1，则a的值为（）【典例2】A．2B．1C．﹣1D．﹣2【答案】C【解答】解：∵关于x的方程的解是x＝1，∴＝，解得a＝﹣1，经检验a＝﹣1是方程的解．故选：C．【变式2-1】（2023秋•常德期末）已知关于x的分式方程的解为x＝4，则a的值为（）A．4B．3C．0D．﹣6【答案】D【解答】解：将x＝4代入方程，得：，解得a＝﹣6，故选：D．（2023•武侯区校级模拟）已知x＝1是分式方程的解，则a的值为（）【变式2-2】A．﹣1B．1C．3D．﹣3【答案】D【解答】解：把x＝1代入分式方程得：＝，去分母得：8a+12＝3a﹣3，解得：a＝﹣3，∵a﹣1＝﹣4≠0，∴a的值为﹣3．故选：D．【变式2-3】（2023秋•平舆县期末）若分式方程的解为x＝2，则a的值是（）A．1B．2C．﹣1D．﹣2【答案】C【解答】解：∵分式方程的解为x＝2，∴＝，即＝1，解得a＝﹣1，经检验a＝﹣1是方程的解，所以原方程的解为a＝﹣1，故选：C．【变式2-4】（2023秋•绵阳期末）已知x＝2是关于x的分式方程的解，则a ＝．【答案】．【解答】解：把x＝2代入关于x的分式方程得：，，4a＝1，，检验：当时，2a≠0，∴是分式方程的解，故答案为：【考点三：分式方程的特殊解问题】【典例3】（2023秋•南陵县期末）若关于x的分式方程的解是正数，则m的取值范围是（）A．m＜4且m≠3B．m＜4C．m≠3D．m＞4且m≠3【答案】A【解答】解：方程两边同时乘以x﹣1得，1﹣m﹣（x﹣1）+2＝0，解得x＝4﹣m．∵x为正数，∴4﹣m＞0，解得m＜4．∵x≠1，∴4﹣m≠1，即m≠3．∴m的取值范围是m＜4且m≠3．故选：A．【变式3-1】（2023秋•陵城区期末）若关于x的分式方程的解为非负数，则a的取值范围是（）A．a＞1且a≠2B．a＜1C．a≥1且a≠2D．a≤1且a≠﹣2【答案】C【解答】解：，方程两边同时乘2（x﹣2）得：2（x﹣a）＝x﹣2，2x﹣2a＝x﹣2，2x﹣x＝2a﹣2，x＝2a﹣2，∵关于x的分式方程的解为非负数，∴2a﹣2≥0，2a≥2，a≥1，∵分式的分母x﹣2≠0，∴x≠2，即2a﹣2≠2，解得：a≠2，∴a≥1且a≠2，故选：C．【变式3-2】（2023秋•重庆期末）若关于x的不等式组的解集为x≥3，且关于y的分式方程有非负数解，则满足条件的所有整数a的和为．【答案】5．【解答】解：，解不等式①，得x≥3，解不等式②，得x＞a﹣2，∵原不等式组的解集为x≥3，∴a﹣2＜3，∴a＜5；解分式方程，得y＝，∵y＝1是原分式方程的增根，∴a≠4，∵≥0，∴a≥2；综上，2≤a＜5，且a≠4，∴满足条件的整数a为2或3，2+3＝5，故答案为：5．【考点四：分式方程的无解（增根）问题】（2023秋•滨州期末）若关于x的分式方程＝1无解，则a的值为（）【典例4】A．0B．1C．1或5D．5【答案】B【解答】解：+＝1，方程两边同时乘以x﹣5得：2﹣（a+1）＝x﹣5，去括号得，2﹣a﹣1＝x﹣5，解得x＝6﹣a，∵原分式方程无解，∴x＝5，∴m＝1，故选：B．【变式4-1】（2023秋•安顺期末）若关于x的分式方程无解，则k的取值是（）A．﹣3B．﹣3或﹣5C．1D．1或﹣5【答案】B【解答】解：，去分母，得6x＝x+3﹣k（x﹣1），∴（5+k）x＝3+k，∵关于x的分式方程无解，∴分两种情况：当5+k＝0时，k＝﹣5，当x（x﹣1）＝0时，x＝0或1，当x＝0时，0＝3+k，∴k＝﹣3，当x＝1时，5+k＝3+k，∴k不存在，故不符合题意，综上所述：k的值为：﹣3或﹣5．故选：B．【变式4-2】（2023秋•凉州区期末）若分式方程无解，则k的值为（）A．±1B．2C．1或2D．﹣1或2【答案】C【解答】解：，去分母得：2（x﹣2）+1﹣kx＝﹣1，2x﹣4+1﹣kx＝﹣1，2x﹣kx＝2，（2﹣k）x＝2，∵分式方程无解，∴x﹣2＝0，x＝2，2﹣k＝0，k＝2，当k＝1时，原方程为：，2（x﹣2）+1﹣x＝﹣1，2x﹣4+1﹣x+1＝0，x＝2，检验：当x＝2时，x﹣2＝0，∴k＝1时，原方程无解；综上可知：分式方程无解时，k的值为1或2，故选：C．【变式4-3】（2023秋•江汉区期末）若关于x的分式方程﹣＝1无解，则m的值为．【答案】见试题解答内容【解答】解：去分母得：x2﹣mx﹣3x+3＝x2﹣x，解得：（2+m）x＝3，由分式方程无解，得到2+m＝0，即m＝﹣2或x＝＝1，即m＝1，综上，m的值为﹣2或1．故答案为：﹣2或1【考点五：分式方程的应用问题】【典例5】（2023秋•信州区期末）某县为了落实中央的“强基惠民工程”，计划将某村的居民自来水管道进行改造．该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成；若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的3倍．如果由甲、乙队先合做15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需10天．（1）这项工程的规定时间是多少天？（2）已知甲队每天的施工费用为6500元，乙队每天的施工费用为3500元．为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙队合做来完成．则该工程施工费用是多少？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）设这项工程的规定时间是x天，根据题意得：（+）×15+＝1．解得：x＝30．经检验x＝30是原分式方程的解．答：这项工程的规定时间是30天．（2）该工程由甲、乙队合做完成，所需时间为：1÷（+）＝22.5（天），则该工程施工费用是：22.5×（6500+3500）＝225000（元）．答：该工程的费用为225000元．【变式5-1】（2023秋•藁城区期末）甲、乙两同学的家与学校的距离均为3000米．甲同学先步行600米，然后乘公交车去学校，乙同学骑自行车去学校．已知甲步行速度是乙骑自行车速度的，公交车的速度是乙骑自行车速度的2倍．甲、乙两同学同时从家里出发去学校，结果甲同学比乙同学早到2分钟．（1）求乙骑自行车的速度；（2）当甲到达学校时，乙同学离学校还有多远？【答案】（1）300米/分钟；（2）600米．【解答】解：（1）设乙骑自行车的速度为x米/分钟，则甲步行速度是x米/分钟，公交车的速度是2x米/分钟，根据题意得+＝﹣2，解得：x＝300米/分钟，经检验x＝300是方程的根，答：乙骑自行车的速度为300米/分钟；（2）∵300×2＝600米，答：当甲到达学校时，乙同学离学校还有600米．【变式5-2】（2023秋•商丘期末）某文具店老板第一次用1000元购进一批文具，很快销售完毕；第二次购进时发现每件文具进价比第一次上涨了2.5元．老板用2500元购进了第二批文具，所购进文具的数量是第一次购进数量的2倍，同样很快销售完毕，两批文具的售价为每件15元．（1）问第二次购进了多少件文具？（2）文具店老板第一次购进的文具有30元的损耗，第二次购进的文具有125元的损耗，问文具店老板在这两笔生意中是盈利还是亏本？请说明理由．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）设第一次购进x件文具，第二次就购进2x件文具，由题意得＝﹣2.5，解得：x＝100，经检验，x＝100是原方程的解，且符合题意，则2x＝2×100＝200．答：第二次购进200件文具；（2）第一次购进100件文具，利润为：（15﹣10）×100﹣30＝470（元）；第二次购进200件文具，利润为：（15﹣12.5）×200﹣125＝375（元），两笔生意是盈利：利润为470+375＝845元．【变式5-3】（2023秋•恩施市期末）某单位为美化环境，计划对面积为1200平方米的区域进行绿化，现安排甲、乙两个工程队来完成．已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的1.5倍，并且在独立完成面积为360平方米区域的绿化时，甲队比乙队少用3天．（1）甲、乙两工程队每天能绿化的面积分别是多少平方米？（2）若该单位每天需付给甲队的绿化费用为700元，付给乙队的费用为500元，要使这次的绿化总费用不超过14500元，至少安排甲队工作多少天？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是x平方米，则甲工程队每天能完成绿化的面积是1.5x平方米，依题意，得：﹣＝3，解得：x＝40，经检验，x＝40是原方程的解，且符合题意，∴1.5x＝60．答：甲工程队每天能完成绿化的面积是60平方米，乙工程队每天能完成绿化的面积是40平方米．（2）设安排甲队工作m天，则需安排乙队工作天，依题意，得：700m+500×≤14500，解得：m≥10．所以m最小值是10．答：至少应安排甲队工作10天．1．（2023秋•交口县期末）解方程，去分母后正确的是（）A．3（x+1）＝1﹣x（x﹣1）B．3（x+1）＝（x+1）（x﹣1）﹣x（x﹣1）C．3（x+1）＝（x+1）（x﹣1）﹣x（x+1）D．3（x﹣1）＝1﹣x（x+1）【答案】B【解答】解：去分母得：3（x+1）＝（x+1）（x﹣1）﹣x（x﹣1）．故选：B．2．（2023秋•阳新县期末）已知一艘轮船顺水航行46千米和逆水航行34千米共用的时间，正好等于船在静水中航行80千米所用的时间，并且水流的速度是2千米/小时，求设轮船在静水中的速度为x千米/小时，是下列方程正确的是（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：设船在静水中航行的速度为x千米/时（1分）则+＝故选：B．3．（2023秋•广平县期末）甲、乙两人分别从相距目的地6km和10km的两地同时出发，甲、乙的速度比是3：4，结果甲比乙提前20min到达目的地，设甲的速度为3x km/h．依题意，下面所列方程正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：设甲的速度为3x/时，则乙的速度为4x千米/时．根据题意，得﹣＝．故选：D．4．（2023秋•秦皇岛期末）已知关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是（）A．m＞2B．m≥2C．m≥2且m≠3D．m＞2且m≠3【答案】C【解答】解：分式方程去分母得：m﹣3＝x﹣1，解得：x＝m﹣2，由分式方程的解是非负数，得到m﹣2≥0，且m﹣2≠1，解得：m≥2且m≠3，故选：C．5．（2023秋•冠县期末）若解分式方程＝﹣3产生增根，则k的值为（）A．2B．1C．0D．任何数【答案】B【解答】解：＝﹣3，去分母，得k＝x﹣k﹣3（x﹣2）．去括号，得k＝x﹣k﹣3x+6．移项，得﹣x+3x＝﹣k+6﹣k．合并同类项，得2x＝6﹣2k．x的系数化为1，得x＝3﹣k．∵分式方程＝﹣3产生增根，∴3﹣k＝2．∴k＝1．故选：B．6．（2023秋•宜春期末）现定义一种新的运算：，例如：，若关于x的方程x⊕（2x﹣m）＝3的解为非负数，则m的取值范围为（）A．m≤8B．m≤8且m≠7C．m≥﹣2且m≠7D．m≥﹣2【答案】B【解答】解：∵x⊕（2x﹣m）＝3，∴，解方程得：x＝8﹣m；由于方程有解，则8﹣m≠1，即m≠7；由题意得：8﹣m≥0，解得：m≤8；综合起来，m的取值范围为m≤8且m≠7；故选：B．7．（2023秋•兰陵县期末）对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号min{a，b}表示a，b 中较小的值，如min{2，4}＝2，按照这个规定，方程min{，﹣}＝的解为（）A．﹣1或2B．2C．﹣1D．无解【答案】D【解答】解：①当x＞0时，有＞﹣，∴min{，﹣}＝﹣，即﹣＝，解得x＝﹣1（不合题意舍去）；②当x＜0时，有＜﹣，∴min{，﹣}＝，即＝，解得x＝2（不合题意舍去）；综上所述，方程min{，﹣}＝无解，故选：D．8．（2023秋•崆峒区期末）分式与互为相反数，则x的值为（）A．1B．﹣1C．﹣2D．﹣3【答案】C【解答】解：由题意得，去分母3x+2（1﹣x）＝0，解得x＝﹣2．经检验得x＝﹣2是原方程的解．故选：C．9．（2023秋•罗山县期末）定义运算“※”：a※b＝，若5※x＝2，则x的值为（）A．B．C．10D．或10【答案】D【解答】解：当5＞x时，∵5※x＝2，∴＝2，解得x＝．经检验，x＝符合题意，是分式方程的解．当5＜x时，∵5※x＝2，∴＝2．解得x＝10．经检验，x＝10符合题意，是分式方程的解．故选：D．10．（2023秋•开州区期末）若关于x的不等式组无解，且关于y的分式方程3﹣的解为正数，则所有满足条件的整数a的值的和为．【答案】13．【解答】解：，由①得，x≥﹣1，由②得，x＜﹣a，∵不等式组无解，∴﹣a≤﹣1，即a≥1，3﹣，3（y﹣2）+a＝y，3y﹣6+a＝y，解得y＝3﹣a，∵分式方程的解为正数，∴3﹣a＞0且3﹣a≠2，解得a＜6且a≠2，∴a的取值为1≤a＜6且a≠2，∴所有满足条件的整数a的值的和为1+3+4+5＝13，故答案为：13．11．（2023秋•虹口区校级期末）若关于x的方程的解为负数，则a 的取值范围是．【答案】a＜﹣13或﹣13＜a＜﹣10．【解答】解：+＝，去分母，得（x﹣1）（x+1）+（3﹣x）（x﹣3）＝3x+a，去括号、合并同类项，得3x＝a+10，等号两边同除以3，得x＝（x≠3，且x≠﹣1），∵x＝3或x＝﹣1是原分式方程的增根，∴a≠﹣1，且a≠﹣13，∵＜0，∴a＜﹣10，∴a＜﹣13或﹣13＜a＜﹣10，故答案为：a＜﹣13或﹣13＜a＜﹣10．12．（2022秋•宁远县期末）若关于x的方程＝+1无解，则a的值是3或1．【答案】见试题解答内容【解答】解：去分母，得：ax＝3+x﹣1，整理，得：（a﹣1）x＝2，当x＝1时，分式方程无解，则a﹣1＝2，解得：a＝3；当整式方程无解时，a＝1，故答案为：3或1．13.（2023秋•应城市期末）解下列分式方程．（1）；（2）．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）原方程变形得：，方程两边同乘以最简公分母（x﹣3）得：1＝2（x﹣3）﹣x，整理的：1＝2x﹣6﹣x，移项得：x＝7，检验：当x＝7时，x﹣3＝7﹣3＝4≠0，所以，x＝7，是原方程的根，（2）方程两边同乘以最简公分母（x﹣1）（x+2）得：x（x+2）﹣（x﹣1）（x+2）＝3，整理得：x2+2x﹣x2﹣x+2＝3，合并同类项得：x＝1，检验：当x＝1时，（x﹣1）（x+2）＝（1﹣1）（1+2）＝0，所以，x＝1是原方程的增根，所以，原分式方程无解．14．（2023秋•南宁期末）为提高快递包裹分拣效率，物流公司引进了快递自动分拣流水线．一条某型号的自动分拣流水线的工作效率是一名工人工作效率的4倍，用这条自动分拣流水线分拣3000件包裹比一名工人分拣这些包裹要少用3小时．（1）这条自动分拣流水线每小时能分拣多少件包裹？（215000件，则至少应购买多少条该型号的自动分拣流水线，才能完成分拣任务？【答案】（1）条自动分拣流水线每小时能分拣3000件包裹；（2）至少应购买5条该型号的自动分拣流水线，才能完成分拣任务．【解答】解：（1）设一名工人每小时能分拣x件包裹，则这条自动分拣流水线每小时能分拣4x件包裹，由题意得：﹣＝3，解得：x＝750，经检验，x＝750是原方程的解，且符合题意，∴4x＝4×750＝3000，答：这条自动分拣流水线每小时能分拣3000件包裹；（2）应购买m条该型号的自动分拣流水线，才能完成分拣任务，由题意得：3000m≥15000，解得：m≥5，答：至少应购买5条该型号的自动分拣流水线，才能完成分拣任务．15．（2022秋•洪山区校级期末）春节前夕，某超市用6000元购进了一批箱装饮料，上市后很快售完，接着又用8800元购进第二批这种箱装饮料．已知第二批所购箱装饮料的进价比第一批每箱多20元，且数量是第一批箱数的倍．（1）求第一批箱装饮料每箱的进价是多少元；（2）若两批箱装饮料按相同的标价出售，为加快销售，商家决定最后的10箱饮料按八折出售，如果两批箱装饮料全部售完利润率不低于36%（不考虑其他因素），那么每箱饮料的标价至少多少元？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）该第一批箱装饮料每箱的进价是x元，则第二批购进（x+20）元，根据题意，得解得：x＝200经检验，x＝200是原方程的解，且符合题意，∴第一批箱装饮料每箱的进价是200元．（2）设每箱饮料的标价为y元，根据题意，得（30+40﹣10）y×10y≥（1+36%）（6000+8800）解得：y≥296答：至少标价296元．。

部编数学八年级上册专项26含参数的分式方程(两大类型)(解析版)含答案

专项26 含参数的分式方程（两大类型）【典例1】（2022秋•宁远县校级月考）若解分式方程＝﹣3产生增根，则k的值为（）A．2B．1C．0D．任何数【答案】B【解答】解：＝﹣3，去分母，得k＝x﹣k﹣3（x﹣2）．去括号，得k＝x﹣k﹣3x+6．移项，得﹣x+3x＝﹣k+6﹣k．合并同类项，得2x＝6﹣2k．x的系数化为1，得x＝3﹣k．∵分式方程＝﹣3产生增根，∴3﹣k＝2．∴k＝1．故选：B．【变式1-1】（2022秋•合浦县期中）若关于x的方程﹣2＝有增根，则m的值应为多少．（）A．2B．﹣2C．5D．﹣5【答案】C【解答】解：方程两边同时乘以x﹣5，得x﹣2x+10＝m，解得x＝10﹣m，∵方程有增根，∴10﹣m＝5，∴m＝5，故选：C．【变式1-2】（2022春•梅江区校级期末）若关于x的方程有增根，则a的值是（）A．3B．﹣3C．1D．﹣1【答案】A【解答】解：关于x的方程有增根，则x＝3是增根，将原分式方程去分母得，2x﹣6+a＝x，∴x＝6﹣a，∴6﹣a＝3，所以a＝3，故选：A．【变式1-3】（2022春•鲤城区校级期中）若关于x的分式方程有增根，则m的值为（）A．1.5B．﹣6C．1或﹣2D．1.5或﹣6【答案】D【解答】解：，去分母，得2（x+2）+mx＝x﹣1．去括号，得2x+4+mx＝x﹣1．移项，得2x+mx﹣x＝﹣1﹣4．合并同类项，得（m+1）x＝﹣5．x的系数化为1，得x＝﹣．∵关于x的分式方程有增根，∴或﹣2．∴m＝﹣6或1.5．故选：D．【典例2】（2022春•沭阳县月考）已知关于x的方程＝3．（1）已知m＝4，求方程的解；（2）若该方程的解是正数，试求m的范围．【解答】解：（1）把m＝4代入方程＝3得：＝3，方程两边乘x﹣2，得2x+4＝3（x﹣2），解得：x＝10，经检验x＝10是原分式方程的解，所以方程的解是x＝10；（2）＝3，方程两边乘x﹣2，得2x+m＝3（x﹣2），解得：x＝m+6，∵该方程的解是正数，∴m+6＞0，解得：m＞﹣6，∵方程的分母x﹣2≠0，∴x≠2，即m+6≠2，即m≠﹣4，所以m的范围是m＞﹣6且m≠﹣4．【变式2-1】（2021秋•丛台区校级期末）已知关于x的分式方程：．（1）当m＝3时，解分式方程；（2）若这个分式方程无解，求m的值．【解答】解：（1）把m＝3代入得：﹣＝﹣1，去分母得：3﹣2x+3x﹣2＝2﹣x，解得：x＝，检验：把x＝代入得：x﹣2≠0，∴分式方程的解为x＝；（2）去分母得到：3﹣2x+mx﹣2＝2﹣x，整理得：（m﹣1）x＝1，当m﹣1＝0，即m＝1时，方程无解；当m≠1时，由分式方程无解，得到x﹣2＝0，即x＝2，把x＝2代入整式方程得：3﹣4+2m﹣2＝0，解得：m＝，综上所述，m的值为1或．【典例3】（2021春•玉门市期末）已知关于x的方程．（1）当k＝3时，求x的值？（2）若原方程的解是正数．求k的取值范围？【答案】（1）x＝9 （2）k＞﹣6且k≠﹣3．【解答】解：（1）k＝3时，方程为，两边同乘以（x﹣3），得x﹣2（x﹣3）＝﹣3，解得，x＝9，经检验x＝9是原方程的根，∴原分式方程的解为x＝9；（2），两边同乘以（x﹣3），得x﹣2（x﹣3）＝﹣k，解得：x＝6+k，∵原方程解是正数，∴6+k＞0，∴得k＞﹣6∵x≠3，∴6+k≠3，∴k≠﹣3，∴k＞﹣6且k≠﹣3．【变式3-1】（2020秋•仓山区期末）已知关于x的分式方程+＝2的解为正数，求a的取值范围．【答案】a＜8且a≠﹣1【解答】解：去分母得：2﹣x﹣a＝2x﹣6，解得：x＝，由分式方程的解为正数，得到＞0且≠3，解得：a＜8且a≠﹣1．【变式3-2】（2021•丛台区校级开学）关于x的分式方程﹣2m＝无解，求m的值．【答案】m＝或3【解答】解：给分式方程两边同时乘以x﹣3，得，x﹣2m（x﹣3）＝m，（2m﹣1）x＝5m，①2m﹣1＝0，则m＝；②2m≠1，解得x＝，由方程增根为x＝3，则＝3，解得m＝3，综上，m＝或3．1．（2022春•辽阳期末）若关于x的分式方程有增根，则m的值为（）A．0B．C．1D．4【答案】D【解答】解：，去分母，得7x+3（x﹣1）＝2m﹣1．去括号，得7x+3x﹣3＝2m﹣1．移项，得10x＝2m﹣1+3．合并同类项，得10x＝2m+2．x的系数化为1，得x＝．∵关于x的分式方程有增根，∴＝1．∴m＝4．故选：D．2．（2022春•巴中期末）若关于x的方程有增根，则k的值为（）A．2B．﹣2C．4D．﹣4【答案】A【解答】解：去分母，得x+2﹣4＝kx，根据题意，当x＝﹣2时，得﹣2+2﹣4＝﹣2k，解得k＝2，故选：A．3.（2022•沙市区模拟）若关于x的分式方程＝2的解为非负数，则m的取值范围是（）A．m＞﹣1B．m≥﹣1C．m＞﹣1且m≠1D．m≥﹣1且m≠1【答案】D【解答】解：去分母，得m﹣1＝2（x﹣1），解得x＝，∵关于x的分式方程＝2的解为非负数，∴≥0且≠1且m≠1，解得m＞﹣1且m≠1，故选：D．4．（2022•齐齐哈尔三模）已知关于x的分式方程的解是负数，则m的取值范围是（）A．m≤5B．m≤5且m≠3C．m＜5D．m＜5且m≠3【答案】D【解答】解：去分母得：m﹣3＝x+2，解得：x＝m﹣5，∵x＜0且x+2≠0，∴m﹣5＜0且m﹣5+2≠0，解得：m＜5且m≠3，故选：D．5．（2022春•镇海区校级期中）关于x的方程有增根，那么a的值为（）A．1B．﹣4C．﹣1或﹣4D．1或4【答案】D【解答】解：分式方程去分母得：x（x+2）﹣（x+2）（x﹣1）＝a+2x，∵分式方程有增根，∴（x+2）（x﹣1）＝0，即x＝﹣2或x＝1，把x＝﹣2代入整式方程得：a﹣4＝0，此时a＝4；把x＝1代入整式方程得：3＝a+2，此时a＝1，则a的值为1或4．故选：D．6．（2022春•深圳期中）若关于x的分式方程+＝1有增根，则m的值是（）A．m＝6B．m＝2C．m＝2或m＝6D．m＝2或m＝−6【答案】C【解答】解：+＝1，x+m﹣x（2+x）＝4﹣x2，解得：x＝m﹣4，∵分式方程有增根，∴4﹣x2＝0，∴x＝±2，当x＝2时，2＝m﹣4，解得：m＝6，当x＝﹣2时，﹣2＝m﹣4，解得：m＝2，综上所述，m的值是2或6，故选：C．7．（2022春•浦东新区校级期末）用换元法解方程，设＝y，则得到关于y的整式方程为．【答案】y2﹣10y﹣6＝0【解答】解：设＝y，∴，，则原方程为：，整理得：y2﹣10y﹣6＝0．故答案为：y2﹣10y﹣6＝0．8．（2022春•衡山县期末）若分式方程：3+无解，求k的值．【解答】解：去分母得：3（x﹣3）+2﹣kx＝﹣1，整理得：（3﹣k）x＝6，当3﹣k＝0，即k＝3时，整式方程无解，满足题意；当3﹣k≠0，即k≠3时，x＝＝3时，分式方程无解，即k＝1，综上所示，k的值为3或1．9.（2020秋•华龙区校级期中）已知关于x的方程的解为正数，求k的取值范围．【答案】k＞﹣4且k≠4【解答】解：，去分母得：k﹣2x+4＝2x解得：x＝，∵x﹣2≠0，∴＞0且﹣2≠0解得：k＞﹣4且k≠4．。

如何求分式方程中参数的值

数学篇学思导引在学习分式方程时，我们会遇到分子含有参数，要求分式方程中参数的值的问题.解答这类问题的基本思路是把分式方程转化为整式方程.但在解答过程中，若对含参数分式方程的解的情况分析不当，极易导致错误.对此，笔者针对如下几种情况，探讨了如何求分式方程中参数的值.一、已知分式方程有增根，求参数的值分式方程出现增根的原因是在去分母的过程中，方程两边同时乘以了一个可能使最简公分母为0的整式，致使未知数的取值范围发生了变化.因此，在求分式方程中参数的值时，若已知分式方程有增根，同学们要注意如下两点：一是准确去分母，把分式方程转化为整式方程；二是令最简公分母为零，求出其增根，再把增根代入所得的整式方程中，求出参数的值.例1若关于x 的方程1x -3+m x -4=4m +2x 2-7x +12有增根，则m 的值为_______.解：原方程两边同乘以(x -3)(x -4)，去分母整理可得：(1+m )x =7m +6①.因为关于x 的分式方程有增根，所以(x -3)(x -4)=0，解得x =3或x =4.当x =3时，方程①为：3（1+m ）4=7m +6，即4m =-3，解得m =-34.当x =4时，方程①为：4（1+m ）=7m +6，即3m =-2，解得m =23.评注：分式方程的增根，既是分式方程去分母后所得整式方程的根，也是使分式方程最简公分母为零的未知数的值.所以，令分式方程最简公分母为零，是破解分式方程有增根问题的重要突破口.二、已知分式方程无解，求参数的值有解，故而原分式方程无解；二是原分式方程去分母整理后所得到的整式方程有解，但该解为原分式方程的增根，从而导致原分式方程无解.所以，在求分式方程参数的值时，若已知分式方程无解，同学们要注意对整式方程无解、整式方程有解但该解为原分式方程的增根这两种情况进行分类讨论.例2当p 为何值时，关于x 的分式方程x x -2+p x +2=x x +2无解？解：原方程两边同乘以(x -2)(x +2)，可得(x +2)x +p (x -2)=x (x -2)，整理可得(p +4)x =2p .(1)当p +4=0，即p =-4时，整式分方程无解，原分式方程也无解.（2）当p +4≠0时，整式方程有解，该解为x =2p p +4.因为原分式方程无解，所以x -2=0或x +2=0，即2p p +4+2=0或2p p +4-2=0.当2p p +4+2=0时，p =-2；当2p p +4-2=0时，p 不存在，应舍去.所以当p =-4或p =-2时，原分式方程无解.评注：在解答分式方程无解问题时，若分式方程去分母后所得的整式方程可以化为ax =b (b ≠0)的形式时，要注意分a =0和a ≠0两种情况进行讨论.当a =0时，整式方程无解，此时原分式方程也无解；当a ≠0时，整式方程有解x =b a，此解为原分式方程的增根，此时原分式方程无解.如何求分式方程中参数的值广东省珠海市斗门区斗门镇初级中学叶春甜数学篇学思导引数、负数、非正数、非负数等.在求分式方程中参数的值时，若已知分式方程有解，同学们要注意如下两点：一是认真审读题目，弄清题设中解的情况，即明确该解是正数，还是负数等；二是参数的取值要使分式有意义，即分式方程的分母不能为零.例3若关于x 的分式方程x +a x -5+6a 5-x=4的解为正数，则a 的值满足（）.A.a <4B.a >-4C.a <4且a ≠1D.a >-4且a ≠-1分析：本题分式方程有根，求解时既要考虑根为正数的情形，又要考虑分式方程的分母不能为零.解：原方程同时乘以（x -5），可得（x +a ）-6a =4(x -5)，整理可得3x =20-5a ，解得x =20-5a 3.因为分式方程的解为正数，所以20-5a 3>0，即20-5a >0，解得a <4.又因为x -5≠0，所以x ≠5，即20-5a 3≠5，解得a ≠1.所以当a <4,且a ≠1时，原分式方程的解为正数，故正确答案为C 项.评注：求分式方程参数的取值范围，一般先去分母，化分式方程为整式方程；然后用含参数的代数式把分式方程的解表示出来，再由分式方程中解的条件（正数、负数等），将其转化为不等式问题.在这一过程中，同学们特别要注意分式方程有解的隐含条件：分母不能为零.总之，分式方程中参数的值或取值范围与分式方程的增根、无解、有解息息相关.在平时做题时，同学们要仔细审题，把握已知条件，尤其是隐含条件，并注意结合具体情况展开分类讨论，及时检验和修正，从而规避漏解、多解以及错解，提高解题的准确性.我们知道，在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线.那么，如何证明两条直线平行呢？有关两条直线平行的证明方法有许多，笔者归纳了如下三种常用的证明方法，以期对同学们证题有所帮助.一、利用“平行线判定定理”平行线的判定定理是指两条直线被第三条直线所截，如果同位角、内错角相等，或同旁内角互补，那么这两条直线平行，简称为“同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行.”它是判定两直线平行的基本定理，也是证明两条直线平行最为常用的一种方法.例1如图1所示，在△MNP 中，∠MNP =90°，NQ 是MP 边上的中线，将△MNQ 沿MN 边所在的直线折叠，使得点Q恰好落在点R 处，从而得到四边形MPNR .求证：RN ∥MP .分析：要想证明RN ∥MP ，关键是确定第三条直线.观察图形，很容易看出，这两条直线是被MN 所截的，由题意易知NQ =MQ ，∠QMN =∠QNM ，∠RNM =∠QNM ，这样易推出∠QMN =∠RNM ，再由“内错角相等，两直线平行”进而得到RN ∥MP .证明：因为NQ 是MP 边上的中线，且∠MNP =90°，所以NQ =MQ ，∠QMN =∠QNM .例谈证明两条直线平行的常用方法江阴市夏港中学姚菁菁图127。

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