清华大学硕士生入学考试试题1999数学分析
1999 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题
1999 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题共5个小题，每小题3分，满分15分。
把正确答案填写在题中横线上。
) (1) 2011lim tan x x x x →⎛⎫-=⎪⎝⎭(2)20sin()x d x t dt dx-=⎰ (3) 2"4xy y e -= 的通解为y =(4) 设n 阶矩阵A 的元素全为1，则A 的n 个特征值是(5) 设两两相互独立的三事件A , B 和C 满足条件：1,()()(),2ABC P A P B P C φ===<9(),16P A B C ⋃⋃=则()P A =二、选择题(本题共5小题，每小题3分，满分15分。
每小题给出得四个选项中，只有一个是符合题目要求的，把所选项前的字母填在提后的括号内。
)(1)设()f x 是连续函数，()F x 是()f x 的原函数，则 ( )(A) 当()f x 是奇函数时，()F x 必是偶函数。
(B) 当()f x 是偶函数时，()F x 必是奇函数。
(C) 当()f x 是周期函数时，()F x 必是周期函数。
(D) 当()f x 是单调增函数时，()F x 必是单调增函数。
(2)设20()(),0x f x x g x x >=≤⎩其中()g x 是有界函数，则()f x 在0x =处 ( ) (A)极限不存在 (B)极限存在，但不连续 (C)连续，但不可导 (D)可导(3) 设011,02(),()cos ,,1222,12n n x x a f x S x a n x x x x π∞=⎧≤≤⎪⎪==+-∞<<+∞⎨⎪- <<⎪⎩∑其中102()cos ,(0,1,2,),n a f x n xdx n π==⋅⋅⋅⎰则52S ⎛⎫- ⎪⎝⎭等于 ( )(A)12 (B)12- (C)34 (D)34-(4)设A 是m n ⨯矩阵， B 是n m ⨯矩阵，则(A)当m n >时，必有行列式AB 0≠ (B)当m n >时，必有行列式AB 0= (C)当n m >时，必有行列式AB 0≠ (D)当n m >时，必有行列式AB 0=(5)设两个相互独立的随机变量X 和Y 分别服从正态分布N (0,1)和N (1,1)，则(A) {}10.2P X Y +≤=(B) {}1P X+Y 1.2≤= (C) {}1P X-Y 0.2≤= (D) {}1P X-Y 1.2≤=三、(本题满分5分)设()y y x =，()z z x =是由方程()z xf x y =+和(,,)F x y z =0所确定的函数，其中f 和F 分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求dz dx。
1999年考研数学一试题答案与解析
dx
dx
dx
0
x
0
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注 必须将被积函数中的x设法变换到上限活着能方便的提到积分号外 边，才能对x求导。
∫ 解法二： 计算形如 F (x) = a(x) f (x,t)dt 的函数导数时，首先应借助变量代换等 0
lim
x→0
⎛⎜⎜⎜⎝
1 x2
−
x
1 tan
x ⎞⎠⎟⎟⎟
=
lim
x→0
tan x − x x2 tan x
=
lim
x→0
tan x − x3
x
=
lim
x→0
sec2 x −1 3x2
= lim tan2 x = 1
x→0 3x2
3
解法二：
lim
x→0
⎛⎜⎜⎜⎝
1 x2
−
x
1 tan
x ⎞⎠⎟⎟⎟
=
0
0
即 F (x)为偶函数。
故(A) 为正确选项。 至于(B) ，(C)，(D)可以分别举反例如下：
f (x) = x2 是偶函数，但其原函数 f (x) = 1 x3 +1 不是齐函数，可排除(B) ；
3
f (x) = cos2 x 是周期函数，但其原函数 f (x) = 1 x + 1 sin 2x 不是周期函数，
λ 1
=
2
，λ 2
=
−2
故 y* − 4 y = 0 的通解为 y1 = C1 −2x + C2 2x ，由于非齐次项为 f (x) = 2x
【考研数学】1999-数一真题、标准答案及解析
1999 年全国硕士研究生入学统一考试理工数学一试题详解及评析一、填空题 ⎛ 11 ⎞ ⎟ = （ 1）lim ⎜ − .2 x tan x ⎠x → 0 ⎝ x 1 【 【 答】3详解 1】⎛⎜ 1 1 ⎞ ⎟ tan x − x tan x − x lim − = lim = lim 2 x tan x ⎠ x 2 tan xx −1 3x tan x 3 x → 0 ⎝ x x → 0 x → 0 sec 2 = = = lim 2x → 0 2 x lim 2 x → 0 3x 1 3【 详解 2】⎛⎜ 1 1 ⎞ sin x − x cos x sin x − x cos x lim − = lim = lim ⎟ 2 x tan x ⎠ x 2 sin x x 3 x → 0 ⎝ x x → 0x → 0 cos x − cos x + x sin x = = lim 2x → 0 3x sin x 3x 1 lim = x → 0 3d∫ x( −) 2（ 2）sin x t dt = .dx【 答】 sin x 2 . 【 详解】dd∫x( − ) 2∫ 0(−)sin u dusin x t dtx t u − = 2dxdx0 xd x ∫ = sin u du2dx 0 = sin x 2故本题应填sin x2(3) y ' − 4y = e 2x的通解为.⎛ 1 ⎞ 4 ⎠ = −2x+ C + x e 2x ,其中C ,C 为任意常数.1 2 【 答】y C e⎜ ⎝⎟ 1 2 λ 2 − 4 = 0,解得 λ = 2,λ = −2 【 故 详解】 特征方程为： 1 2 ' − 4y = 0 的通解为 y 1C e = −2x+ C e 2x , 由于非齐次项为 f (x ) = e 2x ， a = 2 为特征方程2y 11y * = Axe 2x , 代入原方程可求得 A = ， 的单根，因此原方程的特解可设为 故所求通解为414y = y 1 + y * = C e −2xC e 2x+ + xe 2x12 ⎛ ⎝1 ⎞ 4 ⎠ 故本题应填y C e −2x= + ⎜ C + 2 x e 2x ⎟ , 1 （ 4）设 n 阶矩阵 A 的元素全为 1，则 A 的 n 个特征值是 .n −1【 答】n , 0,",0 【 详解】 因为λ −1 −1 " −1 λ − n −1 " −1 − # − 1 λ −1 " −1λ − n λ −1 "−1 λE − A = = # # # # # # # 1 −1 " λ −1 λ − n −1 " λ−1−1 " −1 1 0 # λ # " # " 0= λ − n#λ故矩阵 A 的 n 个特征值是 n 和 0（ n −1重）n −1因此本题应填 n , 0,",0 .12 （ 5）设两两相互独立的三事件 A , B 和C 满足条件： ABC = , P A P B P C φ ( )= ( )= ( ) <,9( ∪ ∪ ) = ( ) =,则 P A且 P A B C .16 1【 答】. 4【 详解】 根据加法公式有( ∪ ∪ ) = ( )+ ( )+ ( )− ( )− ( )− ( )+ ()P A B C P A P B P C P AC P AB P BC P ABC 1 由题 A , B 和C 两两相互独立， ABC= , P A P B P C φ ( )= ( )= ( ) <,因此有2( )= ( )= ( ) = 2 ( ) P AB P AC P BC P A , ( )= (φ) = P ABC P 0,9( ∪ ∪ )= ( )− 2( ) = 从而P A B C 3P A 3P A 163 1( ) =解得 P A( ) = , P A 4 4 1 2 1 4 ( ) < 又根据题设 P A( ) =,故 P A 二、选择题( ) ( )1）设 f x 是连续函数，F x 是其原函数，则 （ （ （ （ （ ( ) ( ) A ） 当 f x 是奇函数时，F x 必是偶函数. ( ) ( ) B ） 当 f x 是偶函数时，F x 必是奇函数. ( ) ( ) C ） 当 f x 是周期函数时，F x 必是周期函数. ( ) ( )D ） 当 f x 是单调增函数时，F x 必是单调增函数. 【 】【 【 答】 应选（A ）∫ x( )+f t dt C ,于是( ) ( )( ) = 详解】 f x 的原函数F x 可以表示为F x− x x(− )= ∫0 ( ) + = − ∫(− ) (− )+F x f t dt Cu t f u d u C . 0 ( ) (− )= −( )u f u ，从而有当 f x 为奇函数时， f x (− )= ∫ ( ) F x f u du C + 0∫ x( ) + = ( ) f t dt C F x= 0( )F x 为偶函数.即故（A ）为正确选项.至于（B ）、（C ）、（D ）可分别举反例如下：1 ( ) = f x2() = x 3 +1不是奇函数，可排除（B ）； x 是偶函数，但其原函数F x 3 1 2 14( ) = 2 ( ) = + f x cos x 是周期函数，但其原函数F x x sin 2x 不是周期函数，可排除（C ）；1 ( )= x 在区间(−∞ + ∞)f x( ) = 2x 在区间 (−∞ + ∞)内非内是单调增函数，但其原函数F x 2 单调增函数，可排除（D ）.⎧ ⎪ ⎨ 1− cos x, x > 0 ( ) = 2）设 f x( ) ( ) = （ x其中 g x 是有界函数，则 f x 在 x 0 处 ⎪ x 2g (x ), x ≤ 0⎩（ （ A ）极限不存在.（B ）极限存在，但不连续 （D ）可导.C ）连续，但不可导 【 】【 【 答】 应选（D ） 详解】 因为( )− ( ) f x f 0 1− cos x(0 + 0)= lim= lim = 0, f ' 32→ 0 +xx →0 − x x ( )− ( )2 ( ) f x f 0 x g x f '(0 − 0)= lim= lim lim g (x )x = 0, x − x −x → 0 −x → 0 x →0 ( ) = ( ) = 可见， f x 在 x 0 处左、右导数相等，因此， f x 在 x 0 处可导， 故正确选项为(D).⎧1 2 x ,0 ≤ x ≤ ⎪ ⎪a ∞ ∑( ) = (3)设 f x( ) = ， S x + π −∞ < < +∞, ⎨ ⎪ 0 a cos n x , x n 1 2 n =1 2 − 2x , < x <1 ⎪ ⎩ 2⎛ ⎝ 5 ⎞2 ⎠ 1" ∫( ) ( = ) 则 S − 其中 a n = 2 f x cos n xdx , n 0,1, 2, π , 等于 ⎜ ⎟ 0 1 1 3 3 4(A)(B) −(C)(D) −2 24【 】【 答】 应选（C ）.( ) [ ) [− ] 【 详解】 由题设知，应先将 f x 从 0,1 作偶延拓，使之成为区间 1, 1 上的偶函数，然后 再作周期（周期 2）延拓，进一步展开为傅里叶级数，根据收敛定理有⎛ ⎝ 5 ⎞ 2 ⎠ ⎛ ⎝1 ⎞2 ⎠ ⎛ 1 ⎞⎝ 2 ⎠ S − = S −2 − = S − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎟ ⎛ 1 ⎞ ⎠ ⎛ 1 ⎝ 2 ⎞f − 0 + f + 0 ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎠ ⎛ 1 ⎞ 2 ⎠⎝ 2 = S = ⎜ ⎝ ⎟2 3 = . 4（ 4）设 A 是 m ×n 矩阵， B 是 n ×m 矩阵，则 （ A ）当 m > n 时，必有行列式 AB ≠ 0（B ）当 m > n 时，必有行列式 AB = 0（ C ））当 n > m 时，必有行列式 AB ≠ 0 （D ）当 n > m 时，必有行列式 AB = 0【 】【 【 答】 应选（B ）.详解】 因为 AB 为 m 阶方阵，且( ) ≤ ⎡ ( ) ( )⎤ ≤ ( )秩 r AB min⎣r A ,r B ⎦ min m ,n 当 m > n 时，由上式可知， r (AB 因此，正确选项为（B ）.)≤ < n m ,即 AB 不是满秩的，故有行列式 AB 0. =( ) ( ) 5）设两个相互独立的随机变量 X 和Y 分别服从正态分布 N 0,1 和 N 1, 1 ，则（ （ （ 1 12 { + ≤ } = { +≤ } = A ） P X Y 0 . .(B) P X Y 1 . 2 11{ − ≤ } = {−≤ } = C ） P X Y 0 (D) P X Y 1 . 22【 】【 【 答】 应选（B ）.详解】 根据正态分布的性质，服从正态分布的随机变量的线性组合仍服从正态分布.因此( + ) ( ) ( −) (−1, 2)X Y ~ N 1, 2 , X Y ~ N 1 利用正态分布在其数学期望左右两侧取值的概率均为 知，（B ）为正确选项.2三、设 y = y (x ), z = z (x )是由方程 z = xf (x + y )和 F (x , y , z ) = 0 所确定的函数，其中 f 和dz dxF 分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求. ( + )和 F (x , y , z ) = 0 的两端对 x 求导，得 详解】 分别在 z xf x y【 = ⎧ dz dx⎛ ⎝ dy ⎞ dx ⎠= f + x 1+ f '⎪ ⎪⎜ ⎟ ⎨ ⎪ dy dz F ' x + F ' y + F ' z = 0 ⎪ ⎩dx dx 整理后得⎧ dy dz + − xf ' = f + xf '⎪ ⎪dx dx ⎨ ⎪ dy dx dz F ' y + F ' z = −F ' x ⎪⎩ dx解此方程组，得( ) F y − xf f + xf ' ' ' 'F z dz dx (z ≠ 0)= , F ' y + xf ' F ' F ' y +xf ' ' F z∫(e x ( ))( ) I =sin y −b x + y dx + e x cos y − ax dy 其 中 a ,b 为 正 常 数 ， L 为 从 点 , 四 、 求 L ( ) = ax − x 到点O (0, 0)的弧.2 A 2a ,0 沿曲线 y ( ) = ( )【 详解】 添加从点O 0,0 沿 y 0到点 A 2a ,0 的有向直线段 L , 则 1∫ ⎡y b (x y ) dx (e ⎤ y ax )dyI = − e xsin − + + xcos − ⎣ ⎦ L +L 1∫ ⎡ y b (x y ) dx (e ⎤ y ax )dye xsin − + + x cos − ⎣ ⎦ L 1利用格林公式，前一积分⎛ ∂ ∂ ⎞ Q P ∫ ∫ dxdy b a dxdy = ( − )∫∫ I 1 = − ⎜ ∂ ∂ ⎟ ⎝ x y ⎠ D D π =2 (b − a ) a2 其中 D 为 L + L 所围成的半圆域，后一积分选择 x 为参数，得 L : 11⎧ ⎨ ⎩x = xy = 0 ( ≤ ≤ ) , 0 x 2a , 可直接积分∫ 2a(− ) = − I 2 = bx dx 2a b 2 0⎛ π ⎞ ⎠ π 故I = I − I = ⎜ ⎝+ 2 a ⎟ 2 b −3 a . 1 2 2 2 ( )( ≥ )( )> ( )= = ( )设函数 y x x 0 二阶可导且 y x 0, y 0 1, 过曲线 y y x 上任意一点'五、( ) P x , y 作该曲线的切线及 x 轴的垂线，上述两直线与 x 轴所围成的三角形的面积记为 S , 区 1 [ ] = ( ) − 12间 0, x 上以 y y x 为曲边的曲边梯形面积记为 S ，并设 2S S 恒为1，求此曲线 2yy x = ( )的方程.( )上点 P (x , y )处的切线方程为 详解】 曲线 y y x【 = ( ) =y x'( )( − )y x X xY −⎛⎞ y 它与 x 轴的交点为⎜ x − ,0⎟ 由于 '(x ) > 0, y (0) =1,因此 y (x )(x > 0) yy '⎠⎝ ⎛ ⎞ 2 1y y 于是 S = y x −⎜ x − ⎟ = .1 ' 2y '2 ⎝ y ⎠ ∫ x( ) y t dt 又S 2 = 0y 2∫ x ( ) = y t dt 1,根据题设2S − S =1，有− 1 2 y ' 2 0 '(0) =1，两边对 x 求导并化简得y并且( )2yy ' = y ' 这是可降阶得二阶常微分方程，令 p = y ' ，则上述方程可化为dpyp= p 2 ，分离变量得 dydp dy = p ydy解得 p = C y ，即= C y , 1 1 dxy = C e + C 2x从而有 1 根据 y 0 1, y 0 1, 可得 C 1 =1,C 20,( ) = '( ) = =故所求曲线得方程为y = e x.六、试证：当 x > 0 时，(x 2) ( ) 2−1 ln x ≥ x −1 .【 详解 1】 ( )= ( − ) x 2 1 ln x x 1 . 易知 f (1)= 0−( − ) 2令 f x 又1 (x )= 2x ln x − x +2 − , f '(1)= 0f f ' x1' (x )= 2ln x +1+ , f ' (1)= 2 > 0 x2 2(x−1)2'' (x ) =f x 3可见，当 0 < x <1时，f '' (x )< 0;当1< x < +∞ 时， '' (x ) > 0;f因此，有当1< x < +∞ 时，' (x )≥ f ' (1)= 2 > 0(x ) 是单调增函数推知，当 0 < x <1时，f (1)= 0 及(x )> 0;因此进一步有 f x ''(x )< 0; 当1< x < +∞ 时，f又由 f ' f f '( )≥ ( )= ( < < +∞) f 1 0 0 x ，即证之：当 x > 0 时，(x 2) ( ) 2−1 ln x ≥ x −1 .【 详解 2】先对要证的不等式作适当变形，则当 x > 0 时，(x 2−1 ln x ≥ x −1 .等价于当 0 < x <1时，) ( ) 2ln x ≤x−1;当1< x < +∞ 时， ln x ≥x−1;于是令x +1x +1x −1 x +1 ( ) =f x ln x− 1 2 x +1 2 (x ) = − = > 0(x > 0) 2则 f 'x ( + ) 2( + ) x x 1x 1 ( ) = 又因为 f 1 0，可见有当 0 < x <1时， f x 0 ，( ) < 当1< x < +∞ 时， f x 0 ，从而当 x 0 时，有( ) > > (x 2 )( ) ( −1 f x = x −1)ln x −(x −1) ≥ 0,22x > 0 时，(x 2) ( ) 2即当 −1 ln x ≥ x −1 .七、为清除井底的污泥，用缆绳将抓斗放入井底，抓起污泥后提出井口，已知井深 30m,抓斗 自重 400 N ,缆绳每米重 500 N ，抓斗抓起的污泥重 2000 N ，提升速度为 3m/s,在提升过程中， 污泥以 20 N / s 的速度从抓斗缝隙中漏掉，现将抓起污泥的抓斗提升至井口，问克服重力需作 多少焦耳的功？（说明：①1N ×1m =1J ;m , N ,s , J 分别表示米，牛顿，秒，焦耳；②抓斗的 高度位于井口上方的缆绳长度忽略不计） 【 详解 1】建立坐标轴如图所示，将抓起污泥的抓斗提升至井口需作功W =W +W +W 31 2其中W 是克服抓斗自重所作的功；W 是克服缆绳重力作的功；W 为提出污泥所作的功.由题 1 2 3 意知W = 400×30 =12000.1将抓斗由 x 处提升到 x + dx 处，克服缆绳重力所作的功为( − )dW 2 50 30 x dx , = 3 0∫ ( −) =50 0 x dx 22500.从而 W 2 =[ + ]在时间间隔 t ,t dt 内提升污泥需作功为 ( − ) dW 3 3 2000 20t dt. = 3 0将污泥从井底提升至井口共需时间=10 ，所以 31 0∫ 3(2000 − 20t )dt = 57000.W 3 = 0因此，共需作功= + + = ( )W 12000 22500 57000 91500 J【 详解 2】作 x 轴如图所示，将抓起污泥的抓斗提升至井口需作功记为W ，当抓斗运动到 x 处时，作用 ( ) ( − )( ) 力 f x 包 括 抓 斗 的 自 重 400 N , 缆 绳 的 重 力 50 30 x N ， 污 泥 的 重 力12000 −⋅ ( )，即 x 20 N32 0 1703 ( )=+( − )+f x400 50 30 x2000− x = 3900 − x ,3于是⎛ 170 ⎞85 3∫ 302|30 0=117000 − 24500 = 91500(J )W = 3900 − x dx = 3900x − x ⎜ ⎝⎟ 3 ⎠ 0 x 2 y 2八、设 S 为椭球面 ++ z 2 =1的上半部分，点 P (x , y , z )∈S ,π 为 S 在点 P 处的切平面， 2 2 zρ (x , y , z)为点O (0, 0, 0)到平面π 的距离，求 ∫∫ ρ (x , y , z )dS .Sx 2 y 2 ( ) = + + z 21,设 X ,Y ,Z 为π 上任意一点，则π 的方程为− () 【 详解】 令 F x , y , z 2 2(X − x )+ F' (Y − y )+ F (Z − z )= 0,z' F ' x y xX yY即 + + zZ =1 2 2从而知−1Ax + By + Cz⎛ x ⎞ ⎟ ⎠ 2y22ρ (x , y , z ) = = ⎜+ + z 2 + B 2 + C 2 ⎝ 4 4 A 2 x y这里 A = , B = ,C = z ,2 2 ⎛ 2 2 ⎞x y 由曲面方程知 z = 1−⎜ + ⎟,⎝2 2 ⎠ 于是∂z−x∂z∂y−y= , = ,∂x⎛ 22 ⎞ ⎟⎛ ⎜ 22⎞ ⎟xy x y 2 1−⎜ + 2 1− + ⎝ 22 ⎠ ⎝ 2 2 ⎠因此2⎛ ∂⎞ 2− 4 x 2 − y 2⎛ ∂ ⎞ z z dS = 1+ + d σ =d σ ⎜ ⎝ ⎟ ⎜ ⎟ ∂x ⎠ ⎝ ∂y ⎠⎛ 22⎞ xy 2 1− + ⎜⎝ ⎟ 22 ⎠故有z x 2 y 2 ∫ ∫ ∫∫ ρ (x , y , z )dS =z 4 + 4 + z dS 2S S 11 4 2π2 ∫∫(4 − x 2 )d σ = ∫ ∫ (4 − r )rdr = − y 2d θ 2 40 D32= ππ ∫ 九、设 a =n4 tan nxdx,∞1∑ (+ a n a n +2 )的值；（ 1） 求n n =1∞ann λ∑（ 【 2） 试证：对任意的常数λ > 0, 级数 收敛n =1详解】 （1）因为ππ1 1 )= ∫ n1 ( + n ( +2 )= ∫n 2 a n a n +2 4tan x 1 tan x dx 4tan x sec xdx n n 0 0 1 11 ∫ tan x = t tn dt = ( + )n n 1n 0 又由部分和数列n1 n1 1n +1 ∑ ∑ ( + ) = =1− S n = a a i +2 ,i ( + )i i 1i i =1 i =1 有lim S =1, n n →∞ ∞1 ∑ (a n a n +2)=1.+ 因此n n =1 （ 2）先估计a 的值，因为 nπ nt 1n +1 11 ∫ x = t ∫∫ 0a =ntan n xdx tandt <nt dt = , 41+ t 2 00 a nnλ1 1所以< <, n n 1 n λ+1 ( + ) λ ∞1nλ+ ∑ 由λ +1>1知 收敛 1 n =1 ∞a n λ ∑ n 也收敛.从而n =1⎡ ⎢ ⎢a −1 c ⎤⎥ 十、设矩阵A = 5 b 3 − ⎥a，其行列式 A = −1，又A 的伴随矩阵A * 有一个特征值λ ， ⎥ 0 ⎢ 1− c 0 ⎣ ⎦ 属于λ 的一个特征向量为 1, 1, 1 α = (− − )T ，求a ,b ,c 和λ 的值.0 0【 详解】A α = λ α, * 根据题设有 0 AA * = A E = −E , 于是 AA *α = A λ α = λ A α,又 即0 0 −α = λ A α 0⎡ ⎢ ⎢a −1 c ⎤ ⎡−1⎤ ⎡−1⎤⎥ ⎢⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 也即λ 0 5 b 3 −1 = − −1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 1− a − ⎥ ⎢ ⎥ ⎦⎢ ⎥ c 0 1 1 ⎣ ⎦ ⎣ ⎣ ⎦由此，可得⎧ a 1 c λ ( + + ) = 1 0 ⎪ ⎨ 5 b 3 λ (− − + ) = 1 0⎪ ⎩1 c a λ (− + − )= − 1 0 解此方程组，得 λ =1,b = −3,a = c又由A = −1和 a = c ，有a −1 −3 3 = a −3 = −1 −aa51 − a 0 故 a = c = 2,因此 a = 2,b = −3,c = 2,λ =1. 0十一、设 A 为 m 阶实对称矩阵且正定， B 为 m ×n 实矩阵，B T 为 B 的转置矩阵，试证：( ) =n .B T AB 为正定矩阵的充分必要条件是 B 的秩 r B 详解】 必要性. 设 B AB 为正定矩阵，则由定义知，对任意的实 n 维列向量 x ≠ 0 ，有T【 (B T AB x > 0, )即 (Bx ) BA (Bx )> 0, TxT 于是， Bx ≠ 0 .因此， Bx = 0 只有零解，故有 r B ( ) = n(B T AB)T= B A TB = B AB 故 B , AB 为实对称矩阵.若 r B = nT T T ()充分性. 因则线性方程组 Bx = 0 只有零解，从而对任意的实 n 维列向量 x ≠ 0 ，有 Bx ≠ 0 .又 A 为正定 矩阵，所以对于 Bx ≠ 0 有 Bx BA Bx 0, ( ) T() >(B T ( ) AB x = Bx A Bx > ，故B AB 为正定矩阵. ) ( ) T 0 于是当 x ≠ 0 ，有 x T T( ) 十二、设随机变量X 与Y 相互独立，下表列出了二维随机变量 X ,Y 联合分布律及关于X 和 关于Y 的边缘分布律中的部分数值，试将其余数值填入表中的空白处.{ P X= } = y 1y 2 y 3x p ii 1 8x 1 x 218 1 { P Y= } = 1y ip j6【 详解】{ P X= } = y 1y 2 y 3 x p ii 11 1 1 x 1 x 224 8 3 12 1 4 3 1 8 1 8 1 4 1 4{ P Y= } =pj1y i623十三、设总体X 的概率密度为⎧ 6x(θ − ) < <θ x ，0 x⎪ ( )= θ f x ⎨ 3 ⎪ ⎩ 0, 其他 X , X ,", X 是取自总体X 的简单随机样本. 1 2 n ^（ 1） 求θ 的矩估计量θ ；^⎛ ⎞ ^（ 2） 求θ 的方差D ⎜θ ⎟. ⎝ ⎠6 θ xθ + ∞θ()= ∫ ( ) = ∫ 0(θ −) 【 详解】 (1) E X xf x dx x dx = 3 2 −∞ 1 nθ ^ ∑ 记 X = X , 令 = X ,得θ 的矩估计量θ = 2X ；i n 2i =1 （ 2）由于6 θ x 2 6x 2+ ∞( ) ∫ ( ) ∫ (θ − x )dx =E X2= x 2f x dx = 3 20−∞6θ 2 ⎛θ ⎞ ⎝ 2 ⎠ 2 θ 2 ( )= (D xE x)− ⎡( )⎤ 22E x = − = ⎣ ⎦ ⎜ ⎟ 2 0 20^因此 θ = 2X 的方差为⎛ ⎞ ^ ( ) ( )D ⎜θ ⎟ = D 2X = 4D X ⎝ ⎠4θ 2 = ( ) = D X n 5n。
清华大学1999-2007年硕士研究生入学考试(法学法理)试题
清华大学1999-2007年硕士研究生入学考试（法学法理）试题清华大学1999年硕士研究生入学考试（法学法理）试题一、概念题（每题2分）（1）法学（2）法律作用（3）司法解释二、简答题（每题5分）1、当代中国的立法应遵循哪些原则？2、简述现代西方法理学的形式特征。
三、论述题（每题10分）1、论法治清华大学2000年硕士研究生入学考试（法学法理）试题一、名词解释（每个2分，共20分）9、普通法10、法律推理二、简答题（50分）l、霍姆斯认为：法是对法院实际上将作什么的预言，请对这一观点加以评述（8分）三、论述题（l5分）试论法的分类及根据清华大学2001年硕士研究生入学考试（法学法理）试题一、名词解释（每题2分，共20分）：1、法律解释2、法律部门二、简答题（共50分）：1、有人认为法律的作用是无限的，你对此有何看法？（8分）三、论述题。
（15分）1、试论关于法的本质的各种学说。
清华大学2002年硕士研究生入学考试（法学法理）试题一、简析题(法学理论专业考生在前三道题中任选两题，按“简析题”回答；第四道题按“论述题”回答。
)1、试述法的形式特征。
(15分)2、以中国大陆现行法为例，试述法的渊源。
(15分)3、试论法律意识对于法律实践的作用。
(15分)4、如何理解通过法律来进行社会控制。
(35分)二、论述题1、试述法与正义的关系。
(35分)法学理论综合考试一、名词解释(每题3分，共12分)1、“法令滋彰，盗贼多有”2、《读通鉴论》3、社团法人4、继续性合同二、简答题(共24分)1、梁启超法律思想的主要内容有哪些？(7分)2、用益物权的特征。
(7分)3、简述亚里士多德的法治思想。
(10分)三、论述题(共64分)1、试述儒家法律思想的主要特点和现实意义。
(12分)2、试述违约责任与侵权责任的竞合。
(12分)3、评述西方近代启蒙思想家的自然权利观。
(15分)4、我国行政许可制度的改革及其理由和根据。
(25分)清华大学2003年硕士研究生入学考试（法学法理）试题一、简述题（法理学专业任做五题，刑法学专业全做）1.法的特征2.法与法律3.法的体系4.法的要素5.善法与恶法6.法律是手段，正义是目的。
1999年全国硕士研究生入学统一考试数学一、二、三、四试题完整版附答案解析及评分标准
由格林公式，前一部分 I1
D
(b a)dxdy
2
a2 (b a) ,
„„1 分 „„3 分
1999 年 • 第 2 页
其中 D 为 L L1 所围成的半区域. 直接计算后一积分可得
I2
2a (bx)dx 2a2b .
0
„„4 分
从而
I
I1
I2
2
a2 (b
a)
2a2b
( 2
2)a2b
解：曲线 y y(x) 上在点 P(x, y) 处的切线方程为Y y y(x)( X x) .
它与 x 轴的交点为 (x y , 0) .由于 y(x) 0, y(0) 1 ，从而 y(x) 0 ， y
于是 S1
1 2
y
x (x
y) y
y2 2 y
.
又 S2
dz dx
f
xf Fx
.
由此解得 dz ( f xf )Fy xf F x
dx
Fy xf F z
( Fy x f Fz 0 ) .
„„5 分
（注：不写出条件 Fy x f Fz 0 不扣分）.
四、(本题满分 5 分)
求 I (ex sin y b(x y)) dx (ex cos y ax) dy ，其中 a, b 为正的常数， L 为从点 L
A(2a, 0) 沿曲线 y= 2ax x2 到点 O(0, 0) 的弧.
解一：添加从点 O(0, 0) 沿 y 0 到点 A(2a, 0) 的有向直线段 L1 ，
I (ex sin y b(x y))dx (ex cos y ax)dy L L1
(ex sin y b(x y))dx (ex cos y ax)dy L1
清华大学往年考试试卷真题
清华大学往年考试试卷真题清华大学是中国顶尖的高等学府之一，其考试试卷真题通常包含多个学科领域，以下是一个模拟的清华大学往年考试试卷真题的示例：清华大学数学分析考试试卷一、选择题（每题2分，共20分）1. 下列函数中，哪一个不是连续函数？A. f(x) = x^2B. f(x) = sin(x)C. f(x) = |x|D. f(x) = 1/x2. 函数f(x) = x^3 - 2x + 1在x=1处的导数是：A. 2B. 0C. -2D. 43. 积分∫(0,1) x^2 dx的值是：A. 1/3B. 1/2C. 2/3D. 1...（此处省略其他选择题）二、填空题（每题3分，共15分）1. 函数f(x) = 3x^2 + 2x - 1的极值点是_________。
2. 若f(x) = e^x，那么f'(x) = __________。
3. 函数y = ln(x)的定义域是_________。
...（此处省略其他填空题）三、简答题（每题10分，共30分）1. 证明函数f(x) = x^3在R上是单调递增的。
2. 解释什么是泰勒级数，并给出e^x的泰勒级数展开式。
3. 计算定积分∫(1, e) (x + 1/x) dx。
四、解答题（每题15分，共30分）1. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 4，求其在区间[0, 3]上的最小值。
2. 给定函数g(x) = sin(x) + cos(x)，求其在x=π/4处的导数，并解释其几何意义。
3. 解析下列微分方程：dy/dx = x^2 - y^2，初始条件为y(0) = 1。
五、附加题（10分）1. 讨论函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6在实数域R上的零点。
注意事项：- 请在答题纸上作答，不要在试卷上直接书写。
- 请保持答题纸整洁，字迹清晰。
- 选择题请用2B铅笔涂黑，填空题和解答题请用黑色签字笔书写。
祝考试顺利！请注意，以上内容仅为模拟示例，并非真实的清华大学考试试卷真题。
1999考研数学一真题及答案解析
1999年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题共5个小题，每小题3分，满分15分。
把正确答案填写在题中横线上。
)(1)2011lim tan x x x x →⎛⎫-=⎪⎝⎭(2)20sin()x d x t dt dx-=⎰(3)2"4xy y e -=的通解为y =(4)设n 阶矩阵A 的元素全为1，则A 的n 个特征值是(5)设两两相互独立的三事件A ,B 和C 满足条件：1,()()(),2ABC P A P B P C φ===<9(),16P A B C ⋃⋃=则()P A =二、选择题(本题共5小题，每小题3分，满分15分。
每小题给出得四个选项中，只有一个是符合题目要求的，把所选项前的字母填在提后的括号内。
)(1)设()f x 是连续函数，()F x 是()f x 的原函数，则()(A)当()f x 是奇函数时，()F x 必是偶函数。
(B)当()f x 是偶函数时，()F x 必是奇函数。
(C)当()f x 是周期函数时，()F x 必是周期函数。
(D)当()f x 是单调增函数时，()F x 必是单调增函数。
(2)设20()(),0x f x x g x x >=≤⎩其中()g x 是有界函数，则()f x 在0x =处()(A)极限不存在(B)极限存在，但不连续(C)连续，但不可导(D)可导(3)设011,02(),()cos ,,1222,12n n x x a f x S x a n x x x x π∞=⎧≤≤⎪⎪==+-∞<<+∞⎨⎪- <<⎪⎩∑其中102()cos ,(0,1,2,),n a f x n xdx n π==⋅⋅⋅⎰则52S ⎛⎫- ⎪⎝⎭等于()(A)12(B)12-(C)34(D)34-(4)设A 是m n ⨯矩阵，B 是n m ⨯矩阵，则(A)当m n >时，必有行列式AB 0≠(B)当m n >时，必有行列式AB 0=(C)当n m >时，必有行列式AB 0≠(D)当n m >时，必有行列式AB 0=(5)设两个相互独立的随机变量X 和Y 分别服从正态分布N (0,1)和N (1,1)，则(A){}10.2P X Y +≤=(B){}1P X+Y 1.2≤=(C){}1P X-Y 0.2≤=(D){}1P X-Y 1.2≤=三、(本题满分5分)设()y y x =，()z z x =是由方程()z xf x y =+和(,,)F x y z =0所确定的函数，其中f 和F 分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求dzdx。
1999年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案与解析
1999年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案与解析一、填空题（本题5小题，每小题3分，满分15分。
把答案填在题中横线上。
） （1）曲线sin 2,cos x e t y e t'=⎧⎨'=⎩在点()0,1处的法线方程为___________。
【思路点拔】本题的考点是曲线的法线方程。
欲求曲线的法线方程，需先求曲线法线斜率，即与曲线方程的一阶导数值乘积为-1的数，然后由直线的点斜式即可求曲线的法线方程。
【解题分析】cos sin sin 22cos 2x y t t ty x t t t'-'=='+。
()(),0,1x y =对应0t =，012xt y ='=，所求法线方程为12y x -=-。
即21x y +=。
（2）设函数()y y x =由方程()23ln sin x y x y x +=+确定，则x dy dx==_________。
【思路点拔】本题的考点是隐函数求导。
隐函数求导有两种方法：解法一，直接求导法；解法二，利和我函数的求导公式求解。
【解题分析】解法一：方程两边对x 求导得32223cos x y x y x y x x y'+'=+++。
以0x =代入原方程得ln 0y =，1y =；以0x =，1y =代入32223cos x y x y x y x x y'+'=+++。
得01x y ='=。
解法二：令()()23ln sin F x y x y x y x ⋅=+--22123sin Fx x x y x x y=⋅--+ 321Fy x x y=-+ dy Fxdx Fy=()()()2223223cos 1x x y x y x x y x x y -+-+=--+由题意：0x =时，1y =∴1x dy dx==。
（3）25613x dx x x +=-+⎰______________。
1999年数学一真题及答案详解
1999年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)2011lim()tan x x x x→-=_____________. (2)20sin()xd x t dt dx -⎰=_____________. (3)24e x y y ''-=的通解为y =_____________.(4)设n 阶矩阵A 的元素全为1,则A 的n 个特征值是 _____________.(5)设两两相互独立的三事件,A B 和C 满足条件:1,()()(),2ABC P A P B P C =∅==< 且已知9(),16P A B C =则()P A =_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设()f x 是连续函数,()F x 是()f x 的原函数,则 (A)当()f x 是奇函数时,()F x 必是偶函数(B)当()f x 是偶函数时,()F x 必是奇函数(C)当()f x 是周期函数时,()F x 必是周期函数 (D)当()f x 是单调增函数时,()F x 必是单调增函数(2)设21cos 0()() 0xx f x xx g x x -⎧>⎪=⎨⎪≤⎩,其中()g x 是有界函数,则()f x 在0x =处 (A)极限不存在(B)极限存在,但不连续(C)连续,但不可导(D)可导(3)设 01()122 12x x f x x x ≤≤⎧⎪=⎨-<<⎪⎩,01()cos ,,2n n a S x a n x x π∞==+-∞<<+∞∑ 其中12()cos n a f x n xdx π=⎰ (0,1,2,)n = ,则5()2S -等于 (A)12(B)12-(C)34(D)34-(4)设A 是m n ⨯矩阵,B 是n m ⨯矩阵,则(A)当m n >时,必有行列式||0≠AB(B)当m n >时,必有行列式||0=AB(C)当n m >时,必有行列式||0≠AB(D)当n m >时,必有行列式||0=AB(5)设两个相互独立的随机变量X 和Y 分别服从正态分布(0,1)N 和(1,1)N ,则(A)1{0}2P X Y +≤= (B)1{1}2P X Y +≤=(C)1{0}2P X Y -≤=(D)1{1}2P X Y -≤=三、(本题满分6分)设(),()y y x z z x ==是由方程()z xf x y =+和(,,)0F x y z =所确定的函数,其中f 和F 分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数,求.dz dx四、(本题满分5分)求(e sin ())(e cos ),x x LI y b x y dx y ax dy =-++-⎰其中,a b 为正的常数,L 为从点(2,0)A a 沿曲线22y ax x =-到点(0,0)O 的弧.五、(本题满分6分)设函数()(0)y x x ≥二阶可导且()0,(0) 1.y x y '>=过曲线()y y x =上任意一点(,)P x y 作该曲线的切线及x 轴的垂线,上述两直线与x 轴所围成的三角形的面积记为1S ,区间[0,]x 上以()y y x =为曲线的曲边梯形面积记为2S ,并设122S S -恒为1,求曲线()y y x =的方程.六、(本题满分7分)论证:当0x >时,22(1)ln (1).x x x -≥-七、(本题满分6分)为清除井底的淤泥,用缆绳将抓斗放入井底,抓起污泥后提出井口(见图).已知井深30m,抓斗自重400N,缆绳每米重50N,抓斗抓起的污泥重2000N,提升速度为3m/s,在提升过程中,污泥以20N/s 的速率从抓斗缝隙中漏掉.现将抓起污泥的抓斗提升至井口,问克服重力需作多少焦耳的功?(说明:①1N ⨯1m=1Jm,N,s,J 分别表示米,牛,秒,焦.②抓斗的高度及位于井口上方的缆绳长度忽略不计.)八、(本题满分7分)设S 为椭球面222122x y z ++=的上半部分,点(,,),P x y z S π∈为S 在点P 处的切平面,(,,)x y z ρ为点(0,0,0)O 到平面π的距离,求.(,,)SzdS x y z ρ⎰⎰九、(本题满分7分)设4tan :n n a xdx π=⎰(1)求211()n n n a a n ∞+=+∑的值. (2)试证:对任意的常数0,λ>级数1nn a nλ∞=∑收敛. 十、(本题满分8分)设矩阵153,10ac b c a -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦A 其行列式||1,=-A 又A 的伴随矩阵*A 有一个特征值0λ,属于0λ的一个特征向量为(1,1,1),T =--α求,,a b c 和0λ的值.十一、(本题满分6分)设A 为m 阶实对称矩阵且正定,B 为m n ⨯实矩阵,T B 为B 的转置矩阵,试证TB AB 为正定矩阵的充分必要条件是B 的秩().r n =B十二、(本题满分8分)设随机变量X 与Y 相互独立,下表列出了二维随机变量(,)X Y 联合分布率及关于X 和关于Y 的边缘分布率中的部分数值,试将其余数值填入表中的空白处. X Y1y2y 3y()i i P X x p ∙==1x182x18 ()i j P Y y p ∙==161十三、(本题满分6分)设X 的概率密度为36() 0< ()0 其它xx x f x θθθ⎧-<⎪=⎨⎪⎩,12,,,n X X X 是取自总体X 的简单随机样本(1)求θ的矩估计量ˆθ.(2)求ˆθ的方差ˆ().D θ1999年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)答案详解一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1) 【答】31 【详解1】 302020t a n l i m t a n t a n l i m t a n 11l i m x x x x x x x x x x x x x -=-=⎪⎭⎫⎝⎛-→→→ 313t a n l i m l i m22031s e c 022===→-→x x x xx x 【详解2】 302020c o s s i n lim sin cos sin lim tan 11lim x x x x x x x x x x x x x x x -=-=⎪⎭⎫⎝⎛-→→→ 313sin lim 3sin cos cos lim 020==+-=→→x x x x x x x x x (2)【答】 2sin x【详解】 ⎰⎰-=--x x du u dx d u t x dt t x dx d 0022)sin ()sin( 202s i n s i n x du u dx d x==⎰ 故本题应填2sin x (3)【答】 xx e x C e C y 222141⎪⎭⎫ ⎝⎛++=-，其中21,C C 为任意常数. 【详解】 特征方程为：042=-λ，解得2-,22,1==λλ.故04"=-y y 的通解为x xe C eC y 22211+=-，由于非齐次项为2,)(2==a e x f x 为特征方程的单根，因此原方程的特解可设为xAxe y 2=*，代入原方程求得41=A , 故所求解为x x x xee C e C y y y 22221141++=+=-* 故本题应填xx e x C e C y 222141⎪⎭⎫ ⎝⎛++=-，其中21,C C 为任意常数. (4)【答】10,,0,-n n【详解】 因为111111111111111---------=---------=-λλλλλλλλλn n n A E λλλ00111)(---=n 故矩阵A 的n 个特征值是n 和0（n-1重）因此本题应填10,,0,-n n(5) 【答】41 【详解】 根据加法式有())()()()()()()(ABC P BC P AB P AC P C P B P A P C B A P +---++=⋃⋃ 由题A,B 和C 两两相互独立，21)()()(,<===C P B P A P ABC φ,因此有 ),()()()(2A P BC P AC P AB P === 0)()(==φP ABC P , 从而 ()169)(3)(32=-=⋃⋃A P A P C B A P 解得 41)(,43)(==A P A P 又根据题设 41)(,21)(=<A P A P 故二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)（1）【答】 应选（A ）【详解】 )(x f 的原函数)(x F 可以表示为C dt t f x F x+=⎰)()(，于是.)()()()(0C u d u f t u C dt t f x F xx+---=+=-⎰⎰-当)(x f 为奇函数时，),()(u f u f -=-从而有)()()()(0x F C dt t f C du u f x F xx=+=+=-⎰⎰即 )(x F 为偶函数.故（A ）为正确选项，至于（B ）、（C ）、（D ）可分别举反例如下：2)(x x f =是偶函数，但其原函数131)(3+=x x F 不是奇函数，可排除（B ）； x x f 2cos )(=是周期函数，但其原函数x x x F 2sin 4121)(+=不是周期函数，可排除（C ）；x x f =)(在区间()∞∞-,内是单调增函数，但其原函数221)(x x F =在区间()∞∞-,内非单调增函数，可排除（D ）。
1999年数学一考研真题解答
P A B C P A P B P C P AC P AB P BC P ABC
由题 A, B 和 C 两两相互独立， ABC I, P A P B P C 1 , 因此有
2
P AB P AC P BC P2 A , P ABC P I 0,
tan2 x
lim
xo0
3x2
1
3
tan x x
lim
xo0
x3
§
lim
xo0
¨©
1 x2
x
1 tan
x
· ¸¹
sin x x cos x
sin x x cos x
lim
lim
xo0 x2 sin x
xo0
x3
cos x cos x x sin x
lim
xo0
3x2
sin x 1 lim xo0 3x 3
1999 年全国硕士研究生入学统一考试 理工数学一试题详解及评析
一、填空题
§
（1）
lim
xo0
¨©
1 x2
x
1 tan
x
·¸¹
.
【答】 1 3
【详解 1】
【详解 2】
§
lim
xo0
¨©
1 x2
x
1 tan
x
· ¸¹
tan x x
lim
xo0
x2 tan x
sec2 x 1
lim
xo0
3x2
³d
（2）
x sin x t 2dt
dx 0
.
【答】 sin x2 .
1999年全国硕士研究生入学考试数学二真题及答案
(B)低阶无穷小
(C)同阶但不等价的无穷小
(D)等价无穷小
(3) 设 f (x) 是连续函数， F x 是 f (x) 的原函数，则 ( )
(A) 当 f (x) 是奇函数时， F x 必是偶函数.
(B) 当 f (x) 是偶函数时， F x 必是奇函数.
(C) 当 f (x) 是周期函数时， F x 必是周期函数.
2x y 3x2 y x3 y cos x ， x2 y
把 x 0 和 y 1代入得 y(0) dy 1 dx x0
(3)【答案】 1 ln(x2 6x 13) 4 arctan x 3 C
2
2
【详解】通过变换，将积分转化为常见积分，即
x2
x 5 dx 6x 13
(
x)
1
cos x
x
,x
0
，其中
g
x
是有界函数，则
f (x) 在 x 0 处
(
)
x2g x,x 0
(A) 极限不存在.
(B) 极限存在，但不连续.
(C) 连续，但不可导.
(D) 可导.
(2) 设 x
5x sin t dt, x
sin
x
1
t
1
t
dt
，则当
x
0
时
x
是
x
的
(
)
0t
0
(A)高阶无穷小
x5
(3)
dx x2 6x 13
(4) 函数 y
x2 x2
在区间
1 2
,
3 2
上的平均值为
(5) 微分方程 y 4 y e2x 的通解为
二、选择题(本题共5小题，每小题3分，满分15分。每小题给出得四个选项中，只有一个是 符合题目要求的，把所选项前的字母填在提后的括号内。)
1999-数二真题、标准答案及解析
,
与 x = 0, y = 0 对应 t = 0 ，
| 故
dy dx
x=0 =
y =1
1 ，从而在点 (0,1) 处的法线的斜率为-2，法线方程为
2
y −1 = −2( x − 0),
即
y + 2x −1= 0
( ) | （2）设函数 y = y ( x) 由方程 ln x2 + y = x3 y + sin x 确定，则 dy =
∫ 四、计算
+∞ 1
arctan x2
x
dx.
【详解】 方法一：
∫ 原式＝ −
+∞
arctan
1
xd
⎛ ⎜⎝
1 x
⎞ ⎟⎠
| ∫ ( ) =
lim
b→+∞
⎛ ⎜⎝
−
1 x
arctan
x
b 1
⎞ ⎟⎠
+
lim
b→+∞
b
1x
1 1+ x2
dx
( ) =
π 4
+
lim
b→+∞
⎡⎢⎣ln
b
−
1 2
ln
+b2
-3-
【详解】 因为
∫ α ( x)
lim
∫ x→0
β
(
x)
=
lim
x→0
5x sin tdt 0t
1
sin x (1+ t )t dt
=
5 lim x→0
sin 5x
5x
1
(1+ sin x)sin x
⋅ cos
清华大学数学系硕士生入学考试试题
清华大学数学系硕士生入学考试试题清华大学硕士生入学考试试题专用纸准考证号系别考试日期 2003.01 专业考试科目数学分析试题内容:2{(x,y)}，,一、(15分)设(20分)设在R\上定义，=A ,且>0使得limf(x,y)f(x,y)00x,x0y,y0limf(x,y),,当0,,y-y,, 时，Ф(y)存在。
0x,x0求证: lim[limf(x,y)],Ay,y,x,x002222二、(20分)设半径为r的球面?的球心在一固定球面?ˊ:x+y+z=a(a>0) 上，问当r取何值时，球面?含在球面?ˊ内部的部分面积最大,x三、(20分)设(x)[,a,a](a>0), (x)=(t)dt,(n=1,2,…). fff0,Cnn-1,0求证:{(x) }在[,a,a]上一致收敛于0. fn22四、(20分)设(x,y)在R上二阶连续可微，(x,2x)=x, (x,2x)=x, 且(x,y)= fff'f''xxx2(x,y),. ,(x,y),Rf''yy求:(x,2x), (x,2x) 及(x,2x). f'f''f''yyxyyn2f(k/n)五、(25分)设(0)存在，(0)=0,x=. f'fn,k,1,limxlimx求证:存在，且,f(0)/2. nnn,,n,,六、(25分)设(x),C[0,1]且在(0,1)上可导，且 f1/2(1)=. f2xf(x)dx,0求证:存在，使得()= -()/ ,,(0,1)f',f,,g七、(25分)设f，在R上连续，fοɡ(x)= ɡοf(x);, 并且f(x)?ɡ,x,R(x) ,. ,x,R求证:fοf(x)? ɡοɡ(x) ,x,R清华大学硕士生入学考试试题专用纸准考证号系别数学科学系考试日期2003.01 专业考试科目高等代数试题内容:43一、(20分)设(X)=(X+1)(X-1)为复方阵A的特征多项式，那么A的Jordan 标准型Jf有几种可能,(不计Jordan块的次序)二、(20分)设方阵31,1,,,,,6,23A, ,,,,,2,10,,-1A在实数域R上是否相似域对角形(即有实方阵P使PAP为对角形),在复数域C上呢,给出证明。
1999考研数一真题解析
ex sin ydx ex cos ydy b(x y)dx axdy
L
L
前一积分与路径无关，所以
ex sin ydx ex cos ydy ex sin y (0,0) 0
L
(2a,0)
x0
x0 x x
lim x0
1 x2 2 xx
0,
f(0)
lim
x 0
f (x) f (0) x0
lim x0
x2g(x) x
lim xg(x) 0, x0
从而， f (0) 存在，且 f (0) 0 ，故正确选项为(D).
(3)【答案】( C )
【详解】由题设知，应先将 f (x) 从[0,1)作偶延拓，使之成为区间[−1,1]上的偶函数，然后再作
...
1
1 ... 1
两边取行列式，
1 1 ... 1
n 1 ... 1
E A 1 1 ... 1 把第2，，n列 n 1 ... 1
... ... ... ... 加到第1列
... ... ... ...
1 1 ... 1
n 1 ... 1
1 1 ... 1 2行 1行
F z , (Fy
xf
F z
0)
四【详解】 方法1：凑成闭合曲线，应用格林公式.
添加从点 O(0, 0) 沿 y 0 到点 A2a,0 的有向直
线段 L1 , 如图，则
I ex sin y b(x y) dx ex cos y ax dy L L1 ex sin y b(x y) dx ex cos y ax dy L1
组 Bx 0 必有非零解，即存在 x0 0 ，使得 Bx0 0 ，两边左乘 A ，得 ABx0 0 ，即 ABx 0 有非零解，从而 AB 0 ，故选(B).
清华大学数学系硕士生入学考试试题
清华大学数学系硕士生入学考试试题清华大学硕士生入学考试试题专用纸准考证号系别考试日期 2003.01 专业考试科目数学分析试题内容:2{(x,y)}，,一、(15分)设(20分)设在R\上定义，=A ,且>0使得limf(x,y)f(x,y)00x,x0y,y0limf(x,y),,当0,,y-y,, 时，Ф(y)存在。
0x,x0求证: lim[limf(x,y)],Ay,y,x,x002222二、(20分)设半径为r的球面?的球心在一固定球面?ˊ:x+y+z=a(a>0) 上，问当r取何值时，球面?含在球面?ˊ内部的部分面积最大,x三、(20分)设(x)[,a,a](a>0), (x)=(t)dt,(n=1,2,…). fff0,Cnn-1,0求证:{(x) }在[,a,a]上一致收敛于0. fn22四、(20分)设(x,y)在R上二阶连续可微，(x,2x)=x, (x,2x)=x, 且(x,y)= fff'f''xxx2(x,y),. ,(x,y),Rf''yy求:(x,2x), (x,2x) 及(x,2x). f'f''f''yyxyyn2f(k/n)五、(25分)设(0)存在，(0)=0,x=. f'fn,k,1,limxlimx求证:存在，且,f(0)/2. nnn,,n,,六、(25分)设(x),C[0,1]且在(0,1)上可导，且 f1/2(1)=. f2xf(x)dx,0求证:存在，使得()= -()/ ,,(0,1)f',f,,g七、(25分)设f，在R上连续，fοɡ(x)= ɡοf(x);, 并且f(x)?ɡ,x,R(x) ,. ,x,R求证:fοf(x)? ɡοɡ(x) ,x,R清华大学硕士生入学考试试题专用纸准考证号系别数学科学系考试日期2003.01 专业考试科目高等代数试题内容:43一、(20分)设(X)=(X+1)(X-1)为复方阵A的特征多项式，那么A的Jordan 标准型Jf有几种可能,(不计Jordan块的次序)二、(20分)设方阵31,1,,,,,6,23A, ,,,,,2,10,,-1A在实数域R上是否相似域对角形(即有实方阵P使PAP为对角形),在复数域C上呢,给出证明。
1999年数学一真题及答案详解
1999年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)2011lim()tan x x x x→-=_____________.(2)20sin()x d x t dt dx -⎰=_____________.(3)24e xy y ''-=的通解为y =_____________.(4)设n 阶矩阵A 的元素全为1,则A 的n 个特征值是 _____________.(5)设两两相互独立的三事件,A B 和C 满足条件:1,()()(),2ABC P A P B P C =∅==<且已知9(),16P A B C =则()P A =_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设()f x 是连续函数,()F x 是()f x 的原函数,则(A)当()f x 是奇函数时,()F x 必是偶函数(B)当()f x 是偶函数时,()F x 必是奇函数(C)当()f x 是周期函数时,()F x 必是周期函数(D)当()f x 是单调增函数时,()F x 必是单调增函数(2)设21cos 0()() 0xx f x xx g x x -⎧>⎪=⎨⎪≤⎩,其中()g x 是有界函数,则()f x 在0x =处(A)极限不存在(B)极限存在,但不连续(C)连续,但不可导(D)可导(3)设 01()122 12x x f x x x ≤≤⎧⎪=⎨-<<⎪⎩,01()cos ,,2n n a S x a n x x π∞==+-∞<<+∞∑其中102()cos n a f x n xdx π=⎰ (0,1,2,)n = ,则5()2S -等于(A)12(B)12-(C)34(D)34-(4)设A 是m n ⨯矩阵,B 是n m ⨯矩阵,则(A)当m n >时,必有行列式||0≠AB (B)当m n >时,必有行列式||0=AB(C)当n m >时,必有行列式||0≠AB(D)当n m >时,必有行列式||0=AB (5)设两个相互独立的随机变量X 和Y 分别服从正态分布(0,1)N 和(1,1)N ,则(A)1{0}2P X Y +≤=(B)1{1}2P X Y +≤=(C)1{0}2P X Y -≤=(D)1{1}2P X Y -≤=三、(本题满分6分)设(),()y y x z z x ==是由方程()z xf x y =+和(,,)0F x y z =所确定的函数,其中f 和F 分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数,求.dz dx四、(本题满分5分)求(e sin ())(e cos ),x x LI y b x y dx y ax dy =-++-⎰其中,a b 为正的常数,L 为从点(2,0)A a 沿曲线22y ax x =-到点(0,0)O 的弧.五、(本题满分6分)设函数()(0)y x x ≥二阶可导且()0,(0) 1.y x y '>=过曲线()y y x =上任意一点(,)P x y 作该曲线的切线及x 轴的垂线,上述两直线与x 轴所围成的三角形的面积记为1S ,区间[0,]x 上以()y y x =为曲线的曲边梯形面积记为2S ,并设122S S -恒为1,求曲线()y y x =的方程.六、(本题满分7分)论证:当0x >时,22(1)ln (1).x x x -≥-七、(本题满分6分)设随机变量X 与Y 相互独立,下表列出了二维随机变量(,)X Y 联合分布率及关于X 和关于Y 的边缘分布率中的部分数值,试将其余数值填入表中的空白处.XY1y 2y 3y ()i i P X x p ∙==1x 182x 18()i jP Y y p ∙==161十三、(本题满分6分)设X 的概率密度为36() 0< ()0 其它xx x f x θθθ⎧-<⎪=⎨⎪⎩,12,,,n X X X 是取自总体X 的简单随机样本(1)求θ的矩估计量ˆθ.(2)求ˆθ的方差ˆ().D θ1999年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)答案详解一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)【答】31 【详解1】 302020tan lim tan tan lim tan 11lim x x x x x x x x x x x x x -=-=⎪⎭⎫⎝⎛-→→→313tan lim lim22031sec 022===→-→x x x xx x 【详解2】 302020cos sin lim sin cos sin lim tan 11lim x x x x x x x x x x x x x x x -=-=⎪⎭⎫⎝⎛-→→→313sin lim 3sin cos cos lim020==+-=→→x x x x x x x x x (2)【答】 2sin x【详解】 ⎰⎰-=--x xdu u dx d u t x dt t x dx d 0022)sin ()sin( 22sin sin xdu u dx d x ==⎰故本题应填2sin x(3)【答】 ，其中为任意常数.x xe x C eC y 222141⎪⎭⎫ ⎝⎛++=-21,C C 【详解】 特征方程为：，解得.042=-λ2-,22,1==λλ故的通解为，由于非齐次项为为04"=-y y x xe C eC y 22211+=-2,)(2==a e x f x 特征方程的单根，因此原方程的特解可设为，代入原方程求得,xAxey 2=*41=A故所求解为 xx x xe e C e C y y y 22221141++=+=-*故本题应填，其中为任意常数.x xe x C eC y 222141⎪⎭⎫ ⎝⎛++=-21,C C (4)【答】10,,0,-n n 【详解】 因为111111111111111---------=---------=-λλλλλλλλλnn n A Eλλλ0111)(---=n故矩阵的n 个特征值是n 和0（n-1重）A因此本题应填10,,0,-n n (5)【答】41 【详解】 根据加法式有())()()()()()()(ABC P BC P AB P AC P C P B P A P C B A P +---++=⋃⋃ 由题A,B 和C 两两相互独立，,因此有21)()()(,<===C P B P A P ABC φ ),()()()(2A P BC P AC P AB P === ,0)()(==φP ABC P 从而 ()169)(3)(32=-=⋃⋃A P A P C B A P 解得 41)(,43)(==A P A P 又根据题设 41)(,21)(=<A P A P 故二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)（1）【答】 应选（A ）【详解】 的原函数可以表示为，于是)(x f )(x F C dt t f x F x+=⎰)()( .)()()()(0C u d u f t u C dt t f x F xx+---=+=-⎰⎰- 当为奇函数时，从而有)(x f ),()(u f u f -=-)()()()(00x F C dt t f C du u f x F xx=+=+=-⎰⎰即 为偶函数.)(x F 故（A ）为正确选项，至于（B ）、（C ）、（D ）可分别举反例如下：是偶函数，但其原函数不是奇函数，可排除（B ）；2)(x x f =131)(3+=x x F 是周期函数，但其原函数不是周期函数，可排除x x f 2cos )(=x x x F 2sin 4121)(+=（C ）；在区间内是单调增函数，但其原函数在区间内非x x f =)(()∞∞-,221)(x x F =()∞∞-,单调增函数，可排除（D ）。
1999年1月全国硕士研究生入学统一考试管理类专业学位联考数学试题
垂直,则������等于( )
（A）-1
（B）1
（C）±1
（D）−
3 2
（E）0
7.设������件产品中������件是不合格品,从这������件产品中任取 2 件,则恰有－件不合格的概率是
（）
（A） ������������
������(����
������������,
������������
=
2√2,且������������,������������ 的长分别是方程������2
3
−
√2������������
+
3������−1 = 0的两个根,则△ ������������������的面积为（ ）
4
（A）√5
9
（B）2√5
9
（C）5√5
2
（B）3(1−3������) + 3������+1
4
2
（C）3(1−3������) + (������+2)3������
4
2
（D）3(3������−1) + 3������
4
2
（E）3(1−3������) + ������∗3������+1
4
2
13.在 等 腰 三 角 形������������������ 中 , ������������
2 只,白球 2 只,从这三个盒子的任意一个中任取一只球,它是红球的概率是（ ）
（A）0.5625 （B）0.5
（C）0.45
（D）0.375 （E）0.225
10.图 1 中的字母代表元件种类,字母相同但下标不同的为同一类元件,已知������, ������, ������, ������各
华师大 99年 数学分析
华东师范大学1999年功读硕士研究生入学考试试题考试科目：数学分析一（15分）设a x a <<>10,0，⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+a x x x n n n 21,()N n ∈.证明:{}n x 收敛，并求其极限。
二（10分）证明：若函数f 在区间I 上处处连续，且为一一映射，则f 在I 上必为严格单调。
三（15分）用条件极值方法证明不等式：22122221......⎪⎭⎫ ⎝⎛+++≥+++n x x x n x x x n n,()n k x k ,...,2,1,0=> 四（15分）设()x f 在()+∞,a 上可导，且()+∞='+∞→x f x lim 。
证明：()x f 在()+∞,a 上不一致连续。
五（15分）设()x f 在[]b a ,上二阶可导，且()0≥x f ，()0<''x f 。
证明：()()⎰-≤ba dt t f ab x f 2， []b a x ,∈六（15分）设()y x f ,在[][]d c b a D ,,⨯=上有二阶连续偏导数。
（1） 通过计算验证：()()⎰⎰⎰⎰''=''D D yxxydxdy y x f dxdy y x f ,, （2） 利用（1）证明()()y x f y x f yx xy,,''=''，()D y x ∈, 七（15分）设对每一n ，()x f n 在[]b a ,上有界，且当∞→n 时，()()x f x f n ⇒,[]b a x ,∈。
证明：（1） ()x f 在[]b a ,上有界；（2） ()()x f x f bx a n b x a n ≤≤≤≤∞→=sup sup lim 八（15分）设2R S ⊂，()000,y x P 为S 的内点，()111,y x P 为S 的外点。
证明：直线段10P P 必与S 的边界S ∂至少有一交点。