清华大学硕士生入学考试试题1999数学分析
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清华大学硕士生入学考试试题1999数学分析 一.求极限n
n n e n ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∞→)1(1lim 二 .设实函数f 在),0[+∞上连续,在),0[+∞内处处可导,且
A x f n =∞→)('lim (存在) 证明:当且仅当+∞ 三.设Ω为2R 中的一个有界开集,映射2 :R F →Ω满足 (1))()(1ΩΩ∈C C F (2)F 的Jacobi 矩阵的行列式在Ω内处处不为0 证明:对任何),(\2Ω∂∈F R p 方程Ω∈=),(,),(y x p y x F 在Ω内至多有有限个解。 四.计算二重积分()dxdy x y x I D ⎰⎰+=24,其中D 为x 轴,y=x ,1=+y x 和 2=+y x 围成的有界闭区域 五.设实函数],0[1πC f ∈,令⎰== π0,.....3,2,1,)cos()(n dx nx x f C n 证明:+∞<∑+∞=1n n C