高中数学求数列通项的常用方法

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数列通项的五种求法

数列通项的五种求法求数列的通项公式是高中数学中最为常见的题型之一，它既可考查等价转化与化归的数学思想，又能反映考生对等差与等现象数列理想的深度，具有一定的技巧性，因此经常渗透在高考和竞赛中，要正确写出数列通项，其关键是：找出n a 与n 的对应关系，而其中数列的通项求法比较灵活。

下面分别介绍几种常见的数列通项的求法，请同学们学习。

一、常规数列的通项例1 写出下列数列的一个通项公式。

(1) 3, 5, 7, 9.... (2) 3, 5, 9, 17. (3)⋯,638,356,154,32 (4)⋯,917,710,1,32 解（1）（方法一）注意观察，该数列前四项均为奇数，所以归纳出它的通项公式是a n =2n+1.（方法二）发现后一项比前一项都多2，前4项依次可写成a 1=3, a 2=3+2, a 3=3+2×2, a 4=3+2×3, ∴a n =3+2(n-1).（2）观察发现，前四项依次为2+1，22+1，23+1，24+1，∴a n =2n +1.（3）每一项的分子均为偶数，分母依次为1×3，3×5，5×7，7×9，…，均是相邻的两奇数之积，∴.)12)(12(2+-=n n na n（4）各项依次可写成，，，，，⋯9177105532分子依次是项数的平方数加1，∴.1212++=n n a n 小结认真观察（注意分解式子）所给数据的结构特征，正确写出对应的表达式。

二、摆动数列的通项例2 写出下列数列的一个通项公式。

（1）1，5，1，5，1，5，…. （2）⋯--,78,54,32,1. （3）1，2，2，4，3，8，4，16，….解（1）（方法一）∵奇数项均为1，偶数项均为5，∴⎩⎨⎧=，a n 5,1为n n 为正偶数.正奇数，（方法二）∵1与5的平均数为3，∴前四项依次可看成3-2，3+2，3-2，3+2. ∴a n =3+(-1)n ×2.（2）前四项可写成.122)1(,72)1(,52,32)1(,12113210--=∴⨯-⨯---n a n n n （3）∵a 1=1, a 3=2, a 5=3, a 7=4,…, ∴当n 为奇数时,21+=n a n , ∵a 2=2, a 4=4, a 6=8, a 8=16,…, ∴当n 为偶数时，.22n n a =∴⎪⎩⎪⎨⎧+=，n a n n 22,21为n n 为.正偶数正奇数，小结这类题需要看清奇、偶项的正、负，可用(-1)n 或(-1)n+1等形式表示，或用分段形式表示。

通项公式求解方法大全

例说高中数学数列问题的通项求解形式1：累加/累乘（迭代）()()11/n n n na a a kf n kf n a ++-== 例题1：已知数列{}n a ，其中1n a =，满足1n n a a n +-=，试求数列的通项。

解法1：（迭代）()()()()()()1122111121112n n n n n n n a a a a a a a a n n ----=-+-+⋅⋅⋅+-+=-+-+⋅⋅⋅++=+解法2：（累加）()()213211211211123112221n n n n n n a a a a n n n n a a n a a a n a a n ---⎫-=⎧⎪⎪-=⎪⎪--⎪⎪+⋅⋅⋅=⋅⋅⋅+⇒-=+++⋅⋅⋅+-=⇒=+⎨⎬⎪⎪-=-⎪⎪-=-⎪⎪⎩⎭变式1：已知数列{}n a ，其中1n a =，满足()111n n a a n n +-=+，试求数列的通项。

解法1：（迭代）()()()()1112211111111111111121212n n n n n n n a a n n n na a a a a a a a n n n n n -----==---⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-+⋅⋅⋅+-+=-+-+-+=- ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭解法2：（累加）21321121112112311121121111n n n n n n a a a a a a a n na a n n a a n n ---⎫⎧-=-⎪⎪⎪⎪⎪⎪-=-⎪⎪⎪⎪+⋅⋅⋅=⋅⋅⋅+⇒-=-⇒=-⎨⎬⎪⎪⎪⎪-=---⎪⎪⎪⎪-=-⎪⎪-⎩⎭变式2：已知数列{}n a ，其中1n a =，满足1n n a a +-=，试求数列的通项。

解法1：（迭代）()()()11122111 n nn n n n na aa a a a a a a a-----==∴=-+-+⋅⋅⋅+-+=++=解法2：（累加）21321121n nn nn na aa aa a aa aa a---⎫⎧-=⎪⎪⎪-=⎪⎪⎪+⋅⋅⋅=⋅⋅⋅+⇒-==⎨⎬⎪-=⎪⎪⎪-=⎩⎭例题2：已知数列{}n a，其中1na=，满足11nna na n++=，试求数列的通项。

数列通项公式的求解方法总结

数列通项公式的求解方法总结求数列的通项公式是数列中一类常见的题型，这类题型如果单纯的看某一个具体的题目，它的求解方法灵活是灵活多变的，构造的技巧性也很强，但是此类题目也有很强的规律性，存在着解决问题的通法，本文就高中数学中常见的几类题型从解决通法上做一总结，方便于学生学习和老师的教学。

一、累加法：利用an=a1+（a2-a1）+…（an-an-1）求通项公式的方法称为累加法。

累加法是求型如an+1=an+f（n）的递推数列通项公式的基本方法（f（n）可求前n项和）.例1.已知数列an满足an+1=an+2n+1，a1=1，求数列an的通项公式。

解：由an+1=an+2n+1得an+1-an=2n+1则an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a3-a2）+ （a2-a1）+a1=[2（n-1）+1]+[2（n-2）+1]+…+（2×2+1）+（2×1+1）+1=2[（n-1）+（n-2）+…+2+1]+（n-1）+1=2+（n-1）+1=（n-1）（n+1）+1=n2所以数列an的通项公式为an=n2。

例2：在数列{an}中，已知an+1= ，求该数列的通项公式.备注：取倒数之后变成逐差法。

解：两边取倒数递推式化为：=+，即-=所以-=，-=，-=…-=.…，将以上n-1个式子相加，得：-=++…+即=+++…+==1-故an==二、累乘法：利用恒等式an=a1…（an≠0，n？叟n）求通项公式的方法称为累乘法，累乘法是求型如：an+1=g（n）an的递推数列通项公式的基本方法（数列g（n）可求前n项积）.例3.已知数列{an}中a1=，an=·an-1（n？叟2）求数列{an}的通项公式。

解：当n？叟2时，=，=，=，…=将这n-1个式子累乘，得到=，从而an=×=，当n=1时，==a1，所以an= 。

注：在运用累乘法时，还是要特别注意项数，计算时项数容易出错.三、公式法：利用熟知的的公式求通项公式的方法称为公式法，常用的公式有an=Sn-Sn-1（n？叟2），等差数列或等比数列的通项公式。

求数列通项公式的十种方法

求数列通项公式的十种方法求解数列的通项公式是高中数学中的一个重要问题，通常需要运用数学分析方法、递推关系、差分方法等多种技巧。

下面将列举十种常见的方法来求解数列的通项公式。

方法一：等差数列的通项公式对于等差数列 an = a1 + (n - 1) * d，其中 a1 为首项，n 为项数，d 为公差。

通项公式可以直接通过公式计算得出。

方法二：等差数列的求和公式对于等差数列 S = (n / 2) * (a1 + an)，其中 S 为前 n 项和，a1 为首项，an 为末项，n 为项数。

可以通过求和公式推导出等差数列的通项公式。

方法三：等比数列的通项公式对于等比数列 an = a1 * r^(n - 1)，其中 a1 为首项，r 为公比，n 为项数。

通项公式可以直接通过公式计算得出。

方法四：等比数列的求和公式对于等比数列S=(a1*(r^n-1))/(r-1)，其中a1为首项，r为公比，n为项数。

可以通过求和公式推导出等比数列的通项公式。

方法五：递推关系法对于一些递推关系的数列，可以通过寻找规律，构建递推关系来求解数列的通项公式。

例如斐波那契数列就可以通过递推关系f(n)=f(n-1)+f(n-2)，其中f(1)=1，f(2)=1，来求解通项公式。

方法六：二项式展开法对于一些满足二项式展开的数列，可以通过展开得到二项式系数，然后通过系数的通项公式来求解数列的通项公式。

例如二项式数列(x+1)^n的展开系数就是通过n阶二项展开推导出来的。

方法七：差分法通过对数列进行差分操作，找到规律来求解数列的通项公式。

例如，如果差分的结果是一个等差数列，那么原数列就是一个二次或高次多项式。

方法八：线性递推法对于一些线性递推关系的数列，可以通过构建矩阵形式或特征方程的方法来求解数列的通项公式。

例如，对于一阶线性递推数列a(n)=p*a(n-1)+q，可以通过特征方程x-p*x-q=0来求解通项公式。

方法九：插值法通过给定数列中的若干项，利用 Lagrange 插值公式来推导数列的通项公式。

高中数学数列通项公式的求法技巧大全

数列通项公式的求法技巧大全一．利用递推关系式求数列通项的11种方法：累加法、累乘法、待定系数法、阶差法（逐差法）、迭代法、对数变换法、倒数变换法、换元法（目的是去递推关系式中出现的根号）、数学归纳法、不动点法（递推式是一个数列通项的分式表达式）、特征根法二。

四种基本数列：等差数列、等比数列、等和数列、等积数列及其广义形式。

等差数列、等比数列的求通项公式的方法是：累加和累乘，这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。

三．求数列通项的方法的基本思路是：把所求数列通过变形，代换转化为等级差数列或等比数列。

四．求数列通项的基本方法是：累加法和累乘法。

五．数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。

一、累加法1．适用于：1()n n a a f n +=+ ----------这是广义的等差数列累加法是最基本的二个方法之一。

2．若1()n n a a f n +-=(2)n ≥，则21321(1)(2)()n n a a f a a f a a f n +-=-=-=两边分别相加得 111()nn k a a f n +=-=∑例1 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。

解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则112322112()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)12[(1)(2)21](1)1(1)2(1)12(1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n nn n n n ---=-+-++-+-+=-++-+++⨯++⨯++=-+-++++-+-=+-+=-++= 所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =。

例2 已知数列{}n a 满足112313nn n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。

求几种数列通项公式的常用方法

求几种数列通项公式的常用方法作者：兰党军刘志英来源：《理科考试研究·高中》2015年第04期数列知识是高中学生将来上大学后学习高等数学最重要的基础知识之一，因此，数列知识始终是高考考试的重点，同时也是学生学习的难点之一.纵观近几年有关高考数列考查的题型，一般都是求数列的通项公式.而在高中数学中求数列的通项公式的方法较多，下面只介绍几种常用方法.一、观察法就是观察各项的特点，找出各项与项数n的规律性关系.例1根据数列的前4项，写出它的一个通项公式：（1）9，99，999，9999，…；（2）112，245，3910，41617，…（3）1，23，12，25，…；（4）12，-23，34，-45，….解（1）变形为：101-1，102-1，103-1，104-1，…∴通项公式为：an=10n-1.（2）an=n+n2n2+1.（3）an=2n+1.（4）an=（-1）n+1·nn+1.二、公式法如果已知数列为等差（或等比）数列，可直接根据所给条件求得a1，d（或q），从而依据等差（或等比）数列的通项公式写出所求通项.例2等差数列{an}是递减数列，且a2·a3·a4=48，a2+a3+a4=12，则数列的通项公式是（）.A.an=2n-12B.an=2n+4C.an=-2n+12D.an=-2n+10解析设等差数列的公差为d，由已知（a3+d）·a3·（a3+d）=48，3a3=12，解得a3=4，d=±2.又{an}是递减数列，∴d=-2，a1=8.∴an=8+（n-1）（-2）=-2n+10，故选（D） .例3已知等比数列{an}的首项a1=1，公比0解析由题意，bn+1=an+2+an+3，又{an}是等比数列，公比为q.∴bn+1bn=an+2+an+3an+1+an+2=q，故数列{bn}是等比数列，b1=a2+a3=a1q+a1q2=q（q+1），∴bn=q（q+1）·qn+1=qn（n+1）.三、叠加法通常对于型如an+1=an+f（n）类的通项公式，只要f（1）+f（2）+…+f（n）能进行求和，则宜采用此方法求解.例4在数列{an}中，a1=1，an+1=（1+1n）an+n+12n.设bn=ann，求数列{bn}的通项公式.解析（1）由已知可得an+1n+1=ann+12n，∴bn+1-bn=12n，故b2-b1=12，b3-b2=122，b4-b3=123，…，bn-bn-1=12n-1，将以上n-1式子相加便得bn-b1=12+122+123+…+12n-1=12[1-（12）n-1]1-12=1-（12）n-1，又可得b1=1，故bn=2-12n-1.四、叠乘法通常对于型如an+1=f（n）·an类的通项公式，当f（1）·f（2）·…·f（n）的值可以求得时，宜采用此方法.例5在数列{an}中，a1=1，（n+1）·an+1=n·an，求an的表达式.解析由（n+1）·an+1=n·an得an+1an=nn+1，ana1=a2a1·a3a2·a4a3·…·anan-1=12·23·34·…·n-1n=1n，所以an=1n.五、待定系数法用待定系数法解题时，常先假定通项公式或前n项和公式为某一多项式，一般地，若数列{an}为等差数列，则an=bn+c，Sn=bn2+cn（b、c为常数）；若数列{an}为等比数列，则an=Aqn-1，Sn=Aqn-A（Aq≠0，q≠1）.例6已知数列{cn}中，c1=b1+b，cn=b·cn-1+b1+b，其中b是与n无关的常数，且b≠±1.求出用n和b表示的an的关系式.解析递推公式一定可表示为：cn-λ=b（cn-1-λ）的形式.由待定系数法知：λ=bλ+b1+b.∵b≠1，∴λ=b1-b2，∴cn-b1-b2=b（cn-1-b1-b2）.故数列{cn-b1-b2}是首项为c1-b1-b2=b2b2-1，公比为b的等比数列，故cn-b1-b2=b2b2-1bn-1=bn+1b2-1.∴cn=bn+1-bb2-1.六、辅助数列法有些数列本身并不是等差或等比数列，但可以经过适当的变形，构造出一个新的等差或等比数列，从而利用这个新数列求其通项公式.例7设数列{an}的首项a1∈（0，1），an=3-an-12，n=2，3，4，….求{an}的通项公式.解析由an=3-an-12得an=-12an-1+32，设an-t=-12（an-1-t），即an=-12an-1+32t，对比an=-12an-1+3得t=1.又a1-2≠0，所以{an-1}是首项为a1-1，公比为-12的等比数列，得an-1=（a1-1）·（-12）n-1，∴an=1+（a1-1）（-12）n-1.例8在数列{an}中，a1=1，a2=2，an+2=23an+1+13an，求an.解析在an+2=23an+1+13an两边减去an+1，得an+2-an+1=-13（an+1-an）∴{an+1-an}是以a2-a1=1为首项，以-13为公比的等比数列，∴an+1-an=（-13）n-1，由累加法得：an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a2-a1）+a1=（-13）n-2+（-13）n-3+…（-13）+1+1=1-（-13）n-11+13=34[1-（-13）n-1]+1=74-34（-13）n-1.七、数学归纳法思路：由已知条件先求出数列前几项，由此归纳猜想出an，再用数学归纳法证明例9数列{an}满足a1=4且an=4-4an-1 （n≥2），求an.解通过递推关系求出数列前几项如下a1=4=2+21 a2=4-4a1=3=2+22 a3=4-4a2 =83 =2+23a4=4-4a3=52=2+24a5=4-4a4=125=2+25a6=4-4a5=73=2+26猜想：通项公式为an=2+2n.下面用归纳法给出证明：显然，当n=1时，a1=4=2+21 ，等式成立假设当n=k时，等式成立，即ak=2+2k则当n=k+1时，ak+1=4-4ak=4-42+2k=4-2kk+1=2+2-2kk+1=2+2k+1.由归纳法原理知，对一切n∈N+都有an=2+2n.总之，有关高考数学考查求数列通项公式的知识时很“灵活”、方法较多，因此需要学生具备灵活运用数学知识的能力，尤其要具备将其他数列能转化成比较熟悉的等差或等比数列的能力.这样才能“以不变应万变”，取得较好的成绩.。

高中数学-数列求通项公式方法汇总及经典练习(含答案)

高中数学-数列求通项公式方法汇总及经典练习（含答案）1、定义法：直接求首项和公差或公比。

2、公式法：1 (1) (2)n n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩两种用途（列举），结果要验证能否写成统一的式子．例、数列{}n a 的各项都为正数，且满足()()2*14nna S n N +=∈，求数列的通项公式．解一：由()()2*14nna S n N +=∈得()()()221114411n n n n n aS S a a +++=-=---化简得()()1120n n n n a a a a +++--=，因为10,2n n n a a a +>∴-=，又()2111441S a a ==-得11a =，故{}n a 是以1为首项，2为公差的等差数列，所以21n a n =-．解二：由()()2*14nn a S n N +=∈，可得()11,12n n n a S S n -=-∴=--≥化简可得)211n S -=，即1=，又11S =，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，∴n =，从而2n S n =，所以121n n n a S S n -=-=-，又11a =也适合，故21n a n =-．练习：已知数列{a n }的前n 项和S n 满足120n n n a S S -+=（2n ≥），a 1=21，求n a ．答案：a n =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥--=)2()1(21)1(21n n n n ．扩展一：作差法例、在数列}{n a 中，11a =，212323(1)n a a a na n n ++++=-+，求n a ．解：由212323(1)n a a a na n n ++++=-+，得2123123(1)(2)1n a a a n a n n -++++-=-+-，两式相减，得66n na n =-+，∴ 1 (=1)66 (2)n n a n n n⎧⎪=-⎨≥⎪⎩．练习（理）：已知数列{}n a 满足11231123(1)(2)n n a a a a a n a n -==++++-≥，，求n a ．解：由123123(1)(2)n n a a a a n a n -=++++-≥，得1123123(1)n n n a a a a n a na +-=++++-+，两式相减，得1n n n a a na +-=，即11(2)n na n n a +=+≥，所以13222122![(1)43]2n n n n n a a a n a a n n a a a a a ---=⋅⋅⋅⋅=-⋅⋅⨯=又由已知，得2122a a a =+，则211a a ==，代入上式，得!13452n n a n =⋅⋅⋅⋅⋅=，所以，{}n a 的通项公式为 1 (1)! (2)2n n a n n =⎧⎪=⎨≥⎪⎩．扩展二、作商法例、在数列}{n a 中，11a =，对所有的2n ≥，都有2123n a a a a n ••••=，求n a ．解：∵2123n a a a a n ••••=，∴21232(1)n a a a a n -••••=-，故当2n ≥时，两式相除，得22(1)n n a n =-， ∴221 (=1) (2)(1)n n a n n n ⎧⎪=⎨≥⎪-⎩．3、叠加法：对于型如)(1n f a a n n =-+类的通项公式．例、在数列{n a }中，31=a ,)1(11++=+n n a a n n ，求通项公式n a .答案：na n 14-=. 例、已知数列{}n a 满足112231n n n n a a ++=++-（*n N ∈），352a =，求通项n a .解：由112231n nn n aa ++=++-，两边同除以12n +，得()111131112222n n n n n n n a a n ++++-=-+≥，列出相加得121212121332323212212121-+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=---n a a n n n n又由已知求得16a =，∴()*231n n n n N a n ∈=•++．练习：已知数列}a {n 满足3a 132a a 1nn 1n =+⋅+=+，，求数列}a {n 的通项公式．答案：1n 32n 31332a n nn -+=++--⋅=．4、叠乘法：一般地，对于型如1+n a =f (n)·n a 的类型例（理）、已知数列{}n a 满足112(1)53nn n a n a a +=+⨯=，，求数列{}n a 的通项公式．解：因为112(1)53nn n a n a a +=+⨯=，，所以0n a ≠，则12(1)5n n na n a +=+，故13211221n n n n n a a a a a a a a a a ---=⋅⋅⋅⋅⋅121[2(11)5][2(21)5][2(11)5]3n n n n --=-+-++⨯⨯(1)1(1)(2)21122[(1)32]53325!n n n n n n n n n ---+-+++-=-⋅⋅⨯⨯⨯=⨯⨯⨯，所以数列{}n a 的通项公式为(1)12325!n n n n a n --=⨯⨯⨯．练习：在数列{a n }中，112a =，11(1n n n a a a n --=⋅+≥2），求n a ．答案：）1(1+=n n a n ． 5、构造法：型如a n+1=pa n +f(n) (p 为常数且p ≠0， p ≠1)的数列(1)f(n)= q (q 为常数) 一般地，递推关系式a +1=pa n +q (p 、q 为常数，且p ≠0，p ≠1)等价与)1(11pqa p p q a n n --=--+，则{p q a n --1}为等比数列，从而可求n a ．例、已知数列{}n a 满足112a =，132n n a a --=（2n ≥），求通项n a ．解：由132n n a a --=，得111(1)2n n a a --=--，又11210a -=≠，所以数列{1}n a -是首项为12，公比为12-的等比数列，∴11111(1)()1()22n nn a a -=---=+-．练习：已知数列}{n a 的递推关系为121+=+n n a a ，且11=a ，求通项n a ．答案：12-=n na ．(2) f(n)为等比数列，如f(n)= q n (q 为常数) ，两边同除以q n ，得111+=++nn n n qa p q a q ，令nn n a b q =，则可转化为b n+1=pb n +q 的形式求解．例、已知数列{a n }中，a 1=65，1111()32n n n a a ++=+，求通项n a ．解：由条件，得2 n+1a n+1=32(2 n a n )+1，令b n =2 n a n ，则b n+1=32b n +1，b n+1-3=32（b n -3）易得 b n =3)32(341+--n ，即2 n a n =3)32(341+--n ， ∴ a n =n n 2332+-．练习、已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+⨯，12a =，求通项n a ．答案：31()222nn a n =-．(3) f(n)为等差数列，如1n n a Aa Bn C +=++型递推式，可构造等比数列．（选学，注重记忆方法）例、已知数列{}n a 满足11=a ，11212n n a a n -=+-（2n ≥），求．解：令n n b a An B =++，则n n a b An B =--，∴11(1)n n a b A n B --=---，代入已知条件，得11[(1)]212n n b An B b A n B n ---=---+-，即11111(2)(1)2222n n b b A n A B -=++++-，令202A +=，1022A B +-=，解得A=－4，B=6，所以112n n b b -=，且46n n b a n =-+， ∴{}n b 是以3为首项、以12为公比的等比数列，故132n n b -=，故13462n n a n -=+-．点拨：通过引入一些尚待确定的系数，经过变形与比较，把问题转化成基本数列（等差或等比数列）求解．练习：在数列{}a n 中，132a =，1263n n a a n --=-，求通项a n ．答案：a n nn -+=69912·()．解：由1263n n a a n --=-，得111(63)22n n a a n -=+-，令11[(1)]2n n a An B a A n B -++=+-+，比较系数可得：A=－6，B=9，令n n b a An B =++，则有112n n b b -=，又1192b a A B ==++，∴{}n b 是首项为92，公比为12的等比数列，所以b n n =-92121()，故a n n n-+=69912·()． (4) f(n)为非等差数列，非等比数列法一、构造等差数列法例、在数列{}n a 中，1112(2)2()n n n n a a a n λλλ+*+==++-∈N ，，其中0λ>，求数列{}n a 的通项公式．解：由条件可得111221n nn nn n a a λλλλ+++⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，∴数列2n n n a λλ⎧⎫⎪⎪⎛⎫-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭是首项为0，公差为1的等差数列，故21nnn a n λλ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，∴(1)2n n n a n λ=-+．练习：在数列{a n }中，a na n a n n n n n 1132212==+++++，()()()，求通项a n 。

求数列通项公式的常见类型及方法

ZHON GXUE JIA OX UE CA NKAO解题方法与技巧69E-mail:zxjxcklk@求数列通项公式的常见类型及方法广西崇左市高级中学(532200) 农芳棉数列是高中数学的重要内容之一,也是历年高考的重点和热点内容,而数列推理题是新出现的命题热点,它主要是以等差数列和等比数列为载体,以数列的通项为主线的试题出现.因此在高考复习中掌握一些简单常见的数列求通项的策略很有必要.现将求数列通项公式的常见类型及其方法归纳如下.一、已知数列的前几项,求其通项公式根据数列前几项求数列通项公式应掌握几种技巧:(1)符号规律,若各项符号为正负相间时,则必有(-1)n 或(-1)n +1因式;(2)乘方规律,即每一项都与同一个数的乘方有密切关系;(3)分式中分子分母的特征;(4)拆项后的特征.找规律时,要看给出的项的分子分母有什么变化规律,可以适当变形,使它们的结构变得一致,再用含n 的式子表示出来.根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法,它蕴含着从特殊到一般的思想,由不完全归纳法得出的结果是不可靠的,若根据数列前几项求数列通项公式出现在选择题,要注意代值检验,若出现在解答题就用完全归纳法来证明它的正确性.!例1∀ 根据下面各数列的前几项的值写出数列的一个通项公式:(1)1,13,935,1763,3399,#;(2)-3,2,-5,3,-7,4,#(3)1,3,7,15,31,#解:(1)将数列写成:31∃3,53∃5,95∃7,177∃9,339∃11,观察分子分母与项数n 之间的联系,易知其通项公式为a n =2n +1(2n -1)(2n +1).(2)这是一个与(-1)n有关的数列,可将数列写成-37,410,-513,616,-719,822,#,可知分母组成以3为公差的等差数列,分子组成以3为首项、1为公差的等差数列,因此其通项公式为a n =(-1)n n +23m +4;(3)考虑数列的差分数列{a n +1-a n }.a 2-a 1=2,a 3-a 2=4,a 4-a 3=8,#,a n -a n -1=2n -1.将这n -1个式累加,得a n -a 1=2+22+23+#+2n -1=2n -2,所以a n =2n -1.二、已知数列的前n 项和S n 的关系式,求数列的通项公式a n利用S n 与a n 的关系式a n =S 1(n =1);S n -S n -1(n %2),求通项a n ,!例2∀ 已知数列{a n }的前项和S n =n 2-13n -1,求数列的通项公式a n .解:当n =1时,a 1=S 1=12-13∃1-1=-13;当n %2时,a n =S n -S n -1=n 2-13n -1-(n -1)2+13n +1=2n -14.验证:当n =1时,a 1=2∃1-14=-12&S 1,所以a n =-13(n =1);2n -14(n %2).解此类题目应注意:当n =1时,a 1若适合S n -S n -1,则n =1的情况可并入n %2时的通项a n ;当n =1时,a 1若不适合S n -S n -1,则用分段函数的形式表示.三、已知数列的前项和S n 和通项a n 的关系式,求数列的通项公式a n利用S n 与a n 的关系式a n =S 1(n =1),S n -S n -1(n %2),求通项a n ,若a n 和S n 在一个等式中,一般可利用a n 与S n 的关系消去a n 或S n ,构造关于{S n }或{a n }的递推公式,再进一步确定a n 与S n .!例3∀ 数列{a n }的前n 项和S n =1+2a n ,求其通项公式a n .解:∋S n =1+2a n ,(a n =S n -S n -1=1+2a n -1-2a n -1.(-a n =-2a n -1.(a n a n -1=2(n %2).又a 1=S 1=1+2a 1,(a 1=-1,(数列是以-1为首项,2为公比的等比数列.(a n =(-1)∃2n -1=-2n -1.四、已知数列{a n }的递推关系,求其通项公式(1)若已知数列的递推关系形如a n +1=a n +f (n),其中{f (n)}的前n 项可求和.此种类型的数列求其通项公式a n 时,采取累加法.!例4∀ 在数列{a n }中已知a 1=1,a n +1=a n +n,求其通项a n .解:∋a n +1=a n +n,(a n +1-a n =n,(a 2-a 1=1,a 3-a 2=2,a 4-a 3=3,#(a n -a n -1=n -1.把这n -1个等式两边分别相加,得a n -a 1=1+2+3+#+n =n(1+n)2,(a n =n 2+n +22.(2)若已知数列的递推关系形如a n +1=g(n)a n ,其中{g(n)}的前n 项的乘积容易化简.此种类型的数列求其中学教学参考解题方法与技巧70(中旬)2009.6总第17期通项公式a n 时,采取累乘法.!例5∀ 在数列{a n }中,已知a n +1=n +2n a n ,a 1=4,求其通项a n .解:∋a n +1=n a n ,a 1=4,(n +1a n =n.(a 21=3,a 32=4,a 43=5,#,a n -1n -2=n ,a nn -1=n -1.(a 2a 1∃a 3a 2∃a 4a 3∃a 5a 4∃#∃a n -2a n -3∃a n -1a n -2∃a n a n -1=31∃2∃3∃4∃#∃n -3∃n -2∃n -1.(a n a 1=1∃2.(a n =2n(n +1).当n =1时,此式也得a 1=4.(a n =2n(n +1).(3)若已知数列的递推关系形如a n +1=c ∃a n +d(c,d 为常数),求其通项a n 常用构造新数列法.因为形式像直线方程y =kx +b,所以可以考虑变形为点斜式y -m =k(x -m)的形式,即a n +1+m =c(a n +m),构造出新等比数列{a n +m}.!例6∀ 在数列{a n }中,已知a 1=3,a n +1=2a n +3,求其通项a n .解:∋a n +1=2a n +3,设其变形为a n +1+m =2(a n +m),再展开得a n +1=2a n +m,要等于2a n +3,所以m =3.(构造新数列{a n +3},且此数列是以a 1+3为首项,2为公比的等比数列.(a n +3=(a 1+3)2n -1=6∃2n -1.(a n =6∃2n -1-3.(4)若已知数列的递推关系形如a n +1=c ∃a n +f (n)(c 为常数),求其通项a n 也可用构造新数列法.!例7∀ 在数列{a n }中已知a 1=1,a n +1=2a n +n,求其通项a n .解:由例6的思想,将a n +1=2a n +n 恒等变形为(a n +1+n +1)=2(a n +n)+1,此式子又可看成新数列{a n +n}的递推关系.令b n =a n +n,则有b n +1=2b n +1,此式又形如例6,令b n +1+1=2(b n +1),所以新数列{b n +1}是以b 1+1为首项、2为公比的等比数列,所以b n +1=(b 1+1)2n -1,又b 1+1=a 1+1+1=3,所以b n =3∃2n -1-1,所以a n =3∃2n -1-n -1.(5)若已知数列的递推关系形如a n +1=p a n +rq n(p&q,q &0,r &0),常转化为求以p 为公比的等比数列{a n +p -qq n}的通项来解决,当p =q 时,则转化为求以q 为公差的等差数列{a nq}的通项来解决.!例8∀ 在数列{a n }中,已知a 1=2,a n +1= a n +n +1+(2- )2n,n )N +, >0,求其通项a n .解:由a n +1= a n + n +1+(2- )2n = a n + n +1+2n +1- ∃2n,两边同时除以 n +1得a n +1n +1=a n n +1+n +1n +1-nn ,即(a n +1-a n +1)-(a n -2n)=1.所以数列{a n n -n n }是以a 1-=0为首项、1为公差的等差数列.所以n -n n =n -1,所以a n =(n -1) n +2n.(6)若已知数列的递推关系形如ba n +1+ca n a n +1-da n =0,则采取等式两边除以a n a n +1,得a n -a n +1=-c,令b n =a n ,则变为b n +1=d b n +d,则又变为类型(3),故解法同类型(3).!例9∀ 已知数列{a n }的首项a 1=35,a n +1=3a n2a n +1,n )N +,求{a n }的通项公式.解:由a n +1=3a n2a n +1,得a n +1+2a n a n +1-3a n =0,即a n +1=3∃a n +3.令b n =a n,则数列{b n }的递推关系为b n +1=13∃b n +23,此时解法与类型(3)一样,故数列b n +1-1=13(b n -1).所以数列{b n -1}是以b 1-1=1a 1-1=23为首项,3为公比的等比数列.所以b 1-1=a 1-1=3(3)n -1,所以a n =n3n +2.(7)若已知数列的递推关系形如a n +1=p (a n )r (p ,r 为常数,且p >0,a n >0),求a n 时常采用递推关系式两边取对数的方法.!例10∀ 已知数列{a n }的首项a 1=3,a n +1=3a 2n ,求{a n }的通项公式.解:由a n +1=3a 2n 得lg a n +1=lg3a 2n =lg3+2lg a n ,令b n=lg a n ,则b n +1=2b n +lg3,此时解法与类型(3)一样,所以b n +1+lg3=2(b n +lg3),所以数列{b n +lg3}为等比数列,所以b n +lg3=2n -1∃2lg3=2nlg3,所以a n =32n-1.由以上几种类型可知,在处理数列的递推关系问题时,化归转化是重要的数学思想方法之一,如果我们能将复杂的递推关系转化为简单的递推关系,尤其转化为等差等比数列的递推关系,就能使得问题迎刃而解.(责任编辑:金铃)。

高中数学数列求解方法 (完整版)

高中数学数列解题方法总结类型一：)(1n f a a n n +=+（)(n f 可以求和）−−−−→解决方法累加法例1、在数列{}n a 中，已知1a =1，当2n ≥时，有121n n a a n -=+-()2n ≥，求数列的通项公式。

解析：121(2)n n a a n n --=-≥∴213243113521n n a a a a a a a a n --=⎧⎪-=⎪⎪-=⎨⎪⎪-=-⎪⎩ 上述1n -个等式相加可得： 211n a a n -=- 2n a n ∴=类型二：1()n n a f n a +=⋅ （()f n 可以求积）−−−−→解决方法累积法例2、在数列{}n a 中，已知11,a =有()11n n na n a -=+，(2n ≥)求数列{}n a 的通项公式。

解析：1232112321n n n n n n n a a a a a a a a a a a a -----=⋅⋅⋅⋅123211143n n n n n n --=⋅⋅⋅⋅+-21n =+ 又1a 也满足上式；21n a n ∴=+ *()n N ∈类型三：1(n n a Aa B +=+≠其中A,B 为常数A 0,1）−−−−→解决方法待定常数法可将其转化为1()n n a t A a t ++=+，其中1Bt A =-，则数列{}n a t +为公比等于A 的等比数列，然后求n a 即可。

例3 在数列{}n a 中， 11a =，当2n ≥时，有132n n a a -=+，求数列{}n a 的通项公式。

解析：设()13n n a t a t -+=+，则132n n a a t -=+1t ∴=，于是()1131n n a a -+=+{}1n a ∴+是以112a +=为首项，以3为公比的等比数列。

1231n n a -∴=⋅-类型四：()110n n n Aa Ba Ca +-++=⋅⋅≠；其中A,B,C 为常数，且A B C 0可将其转化为()()()112n n n n A a a a a n αβα+-+=+≥-----（*）的形式，列出方程组A B C αββα⋅-=⎧⎨-⋅=⎩,解出,;αβ还原到（*）式，则数列{}1n na a α++是以21a a α+为首项， A β为公比的等比数列，然后再结合其它方法，就可以求出n a 。

高中数学必须掌握的十种数列通项公式的解题方法和典型例题

高中数学必须掌握的十种数列通项公式的解题方法和典型例题
在高考中数列部分的考查既是重点又是难点，不论是选择题或填空题中对基础知识的考查，还是压轴题中与其他章节知识的综合，抓住数列的通项公式通常是解题的关键和解决数列难题的瓶颈。

求通项公式也是学习数列时的一个难点。

由于求通项公式时渗透多种数学思想方法，因此求解过程中往往显得方法多、灵活度大、技巧性强。

通项公式普通的求法：
（1）构造等比数列：凡是出现关于后项和前项的一次递推式都可以构造等比数列求通项公式；
（2）构造等差数列：递推式不能构造等比数列时，构造等差数列；
（3）递推：即按照后项和前项的对应规律，再往前项推写对应式。

已知递推公式求通项常见方法：
①已知a1=a,a n+1=qa n+b,求a n时，利用待定系数法求解，其关键是确定待定系数λ，使a n+1+λ=q(a n+λ)进而得到λ。

②已知a1=a,a n=a n-1+f(n)(n≥2),求a n时，利用累加法求解，即
a n=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(a n-a n-1)的方法。

③已知a1=a,a n=f(n)a n-1(n≥2)，求a n时，利用累乘法求解。

非常实用的十大解题方法及典型例题
方法一数学归纳法
方法二 Sn 法
方法三累加法
方法四累乘法
方法五构造法一
方法六构造法二
方法七构造法三
方法八构造法四
方法九构造五
方法十构造六。

数列求通项的方法(完整版本)

高中数学常见求数列通项的方法一、公式法。

即是题目说清楚该数列是等比或者等差数列时，直接套用公式。

但是难点在于，一旦给出的条件，不是具体的数字而是字母参数时，就是对个人运算能力的考验。

1.已知数列}{n a 满足)1(1,211≥=-=-n a a a n n ，求数列}{n a 的通项公式；2. 已知数列}{n a 满足211,211=-=+nn a a a ，求数列{}n a 的通项公式；3. 已知数列}{n a 满足)1(3,211≥===n a a a n n ，求数列}{n a 的通项公式；4.已知数列}{n a 满足2122142++=⋅==n n n a a a a a 且，（*∈N n ），求数列{}n a 的通项公式；二、两式相减法。

若已知数列的前n 项和n S 与n a 的关系，求数列{}n a 的通项n a 可用公式⎩⎨⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-2111n S S n S a n nn 求解。

此种类型，往往先求n=1的情况，得到基本的分数。

并且利用公式⎩⎨⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-211n S S n S a n n n n 求解时，要注意对n 分类讨论，观察1a是否满足通项na ，不满足就分开写，但若能合写时一定要合并．例：已知数列}{n a 的前n 项和322+=n s n ，求数列}{n a 的通项公式1、（珠海市2013届高三上学期期末）已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且(2)4n n n a a S +=*()n ∈N .（1）求1a 的值及数列{}n a 的通项公式； 2n a n =．2、（江门市2013届高三上学期期末）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，11=a ，且对任意正整数n ，点) , (1n n S a +在直线022=-+y x 上．⑴求数列{}n a 的通项公式；解：因为点) , (1n n S a +在直线022=-+y x 上，所以0221=-++n n S a ……1分，当1>n 时，0221=-+-n n S a ……2分，两式相减得02211=-+--+n n n n S S a a ，即0221=+-+n n n a a a ，n n a a 211=+……3分又当1=n 时，022221212=-+=-+a a S a ，122121a a ==……4分所以{}n a 是首项11=a ，公比21=q 的等比数列……5分， {}n a 的通项公式为1)21(-=n na ……6分．（3）累加法：适合)(1n f a a n n +=+型的递推数列。

常见数列通项的求法

常见数列通项的求法
数列的通项公式是数列的核心，它描述了数列中每一项与项数之间的规律。

求数列的通项公式是数列问题中的重要内容。

以下是几种常见的求数列通项公式的方法：
1.观察法：通过对数列的前几项进行观察，找出规律，从而得到
通项公式。

2.累加法：对于形如an=an−1+f(n)的递推关系，其中f(n)是一个与
n有关的函数，通过累加得到an。

3.累乘法：对于形如an=an−1×f(n)的递推关系，其中f(n)是一个与
n有关的函数，通过累乘得到an。

4.构造法：通过构造新数列，将原数列的递推关系式转化为新数
列的递推关系式，从而求出通项公式。

5.数学归纳法：对于一些与n有关的数列，通过数学归纳法证明
其通项公式。

6.等差数列通项公式：an=a1+(n−1)d，其中d是公差。

7.等比数列通项公式：an=a1×qn−1，其中q是公比。

8.裂项相消法：对于分式形式的递推关系，通过裂项相消法求出
通项公式。

9.特征根法：对于一些特定形式的递推关系，通过特征根法求出
通项公式。

以上是常见的求数列通项公式的方法，具体使用哪种方法需要根据题目给出的条件和递推关系式来确定。

高中数学求解数列通项公式常用方法总结

高中数学求解数列通项公式常用方法总结(共15种类型类型1(迭加法1112212212(212(log 1(n 1n nn n n n n n n a a f n n-++-⎧⎪⎪⎪-+⎪⎪--==⎨⎪⎪⎪⎪⎪+⎩,n a a求,11=以上6种情况都要试着做一遍例1:已知数列{}n a满足11211,2n n a a a n n+=-=+,求n a。

解:由条件知:121111(11n n a a n n n n n n+-===-+++分别令1,2,3,,(1n n=-,代入上式得(1n-个等式累加之,即21 32431((((n n a a a a a a a a--+-+-++-1111111(1(((223341n n=-+-+-++--所以111n a a n-=-111131, 1222n a a n n=∴=+-=-类型2(迭乘法11(=2n n n n a f n n a++⎧⎪=⎨⎪⎩,n a a求,11=例2:已知数列{}n a满足112,31n n n a a a n+==+,求n a。

解:由条件知11n n a n a n+=+,分别令1,2,3,,(1n n=-,代入上式得(1n-个等式累乘之,即3241231112311234n n n a a a a a n a a a a n a n--=⨯⨯⨯⨯⇒=又122,33n a a n=∴=∵类型3(退一相减法递推公式为S n与a n的关系式。

(或(n n S f a=解法:这种类型一般利用11(1(2n n n S n a S S n-=⎧=⎨-≥⎩与11((n n n n n a S S f a f a--=-=-消去n S(2n≥或与1 ((2n n n S f S S n-=-≥消去n a进行求解。

常见题型:1、12++=n n S n,n a求(关系与n S n2、n n n a a S求,23+=(关系与n n a S3、n n a a a a n 22223133221+⋅⋅⋅+++=+,求n a(n a n与例:已知数列{}n a前n项和214 2n n n S a-=--.(1求1n a+与n a的关系;(2求通项公式n a.解:(12142n n n S a-=--得:111142n n n S a++-=--于是112111((22n n n n n n S S a a++---=-+-所以1111111222n n n n n n n a a a a a+++-=-+⇒=+.类型3(构造法1 n 1n a pa q+=+(其中,p q均为常数,((10pq p-≠。

数列求通项的6种常用方法高考数学

，因此，，则，显然，所以，D正确.故选：
【点睛】易错点睛：裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的.
5.若数列满足，，则满足不等式的最大正整数为( )
A.28 B.29 C.30 D.31
√
【详解】数列中，，当时，，则，整理得，即，而，即，因此数列是以为首项，公比为的等比数列，，则，由，知为奇数，此时是递增的，而，，所以正整数的最小值为13. 故选：
7.已知数列满足，()，则满足的的最小取值为( )
A.5 B.6 C.7 D.8
【分析】由题意可得，即可得数列是以4为首项，2为公比的等比数列，即可计算出数列的通项公式，再解出不等式即可得解.
√
【详解】因为，所以，所以，又，所以数列是以4为首项，2为公比的等比数列，所以，所以由，得，即，解得因为为正整数，所以的最小值为7.故选：
8.已知正项数列满足，则 ( )
A. B. C. D.
【分析】根据给定的递推公式，利用构造法探讨数列的特性即可得解.
【详解】依题意，，则数列是以为公比的等比数列，因此，所以故选：
2.已知数列的前项和为，，，，下列说法不正确的是( )
A. B. 为常数列C. D.
【分析】对条件进行转化得出是常数列，进而解出的通项公式，对选项逐一判断得出答案.
√
【详解】解：因为，所以，整理得，故，所以是常数列，所以，即，故D选项正确.当时，，经检验时满足，故，对于A选项，由，知，故A选项正确，对于B选项，由，知，所以为常数列，故B选项正确，对于C选项，由，知，故C选项错误，故选：
√

高中数学解题方法系列：数列中求通项的10种方法

高中数学解题方法系列：数列中求通项的10种方法一、公式法例1 已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+⨯，12a =，求数列{}n a 的通项公式。

解：1232n n n a a +=+⨯两边除以12n +，得113222n n n n a a ++=+，则113222n n n n a a ++-=，故数列{}2n na 是以1222a 11==为首项，以23为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得31(1)22n n a n =+-，所以数列{}n a 的通项公式为31()222n n a n =-。

二、累加法 )(1n f a a n n =--例2 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。

解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则112322112()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)12[(1)(2)21](1)1(1)2(1)12(1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n ---=-+-++-+-+=-++-+++⨯++⨯++=-+-++++-+-=+-+=-++=L L L 所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =。

例3已知数列{}n a 满足1132313n n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。

解：13231n n n a a +=+⨯+两边除以13n +，得111213333n n n n n a a +++=++，则111213333n n n n n a a +++-=+ 三、累乘法 )(1n f a a n n =- 例4 已知数列{}n a 满足112(1)53n n n a n a a +=+⨯=，，求数列{}n a 的通项公式。

数列通项的几种常见求法

数列通项的几种常见求法作者：刘义凤来源：《理科考试研究·高中》2014年第05期数列是高中数学的重要内容之一，也是高考的考查重点。

而数列的通项公式，是研究数列的第一个环节，也是最重要的一个环节。

有了数列的通项，问题研究起来就方便多了。

数列通项公式的求法也很多，根据具体的条件，而采用不同的求法。

下面笔者通过一些例题来讲解数列通项公式的几种常见求法。

一、观察归纳法通过观察数列的特征，横向看各项之间的关系，纵向看各项与项数n的内在联系，从而归纳出数列的通项。

例1根据数列的前几项写出下列数列的一个通项公式：（1）112，314，718，15116，31132，…；（2）9，99，999，9999，…分析（1）数列的前5项有如下规律：分母2，4，8，16，32与序号的关系是2的序号次幂，分子1，3，7，15，31与序号的关系是2的序号次幂减1；（2）不难看出数列前5项有如下规律：10-1，100-1，1000-1，10000-1进一步可以发现10′-1，102-1，103-1，104-1。

略解：（1）an=2n-112n。

（2） an=10n-1高考实例（江苏高考题）将全体正整数排成一个三角形数阵：12345678910……按照以上排列的规律，第n行（n≥3）从左向右的第3个数为。

解析每行最后一个数分别为1，3，6，10，…，故可以归纳出第n行最后一个数为112n （n+1），从而得到第n行（n≥3）从左向右的第3个数为112n（n+1）-（n-3）=112n（n-1）+3，当然也可以从第n行第一个数开始归纳。

二、公式法当数列是等差或等比数列时，只需确定首项和公差（或公比）代入等差（或等比）数列的通项公式即可。

例2（1）已知数列{an}中，a1=1，an+1-an=2，求数列的通项an；（2）已知数列{an}中，a1=1，an+11an=2，求数列的通项an。

略解根据等差数列的定义可知（1）为首项为1公差为2的等差数列，故an=2n-1；根据等比数列的定义可知（2）为首项为1公比为2的等比数列，故an=2n-1。

数列通项公式的五种求法

（n≥2），求 {an}的通项公式。
解：因为 an＝a1＋2a2＋3a3＋……＋（n－1）an－1（n≥2）
①
所以 an＋1＝a1＋2a2＋3a3＋……＋（n－1）an－1＋nan
②
用②式－①式得 an＋1－an＝nan。
则
an＋1＝（n＋1）an（n≥2）故
an＋1 an
＝
2.在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形。
2a2，则
a2=a1，又知
a1=1，则
a2=1，代入 ③得
an=
n！ 2
（n≥2）。
≥1
综上，an 的通项公式为 an= n！ 2
n=1 n≥2 本题解题的关键是
把递推关系式
an+1=（n+1）an（n≥2）转化为
an+1 an
=n+1 （n ≥2），进
而求出
an an－1
·an－1 an－2
∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈
撼，难道他们不应该好好地了解这段历史吗？总之，历史情境的设计必须切合教材和学生的实际，才能达到预期的目的，提高学生对历史的兴趣。
四、用通俗生动的语言导入新课语言的魅力无穷，教师通过对文字的艺术加工，用喜闻乐见的形式生动地展示出来，学生乐于接受。如讲初一历史《南宋与金对峙时的中国》，我编了一段导言：“话说南宋高宗年间，天下实不太平，战乱频起，这情形造就个英雄岳飞，他从小受母训导，精忠报国，尽心尽力。堰城大战，杀得那金人哭爹叫娘、溃不成军，差点儿把金的头目兀术送上了黄泉路。这兀术不甘心，巧

高中数学解题方法系列：数列中求通项的10种方法

高中数学解题方法系列：数列中求通项的10种方法一、公式法例1已知数列{}n a 满足1232nn n a a +=+⨯，12a =，求数列{}n a 的通项公式。

解：1232nn n a a +=+⨯两边除以12n +，得113222n n n n a a ++=+，则113222n n n n a a ++-=，故数列{}2nna 是以1222a 11==为首项，以23为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得31(1)22n n a n =+-，所以数列{}n a 的通项公式为31()222nn a n =-。

二、累加法)(1n f a a n n =--例2已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。

例3已知数列{}n a 满足1132313nn n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。

解：13231nn n a a +=+⨯+两边除以13n +，得111213333n n n n n a a +++=++，则111213333n n n n n a a +++-=+三、累乘法)(1n f a a n n=-例4已知数列{}n a 满足112(1)53nn n a n a a +=+⨯=，，求数列{}n a 的通项公式。

解：因为112(1)53nn n a n a a +=+⨯=，，所以0n a ≠，则12(1)5n n na n a +=+，故1321122112211(1)(2)21(1)12[2(11)5][2(21)5][2(21)5][2(11)5]32[(1)32]53325!n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n -------+-+++--=⋅⋅⋅⋅⋅=-+-+⋅⋅+⨯+⨯⨯=-⋅⋅⨯⨯⨯=⨯⨯⨯ 所以数列{}n a 的通项公式为(1)12325!.n n n n a n --=⨯⨯⨯例5已知数列{}n a 满足11231123(1)(2)n n a a a a a n a n -==++++-≥ ，，求{}n a 的通项公式。

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