改进阈值算法在压气机失速信号降噪中的应用

改进阈值算法在压气机失速信号降噪中的应用1 引言1.1 小波与傅立叶变换小波分析是近年来新发展起来的一种时频分析方法，至今已广泛应用于物理学，工程技术，生物科学，经济学等众多领域。

在信号分析领域中，经典方法傅立叶分析(FFT)方法将信号视为不同频率和相位的正(余)弦波的叠加，FFT结果产生信号的频率、相位特性。

在小波分析中，将信号视作小波函数的叠加，但这种叠加的过程是一个母小波函数在时间轴上的伸缩和平移。

可见，小波分析和傅立叶分析具有相似的叠加的思想，但分解的思路是完全不同的。

在传统的傅立叶分析中，信号完全是在频域展开的，不包含任何时频的信息。

这种处理方法对于某些方面的应用是很恰当的，主要关注信号的频率信息。

但对一些应用而言，时域信息也具有十分重要的作用。

因此，人们对傅立叶分析的推广提出了很多能表征时域和频域信息的信号分析方法，如短时傅立叶变换，Gabor 变换，时频分析等。

虽然改进的短时傅立叶变换取得一定的时频分析效果，但对很多的应用来说依然存在各种不足。

小波分析则克服了短时傅立叶变换在单分辨率上的缺陷。

小波由一族小波基函数构成，它可以描述信号时间（空间）和频率（尺度）域的局部特性。

采用小波分析最大优点是可对信号进行局部分析，可在任意的时间或空间域中分析信号。

小波变换具有多分辨率分析的特点，在时域和频域都有表征信号局部信息的能力，时间窗和频率窗都可以根据信号的具体形态动态调整。

一般情况下，在低频部分（信号较平稳）可以采用较低的时间分辨率，而提高频率的分辨率，在高频情况下（频率变化不大）可以用较低的频率分辨率来换取精确的时间定位。

因为这些特性，小波分析可以探测正常信号中的瞬态，并展示其频率成分，被称为数学显微镜，广泛应用于各个时频分析领域。

如何选择小波基函数目前还没有一个理论标准，常用的小波函数有Haar、Daubechies(dbN)、Morlet、Meryer、Symlet、Coiflet、Biorthogonal小波等15种[1]。

但是小波变换的小波系数为如何选择小波基函数提供了依据。

小波变换后的系数比较大，就表明了小波和信号的波形相似程度较大；反之则比较小。

另外还要根据信号处理的目的来决定尺度的大小。

如果小波变换仅仅反映信号整体的近似特征，往往选用较大的尺度；反映信号细节的变换则选用尺度不大的小波。

由于小波函数家族成员较多，进行小波变换目的各异，目前没有一个通用的标准。

1.2 小波降噪技术概述在自然信号中，人们感兴趣的信号通常都会受到各种噪声的污染，无法直接分辨信号的特征及发展趋势。

由于信号的低频部分往往代表了信号的发展趋势，因此通过信号的多尺度分解，在分解的低频系数中可以观察到信号的发展趋势。

在低频中理解信号的发展趋势，随着分解层数的增加，它所含的高频成分会随之减少，因此随着尺度的增加，更多高频的信号被滤掉，可以看到信号的发展趋势。

这就是小波降噪的基本依据。

小波降噪能充分利用小波系数的信息，对小波系数进行阈值去噪操作，从而在保持原始信号平滑的同时，尽量多地保留其细节信息，因而得到了广泛的应用。

小波降噪的成功依赖于小波变换的四个特征[2]：(1) 低熵性。

小波系数的稀疏分布，使变换后的熵降低；(2) 多分辨率。

由于采用多分辨率的方法，所以可以非常好地刻画信号的非平稳特征，如边缘、尖峰、断点等，可在不同分辨率下根据信号和噪声分布特点去噪。

(3) 去相关性。

因为小波变换可以对信号进行去相关，且噪声在变换后有白化趋势，所以在小波域比在时域更利于去噪。

(4) 选择基底的灵活性。

由于小波变换可以灵活地选择不同的小波基，如单小波、多小波、多带小波、小波包等，从而对不同的应用场合和研究对象，可以选取不同的小波函数，以获得最佳的处理效果。

小波降噪的基本思想分为三步，即小波分解-高频系数阈值量化-小波重构。

降噪的核心技术在于如何使用阈值来实现对高频部分的降噪。

在Matlab程序中，其基本步骤是：(1) 对信号的小波分解。

这里需要指定小波分解层数N，原则是在满足降噪需求下尽量少分解层次。

(2) 对高频系数进行阈值量化。

通过选定的阈值，多高频的分解结果进行过滤处理。

(3) 信号的小波重构。

将低频部分和经过阈值量化的高频部分做小波重构，得到降噪后的信号。

信号在小波域内其能量主要集中在有限的几个系数中，而噪声的能量却分布于整个小波域内，因此经小波分解后，信号的小波变换系数要大于噪声的小波变换系数，所以可设置一个阈值。

本文使用的小波去噪方法是基于Donoho [3,4]提出的阈值降噪方法，该方法基于三个基本假设：(1) 噪声经小波变换后大多数小波系数为零或近似为零；(2) 噪声均匀分布在所有系数中；(3) 噪声不是太大，可以识别出代表噪声的小波系数。

1.3 阈值法小波降噪通过第2节的分析不难看出，小波降噪技术的核心在于第二步，即对高频系数进行阈值量化。

如何选择合适的阈值，并对高频部分进行量化，直接决定了降噪的效果。

阈值函数体现了对超过和低于阈值的小波系数的不同处理策略以及不同估计方法，常用的阈值函数有硬阈值函数和软阈值函数两种[3]。

设k j w ,是小波系数的大小，k j w ,∧是施加阈值后的小波系数大小，λ是阈值。

(1) 硬阈值函数。

硬阈值处理只保留较大的小波系数(不小于阈值λ)，而将较小的小波系数置为零。

表达式如下：（1）(2) 软阈值函数。

软阈值处理将较小的小波系数(小于阈值λ)置零，但对较大的小波系数向零作了收缩。

表达式如下：（2）其中sgn ()为符号函数。

硬阈值函数和软阈值函数分别如图1所示，图中横坐标表示信号的原始小波系数，纵坐标表示信号阈值化后的小波系数。

(a) 硬阈值法(b) 软阈值法图1 硬阈值和软阈值的函数Donoho的软、硬阈值降噪方法在实际中得到广泛的应用，而且也取得了较好的效果。

但是硬阈值函数在λ和-λ处是不连续的，这种不连续性导致重构信号容易出现伪吉布斯现象[1]，出现许多人为噪声点。

软阈值算法在处理绝对值大于阈值的小波系数时作收缩处理，因此当小波系数大于λ时，估计值与实际值之间总存在恒定的偏差，并且软阈值函数的导数不连续，直接影响着重构信号与真实信号的逼近程度，也具有一定的局限性。

总而言之，软阈值和硬阈值法在实际使用存在一些值得改进的方面，这也是本文的重点。

阈值λ的选择则直接关系到降噪的程度，本文采用全局阈值法，但不是本文的重点，此处不再赘述。

2 算法改进及Matlab实现2.1 阈值的改进如上文所述，尽管软硬阈值法已经广泛应用于各个领域，但仍然存在一些不足。

针对软硬阈值函数的不足，本文使用一种新的改进的阈值法[5]，其函数为：(3)为了更好地克服硬、软阈值方法的缺点，给出如下所示的加权因子计算式：(4)在(4)式中，因为0<λw λw k j k j +,,<1，使估计值k j w,ˆ的取值介于硬、软阈值方法 之间，使得估计出来的小波系数k j w ,ˆ更加接近k j w ,。

当k j w ,=λ时，k j w ,ˆ=0；当kj w ,→λ时，则μ→1，可以得到k j w,ˆ→0，则k j w ,在k j w ,=λ是连续的。

随着k j w ,的增大，k j w ,和k j w ,ˆ间偏差的绝对值逐渐减小，在极限情况下，当k j w ,→∞时，μ→0，k j w,ˆ→k j w ,，大大减少了软阈值方法中产生的恒定误差。

因此与传统的硬、软阈值方法相比新阈值函数提高了重构精度，改善了降噪的效果，也最大程度的保留了原始信号的特征。

2.2 算法的Matlab 实现本文的算法在Matlab 2014a 软件中编程实现。

程序主体由三个函数实现。

函数1实现用户界面功能(GUI)，使该程序具有简单的交互操作功能。

函数2实现操作的底层运算功能，小波分析的过程在此函数中实现。

函数3的功能是数据处理结果的绘图及输出，实现向硬盘写数据和向屏幕打印的功能。

具体的程序参见附录1。

程序的操作界面如图2所示。

GUI 按照红色框线(程序中没有)分为三个部分，左上部分为原始输入信号、左下部分为降噪后信号，右边为控制台。

图2 程序的GUI2.2.1 Noisbump信号降噪对典型的含高斯白噪声的Noisbump信号进行仿真实验，该信号如图3所示。

图3 Noisbump信号(a) 硬阈值法(b) 软阈值法(c) 改进阈值法图4 三种阈值法的小波降噪效果针对这种高斯白噪声的信号，三种不同的阈值法都能取得较好的效果(图4)，可见改进的方法是有效的。

进一步的，在这种预先知道的白噪声降噪中，改进的阈值方法还具有微弱的优势，体现在对原始信号的还原度上，例如2000-2500和3500 -4000的水平信号的还原。

2.2 压气机失速信号处理以轴流压气机局部喘振现象为工程背景，本节将对压气机失速实验中采集的实际信号进行降噪处理，从而分辨失速信号的特征。

我们知道，在传感器采集的信号中，具有大量高频的噪声信号，通常来源于压气机流场内的分离/漩涡的高频脱落、叶片震颤、激波附面层干涉等。

这些非定常流动现象通常具有远大于压气机本身转动的扰动频率，而且具有不可预知性。

但这些高频扰动来源于局部流动，相对的其能量很小。

另外，传感器本身的电流也将引起测量结果的噪声。

如何分析这些淹没在大量噪声中的失速特征信号，快速准确地捕捉压气机失速先兆，是国内外广泛关注的课题。

在图5中展示了压气机失速过程中采集到的原始信号。

从中可以看到，整个信号几乎被各种噪声信号淹没，直接分析该信号几乎无法看到任何有效的信息。

可见，通过降噪的方法来处理数据具有十分重要的意义。

考虑到小波阈值法降噪在高频噪声的抑制方面具有较好的效果，本节将采用三种不同的阈值法，对压气机的失速信号进行降噪。

在分析失速特征的同时，对比三种阈值法的降噪效能。

图5所示为从整体的时域看信号的降噪效果，图6则为不同方法降噪后的局部细节的对比。

每幅图中，上图为采集到的原始压力信号，下图为对应阈值法降噪后的信号。

从图5可以看到，三种阈值法都能有效的降低噪声的干扰，但是作用的程度不同。

硬阈值法的效果最差，虽然大幅度减小了噪声，但是毛刺的噪声信号依然存在。

进一步，软阈值法的效果相对硬阈值法有较大的提升，整体的噪声控制都比较好，已经能够看到失速信号的主要特征。

但是从细节上看，小的尖峰还存在，降噪的效果有待进一步提升。

最后，改进的阈值方法的效果最为明显，在非扰动区域(幅值较小的区域)，信号的毛刺基本上被消除，降噪后的信号放大到局部的范围就能够直观的看到失速团的特征。

因此，在该信号的分析中，硬阈值法效果最差，软阈值法效果次之，改进的方法效果最后。

下面接着分析降噪后，信号的局部特征的变化，如图6所示。

(a) 硬阈值法(b) 软阈值法(c) 改进的阈值法图5 阈值法降噪结果对比图6给出了三种阈值法降噪后，将X轴的坐标范围放大到1120-1170转的范围(失速信号的起始转数)，显示了信号的局部细节。