2020海淀区高三数学期末上学期试题及答案
北京市海淀区19-20学年高三上学期期末数学试卷 (有解析)
北京市海淀区19-20学年高三上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知集合U={1,2，3，4，5}，A={2,3，4}，B={1,2，5}，则A∩(∁U B)=()A. {3,4}B. {3}C. {4}D. {2,3，4}2.抛物线y2=4x的焦点坐标为()A. (0,1)B. (1,0)C. (0,2)D. (2,0)3.已知圆O的方程为x2+y2−2x−3=0，则下列直线中与圆O相切的是()A. x+√3y+3=0B. x+√3y−3=0C. √3x+y+3=0D. √3x+y−3=04.已知a，b∈R，且a>b.则()A. a2>b2B. ab >1 C. lg(a−b)>0 D. (12)a<(12)b5.若(x2−a)(x+1x)10的展开式x6的系数为30，则a等于()A. 13B. 12C. 1D. 26.已知向量a⃗=(2,1)，|a⃗+b⃗ |=4，a⃗⋅b⃗ =1，则|b⃗ |=()A. 2B. 3C. 6D. 127.设α，β是两个不同的平面，l是直线且l⊂α，则“α//β”是“l//β”的()A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件8.在△ABC中，点D为边AB上一点，若BC⊥CD，AC=3√2，AD=√3，sin∠ABC=√33，则△ABC 的面积是()A. 9√22B. 15√22C. 6√2D. 12√29.log849log27=()A. 2B. 32C. 1 D. 2310.若点N为点M在平面α上的正投影，则记N=fα(M).如图，在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，记平面AB1C1D为β，平面ABCD为γ，点P是棱CC1上一动点(与C、C1不重合)Q1=fγ[fβ(P)]，Q2=fβ[fγ(P)].给出下列三个结论：①线段PQ 2长度的取值范围是[12,√22)； ②存在点P 使得PQ 1//平面β；③存在点P 使得PQ 1⊥PQ 2．其中，所有正确结论的序号是 ( )A. ①②③B. ②③C. ①③D. ①②二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）11. 等差数列{a n }中，a 3=50，a 5=30，则a 7= ______ ．12. 已知复数z =1+2i i ，则|z|=_____。
2020-2021年北京海淀高三期末数学试卷(附答案)
海淀区2020-2021学年第一学期期末考试高三数学试题本试卷共8奴, 150分）考试时常120分钟。
考生务必将若案答在答胧抵上.在试卷上作答无效。
考试结火后. 本试卷和空四纸•并文回，笫•海分］选择遐共40分）丁选择题共10小题.每小超4分，共40分.在街小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（I ）抛物线/ 二 X 的准线力邪兄（A ） X = --（ B ） X （C ）V =（D ） V =--24 '2' 4（2）在梵平面内.竟数一一对应的点也广1+/（A ）第 %fR （B ）第二软限（C>第，象眼（D ）第四象限⑶ 在&-2丫的展开式中,内的系数为（A ）5（B ） -5（C ） 10（D ） 10（4）已知代线，：x +町，+ 2 = 0 , （A ） 1U（5）某三桎惟的三视图如用所示.止（1>徒《专》1X1点 A (-1,-1)和点B (2,2),若〃/力8,则实数。
的值为i) -1 (C> 2(D)-2该三板维的体积为J KM,J) 4 (C)6 (D) 12b = (-2,D, rt|a-6| = 2,则a ・6 =（B ）0(A) -1(C) 1 (D) 2(7)己如a, 3是例个不同的平面，“a 〃夕的•个充分条件是(A)以内有无数11线平行J "(B)存在牛血丫, arr. P±r(C)存隹TihiL aDr = /n t夕Dy = 〃ll掰〃”(D)存在酉线7, Ila. Ilfi(8)L!知函数/(x)= l-2sirf(x + 2)则4(A) /(x)是偶函数函数/(x)的地小正阖期为2*(C)曲线F = /(.t)关J x = 一1对核：4(D) /0)>/(2)(9)数列SJ的通项公式为勺=“2-3〃・N・前〃比和为s.・给出下列三个结论：①存在止整数加,〃(〃”〃)，使母Z-Z；②存在正施数初〃(m*府•使得q, = 2百♦•③记,4=4%…，。
北京市海淀区2020届高三上学期期末考试数学理试题Word版含答案
北京市海淀区2020届高三上学期期末考试数学理试题本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．双曲线22122x y -=的左焦点坐标为A ．(2,0)-B ．(C ．(1,0)-D ． (4,0)-2.已知向量,a b 满足=((t =)，，1)a 2,0b ， 且a ⋅=a b ，则,a b 的夹角大小为 A ．6π B ．4π C ．3π D ．512π3.已知等差数列{}n a 满足1=2a ，公差0d ≠，且125,,a a a 成等比数列，则=d A ．1B ．2C ．3D ．44.直线+1y kx =被圆222x y +=截得的弦长为2，则k 的值为A ． 0B ．12±C ．1±D ．2±5.以正六边形的6个顶点中的三个作为顶点的三角形中，等腰三角形的个数为A ．6B ．7C ．8D ．126.已知函数()=ln af x x x+，则“0a <”是“函数()f x 在区间(1,)+∞上存在零点”的 A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件7.已知函数()sin cos f x x x =-，()g x 是()f x 的导函数，则下列结论中错误的是 A.函数()f x 的值域与()g x 的值域相同B.若0x 是函数()f x 的极值点，则0x 是函数()g x 的零点C.把函数()f x 的图像向右平移2π个单位，就可以得到函数()g x 的图像 D.函数()f x 和()g x 在区间(,4π-)4π上都是增函数8.已知集合{}(,)150,150,,A s t s t s N t N =≤≤≤≤∈∈.若B A ⊆，且对任意的(,)a b B ∈，(,)x y B ∈，均有()()0a x b y --≤，则集合B 中元素个数的最大值为 A ．25B ．49C ．75D ．99二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9.以抛物线24y x =的焦点F 为圆心，且与其准线相切的圆的方程为 .10.执行如下图所示的程序框图，当输入的M 值为15，n 值为4 时，输出的S 值为.11.某三棱锥的三视图如上图所示，则这个三棱锥中最长的棱与最短的棱的长度分别为 ， .12.设关于,x y 的不等式组,4,2,y x x y kx ≤⎧⎪≤⎨⎪≥-⎩表示的平面区域为Ω，若点A （1，-2），B （3,0），C （2，-3）中有且仅有两个点在Ω内，则k 的最大值为 . 13.ABC中，b ，且cos2cos A B =，则cos A = .14.正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，动点M 在线段CC 1上，动点P 在平面1111A B C D 上，且AP ⊥平面1MBD .（Ⅰ）当点M 与点C 重合时，线段AP 的长度为 ； （Ⅱ）线段AP 长度的最小值为 .三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）已知函数()s()cos22f x aco x x π=-- 其中0>a（Ⅰ）比较()6f π和()2f π的大小；（Ⅱ）求函数()f x 在区间[,]22ππ-的最小值.16．（本小题满分13分）为迎接2022年冬奥会，北京市组织中学生开展冰雪运动的培训活动，并在培训结束后对学生进行了考核.记X 表示学生的考核成绩，并规定85X ≥为考核优秀.为了了解本次培训活动的效果，在参加培训的学生中随机抽取了30名学生的考核成绩，并作成如下茎叶图：（Ⅰ）从参加培训的学生中随机选取1人，请根据图中数据，估计这名学生考核优秀的概率； （Ⅱ）从图中考核成绩满足[70,79]X ∈的学生中任取3人，设Y 表示这3人重成绩满足8510X -≤的人数，求Y 的分布列和数学期望； （Ⅲ）根据以往培训数据，规定当85(1)0.510X P -≤≥时培训有效.请根据图中数据，判断此次中学生冰雪培训活动是否有效，并说明理由.17．（本小题满分14分）在四棱锥P ABCD -中，平面ABCD ⊥平面PCD ，底面ABCD 为梯形，//AB CD ，AD PC ⊥ 且01,2,120AB AD DC DP PDC ====∠= （Ⅰ）求证：AD PDC ⊥平面；（Ⅱ）求二面角B-PD-C 的余弦值；（Ⅲ）若M 是棱PA 的中点，求证：对于棱BC 上任意一点F ，MF 与PC 都不平行.18．（本小题满分14分）椭圆2212x y +=的左焦点为F ，过点(2,0)M -的直线l 与椭圆交于不同两点A,B（Ⅰ）求椭圆G 的离心率；（Ⅱ）若点B 关于x 轴的对称点为B ’，求'AB 的取值范围.19. （本小题满分14分）已知函数xe x ax xf 2)(-=．（Ⅰ）当1a =-时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）当0a >时，求证：2()f x e>-对任意(0,)x ∈+∞成立.20．（本小题满分13分）设n 为不小于3的正整数，集合{}{}12(,,...)0,1,1,2,...,n n i x x x x i n Ω=∈=，对于集合n Ω中的任意元素12(,,...,)n x x x α=，12(,,...,)n y y y β=记11112222()()...()n n n n x y x y x y x y x y x y αβ*=+-++-+++- （Ⅰ）当3n =时，若(1,1,0)α=，请写出满足3αβ*=的所有元素β （Ⅱ）设n αβ∈Ω，且+n ααββ**=，求αβ*的最大值和最小值；（Ⅲ）设S 是n Ω的子集，且满足：对于S 中的任意两个不同元素αβ，，有1n αβ*≥-成立，求集合S 中元素个数的最大值.北京市海淀区2020届高三上学期期末考试数学理试题参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1. A2. B3. D4. A5. C6. C7.C8. D二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 22(1)4x y -+= 10. 24 11. 2 12. 0三、解答题: 本大题共6小题，共80分.15．解：（Ⅰ）因为π1(),622a f =-π()12f a =+所以ππ13()()(1)()262222a a f f a -=+--=+因为0a >，所以3022a +>，所以ππ()()26f f >（Ⅱ）因为()sin cos2f x a x x =-2sin (12sin )a x x =--22sin sin 1x a x =+-设sin ,t x = ππ[,]22x ∈-，所以[1,1]t ∈-所以221y t at =+- 其对称轴为4at =- 当14at =-<-，即 4a >时，在1t =-时函数取得最小值1a - 当14a t =-≥-，即04a <≤时，在4at =-时函数取得最小值218a --16.解：（Ⅰ）设该名学生考核成绩优秀为事件A 由茎叶图中的数据可以知道，30名同学中，有7名同学考核优秀所以所求概率()P A 约为730（Ⅱ）Y 的所有可能取值为0,1,2,3因为成绩[70,80]X ∈的学生共有8人，其中满足|75|10X -≤的学生有5人所以33381(0)56C P Y C ===， 21353815(1)56C C P Y C === 12353830(2)56C C P Y C ===， 353810(3)56C P Y C === 随机变量Y 的分布列为115301015()0123565656568E Y =⨯+⨯+⨯+⨯= （Ⅲ）根据表格中的数据，满足85110X -≤的成绩有16个 所以8516810.5103015X P ⎛-⎫≤==>⎪⎝⎭所以可以认为此次冰雪培训活动有效.17．解：（Ⅰ）在平面PCD 中过点D 作DH DC ⊥，交PC 于H 因为平面ABCD ⊥平面PCD DH ⊂平面PCD平面ABCD I 平面PCD CD = 所以DH ⊥平面ABCD 因为AD ⊂平面ABCD所以 DH AD ⊥ 又AD PC ⊥，且PC DH H =I 所以AD ⊥平面PCD （Ⅱ）因为AD ⊥平面PCD ，所以AD CD ⊥ 又DH CD ⊥，DH AD ⊥以D 为原点，DA DC DH ，，所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系所以(,,),(,,),(,(,,),(,,)D A P C B -00020001020210，因为AD ⊥平面PCD ，所以取平面PCD 的法向量为(,,)DA =200uu u r设平面PBD 的法向量为(,,)n x y z =r因为(,(,,)DP DB =-=01210uu u r uu u r ，所以n DP n DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩00r uu u rr uu u r所以y x y ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩020令2z =，则y x =-=，所以()n =2r所以cos ,||||AD n AD n AD n ⋅<>===uuu r ruuu r r uuu u r r 由题知B PD C --为锐角，所以B PD C --的余弦值为19（Ⅲ） 法一：假设棱BC 上存在点F ，使得MF PC ，显然F 与点C 不同所以,,,P M F C 四点共面于α所以FC ⊂α，PM ⊂α 所以B FC ∈⊂α，A PM ∈⊂α所以α就是点,,A B C 确定的平面，所以P ∈α这与P ABCD -为四棱锥矛盾，所以假设错误，即问题得证 法二：假设棱BC 上存在点F ，使得MF PC连接AC ，取其中点N在PAC ∆中，因为,M N 分别为,PA CA 的中点，所以MNPC因为过直线外一点只有一条直线和已知直线平行，所以MF 与MN 重合 所以点F 在线段AC 上，所以F 是AC ，BC 的交点C ，即MF 就是MC 而MC 与PC 相交，矛盾，所以假设错误，问题得证 法三：假设棱BC 上存在点F ，使得MFPC ，设BF BC λ=，所以3(1,,(2,1,0)22MF MB BF λ=+=+-因为MFPC，所以(0,3,MF PC μμ==所以有120332λλμ⎧⎪-=⎪⎪+=⎨⎪⎪=⎪⎩，这个方程组无解所以假设错误，即问题得证 18．解：（Ⅰ）因为,a b ==2221，所以,a b c ===11所以离心率c e a ==2（Ⅱ）法一： 设1122(,),(,)A x y B x y显然直线l 存在斜率，设直线l 的方程为(2)y k x =+所以()x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩22122，所以()k x k x k +++-=222221882028160k ∆=->，所以k <212所以k x x k k x x k ⎧-+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩212221228218221 因为22'(,)B x y -所以|'|AB = 因为22212121222816()()4(21)k x x x x x x k --=+-=+12121224(2)(2)()421ky y k x k x k x x k +=+++=++=+所以|'|AB==因为k ≤<2102，所以|'|AB ∈法二：设1122(,),(,)A x y B x y当直线l 是x轴时，|'|AB =当直线l 不是x 轴时，设直线l 的方程为2x t y =-所以x y x t y ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩22122，所以()t y t y ++=-222420，28160t ∆=-> ，所以t >22 所以t y y t y y t ⎧+=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩1221224222因为22'(,)B x y -所以|'|AB =因为 2222222212121212122216()()()[()4](1)(2)t x x ty ty t y y t y y y y t t -=-=-=+-=++所以|'|AB=22)2t ==-+因为t >22，所以|'|AB ∈ 综上，|'|AB的取值范围是.19．解：（Ⅰ）因为()xax x f x -=e 2所以()'()xx a x af x -++=e22 当a =-1时，'()x x x f x --=e 21所以'()f -=e11，而()f -=e 21曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程为21()(1)e ey x --=-- 化简得到11e ey x =-- （Ⅱ）法一：因为()'()xx a x af x -++=e 22，令()'()x x a x a f x -++==e 220得x x ==12当a >0时，x ，'()f x ，()f x 在区间(0,)+∞ 的变化情况如下表:所以()f x 在[,)+∞0上的最小值为(),()f f x 20中较小的值，而2(0)0ef =>-，所以只需要证明()f x >-e22 因为()x a x a -++=22220，所以()x x a f x ax x x -=-=e e 22222222 设()x a x F x -=e 2，其中x >0，所以()()'()x xa x x a F x ----+==e e 2222 令'()F x =0，得a x +=322，当a >0时，x ，'()F x ，()F x 在区间(0,)+∞ 的变化情况如下表:所以()F x 在(,)+∞0上的最小值为()a a F ++-=e 12222，而()a a F ++--=>e e 122222 注意到x =>20， 所以(())fx x F =>-e222，问题得证 法二：因为“对任意的x >0，22e e x ax x ->-”等价于“对任意的x >0，220e ex ax x -+>” 即“x >0，2+12e e()0ex x ax x +->”，故只需证“x >0，22e e()0x ax x +->” 设2()2e e()x g x ax x =+- ，所以'()2e e(2)x g x a x =+- 设()'()h x g x =，'()2e 2e x h x =- 令'()F x =0，得x =31当a >0时，x ，'()h x ，()h x 在区间(0,)+∞ 的变化情况如下表:所以()h x (,)+∞0上的最小值为()h 1，而(1)2e e(2)e 0h a a =+-=> 所以x >0时，'()2e e(2)0x g x a x =+->，所以()g x 在(,)+∞0上单调递增 所以()(0)g x g >而(0)20g =>，所以()0g x >，问题得证 法三：“对任意的x >0，2()e f x >-”等价于“()f x 在(,)+∞0上的最小值大于2e-”因为()'()xx a x af x -++=e22，令'()f x =0得x x ==12当a >0时，x ，'()f x ，()f x 在在(,)∞+0上的变化情况如下表:所以()f x 在[,)+∞0上的最小值为 (),()f f x 20中较小的值，而2(0)0ef =>-，所以只需要证明()f x >-e22因为()x a x a -++=22220，所以()x x x ax x x x x a f =---=>e e e 22222222222 注意到x =2和a >0，所以x =>22 设()xxF x -=e 2，其中x >2 所以()()'()x xx x F x --=-=e e2121 当x >2时，'()F x >0，所以()F x 单调递增，所以()()F x F >=-e242而()--=-->e e e e 2242240 所以()()f x F x >->e222，问题得证法四：因为a >0，所以当x >0时，()x x ax x x f x --=>e e22设()x x F x -=e2，其中x >0所以()'()xx x F x -=e2 所以x ，'()F x ，()F x 的变化情况如下表:所以()F x 在x =2时取得最小值()F =-e 224，而()--=-->e e e e2242240 所以x >0时，2()eF x >-所以()()f x F x >>-e220. 解：(Ⅰ) 满足3αβ*=的元素为(0,0,1),(1,0,1),(0,1,1),(1,1,1) （Ⅱ）记12(,,,)n x x x α=，12(,,,)n y y y β=，注意到{0,1}i x ∈，所以(1)0i i x x -=， 所以11112222()()()n n n n x x x y x x x x x x x x αα*=+-++-+++-12n x x x =+++ 12n y y y ββ*=+++因为n ααββ*+*=，所以1212n n x x x y y y n +++++++=所以1212,,,,,,,n n x x x y y y 中有n 个量的值为1，n 个量的值为0.显然111122220()()()n n n n x y x y x y x y x y x y αβ≤*=+-++-+++-1122n n x y x y x y n ≤++++++=，当(1,1,,1)α=，(0,0,,0)β=时，αβ，满足n ααββ*+*=，n αβ*=.所以αβ*的最大值为n又11112222()()()n n n n x y x y x y x y x y x y αβ*=+-++-+++-1122()n n n x y x y x y =-+++注意到只有1i i x y ==时，1i i x y =，否则0i i x y = 而1212,,,,,,,n n x x x y y y 中n 个量的值为1，n 个量的值为0所以满足1i i x y =这样的元素i 至多有2n个， 当n 为偶数时，22n n n αβ*≥-=. 当22(1,1,,1,0,0,,0)n n αβ==个个时，满足n ααββ*+*=，且2n αβ*=. 所以αβ*的最小值为2n当n 为奇数时，且1i i x y =，这样的元素i 至多有12n -个，所以 1122n n n αβ-+*≥-=. 当1122(1,1,,1,0,0,,0)n n α+-=个个，1122(1,1,,1,0,0,,0)n n β-+=个个时，满足n ααββ*+*=，12n αβ-*=. 所以αβ*的最小值为12n - 综上：αβ*的最大值为n ，当n 为偶数时，αβ*的最小值为2n ，当n 为奇数时，12n αβ-*=.（Ⅲ）S 中的元素个数最大值为222n n ++设集合S 是满足条件的集合中元素个数最多的一个 记1S ={}1212(,,,)|1,n n x x x x x x n S αα=+++≥-∈， {}21212(,,,)|2,n n S x x x x x x n S αα==+++≤-∈显然1212S S S S S ==∅，集合1S 中元素个数不超过1n +个，下面我们证明集合2S 中元素个数不超过2n C 个212,(,,,)n S x x x αα∀∈=，则122n x x x n +++≤-则12n x x x ，，，中至少存在两个元素 0i j x x ==212,(,,,)n S y y y ββ∀∈=，βα≠因为 1n αβ*≥-，所以 ,i j y y 不能同时为0 所以对1i j n ≤<≤中的一组数,i j 而言， 在集合2S 中至多有一个元素12(,,,)n x x x α=满足i j x x ，同时为0所以集合2S 中元素个数不超过2n C 个所以集合S 中的元素个数为至多为2211nn C n n ++=++ 记1T ={}1212(,,,)|1,n n n x x x x x x n αα=+++≥-∈Ω，则1T 中共1n +个元素，对于任意的1T α∈，n β∈Ω，1n αβ*≥-. 对1i j n ≤<≤，记,12(,,,),i j n x x x β= 其中0i j x x ==，1t x =，,t i t j ≠≠记2,{|1}i j T i j n β=≤<≤，显然2,S αβ∀∈，αβ≠，均有1n αβ*≥-. 记12S T T =，S 中的元素个数为21n n ++，且满足,S αβ∀∈，αβ≠，均有1n αβ*≥-.综上所述，S 中的元素个数最大值为21n n ++.。
2023-2024学年北京市海淀区高三上学期期末练习数学试题+答案解析
2023-2024学年北京市海淀区高三上学期期末练习数学试题一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，，则()A. B. C. D.2.如图，在复平面内，复数，对应的点分别为，，则复数的虚部为()A. B. C. D.3.已知直线，直线，且，则()A.1B.C.4D.4.已知抛物线的焦点为F，点M在C上，，O为坐标原点，则()A. B.4 C.5 D.5.在正四棱锥中，，二面角的大小为，则该四棱锥的体积为()A.4B.2C.D.6.已知圆，直线与圆C交于A，B两点.若为直角三角形，则()A. B. C. D.7.若关于x的方程且有实数解，则a的值可以为()A.10B.eC.2D.8.已知直线，的斜率分别为，，倾斜角分别为，，则“”是“”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件9.已知是公比为的等比数列，为其前n项和.若对任意的，恒成立，则()A.是递增数列B.是递减数列C.是递增数列D.是递减数列10.蜜蜂被誉为“天才的建筑师”.蜂巢结构是一种在一定条件下建筑用材面积最小的结构.如图是一个蜂房的立体模型，底面ABCDEF是正六边形，棱AG，BH，CI，DJ，EK，FL均垂直于底面ABCDEF，上顶由三个全等的菱形PGHI，PIJK，PKLG构成.设，，则上顶的面积为()参考数据：，A. B. C. D.二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.在的展开式中，x的系数为__________.12.已知双曲线的一条渐近线为，则该双曲线的离心率为__________.13.已知点A，B，C在正方形网格中的位置如图所示.若网格纸上小正方形的边长为1，则__________；点C到直线AB的距离为__________.14.已知无穷等差数列的各项均为正数，公差为d，则能使得为某一个等差数列的前n项和的一组，d的值为__________，__________.15.已知函数给出下列四个结论：①任意，函数的最大值与最小值的差为2；②存在，使得对任意，；③当时，对任意非零实数x，；④当时，存在，，使得对任意，都有其中所有正确结论的序号是__________.三、解答题：本题共6小题，共72分。
2020-2021学年北京市海淀区高三(上)期末数学试卷
2020-2021学年北京市海淀区高三（上）期末数学试卷一、单选题（本大题共10小题，共40.0分）1.抛物线y2=x的准线方程为()A. x=14B. x=−14C. y=14D. y=−142.在复平面内，复数i1+i对应的点位于()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.在(x−2)5的展开式中，x4的系数为()A. 5B. −5C. 10D. 104.已知直线l：x+ay+2=0，点A(−1,−1)和点B(2,2)，若l//AB，则实数a的值为()A. 1B. −1C. 2D. −25.某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积为()A. 2B. 4C. 6D. 126.已知向量a⃗，b⃗ 满足|a⃗|=1，b⃗ =(−2,1)，且|a⃗−b⃗ |=2，则a⃗⋅b⃗ =()A. −1B. 0C. 1D. 27.已知α，β是两个不同的平面，“α//β”的一个充分条件是()A. α内有无数直线平行于βB. 存在平面γ，α⊥γ，β⊥γC. 存在平面γ，α∩γ=m，β∩γ=n，且m//nD. 存在直线l，l⊥α，l⊥β8.已知函数f(x)=1−2sin2(x+π4)，则()A. f(x)是偶函数B. 函数f(x)的最小正周期为2πC. 曲线y=f(x)关于x=−π4对称 D. f(1)>f(2)9.数列{a n}的通项公式为a n=n2−3n，n∈N∗，前n项和为S n.给出下列三个结论：①存在正整数m，n(m≠n)，使得S m=S n；②存在正整数m，n(m≠n)，使得a m+a n=2√a m a n；③记T n=a1a2…a n(n=1,2，3，…)则数列{T n}有最小项．其中所有正确结论的序号是()A. ①B. ③C. ①③D. ①②③10.如图所示，在圆锥内放入两个球O1，O2，它们都与圆锥相切(即与圆锥的每条母线相切)，切点圆(图中粗线所示)分别为⊙C1，⊙C2.这两个球都与平面a相切，切点分别为F1，F2，丹德林(G⋅Dandelin)利用这个模型证明了平面a与圆锥侧面的交线为椭圆，F1，F2为此椭圆的两个焦点，这两个球也称为Dandelin双球.若圆锥的母线与它的轴的夹角为30°，⊙C1，⊙C2的半径分别为1，4，点M为⊙C2上的一个定点，点P为椭圆上的一个动点，则从点P沿圆锥表面到达点M的路线长与线段PF1的长之和的最小值是()A. 6B. 8C. 3√3D. 4√3二、单空题（本大题共5小题，共25.0分）11.在“互联网+”时代，国家积极推动信息化技术与传统教学方式的深度融合，实现线上、线下融合式教学模式变革.某校高一、高二和高三学生人数如图所示.采用分层抽样的方法调查融合式教学模式的实施情况，在抽取样本中，高一学生有16人，则该样本中的高三学生人数为______ ．12.设等比数列{a n}的前n项和为S n.若−S1、S2、a3成等差数列，则数列{a n}的公比为______ ．13.已知双曲线x2−y2=1的左、右焦点分别为F1，F2，点M(−3,4)，则双曲线的渐近线方程为______ ；2|MF1|−|MF2|=______ ．14.已知函数f(x)是定义域R的奇函数，且x≤0时，f(x)=ae x−1，则a=______ ，f(x)的值域是______ ．15.已知圆P：(x−5)2+(y−2)2=2，直线l：y=ax，点M(5,2+√2)，点A(s,t).给出下列4个结论：①当a=0，直线l与圆P相离；②若直线l圆P的一条对称轴，则a=2；5③若直线l上存在点A，圆P上存在点N，使得∠MAN=90°，则a的最大值为20；21④N为圆P上的一动点，若∠MAN=90°，则t的最大值为5√2+8．4其中所有正确结论的序号是______ ．三、解答题（本大题共6小题，共85.0分）16.在三棱柱ABC−A1B1C1中，侧面BCC1B1为矩形，AC⊥平面BCC1B1，D，E分别是棱AA1，BB1的中点．(Ⅰ)求证：AE//平面B1C1D；(Ⅱ)求证：CC1⊥平面ABC；(Ⅲ)若AC=BC=AA1=2，求直线AB与平面B1C1D所成角的正弦值．17.若存在△ABC同时满足条件①、条件②、条件③、条件④中的三个，请选择一组这样的三个条件并解答下列问题：(Ⅰ)求∠A的大小；(Ⅱ)求cos B和a的值．条件①：sinC=3√3；14c；条件②：a=73条件③：b−a=1；．条件④：bcosA=−5218.年份201320142015201620172018201920202021年生产台数(单位：万台)3456691010a年返修台数(单位：台)3238545852718075b年利润(单位：百万元) 3.85 4.50 4.20 5.50 6.109.6510.0011.50c．注：年返修率=年返修台数年生产台数(Ⅰ)从2013～2020年中随机抽取一年，求该年生产的产品的平均利润不小于100元/台的概率；(Ⅱ)公司规定：若年返修率不超过千分之一，则该公司生产部门当年考核优秀.现从2013～2020年中随机选出3年，记ξ表示这3年中生产部门获得考核优秀的次数.求ξ的分布列和数学期望；(Ⅲ)记公司在2013～2015年，2016～2018年，2019～2021年的年生产台数的方差分别为s12，s22，s32.若s32≤max{s12,s22}，其中max{s12,s22}表示s12，s22，这两个数中最大的数.请写出a的最大值和最小值.(只需写出结论)(注：s2=1n[(x1−x−)2+(x2−x−)2+⋅⋅⋅(x n−x−)2]，其中x−为数据x1，x2，⋅⋅⋅，x n的平均数)19.已知椭圆W：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√32，且经过点C(2,√3).(Ⅰ)求椭圆W的方程及其长轴长；(Ⅱ)A，B分别为椭圆W的左、右顶点，点D在椭圆W上，且位于x轴下方，直线CD交x轴于点Q.若△ACQ的面积比△BDQ的面积大2√3，求点D的坐标．20.已知函数f(x)=lnxx．(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间；(Ⅱ)设g(x)=f(x)−x，求证：g(x)≤−1；(Ⅲ)设ℎ(x)=f(x)−x2+2ax−4a2+1.若存在x0使得ℎ(x0)≥0，求a的最大值．21.设A是由n×n(n≥2)个实数组成的n行n列的数表，满足：每个数的绝对值是1，且所有数的和是非负数，则称数表A是“n阶非负数表”．(Ⅰ)判断如下数表A1，A2是否是“4阶非负数表”；A数表A2A，记R(s)为A的第s行各数之和(1≤s≤5)，证明：存在{i,j，k}⊆{1，2，3，4，5}，使得R(i)+R(j)+R(k)≥3；(Ⅲ)当n=2k(k∈N∗)时，证明：对与任意“n阶非负数表”A，均存在k行k列，使得这k行k列交叉处的k2个数之和不小于k．答案和解析1.【答案】B【解析】解：抛物线y2=x的焦点在x轴上，且开口向右，2p=1，∴p2=14，∴抛物线y2=x的准线方程为x=−14．故选：B．抛物线y2=x的焦点在x轴上，且开口向右，2p=1，由此可得抛物线y2=x的准线方程．本题考查抛物线的标准方程，考查抛物线的几何性质，定型与定位是关键．2.【答案】A【解析】解：∵i1+i =i(1−i)(1+i)(1−i)=12+12i，∴复数i1+i 对应的点的坐标为(12,12)，位于第一象限．故选：A．利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数所对应点的坐标得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.【答案】D【解析】解：(x−2)5的展开式的通项为T r+1=C5r x5−r2r，所以x4的系数为C51×2=10．故选：D．由二项展开式的通项公式，即可求得x4的系数．本题主要考查二项式定理的应用，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：∵直线l：x+ay+2=0，点A(−1,−1)和点B(2,2)，∴直线AB的斜率为2+12+1=1，若l//AB，则−1a=1，求得a=−1，故选：B．由题意利用斜率公式，两直线平行的性质，求得a的值．本题主要考查斜率公式，两直线平行的性质，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：由三视图可知，该三棱锥的两个顶点为正方体的顶点，另外两个顶点是正方体棱的中点，其直观图如图所示：故该三棱锥的体积为：13×12×3×2×2=2．故选：A．首先把三视图转换为直观图，进一步求出几何体的体积．本题考查的知识要点：三视图和几何体的直观图之间的转换，几何体的体积公式，主要考查运算能力，属于基础题．6.【答案】C【解析】解：向量a⃗，b⃗ 满足|a⃗|=1，b⃗ =(−2,1)，且|a⃗−b⃗ |=2，a⃗2−2a⃗⋅b⃗ +b⃗ 2=4，即1−2a⃗⋅b⃗ +5=4，则a⃗⋅b⃗ =1．故选：C．通过向量的模的运算法则，转化求解向量的数量积即可．本题考查向量的数量积的求法，向量模的运算法则的应用，是基础题．7.【答案】D【解析】解：由α内有无数直线平行于β，不一定得到α//β，α与β也可能相交，如图：故A错误；若存在平面γ，使α⊥γ，β⊥γ，不一定得到α//β，α与β也可能相交，如图：故B错误；存在平面γ，α∩γ=m，β∩γ=n，且m//n，不一定得到α//β，α与β也可能相交，如图：故C错误；存在直线l，l⊥α，l⊥β，由直线与平面垂直的性质，可得α//β，故D正确．故选：D．由空间中的线面关系，画出图形，逐一分析四个选项得答案．本题考查空间中面面平行的判定，考查充分条件的应用，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．8.【答案】C【解析】解：f(x)=1−2sin2(x+π4)=cos2(x+π4)=cos(2x+π2)=−sin2x，则函数f(x)为奇函数，函数的周期T=2π2=π，当x=−π4时，f(x)=−sin[2×(−π4)]=−sin(−π2)=1为最大值，则x=−π4是对称轴，f(1)=−sin2，f(2)=−sin4，则f(1)<f(2)，故正确的是C，故选：C．利用三角函数的倍角公式进行化简，结合三角函数的性质分别进行判断即可．本题主要考查三角函数的图象和性质，利用二倍角公式进行化简，结合三角函数的性质是解决本题的关键．是基础题．9.【答案】C【解析】解：若存在正整数m，n(m≠n)，使得S m=S n，则S m−S n=0，即a m+1+a m+2+⋯+a n=0，令a n=0，解得n=0(舍)或n=3，即a3=0，所以存在m=2，n=3，使得S m=S n，故选项①正确；因为a m+a n=2√a m a n，即(√a m−√a n)2=0，即a m=a n，且a m≥0，a n≥0，记y=n2−3n，对称轴为n=32，而n=1，2，3，…故只有n1=1，n2=2时，有a n1=a n2，但此时a1=1−3=−2=a2<0不成立，故不存在正整数m，n(m≠n)，使得a m+a n=2√a m a n，故选项②错误；因为T n=a1a2…a n(n=1,2，3，…)，则a1=−2，a2=−2，a3=0，且当n≥2时，a n单调递增，所以当n>3时，a n>0，而T3=0，故当n>3时，T n=0，又T2=4，T1=−2，所以数列{T n}有最小项T1=−2，故选项③正确．故选：C．假设存在正整数m，n(m≠n)，使得S m=S n，则S m−S n=0，转化为a n的关系进行分析，即可判断选项①，利用完全平方式将a m+a n=2√a m a n化简，可得即a m=a n，再分析a n的对称性，可得a1=1−3=−2=a2<0，从而可判断选项②，利用T n=a1a2…a n(n=1,2，3，…)，得到a1=−2，a2=−2，a3=0，且当n≥2时，a n单调递增，分析即可判断选项③．本题以数列的有关知识为背景设计问题，要求学生能利用数列的基础知识探究新的问题，解决此类问题，关键是读懂题意，理解本质．10.【答案】C【解析】解：如图所示，在椭圆上任取一点P，连接VP交C1于Q，交C2于点R，连接O1Q，O1F1，PO1，PF1，O2R，在△O1PF与△O1PQ中，O1Q=O1F=r1，其中r1为球半径，∠O1QP=∠O1FP=90°，O1P为公共边，所以△O1PF≌△O1PQ，所以PF1=PQ，设P沿圆锥表面到达M的路径长为d，则PF1+d=PQ+d≥PQ+PR=QR，当且仅当P为直线VM与椭圆的交点时取等号，QR=VR−VQ=OR2tan30∘−OR1tan30∘=r2−r1√33=3√3，故从点P沿圆锥表面到达点M的路线长与线段PF1的长之和的最小值是3√3．故选：C．在椭圆上任取一点P，连接VP交C1于Q，交C2于点R，连接O1Q，O1F1，PO1，PF1，O2R，利用△O1PF≌△O1PQ全等，得到PF1=PQ，当点P沿圆锥表面到达点M的路线长与线段PF1的长之和最小时，即当P为直线VM与椭圆的交点时，求解即可得到答案．本题以Dandelin双球作为几何背景考查了椭圆知识的综合应用，涉及了两条线段距离之和最小的求解，解题的关键是确定当P为直线VM与椭圆的交点时取得最值．11.【答案】12【解析】解：根据直方图知，抽样比例为16800=150，所以应该抽取高三人数为600×150=12(人)．故答案为：12．根据直方图求出抽样比例，再计算抽取高三人数．本题考查了分层抽样法与直方图的应用问题，是基础题．12.【答案】3或−1【解析】解：∵−S1，S2，a3成等差数列，∴2S2=−S1+a3，又数列{a n}为等比数列，∴2(a1+a1q)=−a1+a1q2，整理得：a1q2−2a1q−3a1=0，又a1≠0，∴q2−2q−3=0，解得：q=3或−1．故答案为：3或−1．根据−S1、S2、a3成等差数列，利用等差数列的性质列出关系式，化简得到关于a1与q的关系式，由a1≠0，两边同时除以a1，得到关于q的方程，求解方程得答案．本题题考查了等差数列的性质，等比数列的通项公式及前n项和，考查运算求解能力，是基础题．13.【答案】y=±√2x−2【解析】解：双曲线x2−y22=1的渐近线方程为：y=±√2x，双曲线的焦点坐标(±√3,0)，M在双曲线上，所以|MF1|−|MF2|=−2a=−2，故答案为：y=±√2x；−2．利用双曲线方程直接求解渐近线方程；求出焦点坐标，然后利用双曲线的定义求解即可得到|MF1|−|MF2|.本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线的渐近线方程的求法，定义的应用，是基础题．14.【答案】1 (−1,1)【解析】解：根据题意，函数f(x)是定义域R的奇函数，则f(0)=0，又由x≤0时，f(x)=ae x−1，则f(0)=a−1=0，解可得a=1，在区间(−∞,0]上，f(x)=e x−1，有−1<f(x)≤0，又由f(x)为奇函数，则有−1<f(x)<1，即函数的值域为(−1,1)，故答案为：1，(−1,1)．根据题意，由奇函数的性质可得f(0)=0，结合函数的解析式可得f(0)=a−1=0，解可得a的值，即可得函数在(−∞,0]上的解析式，利用函数的奇偶性分析可得答案．本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及函数解析式的计算，属于基础题．15.【答案】①②④【解析】解：当a=0时，直线l：y=0，故圆的半径r=√2小于点P到直线的距离，所以当a=0，直线l与圆P相离，故选项①正确；因为圆的对称轴过圆心，故直线l过点(5,2)，又直线l：y=ax，所以a=25，故选项②正确；考虑极限情况：M，N为切点时比M，N为割点时的∠MAN更大，故直线l的斜率最大时，点M，N均应为切点，过M作圆的切线，则x A=5−√2,y A=2+√2，所以a=√25−√2=7√2+1223>1120，故选项③错误；设N(5+√2cosθ,2+√2sinθ)，M(5,2+√2)，则MN的中点Q(5+√22cosθ,2+√22+√22sinθ)，而∠MAN=90°，则点A为以MN为直径的圆上，设半径为r，MN2=4−4sinθ，则r=√1−sinθ，所以t最大时应该是点Q的纵坐标加半径，即t=2+√22+√22sinθ+√1−sinθ，令g(x)=2+√22+√22x+√1−x，x∈[−1,1]，令μ=√1−x∈[0,√2]，得f(μ)=2+√22+√22(1−μ2)+μ，μ∈[0,√2]，f(μ)=−√22μ2+μ+2+√2，当μ=√22时，f(μ)max =f(√22)=−√24+√22+2+√2=5√2+84， 所以t 的最大值为5√2+84，故选项④正确； 故答案为：①②④．当a =0时，求出直线l 的方程，然后利用点到直线的距离公式结合直线与圆的位置关系进行分析，即可判断选项①；利用圆的对称轴经过圆心，所以直线l 经过两个点，从而得到直线的斜率，即可判断选项②；考虑极限情况，M ，N 为切点时比M ，N 为割点时的∠MAN 更大，故直线l 的斜率最大时，点M ，N 均应为切点，分析求解即可判断选项③；根据∠MAN =90°，可得点A 为以MN 为直径的圆上，t 最大时应该是圆心的纵坐标加半径，利用换元法求出最值即可判断选项④．本题以命题真假的判断为载体考查了直线与圆的位置关系的应用，涉及了换元法求解函数的最值问题、二次函数的最值问题，综合性强，对学生分析问题和解决问题的能力以及化简运算能力要求很高． 16.【答案】 解：(Ⅰ)证明：在三棱柱ABC −中，AA 1//BB 1，且AA 1=BB 1．因为点D ，E 分别时棱AA 1，BB 1的中点， 所以AD//B 1E ，且AD =B 1E .所以四边形AEB 1D 是平行四边形． 所以AE//DB 1．又因为AE ⊄平面B 1C 1D ，DB 1⊂平面B 1C 1D ， 所以AE//平面B 1C 1D .(Ⅱ)证明：因为AC ⊥平面BCC 1B 1，CC 1⊂平面BCC 1B 1， 所以AC ⊥CC 1．因为侧面BCC 1B 1为矩形， 所以CC 1⊥BC ．又因为AC ∩BC =C ，AC ⊂平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， 所以CC 1⊥平面ABC ．(Ⅲ)解：分别以CA ，CB ，CC 1所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系C −xyz ，由题意得A(2,0，0)B(2，0，0)，B 1(0,2，2)，C 1(0,0，2)，D(2,0，1)．所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,2,2),C 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,0),C 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,−1)．设平面B 1C 1D 的法向量为n =(x,y ，z)，则{n ⃗ ⋅C 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ⋅⃗⃗⃗⃗ C 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{2y =0,2x −z =0.令x =1，则y =0，z =2．于是n⃗ =(1,0，2)． 所以cos <n,⃗⃗⃗ AB ⃗⃗⃗⃗⃗ >=n⋅⃗⃗⃗ AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |n ⃗⃗ ||AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√5×2√2=−√1010． 所以直线AB 与平面B 1C 1D 所成角的正弦值为√1010．【解析】(Ⅰ)根据直线平行于平面的判定定理可知只需证线线平行，利用平行四边形可得AE//DB 1，从而可证得AE//平面B 1C 1D ；(Ⅱ)要证CC 1⊥平面ABC ，根据线面垂直的判定定理可知只需证CC 1与平面内两相交直线垂直即可；(Ⅲ)建立空间直角坐标系，先求出平面B 1C 1D 的法向量，然后利用公式可求出直线AB 与平面B 1C 1D 所成角的正弦值．本题主要考查了线面平行的判定定理、线面垂直的判定定理、以及线面所成角，解题的关键是利用空间向量的方法求解，同时考查了学生空间想象能力． 17.【答案】解：若选择①②③， (Ⅰ)因为a =73c ，sinC =3√314，由正弦定理可得sinA =a⋅sinC c =√32， 因为b −a =1，所以a <b ，可得0<∠A <π2，可得∠A =π3． (Ⅱ)在△ABC 中，a =73c ，所以a >c ，所以0<∠C <π2， 因为sinC =3√314，可得cosC =√1−sin 2C =1314，所以cosB =cos[π−(A +C)]=cos −(A +C)=sinAsinC −cosAcosC =√32×3√314−12×1314=−17，所以sinB =√1−cos 2B =4√37， 由正弦定理可得4√37b=√32a，可得7b =8a ，因为b −a =1，所以a =7． 若选择①②④， (Ⅰ)因为a =73c ，sinC =3√314，由正弦定理可得sinA =a⋅sinC c=√32， 在△ABC 中，bcosA =−52， 所以π2<∠A <π， 可得∠A =2π3．(Ⅱ)在△ABC 中，a =73c ， 所以a >c ， 所以0<∠C <π2， 因为sinC =3√314，可得cosC =√1−sin 2C =1314，所以cosB =cos[π−(A +C)]=−cos(A +C)=sinAsinC −cosAcosC =√32×3√314+12×1314=1114，所以sinB =√1−cos 2B =5√314， 因为bcosA =−52， 所以b =−52−12=5，由正弦定理可得a =b⋅sinA sinB=√32×55√314=7．【解析】若选择①②③，(Ⅰ)由正弦定理可得sin A的值，结合b−a=1，可求0<∠A<π2，即可得解∠A的值；(Ⅱ)由题意可得a>c，可得0<∠C<π2，利用同角三角函数基本关系式可求cos C的值，利用三角形内角和定理，两角和的余弦公式可求cos B，进而可求sin B，利用正弦定理即可求解a的值．若选择①②④，(Ⅰ)利用正弦定理可得sin A的值，由于bcosA=−52，可得范围π2<∠A<π，即可求解∠A的值；(Ⅱ)由题意利用大边对大角可求0<∠C<π2，利用同角三角函数基本关系式可求cos C的值，利用两角和的余弦公式可求cos B，进而可求sin B，由于bcosA=−52，可求b的值，根据正弦定理可得a．本题主要考查了正弦定理以及三角函数恒等变换在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．18.【答案】解：(Ⅰ)由图表知，2013年～2020年中，产品的平均利润小于100元/台的看人发只有2015年，2016年，∴从2013年～2020年中随机抽取一年，该年生产的平均利润不小于100元/台的概率为P=68=0.75．(Ⅱ)由图表得，2013～2020年中，返修率超过千分之一的年份只有2013年和2015年，∴ξ的所有可能取值为1，2，3，P(ξ=1)=C61C22C83=328，P(ξ=2)=C62C21C83=1528，P(ξ=3)=C63C20C83=514，∴E(ξ)=1×328+2×1528+3×514=94．(Ⅲ)a的最大值为13，最小值为7．【解析】(Ⅰ)由图表知，2013年～2020年中，产品的平均利润小于100元/台的看人发只有2015年，2016年，由此能求出从2013年～2020年中随机抽取一年，该年生产的平均利润不小于100元/台的概率．(Ⅱ)由图表得，2013～2020年中，返修率超过千分之一的年份只有2013年和2015年，ξ的所有可能取值为1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和E(ξ)．(Ⅲ)a的最大值为13，最小值为7．本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望、概率的求法，考查超几何分布分布、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.【答案】解：(Ⅰ)由已知可得：{ca =√324 a2+3b2=1a2=b2+c2，解得a =4，b =2，c =2√3， 故椭圆的方程为：x 216+y 24=1，且长轴长为2a =8；(Ⅱ)因为点D 在x 轴下方，所以点Q 在线段AB(不包括端点)上， 由(Ⅰ)可知A(−4,0)，B(4,0)，所以△AOC 的面积为12×4×√3=2√3，因为△ACQ 的面积比△BDQ 的面积大2√3，所以点Q 在线段OB(不包括端点)上，且△OCQ 的面积等于△BDQ 的面积， 所以△OCB 的面积等于△BCD 的面积， 所以OD//BC ，设D(m,n)，n <0， 则nm =0−√34−2=−√32， 因为点D 在椭圆W 上，所以m 216+n 24=1，解得m =2，n =−√3， 所以点D 的坐标为(2,−√3).【解析】(Ⅰ)由已知点，椭圆的离心率以及a ，b ，c 的关系式即可求解；(Ⅱ)根据已知条件推出OD 与BC 平行，设出点D 的坐标，利用平行关系以及点D 在椭圆上联立方程即可求解．本题考查了椭圆的方程以及直线与椭圆的位置关系的应用，涉及到三角形面积问题，考查了学生的运算能力，属于中档题．20.【答案】解：(Ⅰ)∵f(x)=lnx x，∴f′(x)=1−lnx x ，令f′(x)=0，解得：x =e ，故f(x)在(0,e)递增，在(e,+∞)； (Ⅱ)证明：∵f(x)=lnx x，∴g(x)=lnx x−x ，∴g′(x)=1−lnx x 2−1=1−lnx−x 2x 2，①当x ∈(0,1)时，1−x 2>0，−lnx >0，故g′(x)>0， ②当x ∈(1,+∞)时，1−x 2<0，−lnx <0，故g′(x)<0， 故g(x)在(0,1)递增，在(1,+∞)递减， 故g(x)≤g(1)=−1； (Ⅲ)∵f(x)=lnx x，∴ℎ(x)=lnx x−x 2+2ax −4a 2+1，①当0≤a ≤12时，ℎ(1)=2a −4a 2=2a(1−2a)≥0，即存在1，使得ℎ(1)≥0； ②当a >12时，由(Ⅱ)可知：lnx x−x ≤−1，即lnx x≤x −1，故ℎ(x)≤x −x 2+2ax −4a 2=−(x −2a +12)2+(2a +1)24−4a 2≤−3a 2+a +14=−(2a−1)(6a+1)4<0，综上，对任意x >0，ℎ(x)<0， 即不存在x 0使得ℎ(x 0)≥0， 综上，a 的最大值是12．【解析】(Ⅰ)求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的单调区间即可；(Ⅱ)求出g(x)的解析式，求出函数的导数，根据函数的单调性求出g(x)的最大值，从而证明结论成立； (Ⅲ)求出ℎ(x)的解析式，通过讨论a 的范围，结合不等式的性质求出a 的最大值即可． 本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查转化思想，分类讨论思想，是一道中档题．21.【答案】(Ⅰ)解：记a(i,j)为数表A 中第i 行第j 列的数，∑∑a nj=1n i=1(i,j)为数表A 中所有数的和，∑∑a kj=1k i=1(i,j)为数表A 中前k 行k 列交叉处各数之和． A 1是“4阶非负数表”；A 2不是“4阶非负数表”；(Ⅱ)证明：由题意可知，a(i,j)∈{1，−1}，i =1，2，3，4，5，j =1，2，3，4，5，且数表A 是“5阶非负数表”，所以R(s)(s =1,2，3，4，5)为奇数，且R(1)+R(2)+R(3)+R(4)+R(5)≥0， 不妨设R(1)≥R(2)≥R(3)≥R(4)≥R(5)， ①当R(3)≥0时，因为R(3)为奇数， 所以R(3)≥1，所以R(1)+R(2)+R(3)≥3R(3)≥3； ②当R(3)<0时，因为R(3)为奇数， 所以R(3)≤−1，所以R(4)+R(5)≤2R(3)≤−2，所以R(1)+R(2)+R(3)≥−R(4)−R(5)≥2， 又因为R(1)，R(2)，R(3)均为奇数， 所以R(1)+R(2)+R(3)≥3．(Ⅲ)证明：①先证明数表A 中存在n −1行n 列(n =2k)，其所有数的和大于等于0， 设R(i)=∑a n j=1(i,j)(i =1,2,…,n)， 由题意可知∑R n i=1(i)≥0，不妨设R(1)≥R(2)≥R(3)≥⋯≥R(n)，由于n ∑R n−1i=1(i)−(n −1)∑R n i=1(i)=∑R n−1i=1(i)−(n −1)R(n) =∑[n−1i=1R(i)−R(n)]≥0， 所以∑R n−1i=1(i)≥n−1n ∑R n i=1(i)≥0；②由①及题意，不妨设数表A 前n −1行n 列(n =2k)，其所有数的和大于等于0， 下面考虑前2k −1行，证明存在2k −1行k 列，其所有数的和大于等于k ， 设T(j)=∑a 2k−1i=1(i,j)(j =1,2,…,2k)，则∑T 2k j=1(j)=∑R 2k−1i=1(i)≥0，不妨设T(1)≥T(2)≥T(3)≥⋯≥T(2k)， 因为T(j)为2k −1个奇数的和，所以T(j)为奇数(j =1,2，3，…，2k)， 1°.当T(k)≥0时，因为T(k)为奇数， 所以T(k)≥1， 所以∑T k j=1(j)≥kT(k)≥k ；2°.当T(k)<0时，因为T(k)为奇数， 所以T(k)≤−1， 所以∑T 2k j=k+1(j)≤kT(k)≤−k ，所以∑T k j=1(j)≥−∑T 2kj=k+1(j)≥k ；③在②所设数表A 下，证明前2k −1行前k 列中存在k 行k 列，其所有数的和大于等于k ， 设R′(i)=∑a k j=1(i,j)(i =1,2,…,2k −1)，则∑R 2k−1i=1′(i)=∑T kj=1(j)≥k ，不妨设R′(1)≥R′(2)≥R′(3)≥⋯≥R′(2k −1)， 1°.当R′(k)≥1时，∑R k i=1′(i)≥kR′(k)≥k ，2°.当R′(k)≤0时，R′(2k −1)≤R′(2k −2)≤⋯≤R′(k)≤0，所以∑R k i=1′(i)≥k −∑R 2k−1i=k+1′(i)≥k ，所以∑∑a k j=1k i=1′(i,j)=∑R ki=1′(i)≥k ， 综上所述，对于任意“n 阶非负数表”A ，均存在k 行k 列，使得这k 行k 列交叉处的k 2个数之和不小于k ．【解析】(Ⅰ)利用题中给出的新定义进行分析判断即可； (Ⅱ)记a(i,j)为数表A 中第i 行第j 列的数，则a(i,j)∈{1，−1}，不妨设R(1)≥R(2)≥R(3)≥R(4)≥R(5)，然后分当R(3)≥0、当R(3)<0分别进行证明即可；(Ⅲ)分成三种情况进行证明：①先证明数表A 中存在n −1行n 列(n =2k)，其所有数的和大于等于0，②由①及题意，不妨设数表A 前n −1行n 列(n =2k)，其所有数的和大于等于0，③在②所设数表A 下，证明前2k −1行前k 列中存在k 行k 列，其所有数的和大于等于k ，分别利用新定义分析证明即可．本题考查的是新定义问题，试题以求和的有关知识为背景设计问题，解决此类问题，关键是读懂题意，理解新定义的本质，把新情境下的概念、法则、运算化归到常规的数学背景中，运用相关的数学公式、定理、性质进行解答即可．。
2024北京海淀区高三(上)期末数学试题及答案
高三年级（数学）参考答案 第 1 页（共 9 页）海淀区2023—2024学年第一学期期末练习高三数学参考答案一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）（1）A（2）D （3）B （4）D （5）C （6）A （7）D （8）B （9）B （10）D二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）（ 11 ）5-（12）2 （13）1-（14）1 1（答案不唯一） （15）②④三、解答题（共6小题，共85分）（16）（共13分）解：（Ⅰ）连接1AD .在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧面11CDD C 为平行四边形，所以11//C D CD ，11C D CD =.因为//AB CD ，12CD AB =，M 为AB 中点， 所以//CD AM ，CD AM =.所以11//C D AM ，11C D AM =.所以四边形11MAD C 为平行四边形.所以11//MC AD .因为1C M ⊄平面11ADD A ，所以1//C M 平面11ADD A ． （Ⅱ）在正方形11ABB A 中，1AA AB ⊥.因为平面11ABB A ⊥平面ABCD ，所以1AA ⊥平面ABCD .所以1AA ⊥AD .因为1AD B M ⊥, 1B M ⊂平面11ABB A ，1B M 与1AA 相交，M D 1C 1B 1A 1D C B A高三年级（数学）参考答案 第 2 页（共 9 页）所以AD ⊥平面11ABB A .所以AD ⊥AB .如图建立空间直角坐标系A xyz -.不妨设1AD =，则(0,0,0)A ，1(1,2,1)C ，1(0,2,2)B ，(0,0,1)M . 所以1(1,2,1)AC =，11(1,0,1)C B =-，1(1,2,0)MC =. 设平面11MB C 的法向量为 (,,)x y z =n ，则 1110,0,C B MC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即0,20.x z x y -+=⎧⎨+=⎩ 令2x =，则1y =-，2z =.于是(2,1,2)=-n .因为111cos ,|||AC AC AC ⋅<>==⋅n n n |， 所以直线1AC 与平面11MB C高三年级（数学）参考答案 第 3 页（共 9 页）（17）（共14分）解：（Ⅰ）由正弦定理sin sin sin a b c A B C==及2cos 2c A b a =-，得 2sin cos 2sin sin C A B A =-. ①因为πA B C ++=，所以sin sin()sin cos cos sin B A C A C A C =+=+. ② 由①②得2sin cos sin 0A C A -=.因为(0,π)A ∈，所以sin 0A ≠. 所以1cos 2C =. 因为(0,π)C ∈， 所以π3C =. （Ⅱ）选条件②：1sin sin 2B A -=. 由（Ⅰ）知，π2ππ33B A A ∠=--∠=-∠. 所以2πsin sin sin()sin 3B A A A -=--11sin sin sin 22A A A A A =+-- πsin()3A =-. 所以π1sin()32A -=. 因为2π(0,)3A ∈，所以πππ(,)333A -∈-. 所以ππ36A -=，即π6A =. 所以ABC △是以AC 为斜边的直角三角形.因为c =所以2sin sin 3AB AC C ==.高三年级（数学）参考答案 第 4 页（共 9 页） 所以AC 边上的中线的长为1.选条件③：2222b a -=.由余弦定理得223a b ab +-=.AC 设边上的中线长为d ，由余弦定理得 2222cos 42b ab d a C =+-⋅ 2242b ab a =+- 2222234a b b a =-+-+1=. 所以AC 边上的中线的长为1.（18）（共13分）解：（Ⅰ）根据三人投篮得分统计数据，在10场比赛中，甲共获胜3场，分别是第3场，第8场，第10场.设A 表示“从10场比赛中随机选择一场，甲获胜”，则 3()10P A =.（Ⅱ）根据三人投篮得分统计数据，在10场比赛中，甲得分不低于10分的场次有6场，分别是第2场，第3场，第5场，第8场，第9场，第10场，其中乙得分大于丙得分的场次有4场，分别是第2场、第5场、第8场、第9场. 所以X 的所有可能取值为0，1，2．2024261(0)15C C P X C ===，1124268(1)15C C P X C ⋅===，0224262(2)5C C P X C ===. 所以X 的分布列为所以()012151553E X =⨯+⨯+⨯=. （Ⅲ）213()()()D Y D Y D Y >>.高三年级（数学）参考答案 第 5 页（共 9 页）（19）（共15分）解：（Ⅰ）由题意知3=a，2=c所以c 2224=-=b a c ． 所以椭圆E 的方程为22194+=x y ，其短轴长为4． （Ⅱ）设直线CD 的方程为1=+x my ， 11(,)C x y ，22(,)D x y ，则11(,)--M x y .由221,941⎧+=⎪⎨⎪=+⎩x y x my 得22(49)8320m y my ++-=. 所以122849-+=+my y m .由(3,0)A 得直线AM 的方程为11(3)3=-+y y x x . 由11(3),31⎧=-⎪+⎨⎪=+⎩y y x x x my 得11123y y x my -=+-.因为111=+x my ， 所以12y y =-，112()122y my x m -=-+=.所以112(,)22my yN --. 因为Q 为OD 的中点，且221=+x my ， 所以221(,)22my y Q +. 所以直线NQ 的斜率21221222121288492212()1812912249m y y y y m m k my my m y y m m m -+++====+-+--+--+. 当0m ≤时，0k ≤.高三年级（数学）参考答案 第 6 页（共 9 页）当0m >时，因为912m m +≥m .所以28129m k m =+.所以当m k（20）（共15分）解：（Ⅰ）①当1=a 时，2()sin (sin )f x x x x b x x x b =-+=-+.记()sin =-g x x x （0x ≥），则'()1cos 0=-≥g x x . 所以()g x 在[0,)+∞上是增函数. 所以当0>x 时，()(0)0>=g x g .所以当0>x 时，()(sin )f x x x x b b =-+>.②由2()sin =-+f x x x x b 得'()2sin cos f x x x x x =--，且'(0)0=f . 当0>x 时，'()(1cos )sin =-+-f x x x x x . 因为1cos 0-≥x ，sin 0->x x ， 所以'()0>f x .因为'()'()-=-f x f x 对任意∈R x 恒成立， 所以当0<x 时，'()0<f x . 所以0是()f x 的唯一极值点.（Ⅱ）设曲线()=y f x 与曲线cos =-y x 的两条互相垂直的“优切线”的切点的横坐标分别为1x ，2x ，其斜率分别为1k ，2k ，则121=-k k . 因为(cos )'sin x x -=， 所以1212sin sin 1⋅==-x x k k . 所以12{sin ,sin }{1,1}=-x x . 不妨设1sin 1=x ，则122π=π+x k ，∈Z k . 因为111111'()2sin cos ==--k f x ax x x x ，由“优切线”的定义可知111112sin cos sin --=ax x x x x .高三年级（数学）参考答案 第 7 页（共 9 页）所以1124==π+πa x k ，∈Z k . 由“优切线”的定义可知2111111sin cos x x x b x x ⋅-+=-， 所以0=b . 当24=π+πa k ，∈Z k ，0=b 时，取122π=π+x k ，222π=-π-x k ，则11()cos 0=-=f x x ，22()cos 0=-=f x x ，11'()sin 1==f x x ，22'()sin 1==-f x x ，符合题意. 所以24=π+πa k ，∈Z k ，0=b .（21）（共15分）解：（Ⅰ）1()10f A =,1()12H A =； 2()12f A =，2()15H A =．由定义可知：将数表A 中的每个数变为其相反数，或交换两行（列），()H A ，()f A 的值不变. 因为m 为奇数，{1,1}ij a ∈-，所以(1),(2),,()r r r m ，(1),(2),,()c c c m 均不为0.（Ⅱ）当{0,}s m ∈或{0,}t m ∈时，不妨设0s =，即()0r i <，1,2,,i m =.若0t =，结论显然成立； 若0t ≠，不妨设()0c j >，1,2,,j t =，则(,)i j H ∈，1,2,,i m =，1,2,,j t =.所以()H A mt ≥，结论成立.当{0,}s m ∉且{0,}t m ∉时，不妨设()0r i >，1,2,,i s =，()0c j >，1,2,,j t =，则当1s i m +≤≤时，()0r i <；当1t j m +≤≤时，()0c j <. 因为当1,2,,i s =，1,2,,j t t m =++时，()0r i >，()0c j <，所以2(())(())()()0ij ij ij a r i a c j a r i c j ⋅⋅⋅=⋅⋅<.高三年级（数学）参考答案 第 8 页（共 9 页）所以(,)i j H ∈.同理可得：(,)i j H ∈，1,2,,i s s m =++，1,2,,j t =.所以()()()2H A s m t m s t mt ms st ≥-+-=+-. （Ⅲ）当5m =时，()()H A f A 的最小值为89. 对于如下的数表A ，()8()9H A f A =. 下面证明：()8()9H A f A ≥. 设(1)r ，(2)r ，…，()r m 中恰有s 个正数，(1)c ，(2)c ，…，()c m 中恰有t 个正数，,{0,1,2,3,4,5}s t ∈.①若{0,5}s ∈或{0,5}t ∈，不妨设0s =，即()0r i <，1,2,,5i =.所以当1ij a =时，(,)i j H ∈.由A 中所有数不全相同，记数表A 中1的个数为a ，则1a ≥，且25(1)(2)(5)25(25)()22r r r a a f A a +++++--===，()H A a ≥.所以()81()9H A f A ≥>. ②由①设{0,5}s ∉且{0,5}t ∉.若{2,3}s ∈或{2,3}t ∈，不妨设2s =，则由（Ⅱ）中结论知：()51041011H A t t t ≥+-=+≥.因为25|(1)(2)(5)|0()122r r r f A -+++<=≤，所以()118()129H A f A ≥>. ③由①②设{0,2,3,5}s ∉且{0,2,3,5}t ∉.若{,}{1,4}s t =，则由（Ⅱ）中结论知：()25817H A ≥-=. 因为0()12f A <≤， 所以()178()129H A f A ≥>.高三年级（数学）参考答案 第 9 页（共 9 页）若s t =，{1,4}s ∈，不妨设1s t ==，(1)0r >，(1)0c >，且()1()H A f A <，由（Ⅱ）中结论知：()8H A ≥.所以()()8f A H A >≥.若数表A 中存在ij a （,{2,3,4,5}i j ∈）为1，将其替换为1-后得到数表'A . 因为(')()1H A H A =-，(')()1f A f A ≥-， 所以(')()1()(')()1()H A H A H A f A f A f A -≤<-. 所以将数表A 中第i 行第j 列（,2,3,4,5i j =）为1的数替换为1-后()()H A f A 值变小. 所以不妨设1ij a =-（,2,3,4,5i j =）. 因为()5528H A ≥+-=，()9f A ≤， 所以()8()9H A f A ≥.。
2020海淀区高三数学期末上学期试题及答案
海淀区高三年级第一学期期末练习数学 2020. 01本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}1,3,5A =，{}2,3,4B =，则集合UA B 是（A ）{1,3,5,6}（B ）{1,3,5}（C ）{1,3}（D ）{1,5}（2）抛物线24y x =的焦点坐标为 （A ）(0,1)（B ）(10，) （C ）(0,1-) （D ）(1,0)-（3）下列直线与圆22(1)(1)2x y -+-=相切的是（A ）y x =- （B ）y x =（C ）2y x =- （D ）2y x =（4）已知,a bR ，且a b ，则（A ）11ab（B ）sin sin a b（C ）11()()33ab （D ）22a b（5）在51()x x-的展开式中，3x 的系数为（A ）5 （B ）5 （C ）10 （D ）10（6）已知平面向量,,a b c 满足++=0a b c ，且||||||1===a b c ，则⋅a b 的值为（A ）12（B ）12（C ）32（D2（7）已知α, β, γ是三个不同的平面，且=m αγ，=n βγ，则“m n ∥”是“αβ∥”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（8）已知等边△ABC 边长为3. 点D 在BC 边上，且BD CD >，AD =下列结论中错误的是（A ）2BDCD= （B ）2ABDACDS S ∆∆= （C ）cos 2cos BADCAD∠=∠ （D ）sin 2sin BAD CAD ∠=∠ （9）声音的等级()f x （单位：dB ）与声音强度x （单位：2W/m ）满足12()10lg110x f x -=⨯⨯.喷气式飞机起飞时，声音的等级约为140dB ；一般说话时，声音的等级约为60dB ，那么喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的 （A ）610倍（B ）810倍（C ）1010倍（D ）1210倍杨浦区初三数学基础测试卷 20081A 1B 1C 1D ABCD1111ABCD A B C D 中，记平面11AB C D 为，平面ABCD 为，点P 是棱1CC 上一动点（与C ，1C 不重合），1[()]Q f f P ，2[()]Q f f P . 给出下列三个结论：①线段2PQ长度的取值范围是1[2；②存在点P 使得1PQ ∥平面；③存在点P 使得12PQ PQ .其中，所有正确结论的序号是 （A ）①②③（B ）②③（C ）①③（D ）①②第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
2019-2020学年北京海淀高三上学期数学期末考试试卷+答案解析+评分标准
（i）给出下列结论：
①曲线 C 为中心对称图形；
②曲线 C 为轴对称图形；
③当 m 1时，若点 P(x, y) 在曲线 C 上，则 | x | 1或 | y | 1.
其中，所有正确结论的序号是
.
（ii）当 m 2 时，若曲线 C 所围成的区域的面积小于 ，则 m 的值可以是
.
（写出一个即可）
（5）在 (x 1 )5 的展开式中， x3的系数为
x
（A） -5
（B） 5
（C） (1)a < (1)b 33
（C） -10
（D） a2 > b2 （D）10
（6）已知平面向量 a, b, c 满足 a b c 0 ，且 | a || b || c | 1 ，则 a b 的值为
（A） - 1 2
（B） 1 2
（C） - 3 2
（D） 3 2
（7）已知 , , 是三个不同的平面，且 =m ， =n ，则“ m∥n ”是“ ∥ ”的
（A）充分而不必要条件 （C）充分必要条件
（B）必要而不充分条件 （D）既不充分也不必要条件
（8）已知等边△ ABC 边长为 3. 点 D 在 BC 边上，且 BD CD ， AD 7 . 下列结论中错
（18）（本小题共 13 分）
如图，在三棱锥V ABC 中，平面VAC 平面 ABC ，△ ABC 和 △VAC 均是等腰直角三角形， AB BC ， AC CV 2 ， M ， N 分别为VA , VB 的中点. （Ⅰ）求证： AB// 平面 CMN ； （Ⅱ）求证： AB VC ； （Ⅲ）求直线VB 与平面 CMN 所成角的正弦值.
（22）（本小题共 14 分） 给定整数 n(n 2) ，数列 A2n1：x1, x2 ,, x2n1 每项均为整数，在 A2n1 中去掉一项
2020-2021学年第一学期高三数学期末练习参考答案及评分说明
（19）（本小题共 14 分）
解：（Ⅰ）因为 椭圆W 经过点 C(2, 3) ，
所以 4 3 1 . a2 b2
因为 椭圆W 的离心率为 3 ， 2
所以 c 3 ，其中 a2 b2 c2 . a2
所以
a 4, b 2.
所以 椭圆W 的方程为 x2 y2 1 ，长轴长 2a 8 . 16 4
所以 cos B cos(π (A C)) cos(A C) sin Asin C cos Acos C
3 3 3 1 13 11 . 2 14 2 14 14
所以 sin B 1 cos2 B 5 3 . 14
因为 b cos A 5 ， 2
5
所以
b
2 1
5
.
2
3 由正弦定理得 a sin A b 2 5 7 .
数学答案 第 4 页（共 8 页）
当直线 CD 的斜率存在时，由题意可设直线 CD 的方程为 y 3 k(x 2) ，
sin B 5 3
14
数学答案 第 3 页（共 8 页）
（18）（本小题共 14 分） 解：（Ⅰ）由图表知，2013~2020 年中，产品的平均利润小于 100 元/台的年份只有 2015 年，2016 年. 所以 从 2013~2020 年中随机抽取一年，该年生产的产品的平均利润不小于 100 元/台的概率为 6 0.75 ． 8 （Ⅱ）由图表知，2013~2020 年中，返修率超过千分之一的年份只有 2013，2015 年， 所以 的所有可能取值为1, 2, 3 ．
所以 cos n, AB n AB 2 10 . | n || AB | 5 2 2 10
所以
直线 AB 与平面 B1C1D 所成角的正弦值为
北京海淀区高三上学期期末考试数学试题含答案
海淀区高三年级第一学期期末练习数学 2020. 01本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}1,3,5A =，{}2,3,4B =，则集合U A B ð是（A ）{1,3,5,6}（B ）{1,3,5} （C ）{1,3} （D ）{1,5}（2）抛物线24y x =的焦点坐标为 （A ）(0,1)（B ）(10，) （C ）(0,1-) （D ）(1,0)-（3）下列直线与圆22(1)(1)2x y -+-=相切的是（A ）y x =- （B ）y x =（C ）2y x =- （D ）2y x =（4）已知,a b R Î，且a b >，则 （A ）11ab <（B ）sin sin a b >（C ）11()()33ab<（D ）22a b >（5）在51()x x-的展开式中，3x 的系数为 （A ）5-（B ）5（C ）10-（D ）10（6）已知平面向量,,a b c 满足++=0a b c ，且||||||1===a b c ，则⋅a b 的值为（A ）12-（B ）12（C）2-（D2（7）已知α, β, γ是三个不同的平面，且=m αγ，=n βγ，则“m n ∥”是“αβ∥”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（8）已知等边△ABC 边长为3. 点D 在BC 边上，且BD CD >，AD =下列结论中错误的是（A ）2BDCD= （B ）2ABDACDS S ∆∆= （C ）cos 2cos BADCAD∠=∠ （D ）sin 2sin BAD CAD ∠=∠（9）声音的等级()f x （单位：dB ）与声音强度x （单位：2W/m ）满足12()10lg110x f x -=⨯⨯.喷气式飞机起飞时，声音的等级约为140dB ；一般说话时，声音的等级约为60dB ，那么喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的 （A ）610倍（B ）810倍（C ）1010倍（D ）1210倍（10）若点N 为点M 在平面a 上的正投影，则记()N f M a =. 如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，记平面11AB C D 为b ，平面ABCD 为g ，点P 是棱1CC 上一动点（与C ，1C 不重合），1[()]Q f f P g b =，2[()]Q f f P b g =. 给出下列三个结论：①线段2PQ长度的取值范围是1[22；②存在点P 使得1PQ ∥平面b ； ③存在点P 使得12PQ PQ ^. 其中，所有正确结论的序号是 （A ）①②③（B ）②③（C ）①③（D ）①②第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
2020海淀区高三数学期末上学期试题及答案
海淀区高三年级第一学期期末练习数 学 2020. 01本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}1,3,5A =，{}2,3,4B =，则集合UA B 是（A ）{1,3,5,6}（B ）{1,3,5}（C ）{1,3}（D ）{1,5}（2）抛物线24y x =的焦点坐标为 （A ）(0,1)（B ）(10，) （C ）(0,1-) （D ）(1,0)-（3）下列直线与圆22(1)(1)2x y -+-=相切的是（A ）y x =- （B ）y x =（C ）2y x =- （D ）2y x =（4）已知,a bR ，且a b ，则（A ）11ab（B ）sin sin a b（C ）11()()33ab （D ）22a b（5）在51()x x-的展开式中，3x 的系数为（A ）5 （B ）5 （C ）10 （D ）10（6）已知平面向量,,a b c 满足++=0a b c ，且||||||1===a b c ，则⋅a b 的值为（A ）12（B ）12（C ）32（D2（7）已知α, β, γ是三个不同的平面，且=m αγ，=n βγ，则“m n ∥”是“αβ∥”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（8）已知等边△ABC 边长为3. 点D 在BC 边上，且BD CD >，AD =下列结论中错误的是（A ）2BDCD= （B ）2ABDACDS S ∆∆= （C ）cos 2cos BADCAD∠=∠ （D ）sin 2sin BAD CAD ∠=∠ （9）声音的等级()f x （单位：dB ）与声音强度x （单位：2W/m ）满足12()10lg110x f x -=⨯⨯.喷气式飞机起飞时，声音的等级约为140dB ；一般说话时，声音的等级约为60dB ，那么喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的 （A ）610倍（B ）810倍（C ）1010倍（D ）1210倍（10）若点N 为点M 在平面上的正投影，则记()Nf M . 如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D 中，记平面11AB C D 为，平面ABCD 为，点P 是棱1CC 上一动点（与C ，1C 不重合），1[()]Q f f P ，2[()]Q f f P . 给出下列三个结论：①线段2PQ 长度的取值范围是1[)22；②存在点P 使得1PQ ∥平面；③存在点P 使得12PQ PQ .其中，所有正确结论的序号是 （A ）①②③（B ）②③（C ）①③（D ）①②第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
北京市海淀区2023-2024学年高三上学期期末考试数学含答案
高三年级（数学）参考答案 第 1 页（共 9 页）海淀区2023—2024学年第一学期期末练习高三数学参考答案一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）（1）A（2）D （3）B （4）D （5）C （6）A （7）D （8）B （9）B （10）D二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）（ 11 ）5-（12）2 （13）1-（14）1 1（答案不唯一） （15）②④三、解答题（共6小题，共85分）（16）（共13分）解：（Ⅰ）连接1AD .在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧面11CDD C 为平行四边形，所以11//C D CD ，11C D CD =.因为//AB CD ，12CD AB =，M 为AB 中点， 所以//CD AM ，CD AM =.所以11//C D AM ，11C D AM =.所以四边形11MAD C 为平行四边形.所以11//MC AD .因为1C M ⊄平面11ADD A ，所以1//C M 平面11ADD A ． （Ⅱ）在正方形11ABB A 中，1AA AB ⊥.因为平面11ABB A ⊥平面ABCD ，所以1AA ⊥平面ABCD .所以1AA ⊥AD .因为1AD B M ⊥, 1B M ⊂平面11ABB A ，1B M 与1AA 相交，M D 1C 1B 1A 1D C B A高三年级（数学）参考答案 第 2 页（共 9 页）所以AD ⊥平面11ABB A .所以AD ⊥AB .如图建立空间直角坐标系A xyz -.不妨设1AD =，则(0,0,0)A ，1(1,2,1)C ，1(0,2,2)B ，(0,0,1)M . 所以1(1,2,1)AC =，11(1,0,1)C B =-，1(1,2,0)MC =. 设平面11MB C 的法向量为 (,,)x y z =n ，则 1110,0,C B MC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即0,20.x z x y -+=⎧⎨+=⎩ 令2x =，则1y =-，2z =.于是(2,1,2)=-n .因为111cos ,|||AC AC AC ⋅<>==⋅n n n |， 所以直线1AC 与平面11MB C高三年级（数学）参考答案 第 3 页（共 9 页）（17）（共14分）解：（Ⅰ）由正弦定理sin sin sin a b c A B C==及2cos 2c A b a =-，得 2sin cos 2sin sin C A B A =-. ①因为πA B C ++=，所以sin sin()sin cos cos sin B A C A C A C =+=+. ② 由①②得2sin cos sin 0A C A -=.因为(0,π)A ∈，所以sin 0A ≠. 所以1cos 2C =. 因为(0,π)C ∈， 所以π3C =. （Ⅱ）选条件②：1sin sin 2B A -=. 由（Ⅰ）知，π2ππ33B A A ∠=--∠=-∠. 所以2πsin sin sin()sin 3B A A A -=--11sin sin sin 22A A A A A =+-- πsin()3A =-. 所以π1sin()32A -=. 因为2π(0,)3A ∈，所以πππ(,)333A -∈-. 所以ππ36A -=，即π6A =. 所以ABC △是以AC 为斜边的直角三角形.因为c =所以2sin sin 3AB AC C ==.高三年级（数学）参考答案 第 4 页（共 9 页） 所以AC 边上的中线的长为1.选条件③：2222b a -=.由余弦定理得223a b ab +-=.AC 设边上的中线长为d ，由余弦定理得 2222cos 42b ab d a C =+-⋅ 2242b ab a =+- 2222234a b b a =-+-+1=. 所以AC 边上的中线的长为1.（18）（共13分）解：（Ⅰ）根据三人投篮得分统计数据，在10场比赛中，甲共获胜3场，分别是第3场，第8场，第10场.设A 表示“从10场比赛中随机选择一场，甲获胜”，则 3()10P A =.（Ⅱ）根据三人投篮得分统计数据，在10场比赛中，甲得分不低于10分的场次有6场，分别是第2场，第3场，第5场，第8场，第9场，第10场，其中乙得分大于丙得分的场次有4场，分别是第2场、第5场、第8场、第9场. 所以X 的所有可能取值为0，1，2．2024261(0)15C C P X C ===，1124268(1)15C C P X C ⋅===，0224262(2)5C C P X C ===. 所以X 的分布列为所以()012151553E X =⨯+⨯+⨯=. （Ⅲ）213()()()D Y D Y D Y >>.高三年级（数学）参考答案 第 5 页（共 9 页）（19）（共15分）解：（Ⅰ）由题意知3=a，2=c所以c 2224=-=b a c ． 所以椭圆E 的方程为22194+=x y ，其短轴长为4． （Ⅱ）设直线CD 的方程为1=+x my ， 11(,)C x y ，22(,)D x y ，则11(,)--M x y .由221,941⎧+=⎪⎨⎪=+⎩x y x my 得22(49)8320m y my ++-=. 所以122849-+=+my y m .由(3,0)A 得直线AM 的方程为11(3)3=-+y y x x . 由11(3),31⎧=-⎪+⎨⎪=+⎩y y x x x my 得11123y y x my -=+-.因为111=+x my ， 所以12y y =-，112()122y my x m -=-+=.所以112(,)22my yN --. 因为Q 为OD 的中点，且221=+x my ， 所以221(,)22my y Q +. 所以直线NQ 的斜率21221222121288492212()1812912249m y y y y m m k my my m y y m m m -+++====+-+--+--+. 当0m ≤时，0k ≤.高三年级（数学）参考答案 第 6 页（共 9 页）当0m >时，因为912m m +≥m .所以28129m k m =+.所以当m k（20）（共15分）解：（Ⅰ）①当1=a 时，2()sin (sin )f x x x x b x x x b =-+=-+.记()sin =-g x x x （0x ≥），则'()1cos 0=-≥g x x . 所以()g x 在[0,)+∞上是增函数. 所以当0>x 时，()(0)0>=g x g .所以当0>x 时，()(sin )f x x x x b b =-+>.②由2()sin =-+f x x x x b 得'()2sin cos f x x x x x =--，且'(0)0=f . 当0>x 时，'()(1cos )sin =-+-f x x x x x . 因为1cos 0-≥x ，sin 0->x x ， 所以'()0>f x .因为'()'()-=-f x f x 对任意∈R x 恒成立， 所以当0<x 时，'()0<f x . 所以0是()f x 的唯一极值点.（Ⅱ）设曲线()=y f x 与曲线cos =-y x 的两条互相垂直的“优切线”的切点的横坐标分别为1x ，2x ，其斜率分别为1k ，2k ，则121=-k k . 因为(cos )'sin x x -=， 所以1212sin sin 1⋅==-x x k k . 所以12{sin ,sin }{1,1}=-x x . 不妨设1sin 1=x ，则122π=π+x k ，∈Z k . 因为111111'()2sin cos ==--k f x ax x x x ，由“优切线”的定义可知111112sin cos sin --=ax x x x x .高三年级（数学）参考答案 第 7 页（共 9 页）所以1124==π+πa x k ，∈Z k . 由“优切线”的定义可知2111111sin cos x x x b x x ⋅-+=-， 所以0=b . 当24=π+πa k ，∈Z k ，0=b 时，取122π=π+x k ，222π=-π-x k ，则11()cos 0=-=f x x ，22()cos 0=-=f x x ，11'()sin 1==f x x ，22'()sin 1==-f x x ，符合题意. 所以24=π+πa k ，∈Z k ，0=b .（21）（共15分）解：（Ⅰ）1()10f A =,1()12H A =； 2()12f A =，2()15H A =．由定义可知：将数表A 中的每个数变为其相反数，或交换两行（列），()H A ，()f A 的值不变. 因为m 为奇数，{1,1}ij a ∈-，所以(1),(2),,()r r r m ，(1),(2),,()c c c m 均不为0.（Ⅱ）当{0,}s m ∈或{0,}t m ∈时，不妨设0s =，即()0r i <，1,2,,i m =.若0t =，结论显然成立； 若0t ≠，不妨设()0c j >，1,2,,j t =，则(,)i j H ∈，1,2,,i m =，1,2,,j t =.所以()H A mt ≥，结论成立.当{0,}s m ∉且{0,}t m ∉时，不妨设()0r i >，1,2,,i s =，()0c j >，1,2,,j t =，则当1s i m +≤≤时，()0r i <；当1t j m +≤≤时，()0c j <. 因为当1,2,,i s =，1,2,,j t t m =++时，()0r i >，()0c j <，所以2(())(())()()0ij ij ij a r i a c j a r i c j ⋅⋅⋅=⋅⋅<.高三年级（数学）参考答案 第 8 页（共 9 页）所以(,)i j H ∈.同理可得：(,)i j H ∈，1,2,,i s s m =++，1,2,,j t =.所以()()()2H A s m t m s t mt ms st ≥-+-=+-. （Ⅲ）当5m =时，()()H A f A 的最小值为89. 对于如下的数表A ，()8()9H A f A =. 下面证明：()8()9H A f A ≥. 设(1)r ，(2)r ，…，()r m 中恰有s 个正数，(1)c ，(2)c ，…，()c m 中恰有t 个正数，,{0,1,2,3,4,5}s t ∈.①若{0,5}s ∈或{0,5}t ∈，不妨设0s =，即()0r i <，1,2,,5i =.所以当1ij a =时，(,)i j H ∈.由A 中所有数不全相同，记数表A 中1的个数为a ，则1a ≥，且25(1)(2)(5)25(25)()22r r r a a f A a +++++--===，()H A a ≥.所以()81()9H A f A ≥>. ②由①设{0,5}s ∉且{0,5}t ∉.若{2,3}s ∈或{2,3}t ∈，不妨设2s =，则由（Ⅱ）中结论知：()51041011H A t t t ≥+-=+≥.因为25|(1)(2)(5)|0()122r r r f A -+++<=≤，所以()118()129H A f A ≥>. ③由①②设{0,2,3,5}s ∉且{0,2,3,5}t ∉.若{,}{1,4}s t =，则由（Ⅱ）中结论知：()25817H A ≥-=. 因为0()12f A <≤， 所以()178()129H A f A ≥>.高三年级（数学）参考答案 第 9 页（共 9 页）若s t =，{1,4}s ∈，不妨设1s t ==，(1)0r >，(1)0c >，且()1()H A f A <，由（Ⅱ）中结论知：()8H A ≥.所以()()8f A H A >≥.若数表A 中存在ij a （,{2,3,4,5}i j ∈）为1，将其替换为1-后得到数表'A . 因为(')()1H A H A =-，(')()1f A f A ≥-， 所以(')()1()(')()1()H A H A H A f A f A f A -≤<-. 所以将数表A 中第i 行第j 列（,2,3,4,5i j =）为1的数替换为1-后()()H A f A 值变小. 所以不妨设1ij a =-（,2,3,4,5i j =）. 因为()5528H A ≥+-=，()9f A ≤， 所以()8()9H A f A ≥.。
2020海淀区高三数学期末上学期试题及答案
海淀区高三年级第一学期期末练习数学 2020. 01本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}1,3,5A =，{}2,3,4B =，则集合UA B 是（A ）{1,3,5,6}（B ）{1,3,5} （C ）{1,3} （D ）{1,5}（2）抛物线24y x =的焦点坐标为 （A ）(0,1)（B ）(10，) （C ）(0,1-) （D ）(1,0)-（3）下列直线与圆22(1)(1)2x y -+-=相切的是（A ）y x =- （B ）y x =（C ）2y x =- （D ）2y x =（4）已知,a b R ，且a b ，则（A ）11a b（B ）sin sin a b（C ）11()()33ab （D ）22a b（5）在51()x x-的展开式中，3x 的系数为 （A ）5（B ）5（C ）10（D ）10（6）已知平面向量,,a b c 满足++=0a b c ，且||||||1===a b c ，则⋅a b 的值为（A ）12（B ）12（C ）32（D 2（7）已知α, β, γ是三个不同的平面，且=m αγ，=n βγ，则“m n ∥”是“αβ∥”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（8）已知等边△ABC 边长为3. 点D 在BC 边上，且BD CD >，AD =下列结论中错误的是（A ）2BDCD= （B ）2ABDACDS S ∆∆= （C ）cos 2cos BADCAD∠=∠ （D ）sin 2sin BAD CAD ∠=∠（9）声音的等级()f x （单位：dB ）与声音强度x （单位：2W/m ）满足12()10lg110x f x -=⨯⨯.喷气式飞机起飞时，声音的等级约为140dB ；一般说话时，声音的等级约为60dB ，那么喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的 （A ）610倍（B ）810倍（C ）1010倍（D ）1210倍（10）若点N 为点M 在平面上的正投影，则记()Nf M . 如图，在棱长为1的正方体1111ABCDA B C D 中，记平面11AB C D 为，平面ABCD 为，点P 是棱1CC 上一动点（与C ，1C 不重合），1[()]Q f f P ，2[()]Q f f P . 给出下列三个结论：①线段2PQ长度的取值范围是1[2；②存在点P 使得1PQ ∥平面；③存在点P 使得12PQ PQ .其中，所有正确结论的序号是（A ）①②③（B ）②③（C ）①③（D ）①②第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
【数学】北京市海淀区2020届高三上学期期末考试 数学试题
北京市海淀区2020届高三上学期期末数学试题一、单选题1．已知集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}13,5A =,，{}2,3,4B =，则集合U A B I ð是( ) A ．{1,3,5,6} B ．{1,3,5}C ．{1,3}D ．{1,5}【答案】D【解析】利用补集和交集的定义可求出集合U A B I ð. 【详解】集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}13,5A =,，{}2,3,4B =，则{}1,5,6U B =ð， 因此，{}1,5U A B =I ð. 故选：D. 【点睛】本题考查交集与补集的混合运算，熟悉交集和补集的定义是解题的关键，考查计算能力，属于基础题.2．抛物线24y x =的焦点坐标为（ ）A ．()1,0-B ．()1,0C ．()0,1-D ．()0,1 【答案】B【解析】解：由 抛物线方程的特点可知，抛物线的焦点位于x 轴正半轴，由24p = ，可得： 12p= ，即焦点坐标为()1,0 . 本题选择B 选项.3．下列直线与圆()()22112x y -+-=相切的是（ ） A ．y x =-B ．y x =C ．2y x =-D ．2y x =【答案】A【解析】观察到选项中的直线都过原点，且圆也过原点，只需求出圆在原点处的切线方程即可. 【详解】由于选项中各直线均过原点，且原点在圆上， 圆心坐标为()1,1，圆心与原点连线的斜率为1，所以，圆()()22112x y -+-=在原点处的切线方程为y x =-. 故选：A. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的判断，考查计算能力，属于基础题. 4．已知a 、b R ∈，且a b >，则（ ）A ．11a b<B ．sin sin a b >C ．1133a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．22a b >【答案】C【解析】利用特殊值法和函数单调性可判断出各选项中不等式的正误. 【详解】对于A 选项，取1a =，1b =-，则a b >成立，但11a b>，A 选项错误； 对于B 选项，取a π=，0b =，则a b >成立，但sin sin0π=，即sin sin a b =，B 选项错误；对于C 选项，由于指数函数13x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，若a b >，则1133a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，C 选项正确；对于D 选项，取1a =，2b =-，则a b >，但22a b <，D 选项错误. 故选：C. 【点睛】本题考查不等式正误的判断，常用特殊值法、函数单调性与不等式的性质进行判断，考查推理能力，属于中等题.5．在51x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，3x 的系数为（ ）A ．5-B ．5C ．10-D ．10【答案】A【解析】写出二项展开式的通项，令x 的指数为3，求出参数的值，代入通项即可计算出3x 的系数. 【详解】51x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式通项为()5525511kk k k kk C x C x x --⎛⎫⋅⋅-=⋅-⋅ ⎪⎝⎭，令523k -=，得1k =. 因此，3x 的系数为()1515C ⋅-=-.故选：A. 【点睛】本题考查二项展开式中指定项系数的求解，解题时要熟练利用二项展开式通项计算，考查计算能力，属于基础题.6．已知平面向量a r 、b r 、c r 满足0a b c ++=r r r r ，且1a b c ===r r r ，则a b ⋅r r的值为（ ）A ．12-B ．12C ．D 【答案】A【解析】由等式0a b c ++=r r r r 得a b c +=-r r r ，等式两边平方可求出a b ⋅r r的值.【详解】由0a b c ++=r r r r 可得a b c +=-r r r，等式两边平方得2222c a b a b =++⋅r r r r r，即221a b ⋅+=r r，因此，12a b ⋅=-r r .故选：A. 【点睛】本题考查平面向量数量积的计算，解题的关键就是对等式进行变形，考查计算能力，属于中等题. 7．已知α、β、γ是三个不同的平面，且m αγ=I ，n βγ=I ，则“//m n ”是“//αβ”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】根据几何模型与面面平行的性质定理，结合充分条件和必要条件的定义可判断出“//m n ”是“//αβ”的必要而不充分条件. 【详解】如下图所示，将平面α、β、γ视为三棱柱的三个侧面，设a αβ⋂=，将a 、m 、n 视为三棱柱三条侧棱所在直线，则“//m n ”⇒“//αβ”；另一方面，若//αβ，且m αγ=I ，n βγ=I ，由面面平行的性质定理可得出//m n . 所以，“//αβ”⇒“//m n ”，因此，“//m n ”是“//αβ”的必要而不充分条件. 故选：B. 【点睛】本题考查必要不充分条件的判断，同时也考查了空间中平行关系的判断，考查推理能力，属于中等题.8．已知等边ABC ∆边长为3，点D 在BC 边上，且BD CD >，7AD =.下列结论中错误的是（ ） A ．2BDCD= B ．2ABDACDS S ∆∆= C ．cos 2cos BADCAD ∠=∠D ．sin 2sin BADCAD∠=∠【答案】C【解析】利用余弦定理计算出BD ，结合正弦定理等三角形知识可对各选项的正误进行判断. 【详解】 如下图所示：点D 在BC 边上，且BD CD >，1322BD BC ∴>=， 由余弦定理得2222cos3AD AB BD AB BD π=+-⋅⋅，整理得2320BD BD -+=，32BD >Q ，解得2BD =，1CD =∴，则2ABD ACD S BD S CD ∆∆==， 由正弦定理得sin sin sin 3BD AD CDBADCAD π==∠∠，所以，sin 2sin BAD BD CAD CD∠==∠. 由余弦定理得22227cos 27AB AD BD BAD AB AD +-∠==⋅，同理可得57cos 14CAD ∠=， 则cos 2742cos 557BAD CAD ∠==≠∠.故选：C. 【点睛】本题考查三角形线段长、面积以及三角函数值比值的计算，涉及余弦定理以及正弦定理的应用，考查计算能力，属于中等题.9．声音的等级()f x （单位：dB ）与声音强度x （单位：2/W m ）满足()1210lg110xf x -=⨯⨯. 喷气式飞机起飞时，声音的等级约为140dB ；一般说话时，声音的等级约为60dB ，那么喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的（ ） A ．610倍 B ．810倍C ．1010倍D ．1210倍【答案】B【解析】设喷气式飞机起飞时声音强度和一般说话时声音强度分别为1x 、2x ，根据题意得出()1140f x =，()260f x =，计算出1x 和2x 的值，可计算出12xx 的值. 【详解】设喷气式飞机起飞时声音强度和一般说话时声音强度分别为1x 、2x ， 由题意可得()111210lg140110x f x -=⨯=⨯，解得2110x =， ()221210lg 60110x f x -=⨯=⨯，解得6210x -=，所以，81210x x =， 因此，喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的810倍， 故选：B. 【点睛】本题考查对数函数模型的应用，同时也涉及了指数与对数式的互化，考查计算能力，属于中等题. 10．若点N 为点M 在平面α上的正投影，则记()N f M α=.如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，记平面11AB C D 为β，平面ABCD 为γ，点P 是棱1CC 上一动点（与C 、1C 不重合）()1Q f f P γβ⎡⎤=⎣⎦，()2Q f f P βγ⎡⎤=⎣⎦.给出下列三个结论：①线段2PQ 长度的取值范围是12,22⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭； ②存在点P 使得1//PQ 平面β； ③存在点P 使得12PQ PQ ^.其中，所有正确结论的序号是（ ） A ．①②③ B ．②③C ．①③D ．①②【答案】D【解析】以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 轴、y 轴、轴建立空间直角坐标系D xyz -，设点P 的坐标为()()0,1,01a a <<，求出点1Q 、2Q 的坐标，然后利用向量法判断出命题①②③的正误. 【详解】取1C D 的中点2Q ，过点P 在平面11AB C D 内作1PE C D ⊥，再过点E 在平面11CC D D 内作1EQ CD ⊥，垂足为点1Q .在正方体1111ABCD A B C D -中，AD ⊥平面11CC D D ，PE ⊂平面11CC D D ，PE AD ⊥∴， 又1PE C D ⊥Q ，1AD C D D =I ，PE ∴⊥平面11AB C D ，即PE β⊥，()f P E β∴=， 同理可证1EQ γ⊥，CQ β⊥，则()()1f f P f E Q γβγ⎡⎤==⎣⎦，()()2f f P f C Q βγβ⎡⎤==⎣⎦. 以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 轴、y 轴、轴建立空间直角坐标系D xyz -，设()01CP a a =<<，则()0,1,P a ，()0,1,0C ，110,,22a a E ++⎛⎫ ⎪⎝⎭，110,,02a Q +⎛⎫ ⎪⎝⎭，2110,,22Q ⎛⎫⎪⎝⎭.对于命题①，2PQ =，01a <<Q ，则111222a -<-<，则211024a ⎛⎫≤-< ⎪⎝⎭，所以，21,22PQ ⎡⎫=⎪⎢⎪⎣⎭，命题①正确； 对于命题②，2CQ β⊥Q ，则平面β的一个法向量为2110,,22CQ ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u u r ，110,,2a PQ a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u u r ，令211130424a a a CQ PQ --⋅=-==u u u u r u u u u r ，解得()10,13a =∈，所以，存在点P 使得1//PQ 平面β，命题②正确；对于命题③，21120,,22a PQ -⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u u r ，令()12211042a a a PQ PQ --⋅=+=u u u u r u u u u r ， 整理得24310a a -+=，该方程无解，所以，不存在点P 使得12PQ PQ ^，命题③错误. 故选：D. 【点睛】本题考查立体几何中线面关系、线线关系的判断，同时也涉及了立体几何中的新定义，利用空间向量法处理是解题的关键，考查推理能力，属于中等题.二、填空题11．在等差数列{}n a 中,若255,2a a ==,则7a = . 【答案】0【解析】试题分析：设等差数列{}n a 的公差为d ，由已知得5233a a d -==-，所以1d =-，所以725550a a d =+=-=．【考点】等差数列的通项公式. 12．若复数1i iz +=，则z =_________.【解析】利用复数的除法法则将复数表示为一般形式，然后利用复数的模长公式可计算出z 的值. 【详解】()()21111i i i z i i i i i ++===-+=-Q ，因此，z ==. 【点睛】本题考查复数模的计算，同时也考查了复数的除法运算，考查计算能力，属于基础题.13．已知点(A ，点B 、C 分别为双曲线()222103x y a a -=>的左、右顶点.若ABC ∆为正三角形，则该双曲线的离心率为_________. 【答案】2【解析】根据ABC ∆为等边三角形求出a 的值，可求出双曲线的焦距，即可得出双曲线的离心率. 【详解】由于ABC ∆为正三角形，则tan OA ABC OB∠===1a =.所以，双曲线的半焦距为2c ==，因此，该双曲线的离心率为221c e a ===. 故答案为：2. 【点睛】本题考查双曲线离心率的计算，解题的关键就是求出双曲线方程中的几何量，考查计算能力，属于基础题.14．已知函数()af x x x=+在区间()1,4上存在最小值，则实数a 的取值范围是_________. 【答案】()1,16【解析】由题意可知，函数()y f x =在区间()1,4上存在极小值，分0a ≤和0a >两种情况讨论，分析函数()y f x =在区间()1,4上的单调性，在0a >时求出函数()y f x =的极值点x =得出14<<，解出即可.【详解】()a f x x x =+Q ，()2221a x af x x x-'=-=. 当0a ≤时，对任意的()1,4x ∈，()0f x '>，此时，函数()y f x =在区间()1,4上为增函数，则函数()y f x =在区间()1,4上没有最小值；当0a >时，令()220x af x x-'==，可得x =当0x <<()0f x '<，当x ()0f x '>，此时，函数()y f x =的极小值点为x =14<<，解得116a <<.因此，实数a 的取值范围是()1,16. 故答案为：()1,16. 【点睛】本题考查利用函数的最值点求参数，解题时要熟悉函数的最值与导数之间的关系，考查运算求解能力，属于中等题.15．用“五点法”作函数()()sin f x A x =+ωϕ的图象时，列表如下：则()1f -=_________，()102f f ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭_________. 【答案】2- 0【解析】根据表格中的数据求出A 、ω、ϕ的值，可得出函数()y f x =的解析式，然后代值计算可得出()1f -和()102f f ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的值. 【详解】由表格中的数据可知，()max 2A f x ==， 函数()y f x =的最小正周期为111344T ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，223T ππω∴==，()22sin 3f x x πϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当12x =时，则21322ππϕ⨯+=，解得6π=ϕ， 则()22sin 36f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭，()212sin 2sin 2632f πππ⎛⎫⎛⎫∴-=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()102sin 2sin 0266f f ππ⎛⎫⎛⎫+-=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：2-；0. 【点睛】本题考查三角函数值的计算，解题的关键就是利用表格中的数据求出函数解析式，考查计算能力，属于中等题.16．已知曲线4422:1C x y mx y ++=（m 为常数）. （i ）给出下列结论： ①曲线C 为中心对称图形； ②曲线C 为轴对称图形；③当1m =-时，若点(),P x y 在曲线C 上，则1x ≥或1y ≥. 其中，所有正确结论的序号是_________.（ii ）当2m >-时，若曲线C 所围成的区域的面积小于π，则m 的值可以是_________.（写出一个即可）【答案】①②③ 2m >均可【解析】（i ）在曲线C 上任取一点(),P x y ，将点()1,P x y --、()2,P x y -、()3,P x y -代入曲线C 的方程，可判断出命题①②的正误，利用反证法和不等式的性质可判断出命题③的正误；（ii ）根据2m =时，配方得出221x y +=，可知此时曲线C 为圆，且圆的面积为π，从而得知当2m >时，曲线C 所表示的图形面积小于π. 【详解】（i ）在曲线C 上任取一点(),P x y ，则44221x y mx y ++=，将点()1,P x y --代入曲线C 的方程可得()()()()44221x y m x y -+-+--=，同理可知，点()2,P x y -、()3,P x y -都在曲线C 上，则曲线C 关于原点和坐标轴对称，命题①②正确.当1m =-时，2442222213124x y x y x y y ⎛⎫=+-=-+ ⎪⎝⎭，反设1x <且1y <，则201x ≤<，201y ≤<，所以，22111222x y -<-<，则22211024x y ⎛⎫≤-< ⎪⎝⎭，所以，2442222213124x y x y x y y ⎛⎫+-=-+< ⎪⎝⎭，这与44221x y x y +-=矛盾.假设不成立，所以，1x ≥或1y ≥，命题③正确；（ii ）当2m =时，曲线C 的方程为442221x y x y ++=，即()2221x y +=，即221x y +=，此时，曲线C 表示半径为1的圆，其面积为π.当2m >时，且当0xy ≠时，在圆221x y +=上任取一点(),P x y ，则()2224422442212x y x y x y x y mx y =+=++<++，则点P 在曲线外，所以，曲线C 的面积小于圆的面积π.故答案为：①②③；2m >均可. 【点睛】本题考查曲线中的新定义，涉及曲线的对称性以及曲线面积相关的问题，考查推理能力，属于难题.三、解答题17．已知函数()21cos cos 2f x x x x =+-.（Ⅰ）求函数()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）若()f x 在区间[]0,m 上的最大值为1，求m 的最小值. 【答案】（Ⅰ）(),36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；（Ⅱ）6π. 【解析】（Ⅰ）利用二倍角的降幂公式以及辅助角公式将函数()y f x =的解析式变形为()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭，然后解不等式()222262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈，即可得出函数()y f x =的单调递增区间；（Ⅱ）由[]0,x m ∈，2,2666x m πππ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，结合题意得出262m ππ+≥，即可求出实数m 的最小值. 【详解】（Ⅰ）()1cos 21122cos 2sin 22226x f x x x x x π+⎛⎫=-=+=+ ⎪⎝⎭， 因为sin y x =的单调递增区间为()2,222k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ， 令()22,2622x k k k πππππ⎡⎤+∈-+∈⎢⎥⎣⎦Z ，得(),36x k k k ππππ⎡⎤∈-+∈⎢⎥⎣⎦Z . 所以函数()y f x =的单调递增区间为(),36k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ； （Ⅱ）因为[]0,x m ∈，所以2,2666x m πππ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦. 又因为[]0,x m ∈，()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭的最大值为1， 所以262m ππ+≥，解得6m π≥，所以m 的最小值为6π. 【点睛】本题考查三角函数的单调性以及最值的求解，解题的关键就是利用三角恒等变换思想将三角函数解析式化简，考查计算能力，属于中等题.18．如图，在三棱锥V ABC -中，平面VAC ⊥平面ABC ，ABC ∆和VAC ∆均是等腰直角三角形，AB BC =，2AC CV ==，M 、N 分别为VA 、VB 的中点.（Ⅰ）求证：//AB 平面CMN ； （Ⅱ）求证：AB VC ⊥；（Ⅲ）求直线VB 与平面CMN 所成角的正弦值. 【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）23. 【解析】（Ⅰ）由中位线的性质得出//MN AB ，然后利用直线与平面平行的判定定理可证明出//AB 平面CMN ；（Ⅱ）由已知条件可知VC AC ⊥，然后利用面面垂直的性质定理可证明出VC ⊥平面ABC ，即可得出AB VC ⊥；（Ⅲ）以C 为原点，CA 、CV 所在直线分别为x 轴、y 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出直线VB 与平面CMN 所成角的正弦值. 【详解】（Ⅰ）在VAB ∆中，M 、N 分别为VA 、VB 的中点，所以MN 为中位线，所以//MN AB . 又因为AB ⊄平面CMN ，MN ⊂平面CMN ，所以//AB 平面CMN ； （Ⅱ）在等腰直角三角形VAC ∆中，AC CV =，所以VC AC ⊥. 因为平面VAC ⊥平面ABC ，平面VAC I 平面ABC AC =， VC ⊂平面VAC ，所以VC ⊥平面ABC .又因为AB Ì平面ABC ，所以AB VC ⊥；（Ⅲ）在平面ABC 内过点C 作CH 垂直于AC ，由（Ⅱ）知，VC ⊥平面ABC ， 因为CH ⊂平面ABC ，所以VC CH ⊥. 如图，以C 为原点建立空间直角坐标系C xyz -.则()0,0,0C ，()0,0,2V ，()1,1,0B ，()1,0,1M ，11,,122N ⎛⎫ ⎪⎝⎭.()1,1,2VB =-u u r ，()1,0,1CM =u u u u r，11,,122CN ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u r .设平面CMN 的法向量为(),,n x y z =r ，则00n CM n CN ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u u v u u u v ，即011022x z x y z +=⎧⎪⎨++=⎪⎩. 令1x =则1y =，1z =-，所以()1,1,1n r=-.直线VB 与平面CMN 所成角大小为θ，22sin cos ,3n VB n VB n VBθ⋅===⋅r u u rr u u r r u ur 所以直线VB 与平面CMN 22. 【点睛】本题考查直线与平面平行的判定、利用线面垂直的性质证明线线垂直，同时也考查了直线与平面所成角的正弦值的计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题.19．某市《城市总体规划（20162035-年）》提出到2035年实现“15分钟社区生活圈”全覆盖的目标，从教育与文化、医疗与养老、交通与购物、休闲与健身4个方面构建“15分钟社区生活圈”指标体系，并依据“15分钟社区生活圈”指数高低将小区划分为：优质小区（指数为0.61:）、良好小区（指数为0.40.6:）、中等小区（指数为0.20.4:）以及待改进小区（指数为00.2:）4个等级.下面是三个小区4个方面指标的调查数据：注：每个小区“15分钟社区生活圈”指数11223344T wT w T w T w T =+++，其中1w 、2w 、3w 、4w 为该小区四个方面的权重，1T 、2T 、3T 、4T 为该小区四个方面的指标值（小区每一个方面的指标值为0~1之间的一个数值）.现有100个小区的“15分钟社区生活圈”指数数据，整理得到如下频数分布表： 分组 [)0,0.2[)0.2,0.4[)0.4,0.6[)0.6,0.8[]0.8,1频数 1020303010（Ⅰ）分别判断A 、B 、C 三个小区是否是优质小区，并说明理由；（Ⅱ）对这100个小区按照优质小区、良好小区、中等小区和待改进小区进行分层抽样，抽取10个小区进行调查，若在抽取的10个小区中再随机地选取2个小区做深入调查，记这2个小区中为优质小区的个数为ξ，求ξ的分布列及数学期望.【答案】（Ⅰ）A 、C 小区不是优质小区；B 小区是优质小区；见解析；（Ⅱ）分布列见解析，数学期望45.【解析】（Ⅰ）计算出每个小区的指数值，根据判断三个小区是否为优质小区；（Ⅱ）先求出10个小区中优质小区的个数，可得出随机变量ξ的可能取值，然后利用超几何分布的概率公式计算出随机变量ξ在不同取值下的概率，可得出随机变量ξ的分布列，利用数学期望公式可计算出随机变量ξ的数学期望值. 【详解】（Ⅰ）A 小区的指数0.70.20.70.20.50.320.50.280.58T =⨯+⨯+⨯+⨯=，0.580.60<，所以A 小区不是优质小区；B 小区的指数0.90.20.60.20.70.320.60.280.692T =⨯+⨯+⨯+⨯=，0.6920.60>，所以B 小区是优质小区；C 小区的指数0.10.20.30.20.20.320.10.280.172T =⨯+⨯+⨯+⨯=，0.1720.60<，所以C 小区不是优质小区；（Ⅱ）依题意，抽取10个小区中，共有优质小区3010104100+⨯=个，其它小区1046-=个. 依题意ξ的所有可能取值为0、1、2.()262101510453C P C ξ====，()114621024814515C C P C ξ====，()242106224515C P C ξ====.则ξ的分布列为：1824012315155E ξ=⨯+⨯+⨯= .【点睛】本题考查概率统计综合问题，同时也考查了超几何分布列与数学期望的计算，解题时要结合题意得出随机变量所满足的分布列类型，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.20．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的右顶点()2,0A（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设O 为原点，过点O 的直线l 与椭圆C 交于两点P 、Q ，直线AP 和AQ 分别与直线4x =交于点M 、N ，求APQ ∆与AMN ∆面积之和的最小值.【答案】（Ⅰ）2214x y +=；（Ⅱ）最小值为4. 【解析】（Ⅰ）设椭圆C 的焦距为()20c c >，根据题意列出关于a 、b 、c 的方程组，求出这三个量的值，即可求出椭圆C 的方程；（Ⅱ）设点()00,Q x y ，可得出点P 坐标为()00,x y --，求出点M 、N 的坐标，求出APQ ∆与AMN ∆面积之和的表达式，结合等式220044x y +=，利用基本不等式可求出APQ ∆与AMN ∆面积之和的最小值. 【详解】（Ⅰ）设椭圆C 的焦距为()20c c >，依题意，得()222220a ca c ab a b =⎧⎪⎪=⎨⎪=->>⎪⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩. 所以椭圆C 的方程为2214x y +=；（Ⅱ）设点()00,Q x y ，依题意，点P 坐标为()00,x y --，满足220014x y +=（022x -<<且00y ≠）， 直线QA 的方程为()0022y y x x =--，令4x =，得0022y y x =-，即0024,2y N x ⎛⎫⎪-⎝⎭.直线PA 的方程为()0022y y x x =-+，同理可得0024,2y M x ⎛⎫⎪+⎝⎭.设B 为4x =与x 轴的交点.00000221111222222222APQ AMN P Q M N y y S S OA y y AB y y y x x ∆∆+=⋅⋅-+⋅⋅-=⨯⨯+⨯⨯--+000020001142222224y y y y x x x =+⋅-=+⋅-+-. 又因为220044x y +=，00y ≠，所以000200122224APQ AMN S S y y y y y ∆∆+=+⋅=+≥=. 当且仅当01y =±取等号，所以APQ AMN S S ∆∆+的最小值为4. 【点睛】本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了椭圆中三角形面积之和最值的求解，考查计算能力，属于中等题.21．已知函数()()()210xf x eaxa =+>.（Ⅰ）求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程； （Ⅱ）若函数()f x 有极小值，求证：()f x 的极小值小于1. 【答案】（Ⅰ）1y x =+；（Ⅱ）证明见解析.【解析】（Ⅰ）求出函数()y f x =的导数()f x '，求出()0f 和()0f '的值，然后利用点斜式可写出所求切线的方程；（Ⅱ）设函数()y f x =的两个极值点分别为1x 、2x ，且12x x <，由韦达定理可得知120x x <<，然后利用函数()y f x =在区间[]2,0x 上的单调性可证明出结论成立. 【详解】（Ⅰ）由已知得()()221x f x e ax ax '=++，因为()01f =，()01f '=，所以直线l 的方程为1y x =+； （Ⅱ）()()221xf x eaxax '=++，令()221=++g x ax ax ，244a a ∆=-.（i ）当0∆≤时，即当01a <≤时，x R ∀∈，()0f x '≥，所以，函数()y f x =在R 上是单调递增函数，此时，函数()y f x =在R 上无极小值； （ii ）当>0∆时，即当1a >时，记1x 、2x 是方程2210ax ax ++=的两个根，不妨设12x x <，则12122010x x x x a +=-<⎧⎪⎨=>⎪⎩，所以120x x <<. 此时()f x '，()f x 随x 的变化如下：所以，函数()y f x =的极小值为()2f x ，又因为函数()y f x =在[]2,0x 单调递增，所以()()201f x f <=. 所以，函数()y f x =的极小值小于1. 【点睛】本题考查利用导数求函数的切线方程，同时也考查了利用导数证明函数极值相关的不等式，考查推理能力与计算能力，属于中等题.22．给定整数()2n n ≥，数列211:n A x +、2x 、、21n x +每项均为整数，在21n A +中去掉一项k x ，并将剩下的数分成个数相同的两组，其中一组数的和与另外一组数的和之差的最大值记为()1,2,,21k m k n =+L . 将1m 、2m 、、21n m +中的最小值称为数列21n A +的特征值.（Ⅰ）已知数列5:1A 、2、3、3、3，写出1m 、2m 、3m 的值及5A 的特征值；（Ⅱ）若1221n x x x +≤≤≤L ，当()()110i n j n -+-+≥⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，其中i 、{}1,2,,21j n ∈+L 且i j≠时，判断i j m m -与i j x x -的大小关系，并说明理由； （Ⅲ）已知数列21n A +的特征值为1n -，求121i j i j n x x ≤<≤+-∑的最小值.【答案】（Ⅰ）11m =；22m =；33m =.5A 的特征值为1；（Ⅱ）=i j i j m m x x --，理由见解析；（Ⅲ）最小值为()1n n +.【解析】（Ⅰ）根据题中的定义可求出1m 、2m 、3m 的值及5A 的特征值；（Ⅱ）分i 、{}1,2,,1j n ∈+L 和i 、{}1,2,,21j n n n ∈+++L 两种情况讨论，结合题中定义可证明出=i j i j m m x x --；（Ⅲ）设1221n x x x +≤≤≤L ，利用（Ⅱ）中的结论=i j i j m m x x --，结合数列21n A +的特征值为1n -，可得出()2122111n n n n n x x x x x x n ++-+++-+++≥-L L ，并证明出()()()221n k p kq n p q +-+≥++，即可求出121i j i j n x x ≤<≤+-∑的最小值.【详解】（Ⅰ）由题知：()()133231m =+-+=，()()233312m =+-+=，33m =，5A 的特征值为1；（Ⅱ）=i j i j m m x x --.理由如下：由于()()110i n j n -+-+≥⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，可分下列两种情况讨论： 当i 、{}1,2,,1j n ∈+L 时， 根据定义可知：()()212211i n n n n n i m x x x x x x x +++=+++-+++-L L ()()212211n n n n n i x x x x x x x +++=+++-++++L L ，同理可得：()()212211j n n n n n j m x x x x x x x +++=+++-++++L L . 所以i j i j m m x x -=-，所以=i j i j m m x x --.当i 、{}1,2,,21j n n n ∈+++L 时，同理可得：()()212111i n n n i n n m x x x x x x x ++-=+++--+++L L ()()212111n n n n n i x x x x x x x ++-=+++-+++-L L ()()212111j n n n n n j m x x x x x x x ++-=+++-+++-L L ，所以i j i j m m x x -=-，所以=i j i j m m x x --. 综上有：=i j i j m m x x --； （Ⅲ）不妨设1221n x x x +≤≤≤L ，()2122111212222022i j n n n n n i j n x x nx n x x x x nx +++≤<≤+-=+-+++⋅---∑L L ()()()()2112222222n n n n n x x n x x x x ++=-+--++-L ，显然，211222n n n n x x x x x x ++-≥-≥≥-L ，()()()212211121221n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x m ++-+++++-+++≥++-+++=L L L L .当且仅当121n n x x ++=时取等号；()()()2122112212311n n n n n n n n x x x x x x x x x x x m ++-++++++-+++≥++-+++=L L L L .当且仅当11n x x +=时取等号；由（Ⅱ）可知1m 、21n m +的较小值为1n -，所以()2122111n n n n n x x x x x x n ++-+++-+++≥-L L . 当且仅当1121n n x x x ++==时取等号，此时数列21n A +为常数列，其特征值为0，不符合题意，则必有()212211n n n n n x x x x x x n ++-+++-+++≥L L .下证：若0p q ≥≥，2k n ≤≤，总有()()()221n k p kq n p q +-+≥++. 证明：()()()()()22111n k p kq n p q n k p n k q +-+-++=+--+-()()10n k p q =+--≥.所以()()()221n k p kq n p q +-+≥++. 因此()()()()2112221212222i j n n n n i j n x x n x x n x x x x ++≤<≤+-=-+--++-∑L()()()21221111n n n n n n x x x x x x n n ++-≥++++----≥+L L .当0,11,121k k n x n k n ≤≤⎧=⎨+≤≤+⎩时，121i j i j n x x ≤<≤+-∑可取到最小值()1n n +，符合题意.所以121i j i j n x x ≤<≤+-∑的最小值为()1n n +.【点睛】本题考查数列中的新定义，涉及数列中不等式的综合问题，解题的关键就是充分利用题中的新定义进行求解，考查推理能力，属于难题.。
【数学】北京市海淀区2020届高三上学期期末考试 数学试题
北京市海淀区2020届高三上学期期末数学试题一、单选题1．已知集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}13,5A =,，{}2,3,4B =，则集合U A B I ð是( ) A ．{1,3,5,6} B ．{1,3,5}C ．{1,3}D ．{1,5}【答案】D【解析】利用补集和交集的定义可求出集合U A B I ð. 【详解】集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}13,5A =,，{}2,3,4B =，则{}1,5,6U B =ð， 因此，{}1,5U A B =I ð. 故选：D. 【点睛】本题考查交集与补集的混合运算，熟悉交集和补集的定义是解题的关键，考查计算能力，属于基础题.2．抛物线24y x =的焦点坐标为（ ）A ．()1,0-B ．()1,0C ．()0,1-D ．()0,1 【答案】B【解析】解：由 抛物线方程的特点可知，抛物线的焦点位于x 轴正半轴，由24p = ，可得： 12p= ，即焦点坐标为()1,0 . 本题选择B 选项.3．下列直线与圆()()22112x y -+-=相切的是（ ） A ．y x =-B ．y x =C ．2y x =-D ．2y x =【答案】A【解析】观察到选项中的直线都过原点，且圆也过原点，只需求出圆在原点处的切线方程即可. 【详解】由于选项中各直线均过原点，且原点在圆上， 圆心坐标为()1,1，圆心与原点连线的斜率为1，所以，圆()()22112x y -+-=在原点处的切线方程为y x =-. 故选：A. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的判断，考查计算能力，属于基础题. 4．已知a 、b R ∈，且a b >，则（ ）A ．11a b<B ．sin sin a b >C ．1133a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．22a b >【答案】C【解析】利用特殊值法和函数单调性可判断出各选项中不等式的正误. 【详解】对于A 选项，取1a =，1b =-，则a b >成立，但11a b>，A 选项错误； 对于B 选项，取a π=，0b =，则a b >成立，但sin sin0π=，即sin sin a b =，B 选项错误；对于C 选项，由于指数函数13x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，若a b >，则1133a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，C 选项正确；对于D 选项，取1a =，2b =-，则a b >，但22a b <，D 选项错误. 故选：C. 【点睛】本题考查不等式正误的判断，常用特殊值法、函数单调性与不等式的性质进行判断，考查推理能力，属于中等题.5．在51x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，3x 的系数为（ ）A ．5-B ．5C ．10-D ．10【答案】A【解析】写出二项展开式的通项，令x 的指数为3，求出参数的值，代入通项即可计算出3x 的系数. 【详解】51x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式通项为()5525511kk k k kk C x C x x --⎛⎫⋅⋅-=⋅-⋅ ⎪⎝⎭，令523k -=，得1k =. 因此，3x 的系数为()1515C ⋅-=-.故选：A. 【点睛】本题考查二项展开式中指定项系数的求解，解题时要熟练利用二项展开式通项计算，考查计算能力，属于基础题.6．已知平面向量a r 、b r 、c r 满足0a b c ++=r r r r ，且1a b c ===r r r ，则a b ⋅r r的值为（ ）A ．12-B ．12C ．D 【答案】A【解析】由等式0a b c ++=r r r r 得a b c +=-r r r ，等式两边平方可求出a b ⋅r r的值.【详解】由0a b c ++=r r r r 可得a b c +=-r r r，等式两边平方得2222c a b a b =++⋅r r r r r，即221a b ⋅+=r r，因此，12a b ⋅=-r r .故选：A. 【点睛】本题考查平面向量数量积的计算，解题的关键就是对等式进行变形，考查计算能力，属于中等题. 7．已知α、β、γ是三个不同的平面，且m αγ=I ，n βγ=I ，则“//m n ”是“//αβ”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】根据几何模型与面面平行的性质定理，结合充分条件和必要条件的定义可判断出“//m n ”是“//αβ”的必要而不充分条件. 【详解】如下图所示，将平面α、β、γ视为三棱柱的三个侧面，设a αβ⋂=，将a 、m 、n 视为三棱柱三条侧棱所在直线，则“//m n ”⇒“//αβ”；另一方面，若//αβ，且m αγ=I ，n βγ=I ，由面面平行的性质定理可得出//m n . 所以，“//αβ”⇒“//m n ”，因此，“//m n ”是“//αβ”的必要而不充分条件. 故选：B. 【点睛】本题考查必要不充分条件的判断，同时也考查了空间中平行关系的判断，考查推理能力，属于中等题.8．已知等边ABC ∆边长为3，点D 在BC 边上，且BD CD >，7AD =下列结论中错误的是（ ） A ．2BDCD= B ．2ABDACDS S ∆∆= C ．cos 2cos BADCAD ∠=∠D ．sin 2sin BADCAD∠=∠【答案】C【解析】利用余弦定理计算出BD ，结合正弦定理等三角形知识可对各选项的正误进行判断. 【详解】 如下图所示：点D 在BC 边上，且BD CD >，1322BD BC ∴>=， 由余弦定理得2222cos3AD AB BD AB BD π=+-⋅⋅，整理得2320BD BD -+=，32BD >Q ，解得2BD =，1CD =∴，则2ABD ACD S BD S CD ∆∆==， 由正弦定理得sin sin sin 3BD AD CDBADCAD π==∠∠，所以，sin 2sin BAD BD CAD CD∠==∠. 由余弦定理得22227cos 27AB AD BD BAD AB AD +-∠==⋅，同理可得57cos 14CAD ∠=， 则cos 2742cos 557BAD CAD ∠==≠∠.故选：C. 【点睛】本题考查三角形线段长、面积以及三角函数值比值的计算，涉及余弦定理以及正弦定理的应用，考查计算能力，属于中等题.9．声音的等级()f x （单位：dB ）与声音强度x （单位：2/W m ）满足()1210lg110xf x -=⨯⨯. 喷气式飞机起飞时，声音的等级约为140dB ；一般说话时，声音的等级约为60dB ，那么喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的（ ） A ．610倍 B ．810倍C ．1010倍D ．1210倍【答案】B【解析】设喷气式飞机起飞时声音强度和一般说话时声音强度分别为1x 、2x ，根据题意得出()1140f x =，()260f x =，计算出1x 和2x 的值，可计算出12xx 的值. 【详解】设喷气式飞机起飞时声音强度和一般说话时声音强度分别为1x 、2x ， 由题意可得()111210lg140110x f x -=⨯=⨯，解得2110x =， ()221210lg 60110x f x -=⨯=⨯，解得6210x -=，所以，81210x x =， 因此，喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的810倍， 故选：B. 【点睛】本题考查对数函数模型的应用，同时也涉及了指数与对数式的互化，考查计算能力，属于中等题. 10．若点N 为点M 在平面α上的正投影，则记()N f M α=.如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，记平面11AB C D 为β，平面ABCD 为γ，点P 是棱1CC 上一动点（与C 、1C 不重合）()1Q f f P γβ⎡⎤=⎣⎦，()2Q f f P βγ⎡⎤=⎣⎦.给出下列三个结论：①线段2PQ 长度的取值范围是12,22⎡⎢⎣⎭； ②存在点P 使得1//PQ 平面β； ③存在点P 使得12PQ PQ ^.其中，所有正确结论的序号是（ ） A ．①②③ B ．②③C ．①③D ．①②【答案】D【解析】以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 轴、y 轴、轴建立空间直角坐标系D xyz -，设点P 的坐标为()()0,1,01a a <<，求出点1Q 、2Q 的坐标，然后利用向量法判断出命题①②③的正误. 【详解】取1C D 的中点2Q ，过点P 在平面11AB C D 内作1PE C D ⊥，再过点E 在平面11CC D D 内作1EQ CD ⊥，垂足为点1Q .在正方体1111ABCD A B C D -中，AD ⊥平面11CC D D ，PE ⊂平面11CC D D ，PE AD ⊥∴， 又1PE C D ⊥Q ，1AD C D D =I ，PE ∴⊥平面11AB C D ，即PE β⊥，()f P E β∴=， 同理可证1EQ γ⊥，CQ β⊥，则()()1f f P f E Q γβγ⎡⎤==⎣⎦，()()2f f P f C Q βγβ⎡⎤==⎣⎦. 以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 轴、y 轴、轴建立空间直角坐标系D xyz -，设()01CP a a =<<，则()0,1,P a ，()0,1,0C ，110,,22a a E ++⎛⎫ ⎪⎝⎭，110,,02a Q +⎛⎫ ⎪⎝⎭，2110,,22Q ⎛⎫⎪⎝⎭.对于命题①，2PQ =，01a <<Q ，则111222a -<-<，则211024a ⎛⎫≤-< ⎪⎝⎭，所以，21,22PQ ⎡=⎢⎣⎭，命题①正确； 对于命题②，2CQ β⊥Q ，则平面β的一个法向量为2110,,22CQ ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u u r ，110,,2a PQ a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u u r ，令211130424a a a CQ PQ --⋅=-==u u u u r u u u u r ，解得()10,13a =∈，所以，存在点P 使得1//PQ 平面β，命题②正确；对于命题③，21120,,22a PQ -⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u u r ，令()12211042a a a PQ PQ --⋅=+=u u u u r u u u u r ， 整理得24310a a -+=，该方程无解，所以，不存在点P 使得12PQ PQ ^，命题③错误. 故选：D. 【点睛】本题考查立体几何中线面关系、线线关系的判断，同时也涉及了立体几何中的新定义，利用空间向量法处理是解题的关键，考查推理能力，属于中等题.二、填空题11．在等差数列{}n a 中,若255,2a a ==,则7a = . 【答案】0【解析】试题分析：设等差数列{}n a 的公差为d ，由已知得5233a a d -==-，所以1d =-，所以725550a a d =+=-=．【考点】等差数列的通项公式. 12．若复数1i iz +=，则z =_________.【解析】利用复数的除法法则将复数表示为一般形式，然后利用复数的模长公式可计算出z 的值. 【详解】()()21111i i i z i i i i i ++===-+=-Q ，因此，z ==. 【点睛】本题考查复数模的计算，同时也考查了复数的除法运算，考查计算能力，属于基础题.13．已知点(A ，点B 、C 分别为双曲线()222103x y a a -=>的左、右顶点.若ABC ∆为正三角形，则该双曲线的离心率为_________. 【答案】2【解析】根据ABC ∆为等边三角形求出a 的值，可求出双曲线的焦距，即可得出双曲线的离心率. 【详解】由于ABC ∆为正三角形，则tan OA ABC OB∠===1a =.所以，双曲线的半焦距为2c ==，因此，该双曲线的离心率为221c e a ===. 故答案为：2. 【点睛】本题考查双曲线离心率的计算，解题的关键就是求出双曲线方程中的几何量，考查计算能力，属于基础题.14．已知函数()af x x x=+在区间()1,4上存在最小值，则实数a 的取值范围是_________. 【答案】()1,16【解析】由题意可知，函数()y f x =在区间()1,4上存在极小值，分0a ≤和0a >两种情况讨论，分析函数()y f x =在区间()1,4上的单调性，在0a >时求出函数()y f x =的极值点x =得出14<<，解出即可.【详解】()a f x x x =+Q ，()2221a x af x x x-'=-=. 当0a ≤时，对任意的()1,4x ∈，()0f x '>，此时，函数()y f x =在区间()1,4上为增函数，则函数()y f x =在区间()1,4上没有最小值；当0a >时，令()220x af x x-'==，可得x =当0x <<()0f x '<，当x >()0f x '>，此时，函数()y f x =的极小值点为x =14<，解得116a <<.因此，实数a 的取值范围是()1,16. 故答案为：()1,16. 【点睛】本题考查利用函数的最值点求参数，解题时要熟悉函数的最值与导数之间的关系，考查运算求解能力，属于中等题.15．用“五点法”作函数()()sin f x A x =+ωϕ的图象时，列表如下：则()1f -=_________，()102f f ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭_________. 【答案】2- 0【解析】根据表格中的数据求出A 、ω、ϕ的值，可得出函数()y f x =的解析式，然后代值计算可得出()1f -和()102f f ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的值. 【详解】由表格中的数据可知，()max 2A f x ==， 函数()y f x =的最小正周期为111344T ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，223T ππω∴==，()22sin 3f x x πϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当12x =时，则21322ππϕ⨯+=，解得6π=ϕ， 则()22sin 36f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭，()212sin 2sin 2632f πππ⎛⎫⎛⎫∴-=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()102sin 2sin 0266f f ππ⎛⎫⎛⎫+-=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：2-；0. 【点睛】本题考查三角函数值的计算，解题的关键就是利用表格中的数据求出函数解析式，考查计算能力，属于中等题.16．已知曲线4422:1C x y mx y ++=（m 为常数）. （i ）给出下列结论： ①曲线C 为中心对称图形； ②曲线C 为轴对称图形；③当1m =-时，若点(),P x y 在曲线C 上，则1x ≥或1y ≥. 其中，所有正确结论的序号是_________.（ii ）当2m >-时，若曲线C 所围成的区域的面积小于π，则m 的值可以是_________.（写出一个即可）【答案】①②③ 2m >均可【解析】（i ）在曲线C 上任取一点(),P x y ，将点()1,P x y --、()2,P x y -、()3,P x y -代入曲线C 的方程，可判断出命题①②的正误，利用反证法和不等式的性质可判断出命题③的正误；（ii ）根据2m =时，配方得出221x y +=，可知此时曲线C 为圆，且圆的面积为π，从而得知当2m >时，曲线C 所表示的图形面积小于π.【详解】（i ）在曲线C 上任取一点(),P x y ，则44221x y mx y ++=，将点()1,P x y --代入曲线C 的方程可得()()()()44221x y m x y -+-+--=，同理可知，点()2,P x y -、()3,P x y -都在曲线C 上，则曲线C 关于原点和坐标轴对称，命题①②正确.当1m =-时，2442222213124x y x y x y y ⎛⎫=+-=-+ ⎪⎝⎭，反设1x <且1y <，则201x ≤<，201y ≤<，所以，22111222x y -<-<，则22211024x y ⎛⎫≤-< ⎪⎝⎭，所以，2442222213124x y x y x y y ⎛⎫+-=-+< ⎪⎝⎭，这与44221x y x y +-=矛盾.假设不成立，所以，1x ≥或1y ≥，命题③正确；（ii ）当2m =时，曲线C 的方程为442221x y x y ++=，即()2221x y +=，即221x y +=，此时，曲线C 表示半径为1的圆，其面积为π.当2m >时，且当0xy ≠时，在圆221x y +=上任取一点(),P x y ，则()2224422442212x y x y x y x y mx y =+=++<++，则点P 在曲线外，所以，曲线C 的面积小于圆的面积π.故答案为：①②③；2m >均可. 【点睛】本题考查曲线中的新定义，涉及曲线的对称性以及曲线面积相关的问题，考查推理能力，属于难题.三、解答题17．已知函数()21cos cos 2f x x x x =-.（Ⅰ）求函数()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）若()f x 在区间[]0,m 上的最大值为1，求m 的最小值. 【答案】（Ⅰ）(),36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；（Ⅱ）6π. 【解析】（Ⅰ）利用二倍角的降幂公式以及辅助角公式将函数()y f x =的解析式变形为()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭，然后解不等式()222262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈，即可得出函数()y f x =的单调递增区间；（Ⅱ）由[]0,x m ∈，2,2666x m πππ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，结合题意得出262m ππ+≥，即可求出实数m 的最小值. 【详解】（Ⅰ）()1cos 21122cos 2sin 22226x f x x x x x π+⎛⎫=+-=+=+ ⎪⎝⎭， 因为sin y x =的单调递增区间为()2,222k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ， 令()22,2622x k k k πππππ⎡⎤+∈-+∈⎢⎥⎣⎦Z ，得(),36x k k k ππππ⎡⎤∈-+∈⎢⎥⎣⎦Z . 所以函数()y f x =的单调递增区间为(),36k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ； （Ⅱ）因为[]0,x m ∈，所以2,2666x m πππ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦. 又因为[]0,x m ∈，()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭的最大值为1， 所以262m ππ+≥，解得6m π≥，所以m 的最小值为6π. 【点睛】本题考查三角函数的单调性以及最值的求解，解题的关键就是利用三角恒等变换思想将三角函数解析式化简，考查计算能力，属于中等题.18．如图，在三棱锥V ABC -中，平面VAC ⊥平面ABC ，ABC ∆和VAC ∆均是等腰直角三角形，AB BC =，2AC CV ==，M 、N 分别为VA 、VB 的中点.（Ⅰ）求证：//AB 平面CMN ； （Ⅱ）求证：AB VC ⊥；（Ⅲ）求直线VB 与平面CMN 所成角的正弦值. 【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）223. 【解析】（Ⅰ）由中位线的性质得出//MN AB ，然后利用直线与平面平行的判定定理可证明出//AB 平面CMN ；（Ⅱ）由已知条件可知VC AC ⊥，然后利用面面垂直的性质定理可证明出VC ⊥平面ABC ，即可得出AB VC ⊥；（Ⅲ）以C 为原点，CA 、CV 所在直线分别为x 轴、y 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出直线VB 与平面CMN 所成角的正弦值. 【详解】（Ⅰ）在VAB ∆中，M 、N 分别为VA 、VB 的中点，所以MN 为中位线，所以//MN AB . 又因为AB ⊄平面CMN ，MN ⊂平面CMN ，所以//AB 平面CMN ； （Ⅱ）在等腰直角三角形VAC ∆中，AC CV =，所以VC AC ⊥. 因为平面VAC ⊥平面ABC ，平面VAC I 平面ABC AC =， VC ⊂平面VAC ，所以VC ⊥平面ABC .又因为AB Ì平面ABC ，所以AB VC ⊥；（Ⅲ）在平面ABC 内过点C 作CH 垂直于AC ，由（Ⅱ）知，VC ⊥平面ABC ， 因为CH ⊂平面ABC ，所以VC CH ⊥. 如图，以C 为原点建立空间直角坐标系C xyz -.则()0,0,0C ，()0,0,2V ，()1,1,0B ，()1,0,1M ，11,,122N ⎛⎫ ⎪⎝⎭.()1,1,2VB =-u u r ，()1,0,1CM =u u u u r，11,,122CN ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u r .设平面CMN 的法向量为(),,n x y z =r ，则00n CM n CN ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u u v u u u v ，即011022x z x y z +=⎧⎪⎨++=⎪⎩. 令1x =则1y =，1z =-，所以()1,1,1n r=-.直线VB 与平面CMN 所成角大小为θ，22sin cos ,3n VB n VB n VBθ⋅===⋅r u u rr u u r r u ur . 所以直线VB 与平面CMN 22. 【点睛】本题考查直线与平面平行的判定、利用线面垂直的性质证明线线垂直，同时也考查了直线与平面所成角的正弦值的计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题.19．某市《城市总体规划（20162035-年）》提出到2035年实现“15分钟社区生活圈”全覆盖的目标，从教育与文化、医疗与养老、交通与购物、休闲与健身4个方面构建“15分钟社区生活圈”指标体系，并依据“15分钟社区生活圈”指数高低将小区划分为：优质小区（指数为0.61:）、良好小区（指数为0.40.6:）、中等小区（指数为0.20.4:）以及待改进小区（指数为00.2:）4个等级.下面是三个小区4个方面指标的调查数据：注：每个小区“15分钟社区生活圈”指数11223344T wT w T w T w T =+++，其中1w 、2w 、3w 、4w 为该小区四个方面的权重，1T 、2T 、3T 、4T 为该小区四个方面的指标值（小区每一个方面的指标值为0~1之间的一个数值）.现有100个小区的“15分钟社区生活圈”指数数据，整理得到如下频数分布表： 分组 [)0,0.2[)0.2,0.4[)0.4,0.6[)0.6,0.8[]0.8,1频数 1020303010（Ⅰ）分别判断A 、B 、C 三个小区是否是优质小区，并说明理由；（Ⅱ）对这100个小区按照优质小区、良好小区、中等小区和待改进小区进行分层抽样，抽取10个小区进行调查，若在抽取的10个小区中再随机地选取2个小区做深入调查，记这2个小区中为优质小区的个数为ξ，求ξ的分布列及数学期望.【答案】（Ⅰ）A 、C 小区不是优质小区；B 小区是优质小区；见解析；（Ⅱ）分布列见解析，数学期望45.【解析】（Ⅰ）计算出每个小区的指数值，根据判断三个小区是否为优质小区；（Ⅱ）先求出10个小区中优质小区的个数，可得出随机变量ξ的可能取值，然后利用超几何分布的概率公式计算出随机变量ξ在不同取值下的概率，可得出随机变量ξ的分布列，利用数学期望公式可计算出随机变量ξ的数学期望值. 【详解】（Ⅰ）A 小区的指数0.70.20.70.20.50.320.50.280.58T =⨯+⨯+⨯+⨯=，0.580.60<，所以A 小区不是优质小区；B 小区的指数0.90.20.60.20.70.320.60.280.692T =⨯+⨯+⨯+⨯=，0.6920.60>，所以B 小区是优质小区；C 小区的指数0.10.20.30.20.20.320.10.280.172T =⨯+⨯+⨯+⨯=，0.1720.60<，所以C 小区不是优质小区；（Ⅱ）依题意，抽取10个小区中，共有优质小区3010104100+⨯=个，其它小区1046-=个. 依题意ξ的所有可能取值为0、1、2.()262101510453C P C ξ====，()114621024814515C C P C ξ====，()242106224515C P C ξ====.则ξ的分布列为：1824012315155E ξ=⨯+⨯+⨯= .【点睛】本题考查概率统计综合问题，同时也考查了超几何分布列与数学期望的计算，解题时要结合题意得出随机变量所满足的分布列类型，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.20．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的右顶点()2,0A（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设O 为原点，过点O 的直线l 与椭圆C 交于两点P 、Q ，直线AP 和AQ 分别与直线4x =交于点M 、N ，求APQ ∆与AMN ∆面积之和的最小值.【答案】（Ⅰ）2214x y +=；（Ⅱ）最小值为4. 【解析】（Ⅰ）设椭圆C 的焦距为()20c c >，根据题意列出关于a 、b 、c 的方程组，求出这三个量的值，即可求出椭圆C 的方程；（Ⅱ）设点()00,Q x y ，可得出点P 坐标为()00,x y --，求出点M 、N 的坐标，求出APQ ∆与AMN ∆面积之和的表达式，结合等式220044x y +=，利用基本不等式可求出APQ ∆与AMN ∆面积之和的最小值. 【详解】（Ⅰ）设椭圆C 的焦距为()20c c >，依题意，得()222220a ca c ab a b =⎧⎪⎪=⎨⎪=->>⎪⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩. 所以椭圆C 的方程为2214x y +=；（Ⅱ）设点()00,Q x y ，依题意，点P 坐标为()00,x y --，满足220014x y +=（022x -<<且00y ≠）， 直线QA 的方程为()0022y y x x =--，令4x =，得0022y y x =-，即0024,2y N x ⎛⎫⎪-⎝⎭.直线PA 的方程为()0022y y x x =-+，同理可得0024,2y M x ⎛⎫⎪+⎝⎭.设B 为4x =与x 轴的交点.00000221111222222222APQ AMN P Q M N y y S S OA y y AB y y y x x ∆∆+=⋅⋅-+⋅⋅-=⨯⨯+⨯⨯--+000020001142222224y y y y x x x =+⋅-=+⋅-+-. 又因为220044x y +=，00y ≠，所以000200122224APQ AMN S S y y y y y ∆∆+=+⋅=+≥=. 当且仅当01y =±取等号，所以APQ AMN S S ∆∆+的最小值为4. 【点睛】本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了椭圆中三角形面积之和最值的求解，考查计算能力，属于中等题.21．已知函数()()()210xf x eaxa =+>.（Ⅰ）求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程； （Ⅱ）若函数()f x 有极小值，求证：()f x 的极小值小于1. 【答案】（Ⅰ）1y x =+；（Ⅱ）证明见解析.【解析】（Ⅰ）求出函数()y f x =的导数()f x '，求出()0f 和()0f '的值，然后利用点斜式可写出所求切线的方程；（Ⅱ）设函数()y f x =的两个极值点分别为1x 、2x ，且12x x <，由韦达定理可得知120x x <<，然后利用函数()y f x =在区间[]2,0x 上的单调性可证明出结论成立. 【详解】（Ⅰ）由已知得()()221x f x e ax ax '=++，因为()01f =，()01f '=，所以直线l 的方程为1y x =+； （Ⅱ）()()221xf x eaxax '=++，令()221=++g x ax ax ，244a a ∆=-.（i ）当0∆≤时，即当01a <≤时，x R ∀∈，()0f x '≥，所以，函数()y f x =在R 上是单调递增函数，此时，函数()y f x =在R 上无极小值； （ii ）当>0∆时，即当1a >时，记1x 、2x 是方程2210ax ax ++=的两个根，不妨设12x x <，则12122010x x x x a +=-<⎧⎪⎨=>⎪⎩，所以120x x <<. 此时()f x '，()f x 随x 的变化如下：所以，函数()y f x =的极小值为()2f x ，又因为函数()y f x =在[]2,0x 单调递增，所以()()201f x f <=. 所以，函数()y f x =的极小值小于1. 【点睛】本题考查利用导数求函数的切线方程，同时也考查了利用导数证明函数极值相关的不等式，考查推理能力与计算能力，属于中等题.22．给定整数()2n n ≥，数列211:n A x +、2x 、、21n x +每项均为整数，在21n A +中去掉一项k x ，并将剩下的数分成个数相同的两组，其中一组数的和与另外一组数的和之差的最大值记为()1,2,,21k m k n =+L . 将1m 、2m 、、21n m +中的最小值称为数列21n A +的特征值.（Ⅰ）已知数列5:1A 、2、3、3、3，写出1m 、2m 、3m 的值及5A 的特征值；（Ⅱ）若1221n x x x +≤≤≤L ，当()()110i n j n -+-+≥⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，其中i 、{}1,2,,21j n ∈+L 且i j≠时，判断i j m m -与i j x x -的大小关系，并说明理由； （Ⅲ）已知数列21n A +的特征值为1n -，求121i j i j n x x ≤<≤+-∑的最小值.【答案】（Ⅰ）11m =；22m =；33m =.5A 的特征值为1；（Ⅱ）=i j i j m m x x --，理由见解析；（Ⅲ）最小值为()1n n +.【解析】（Ⅰ）根据题中的定义可求出1m 、2m 、3m 的值及5A 的特征值；（Ⅱ）分i 、{}1,2,,1j n ∈+L 和i 、{}1,2,,21j n n n ∈+++L 两种情况讨论，结合题中定义可证明出=i j i j m m x x --；（Ⅲ）设1221n x x x +≤≤≤L ，利用（Ⅱ）中的结论=i j i j m m x x --，结合数列21n A +的特征值为1n -，可得出()2122111n n n n n x x x x x x n ++-+++-+++≥-L L ，并证明出()()()221n k p kq n p q +-+≥++，即可求出121i j i j n x x ≤<≤+-∑的最小值.【详解】（Ⅰ）由题知：()()133231m =+-+=，()()233312m =+-+=，33m =，5A 的特征值为1；（Ⅱ）=i j i j m m x x --.理由如下：由于()()110i n j n -+-+≥⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，可分下列两种情况讨论： 当i 、{}1,2,,1j n ∈+L 时， 根据定义可知：()()212211i n n n n n i m x x x x x x x +++=+++-+++-L L ()()212211n n n n n i x x x x x x x +++=+++-++++L L ，同理可得：()()212211j n n n n n j m x x x x x x x +++=+++-++++L L . 所以i j i j m m x x -=-，所以=i j i j m m x x --.当i 、{}1,2,,21j n n n ∈+++L 时，同理可得：()()212111i n n n i n n m x x x x x x x ++-=+++--+++L L ()()212111n n n n n i x x x x x x x ++-=+++-+++-L L ()()212111j n n n n n j m x x x x x x x ++-=+++-+++-L L ，所以i j i j m m x x -=-，所以=i j i j m m x x --. 综上有：=i j i j m m x x --； （Ⅲ）不妨设1221n x x x +≤≤≤L ，()2122111212222022i j n n n n n i j n x x nx n x x x x nx +++≤<≤+-=+-+++⋅---∑L L ()()()()2112222222n n n n n x x n x x x x ++=-+--++-L ，显然，211222n n n n x x x x x x ++-≥-≥≥-L ，()()()212211121221n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x m ++-+++++-+++≥++-+++=L L L L .当且仅当121n n x x ++=时取等号；()()()2122112212311n n n n n n n n x x x x x x x x x x x m ++-++++++-+++≥++-+++=L L L L .当且仅当11n x x +=时取等号；由（Ⅱ）可知1m 、21n m +的较小值为1n -，所以()2122111n n n n n x x x x x x n ++-+++-+++≥-L L . 当且仅当1121n n x x x ++==时取等号，此时数列21n A +为常数列，其特征值为0，不符合题意，则必有()212211n n n n n x x x x x x n ++-+++-+++≥L L .下证：若0p q ≥≥，2k n ≤≤，总有()()()221n k p kq n p q +-+≥++. 证明：()()()()()22111n k p kq n p q n k p n k q +-+-++=+--+-()()10n k p q =+--≥.所以()()()221n k p kq n p q +-+≥++. 因此()()()()2112221212222i j n n n n i j n x x n x x n x x x x ++≤<≤+-=-+--++-∑L()()()21221111n n n n n n x x x x x x n n ++-≥++++----≥+L L .当0,11,121k k n x n k n ≤≤⎧=⎨+≤≤+⎩时，121i j i j n x x ≤<≤+-∑可取到最小值()1n n +，符合题意.所以121i j i j n x x ≤<≤+-∑的最小值为()1n n +.【点睛】本题考查数列中的新定义，涉及数列中不等式的综合问题，解题的关键就是充分利用题中的新定义进行求解，考查推理能力，属于难题.。
【数学】北京市海淀区2020届高三上学期期末考试 数学试题
北京市海淀区2020届高三上学期期末数学试题一、单选题1．已知集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}13,5A =,，{}2,3,4B =，则集合U A B I ð是( ) A ．{1,3,5,6} B ．{1,3,5}C ．{1,3}D ．{1,5}【答案】D【解析】利用补集和交集的定义可求出集合U A B I ð. 【详解】集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}13,5A =,，{}2,3,4B =，则{}1,5,6U B =ð， 因此，{}1,5U A B =I ð. 故选：D. 【点睛】本题考查交集与补集的混合运算，熟悉交集和补集的定义是解题的关键，考查计算能力，属于基础题.2．抛物线24y x =的焦点坐标为（ ）A ．()1,0-B ．()1,0C ．()0,1-D ．()0,1 【答案】B【解析】解：由 抛物线方程的特点可知，抛物线的焦点位于x 轴正半轴，由24p = ，可得： 12p= ，即焦点坐标为()1,0 . 本题选择B 选项.3．下列直线与圆()()22112x y -+-=相切的是（ ） A ．y x =-B ．y x =C ．2y x =-D ．2y x =【答案】A【解析】观察到选项中的直线都过原点，且圆也过原点，只需求出圆在原点处的切线方程即可. 【详解】由于选项中各直线均过原点，且原点在圆上， 圆心坐标为()1,1，圆心与原点连线的斜率为1，所以，圆()()22112x y -+-=在原点处的切线方程为y x =-. 故选：A. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的判断，考查计算能力，属于基础题. 4．已知a 、b R ∈，且a b >，则（ ）A ．11a b<B ．sin sin a b >C ．1133a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．22a b >【答案】C【解析】利用特殊值法和函数单调性可判断出各选项中不等式的正误. 【详解】对于A 选项，取1a =，1b =-，则a b >成立，但11a b>，A 选项错误； 对于B 选项，取a π=，0b =，则a b >成立，但sin sin0π=，即sin sin a b =，B 选项错误；对于C 选项，由于指数函数13x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，若a b >，则1133a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，C 选项正确；对于D 选项，取1a =，2b =-，则a b >，但22a b <，D 选项错误. 故选：C. 【点睛】本题考查不等式正误的判断，常用特殊值法、函数单调性与不等式的性质进行判断，考查推理能力，属于中等题.5．在51x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，3x 的系数为（ ）A ．5-B ．5C ．10-D ．10【答案】A【解析】写出二项展开式的通项，令x 的指数为3，求出参数的值，代入通项即可计算出3x 的系数. 【详解】51x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式通项为()5525511kk k k kk C x C x x --⎛⎫⋅⋅-=⋅-⋅ ⎪⎝⎭，令523k -=，得1k =. 因此，3x 的系数为()1515C ⋅-=-.故选：A. 【点睛】本题考查二项展开式中指定项系数的求解，解题时要熟练利用二项展开式通项计算，考查计算能力，属于基础题.6．已知平面向量a r 、b r 、c r 满足0a b c ++=r r r r ，且1a b c ===r r r ，则a b ⋅r r的值为（ ）A ．12-B ．12C ．D 【答案】A【解析】由等式0a b c ++=r r r r 得a b c +=-r r r ，等式两边平方可求出a b ⋅r r的值.【详解】由0a b c ++=r r r r 可得a b c +=-r r r，等式两边平方得2222c a b a b =++⋅r r r r r，即221a b ⋅+=r r，因此，12a b ⋅=-r r .故选：A. 【点睛】本题考查平面向量数量积的计算，解题的关键就是对等式进行变形，考查计算能力，属于中等题. 7．已知α、β、γ是三个不同的平面，且m αγ=I ，n βγ=I ，则“//m n ”是“//αβ”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】根据几何模型与面面平行的性质定理，结合充分条件和必要条件的定义可判断出“//m n ”是“//αβ”的必要而不充分条件. 【详解】如下图所示，将平面α、β、γ视为三棱柱的三个侧面，设a αβ⋂=，将a 、m 、n 视为三棱柱三条侧棱所在直线，则“//m n ”⇒“//αβ”；另一方面，若//αβ，且m αγ=I ，n βγ=I ，由面面平行的性质定理可得出//m n . 所以，“//αβ”⇒“//m n ”，因此，“//m n ”是“//αβ”的必要而不充分条件. 故选：B. 【点睛】本题考查必要不充分条件的判断，同时也考查了空间中平行关系的判断，考查推理能力，属于中等题.8．已知等边ABC ∆边长为3，点D 在BC 边上，且BD CD >，7AD =下列结论中错误的是（ ） A ．2BDCD= B ．2ABDACDS S ∆∆= C ．cos 2cos BADCAD ∠=∠D ．sin 2sin BADCAD∠=∠【答案】C【解析】利用余弦定理计算出BD ，结合正弦定理等三角形知识可对各选项的正误进行判断. 【详解】 如下图所示：点D 在BC 边上，且BD CD >，1322BD BC ∴>=， 由余弦定理得2222cos3AD AB BD AB BD π=+-⋅⋅，整理得2320BD BD -+=，32BD >Q ，解得2BD =，1CD =∴，则2ABD ACD S BD S CD ∆∆==， 由正弦定理得sin sin sin 3BD AD CDBADCAD π==∠∠，所以，sin 2sin BAD BD CAD CD∠==∠. 由余弦定理得22227cos 27AB AD BD BAD AB AD +-∠==⋅，同理可得57cos 14CAD ∠=， 则cos 2742cos 557BAD CAD ∠==≠∠.故选：C. 【点睛】本题考查三角形线段长、面积以及三角函数值比值的计算，涉及余弦定理以及正弦定理的应用，考查计算能力，属于中等题.9．声音的等级()f x （单位：dB ）与声音强度x （单位：2/W m ）满足()1210lg110xf x -=⨯⨯. 喷气式飞机起飞时，声音的等级约为140dB ；一般说话时，声音的等级约为60dB ，那么喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的（ ） A ．610倍 B ．810倍C ．1010倍D ．1210倍【答案】B【解析】设喷气式飞机起飞时声音强度和一般说话时声音强度分别为1x 、2x ，根据题意得出()1140f x =，()260f x =，计算出1x 和2x 的值，可计算出12xx 的值. 【详解】设喷气式飞机起飞时声音强度和一般说话时声音强度分别为1x 、2x ， 由题意可得()111210lg140110x f x -=⨯=⨯，解得2110x =， ()221210lg 60110x f x -=⨯=⨯，解得6210x -=，所以，81210x x =， 因此，喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的810倍， 故选：B. 【点睛】本题考查对数函数模型的应用，同时也涉及了指数与对数式的互化，考查计算能力，属于中等题. 10．若点N 为点M 在平面α上的正投影，则记()N f M α=.如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，记平面11AB C D 为β，平面ABCD 为γ，点P 是棱1CC 上一动点（与C 、1C 不重合）()1Q f f P γβ⎡⎤=⎣⎦，()2Q f f P βγ⎡⎤=⎣⎦.给出下列三个结论：①线段2PQ 长度的取值范围是12,22⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭； ②存在点P 使得1//PQ 平面β； ③存在点P 使得12PQ PQ ^.其中，所有正确结论的序号是（ ） A ．①②③ B ．②③C ．①③D ．①②【答案】D【解析】以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 轴、y 轴、轴建立空间直角坐标系D xyz -，设点P 的坐标为()()0,1,01a a <<，求出点1Q 、2Q 的坐标，然后利用向量法判断出命题①②③的正误. 【详解】取1C D 的中点2Q ，过点P 在平面11AB C D 内作1PE C D ⊥，再过点E 在平面11CC D D 内作1EQ CD ⊥，垂足为点1Q .在正方体1111ABCD A B C D -中，AD ⊥平面11CC D D ，PE ⊂平面11CC D D ，PE AD ⊥∴， 又1PE C D ⊥Q ，1AD C D D =I ，PE ∴⊥平面11AB C D ，即PE β⊥，()f P E β∴=， 同理可证1EQ γ⊥，CQ β⊥，则()()1f f P f E Q γβγ⎡⎤==⎣⎦，()()2f f P f C Q βγβ⎡⎤==⎣⎦. 以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 轴、y 轴、轴建立空间直角坐标系D xyz -，设()01CP a a =<<，则()0,1,P a ，()0,1,0C ，110,,22a a E ++⎛⎫ ⎪⎝⎭，110,,02a Q +⎛⎫ ⎪⎝⎭，2110,,22Q ⎛⎫⎪⎝⎭.对于命题①，2PQ =01a <<Q ，则111222a -<-<，则211024a ⎛⎫≤-< ⎪⎝⎭，所以，21,22PQ ⎡⎫=⎪⎢⎪⎣⎭，命题①正确； 对于命题②，2CQ β⊥Q ，则平面β的一个法向量为2110,,22CQ ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u u r ，110,,2a PQ a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u u r ，令211130424a a a CQ PQ --⋅=-==u u u u r u u u u r ，解得()10,13a =∈，所以，存在点P 使得1//PQ 平面β，命题②正确；对于命题③，21120,,22a PQ -⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u u r ，令()12211042a a a PQ PQ --⋅=+=u u u u r u u u u r ， 整理得24310a a -+=，该方程无解，所以，不存在点P 使得12PQ PQ ^，命题③错误. 故选：D. 【点睛】本题考查立体几何中线面关系、线线关系的判断，同时也涉及了立体几何中的新定义，利用空间向量法处理是解题的关键，考查推理能力，属于中等题.二、填空题11．在等差数列{}n a 中,若255,2a a ==,则7a = . 【答案】0【解析】试题分析：设等差数列{}n a 的公差为d ，由已知得5233a a d -==-，所以1d =-，所以725550a a d =+=-=．【考点】等差数列的通项公式. 12．若复数1i iz +=，则z =_________.【解析】利用复数的除法法则将复数表示为一般形式，然后利用复数的模长公式可计算出z 的值. 【详解】()()21111i i i z i i i i i ++===-+=-Q ，因此，z ==. 【点睛】本题考查复数模的计算，同时也考查了复数的除法运算，考查计算能力，属于基础题.13．已知点(A ，点B 、C 分别为双曲线()222103x y a a -=>的左、右顶点.若ABC ∆为正三角形，则该双曲线的离心率为_________. 【答案】2【解析】根据ABC ∆为等边三角形求出a 的值，可求出双曲线的焦距，即可得出双曲线的离心率. 【详解】由于ABC ∆为正三角形，则tan OA ABC OB∠===1a =.所以，双曲线的半焦距为2c ==，因此，该双曲线的离心率为221c e a ===. 故答案为：2. 【点睛】本题考查双曲线离心率的计算，解题的关键就是求出双曲线方程中的几何量，考查计算能力，属于基础题.14．已知函数()af x x x=+在区间()1,4上存在最小值，则实数a 的取值范围是_________. 【答案】()1,16【解析】由题意可知，函数()y f x =在区间()1,4上存在极小值，分0a ≤和0a >两种情况讨论，分析函数()y f x =在区间()1,4上的单调性，在0a >时求出函数()y f x =的极值点x =得出14<<，解出即可.【详解】()a f x x x =+Q ，()2221a x af x x x-'=-=. 当0a ≤时，对任意的()1,4x ∈，()0f x '>，此时，函数()y f x =在区间()1,4上为增函数，则函数()y f x =在区间()1,4上没有最小值；当0a >时，令()220x af x x-'==，可得x =当0x <<()0f x '<，当x ()0f x '>，此时，函数()y f x =的极小值点为x =14<<，解得116a <<.因此，实数a 的取值范围是()1,16. 故答案为：()1,16. 【点睛】本题考查利用函数的最值点求参数，解题时要熟悉函数的最值与导数之间的关系，考查运算求解能力，属于中等题.15．用“五点法”作函数()()sin f x A x =+ωϕ的图象时，列表如下：则()1f -=_________，()102f f ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭_________. 【答案】2- 0【解析】根据表格中的数据求出A 、ω、ϕ的值，可得出函数()y f x =的解析式，然后代值计算可得出()1f -和()102f f ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的值. 【详解】由表格中的数据可知，()max 2A f x ==， 函数()y f x =的最小正周期为111344T ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，223T ππω∴==，()22sin 3f x x πϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当12x =时，则21322ππϕ⨯+=，解得6π=ϕ， 则()22sin 36f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭，()212sin 2sin 2632f πππ⎛⎫⎛⎫∴-=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()102sin 2sin 0266f f ππ⎛⎫⎛⎫+-=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：2-；0. 【点睛】本题考查三角函数值的计算，解题的关键就是利用表格中的数据求出函数解析式，考查计算能力，属于中等题.16．已知曲线4422:1C x y mx y ++=（m 为常数）. （i ）给出下列结论： ①曲线C 为中心对称图形； ②曲线C 为轴对称图形；③当1m =-时，若点(),P x y 在曲线C 上，则1x ≥或1y ≥. 其中，所有正确结论的序号是_________.（ii ）当2m >-时，若曲线C 所围成的区域的面积小于π，则m 的值可以是_________.（写出一个即可）【答案】①②③ 2m >均可【解析】（i ）在曲线C 上任取一点(),P x y ，将点()1,P x y --、()2,P x y -、()3,P x y -代入曲线C 的方程，可判断出命题①②的正误，利用反证法和不等式的性质可判断出命题③的正误；（ii ）根据2m =时，配方得出221x y +=，可知此时曲线C 为圆，且圆的面积为π，从而得知当2m >时，曲线C 所表示的图形面积小于π. 【详解】（i ）在曲线C 上任取一点(),P x y ，则44221x y mx y ++=，将点()1,P x y --代入曲线C 的方程可得()()()()44221x y m x y -+-+--=，同理可知，点()2,P x y -、()3,P x y -都在曲线C 上，则曲线C 关于原点和坐标轴对称，命题①②正确.当1m =-时，2442222213124x y x y x y y ⎛⎫=+-=-+ ⎪⎝⎭，反设1x <且1y <，则201x ≤<，201y ≤<，所以，22111222x y -<-<，则22211024x y ⎛⎫≤-< ⎪⎝⎭，所以，2442222213124x y x y x y y ⎛⎫+-=-+< ⎪⎝⎭，这与44221x y x y +-=矛盾.假设不成立，所以，1x ≥或1y ≥，命题③正确；（ii ）当2m =时，曲线C 的方程为442221x y x y ++=，即()2221x y +=，即221x y +=，此时，曲线C 表示半径为1的圆，其面积为π.当2m >时，且当0xy ≠时，在圆221x y +=上任取一点(),P x y ，则()2224422442212x y x y x y x y mx y =+=++<++，则点P 在曲线外，所以，曲线C 的面积小于圆的面积π.故答案为：①②③；2m >均可. 【点睛】本题考查曲线中的新定义，涉及曲线的对称性以及曲线面积相关的问题，考查推理能力，属于难题.三、解答题17．已知函数()21cos cos 2f x x x x =+-.（Ⅰ）求函数()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）若()f x 在区间[]0,m 上的最大值为1，求m 的最小值. 【答案】（Ⅰ）(),36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；（Ⅱ）6π. 【解析】（Ⅰ）利用二倍角的降幂公式以及辅助角公式将函数()y f x =的解析式变形为()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭，然后解不等式()222262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈，即可得出函数()y f x =的单调递增区间；（Ⅱ）由[]0,x m ∈，2,2666x m πππ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，结合题意得出262m ππ+≥，即可求出实数m 的最小值. 【详解】（Ⅰ）()1cos 21122cos 2sin 22226x f x x x x x π+⎛⎫=-=+=+ ⎪⎝⎭， 因为sin y x =的单调递增区间为()2,222k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ， 令()22,2622x k k k πππππ⎡⎤+∈-+∈⎢⎥⎣⎦Z ，得(),36x k k k ππππ⎡⎤∈-+∈⎢⎥⎣⎦Z . 所以函数()y f x =的单调递增区间为(),36k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ； （Ⅱ）因为[]0,x m ∈，所以2,2666x m πππ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦. 又因为[]0,x m ∈，()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭的最大值为1， 所以262m ππ+≥，解得6m π≥，所以m 的最小值为6π. 【点睛】本题考查三角函数的单调性以及最值的求解，解题的关键就是利用三角恒等变换思想将三角函数解析式化简，考查计算能力，属于中等题.18．如图，在三棱锥V ABC -中，平面VAC ⊥平面ABC ，ABC ∆和VAC ∆均是等腰直角三角形，AB BC =，2AC CV ==，M 、N 分别为VA 、VB 的中点.（Ⅰ）求证：//AB 平面CMN ； （Ⅱ）求证：AB VC ⊥；（Ⅲ）求直线VB 与平面CMN 所成角的正弦值. 【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）23. 【解析】（Ⅰ）由中位线的性质得出//MN AB ，然后利用直线与平面平行的判定定理可证明出//AB 平面CMN ；（Ⅱ）由已知条件可知VC AC ⊥，然后利用面面垂直的性质定理可证明出VC ⊥平面ABC ，即可得出AB VC ⊥；（Ⅲ）以C 为原点，CA 、CV 所在直线分别为x 轴、y 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出直线VB 与平面CMN 所成角的正弦值. 【详解】（Ⅰ）在VAB ∆中，M 、N 分别为VA 、VB 的中点，所以MN 为中位线，所以//MN AB . 又因为AB ⊄平面CMN ，MN ⊂平面CMN ，所以//AB 平面CMN ； （Ⅱ）在等腰直角三角形VAC ∆中，AC CV =，所以VC AC ⊥. 因为平面VAC ⊥平面ABC ，平面VAC I 平面ABC AC =， VC ⊂平面VAC ，所以VC ⊥平面ABC .又因为AB Ì平面ABC ，所以AB VC ⊥；（Ⅲ）在平面ABC 内过点C 作CH 垂直于AC ，由（Ⅱ）知，VC ⊥平面ABC ， 因为CH ⊂平面ABC ，所以VC CH ⊥. 如图，以C 为原点建立空间直角坐标系C xyz -.则()0,0,0C ，()0,0,2V ，()1,1,0B ，()1,0,1M ，11,,122N ⎛⎫ ⎪⎝⎭.()1,1,2VB =-u u r ，()1,0,1CM =u u u u r，11,,122CN ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u r .设平面CMN 的法向量为(),,n x y z =r ，则00n CM n CN ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u u v u u u v ，即011022x z x y z +=⎧⎪⎨++=⎪⎩. 令1x =则1y =，1z =-，所以()1,1,1n r=-.直线VB 与平面CMN 所成角大小为θ，22sin cos ,3n VB n VB n VBθ⋅===⋅r u u rr u u r r u ur 所以直线VB 与平面CMN 22. 【点睛】本题考查直线与平面平行的判定、利用线面垂直的性质证明线线垂直，同时也考查了直线与平面所成角的正弦值的计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题.19．某市《城市总体规划（20162035-年）》提出到2035年实现“15分钟社区生活圈”全覆盖的目标，从教育与文化、医疗与养老、交通与购物、休闲与健身4个方面构建“15分钟社区生活圈”指标体系，并依据“15分钟社区生活圈”指数高低将小区划分为：优质小区（指数为0.61:）、良好小区（指数为0.40.6:）、中等小区（指数为0.20.4:）以及待改进小区（指数为00.2:）4个等级.下面是三个小区4个方面指标的调查数据：注：每个小区“15分钟社区生活圈”指数11223344T wT w T w T w T =+++，其中1w 、2w 、3w 、4w 为该小区四个方面的权重，1T 、2T 、3T 、4T 为该小区四个方面的指标值（小区每一个方面的指标值为0~1之间的一个数值）.现有100个小区的“15分钟社区生活圈”指数数据，整理得到如下频数分布表： 分组 [)0,0.2[)0.2,0.4[)0.4,0.6[)0.6,0.8[]0.8,1频数 1020303010（Ⅰ）分别判断A 、B 、C 三个小区是否是优质小区，并说明理由；（Ⅱ）对这100个小区按照优质小区、良好小区、中等小区和待改进小区进行分层抽样，抽取10个小区进行调查，若在抽取的10个小区中再随机地选取2个小区做深入调查，记这2个小区中为优质小区的个数为ξ，求ξ的分布列及数学期望.【答案】（Ⅰ）A 、C 小区不是优质小区；B 小区是优质小区；见解析；（Ⅱ）分布列见解析，数学期望45.【解析】（Ⅰ）计算出每个小区的指数值，根据判断三个小区是否为优质小区；（Ⅱ）先求出10个小区中优质小区的个数，可得出随机变量ξ的可能取值，然后利用超几何分布的概率公式计算出随机变量ξ在不同取值下的概率，可得出随机变量ξ的分布列，利用数学期望公式可计算出随机变量ξ的数学期望值. 【详解】（Ⅰ）A 小区的指数0.70.20.70.20.50.320.50.280.58T =⨯+⨯+⨯+⨯=，0.580.60<，所以A 小区不是优质小区；B 小区的指数0.90.20.60.20.70.320.60.280.692T =⨯+⨯+⨯+⨯=，0.6920.60>，所以B 小区是优质小区；C 小区的指数0.10.20.30.20.20.320.10.280.172T =⨯+⨯+⨯+⨯=，0.1720.60<，所以C 小区不是优质小区；（Ⅱ）依题意，抽取10个小区中，共有优质小区3010104100+⨯=个，其它小区1046-=个. 依题意ξ的所有可能取值为0、1、2.()262101510453C P C ξ====，()114621024814515C C P C ξ====，()242106224515C P C ξ====.则ξ的分布列为：1824012315155E ξ=⨯+⨯+⨯= .【点睛】本题考查概率统计综合问题，同时也考查了超几何分布列与数学期望的计算，解题时要结合题意得出随机变量所满足的分布列类型，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.20．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的右顶点()2,0A（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设O 为原点，过点O 的直线l 与椭圆C 交于两点P 、Q ，直线AP 和AQ 分别与直线4x =交于点M 、N ，求APQ ∆与AMN ∆面积之和的最小值.【答案】（Ⅰ）2214x y +=；（Ⅱ）最小值为4. 【解析】（Ⅰ）设椭圆C 的焦距为()20c c >，根据题意列出关于a 、b 、c 的方程组，求出这三个量的值，即可求出椭圆C 的方程；（Ⅱ）设点()00,Q x y ，可得出点P 坐标为()00,x y --，求出点M 、N 的坐标，求出APQ ∆与AMN ∆面积之和的表达式，结合等式220044x y +=，利用基本不等式可求出APQ ∆与AMN ∆面积之和的最小值. 【详解】（Ⅰ）设椭圆C 的焦距为()20c c >，依题意，得()222220a ca c ab a b =⎧⎪⎪=⎨⎪=->>⎪⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩. 所以椭圆C 的方程为2214x y +=；（Ⅱ）设点()00,Q x y ，依题意，点P 坐标为()00,x y --，满足220014x y +=（022x -<<且00y ≠）， 直线QA 的方程为()0022y y x x =--，令4x =，得0022y y x =-，即0024,2y N x ⎛⎫⎪-⎝⎭.直线PA 的方程为()0022y y x x =-+，同理可得0024,2y M x ⎛⎫⎪+⎝⎭.设B 为4x =与x 轴的交点.00000221111222222222APQ AMN P Q M N y y S S OA y y AB y y y x x ∆∆+=⋅⋅-+⋅⋅-=⨯⨯+⨯⨯--+000020001142222224y y y y x x x =+⋅-=+⋅-+-. 又因为220044x y +=，00y ≠，所以000200122224APQ AMN S S y y y y y ∆∆+=+⋅=+≥=. 当且仅当01y =±取等号，所以APQ AMN S S ∆∆+的最小值为4. 【点睛】本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了椭圆中三角形面积之和最值的求解，考查计算能力，属于中等题.21．已知函数()()()210xf x eaxa =+>.（Ⅰ）求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程； （Ⅱ）若函数()f x 有极小值，求证：()f x 的极小值小于1. 【答案】（Ⅰ）1y x =+；（Ⅱ）证明见解析.【解析】（Ⅰ）求出函数()y f x =的导数()f x '，求出()0f 和()0f '的值，然后利用点斜式可写出所求切线的方程；（Ⅱ）设函数()y f x =的两个极值点分别为1x 、2x ，且12x x <，由韦达定理可得知120x x <<，然后利用函数()y f x =在区间[]2,0x 上的单调性可证明出结论成立. 【详解】（Ⅰ）由已知得()()221x f x e ax ax '=++，因为()01f =，()01f '=，所以直线l 的方程为1y x =+； （Ⅱ）()()221xf x eaxax '=++，令()221=++g x ax ax ，244a a ∆=-.（i ）当0∆≤时，即当01a <≤时，x R ∀∈，()0f x '≥，所以，函数()y f x =在R 上是单调递增函数，此时，函数()y f x =在R 上无极小值； （ii ）当>0∆时，即当1a >时，记1x 、2x 是方程2210ax ax ++=的两个根，不妨设12x x <，则12122010x x x x a +=-<⎧⎪⎨=>⎪⎩，所以120x x <<. 此时()f x '，()f x 随x 的变化如下：所以，函数()y f x =的极小值为()2f x ，又因为函数()y f x =在[]2,0x 单调递增，所以()()201f x f <=. 所以，函数()y f x =的极小值小于1. 【点睛】本题考查利用导数求函数的切线方程，同时也考查了利用导数证明函数极值相关的不等式，考查推理能力与计算能力，属于中等题.22．给定整数()2n n ≥，数列211:n A x +、2x 、、21n x +每项均为整数，在21n A +中去掉一项k x ，并将剩下的数分成个数相同的两组，其中一组数的和与另外一组数的和之差的最大值记为()1,2,,21k m k n =+L . 将1m 、2m 、、21n m +中的最小值称为数列21n A +的特征值.（Ⅰ）已知数列5:1A 、2、3、3、3，写出1m 、2m 、3m 的值及5A 的特征值；（Ⅱ）若1221n x x x +≤≤≤L ，当()()110i n j n -+-+≥⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，其中i 、{}1,2,,21j n ∈+L 且i j≠时，判断i j m m -与i j x x -的大小关系，并说明理由； （Ⅲ）已知数列21n A +的特征值为1n -，求121i j i j n x x ≤<≤+-∑的最小值.【答案】（Ⅰ）11m =；22m =；33m =.5A 的特征值为1；（Ⅱ）=i j i j m m x x --，理由见解析；（Ⅲ）最小值为()1n n +.【解析】（Ⅰ）根据题中的定义可求出1m 、2m 、3m 的值及5A 的特征值；（Ⅱ）分i 、{}1,2,,1j n ∈+L 和i 、{}1,2,,21j n n n ∈+++L 两种情况讨论，结合题中定义可证明出=i j i j m m x x --；（Ⅲ）设1221n x x x +≤≤≤L ，利用（Ⅱ）中的结论=i j i j m m x x --，结合数列21n A +的特征值为1n -，可得出()2122111n n n n n x x x x x x n ++-+++-+++≥-L L ，并证明出()()()221n k p kq n p q +-+≥++，即可求出121i j i j n x x ≤<≤+-∑的最小值.【详解】（Ⅰ）由题知：()()133231m =+-+=，()()233312m =+-+=，33m =，5A 的特征值为1；（Ⅱ）=i j i j m m x x --.理由如下：由于()()110i n j n -+-+≥⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，可分下列两种情况讨论： 当i 、{}1,2,,1j n ∈+L 时， 根据定义可知：()()212211i n n n n n i m x x x x x x x +++=+++-+++-L L ()()212211n n n n n i x x x x x x x +++=+++-++++L L ，同理可得：()()212211j n n n n n j m x x x x x x x +++=+++-++++L L . 所以i j i j m m x x -=-，所以=i j i j m m x x --.当i 、{}1,2,,21j n n n ∈+++L 时，同理可得：()()212111i n n n i n n m x x x x x x x ++-=+++--+++L L ()()212111n n n n n i x x x x x x x ++-=+++-+++-L L ()()212111j n n n n n j m x x x x x x x ++-=+++-+++-L L ，所以i j i j m m x x -=-，所以=i j i j m m x x --. 综上有：=i j i j m m x x --； （Ⅲ）不妨设1221n x x x +≤≤≤L ，()2122111212222022i j n n n n n i j n x x nx n x x x x nx +++≤<≤+-=+-+++⋅---∑L L ()()()()2112222222n n n n n x x n x x x x ++=-+--++-L ，显然，211222n n n n x x x x x x ++-≥-≥≥-L ，()()()212211121221n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x m ++-+++++-+++≥++-+++=L L L L .当且仅当121n n x x ++=时取等号；()()()2122112212311n n n n n n n n x x x x x x x x x x x m ++-++++++-+++≥++-+++=L L L L .当且仅当11n x x +=时取等号；由（Ⅱ）可知1m 、21n m +的较小值为1n -，所以()2122111n n n n n x x x x x x n ++-+++-+++≥-L L . 当且仅当1121n n x x x ++==时取等号，此时数列21n A +为常数列，其特征值为0，不符合题意，则必有()212211n n n n n x x x x x x n ++-+++-+++≥L L .下证：若0p q ≥≥，2k n ≤≤，总有()()()221n k p kq n p q +-+≥++. 证明：()()()()()22111n k p kq n p q n k p n k q +-+-++=+--+-()()10n k p q =+--≥.所以()()()221n k p kq n p q +-+≥++. 因此()()()()2112221212222i j n n n n i j n x x n x x n x x x x ++≤<≤+-=-+--++-∑L()()()21221111n n n n n n x x x x x x n n ++-≥++++----≥+L L .当0,11,121k k n x n k n ≤≤⎧=⎨+≤≤+⎩时，121i j i j n x x ≤<≤+-∑可取到最小值()1n n +，符合题意.所以121i j i j n x x ≤<≤+-∑的最小值为()1n n +.【点睛】本题考查数列中的新定义，涉及数列中不等式的综合问题，解题的关键就是充分利用题中的新定义进行求解，考查推理能力，属于难题.。
2020-2021年北京海淀高三期末数学试卷(附答案)
海淀区2020-2021学年第一学期期末考试高三数学试题本试卷共8奴, 150分）考试时常120分钟。
考生务必将若案答在答胧抵上.在试卷上作答无效。
考试结火后. 本试卷和空四纸•并文回，笫•海分］选择遐共40分）丁选择题共10小题.每小超4分，共40分.在街小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（I ）抛物线/ 二 X 的准线力邪兄（A ） X = --（ B ） X （C ）V =（D ） V =--24 '2' 4（2）在梵平面内.竟数一一对应的点也广1+/（A ）第 %fR （B ）第二软限（C>第，象眼（D ）第四象限⑶ 在&-2丫的展开式中,内的系数为（A ）5（B ） -5（C ） 10（D ） 10（4）已知代线，：x +町，+ 2 = 0 , （A ） 1U（5）某三桎惟的三视图如用所示.止（1>徒《专》1X1点 A (-1,-1)和点B (2,2),若〃/力8,则实数。
的值为i) -1 (C> 2(D)-2该三板维的体积为J KM,J) 4 (C)6 (D) 12b = (-2,D, rt|a-6| = 2,则a ・6 =（B ）0(A) -1(C) 1 (D) 2(7)己如a, 3是例个不同的平面，“a 〃夕的•个充分条件是(A)以内有无数11线平行J "(B)存在牛血丫, arr. P±r(C)存隹TihiL aDr = /n t夕Dy = 〃ll掰〃”(D)存在酉线7, Ila. Ilfi(8)L!知函数/(x)= l-2sirf(x + 2)则4(A) /(x)是偶函数函数/(x)的地小正阖期为2*(C)曲线F = /(.t)关J x = 一1对核：4(D) /0)>/(2)(9)数列SJ的通项公式为勺=“2-3〃・N・前〃比和为s.・给出下列三个结论：①存在止整数加,〃(〃”〃)，使母Z-Z；②存在正施数初〃(m*府•使得q, = 2百♦•③记,4=4%…，。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
海淀区高三年级第一学期期末练习
数学2020、01 本试卷共4页,150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题纸上,在试卷上作答无效。
考试结束后,将本试卷与答题纸一并交回。
第一部分(选择题共40分)
一、选择题共10小题,每小题4分,共40分。
在每小题列出得四个选项中,选出符合题目要求
得一项。
(1)已知集合,,,则集合就是
(A) (B) (C) (D)
(2)抛物线得焦点坐标为
(A) (B) (C) (D)
(3)下列直线与圆相切得就是
(A) (B) (C) (D)
(4)已知,且,则
(A) (B) (C) (D)
(5)在得展开式中,得系数为
(A) (B) (C) (D)
(6)已知平面向量满足,且,则得值为
(A) (B) (C) (D)
(7)已知, , 就是三个不同得平面,且,,则“”就是“”得
(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件
(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件
(8)已知等边△边长为3、点D在BC边上,且,、下列结论中错误得就是
(A) (B) (C) (D)
(9)声音得等级(单位:dB)与声音强度(单位:)满足、喷气式飞机起飞时,声音得等级约为140dB;
一般说话时,声音得等级约为60dB,那么喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度得
(A)倍(B)倍(C)倍(D)倍
(10)若点为点在平面上得正投影,则记、如图,在棱长为1得正方体中,记平面为,平面为,点就
是棱上一动点(与,不重合),,、给出下列三个结论:
①线段长度得取值范围就是;
②存在点使得∥平面;
③存在点使得、
其中,所有正确结论得序号就是
(A)①②③(B)②③(C)①③(D)①②
第二部分(非选择题共110分)
二、填空题共6小题,每小题5分,共30分。
(11)在等差数列中,,,则_________、
(12)若复数,则=_________、
(13)已知点A,点,分别为双曲线得左、右顶点、若△ABC为正三角形,则该双曲线得离心率
为_________、
(14)已知函数在区间上存在最小值,则实数得取值范围就是_________、
(15)用“五点法”作函数得图象时,列表如下:
则_________,_________、 (16)已知曲线C :(为常数)、
(i)给出下列结论:
①曲线C 为中心对称图形; ②曲线C 为轴对称图形; ③当时,若点在曲线上,则或、
其中,所有正确结论得序号就是 、
(ii)当时,若曲线所围成得区域得面积小于,则得值可以就是 、(写出一个即可) 三、解答题共6小题,共80分。
解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
(17)(本小题共13分)
已知函数、
(Ⅰ)求函数得单调递增区间;
(Ⅱ)若在区间上得最大值为,求得最小值、 (18)(本小题共13分)
如图,在三棱锥中,平面平面,△与△均就是等腰直角三角形,,,,分别为, 得中点、
(Ⅰ)求证:平面;
(Ⅱ)求证:;
(Ⅲ)求直线与平面所成角得正弦值、 (19)(本小题共13分)
某市《城市总体规划(2016—2035年)》提出到2035年实现“15分钟社区生活圈”
全覆盖得目标,从教育与文化、医疗与养老、交通与购物、休闲与健身4个方面构建“15分钟社区生活圈”指标体系,并依据“15分钟社区生活圈”指数高低将小区划分为:优质小区(指数为0、6~1)、良好小区(指数为0、4~0、6)、中等小区(指数为0、2~0、4)
以及待改进小区(指数为0 ~0、2)4个等级、下面就是三个小区4个方面指标得调查
注:每个小区“15分钟社区生活圈”指数,其中为该小区四个方面得权重,为该小区四个方面得指标值(小区每一个方面得指标值为0~1之间得一个数值)、
现有100个小区得“15分钟社区生活圈”指数数据,整理得到如下频数分布表:
(Ⅰ)分别判断A,B,C三个小区就是否就是优质小区,并说明理由;
(Ⅱ)对这100个小区按照优质小区、良好小区、中等小区与待改进小区进行分层抽样,抽取10个小区进行调查,若在抽取得10个小区中再随机地选取2个小区做深入
调查,记这2个小区中为优质小区得个数为ξ,求ξ得分布列及数学期望、
(20)(本小题共14分)
已知椭圆得右顶点,且离心率为.
(Ⅰ)求椭圆得方程;
(Ⅱ)设为原点,过点得直线与椭圆交于两点,,直线与分别与直线交于点,.求△与△面积之与得最小值、
(21)(本小题共13分)
已知函数、
(Ⅰ)求曲线在点处得切线方程;
(Ⅱ)若函数有极小值,求证:得极小值小于、
(22)(本小题共14分)
给定整数,数列每项均为整数,在中去掉一项, 并将剩下得数分成个数相同得两组,其中一组数得与与另外一组数得与之差得最大值记为、将中得最小值称为数列得特征值、
(Ⅰ)已知数列,写出得值及得特征值;
(Ⅱ)若,当,其中且时,判断与得大小关系,并说明理由;
(Ⅲ)已知数列得特征值为,求得最小值、
海淀区2020届高三年级第一学期期末练习参考答案
数学2020、01
阅卷须知:
1、评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得得累加分数。
2、其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。
一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分、
二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分、
三、解答题共6小题,共80分。
解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
(17)解:(Ⅰ)
、
因为得单调递增区间为,
令,
得、
所以得单调递增区间为、
(Ⅱ)方法1:因为,
所以、
又因为,得最大值为1,
所以、
解得、
所以得最小值为、
方法2:由(Ⅰ)知:
当且仅当时,取得最大值1、
因为在区间上得最大值为,
所以、
所以得最小值为、
(18)解:(Ⅰ)在△中,M,N分别为VA,VB得中点,
所以为中位线、
所以、
又因为平面,平面,
所以平面、
(Ⅱ)在等腰直角三角形△中,,
所以、
因为平面平面,平面平面, 平面,
所以平面、
又因为平面,
所以、
(Ⅲ)在平面ABC内过点C做垂直于AC,
由(Ⅱ)知,平面,
因为平面,
所以、
如图,以为原点建立空间直角坐标系、
则,,,,、
,,、
设平面得法向量为,
则
即
令则,,
所以、
直线与平面所成角大小为,
、
所以直线与平面所成角得正弦值为、
(19)解:(Ⅰ)方法1:
A小区得指数,
,所以A小区不就是优质小区;
B小区得指数,
,所以B小区就是优质小区;
C小区得指数,
,所以C小区不就是优质小区、
方法2:
A小区得指数
,所以A小区不就是优质小区;
B小区得指数
、
B小区就是优质小区;
C小区得指数
、
C小区不就是优质小区、
(在对A、B、C小区做说明时必须出现与0、6比较得说明、每一项中结论
1分,计算与说明理由1分)
(Ⅱ)依题意,抽取10个小区中,共有优质小区个,其它小区个、
依题意ξ得所有可能取值为0,1,2、
;
;
、
则得分布列为:
、
(20)解:(Ⅰ)解:依题意,得
解得,
所以椭圆C得方程为、
(Ⅱ)设点,依题意,点坐标为,
满足(且),
直线得方程为
令,得,即、
直线得方程为 ,同理可得、
设为与轴得交点、
、
又因为,,
所以、
当且仅当取等号,所以得最小值为、(21)解:(Ⅰ)由已知得,
因为,,
所以直线得方程为、
(Ⅱ)(i)当时,,
所以(当且仅当且时,等号成立)、
所以在上就是单调递增函数、
所以在上无极小值、
(ii)当时,一元二次方程得判别式,
记就是方程得两个根,不妨设、
则
所以、
此时,随得变化如下:
所以得极小值为、
又因为在单调递增,
所以、
所以得极小值为小于、22、解:(Ⅰ)由题知:
;
;
、
得特征值为1、
(Ⅱ)、
理由如下:
由于,可分下列两种情况讨论:
○1当时,
根据定义可知:
同理可得:
所以、
所以、
○2当时,同○1理可得:
所以、
所以、
综上有:、
(Ⅲ)不妨设,
,
显然,,
、
当且仅当时取等号;
当且仅当时取等号;
由(Ⅱ)可知得较小值为,
所以、
当且仅当时取等号,
此时数列为常数列,其特征值为0,不符合题意,则必有
、
下证:若,,总有、
证明:
=
、
所以、
因此
、
当时,
可取到最小值,符合题意、所以得最小值为、。