九年级数学解直角三角形的总复习华东师大版

九年级数学解直角三角形的总复习华东师大版

【同步教育信息】

一. 本周教学内容：

解直角三角形的总复习

二. 教学目标：

1. 掌握锐角三角函数的概念及性质。

2. 提高学生灵活应用锐角三角函数知识解直角三角形。

3. 提高学生解直角三角形的知识与方法在实际问题如，航海、测量等方面的应用，培养学生空间想象能力、作图能力、分析能力和计算能力。

三. 教学过程：

（一）知识的回顾：

1. 锐角三角函数的概念：在Rt ABC ∆中，∠=︒C 90， 则sin cos tan cot A BC A AC A BC A AC

=

===

，，，

注意的问题：

（1）锐角α，应满足0101<<<

（2）锐角三角函数的概念是建立在直角三角形中，因此应学会构造直角三角形。

例1. （1）在Rt ABC ∆中，∠=︒C 90，AC BC ==34，，则cos B 的值为（ ）

A.

45

B.

35

C. 43

D. 34

点拨：在Rt ABC ∆中，∠=︒C 90，AC BC ==34，

∴=+=∴=AB AC BC B 22

5

45

cos

答案：A

（2）在∆ABC 中，AB AC BC ===32，，则6cos B 等于（ ） A. 3 B. 2 C. 33 D. 23 点拨：在∆ABC 中，AB AC =，过A 点作AD BC ⊥于D 则BD CD B BD AB ==∴==11

3

，cos 答案：B

（3）在四边形ABCD 中，∠=︒∠=∠=︒==A B D BC AD 13590232，，，，则四边形ABCD 的面积是（ ）

点拨：延长BA 、CD 交于E ，得Rt EAD ∆和Rt EBC ∆ ∠=︒∴∠=︒-∠-∠-∠=︒A C A B D 13536045， ∴∆BEC 和∆EAD 均为等腰直角三角形

S S EBC EAD ∆∆=

⋅⋅==⨯⨯=122323612

222 ∴=-=-=S S S ABCD EBC EAD 四边形∆∆624

答案：C

（4）已知圆O 的半径为5，AB 是弦，P 是直线AB 上的一点，PB AB ==38，，则

tan ∠OPA 的值为（ ）

A. 3

B. 3

7

C.

13或73

D. 3或

37

点拨：过O 点作OC AB ⊥于C 则AC CB ==4，而PB =3 ∴点P 可在圆O 外或圆O 内

在∆OCP 中， OC CP ==31，或CP =7 ∴∠=

=tan OPA OC CP

3或3

7

答案：D

（5）在∆ABC 中，∠=︒C 90，若∠=∠B A 2，则cot B 等于（ ）

A.

3

B.

33 C. 32 D. 12

点拨：在∆ABC 中，∠=︒∴∠+∠=︒C A B 9090， 即：3903060∠=︒∴∠=︒∠=︒A A B ，，

∴=︒=cot cot B 6033

答案：B

（6）在Rt ABC ∆中，∠=︒⊥ACB CD AB 90，于D ，AC =22，AB =23，设

∠=BCD α，那么cos α的值是（ ）

A. 22

B. 2

C. 2

3

D.

6

3

点拨：在Rt ABC ∆中，∠=︒ACB 90 ∠+∠=︒αACD 90

CD AB ⊥于D ，∠+∠=︒ACD A 90 ∴∠=∠αA 则cos cos α==

==

A AC A

B 22236

3

答案：D

（7）已知AB 和CD 分别是半圆O 的直径和弦，AD 与BC 交于点E ，若∠=AEC α，则S S CDE ABE ∆∆:等于（ ） A. sin 2

α

B. cos 2

α

C. tan 2

α

D. cot 2

α

点拨：连结AC ，由∆∆ECD EAB ~

可得S S CD AB EC AE CDE ABE ∆∆=⎛⎝ ⎫⎭

⎪=⎛⎝ ⎫

⎭⎪22

又AB 为圆O 直径，∴∠=︒ACB 90 cos cos αα=

∴

=CE

AE

S S CDE

ABE

∆∆2 答案：B

例2. 某电信部门计划修建一条连结B 、C 两地的电缆，测量人员在山脚A 测得B 、C 两地的仰角分别为3045︒︒

、，在B 地测得C 地的仰角为60︒，已知C 地比A 地高200m ，电缆BC 至少长多少米？（精确到01.m ）

解：作CH AF ⊥于H ，过B 作BD AF ⊥于D BE CH ⊥于E ，设BC x m =() 在Rt BCE ∆中，BE BC x =︒=

cos6012

CE BC x =︒=

sin 6032

在Rt ACH ∆中，AH CH =︒=tan45200

∴=-=-=-AD AH DH AH BE x 2001

2

BD EH x ==-20032

在Rt ABD ∆中，∠=︒∴=︒BAD BD AD 3030，tan

由此得，200322001233

-

=-⋅x x () 解得x =-≈2003200147

答：电缆BC 至少需要147米。

例3. 如图，山上有一座铁塔，山脚下有一矩形建筑物ABCD ，且建筑物周围没有开阔平整地带，该建筑物顶端宽度AD 和高度DC 都可直接测得，从A 、D 、C 三点可看到塔顶端

（1）请你根据现有条件，充分利用矩形建筑物，设计一个测量塔顶端到地面高度HG 的方案，具体要求如下： a. 测量数据尽可能少。

b. 在所给图形上，画出你设计的测量平面图，并将应测数据标记在图形上。（如果测A 、D 间距离，用m 表示，若测D 、C 间的距离，用n 表示，若测角用αβγ、、表示） （2）根据你测量的数据，计算塔顶端到地面的高度HG 。（用字母表示，测倾器高度忽略不计） 点拨：

（1）方案，如图，只需测三个数据。