101小升初棋盘中的数学问题(二)

第五讲 棋盘中的数学问题（二）（2012年7月）
一、知识要点
1．学习二人对弈游戏中的基本思考方法：逆推法．
2．掌握数学游戏中失败点和胜利点之间的关系，并能准用语言准确描述“必胜策略”．
3. 棋盘中的计数问题．
4. 用构造法解决存在性问题，掌握构造的一般技巧和基本规律；学习染色问题的基本思想，可以借助这一思想解决一些和棋盘表格相关的构造论证类题目； 掌握染色问题的技巧：双色染色，多色染色。

以及间隔染色，行列染色，区域染色． 二、典型例题
例1. 如图是一个4阶的幻方。

一次操作是指对一行（或者一列）的四个方格中
的每一个数加上或者减去相同的自然数，那么是否可以经过有限步的操作使得图1中的4阶幻方变为图2中的形式。

能则给出一种操作，不能则说明理由。

图1 图2
例2．将2011个小格排成一行，左起第一个格中放一枚棋子，甲、乙两人交替
走这枚棋子（甲先走），每步可移动1格、2格或3格，但只能向右移动， 1）如果规定先走到最后一格者为胜，那么______有必胜的策略，该如何走； 2）如果规定先走到最后一格者为负，那么______有必胜的策略，该如何走
思考：将2010个小格排成一行，左起第一个格中放一枚棋子，甲、乙两人交替
走这枚棋子（甲先走），每步可移动1格、2格或3格，但只能向右移动， 1）如果规定先走到最后一格者为胜，那么______有必胜的策略，该如何走； 2）如果规定先走到最后一格者为负，那么______有必胜的策略，该如何走
例3．仔细阅读，制定策略回答下列问题：
1）在一个3×3的方格棋盘的左上角方格中放有一枚棋子。

甲先乙后，轮流走这枚棋子，每人每次只能向下、向右或右下走1格，谁走到右下角方格谁获胜，_____（填“甲”或“乙”）能必胜，请详细叙述他必胜的策略：
2）在一个5×5的方格棋盘的左上角方格中放有一枚棋子。

甲先乙后，轮流走这枚棋子，每人每次只能向下、向右或右下走1格，谁走到右下角方格谁获胜，_____（填“甲”或“乙”）能必胜，请详细叙述他必胜的策略：
3）如果是10×10的方格，那么有必胜策略，请详细叙述他必胜的策略:
例4．仔细阅读，制定策略回答下列问题：
1）、一个4×4的方形棋盘上每格都有一个按钮与一盏不亮的灯，按一个按钮就能使得与其同行和同列的灯状态改变一次．例如原来亮的变为不亮；原来不亮的变亮．是否存在一个按按钮的方法，使得所有的灯全部变亮？能则给出一种方法，不能则说明理由；
2）、一个2010×2010的方形棋盘上每格都有一个按钮与一盏不亮的灯，按一个按钮就能使得与其同行和同列的灯状态改变一次．例如原来亮的变为不亮；
原来不亮的变亮．是否存在一个按按钮的方法，使得所有的灯全部变亮？能则给出一种方法，不能则说明理由；
3）、如果是一个2010×2011的方格，那么是否存在使得所有灯全部变亮的方法；如果有至少按多少次；如果没有，请说明理由；
例5．某影院有31排,每排101个座位.某天放映了两场电影,每个座位上都坐了一个观众.如果要求每个观众在看第二场电影时必须跟他(前、后、左、右)相邻的某一观众交换座位,这样能办到吗?为什么? .
例6.能否用1
T 字纸片
,拼成一个8 8
的正方形棋盘?
例7. 仔细阅读，制定策略回答下列问题：
1）中国象棋的马走“日”字,车走横线或竖线,下图是半张中国象棋盘,试回答下面
的问题: 一只马从起点出发,跳了n 步又回到起点.证明:n 一定是偶数.
2）中国象棋的马走“日”字,车走横线或竖线,右上图是半张中国象棋盘,试回答下面的问题: 一只马能否跳遍这半张棋盘,每一点都不重复,最后一步跳回起点?
例8．如图，一个4×4方格表内填有1―16这16个自然数，现在从填有1的方格出发，每一步可以走到相邻的方格中（有一条公共边的方格），并且每个方格至多经过一次，最后走到填有2的方格，那么所走到的全部方格中，填的数之和最大可能是多少？
例9.甲、乙两人轮流在国际象棋的棋盘上摆放棋子
“象”，使得互相之间不会被吃（不考虑象的颜
色）。

谁不能再放就算输，那么采取什么样的策
略可以获胜？（注：国际象棋中，象可以吃掉与
它在同一条斜线上的其他棋子）
例10.（思考题）在平面上有一个4⨯8的方格棋盘，
棋子每步跳至2⨯3矩形的另一角(如图的八个
方向之一)，那么能否从棋盘上某一点出发，
让棋子按一定的方法不重复不遗漏地走遍棋
盘上所有空格？
例11．如图，一个转盘被分为内外两部分，用五条半径平均
分割开这个转盘，其中内部的小圆盘固定不动，外部的
圆环可以随意转动（要求转动后必须使得分割线重新组
成半径）。

请把数字0到9填入这10个区域中，使得不管
外环如何转动，总有大圆的一个扇形内的两部分所填数
字之和为9。

例12.在10×10的方格表中最少要放多少个2×2的小方格才能保证不能再往表格中放入2×2的小方格，使它不与已放的小方格相交？
*
* 例13. 空间6个点,任三点不共线,对以它们为顶点的线段随意涂以红色或蓝色,
请证明必存在一个同色三角形；
例14. 纸上画有1n ⨯的长条表格，甲、乙两人轮流给表格染色，每次可以选择连
续的两格或者三格染色，直到有一个人无法进行染色，则这个人为失败者。

先染色的人是否有必胜策略？
三、练习题
1、能否将1至12排成一圈，使得相邻的两个数之差为5或者7。

能则给出一个例子，否则给出证明；
解: 能。

例如排成1，6，11，4，9，2，7，12，5，10，3，8。

2、请在右图中的每个空格内填入一个整数，使得对于第一行的每个数，它在第二行中出现的次数刚好等于该列第三行中所填的数，而它在第三行中出现的次数又恰好等于该列第二行中所填的数。

解：设第二行依次填入0234563,,,,,,x x x x x x x =.那么
0123456123456234566x x x x x x x x x x x x x ++++++=+++++=.
由此易求出答案为：第二行为3，1，1，1，0，0；
第三行为2，3，0，1，0，0.
3、如图所示，在6×6的警戒方格内，每个哨所可以监视横、竖、斜方向的全部单位方格，现在已经建了两个哨所。

请你挑选一个方格，再建立一个哨所，使得所有的方格都被监视到。

4、(1) 将1，2，
3，4，5，6，7，8，9这9个数字排列在圆周上，使得任意相
邻两数的差（大减小）不小于3且不大于5． (2) 如果改为1至10这10个自然数呢？ (3) 如果改为1至11这11个自然数呢？ 解： 1) 能。

例如1，5，9，4，8，3，7，2，6
2）不能 3）不能
5、两人作移火柴棍的游戏，游戏的规则如下：两人从一堆火柴棍中可轮流移走
1－7根，直到移尽为止。

挨到谁移最后一根就算谁输。

如果开始时有101根火柴，则先移的人第一次应该移动（）根火柴棍，才能保证在游戏中获胜。

解：4根两人移动的和
6、能否将1，2，3，…，9，10排成一行，使得任意相邻三个数之和都不大于
16?能否使得任意相邻三个数之和都不大于15？
解：前一种能。

例如10，1，5，8，2，6，7，3，4，9。

后一种不能，实际上，至少有一端的数小于或等于9，从而除掉这一端，剩下的9个数之和至少是55－9=46，这9个数分成三段，每段3个数，必有一段3个数的和大于15。

7、有3堆石子，每次可以从这三堆中同时拿走相同数目的石子(各次这个数目可
以改变)，也可以由一堆中取一半石子放入另外任一堆石子中。

请问：
1) 如果开始时，3堆石子的数目分别是34、55、82，按上述操作，能否把3 堆
石子都拿光?
2) 如果开始时，3堆石子的数目分别是80、60、50，按上述操作，能否把3
堆石子都拿光?
如果可以，请设计一种取石子的方案；
如果不可以，请说明理由。

解：1)能. 例如
(34,55,82)-(0,21,48)-(24,21,24)-(4,1,4)-(2,3,4)-(0,1,2)-(1,1,1)0-(0,0,0).
2) 不能. 实际上，3堆石子总和被3除的余数保持不变.若开始数目为
80,60,50，那么无论怎样操作，3堆石子总和被3除的余数为1，不可能全变为0.
8、将49个人站成7×7的队列，是否存在一种换位方案，使得这49个人全都站
到与自己原来所在位子相邻的位子上去。

能则给出一种方案，否则给出证明。

证明：交替染色。

9、能不能用1×4的长方形纸片拼成一个6×6的正方形棋盘？
解: 如图染色即可证明.
每个1×4的长方形纸片将盖住3个黑的1个白的，或者3
个白的1个黑的. 设前一类有x个，后一类有y个.
那么x+y=9且3x+y=10. 无非负整数解.
注：因为棋盘太小，也可以不用染色法，而直接枚举所有可能的拼法来证明原结论.从一角开始讨论将使得讨论的情况大为减少。

10、平面上有5个顶点，将这5个顶点两两间用线段连接，得到10条线段，并把这
些线段用红色和黄色任意的染色，请给出一种染色方法，使得不存在同色边三角形。

解：构造一个答案如图，实线和虚线代表两种不同的颜色。

要点：每个点连出的四条线段一定是两红两黄。

11、在平面上有一个10⨯10的方格棋盘，在棋盘的正中间摆
好36枚棋子，它们被摆成一个6⨯6的正方形。

按下面的规
则进行游戏:每一枚棋子都可沿水平方向或竖直方向越过一枚相邻的棋子，放
进紧挨着这枚棋子的空格中，并把越过的这格棋子取出来。

那么是否存在一种走法，使棋盘上最后恰好剩下一枚棋子？
解：按如图的方式，将整个棋盘的每一格都分别染
上灰、白、黑三种颜色，这种染色方式将棋盘分成
了三个部分。

按照游戏规则，每走一步，有两种颜
色方格中的棋子数分别减少了1个，而第三种颜色的棋子数增加了一个。

这表明每走一步，每个部分的棋子的奇偶性要发生改变。

因为一开始时，36枚棋子摆成一个6 6的正方形，显然三个部分的棋子数是相同的，从而每走一步，三部分中的棋子数的奇偶性是相同的。

如果走了若干步以后，棋盘上恰好剩下一枚棋子,则两部分上的棋子数为偶数（0），而另一部分上的棋子数为奇数（1）。

这种结果是不可能出现的。