101小升初棋盘中的数学问题(二)

第五讲 棋盘中的数学问题（二）（2012年7月）

一、知识要点

1．学习二人对弈游戏中的基本思考方法：逆推法．

2．掌握数学游戏中失败点和胜利点之间的关系，并能准用语言准确描述“必胜策略”．

3. 棋盘中的计数问题．

4. 用构造法解决存在性问题，掌握构造的一般技巧和基本规律；学习染色问题的基本思想，可以借助这一思想解决一些和棋盘表格相关的构造论证类题目； 掌握染色问题的技巧：双色染色，多色染色。以及间隔染色，行列染色，区域染色． 二、典型例题

例1. 如图是一个4阶的幻方。一次操作是指对一行（或者一列）的四个方格中

的每一个数加上或者减去相同的自然数，那么是否可以经过有限步的操作使得图1中的4阶幻方变为图2中的形式。能则给出一种操作，不能则说明理由。

图1 图2

例2．将2011个小格排成一行，左起第一个格中放一枚棋子，甲、乙两人交替

走这枚棋子（甲先走），每步可移动1格、2格或3格，但只能向右移动， 1）如果规定先走到最后一格者为胜，那么______有必胜的策略，该如何走； 2）如果规定先走到最后一格者为负，那么______有必胜的策略，该如何走

思考：将2010个小格排成一行，左起第一个格中放一枚棋子，甲、乙两人交替

走这枚棋子（甲先走），每步可移动1格、2格或3格，但只能向右移动， 1）如果规定先走到最后一格者为胜，那么______有必胜的策略，该如何走； 2）如果规定先走到最后一格者为负，那么______有必胜的策略，该如何走

例3．仔细阅读，制定策略回答下列问题：

1）在一个3×3的方格棋盘的左上角方格中放有一枚棋子。甲先乙后，轮流走这枚棋子，每人每次只能向下、向右或右下走1格，谁走到右下角方格谁获胜，_____（填“甲”或“乙”）能必胜，请详细叙述他必胜的策略：

2）在一个5×5的方格棋盘的左上角方格中放有一枚棋子。甲先乙后，轮流走这枚棋子，每人每次只能向下、向右或右下走1格，谁走到右下角方格谁获胜，_____（填“甲”或“乙”）能必胜，请详细叙述他必胜的策略：

3）如果是10×10的方格，那么有必胜策略，请详细叙述他必胜的策略:

例4．仔细阅读，制定策略回答下列问题：

1）、一个4×4的方形棋盘上每格都有一个按钮与一盏不亮的灯，按一个按钮就能使得与其同行和同列的灯状态改变一次．例如原来亮的变为不亮；原来不亮的变亮．是否存在一个按按钮的方法，使得所有的灯全部变亮？能则给出一种方法，不能则说明理由；

2）、一个2010×2010的方形棋盘上每格都有一个按钮与一盏不亮的灯，按一个按钮就能使得与其同行和同列的灯状态改变一次．例如原来亮的变为不亮；

原来不亮的变亮．是否存在一个按按钮的方法，使得所有的灯全部变亮？能则给出一种方法，不能则说明理由；

3）、如果是一个2010×2011的方格，那么是否存在使得所有灯全部变亮的方法；如果有至少按多少次；如果没有，请说明理由；

例5．某影院有31排,每排101个座位.某天放映了两场电影,每个座位上都坐了一个观众.如果要求每个观众在看第二场电影时必须跟他(前、后、左、右)相邻的某一观众交换座位,这样能办到吗?为什么? .

例6.能否用1

T 字纸片

,拼成一个8 8

的正方形棋盘?

例7. 仔细阅读，制定策略回答下列问题：

1）中国象棋的马走“日”字,车走横线或竖线,下图是半张中国象棋盘,试回答下面

的问题: 一只马从起点出发,跳了n 步又回到起点.证明:n 一定是偶数.

2）中国象棋的马走“日”字,车走横线或竖线,右上图是半张中国象棋盘,试回答下面的问题: 一只马能否跳遍这半张棋盘,每一点都不重复,最后一步跳回起点?

例8．如图，一个4×4方格表内填有1―16这16个自然数，现在从填有1的方格出发，每一步可以走到相邻的方格中（有一条公共边的方格），并且每个方格至多经过一次，最后走到填有2的方格，那么所走到的全部方格中，填的数之和最大可能是多少？

例9.甲、乙两人轮流在国际象棋的棋盘上摆放棋子

“象”，使得互相之间不会被吃（不考虑象的颜

色）。谁不能再放就算输，那么采取什么样的策

略可以获胜？（注：国际象棋中，象可以吃掉与

它在同一条斜线上的其他棋子）

例10.（思考题）在平面上有一个4⨯8的方格棋盘，

棋子每步跳至2⨯3矩形的另一角(如图的八个

方向之一)，那么能否从棋盘上某一点出发，

让棋子按一定的方法不重复不遗漏地走遍棋

盘上所有空格？

例11．如图，一个转盘被分为内外两部分，用五条半径平均

分割开这个转盘，其中内部的小圆盘固定不动，外部的

圆环可以随意转动（要求转动后必须使得分割线重新组

成半径）。请把数字0到9填入这10个区域中，使得不管

外环如何转动，总有大圆的一个扇形内的两部分所填数

字之和为9。

例12.在10×10的方格表中最少要放多少个2×2的小方格才能保证不能再往表格中放入2×2的小方格，使它不与已放的小方格相交？

*

* 例13. 空间6个点,任三点不共线,对以它们为顶点的线段随意涂以红色或蓝色,

请证明必存在一个同色三角形；

例14. 纸上画有1n ⨯的长条表格，甲、乙两人轮流给表格染色，每次可以选择连

续的两格或者三格染色，直到有一个人无法进行染色，则这个人为失败者。先染色的人是否有必胜策略？

三、练习题

1、能否将1至12排成一圈，使得相邻的两个数之差为5或者7。能则给出一个例子，否则给出证明；

解: 能。例如排成1，6，11，4，9，2，7，12，5，10，3，8。

2、请在右图中的每个空格内填入一个整数，使得对于第一行的每个数，它在第二行中出现的次数刚好等于该列第三行中所填的数，而它在第三行中出现的次数又恰好等于该列第二行中所填的数。

解：设第二行依次填入0234563,,,,,,x x x x x x x =.那么

0123456123456234566x x x x x x x x x x x x x ++++++=+++++=.

由此易求出答案为：第二行为3，1，1，1，0，0；

第三行为2，3，0，1，0，0.

3、如图所示，在6×6的警戒方格内，每个哨所可以监视横、竖、斜方向的全部单位方格，现在已经建了两个哨所。请你挑选一个方格，再建立一个哨所，使得所有的方格都被监视到。

4、(1) 将1，2，

3，4，5，6，7，8，9这9个数字排列在圆周上，使得任意相

邻两数的差（大减小）不小于3且不大于5． (2) 如果改为1至10这10个自然数呢？ (3) 如果改为1至11这11个自然数呢？ 解： 1) 能。例如1，5，9，4，8，3，7，2，6

2）不能 3）不能