代数学发展史概述

代数学发展史概述

作者：李扶苏

来源：《神州·上旬刊》2020年第01期

摘要：随着社会科技的不断进步发展，数学作为基础学科逐渐被越来越多的人重视和关注。在数学学科中，代数学作为研究“数”的学科，与我们平时的生活工作息息相关，有着举足轻重的地位。本文将对代数学发展史进行简要介绍，旨在帮助读者了解代数学的历史发展过程。

关键词：代数学;线性代数;行列式;矩阵;抽象代数

1 引言

如今，世界科技水平飞速提高。数学作为所有理工科的基础学科，其重要性不言而喻。而代数学（algebra）因其以“数”为研究对象成为了数学的核心之一，是真正意义上的“数”学。“代数”原是研究数量关系、结构与数字方程的数学分支，它的中文名字是由我国清代数学家李善兰翻译过来的，意为“以文字符号来代替数字的方法”。它与我们的生活密切相关。小到超市买菜结账，大到物理化学的理论公式或重大世界难题，都离不开代数学作为理论基础。若想充分理解其在科技领域中的价值，并将其运用在未来的科技发展之中，不妨纵观其悠久的历史，体味代数发展的途径与规律。

代数学这一模块主要分为三大部分：初等代数、高等代数和抽象代数。其中抽象代数是最晚形成的，约在十九世纪左右;而初等代数是最古老的，也是最基础的，它起源于公元前的古希腊;高等代数则是对初等代数的补充和完善，就像爱因斯坦相对论对于牛顿力学的完善一样，它将特殊规律化为了普遍规律。本文将主要对这三部分的发展史加以概述。

2 初等代数时期的发展

初等代数是数学里非常古老的一个重要分支，它希望通过更普遍的方法来研究数与量之间的关系。初等代数的研究方向是解决简单的代数式和方程求解问题。

初等代数时期从公元前五、六世纪持续至开始建立高等数学的十六七世纪，约两千年时间，是数学史上持续时间最长的一个阶段。如果还要细分，可以大致分为几何发展时期（公元前五、六世纪至公元二世纪）和代数优先发展时期（公元二世纪至十七世纪）两大时期[1]。

不难看出，几何学的繁荣要早于代数学的发展。对几何学做出最大贡献的是古希腊人。初等代数的发展时期正好与希腊的繁荣时间（公元前七世纪至公元六世纪）相吻合。在此期间，历史记录了许多伟大的几何学家，如欧几里得及其主要研究图形的面积与体积的著作《几何原

本》，对圆锥曲线有巨大贡献的阿波罗尼斯等。几何学在古希腊有了飞速的发展，但是流传下来的著作并不多。其中包括阿基米德这个临死前都在研究圆的男人，提出了抛物线和弓形面积的求法，阿波罗尼斯用圆锥曲线的思想定义了圆等等。即使古希腊人的遗产不多，大多也只是研究几何问题，1000年后，英国的笛卡尔仍然靠着这些资料创立了解析几何。

随着希腊数学的终结，欧洲也进入了中世纪，由于宗教和教会的原因，科学发展一度进入了萧条时期。这时，数学发展的重心从西方转移到了东方，也就是印度、中国和中亚细亚地区。由于计算的需要，代数学优先发展阶段随之到来。这个时期的数学家们主要忙于研究方程的求根问题和计数方法。印度人引进了负数的概念，并发明了现代計数法。我国的学者也在研究低次方程的解法并取得成功。之后，中亚细亚的学者花剌子模对移项及消项这两个数学方法进行了阐述和解释，并发明了“代数（Alegebra）”这个名称。

到了文艺复兴时期，欧洲科学有了复苏的迹象。这时，欧洲人向阿拉伯人学习，并在十六世纪取得了超越以前的代数学成就。意大利人费拉里和塔尔塔利亚在一般形式上解决了三次方程及四次方程的求根问题。在十七世纪，代数学更是前所未有地飞速发展。年轻的数学家阿贝尔和伽罗华设法解决了五次方程代数解法不存在的结论。欧拉写了《代数学引论》，将代数定义为关于字母的变换计算以及各种小量计算的理论。1614年英国人发明了对数。而关于以字母符号表示数字，在十六世纪的法国，维耶特最先用“a”和“b”来代替数字，之后由笛卡尔完善。这时，初等代数便向着下一个时期——高等代数迈进了。

3 高等代数时期

随着时间的推移，在笛卡尔、牛顿、莱布尼茨等卓越的数学家的钻研推动下，初等代数向着更高的阶段发展，高等代数诞生了。高等代数的两大部分线性代数和多项式代数就是由初等代数的一次方程组和二次及以上的高次方程变形进化而来的。所谓变形进化，就是在初等数学的基础上引入了新的概念和更加复杂高端的运算方法[2]。

3.1线性代数

众所周知，一次方程的别名就叫线性方程，而讨论线性方程的性质及运算规律的代数就叫线性代数。在线性代数发展中诞生了两个重要的概念：行列式和矩阵。

3.1.1行列式

行列式{det（A）}是一种速记的表达式，它起源于解线性方程组的需要，行列式并不是一种全新的概念，它只是一种使用便捷的数学计算工具。

行列式的诞生与一名伟大的数学家息息相关，他就是莱布尼茨（Leibniz）。在十七世纪末，莱布尼茨在线性方程组的研究上得到了重大突破。1693年，莱布尼茨运用分离系数法，

首次提出了行列式的概念。在此基础上，莱布尼茨对行列式进行了进一步研究，在18世纪建立了相应的理论体系。50年后，数学家克莱姆提出了用行列式解决线性方程的方法，即后来的克莱姆法则。之后的数学家拉普拉斯对前人数学家范德蒙的结论加以研究，提出了他自己对于行列式展开的定理。

“行列式（detaminate）”一词由大数学家柯西（Cauchy）提出，他也是第一个将行列式加以应用的人。柯西在十九世纪前期（1810-1820）的一段时间对行列式做出了巨大贡献。他不仅改良了拉普拉斯行列式展开定理，还研究了特征方程和二次型的转化问题。在之后的几十年里，英国的席勒韦斯特得到了线性定理和不变因子概念。席勒韦斯特创造了许多新的数学名词，包括代数中的常用术语如不变式、判别式等。1841年，德国数学家雅克比发表题为《论行列式的形成与性质》的论文，该论文代表着行列式相关理论已最终形成。十九世纪是行列式发展突飞猛进的一年，这为之后行列式成为现代数学乃至现代科学不可或缺的有力工具奠定了基础[3]。

3.1.2矩阵

矩阵的诞生与行列式及线性方程组的研究有关，它是一种全新的数学语言和数学工具，有着广泛的应用，在代数学中有很重要的地位。

矩阵（matrix）的概念最早由席勒韦斯特于1848年提出，意为矩形数字阵列。在这之后，凯莱便运用矩阵对线性方程组问题进行解答，提出了著名的Cayley Hamilton理论，即一个矩阵的平方就是它特征多项式的根。矩阵是从行列式发展而来的，它们之间也一直存在着联系。公式det（AB）=det（A）det（B）为矩阵代数和行列式间提供了一种链接，数学家柯西更是给出了相似矩阵的概念。十九世纪也出现了著名的高斯消元法，它可以应用初等变换解方程组。

矩阵的发展始终和线性变换密切相关。19世纪矩阵在线性变换理论中仅占有限的一部分，但到了20世纪中后期，矩阵被赋予了全新的含义，它可以被应用到如今飞速发展的计算机领域中。于是矩阵作为处理离散问题的线性代数，成为从事科研和工程设计的科技人员必备的数学基础[4]。

3.2多项式代数

3.2.1高次方程根的可解性

根据前文叙述，在初等代数时期，数学家们就已经致力于解决四次及以上次方程根能否被解的问题。阿贝尔证明了：“若一个方程可以用根式解出，那么其中的根式是已知方程的根和单位根的有理系数的有理函数”，并指出一般情况下高于四次的代数方程根式解是不存在的。伽罗瓦则创新性地利用了“群”、“域”的方法彻底证明了这一点。