第八章三维形体的表示
三维形的认识与分类
三维形的认识与分类在我们日常生活中，我们所接触到的事物都有不同的形状。
有些形状是平面的，只有长度和宽度，称为二维形状，比如圆形和矩形；而还有一些形状则有长度、宽度和高度，称为三维形状，比如立方体和圆柱体。
本文将探讨三维形状的认识与分类。
对于三维形状的认识，我们首先需要了解什么是三维空间。
三维空间是指具有长度、宽度和高度三个方向的空间，如一个立方体，它的六个面都是平面，分别代表了不同的方向。
在三维空间中，物体可以以各种不同的方式排列和组合，形成各种不同的三维形状。
分类三维形状的方法主要有两种：根据表面特征分类和根据构成要素分类。
根据表面特征分类，我们可以将三维形状分为以下几类：1. 球体：球体是一种完全由曲面构成的三维形状，它的表面到圆心的距离处处相等。
例如，地球就是一个近似于球体的天体。
球体具有无数个不同的半径，因此可以分为不同大小的球体。
2. 圆柱体：圆柱体是一种由两个平行的圆面和连接两个圆面的侧面组成的三维形状。
圆柱体的侧面是一个矩形，两个圆面的圆心在同一直线上。
例如，一根筒状的笔就是一个近似于圆柱体的物体。
3. 圆锥体：圆锥体是一种由一个圆面和连接圆面和圆心的侧面组成的三维形状。
侧面是一条从圆心到圆周的曲线。
如果圆锥体的底面是正圆，则称为正圆锥体；如果底面是椭圆，则称为椭圆锥体。
4. 立方体：立方体是一种具有六个面，每个面都是一个正方形的三维形状。
立方体的六个面互相平行，并且相邻的两个面之间的距离相等。
例如，一个骰子就是一个近似于立方体的物体。
根据构成要素分类，我们可以将三维形状分为以下几类：1. 多面体：多面体是一种由多个平面构成的立体物体。
它的边界由多个面、边和顶点组成。
例如，正方体和六面体都是多面体。
2. 曲面体：曲面体是指由曲面构成的立体物体，其表面没有平面。
曲面体可以是球体、圆柱体、圆锥体等。
曲面体在数学和几何中有着重要的应用。
虽然三维形状的分类方法多种多样，但通过了解不同的分类方法，我们可以更好地认识和理解各种立体物体的特征和属性。
第八讲三维形体的真实感图形与虚拟设计PPT课件
1 简介
CAD造型技术发展的一个新方向是虚拟产品造型。传统产 品设计中，常需要制作产品零件模型来检查设计效果。 如采用虚拟产品技术，用计算机生成真实感图形，就可 以方便地在屏幕上以各种角度显示产品的真实视图，并 直接对外形进行交互式的修改，这种技术可以代替实物 模型的制作。 三种表现形体的方式： 线框图、消隐图和真实感图。
B
Bxmin , Bymin
(2)多边形之间的相交检测
当多边形外接矩形相交时，要判定多边形是否重叠， 需要对各边进行求交运算。在对边做求交运算之前，还可 以使用边的外接矩形相交检测来排除大量不相交的情况。
在下图中，只有c 边和g 边以及f 边和g 边的外接矩 形相交，两个多边形之间其他边均不可能相交。 判定c 和g 或者f和g 是否相交，需要通过线段求交运算来实现。
以下假定消隐算法都是在规范化观察坐标系中进行的，
即所有坐标(x,y,z)都是在规范化观察坐标系中定义的。
任何表面消隐算法必须从透视投影的投影中心或沿着平 行投影的投影方向确定哪些边和哪些面是可见的。即沿 着每条投影线确定最近的可见边与可见面。
可见性问题可归结为：给定两点P1(x1,y1,z1)和 P2(x2,y2,z2)，一个点是否遮挡另一点？这可通过以 下两步进行解答：
（3）当所有的多边形被处理完毕，帧缓存区中 保留的是已消隐的最终结果。
深度缓存算法Zbuffer() : { //初始化深度缓存ZB和帧缓存FB.
ZB(i,j)=1(即显示空间中的最大z值); FB(i,j)=背景色. i=0,1,…,H-
1;j=0,1,…,V-1 for(每一个多边形)
{ // 扫描转换该多边形 for(该多边形所覆盖的每个像素(i,j)) { 计算多边形在该像素的深度值
三维形体的表示
实体的定义（2）
❖ 将三维物体看作一个点集, 由内点 与边界点共同组成
❖ 内点：是指点集中的这样一些点, 点集的正则它 小运们 的算r：具 领有 域完全包含于i：该取内点点集运算的充分
❖ 边r •界A点：c •指i •那A些不具c：备取此闭包性运算质的点
集中的点。
(a) 带有悬挂边、孤立边、 (b) 物体的内部 孤立点的二维物体
偶数个多边形共享。 简单多面体
与球拓扑同构的多面体，即它可以连续变换成一个球。
二、欧拉公式 v-e+f=2
其中：V--顶点数 e--边数 f--面数
欧拉公式是一个多面体是简单多面体的 必要条件
广义欧拉公式
v-e+f-r=2(s-h)
r: 多面体表面上孔的个数 s: 相互分离的多面体数 h: 贯穿多面体的孔洞个数
象，不适合真实感显示
❖ 表面模型
将形体表示成一组表面的集合 形体与其表面一一对应，适合于真实感显示
实体模型
用来描述实体，主要用于CAD/CAM 包含了描述一个实体所需的较多信息，如几何信息、拓扑信 息
过程模型
❖ 以一个过程和相应的控制参数描述
例如： 用一些控制参数和一个生成规则描述的植物
❖ 以一个数据文件和一段代码的形式存在
包括----粒子系统、L系统、迭代函数系统等
2 实体的定义
❖ 抽象带来的问题(数学中的点线面是一 种抽象)
计算机中以数学方法描述的物体是无效的 不能够客观存在
❖ 为什么要求客观存在
CAD/CAM的需求
❖ 什么是客观存在(有效)—实体的定义
具有一定的形状 具有封闭的边界（表面) 内部连通的三维点集 占据有限的空间
个子立方体，对每一个子立方体进行同样的处理
CAD(计算机辅助设计技术)第8章：三维形体显示
3.
ax+by+cz+d=0
4.则L与Q之交点(x,y,z)应满足：
5.
x=x1+pt
6.
y=y1+qt
7.
z=z1+rt
8.
ax+by+cz+d=0
9.其中，p=x2-x1,q=y2-y1, r=z2-z1, 0<=t<=1
求解可得:
t a 1 b x 1 c y 1 d z / a b p c q r
xp x, yp y
(x,y,z)
yv (x,y)
xv
zvp
zv
当zvp=0，即投影平面为xvyv坐标平面时，zp=0。这时正交平 行投影的矩阵表达式为：
1 0 0 0
xp,
yp,
zp,1
x,
y,
z,10
0
1 0
0 0
0 0
0 0 0 1
8.4.2 透视投影
投影参考点用的是观察坐标系中的三维点。假设投影参 考点位于zv轴上的zprp处，则描述投影线的参数方程为：
3. 确定yv轴的正向。方法如下： 选取一个观察正向V，将它投射到过P0并与N垂直的
平面上。注意：可任意选取不与N平行的V。
yv P0
V
N
zv
xv
yv
Pv0
n u
V zv
xv
补充说明：
uvn系统
选定V后，建立yv和xv轴的另一种方法是：由N,V作 叉积求出第三个向量U，它垂直于N和V，由此确定 xv轴 。然后由N和U作叉积确定与它们垂直的向量 v。
（2） 透视投影的情况
Frustum 平截头体
三维实体表示方法
(a)带有悬挂边、孤立边 和孤立点的二维物体
(b)物体的内部 (c)物体内部的闭包
☆几何造型基础 ● 实体的定义
◘ 现实实体性质 ◘ 点集拓扑表示 ◘ 正则点集定义 ◘ 二维流形定义 ◘ 正则运算定义 ◘ 正则运算原理 ◘ 正则运算计算 ● 几何模型定义 ☆实体表示方法 ● 多边形面表示 ● 特征表示方法 ● 空间分割表示 ● 推移表示方法 ● 边界表示方法 ● 构造几何实体 ☆实体表示比较
实体的点集拓扑表示
从点集拓扑的角度可给出实体的简洁定义。 – 三维物体可看作一个点集，它由内点与边界点共同 组成。 • 内点是指点集中具有完全包含于该点集的充分小 邻域的一些点。 • 边界点就是指那些不具备此性质的点集中的点。 – 定义点集的正则运算r： r·A=c·i·A。 其中：i为取内点运算，c取闭包运算，A为一个点 集，那么， • i·A即为A的全体内点组成的集合，称为A的内部， 它是一个开集。 • c·i·A为A的内部闭包，是i·A与其边界点的并集， 它本身是一个闭集。
• 实体的定义(可计算条件)： – 对于一个占据有限空间的正则点集，如果其表面是 二维流形，则该正则点集为实体(有效物体)。 • 这个描述中的条件是在计算机中可检测的，对衡 量一个模型表示是否为实体非常有用。
几何造型技术
☆几何造型基础 • 造型技术：研究如何在计算机中建立恰当的模型表示这
● 实体的定义
些物体的技术。
● 几何模型定义 ☆实体表示方法 ● 多边形面表示 ● 特征表示方法 ● 空间分割表示 ● 推移表示方法 ● 边界表示方法
• 真实世界中存在着千姿百态的物体； • 它是计算机图形学的重要研究内容之一。 – 其中，实体造型技术关注表示实体的信息的完备性 和可操作性，
计算机图形学课件第八章-几何造型简介
32
作业
1．几何造型有哪三种模型？各有什么特点？ 2．分析比较CSG法与B-rep法优缺点。
1973年在英国剑桥大学由I· C· Braid等建成了BUILD系统 1973年日本北海道大学公布了TIPS-1系统 1978年，Shape Data的ROMULUS系统问世 1980年 Evans和Sutherland开始将ROMULUS投放市场
目前市场上已有许多商品化的几何造型系统。
国外： AUTOCAD、CATIA、I - DEAS 、Pro/Engineer、
1
第八章 几何造型简介
8.1 概述 8.1.1 几何造型定义 几何造型是计算机及其图形
工具表示描述物体形状，设计几 何形体，模拟物体动态处理过程 的一门综合技术。包括： 1、曲面造型：B样条曲面，Coons 2、实体造型 3、特征造型：面向制造全过程，实现CAD/CAM集成重要手段 三种造型关键是实体造型，后面重点讨论实体造型。
画、边、点之间的拓扑关系
16
8.3.2 边界表示（B-rep）法
2、形体边界表示法 （1）分层表示 将形体面、边、顶点的信息分别记录，建立层与层 之间的关系，其信息包括几何信息和拓扑信息。 （2）翼边结构 以边为核心来组织形体数据
（3）优缺点 优点：可直接用几何体面、边、点来定义数据， 方便图形绘制。 缺点：数据结构复杂，存储量大。
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8.3.5 分解表示法（D-rep）
先讨论四叉树再讨论八叉树。 1、四叉树
四叉树处理图形基本思想：假定图形由N ×N个像素构成， 且 N＝ 2m。将图形四等分，划分后可能出现三种情况：
（1）图形不占区域：白色区域，不必再划分；
三维形的投影了解俯视和立体的表示方法
三维形的投影了解俯视和立体的表示方法投影是对于三维形的表达方法，通过将三维形投射到二维平面上来呈现其形状和结构。
在投影的过程中，俯视图和立体图是两种常用的表示方法。
本文将介绍三维形的投影，包括俯视图和立体图的含义、表达方法以及其在不同领域的应用。
一、俯视图的表达方法俯视图是指从上方向下看的视角，类似于鸟瞰图。
在俯视图中，三维形的上、前、后、左、右等各个方向的轮廓都能够清晰地展现出来，同时可以准确表达三维形各个部分之间的关系。
俯视图的表达方法有几种常见的方式：1. 平面投影法：将三维形放置在平面上，然后从上方垂直向下投影，得到的投影图即为俯视图。
这种方法通常用于制图和建筑设计中，能够准确地表示尺寸和比例。
2. 效果图法：在计算机图形学中，可以通过三维建模软件将三维形转化为俯视图的效果图。
这种表达方法更加直观生动，适用于室内设计、游戏开发等领域。
二、立体图的表达方法立体图是指通过投影方法将三维形体现在二维平面上的一种图形表达方式。
与俯视图不同，立体图可以呈现三维形的各个侧面，更加贴合实际物体。
立体图的表达方法有几种常见的方式：1. 正射投影法：通过将不同侧面的立体形分别投影到垂直的平面上，再将各个投影图进行组合，得到整个立体图。
这种方法常用于工程制图和机械设计中，能够准确地表示尺寸和形状。
2. 透视投影法：透视投影法是一种能够表现三维效果的投影方法，在绘画和建筑设计中广泛应用。
通过透视原理，在二维平面上用特定的透视点和透视线来表达三维形的立体感，使观者能够感受到深度和空间关系。
三、俯视图和立体图的应用俯视图和立体图作为三维形投影的主要表达方法，在多个领域中得到广泛应用。
1. 建筑设计与室内设计：在建筑设计与室内设计过程中，用俯视图和立体图能够清晰地展示整体规划、空间布局、材质效果等信息，帮助设计师和客户更好地理解和沟通设计意图。
2. 工程制图与机械设计：在工程制图和机械设计中，用俯视图和立体图能够准确地表示物体尺寸、形状和结构，为制造、加工等工艺提供依据。
图形学-8-三维对象表示方法
三维对象表示方法三维实体描述方法：1.边界表示 多边形表面2.空间区分 立体构造 八叉树 分形多边形表面：几何表：顶点坐标和用来标识多边形表面空间方向的参数点表 边表 面表欧拉公式：V-E+S=2（V 为顶点数，E 为棱线数，S 为面数）凡是满足欧拉公式的形体均称为欧拉形体属性表：指明物体透明度及表面反射度的参数和纹理特征曲线曲面：样条曲线/面：样条曲线：通过一组指定点集而生成的平滑曲线的柔性带；样条曲面：可以使用两组正交样条曲线进行描述；、y K y y y K ''≈<<''+''=,1|:|when )1(232曲率公式：曲线不同要求：0阶连续 1阶连续 2阶连续Bezier 样条：N+1个控制点 控制点P k =(x k ,y k ,z k ) 混合函数∑==n k n k k u B P u P 0,)()(P K :控制点位置向量B k,n (u) = C(n,k) * u k * (1-u)n-kC(n,k) = n! / (k!(n-k)!)实体构造：由简单物体构成复杂物体1. 扫描表示：基于一个元素(点、线、面等)或一个形体沿指定路径运动而生成的新的形体2. 结构实体几何法：通过两个指定物体间的并、交、差等集合操作而生成新的物体八叉树8叉树的表示应用三维形体的分解.它对一个外接三维立方体进行递归分解；直至所有小立方体单元要么全部均质，要么全部空，或已分解到规定的分解精度为止。
分形几何方法基本特征1.每点处无限细节2.整体和部分的自相似性分数维：我们知道某些形状相同的几何体放在一起可以组成一个较大的它们的复制品。
例如，需要2条相同的线段（1维的）组成长度扩大到两倍的一条线段。
需要4个相同的正方形（2维几何体）组成棱长扩大到两倍的一个正方形。
需要8个相同的正方体组成一个边长扩大到2倍的一个正方体。
一般的，需要2^d个相同的d维超立方体组成边长扩大到两倍的一个大的d维超立方体；需要c=a^d个相同的几何体组成一个边长扩大a倍的大复制品。
第八章 三维形体的表示
(b):A∩B
(c):普通 (c):普通A∩B 普通A∩B
(d):正则A∩B (d):正则 正则A∩B
正则集合运算
集合运算（ 集合运算（并、交、差）是构造形体的 基本方法。正则形体经过集合运算后， 基本方法。正则形体经过集合运算后， 可能会产生悬边、 可能会产生悬边、悬面等低于三维的形 体。 Requicha在引入正则形体概念的同时，还 在引入正则形体概念的同时， 定义了正则集合运算的概念。 定义了正则集合运算的概念。正则集合 运算保证集合运算的结果仍是一个正则 形体，即丢弃悬边、悬面等。 形体，即丢弃悬边、悬面等。
二、 表示形体的两种模型
数据模型
线框模型 表面模型 实体模型
过程模型
数据模型
完全以数据描述， 完全以数据描述，如 以8个顶点表示的立方体 以中心点和半径表示的球 以数据文件的形式存在 特征表示、空间分割表示、推移表示、边界 特征表示、空间分割表示、推移表示、 表示、 表示、构造实体几何表示等
线框模型
过程模型
以一个过程和相应的控制参数描述 如用一些控制参数和一个生成规则描述的 植物 以一个数据文件和一段代码的形式存在 包括粒子系统、 系统、 包括粒子系统、L系统、迭代函数系统等
三、 实体的定义
抽象带来的问题
计算机中表示的物体是无效的 不能够客观存在
为什么要求客观存在？ 为什么要求客观存在？ 什么是客观存在（有效）—实体的定义 什么是客观存在（有效）
实体的定义
A是一个点集，定义点集的正则运算如下： 正则运算如下 是一个点集，定义点集的正则运算如下： i：取内点运算 取内点运算 c: 取闭包运算 取闭包运算 正则运算r 正则运算r 的全体内点组成的集合，称为A 为A的全体内点组成的集合，称为A 的内部 的内部的闭包的运算， 为A的内部的闭包的运算，是 与其边界点的并集。 与其边界点的并集。
三维形体的真实感显示详解演示文稿
按R、G、B三种颜色分量展开计算得：
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用Phong模型进行计算时，对物体表面上每个点P，均需计 算光线的反射方向R，再由V计算（R·V），为减少计算，可作如下假设：
a) 光源在无穷远处，即光线方向L为常数；
b) 视点在无穷远处，即视线方向V为常数；
c) 为避免计算反射方向R，用（H·N）代替（R·V）， 这里H为L和V的平分向量 ，即： H ＝（L＋V）/ | L＋V |
Z-Buffer算法在象素级上以近物取代远物。形体在屏幕上的 出现顺序是无关紧要的。这种取代方法实现起来远比总体排序灵 活简单，有利于硬件实现。
然而Z-Buffer算法存在缺点：占用空间大，没有利 用图形的相关性与连续性。 Z-Buffer算法以算法简单著 称，但也以占空间大而闻名。
Z-Buffer算法需要开一个与图象大小相等的缓存数 组ZB，可一次性显示。
现在是20页\一共有48页\编辑于星期六
为了得到屏幕上某象素点所对应的物体上点的颜色， 假定作经过该象素点的一条射线，射线平行于观察视线， 则射线与多面体物体可能有多个交点。
如果物体不是透明的，则处于最前面的交点的颜色即为所求， 如右图所示。
最简单的算法——Z缓冲区（Z-Buffer）算法
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现在是19页\一共有48页\编辑于星期六
2）浓淡图绘制算法
通过前面介绍的Gouraud模型、Phong光照模型可计 算物体表面上点的颜色值。
为了显示形体的三维真实感效果图，下面介绍多面体 浓淡图的如何绘制。
由于空间三维物体是连续点集。显然直接计 算点的颜色将无法确定计算采样点的位置和数 目。
事实上，我们仅能看到屏幕所能显示的区域。如果能够求得 屏幕上每一个象素点所对应的物体上点的颜色，这样就可绘制整 个图形。
三维形的认识与分类(小学四年级数学)
三维形的认识与分类（小学四年级数学）三维形的认识与分类在小学四年级的数学学习中，我们将开始学习有关几何图形的知识。
今天，我们将重点学习三维形的认识与分类。
一、认识三维形三维形是指具有长度、宽度和高度三个方向的物体。
在我们的日常生活中，我们可以看到很多三维形，例如立体电视、立方体的骰子、圆柱形的水杯等。
这些物体都具有不同的形状和特征，让我们来仔细观察它们。
1. 球体球体是一种特殊的三维形，它的表面是平滑且没有棱角的。
我们可以想象成一个完全由圆形组成的立体。
常见的球体有篮球、足球、网球等。
它们都具有相同的特点，表面光滑且没有底面。
2. 圆柱体圆柱体由两个圆形和一条平行于两个圆形的直线相连而成。
它的侧面是曲面，底面是圆形。
我们可以举例来理解圆柱体，例如铅笔、水杯、香蕉等。
它们都具有两个圆形底面和一个曲面。
3. 立方体立方体是由六个正方形面构成的三维形。
它的六个面都是完全相同的正方形。
常见的立方体有骰子、盒子等。
它们的六个面都是正方形，边长相等。
4. 锥体锥体是由一个圆锥面和一个底面构成的三维形。
圆锥面是由一个尖顶点和与底面边缘连接的直线围成的。
我们可以想象成一个地面逐渐变窄的圆锥形。
常见的锥体有冰淇淋、棒棒糖等。
二、分类三维形了解了不同的三维形后，我们可以根据它们的特征进行分类。
1. 按底面形状分类根据底面的形状，我们可以将三维形分为圆柱体和四边形面的形状。
圆柱体的底面是圆形，而四边形面的形状可以是正方形或者矩形。
2. 按侧面的形状分类根据侧面的形状，我们可以将三维形分为直棱柱、倾斜棱柱和曲面棱锥。
直棱柱的侧面是长方形或正方形，而倾斜棱柱的侧面则是菱形或矩形。
曲面棱锥的侧面是曲面，例如冰淇淋锥形的尖尖部分。
通过对三维形的分类，我们可以更好地理解它们的特征和结构。
这将帮助我们在解决数学问题时更加准确地应用相应的几何概念。
三、小结在本篇文章中，我们学习了三维形的认识与分类。
通过认识不同的三维形，例如球体、圆柱体、立方体和锥体，并根据其特征进行分类，我们能更好地理解它们的结构和特点。
ch6三维形体的表示
正则集合运算
任一实体S可以用它的边界bS和它的内部iS来表示，即 S=bS ∪ iS
由实体的定义可知，bS是封闭的，它将整个三维空间分成 了三个区域： S的内部iS , S的边界bS ,S的外部eS。边界bS 与实体S是一一对应的。确定了边界，也就唯一确定了一个实 体。
因此，为了求实体A，B的正则集合运算结果A op* B，只 要求出其边界b（A op* B）即可。
形体与其表面一一对应，适合于真实感显示
1
2
顶点 属 连接指针
表面编号 5
号性
表面特征 0
1202
起始指针 1
2303
顶点个数 4
3404
4
3
41
1
表面模型
缺点： 不能有效的用来表示实体 原因： 1、表面模型中的所有面未必形成一个封 闭的边界 2、各个面的侧向没有明确定义，即不知 道实体位于面的哪一侧
表示形体的两种模型
模型分类
实体的定义
抽象带来的问题
计算机中表示的物体是无效的 不能够客观存在
为什么要求客观存在
CAD/CAM的需求
什么是客观存在（有效）—实体的定义
具有一定的形状 具有封闭的边界（表面) 内部连通 占据有限的空间 经过运算后，仍然是有效的物体
实体的定义
将三维物体看做一个点集，它由内点和 边界点共同组成。
放置长方体都能唯一地表示了。
对于多面体由于其轮廓线和棱
线通常是一致的，所以多面体
的线模型更便于识别，且简单。
线框模型
优点：简单、处理速度快
缺点：
1、对于非平面多面体，如圆柱、球等形体， 其轮廓线随观察方向的改变而改变，无法用 一组固定的轮廓线来表示它们。
三维实体模型的计算机表示方法
一、概述三维实体模型在计算机科学和工程领域中扮演着重要角色，它们被广泛应用在计算机辅助设计（CAD）、设计和制造（DM）以及虚拟现实（VR）等领域。
如何高效准确地表示和处理三维实体模型一直是学术界和工业界关注的重点问题之一。
本文将介绍计算机中三维实体模型的表示方法，包括多边形网格、B样条曲面、体素等，并探讨它们各自的优缺点及适用范围。
二、多边形网格表示方法1. 定义多边形网格是一种由顶点、边和面组成的三维几何体表示方法。
它由一组顶点坐标和连接这些顶点的三角形或四边形面构成。
多边形网格是三维实体模型最常见的表示方法之一，被广泛应用在图形学、动画和游戏开发等领域。
2. 优点（1）灵活性强：多边形网格能够表示各种形状的三维物体，并且可以对顶点进行细粒度的编辑和操作。
（2）易于渲染：多边形网格可以直接转换为计算机图形的基本单元，易于进行光栅化和渲染。
3. 缺点（1）表面光滑性差：多边形网格无法很好地表示曲面，对于表面光滑性要求较高的物体，需要增加顶点数目来逼近真实表面。
（2）内部结构不明显：多边形网格无法直观地表示三维实体的内部结构，例如对于固体模型的空洞或内部空间无法直接表达。
4. 应用多边形网格广泛应用于三维建模和可视化领域，如CAD软件、动画制作和游戏引擎等。
三、B样条曲面表示方法1. 定义B样条曲面是一种由B样条基函数线性组合而成的曲面表示方法。
它通过对控制顶点的位置进行调整，可以灵活地描述各种曲面形状，并且具有较好的表面光滑性和局部编辑能力。
2. 优点（1）表面光滑性好：B样条曲面可以较好地逼近真实曲面，并且能够实现G1、G2连续性的表面拟合。
（2）局部控制性强：B样条曲面的控制点可实现局部编辑，对整体形状的影响较小。
3. 缺点（1）复杂性高：B样条曲面的数学原理和计算方法较为复杂，实现和计算成本较高。
（2）内部结构不明显：类似于多边形网格，B样条曲面也无法直观地表示三维实体的内部结构。
4. 应用B样条曲面广泛应用于工程设计、汽车造型和工业设计等领域，如CATIA、Pro/E等三维设计软件。
三维形的认识与性质
三维形的认识与性质三维形是我们日常生活中常见的立体物体，它们具有一些特定的性质和特征。
通过对三维形的认识和了解，我们可以更好地理解和应用立体几何知识。
本文将从三维形的定义、特征、分类和性质等方面进行探讨。
一、三维形的定义三维形是指在三维空间中存在的具有长度、宽度和高度的几何体。
与二维形状相比，三维形是立体的，可以从不同的角度观察和描述。
常见的三维形包括立方体、球体、圆柱体、圆锥体等。
二、三维形的特征1. 长度、宽度和高度：三维形是由长度、宽度和高度构成的，这些特征使得三维形在空间中具有体积和形态上的差异。
2. 角度：三维形中的角度可以有不同的度量方式，例如直角、钝角和锐角。
3. 面和边：三维形具有面和边，通过面和边的组合可以构成不同形状的三维体。
三、三维形的分类根据形状和结构的不同，三维形可以分为以下几类：1. 柱状体：具有两个平行且相等的底面以及连接底面的侧面，如圆柱体和棱柱体。
2. 球状体：由所有离球心的点组成，如球体。
3. 圆锥体：具有一个圆形底面和一个点（称为顶点）连接底面的侧面，如圆锥体和棱锥体。
4. 立方体：具有六个相等的正方形面，如立方体。
5. 其他形状：还有许多其他的三维形状，如四面体、正八面体等。
四、三维形的性质1. 体积：三维形的体积用来描述立体物体所占据的空间大小。
不同形状的三维形体计算体积的方法也不同，例如球体的体积计算公式为V = (4/3)πr³，其中r为球体的半径。
2. 表面积：三维形的表面积指的是立体物体外表面的总面积。
不同形状的三维形体计算表面积的方法也不同，例如立方体的表面积计算公式为A = 6a²，其中a为立方体的边长。
3. 射影：三维形在二维平面上的射影称为立体的平行视图。
平行视图可以帮助我们更清楚地了解三维形的形状和结构。
4. 对称性：某些三维形具有对称面或对称轴，具有对称性的三维形在可视化和构造上更具美感和平衡感。
结论通过对三维形的认识与性质的探讨，我们可以更好地理解和应用立体几何知识。
三维形的认知与描述
三维形的认知与描述认知是人们对于外部世界的知觉和理解。
在我们的日常生活中，我们通过感官接收到的信息，然后对这些信息进行加工和理解。
而认知的一个重要方面就是对事物形状和结构的认知与描述。
在这篇文章中，我们将探讨关于三维形状的认知与描述。
1. 三维形状的认知三维形状是指具有长度、宽度和高度的物体形态。
人们通过视觉感知来获取对于三维形状的认知。
视觉系统能够感知到物体的不同方面，包括形状、大小、位置和方向等。
在认知过程中，大脑会将这些感知信息进行整合和加工，以便我们能够对物体进行识别和理解。
2. 形状描述的方法在三维形状的描述中，我们通常会使用一些几何特征或者词汇来对物体进行描述。
例如，我们可以使用诸如“圆形”、“正方体”、“椭圆形”等词汇来描述物体的基本形状。
此外，我们还可以使用一些几何特征，如长、宽、高等来描述物体的大小和尺寸。
3. 三维形状的识别人们具备将二维图像转化为对应的三维形状的能力。
这个过程需要借助于我们的视觉系统和前期经验。
通过观察物体的棱角、曲线等特征，我们可以将其与我们之前所见过的物体进行比对和匹配，从而进行形状的识别。
因此，前期经验对于三维形状的识别至关重要。
4. 三维形状的描述方法为了更准确地描述三维形状，人们提出了一些专门的数学方法和模型。
例如，我们可以使用CAD软件来对物体进行建模和描述。
CAD软件能够精确地绘制出物体的三维模型，并且可以提供各种几何参数来描述物体的形状和结构。
这些模型可以在工程设计和制造等领域得到广泛应用。
5. 三维形状的应用三维形状的认知和描述在许多领域中起着重要作用。
在建筑设计中，人们需要将设计图纸转化为实际的建筑物，这就需要对其进行三维形状的认知和描述。
在工业制造中，对于产品形状的精确描述有助于生产过程的优化和效率的提高。
此外，在虚拟现实和增强现实技术中，对于三维形状的认知和描述也是实现沉浸式体验的重要基础。
6. 三维形状的发展趋势随着科技的不断发展，三维形状的认知与描述也在不断演进。
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顶点个数 4
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1
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表面模型
❖ 缺点： ❖ 不能有效的用来表示实体 ❖ 原因： ❖ 1、表面模型中的所有面未必形成一个封
闭的边界 ❖ 2、各个面的侧向没有明确定义，即不知
道实体位于面的哪一侧
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实体模型
实体模型
❖用来描述实体，主要用于CAD/CAM ❖包含了描述一个实体所需的较多信息，如几何信
2020/7/8 询问形体的属性及其浙有江关大学参计数算机学院
1
形
❖ 在计算机中形体一 般定义为六层拓扑 结构，首先介绍在 三维空间中基本术 语的定义。
体 形体(object) 外壳(shell) 面(face)
边(loop)
环(loop) 顶点(vertex)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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曲线和直线方程
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息、拓扑信息，可以支持多种运算，如欧拉运算 等。
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表示形体的两种模型
❖ 过程模型
以一个过程和相应的控制参数描述 例如
❖ 用一些控制参数和一个生成规则描述的植物
以一个数据文件和一段代码的形式存在 包括----粒子系统、L系统、迭代函数系统等
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v2
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线框模型
s1 e3 v3 e10 s5
线框模型：将形体表示成 一组轮廓线的集合。
v6 e7s2 e11 e6
s6
一般地，画出了形体的棱线与
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v1
s4 e4
e1
e9
v4
v5 e8
e2 e12 s3
v8
轮廓线就能唯一地表示出来。
如图，八个顶点可以定义一个
引言
❖ 三维图形在科学研究和工程技术中有着广泛的应用。在CAD中，需 要对所设计的作品从不同的角度进行审视。计算机几何造型就是 用计算机系统来表示、控制、分析和输出三维形体。所以几何造 型是计算机图形学中一个十分重要的应用领域，它是CAD/CAM和 CIMS系统的核心技术，也是用来实现计算机辅助设计的基本手段。 几何造型的功能：
形体输入，即把形体从用户格式转换成计算机内部格式；
图形数据的存储和管理；
图形控制，如对形体进行平移、缩放、旋转等几何变换；
图形修改，如应用集合运算、欧拉运算、有理B样条操作及其 交互手段实现对形体局部或整体修改；
图形分析，如形体的容差分析，物质特性分析等；
图形显示输出，如消隐、光照、颜色的控制等；
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实体的定义
❖ 抽象带来的问题
计算机中表示的物体是无效的 不能够客观存在
❖ 为什么要求客观存在
CAD/CAM的需求
❖ 什么是客观存在（有效）—实体的定义
具有一定的形状 具有封闭的边界（表面) 内部连通 占据有限的空间 经过运算后，仍然是有效的物体
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点的 几何 坐标
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形体
❖ 体素 具有有限个参数定义，且简单 的连续封闭的形体称为体素， 如长方体、圆柱体、圆锥、球、环等。
❖ 半空间 集合{P|F(P)≤0}成为半空间，其中P为R3中的一点，F为一个平面， 当F=0时，表示一个平面，这个平面的半空间可以由 F(P)=ax+by+cz+d定义的平面加上在平面某一侧的所有点组成。显 然一个长方体可以看成是6个平面半空间的交。
❖ 几何信息 用来表示形体的几何性质和度量关系称为几何信息。
❖ 拓扑信息 用来表示形体之间的连接关系称为拓扑信息。
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表示形体的两种模型
❖ 模型分类
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表示形体的两种模型
❖ 数据模型
完全以数据描述 例如
❖用以8个顶点表示的立方体 ❖以中心点和半径表示的球 以数据文件的形式存在 包括----特征表示、空间分割表示、推移表示、边 界表示、构造实体几何表示等 进一步分为 ❖线框模型 ❖表面模型 ❖实体模型
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实体的定义
❖ 将三维物体看做一个点集，它由内点和 边界点共同组成。
❖ 内点：具有完全包含于该点集的充分小 的邻域
❖ 边界点：不具有内点性质的点集
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实体的定义
A是一个点集，定义点集的正则运算如下： ❖ i：取内点运算 ❖ c: 取闭包运算
❖ 正则运算r r • A c •i • A
长方体，但还不足以识别它，
如果定义了棱线，则无论如何
放置长方体都能唯一地表示了。
对于多面体由于其轮廓线和棱
线通常是一致的，所以多面体
的线模型更便于识别，且简单。
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线框模型
优点：简单、处理速度快
缺点：
1、对于非平面多面体，如圆柱、球等形体， 其轮廓线随观察方向的改变而改变，无法用 一组固定的轮廓线来表示它们。
❖ 二维流形
如果把线框模型中的棱线包围的部分定义为 面，所形成的模型便是表面模型。其数据结 构是在线模型的基础上附加一些指针，有序 地连接棱线。下图中表面编号表示第几个表 面，表面特征表面是平面还是曲面。
形体与其表面一一对应，适合于真实感显示
2 表面编号 5
顶点 属 连接指针 号性
表面特征 0
1202
起始指针 1
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实体的定义-举例说明
❖ 阴影部分：物体的内部区域 ❖ 黑色部分：边界 ❖ (a)图取内点->(b)图求闭包->(c)图
❖ 正则运算：去除与物体维数不一致的悬挂部分 或孤立部分。
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实体的定义
❖ 实体的定义—可计算的条件
正则点集 表面是二维流形
❖ i • A：A的全体内点组成的集合，称为A 的内部
❖ c • i • A为A的内部的闭包的运算，是 i • A与其边界点的并集。
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实体的定义
❖ 正则点集
r • A 称为A的正则点集 称A为正则点集，如果它满足 r • A A
❖ 问题：正则点集是实体？
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2、线框模型与形体之间不存在一一对应关系： 它仅仅通过给定的轮廓线约束所表示形体的 边界面，而在轮廓线之间的地方，形体的表 面可以任意变化。
3、没有形体的表面信息，不适于真实感显示， 由此导致表示的形体可能产生二义性。
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表面模型
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❖表面模型
将形体表示成一组表面的集合