九年级数学圆周角

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数学九年级上第三篇第四节《圆周角》课件

数学九年级上第三篇第四节《圆周角》课件
目录
• 圆周角基本概念与性质 • 圆周角定理及其推论 • 弧长与扇形面积计算 • 圆锥曲线中圆周角应用 • 拓展延伸：其他几何图形中圆周角应用 • 总结回顾与课堂练习
01 圆周角基本概念与性质
圆周角定义及特点
圆周角定义
顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。
圆周角性质总结
01
02
03
性质1
在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，那么它们所对的弧也相等。
性质2
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆周角也相等。
性质3
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。
02 圆周角定理及其推论
圆周角定理内容
ห้องสมุดไป่ตู้圆周角定义
圆柱、圆锥等立体图形中圆周角应用
圆柱中的圆周角
圆柱侧面展开图是一个矩形，其相邻两边夹角即为圆周角。利用圆周角定理可解决圆柱中的相关问题。
圆锥中的圆周角
圆锥侧面展开图是一个扇形，其圆心角即为圆锥的顶角，而圆周角则为顶角的一半。利用这些性质可解决圆锥中的相关问题。
圆周角定理在立体图形中的应用
在解决立体图形的问题时，可利用圆周角定理将问题转化为平面问题，从而简化计算过程。
设扇形半径为r cm，则根据扇形面积计算公式有 (45° × π × r²) / 360 = 24cm²，解得 r≈4.37cm（保留两位小数）。再根据弧长计算公式，弧长 = 45° × 4.37cm × π / 180 ≈ 3.43cm（保留两位小数）。
04 圆锥曲线中圆周角应用
圆锥曲线基本概念回顾
典型例题解析

九年级下册数学圆周角定理

九年级下册数学圆周角定理一、圆周角定理的定义圆周角定理指的是，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。

用数学表达式表示为：在同圆或等圆中，若弧AB与弧CD相等，则AB所对的圆周角∠ACB = CD所对的圆周角∠ADC，且∠ACB = ∠ADC = ∠AOB / 2（其中O为圆心，A、B、C、D为各点）。

二、圆周角定理的证明证明圆周角定理可以采用以下步骤：1. 根据题目给出的条件，作直径上的圆周角。

2. 连接圆心和圆周角的顶点，并将直径平分该角。

3. 由于直径平分该角，所以该角是直角的一半。

4. 由于直角的一半是45度，所以该圆周角等于45度。

5. 根据等腰三角形的性质，我们可以证明圆周角所对的弧等于半圆的弧。

6. 由此可以得出结论，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。

三、圆周角定理的应用圆周角定理是解决几何问题的重要工具之一，它可以应用于以下方面：1. 确定圆的中心：通过测量同弧所对的圆周角的大小，可以确定圆的中心。

2. 计算角度：通过圆周角定理，可以计算出圆中任意角度的大小。

3. 证明等腰三角形：利用圆周角定理可以证明等腰三角形的一些性质和判定方法。

4. 解决几何问题：利用圆周角定理可以解决一些与圆有关的几何问题。

四、圆周角定理的推论1. 同弧或等弧所对的圆周角相等；反之，同弧或等弧所对的圆周角相等。

2. 在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等；反之，在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角相等。

3. 在同圆或等圆中，如果两个圆周角分别是α和β，那么它们所对的弧也满足|α - β| = |⊙o中相等的弧间的比例差|。

这些推论也可以应用于多个等圆的公共点处的情况。

九年级数学圆周角与圆心角的关系

解决几何作图题
在数学竞赛中，利用圆周角定理可以解决一些几何作图题。
05
练习与思考
基础练习题
1、题目
已知⊙O的半径为5cm，圆心角 ∠AOB = 100°，则弦AB的长为
_______．
2、题目
已知$angle AOB = 60^{circ}$，点$P$是$OB$上一点，$OP =
5$，则以点$P$为圆心，与 $OA$相切的圆中最小的半径为
学习目标
理解圆周角和圆心角的定义及性质。
能够运用圆周角与圆心角的关系解决实际问题。
掌握圆周角与圆心角之间的定理及其证明。
02
圆周角与圆心角的基本概念
圆周角的定义
顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角。
圆周角等于它所夹弧所对的圆心角的一半。
圆心角的定义
顶点在圆心上，两边都和圆相交的角叫做圆心角。圆心角等于的半径
利用圆周角定理，可以确定一个点在圆上的位置。
通过圆周角定理，可以计算出圆的半径。
绘制圆的切线
利用圆周角定理，可以绘制出圆的切线。
在数学竞赛中的应用
解决几何证明题
在数学竞赛中，利用圆周角定理可以证明一些几何命题。
解决几何计算题
通过圆周角定理，可以解决一些几何计算题，例如计算角度或长度。
证明过程还可以通过其他方法，如利用相似三角形来证明。
定理的应用示例
应用示例1
证明两个圆周角相等。如果两个圆周角所对的弧相等，那么这两个圆周角相等，这是圆周角定理
的一个直接应用。
应用示例2
计算圆心角的大小。已知一个圆周角的大小，可以利用圆周角定理计算出它所对的圆心角的大小。
应用示例3

人教版九年级数学上章节知识点深度解析圆周角第1课时圆周角定理及推论

AD ＝ CB . 求证： AM ＝ CM .
证明：由圆周角定理推出∠ A ＝∠ C ，∠ D ＝∠B ，
在△ ADM 和△ CBM 中，
∠＝∠，
ቐ＝，
∠＝∠，
∴△ ADM ≌△ CBM （ASA）.∴ AM ＝ CM .
1
2
3
4
5
谢谢观看
Thank you for watching!
⁠
.
⁠
定理的 2.半圆（或直径）所对的圆周角是直角
推论 90°的圆周角所对的弦是直径 .
⁠
，
图例
90°直径ຫໍສະໝຸດ 圆周角内容图例
①在圆中，利用“直径所对的圆周角是直
解题
角”构造直角三角形解题.
策略
②一条弦所对的圆周角有两种情况：相等
或互补.
当堂检测
1. 如图，已知圆心角∠ BOC ＝78°，则圆周角∠ BAC
的度数是（ C
）
A. 156°
B. 78°
C. 39°
D. 12°
第1题图
1
2
3
4
5
2. 如图， AB 是圆 O 的直径，点 C 在圆 O 上，若∠ A ＝
30°，则∠ B 的度数为（ B
A. 75°
B. 60°
C. 45°
D. 15°
）
第2题图
1
2
3
4
5
3. 如图， AB ， BC 是☉ O 的弦， AB ＝3，∠ ACB ＝
30°，则☉ O 的半径等于（
A. 1.5
B. 3
C. 4.5
D. 6
）
B
第3题图
1
2
3

九年级数学《圆周角》课件

方法一：
C
A
解：连接BC ∵AB为直径
D O
∴∠BCA=90°
（直径所对的圆周角为直角）
B
∴∠BCD+∠DCA=90°，∠ACD=15°
∴∠BCD=90°-15=75°
∴∠BAD=∠BCD=75°（同弧所对的圆周角相
等）
4.如图，AB是⊙O的直径，∠C=15°，求 ∠BAD的度数。
C
A
方法二：
解：连接OD
并且两边都和圆相交的角
A
叫圆周角.
特征：
① 角的顶点在圆上.
② 角的两边都与圆相交. B
.
O C
根据圆心与圆周角的位置关系
归纳同学们的意见我们得到以下几种情况。
A
C
A C
A C
O
B ①
O
O
B
B
②
③
圆周角和圆心角的关系
▪ 1.首先考虑一种特殊情况：
▪ 当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的一边(BC)上时,圆周角
情境导入
• 当球员在B,D,E处射门时, 他所处的位置对球门AC 分别形成三个张角∠ABC, ∠ADC,∠AEC.你能观察到这三个角有什么共同特征吗?
A
E B
C D
1.顶点在圆上 2.两边和圆相交
A
E
●O
C
B
D
1、了解圆周角的概念。 2、会推导证明圆周角定理并会灵活运用。 3、灵活运用圆周角定理推论解决问题。
老师提示:能否转化为1的情况? 过点B作直径BD.由1可得:
AD C
●O
∠ABD
=
1∠AOD,∠CBD
2
=1 ∠COD,

人教版初中数学九年级上册《圆周角》课件

课堂小结
1．圆周角
顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角．
A
2．圆周角定理
B
C
在同圆（或等圆）中，同弧或等弧所对的圆
周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半．
3.如左图，点A、B、C、D在⊙O上，点A与点D在点B、C所在直线的同侧，∠BAC=400 (1)∠BDC=_______° (2)∠BOC=_______°
4．如右图，∠A是⊙O的圆周角，∠A=40°，则 ∠OBC=_______°
5．如图，D是A C的中点，与∠ABD相等的角的个数是（）． A．4个 B．3 个 C．2 个 D．1个
如图，在⊙O中，请在练习本上画出弧BC所对的圆心角和圆周角。
用量角器分别测量∠BAC与∠BOC的度数,比较两角的大小,找出关系.
命题:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
探究一：
(1)当圆心在圆周角的一边上时, A
证明:(圆心在圆周角上)
O
OA OC C BAC
BAC
B 1
C BOC
人教版九年级数学上册第二十四章圆
24.1.4圆周角第一课时
问题 1 下列图形中,哪个是圆心角?什么叫圆心角?圆心角有什么主要特征?
问题 2 上图中(2)的角有什么主要特征?
问题3 按照顶点在圆上,两边都和圆相交的条件画图,能画出多少个这样的角?
上图中还有圆周角吗?并分析(1)(4)(6)(7) 为什么不是圆周角?
BOC BAC C
2
结论：在同圆或等圆中,一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半.
2.当圆心在圆周角内部时
提示:能否转化为1的情况?
过点B作直径BD.由1可得:

圆周角数学九年级上册(共16张PPT)

24.1.4 圆周角
温故知新
1.什么叫圆心角?
顶点在圆心的角叫圆心角
2.右图中哪个角是圆心角？
∠BOC
概念定义
请同学们观察图中的∠BAC有哪些特征？
② 角的两边都和圆相交（即两边是圆的两条弦）
定义：
顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫圆周角.
（两个条件必须同时具备，缺一不可）
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月1日
2024课件
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月1日
猜想：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的度数的一半．
(
？
圆心在圆周角一边
分类证明
圆心在圆周角内部
相加
由可知
分类证明
圆心在圆周角外部
相减
分类证明
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
圆周角定理：
推论1：同弧所对的圆周角相等．
或等弧
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，
(3)∠3=∠ ;
(4)∠5=∠ .
4
7
6
8
学以致用
4.如图 AB是⊙O的直径, C ,D是圆上的两点,若∠ABD=40°,则∠BCD=＿＿＿＿＿.
50°
课堂小结
谈谈这节课你有哪些收获？
思想方法：
知识层面：
分类讨论、转化、从特殊到一般
布置作业：第88页2、3题，习题24.1第14题
90°的圆周角所对的弦是直径.
归纳定理
学以致用
120°
1.求圆中角x的度数
B
A
O
.
70°
x
A
O.Leabharlann X120°B

九年级数学上册教学课件《圆周角》

【教材P88练习第3题】
证明：∵ ∠ACB= ∠AOB，∠BAC= ∠BOC，∠AOB=2∠BOC， ∴ ∠ACB =2∠BAC.
4. 如图，你能用三角尺确定一张圆形纸片的圆心吗？有几种方法？与同学交流一下.
【教材P88练习第4题】
解：根据90º的圆周角所对的弦是直径,两直径的交点即是圆心.
⌒
（2）如何证明一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半？
第一种情况：
证明：如图，连接 AO 并延长交⊙O 于点 D．∵OA=OB，∴∠BAD=∠B．又∵∠BOD=∠BAD+∠B，
第二种情况：
D
请同学们自己完成证明.
第三种情况：
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
圆周角定理：
拓展延伸
⌒
⌒
解：(1)连接OA，交BF于点M.∵A是BF上的中点，∴OA垂直平分BF.∴∠BOM=90°-∠B=90°-α=40°.∴∠C= ∠AOB= ×40°=20°,即β=20°.(2)β=45°- α.证明：由(1)知∠BOM＝90°-α.又∠C＝β＝ ∠AOB,∴β＝ (90°-α)＝45°- α.
等弧所对的圆周角相等．
∴
等弧：
∠BDC=∠CAE
同弧或等弧所对的圆周角相等．
推论1：
显然，在同圆或等圆中，相等的圆周角所对应的弧相等，所对应的弦也相等.
下列说法是否正确，为什么？“在同圆或等圆中，同弦或等弦所对的圆周角相等”.
D
B
C
O
E
.
一条弦所对应的圆周角有两个.
这两个角有什么关系吗？
9.如图，已知EF是⊙O的直径，把∠A为60°的直角三角板ABC的一条直角边BC放在直线EF上，斜边AB与⊙O交于点P，点B与点O重合；将三角形ABC沿OE方向平移，使得点B与点E重合为止．设∠POF=x°，则x的取值范围是．

《圆周角》九年级数学初三上册PPT课件

时间：20XX
前言
学习目标
1.理解圆周角的定义，了解与圆心角的关系，会在具体情景中辨别圆周角。
2.掌握圆周角定理及推论，并会运用这些知识进行简单的计算和证明;
3.学习中经理操作、观察、猜想、分析、交流、论证等数学活动，体验圆周角的、定理的探索。
重点难点
重点：理解并掌握圆周角定理及推论。
难点：圆周角定理的证明。
Concise And Concise Do Not Need Too Much Text
时间：20XX
第二十四章圆
24.1.4 圆周角
人教版
数学九年级上册
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Concise And Concise Do Not Need Too Much Text

圆心角和圆周角之间存在的关系
情景二（证明∠BAC=
1 2
3
5
D
4
6
1
∠BOC）:
2
连接AO，延长AO,与⊙O相交于点D
证明二：
OA=OC=>∠4＝∠2
OA=OB=>∠1＝∠3
∠5＝∠1 ＋∠3
∠6＝∠5 ＋∠4
∠=∠5+∠6

=> ∠ = ∠。

圆心角和圆周角之间存在的关系
情景三（证明∠BAC=
B
A
个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形。
O
这个圆叫做这个多边形的外接圆。
例：四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
⊙O是四边形ABCD的外接圆。

初中数学人教九年级上册第二十四章圆圆周角定理PPT

(2)∵BA=BC，∴∠A=∠C. 由圆周角定理得∠A=∠E， ∴∠C=∠E，∴DC=DE.
27
28
知识点三：圆周角定理的推论
合作探究
先独立完成导学案互动探究1、3，再同桌相互交流，最后小组交流；
1.如图，在⊙O中，弦AB＝3cm，点C在 ⊙O上，∠ACB＝30°.求⊙O直径. 2.如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使AC＝AB，BD与CD的大小有什么关系?为什么?
B A
O A
O B
知识点三：圆周角定理的推论
学以致用
1、如图，AB是半圆的直径，点D是AC的中
点，∠ABC＝50°，则∠DAB等于( ) C
A.55°B.60°C.65°D.70°
B
A
O
2.如图，⊙O的半径为1，AB是⊙O的一条
弦，且AB＝ 3，则弦AB所对的圆周角的度 A
数为( )D A.30º B.60º C.30º或150 º D.60º或120º
如果AB＝CD，那么∠E和∠F是什么关系？ O1 D
反过来呢？
C
A
F
结合⑴、⑵你能得到什么结论？
O2
B
21
知识点三：圆周角定理的推论
归纳总结
圆周角定理推理1
同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等.
∵ AB=CD ∴∠E=∠F
在⊙O中∵∠E=∠F ∴AB=CD
E
A
F
O D
对的弧也相等；②两条弦相等，弦所对的弧也相等；③弦
心距弦心距所对的弦相等；④两个圆周角相等，圆周角所
对的弧相等；⑤弧相等弧所对的弦相等；
C
⑥弧相等弧所对的圆周角也相等。

九年级数学圆第五节圆周角知识梳理及典例分析

第五节圆周角知识点梳理【知识点一】圆周角定理1.圆周角的定义：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角2.圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半【知识点二】圆周角定理的推论推论1：半圆（或直径）所对的圆周角是直径；90o的圆周角所对的弦是直径推论2：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等典例分析【题型一】圆周角的识别【例1】如图，指出图中的圆周角。

A.1个B.2个C.3个D.4个【题型二】利用圆周角定理求交的度数【变式1】如图，AB是⊙O的直径，CD，BC为弦，CD∥AB，∠BOD=50°，求∠CPD的度数。

【题型三】利用圆周角定理及其推论判断角之间的数量关系【例1】如图AB是⊙O的直径,CD 是⊙O的弦AB⊥CD.(1)P是CAD上一点(不与C,D重合) ,求证: ∠CPD= ∠COB(2)点P'在劣弧CD上(不与C,D重合)时,∠CP'D与∠COB有怎样的数量关系?请证明你的结论。

【变式1】如图,AB为⊙O的直径,点C在⊙O上,延长BC至点D，使DC=CB,延长DA与⊙O 的另一个交点为E,连结AC,CE.则∠B与∠D 的大小关系怎样?请说明理由.【题型四】利用圆周角定理及其推论证明弧相等【例1】如图,以ABCD的顶点A为圆心,AB为半径作OA,分别交BC,AO于E,F两点,交BA=的延长线于点G，证明: EF FG=【变式1】如图，AB，CD是⊙O的弦，∠A=∠C，求证：AB CD【题型五】利用圆周角定理及其推论证明线段相等【例1】如图,AB是⊙O的直径，D是BC的中点，AC，BD的延长线相交于点E，证明：AE=AB【变式1】如图,AB是⊙O的直径，AC为弦，P为AC延长线上一点，且AC=PC，PB的延长线交⊙O于点D，求证：AC=DC【题型六】利用圆周角定理及其推论求线段的长度【例1】如图，在⊙O中，AD为直径，OB⊥AD交弦AC于点B，∠A=30°，OB=5，求BC的长。

人教版初中九年级上册数学课件《圆周角》圆(第1课时圆周角及其定理)

A．140° C．60°
B．70° D．40°
8
5．某小区新建一个圆形人工湖，如图所示，弦 AB 是湖上一座桥，已知桥 AB 长为 200 m，测得圆周角∠ACB＝45°，则这个人工湖的直径 AD 长为___2_0_0__2_____m.
9
6．如图，在⊙O 中，弦 AC＝2 3，B 是圆上一点，且∠ABC＝45°，则⊙O 的半径 r＝___6___.
17
解：(1)∵∠APC＝∠CPB＝60°，∠BAC＝∠CPB，∠ABC＝∠APC，∴∠ABC ＝∠BAC＝60°，∴△ABC 为等边三角形．
(2)PC＝PA＋PB．证明：在 PC 上截取 PD＝PA，连接 AD．∵∠APC＝60°，∴ △APD 是等边三角形，∴AD＝PA＝PD，∠ADP＝60°，∴∠ADC＝120°.又∵∠APB ＝∠APC＋∠BPC＝120°，∴∠ADC＝∠APB．又∵∠ACP＝∠ABP，∴△APB≌△ ADC(AAS)，∴PB＝DC．又∵PD＝PA，∴PC＝PA＋PB．
18
︵ (3)在AB上任取一点 P，过点 P 作 PE⊥AB，垂足为点 E，过点 C 作 CF⊥AB，垂足为点 F.∵S△APB＝12AB·PE，S△ABC＝12AB·CF，∴S 四边形 APBC＝12AB·(PE＋CF)．当点 P
︵为AB的中点时，PE＋CF＝PC 最长，即 PC 为⊙O 的直径，此时四边形 APBC 的面积最大．又∵⊙O 的半径为 1，∴易得等边三角形的边长 AB＝ 3，∴四边形 APBC 的最大面积为 S 四边形 APBC＝12×2× 3＝ 3.
A．16° B．32°
C．58° D．64°
分析：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°，∴∠A＝90°－ ∠ABD＝32°，∴∠BCD＝∠A＝ 32°.

人教版九年级数学课件《圆周角》

√
×
×
课堂检测
基础巩固题
2.已知△ABC的三个顶点在⊙O上,∠BAC=50°,∠ABC=47°, 则∠AOB= ．
B
A
C
O
166°
课堂检测
3. 如图，已知BD是⊙O的直径，⊙O的弦AC⊥BD于点E，若∠AOD=60°，则∠DBC的度数为（） A.30° B.40° C.50° D.60°
∴∠A＋∠C＝180°，
同理∠B＋∠D＝180°，
推论：圆内接四边形的对角互补.
证明：
探究新知
C
O
D
B
A
∵ 弧BCD和弧BAD所对的圆心角的和是周角，
∴∠A＋∠C＝180°，
同理∠B＋∠D＝180°，
E
∵∠BCD＋∠DCE＝180°.
∴∠A＝∠DCE.
想一想：图中∠A与∠DCE的大小有何关系？
探究新知
答：相等.
证明：在⊙O中，∵
探究新知
互动探究
D
A
B
O
C
E
F
问题2 如图，若 ∠A与∠B相等吗？
答：相等.
想一想：(1)反过来，若∠A=∠B，那么成立吗？
(2)若CD是直径，你能求出∠A的度数吗？
证明：连接OC，OE，OD，OF，
解析：连接BD,则BD是直径,∴△BCD是等腰直角三角形,∴∠BDC=45°,∴∠BPC=∠BDC=45°.
巩固练习
45°
例3 如图，⊙O的直径AC为10cm，弦AD为6cm.（1）求DC的长；
（2）若∠ADC的平分线交⊙O于B, 求AB、BC的长．
B
解：(1)∵AC是直径，
∴ ∠ADC=90°.
探究新知