行列式论文
范德蒙行列式及应用论文
范德蒙行列式及应用论文范德蒙行列式，又称范德蒙行列，是数学中的一个重要概念，它在线性代数、向量空间、微积分等领域有着广泛的应用。
范德蒙行列式由荷兰数学家范德蒙（Vandermonde）首先提出，它的定义和性质在很多数学分支中都发挥了重要的作用，特别是在矩阵理论、数论、代数学等领域，范德蒙行列式都有着深远的影响。
范德蒙行列式的定义是：对于给定的n个不同的数a1,a2,...,an，范德蒙行列式定义为：a1 a2 ... ana1^2 a2^2 ... an^2a1^3 a2^3 ... an^3... ... ... ...a1^n a2^n ... an^n即为由这些数按照一定顺序排列而成的矩阵行列式，其中ai^k表示ai的k次幂。
范德蒙行列式的值可以通过列主元化简为非零值，从而成为一个n阶矩阵行列式。
范德蒙行列式的应用非常广泛，下面我们来谈谈范德蒙行列式在数学中的一些重要应用。
首先，在线性代数中，范德蒙行列式是矩阵的一个重要特征，它可以用来描述矩阵的性质和结构。
通过范德蒙行列式，我们可以判断矩阵的秩、可逆性、行列式值等信息，进而用于解线性方程组、矩阵变换、特征值特征向量的求解等问题。
其次，在微积分中，范德蒙行列式也有着重要的应用。
在多元函数的求导、积分、微分方程的求解过程中，常常需要用到雅可比行列式，而雅可比行列式与范德蒙行列式有着密切的关系。
通过范德蒙行列式，我们可以求解多元函数的偏导数、雅可比行列式的值，从而解决相关的微分方程和积分问题。
另外，在数论中，范德蒙行列式也有着重要的应用。
由于范德蒙行列式的特殊性质，它经常出现在数论中的不同问题中，例如组合数学、数列求和、多项式插值等方面。
通过范德蒙行列式，我们可以推导出一些数学定理和结论，解决一些数论问题。
除了以上提到的领域外，范德蒙行列式还在代数学、几何学、概率论、信号处理、图论等领域有着重要的应用。
它不仅是数学理论研究的基础，还是许多工程技术问题的解决工具。
浅析行列式的计算技巧 毕业论文
浅析行列式的计算技巧摘要：本文通过引用例题来对一些特殊行列式的求解技巧进行归纳分析，主要演示了化三角形法，降阶法，递推法，数学归纳法，辅助行列式法，拉普拉斯定理的应用，范德蒙得行列式的应用以及方阵特征值和行列式的关系的应用等方法。
引言：在平常的学习及其考试中经常能遇见有关特殊行列式计算的题目，如果不能掌握正确的方法和思维方式，此类型的题将会是考生的一个障碍，本人希望通过对若干经典考题的解析，使得学生对行列式求解类型的题目有章可循。
下面是对一些特殊行列式求解技巧的浅析，前两种方法是相对基本的方法，应用的范围较广，后面几种方法针对性较强，要对行列式的特征进行准确的判断。
方法一 化三角形法化三角形法是将原行列式化为上（下）三角形行列式或对角形行列式计算的一种方法。
这是计算行列式的基本方法重要方法之一。
因为利用行列式的定义容易求得上（下）三角形行列式或对角形行列式的性质将行列式化为三角形行列式计算。
原则上，每个行列式都可利用行列式的性质化为三角形行列式。
但对于阶数高的行列式，在一般情况下，计算往往较繁。
因此，在许多情况下，总是先利用行列式的性质将其作为某种保值变形，再将其化为三角形行列式。
例题：计算下列行列式的值：12312341345121221n n n n D n n n -=--[分析]显然若直接化为三角形行列式，计算很繁，所以我们要充分利用行列式的性质。
注意到从第1列开始；每一列与它一列中有n-1个数是差1的，根据行列式的性质，先从第n-1列开始乘以－1加到第n 列，第n-2列乘以－1加到第n-1列，一直到第一列乘以－1加到第2列。
然后把第1行乘以－1加到各行去，再将其化为三角形行列式，计算就简单多了。
解：11(2,,)(2,,)11111111111211111000311112011111000100000010000020011(1)200020000101(1)()2i in n i n r r i n r r n n n D n n n n n n nn n n n n n nn n n nn nn n n n ===+--=-----++----+=⋅-----+=⋅⋅-()(1)(2)12(1)12(1)(1)12n n n n n n n -----⋅-+=⋅⋅-[问题推广]例1中，显然是1,2，…，n-1,n 这n 个数在循环，那么如果是a 0,a 1,…,a n-2,a n-1这n 个无规律的数在循环，行列式该怎么计算呢？把这种行列式称为“循环行列式”。
行列式的性质及应用论文
行列式的性质及应用论文行列式是线性代数中的重要概念，它具有许多重要的性质和广泛的应用。
本文将从性质和应用两个方面来探讨行列式的相关内容。
首先，我们来讨论行列式的性质。
行列式是一个标量，它可以表示矩阵所围成的平行四边形的面积或者体积。
行列式的计算可以通过拉普拉斯展开定理、三角矩阵法和克拉默法则等方法来进行。
下面是行列式的一些重要性质：1. 行列式的性质一：行列式的值与行列式的转置值相等。
即，对于一个n阶方阵A，有det(A) = det(A^T)。
2. 行列式的性质二：行列式的值等于它的任意两行（或两列）互换后的值的相反数。
即，如果将矩阵A的第i行和第j行进行互换，那么有det(A) = -det(A')，其中A'是矩阵A进行行互换后的矩阵。
3. 行列式的性质三：如果矩阵A的某一行（或某一列）的元素全为零，则行列式的值为零。
即，如果A的某一行（或某一列）所有元素都为零，则有det(A) = 0。
4. 行列式的性质四：行列式的某一行（某一列）的元素都乘以一个常数k，等于用该行（该列）的元素乘以k的行列式的值。
即，如果将矩阵A的第i行的所有元素都乘以k，那么有det(A) = k * det(A')，其中A'是矩阵A进行行数乘k后的矩阵。
行列式的这些性质使得我们可以通过简单的操作来计算复杂矩阵的行列式，从而简化线性代数的运算。
接下来，我们来探讨行列式的应用。
行列式在数学和工程中有广泛的应用，下面举几个例子：1. 线性方程组的解：行列式可以用来求解线性方程组的解。
对于一个n阶方阵A和一个n维向量b，如果det(A)≠0，那么方程组有唯一解；如果det(A) = 0，那么方程组无解或有无穷多解。
2. 矩阵的逆：行列式可以用来判断一个矩阵是否可逆。
对于一个n阶方阵A，如果det(A)≠0，那么A是可逆的，且其逆矩阵的行列式为1/det(A)。
3. 平面和体积的计算：行列式可以用来计算平面和体积的面积或体积。
行列式的计算方法研究毕业论文
昆明学院2010 届毕业设计（论文）设计（论文）题目行列式的计算方法研究姓名学号 S006054127所属系数学系专业年级数学与应用数学2006级数学<1>班指导教师2010年 5 月摘要在线性代数中，行列式是个函数。
在本质上，行列式描述的是在n维空间中一个线性变换所形成的“平行多面体”的“体积”。
行列式的概念出现的根源是解线性方程组。
本论文首先，对行列式的计算方法进行总结，并对计算方法进行举例。
其次，n阶行列式的计算方法很多，除非零元素较少时可利用定义计算（①按照某一列或某一行展开②完全展开式）外，更多的是利用行列式的性质计算，特别要注意观察所求题目的特点，灵活选用方法。
最后，值得注意的是，在同一个行列式有时会有不同的求解方法，这就要根据行列式的特点选择适当的方法了。
关健词：行列式计算方法方法举例AbstractIn linear algebra, the determinant is a function.In essence, the determinant dimensional space described in a linear transformation.The formation of "parallel polyhedron" and "volume".The concept of the root of the determinant there is solution of linear equations.The paper on the summary of the calculation of the determinant and the calculation method for example.n-order determinant have many the calculation methods,Fewer non-zero elements Can be calculated using the definition(1.In accordance with the start of a column or a row. 2.Full expansion.). More determinant of the nature of the calculation is to use.In particular, observe the characteristics of the subject request,Flexible Selection Method.It is to be noted that In the same determinant sometimes will have different methods for solving. Here are some commonly used methods and illustrate with examples.Keywords:Determinant Calculation motheds illustrate with examples目录前言 (1)第一章普遍法求行列式1.1利用行列式的定义直接计算 (2)1.2利用行列式的性质计算 (2)1.3化为三角形行列式 (3)1.3.1直接化为阶梯型 (3)1.3.2相同去项化上三角形 (4)第二章特殊法求行列式2.1降阶法（按行（列）展开法） (5)2.1.1先简后展 (5)2.1.2 按第一行（列）展开 (6)2.2 递（逆）推公式法 (7)2.2.1等差数列递推 (7)2.2.2“一路直推” (9)2.2.3对角递推 (9)2.3利用德蒙行列式 (11)2.3.1变形德蒙行列式 (11)2.3.2 系数德蒙行列式 (12)2.3.3利用行列式性质凑德蒙行列式 (13)第三章其他方法求行列式3.1加边法（升阶法） (14)3.1.1“0”和“字母”加边 (14)3.1.2“0”和“1”加边 (14)3.2 数学归纳法 (16)3.2.1第一数学归纳法 (16)3.2.2第二数学归纳法 (17)3.2.3猜测归纳法 (17)3.3拆开法 (19)3.3.1对角拆开 (19)3.3.2按行（列）拆 (19)参考文献.............................................................................................21. 辞. (22)前言在线性代数中，行列式是一个函数，其定义域为的矩阵A，值域为一个标量，写作)det(A。
行列式的计算技巧及其应用毕业论文.docx
本科生毕业论文(设计)题目：行列式的计算技巧及应用学生姓名：谢芳学号： 201210010133专业班级：数学与应用数学12101班指导教师：颜亮完成时间: 2016 年 5 月目录摘要 (1)关键词 (1)0、前言 (1)1、基础知识及预备引理 (2)1.1行列式的由来及定义 (2)1.2行列式的性质 (3)1.3拉普拉斯定理及范德蒙德行列式的定义 (4)2、行列式的计算方法 (4)2.1定义法 (4)2.2利用行列式的性质(化三角型)计算 (5)2.3拆行（列）法 (6)2.4加边法（升阶法） (6)2.5范德蒙德行列式的应用 (7)3、n阶行列式的计算 (8)4、行列式的应用 (9)4.1行列式在代数中的应用 (9)4.2行列式在几何中的应用 (10)参考文献 (10)致谢 (11)行列式的计算技巧及应用数学与应用数学12101班谢芳指导老师颜亮摘要：行列式的计算是高等代数中一个重要的知识点,也是我们学好高等代数的重要工具 .无论是高等数学领域还是现实生活中的实际问题,都或多或少的包含了行列式的思想,所以学好行列式尤为重要.本文主要介绍几种行列式的思想,并从实例进行具体说明，介绍方法的同时加以应用.并通过举例说明行列式在代数和几何方面的应用，从而更好的了解行列式的普遍性.关键词：行列式,线性方程组,计算,方法Abstract: the calculation of the determinant is an important part of the knowledge of higher algebra, also an important tool for us to learn advanced algebra. Both higher mathematics and practical problems in real life, more or less contains the ideas of the determinant, so learning determinant is particularly important. This paper mainly introduces several kinds of determinant, and illustrate the application of the determinant in algebra and geometry, so we can understand the universality of the determinant better.Keywords: determinant, system of linear equations, calculation, the method0前言行列式是学习线性代数的基本工具,行列式的解法有很多种,在解题过程中我们先要观察行列式的特征,然后再考虑用什么样的方法解.本文主要介绍几种常用的解行列式的方法,如定义法、化三角型法、拆行（列）法、加边法、利用范德蒙德行列式计算相关行列式的方法，并通过一定的例题对所介绍的方法进行透彻的讲解，使之更好的理解.当然，解行列式的方法还有很多，只要我们善于总结.行列式在数学的很多领域都有广泛的应用，在线性代数和高等数学中更是一个重要的解题工具.本文主要介绍行列式在代数和几何方面的应用.1 线性方程组与行列式1.1 行列式的由来及定义在中学数学中,我们学习了含有一个未知数和两个未知数的方程的解法,那在这里我们来讨论含n 个未知数n 个方程的多元一次方程组即线性方程组的解法.首先我们先来看未知数的个数不多的时候的情形.我们先讨论n=2时的二元线性方程组 {0212111=+x a x a 0222121=+x a x a （1）为了解这一类方程,我们将引入一个很重要的工具——行列式 我们把线性方程组（1）的系数作成二阶行列式,1221221122211211a a a a a a a a -=当a a a a 22211211≠0时,方程组（1）有唯一解x 1=a a a a ab a b 22211211222121x 2=a a a a b a b a 22211211221111同样的,对于三元线性方程组{b x a x a x a 1313212111=++b x a x a x a 3323222121=++b x a x a x a 3333232131=++ (2) 的系数作成三阶行列式D=a a a a a a a a a 333231232221131211= a a a a a a a a a a a a a a a a a a 322311332112312213322113312312332211---++当0D ≠时,那么方程组(3)有解D D D D D D x x x 332211,,===其中D 1=a a b a a b a a b 333232322213121，D 2=a b a a b a a b a 333312322113111，D 3=b a a b a a b a a 332312222111211我们的目的是要把二阶、三阶行列式推广到n 阶行列式,然后用这一工具来解含有n 个未知量n 个方程的线性方程组.定义1[1]用符号 ||a a a a a a a a a nnn n n n 212222111211||表示n 阶行列式指的是n!项的代数和,这些项是所有取自该行列式不同行与不同列上的n 个元素的乘积a 1j 1a 2j 2⋯a nj n ,项的符号为（−1）π（j 1j 2⋯j n ),也就是说,当j 1j 2⋯j n 为偶排列时，这一项的符号为正,当j 1j 2⋯j n 为奇排列时符号为负.这一定义还可以表示成||a a a a a a a a a nnn n n n212222111211||=∑（−j 1j 2⋯j n 1）π（j 1j 2⋯j n )a 1j 1a 2j 2⋯a nj n1.2 n 阶行列式性质：[2]引理1 把行列式的行变成列、列变成行,行列式的值不变.引理2 把一个行列式的两行（或两列）交换位置,行列式的值改变符号.引理3 把行列式的某一行（或一列）的所有元素乘以某个数c,等于用数c 乘原行列式.引理4 若一个行列式的两行（或两列）的对应元素成比例,那么行列式的值等于零.引理5 把行列式某一行（或列）的所有元素同乘以一个数c,加到另一行（或一列）的对应元素上,所得行列式的值与原行列式的值相等.引理6 行列式某一行（或列）的各元与另一行（或列）对应元的代数余子式的乘积之和等于零.1.3 拉普拉斯定理及范德蒙德行列式的定义拉普拉斯定理]3[ 设D 为一n 阶行列式，任意取定D 中的k （≤1k<n ）行,由这k 行元素所构成的一切k 阶子式与它们所对应的代数余子式的乘积的和等于行列式D 的值.用符号可以表示为D=A i mi i ∑=1N ,其中m=C k n行列式||a a a a a a a a a n nn n n n 112112222121111---||叫作一个n 阶范德蒙德行列式. 2 行列式的计算2.1 定义法例1 计算行列式D=|d hc g f b e a 0000000|解 由定义可知，D 是一个4！=24项的和,展开式的一般项为a 1j 1a 2j 2⋯a nj n ,在这个行列式中,除了abcd,afgd,ebch,efgh 外,其余各项均含有0,故乘积为0,与上面四项相对应列标的排列依次为1234,1324,4231,4321,而π(1234)=0，π（1324）=1,π(4231)=5, π(4321)=6,故D=abcd+efgh-afgd-ebch.利用定义法求解行列式时,只适合一些比较简单的行列式,如对角线行列式,三角行列式等，定义法常用于解低阶的行列式，对于一些高阶的行列式，我们将介绍其他方法来求解.2.2 利用行列式的性质计算例2 证明n 阶上三角行列式（主对角线以下的元素都为零）]4[|a a a a a a nnnn 0022211211|=a a a nn 2211证明 在这个行列式中，当j i ＜i 时,元素a j ii =0,由定义可知所有取自各行各列的项的乘积除了a a a nn 2211外,其余项中均含有因子0,故乘积为零,又π（a a a nn 2211）=0,故|a a a a a a nn nn00022211211|=a a a nn 2211特别的λλλn00021=λλλn 21 由性质1可知,下三角行列式也等于主对角线上元素的积.那么对于可化为三角行列式的计算,就可先利用行列式的性质把它变成三角行列式例3 计算行列式2111121********* 解 把行列式除开第一行外其他行上的对应元素分别减去第一行上的元素,得原式=1000010000101111=1 如果一个行列式可化为三角行列式,我们可以优先考虑化成三角形后再进行计算,计算起来更简便.2.3 按行（列）展开按行（列）展开又称降阶法,按某一行展开时,可以使行列式降一阶,更一般的,如果可以用拉普拉斯定理就可以降很多阶了.但为了让计算更加简便,我们一般先利用行列式的性质使行列式中的元出现尽可能多的零,然后再展开.例4 计算行列式4122743221010113-=D 解 原行列式c c 31- 41217432-210001-14c c c 334__21211-432-010021-14=）（1-32+2211-32214=-2213706-7-0=-376-7-=-21对于这种阶数稍微高点的行列式用定义法一般比较复杂，这时我们考虑利用行列式的性质降阶后再按行或列展开.2.4 加边法（升阶法）加边法即把行列式添加一行和一列,使升阶（加边）后的行列式的值与原行列式相等,这种方法叫加边法.这种方法一般适用于所加边的元素和原行列式的元素有直接关系,如相等或倍数关系,或原来的行列式中有大片元素相同的行列式.例5 计算行列式D =a xx x x a x x xx a x xxx a n321（x a a a n ,,21≠） 解 原行列式中存在“大片”的x,故用加边法把原行列式变成n+1阶行列式,则有a x xxx a x x x x a x x x x a x x x x D n0001321=r r k n k 1)1,,3,2(-+==xa x a x a x a x x x x n ----001-0001-0001-0001-1321c a c ii x n i -++==11,,3,21 xa x a x a xa x xxxx a x n ni -----+∑=000000000000132111=（1+)()11x a x a xni i ni i --∏∑==利用加边法把行列式化为n+1阶行列式后,再利用行列式的性质把该行列式化为可直接计算的行列式,从而简便计算.2.5 范德蒙德行列式的应用由于范德蒙德行列式]5[=D n ||a a a a a a a a a n nn n n n 112112222121111---||=)1x x m nk m k -∏≤<≤（ 范德蒙德行列式是一个很特殊的行列式，从第二行起每一行与前一行对应元素的比都等于同一个常数.那么对于可化为范德蒙德行列式的计算我们可先把它化成范德蒙德行列式后再进行计算.例6 计算D n =nn nnn n n323232333322221111解 从该行列式的第k （k=2,3,…,n ）行中提取公因子后,得到n nnn D nnn n2221333122211111!=该行列式为范德蒙德行列式的转置行列式,故D n=n!(n-1)!2!1!.3 n 阶行列式的计算对于n 阶行列式的计算,除了以上的方法外,我们还会根据行列式的特征采用递推法和归纳法来求解. 例1 计算D n =ba ab b a b a ab b a ++++100000100解 将D n 按第一行展开,再将按第一行展开的第二个行列式按第一列展开得abD D b a D n n n 21)(---+=,整理得aD D n 1-n -=b (D a D n n 21---)由递推关系可以得出：aD D n 1-n -=)(122D D b n --=][)()(22b a a ab b a b n +--+-=b n 在上式中,a 和b 的地位是相等的,因此有D D n 1-n -=a n两式联立解得ab a b D n n --=1-n ，可以得出a b a b D n n n --=++11递推法一般用于n 阶行列式的求解，递推法的关键是找出D D D D D n n n n n 211,---与或与的关系.除了上面讲到的递推法,我们还常用归纳法来证明某些行列式. 例2]6[ 证明αααααcos 211cos 200000cos 210001cos 210001cos=D n =cos(αn )证明 当n=1时,D 1=αcos ,等式成立当n=2时,ααcos 211cos 2=D =2cos 2α-1=cos2α,等式成立假设n=k 时等式仍然成立,即αk D k cos =,α)1cos(1-=-k D k那么,当n=k+1时,把行列式按最后一行展开得D D D k k k 211cos 2--+-=α 代入得α)1cos(1k +=+k D 由归纳法得αn D cos n =行列式的计算方法多种多样,本文中所提到的方法也只是解题过程中的一些常用方法,不同的题目有不同的计算方法,至于要采用哪种方法要视具体题目而定,只要我们多观察行列式的特征就能找到合适的方法来计算.4 行列式的应用4.1 行列式在代数中的应用行列式在代数中的应用主要有利用行列式解含n 元线性方程组b x a x a x a n n 11212111=+++ b x a x a x a n n 22222121=+++……b x a x a x a n n nn n n =+++ 2211当系数行列式D ≠0时,有唯一解：D D x k k =(k=1，2，…,n).对于齐次线性方程组,若D ≠0,则对应的方程组只有零解.4.2 行列式在几何中的应用我们还可以用行列式来表示直线方程，例如过两点M （y x 11,）,N （y x 22,）的直线方程1112211y x y x y x=0 （1） 证明 由两点式,我们可以得出过MN 的直线方程为y y y y x x x x 211211--=-- 把上式化简得012212121=-+-+-y x y x y x y x y x y x再进一步进行化简得y x y x x x y y y x221121211111+-=0即为（1）式按第一行展开所得的结果,命题得证.行列式有着很广泛的应用，上面只是讲的比较特殊的两种，在几何方面，还有许多应用，还可利用行列式表示三角形的面积例如 以平面内三点P （y x 11,）,Q(y x 22,),R （y x 33,）为顶点的△PQR 的面积S 是11121332211y x y x y x参考文献[1]张禾瑞，郝鈵新·高等代数（第五版）[M]·北京:高等教育出版社，2000[2]任功全，封建湖，薛仁智·线性代数[M]·北京：科学出版社，2005 [3]姚慕生·高等代数[M]·上海：复旦大学出版社，2002.8[4]马菊霞，吴云天·线性代数题型归纳与方法点拔考研辅导[M]·北京：国防工业出版社，2000[5]毛纲源·线性代数解题方法技巧归纳[M]·武汉：华中科技大学出版社，2000[6]王丽霞· N阶行列式的几种常见的计算方法[J]山西大同大学学报（自然科学版），2008致谢本文是在我的论文指导老师颜亮老师的精心指导下完成的.在整个论文写作的过程,颜老师给我提供了很多新颖的思路,并对我进行了耐心的指导和帮助,老师开阔的视野和广博的知识使我深受启发.颜老师严谨的治学态度、高度的敬业精神和大胆创新的精神让我深深的敬佩,在此,我向我的指导老师表示最诚挚的谢意.在这次本科毕业论文设计中我学到了许多关于行列式的知识,视野得到了很大的开阔.同时,我也要感谢我们小组的同学,感谢她们给我提出的建议,让我更好的完成了此次论文.。
数学毕业论文《行列式计算的若干种方法及算法实现》
山西师范大学本科毕业论文行列式计算的若干种方法及算法实现姓名系别专业班级学号指导教师答辩日期成绩行列式计算的若干种方法及算法实现内容摘要行列式是高等数学中基本而又重要的内容之一，那么认识行列式，并且掌握行列式的性质就显得尤为重要，在此基础上，我们还需要搞清楚行列式的若干种计算方法，这不仅仅是用于高等数学中的计算，行列式也可用于解决许多实际问题。
本文通过行列式的定义，把握行列式的性质，透彻全面的概括了6种行列式的计算方法，包括定义法，化三角法，应用一行（列）展开公式，范德蒙行列式，递推公式法以及加边，本文还提出运用MATLAB来帮助计算行列式，正确的选择计算行列式的方法，使计算更为快捷。
通过这一系列的方法进一步提高我们对行列式的认识，为我们以后的学习带来十分有益的帮助。
【关键词】行列式性质计算方法 MATLABThe determinant of several kinds of calculating method andalgorithmAbstractThe determinant of higher mathematics is the basic and important content of, then know the determinant, and grasps the nature of the determinant is particularly important, based on this, we also need to figure out some kind of calculation method of the determinant, it is not used in the calculation of higher mathematics, the determinant can also be used to solve many problems. In this paper the determinant do understand after, grasp the nature of the determinant, thoroughly comprehensive summary six kinds of determinant calculation method, including definition method, the triangle method, the application of row(column) on a formula, Vander monde determinants, recursive formula method and add edge method. This paper also puts forward to help with MATLAB calculation determinants; the right choice calculation method of the determinant, making the calculation is more quickly. Through this a series of methods to future improve our understanding of the determinant, for the rest of learning brings very useful help.【Keywords】Determinant Properties Calculation method MATLAB目录一、行列式概念的提出 (1)二、行列式的定义 (1)（一）定义1 (2)（二）定义2 (2)（三）定义3 (2)三、行列式的性质 (2)四、行列式的若干种计算方法 (4)（一）定义法 (4)（二）化三角形法 (5)（三）应用一行（列）展开公式 (5)（四）范德蒙行列式 (5)（五）递推公式法 (6)（六）加边法 (7)五、运用MATLAB来解决行列式的问题 (8)六、结束语 (13)参考文献 (13)致谢 (14)行列式计算的若干种方法及算法实现学生姓名： 指导老师： 一、行列式概念的提出我们知道，行列式是高等代数中的一个计算工具，无论是数学中的高深领域，还是现实生活中的实际问题，都或多或少的与行列式有着直接或间接地关系。
行列式解法小结 数学毕业论文
行列式解法小结数学毕业论文
行列式解法是线性代数中重要的一种方法，可以广泛地应用于各个领域，如物理、工程、经济等。
本文就行列式解法进行了全面的介绍和分析，并探讨了它在实际应用
中的具体作用。
首先，本文阐述了行列式作为一个矩阵的一个属性，描述了它的定义、性质和计算方法。
行列式的定义是通过对一个矩阵中所有可能的排列进行组合，求得的一个标
量值。
它具有很多有用的性质，如行列式关于行和列的互换、行列式的线性性质等。
计算行列式可以使用伴随矩阵或展开式等方法。
其次，本文讨论了行列式作为一个代数工具的应用。
通过分析行列式与线性方程组之间的关系，我们可以发现，行列式可以被用来检测线性方程组解的性质。
如果行
列式的值为零，则该线性方程组无唯一解。
但如果其值不为零，则有唯一解。
此外，本文还阐释了行列式在求解矩阵乘法、求逆矩阵及求解特征值的应用。
通过行列式解法可以很容易地计算出矩阵的乘积、逆矩阵以及特征值等，这对于实际应
用中的矩阵相关问题具有很大的意义。
最后，本文对于行列式的具体应用进行了分析。
在物理领域中，如电学和热学计算问题里，行列式经常出现在方程组的解中。
在机器学习领域，行列式也被广泛地应
用于求解数据的特征值和特征向量。
在工业制造领域中，行列式可以用于计算机器人
的运动，以及控制系统的分析。
综上所述，行列式在数学中具有很重要的地位，并且在各个应用领域都有着非常广泛的应用。
因此，学习和掌握行列式解法对于从事数学及相关领域的人员来说是非
常必要的。
行列式的计算及应用毕业论文
行列式的计算及应用毕业论文行列式的计算及应用毕业论文目录1. 行列式的定义及性质 (1)1.1 行列式的定义 (1)1.1.1 排列 (1)1.1.2 定义 (1)1.2 行列式的相关性质 (1)2. 行列式的计算方法 (5)2.1 几种特殊行列式的结果 (5)2.1.1 三角行列式 (5)2.1.2 对角行列式 (5)2.2 定义法 (5)2.3 利用行列式的性质计算 (5)2.4 降阶法 (6)2.5 归纳法 (7)2.6 递推法 (8)2.7 拆项法 (9)2.8 用德蒙德行列式计算 (10)2.9 化三角形法 (10)2.10 加边法 (11)2.11 拉普拉斯定理的运用 (12)2.12 行列式计算的Matlab实验 (13)3. 行列式的应用 (15)3.1 行列式应用在解析几何中 (15)3.2 用行列式表示的三角形面积 (15)3.3 应用行列式分解因式 (16)3.4 利用行列式解代数不等式 (17)3.5 利用行列式来证明拉格朗日中值定理 (17)3.6 行列式在实际中的应用 (18)总结 (20)参考文献 (21)附录1 (22)附录2 (22)附录3 (23)谢辞 (24)1. 行列式的定义及性质 1.1 行列式的定义1.1.1 排列[1]在任意一个排列中，若前面的数大于后面的数，则它们就叫做一个逆序，在任意一个排列中，逆序的总数就叫做这个排列的逆序数.1.1.2 定义[1]n 阶行列式nnn n n na a a a a a a a a D212222111211=就相当于全部不同行、列的n 个元素的乘积nnj j j a a a 2121 (1-1-1)的代数和，这里n j j j 21是n ,,2,1 的一个排列，每一项（1-1-1）都按下列规则带有符号：当n j j j 21是偶排列时，（1-1-1）是正值，当n j j j 21是奇排列时，（1-1-1）是负值.这一定义可以表述为n nn nj j j j j j j j j nnn n nna a a a a a a a a a a a D21212121)(212222111211)1(∑-==τ， (1-1-2)这里∑nj j j 21表示对所有n 级排列求和.由于行列指标的地位是对称的，所以为了决定每一项的符号，我们也可以把每一项按照列指标排起来，所以定义又可以表述为n i i i i i i i i i nn n n nnn n a a a a a a a a a a a a D21)(212222111211212121)1(∑-==τ.（1-1-3） 1.2 行列式的相关性质记 nnn n n na a a a a a a a a D 212222111211=,nnn nn n a a a a a aa a a D 212221212111'=,则行列式'D 叫做行列式D 的转置行列式.性质1 行列式和它的转置行列式是相等的[2]. 即D D ='. 证明：记D 中的一般项n 个元素的乘积是,2121n nj j j a a a它处于D 的不同行和不同列，所以它也处于'D 的不同行和不同列，在'D 中应是,2121n j j j n a a a所以它也是'D 中的一项.反之, 'D 的每一项也是D 的一项，即D 和'D 有相同的项.再由上面（1-2）和（1-3）可知这两项的符号也相同，所以D D ='.性质2 nnn n in i i nnn n n in i i n a a a a a a a a a k a a a ka ka ka a a a212111211212111211=. 证明：inin i i i i nnn n in i i n A ka A ka A ka a a a ka ka ka a a a +++=2211212111211.)(2121112112211nnn n in i i nin in i i i i a a a a a a a a a k A a A a A a k =+++=性质3 如果行列式的某行(列)的元素都为两个数之和[2]，如nnn n nn n a a a c b c b c b a a a D 21221111211+++=，那么行列式D 就等于下列两个行列式的和：.212111211212111211nnn n n n nn n n n n a a a c c c a a a a a a b b b a a a D += 可以参照性质2的证明得出结论.性质4 对换行列式中任意两行的位置，行列式值相反.即若设,21212111211nnn n kn k k in i i na a a a a a a a a a a a D=,212121112111nnn n in i i kn k k na a a a a a a a a a a a D =则.1D D -=证明：记D 中的一般项中的n 个元素的乘积是.2121n k i nj kj ij j j a a a a a它在D 中处于不同行、不同列，因而在1D 中也处于不同行、不同的列，所以它也是1D 的一项.反之，1D 中的每一项也是D 中的一项，所以D 和1D 有相同的项，且对应的项绝对值相同.现在看该项的符号：它在D 中的符号为.)1()(21n k i j j j j j τ-由于1D 是由交换D 的i 、k 两行而得到的，所以行标的n 级排列n k i 12变为n 级排列n k i 12，而列标的n 级排列并没有发生变化.因此D 和1D 中每一对相应的项绝对值相等，符号相反，即.1D D -= 性质5 如果行列式中任有两行元素完全相同，那么行列式为零.证明：设该行列式为D ，交换D 相同的那两行，由性质4可得D D -=,故.0=D性质6 如若行列式中任有两行或者两列元素相互对应成比例，则行列式为零.证明：设n 阶行列式中第i 行的各个元素为第j 行的对应元素的k 倍，由性质2，可以把k 提到行列式外，然后相乘.则剩下的行列式的第i 行与第j 行两行相同，再由性质5，最后得到行列式为零.性质7 把任意一行的倍数加到另一行，行列式的值不改变.nnn n knk k knin k i k i na a a a a a ca a ca a ca a a a a2121221111211+++nnn n kn k k kn k k nnnn n kn k k in i i n a a a a a a ca ca ca a a a a a a a a a a a a a a a2121211121121212111211+=nnn n kn k k in i i n a a a a a a a a a a a a 21212111211=.2. 行列式的计算方法2.1 几种特殊行列式的结果2.1.1 三角行列式nn nn nna a a a a a a a a 221122*********=（上三角行列式）.nn nnn n a a a a a a a a a2211212221110=（下三角行列式）. 2.1.2 对角行列式nn nna a a a a a22112211000=. 2.2 定义法例1 用定义法证明.000000002121215432154321=e e d d c c b b b b b a a a a a 证明：行列式的一般项可表成.5432154321j j j j j a a a a a 列标543,,j j j 只能在5,4,3,2,1中取不同的值，故543,,j j j 三个下标中至少有一个要取5,4,3中的一个数，则任意一项里至少有一个0为因子，故任一项必为零，即原行列式的值为零.2.3 利用行列式的性质计算。
线代论文之论行列式的计算方法及在生活中的实际应用
线代论文之论行列式的计算方法及在生活中的实际应用论行列式的计算方法及在生活中的实际应用10数字印刷一班孙晓康100220211行列式就是线性代数中的一个基本工具。
无论是高等数学领域里的高深理论，还是现实生活里的实际问题，都或多或少的与行列式有著轻易或间接的联系。
行列式的排序具备一定的规律性和技巧性。
针对各种行列式的结构特点概括了行列式排序的常用计算方法，并以实例予以表明。
行列式的计算是学习高等代数的基石,它是求解线性方程组,求逆矩阵及求矩阵特征值的基础,但行列式的计算方法很多,综合性较强,在行列式计算中需要我们多观察总结,便于能熟练的计算行列式的值。
目前我们常用的计算行列式的方法有对角线法则，化为三角形行列式,拆分法,降阶法，升阶法，待定系数法和数学归纳法，乘积法，加边法。
1.对角线法则此法则适用于于排序低阶行列式的值（如2阶，3阶行列式的值），即为主对角线的元素的乘积乘以辅或次对角线上的元素的乘积，其主要思想就是根据2阶，3阶行列式的定义排序行列式的值。
2.化成三角行行列式利用行列式的性质，把行列式化为上（下）三角形行列式，再利用上（下）三角形行列式的结论，可得到相应行列式的值3.分拆法把某一行(或列)的元素写成两数和的形式,再利用行列式性质将原行列式写成二个行列式的和,使问题简化以利于计算。
4.降阶法(包括递推降阶法和依据定理展开)(1)关系式降阶法：关系式法可以分成轻易关系式和间接关系式。
用轻易关系式法排序行列式的关键就是找到一个关于的代数式去则表示，依次从逐级关系式便可以算出的值；间接关系式的作法就是，转换原行列式以结构出来关于和的方程组，解出就可以Champsaur。
(2)依据定理展开法：依据行列式展开定理，可以把所给行列式展开成若干个低一阶的行列式的和。
如果能把行列式变形，使其某一行（列）的元素只有一个不为零，那么这个行列式就可以变形为一个低一阶的行列式来计算。
5.升阶法在排序行列式时.我们往往先利用行列式的性质转换取值的行列式，再利用进行定理使之降阶，从而并使问题获得精简。
行列式的计算毕业论文--中英文对照
X X 大学行列式的计算学生：学号：班级：专业：系别:指导教师：行列式的计算摘要：行列式是高等代数研究中的一个重要工具.本文从行列式的计算出发，通过例题，介绍行列式计算中的一些方法，同时初步给出了一些特殊行列式的计算方法，得出了一些关于行列式计算的技巧.关键词：行列式；三角化法；因式定理法；递推法；数学归纳法引言行列式出现于线性方程组的求解，它最早是一种速记的表达式，现在已经是数学中一种非常有用的工具.行列式是由莱布尼茨和日本数学家关孝和发明的.同时代的日本数学家关孝和在其著作《解伏题元法》中也提出了行列式的概念与算法.1750年，瑞士数学家克拉默(1704-1752)在其著作《线性代数分析导引》中，对行列式的定义和展开法则给出了比较完整、明确的阐述，并给出了现在我们所称的解线性方程组的克拉默法则.稍后，数学家贝祖(1730-1783)将确定行列式每一项符号的方法进行了系统化，利用系数行列式概念指出了如何判断一个齐次线性方程组有非零解.行列式是多门数学分支学科一个工具，在我们学习《高等代数》时，书中只介绍了几种较简单的行列式计算方法，但是在遇到比较复杂或技巧性比较强的行列式时，只局限于书上的几种方法，那解题就有点麻烦.这里我讨论了行列式计算的若干方法，针对不同的行列式来选择相对简单的计算方法，来提高解题的效率.1 基本概念的简单介绍 1.1 n 级行列式定义1]1[n 级行列式nnn n nn a a a a a a a a a 212222111211（1）等于所有取自不同行不同列的n 个元素的乘积nnj j j a a a 2121的代数和.其中n j j j 21是1,2,,n 的一个排列，n nj j j a a a 2121的每一项都按下列规则带有符号：当n j j j 21是偶排列时，nnj j j a a a 2121带有正号，当n j j j 21是奇排列时，n nj j j a a a 2121带有负号.1.2 矩阵在叙述行列式的重要公式和结论以及后面计算行列式过程中可能要用到矩阵及其有关概念，所以在这里简单介绍一下矩阵及其部分概念.定义2]1[由s n ⨯个数排成的s 行（横的）n 列（纵的）的表111212122212n n s s sn a a a a a a a a a ⎛⎫⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭（2）称为一个s n ⨯矩阵.特别地，当s n =时，（1）称为（2）的行列式，如果把（2）记作A ，则（1）表示为A .定义3]1[在行列式nnn n nn a a a a a a a a a 212222111211中划去元素ij a 所在的第i 行和第j 列后，剩下的2)1(-n 个元素按照原来的排法构成一个1-n 级行列式nnj n j n n ni j i j i i n i j i j i i n j j a a a a a a a a a a a a a a a a1,1,1,11,11,11,1,11,11,11,111,11,111+-+++-++-+----+-（3）称为元素ij a 的余子式，记作ij M ，而ij j i M +-)1(称为ij a 的代数余子式，记作：ij j i ij M A +-=)1(（4）定义4]1[我们把112111222212s s nnsn s na a a a a a a a a ⨯⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭（5） 称为矩阵（2）转置，记作A '或T A ，显然，s n ⨯矩阵的转置是n s ⨯矩阵.定义5]1[在一个n 级行列式D 中任意选定k 行k 列)(n k ≤位于这些行和列的交点上的2k 个元素按照原来的次序组成一个k 级行列式M ,称为行列式D 的一个k 级子式.2 行列式的性质按照行列式的值可分为以下几类： 性质1 行列式值为01) 如果行列式有两行相同，则行列式值为0; 2) 如果行列式有两行成比例，则行列式值为0; 3) 行列式中有一行为0，则行列式的值为0. 性质2 行列式值不变1) 把一行的倍数加到另一行，行列式值不变, 即nnn n kn k k knin k i k i nnn n n kn k k in i i na a a a a a ca a ca a ca a a a a a a a a a a a a a a a a212122111121121212111211+++=（6） 其中R c ∈.2) 行列互换，行列式值不变, 即nn n n n n a a a a a a a a a 212222111211=nnn n n n a a a a a a a a a 212221212111（7）3) 如果行列式的某一行是两组数的和，那么它就等于两个行列式的和, 这两个行列式除这一行外其余与原来行列式对应相同,即nnn n n n nn n n n n nn n n n n n a a a c c c a a a a a a b b b a a a a a a c b c b c b a a a21211121121211121121221111211+=+++（8）性质3 行列式的值改变一行的公因子可以提出去，或者说用一数乘以行列式的一行就等于用该数乘以此行列式nnn n in i i nnn n n in i i n a a a a a a a a a k a a a ka ka ka a a a212111************=（9） 性质4 行列式反号对换行列式两行的位置，行列式反号nnn n in i i kn k k nnn n n kn k k in i i na a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a2121211121121212111211-=（10） 3 行列式的计算3.1 一些重要的公式和结论(1) 行列式按行（或列）展开设)(ij a A =为n 级方阵，ij A 为ij a 的代数余子式，则⎩⎨⎧≠==+++ji ji A A a A a A a jn in j i j i ,0,2211 （11）⎩⎨⎧≠==+++ji ji A A a A a A a nj ni j i j i ,0,2211 （12）(2) 设A 为n 级方阵，则A A T =（13）(3) 设A 为n 级方阵，则A k kA n =（14）(4) 设B A ,为n 级方阵，则B A AB =,但B A B A ±≠±（15）BA A B B A AB ===, （但一般地BA AB ≠）（16） (5) (拉普拉斯定理)设在n 级行列式D 中任意取定了)11(-≤≤n k k 个行，由这k 行元素所组成的一切k 级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D .(6) 设A 为m 级方阵，B 为n 级方阵，则：00m m m n nnA A AB B B *==*,但是：0(1)0n mn m n mB A B A =-（17）(7) 德蒙德行列式1222212111112111()n n n j i i j nn n n nx x x D x x x x x x x x ≤<≤---==-∏（18）(8) 一些特殊行列式的值111222nnnλλλλλλλλλ***==***（19）对角行列式上三角行列式下三角行列式111222nnnλλλλλλλλλ***==***（20）次对角行列式次上三角行列式次下三角行列式说明：（19）（20）中的行列式中*号处的元素不全为零. 3.2 低级行列式的计算 3.2.1 利用行列式定义，性质例1计算行列式yxyx x y x y y x y xD +++=3 解：可以直接按照定义把行列式写开，得)(2))((233223y x y xy x y x D +-=-+-+=.3.2.2 利用三角化法例2 计算行列式3112321014D -= 解：利用三角化法：4105502114101232113--=-=D 112(5)011014-=--112(5)01125005-=--=.3.3 n 级行列式的计算 3.3.1 利用定义3.3.2 逐行（列）相减（加）法 3.3.3 利用因式定理法3.3.4 递推降级法3.3.5 拆分法3.3.6 数学归纳法3.3.7 利用公式和定理参考文献[1] 王萼芳，石生明．高等代数[M]．大学数学系几何与代数教研室前代数小组编,1988．03．[2] 禾瑞，郝炳新．高等代数[M]．高等教育, 1983．04．[3] 志慧，．高等代数分析与选讲[M]．师大学数学与信息科学学院,2005．09．[4] 耿锁华．行列式性质的应用[M]．审计学院, 2006．01．[5] 高丽，郭海清．两类特殊行历史的计算[M]．西南民族大学, 2007．06．[6] 崇华．一类行列式的计算公式[M]．大学, 2006．04.[7] 立英，成群．n级行列式的计算方法与技巧[M]．XX师学院, 2006．01.[8] 清华，昊，金兰．高等代数容、方法与技巧[M]．华中科技大学, 2006．08.[9] 毛纲源．线性代数解题方法技巧归纳(第二版)[M]．华中理工大学, 2007．06.The calculation of determinantAbstractDeterminant is an important tool to study in higher algebra. In this paper, from the determinant calculation by examples, introduces some methods of determinant putation, at the same time, the preliminary calculation method is given. Some special determinant, draw some about the determinant calculation skills.KeywordsDeterminant; triangulation; factorization theorem; recursive method; mathematical inductionIntroductionSolving the determinant in linear equations, it is the first expression is a shorthand, now is a very useful tool in mathematics. The determinant is invented by Leibniz and the Japanese mathematician Seki takakazu. Contemporary Japanese mathematician Seki Takakazu in his book "V" thematic method solution also proposed the concept and algorithm of determinant.In 1750, the Swiss mathematician Cramer (1704-1752) in his book "linear algebra analysis guide", the definition of the determinant and expansion gives a relatively plete, clear, and gives now we call the solution of linear equations of the Cramer's rule. Later, the mathematician Bei Zu (17 30-1783) will determine the method of determinant each symbol is a systematic concept, using the coefficient determinant points out how to judge a homogeneous linear equations with non-zero solution.The determinant is one branch of mathematics as a tool, we learn in "Higher Algebra", the bookdescribes only the determinant of some simple calculation methods, but in the face of the plicated or skills relatively strong determinant, several methods are confined to the book, the problem a bit of trouble. Here I discuss some methods for calculating determinant, the determinant to choose according to different method to calculate the relative simple, to improve the efficiency of problem solving.1 A brief introduction to the Basic Concepts1.1 n determinantDefines 1 levels of determinantnnn n nn a a a a a a a a a 212222111211（1）Is equal to the algebraic sum of all taken from different lines of different column n elements of the product n nj j j a a a 2121 Where n j j j 21 is the 1, 2,…, n an order, n nj j j a a a 2121 each one of them according to the following rules with symbols: when n j j j 21 is even permutation, with positive n nj j j a a a 2121, n j j j 21 when is odd permutation, n nj j j a a a 2121 with a minus sign.1.2 matrixMay be used as matrix and its related concept in the process of the determinant of the determinant formula and conclusions and back calculation, so here is simple to introduce the concept of matrix and its parts.Definition 2 by the number of s n ⨯ into s lines (horizontal) n column (vertical) inTable 111212122212n n s s sn a a a a aa a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭（2） Known as a s n ⨯ matrix.In particular, when s n =, (1) (2) is called the determinant, if (2) denoted as A, then (1)expressed as a ADefinition 3In the determinant ofnnn n nn a a a a a a a a a 212222111211In return for element ij a in the i and j columns, the rest of the 2)1(-n elements according to the original method consisting of a n-1 determinant ofnnj n j n n ni j i j i i n i j i j i i n j j a a a a a a a a a a a a a a a a1,1,1,11,11,11,1,11,11,11,111,11,111+-+++-++-+----+-（3）.Known as the cofactor element ij a type, denoted as ij M , while the ij j i M +-)1( is called the algebraic ij a type, denoted as:ij j i ij M A +-=)1(（4）.Definition 4 We call 112111222212s s n nsn s na a a aa a a a a ⨯⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭（5）Known as the matrix transpose (2), denoted as A ' or T A , apparently, transpose ofs n ⨯matrix is n s ⨯ .Definition 5 In n determinant of D in any of the selected k row k column )(n k ≤ is located in the intersection of these rows and columns of the 2k elements according to the original order in which a k determinant of M, called a k step determinant of D type.2 Properties of the determinantAccording to the value of determinant can be divided into the following categories: (1) Properties of determinant value is 01) If there are two lines of the same determinant, the determinant value of 0; 2) If the determinant is two in proportion, the determinant value of 0; 3) The determinant of a behavior of 0, the determinant of the value of 0 (2) Properties of determinant.1) The line ratio to another line, the determinant of invariant, i.e.nnn n kn k k knin k i k i nnn n n kn k k in i i na a a a a a ca a ca a ca a a a a a a a a a a a a a a a a212122111121121212111211+++=（6） R c ∈2) Transpose, determinant value unchanged, i.e.nn n n n n a a a a a a a a a 212222111211=nnn n n n a a a a a a a a a 212221212111（7）3) If a row determinant is two sets of numbers and, then it is equal to the two determinant and the two determinant, in addition to the line outside the rest with the original determinant corresponding to the same, i.e.nnn n n n nn n n n n nnn n n n n a a a c c c a a a a a a b b b a a a a a a c b c b c b a a a21211121121211121121221111211+=+++（8）(3)Change properties of determinantThe mon factor line can be put forward to, or use a multiplied by the determinant of a is equal to the number is multiplied by this determinantnn n n in i i n nn n n in i i n a a a a a a a a a k a a a ka ka ka a a a212111************=（9） (4)Properties of determinant inverse number On line two, the number of determinantnnn n in i i kn k k nnn n n kn k k in i i na a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a2121211121121212111211-=（10） 3Calculation of determinant3.1 Some important formulas and conclusions(1) The determinant line (or column) expansionLet )(ij a A = be n matrix, the ij A cofactor ij a type, then⎩⎨⎧≠==+++j i ji A A a A a A a jn in j i j i ,0,2211 （11）⎩⎨⎧≠==+++ji ji A A a A a A a nj ni j i j i ,0,2211 （12）(2) Let A be a n matrix,A A T =（13）(3) Let A be a n matrix,A k kA n =（14）(4) Let A, B is n matrix, B A AB =,但B A B A ±≠±（15）BA A B B A AB ===, (, but generally BA AB ≠ ) (16)(5) (Laplasse theorem) In arbitrary n determinant of D in the )11(-≤≤n k k line, product of algebraic all k type consisted of the k elements and their type and is equal to the determinant of D.(6) Let A be a m matrix, B matrix, n,m m m n nnA A AB B B *==*But,0(1)0n mn m n mB A B A =-（17）(7) Van Redmond determinant1222212111112111()n n n j i i j nn n n nx x x D x x x x x x x x ≤<≤---==-∏(18).(8) Some special determinant value111222nnnλλλλλλλλλ***==***(19)111222nnnλλλλλλλλλ***==***(20).Notes: (19) (20) of the determinant of the elements * are not all zero.3.2Calculation of primary determinant3.2.1 Use of the definition of the determinant, properties 1 cases of puting determinant ofyxyx x y x y y x y x D +++=3 Solution: can be directly according to the definition of the determinant is written,)(2))((233223y x y xy x y x D +-=-+-+=.3.2.2 Uses triangulation method 2 cases of puting determinant of3112321014D -= Solution : the use of triangulation method4105502114101232113--=-=D 112(5)011014-=--112(5)01125005-=--=3.3Calculation of level n determinant3.3.1Using the definition3.3.2 Row (column) subtract (add) method 3.3.3 Factor theorem method3.3.4The recursive degradation method3.3.5 Method3.3.6 Mathematical induction3.3.7Using the formula and theoremReference[1] Wang Efang, Ihi Kim algebraic geometry and higher algebra [M]. Department of Peking University Department of mathematics of algebra group coding,1988.03.[2] Zhang Herui, Hao Bingxin. Advanced algebra [M]. Beijing higher education press, 1983.04.[3] Li Zhihui, Li Yongming and [M]. Of Shaanxi Normal University College ofmathematics and information science of higher algebra,2005.09.[4] Geng Suohua. The determinant of the nature of the application [M]. Nanjing Audit University press, 2006.01.[5] Korea, Guo Haiqing. Calculation of [M]. Southwest University for Nationalities press two kinds of special line history, 2007.06.[6] Liu Chonghua. A class of determinantal formula for [M]. Nanning University Press, 2006.04.[7] Yang Liying, Li Chengqun. Calculation methods and skills of primary determinant [M]. Guangxi Teachers Education University press, 2006.01.[8] Sun Qinghua, Sun Hao, Li Jinlan and skill of Higher Algebra content, method of [M]. Huazhong University of Science and Technology press, 2006.08.[9] Hair Gangyuan linear algebra problem solving methods. Techniques (Second Edition) [M]. Huazhong University of science and Technology Press, 2007.06.。
行列式的计算方法和解析论文
行列式的计算方法和解析论文行列式是线性代数中重要的概念，其在矩阵理论、向量空间等方面有广泛的应用。
行列式的计算方法包括拉普拉斯展开、按行（列）展开、递推法等。
行列式的计算方法在不同的场景下有不同的适用性，下面将详细介绍行列式的计算方法及其应用，并从一篇经典的解析论文中探讨行列式在数学研究中的作用。
一、行列式的计算方法1.拉普拉斯展开法：拉普拉斯展开法是求行列式的一种常用的计算方法。
假设A是一个n阶方阵，其中元素用a_ij表示，对于任意一个a_ij，可以通过展开该元素所在的行和列的其他元素来计算行列式的值。
拉普拉斯展开法的基本原理是递归地求解子行列式的值，直到得到一个1阶行列式。
例如，对于一个3阶行列式A=，a_11a_12a_13a_21a_22a_2a_31a_32a_3可以通过拉普拉斯展开法按第一行展开来计算行列式的值：A，=a_11*，A_11，-a_12*，A_12，+a_13*，A_1=a_11*(a_22*a_33-a_23*a_32)-a_12*(a_21*a_33-a_23*a_31)+a_13*(a_21*a_32-a_22*a_31)其中，A_11，表示去掉第一行第一列元素的2阶子行列式，以此类推。
2.按行（列）展开法：按行（列）展开法是求行列式的另一种计算方法。
通过选择其中一行（列），将行列式扩展为若干个较小阶的子行列式，最终递归地计算行列式的值。
按行展开和按列展开所得到的计算表达式相同，只是展开的方式不同而已。
例如，对于一个3阶行列式A=，a_11a_12a_13a_21a_22a_2a_31a_32a_3可以通过按第一行展开来计算行列式的值：A，=a_11*，A_11，-a_12*，A_12，+a_13*，A_1=a_11*(-1)^(1+1)*(a_22*a_33-a_23*a_32)-a_12*(-1)^(1+2)*(a_21*a_33-a_23*a_31)+a_13*(-1)^(1+3)*(a_21*a_32-a_22*a_31)其中，(-1)^(i+j)是代数余子式。
行列式与矩阵的相似与不同(论文)
行列式和矩阵的相似与不同学生姓名：学号：系部：数学系专业：数学与应用数学年级：指导教师：完成日期：中文摘要在本论文中主要讨论了高等代数中的行列式和矩阵两个重要概念，并且深入观察和比较行列式和矩阵的形式方面行列式表示一个数,矩阵表示为一个数表.概念中它们的本质与相等方面有区别。
性质方面主要区别为转置,进行一些初等变换的结果不同。
运算方面行列式和矩阵对加法来说都满足交换律,结合律与分配律，但矩阵对乘法来说不满足交换律,并且它们的数乘方法也不同，还有应用等方面阐述了行列式和矩阵的相似与不同和它们之间关系。
关键词：行列式；矩阵；相似；不同；应用。
1目录中文摘要 (1)引言 (1)1. 形式方面 (1)1.1相似： (1)1.2区别 (1)2. 概念方面 (2)2.1本质不同 (2)2.2相等方面不同 (2)3.性质方面 (3)3.1相同点 (3)3.2区别 (3)4. 运算方面 (5)4.1相同点 (5)4.2区别 (6)5. 应用方面 (8)5.1相同点 (8)5.2区别 (8)总结 (12)参考文献 (13)致谢 (14)2引言行列式和矩阵是高等代数中，特别是线性代数中的两个基本概念。
它们从一般地计算到求出线性方程组的解，判断向量的线性关系，线性变换和一些实际问题中广泛的应用。
虽然，行列式和矩阵是互不相同的两个概念，但它们也具有一些相同的性质。
所以要明确它们之间的相似与不同是很重要的。
1. 形式方面1.1相似：行列式和矩阵表面上看比较相似，即它们中的元素有顺序地排成行列表。
1.2区别：行列式中行数和列数必须相同，即行数必须等于列数，正因为如此，所以说行列式时称为n阶行列式，n为行列式中行数或列数。
且行列式在数表两端加竖线，表示由这个数表确定的一个数。
如：D=11121 2122212...... ............nnn n nn a a a a a a a a a矩阵中，行数和列数无丝毫关系，即可以不同。
数学行列式论文
初探行列式的计算方法姓名：田永健 学号：200640501233 指导老师：崔艳摘要： 本文主要说明对几种行列式的求解的方法，讲述针对做题过程中遇到的各种行列应该采用哪种方法解决较为简便.关键词: 排列 行列式 行列式计算若干数字组成的一个类似于矩阵的方阵即行列式在线性代数中是比较常见也经常会涉及到得，行列式是一个函数，值是一个标量.类似分析中的积分一样.针对不同级不同特征的行列式值的求解通常会有较多的不同的解法。
有时一个行列式甚至可能有好几种计算方法，有些方法较为简便有些则较为复杂,针对我们学习中常见的一些行列式求值方法问题我做了一些总结,具体问题具体处理,一下几个方面就是一些常见的几种解决方法.一. 定义法n 级行列式111212122212nnn n nna a a a a a a a a()1的值等于所有取自不同行不同列的n 个元素的乘积 1212nj j nja a a ()2的代数和,这里12n j j j 是1,2,,n 的一个排列,每一项()2都是按下列规则带有符号:当12n j j j 是偶排列时, ()2带有正号,当12n j j j 是奇排列时,()2带有负号.这一定义可以写成()()121212111212122212121n nnn j j j n j j nj j j j n n nna a a a a a a a a a a a τ=-∑,这里12nj j j ∑表示对所有n 级排列求和.例 1. 计算 2336的值.解:原式26333=⨯-⨯=但是对于含有元素较多的高阶行列式可用定义法计算则较为复杂,一般仅对2级3级的行列式采用。
而对与高阶行列式中0元素较多的行列式则可以采用.因行列式的项1212n j j nj a a a 中有一因数为零时，该项的值为零，故只需求出全部为非零乘积的1212n j j nj a a a 项相加即可。
通常是从行列式的一般项行入手，将行标按自然数排列，讨论列标12n j j j 的所有可能的非零取值，并且要注意每一项1212n j j nj a a a 的符号。
行列式的计算毕业论文
渤海大学毕业论文题目：行列式的计算系别：数学系专业：数学与应用数学班级： 03级五班姓名：徐元姣指导教师：李春目录摘要 (2)引言 (3)一、行列式的定义和性质 (3)1、行列式的定义 (3)2、行列式的性质 (5)二、行列式计算的若干方法 (8)1、化三角形法 (8)2、降阶法（按行（列）展开法） (14)3、升阶法（加边法） (18)4、拆分法 (19)5、泰勒公式法 (21)6、利用范德蒙行列式 (23)7、导数法 (24)8、积分求行列式 (25)9、行列式乘积法 (27)10、递推法 (29)11、数学归纳法 (32)12、循环矩阵的行列式的计算方法 (35)13、利用矩阵行列式公式 (39)14、利用方阵特征值与行列式的关系 (40)结束语………………………………………………………………………………………42参考文献……………………………………………………………………………………43行列式的计算摘要：行列式是高等数学的一个基本的概念。
求解行列式是在高等代数的学习中遇到的基本问题，每一种复杂的高阶行列式都有其独特的求解方法。
本文主要介绍了求行列式值的一些常用方法和一些特殊的行列式求值方法。
如：化三角形法、降阶法、升阶法、泰勒公式法、范德蒙行列式等十多种方法。
并对相应例题进行了分析和归纳，总结了与每种方法相适应的行列式的特征。
关键词：行列式，定义，计算方法。
The Calculation of DeterminantXu Yuanjiao（Department of Mathematics BohaiUniversity Liaoning Jinzhou 121000 China）Abstract: The determinant is a basic concept of higher mathematics. The solution of determinant is the basic question, and each kind of complex higher order determinant has its special solution method. This paper mainly introduces the methods for calculation of determinant. For example, the triangle method, rise-lower method, analyzes the law, Taylor formula, Vandermonde determinant, and so on. The paper also analyzes the corresponding examples, and summarizes the characteristic of determinants corresponding to each method.Key words: Determinant, Definition, Calculation.引言行列式是高等代数中的重点部分，讲到行列式,我们通常会联想到用克兰姆法则求解线性方程组.但是行列式的作用不仅仅只用于求解线性方程组.在解析几何中,用行列式方法可以判别三点共线和三向量共面、计算平行六面体的体积等等.它不仅是研究线性方程组基本工具，也是讨论向量矩阵和二次型的重要工具之一。
行列式及其应用论文.doc
目录1.引言 (2)2.行列式的概念 (2)2.1排列与逆序 (2)2.2 n阶行列式的定义 (2)2.3 行列式的基本性质 (3)2.4 行列式按行（列）展开定理 (4)2.5 重要公式与结论 (5)2.6 范德蒙德行列式的性质 (6)3.行列式的若干应用 (6)3.1行列式在线性方程组中的一个应用（克拉默法则的应用） (6)3.2行列式在初等代数中的几个应用 (7)3.2.1用行列式分解因式 (8)3.2.2用行列式证明不等式和恒等式 (8)3.3.行列式在解析几何中的几个应用 (8)3.3.1用行列式表示公式（泰勒公式的行列式表示法） (8)3.3.2用行列式表示三角形面积 (8)3.3.3用行列式表示直线方程 (9)4.范德蒙德行列式的若干应用 (10)4.1范德蒙德行列式在行列式计算中的应用 (10)4.2范德蒙德行列式在微积分中的应用 (10)4.3范德蒙德行列式在向量空间理论中的应用 (12)4.4范德蒙德行列式在线性变换理论中的应用. (12)结论 (13)致谢 (14)行列式及其应用任兰兰,数学计算机科学学院摘要:行列式是线性代数一个重要的基本工具.本文首先对行列式的相关概念做了介绍,包括行列式的定义,性质,常见公式及结论等,然后通过例题详细介绍了行列式在线性方程组,初等代数以及解析几何中的应用,以及范德蒙行列式在微积分以及向量空间等方面的应用等.文章最后对行列式及其应用做了总结.关键词:行列式;范德蒙德行列式;克拉默法则The Determinants and Their Applications Abstract:The determinant is one of the elementary tools in linear algebra. We first introduce the corresponding conceptions of the determinants, such as the definition, the properties, the ordinary formulas and conclusions, then we discuss in detail the applications of the determinants in linear equations, elementary algebra, and analytic geometry and so on, we also discuss the applications of the Vandermonde determinant in calculus and vector space. Finally we summarize the advantages of the determinants.Key words:Determinant; Vandermonde determinant; Cramer rule1.引言行列式是研究数学问题的重要工具之一,行列式的运算使问题的解决变得简单,让我们首先来介绍行列式有关的重要概念,定理,公式及其性质.其次我们介绍行列式的若干应用.2.行列式的概念2.1排列与逆序定义1 n 级排列:由n 个自然数1,2,,n 组成的一个无重复的有序数组12n i i i 称为一个n 级排列,n 级排列共有!n 个.定义2 逆序:在一个n 级排列中,如果一个较大的数排在一个较小数之前,就称这两个数构成一个逆序,一个排列中逆序的总数,称为这个排列的逆序数.用12()n i i i τ或τ表示排列12n i i i 的逆序数.如果排列12n i i i 的逆序数为偶数,则称它为偶排列.如果排列的逆序数为奇数,则称它为奇排列.定义3 对称:排列12n i i i 中,交换任意两数t i 与s i 的位置,称为一次对换.对换改变排列的奇偶性.任何一个排列都可经过若干次对换变成自然顺序,并且所作对换的次数与这个排列有相同的奇偶性.例2.1.1 求下列排列的逆序数,并确定它们的奇偶性(1)53214;(2)(1)321n n -⨯⨯;(3)135(21)246(2)n n - 解 （1）(53214)=4+2+1+0=7τ为奇排列.（2）(1)((1)321)=(n-1)+(n-2)++2+1=2n n n n τ--⨯⨯由于(1)2n n -的奇偶性需根据n 而定,故讨论如下：当4n k =时,(1)2(41)2n n k k -=-是偶数;当41n k =+时,(1)2(41)2n n k k -=+是偶数;当42n k =+时,(1)(21)(41)2n n k k -=++是奇数;当43n k =+时,(1)(21)(43)2n n k k -=++是奇数. 综上所述,当4n k =或41n k =+时,此排列为偶排列;当42n k =+或43k +时, 此排列为奇排列,其中k 为任意非负整数.（3）该排列中前n 个数1,3,5,,(21)n -之间不构成逆序,后n 个数2,4,6,,2n 之间也不构成逆序,只有前n 个数与后n 个数之间才构成逆序.(1)(135(21)246(2))012(1)2n n n n n τ--=++++-=,奇偶性情况与（2）完全一样. 2.2 n 阶行列式的定义由2n 个元素(,1,2,,)ij a i j n =组成的记号121211121212221212==(1)n nn nt p p np p p p n n nna a a a a a D a a a a a a -∑其中12,n p p p 为自然数1,2,,n 的一个排列,t 为这个排列的逆序数,求和符号12np p p ∑是对所有排列12n p p p 求和.n 阶行列式D 中所含2n 个数叫做D 的元素,位于第i 行第j 列的元素ij a 叫做D 的(,)i j 元.例2.2.1 若12335544i i a a a a a 是五阶行列式中带有正号的一项,求,i j 的值?解 由行列式的定义知,每一项应取自不同行不同列的五个元素之积,因此,i j 只能取,i j ,当2,1i j ==时，此时应取负号;当1,2i j ==时,11233552441123354452a a a a a a a a a a =,且(13542)4τ=为偶排列.所以1,2i j ==. 2.3 行列式的基本性质（1）行列式与它的转置行列式的值相等,即T D D =.111211121121222122221212=n n n n n nnnn n nna a a a a a a a a a a a a a a a a a （2）互换行列式的任意两行（列）,行列式的值将改变正负号.111212122221222111211212=n nnnn n nn n n nna a a a a a a a a a a a a a a a a a —特别地,如果行列式有两行（或两列）完全相同,则行列式的值等于零.（3）行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式记号外面. （数乘行列式等于用这个数乘该行列式中的某一行（列）.1112121111211212222212221121122=n n nnn n n ii n n nnn n n nnb a b a b a a a a b a b a b a a a a b a a a b a b a b a =∏特别地,若行列式中有一行（或列）元素全为零,则该行列式的值为零.（4）行列式具有分行（列）相加性.11121111211112121222212222122211221212112122=+n n nnn n i i i i in in i i in i i in n nnn n nnn n nnn a a a a a a a a a a a a a a a a a a b c b c b c b b b c c c a a a a a a a a a +++（5）行列式中若有两行（或两列）元素对应成比例,则该行列式的值为零.（6）将行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数k 后加到另一行（列） 对应的元素上,行列式的值不变.11121212221112121222112212121212=nn n ni j i j in jn i i inj j jn n nnn n n nna a a a a a a a a a a a a ka a ka a ka a a a a aa a a a a a a +++（7）分块行列式的值等于其主对角线上两个子行列式的值的乘积.例2.3.1 （1）设A 是33⨯矩阵,B 为44⨯矩阵,且1A =，2B =-,求B A ?（2）设A 是33⨯矩阵,=-2A ,把A 按列分块为123(,,A A A A =）,其中(1,2,3)j A j =是A 的第j 列,求31212,3,A A A A -.（3）设αβγ，，是方程30x px q ++=的三个根,求行列式αβγγαββγα?解 （1）33(2)18B A B A ==-⋅=-.（2）31213211212,3,=,3,-2,3,A A A A A A A A A A -+,对于1212,3,A A A -,第一列和最后一列对应元素成比例,故其值为零,而321123123,3,=,3,=3,,=3=6A A A A A A A A A A ---. （3）由根与系数的关系知0αβγ++=,于是0==00αβγαβγβγβγγαβαβγαβαββγααβγγαγα++++++. 2.4 行列式按行（列）展开定理定义4 在n 阶行列式中,把,)i j （元ij a 所在的第i 行和第j 列划去后,留下来的1n -阶行列式叫做(,)i j 元ij a 的余子式,记作ij M .111211111(1)1(1)2(1)1(1)1(1)(1)1(1)2(1)1(1)1(1)12(1)(1)j j n ii i j i j i n ij i i i j i j i n n n n j n j nna a a a a a a a a a M a a a a a a a a a a -+-----+-+++-+++-+=(1)i j ij ij A M +=-,ij A 叫做,)i j （元ij a 的代数余子式. 引理1 一个n 阶行列式，如果其中第i 行所有元素除(,)i j 元ij a 外都为零，那么这行列式等于ij a 与它的代数余子式的乘积，即ij ij D a A =定理1 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和;推论3行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.即11221,++(1,2,,)0,nij kj i k i k in kn j D i k a A a A a A a A i n i k ==⎧=+==⎨≠⎩∑ 或11221,++(1,2,,)0.nij ik j k j k nj nk i D j k a A a A a A a A j n j k ==⎧=+==⎨≠⎩∑例 2.4.1设1578111120361234D =,求41424344A A A A +++,其中4j A 为元素4j a ,1,2,3,4j =的代数余子式.解 414243444142434415781111=1111020361111A A A A A A A A +++⋅+⋅+⋅+⋅==.例 2.4.2 设n 阶行列式00010100021000011000A n n=-,求A 中所有元素的代数余子式之和.解 A 中所有元素的代数余子式,即A *中的所有元素.而(1)(2)120010002001==(1)!100000000n n n n A A A n n --*--⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 中的所有元素的代数余子式之和,即A *的所有元素之和为(1)(2)2(1)(1)2!n n n n n --+-⋅ 2.5 重要公式与结论（1）设A 为n 阶方阵,则det()A (或A )表示对应的行列式,记为'T A A A ==（“T ”,”’”均表示转置）（2）设方阵A 可逆,则11A A-=（3）设*A 为A 的伴随矩阵,ij A 为ij a 的代数余子式.1121112222*12n n n nnn A A A A A A A A A A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,则1*n A A -=. （4）n kA k A =,(A 为n 阶方阵).（5）00,,(1)00mn A C A B A B A B A B B C B A ===-,其中A 为m 阶方阵,B 为n阶方阵.（6）范德蒙德（Vandermonde ）行列式1222212111112111()n n n i j n i j n n n n x x x D x x x x x x x x ≥≥---==-∏2.6 范德蒙德行列式的性质利用行列式的性质容易推得：（1）若将范德蒙德行列式n D 逆时针旋转90,可得：11n(1)11211111-11n n n n n n n n n x x x x D x x ------=（）（2）若将范德蒙德行列式n D 顺时针旋转90,可得：1111n(1)222111-11n n n n n n n x x x x D x x ----=（）（3）若将范德蒙德行列式n D 旋转180,可得：1111111111n n n n n n n n x x x D x x x -----=3.行列式的若干应用3.1行列式在线性方程组中的一个应用线形方程组11112211211222221122......()...n n n n n n nn n na x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪*⎨⎪⎪+++=⎩ 克拉默法则：如果线性方程组()*的系数行列式不等于零。
行列式的解法技巧 毕业论文
目录摘要 (1)前言 (2)一、行列式的基本理论 (2)（一）行列式定义 (2)（二）行列式的性质 (2)（三）基本理论 (4)（四）几种特殊行列式的结果 (4)二、行列式的计算技巧 (5)（一）定义法 (5)（二）化成三角形行列式法 (5)（三）两条线型行列式的计算 (7)（四）箭型行列式的计算 (8)（五）三对角行列式的计算 (8)（六）利用范德蒙行列式 (10)（七）H ESSENBERG型行列式的计算 (10)（八）降阶法 (11)（九）加边法（升阶法） (12)（十）计算行（列）和相等的行列式 (13)（十一）相邻行（列）元素差1的行列式计算 (14)（十二）线性因子法 (15)（十三）辅助行列式法 (16)（十四）n阶循环行列式算法 (17)（十五）有关矩阵的行列式计算 (18)（十六）用构造法解行列式 (19)（十七）利用拉普拉斯展开 (20)三、用多种方法解题 (21)总结 (25)参考文献： (25)行列式的解法技巧摘要:行列式是高等代数课程里基本而重要的内容之一，在数学中有着广泛的应用，懂得如何计算行列式显得尤为重要。
本文先阐述行列式的基本理论，然后介绍各种具体的方法，最后由行列式与其它知识的联系介绍其它几种方法。
通过这一系列的方法进一步提高我们对行列式的认识，对我们以后的学习带来十分有益的帮助。
关键词:行列式 , 矩阵, 范德蒙行列式 ,递推法Determinant of the solution techniqueAbstract:Determinant is an basic and important subject in advanced algebra ,it is veryuseful in mathematic. It is very important to know how to calculate determinant. The paperfirst introduced the basic nature of determinant,then introduced some methods, Finally,withthe other determinant of knowledge on the links in several other ways.,through this series ofmethods will futher enhance our understanding of the determinant,on our learning will bringvery useful help.Keywords: Determinant，matrix，Vandermonde Determinant，recurrence method前言行列式在高等代数课程中的重要性以及在考研中的重要地位使我们有必要对行列式进行较深入的认识，本文对行列式的解题技巧进行总结归纳。
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行列式计算方法总结及简单应用摘要：行列式的计算方法，并举例说明了它们的应用，同时对若干特殊例子进行推广。
并举出了几种常见的行列式应用。
关键词：行列式；范德蒙行列式；矩阵；特征植；拉普拉斯定理；析因法；辅助行列式法；行列式的应用；方程组；平面几何。
Abstract: The formulation of the various calculation methods, and examples of theirapplications, and to promote a number of special cases Cited several common determinant applications.Keywords: determinant; Vandermonde determinant; matrix; characteristicsof plants;Laplace theorem; factorial method; secondary determinant method Determinant of the application; equations; plane geometry引言计算方法变化多样，本科期间只能解决一些初等的基本的或者说是有规律的行列式。
而其方法又分为简单和复杂。
最复杂的情形就是：任何一个n阶行列式都可以由它的定义去计算其值。
但由定义可知，n阶行列式的展开式有n!项，计算量很大，一般情况下不用此法。
当然也有列外，假设行列式中有许多零元素，可考虑此法，但也只是考虑。
特别需要注意的是：在应用定义法求非零元素乘积项时，不一定从第1行开始，哪行非零元素最少就从哪行开始。
本论文要介绍的是有规律可循的行列式计算。
而在高代课本中行列式的应用包括了求解方程组，求矩阵的特征向量等等，本论文就不再赘述，本论文中给出的应用是我在做题过程中总结出的行列式考题中的一些常见的问题，以例题的形式给出，可以引发进一步的思考。
一．行列式计算方法总结 方法1 对于形如,的所谓二条线的行列式，可直接展开降级，再利用三角或者反三角行列式的结果直接计算。
例：计算n 级行列式Dn=112211....n n nna b a b b a b a --解：Dn=22111....n n a b a a b a--+()1221111....nn n n b a b b a b =---=()11212...1...n n n a a a b b b ++-Ps ：其中第一步展开按1列展开方法2对于形如的所谓两条线行列式，可直接展开得到递推公式。
例：计算2n 级行列式111121111....nnn n n n n nna b a b a b D c d c d c d ----=解：()11111111122111111110....1....00n n n n n n nn n n n n nna b a b a b a b D a c d b c d c d c d d c ----+----=+-=()()111111112111111111........n n n n n nn nn n n n n n n n n a b a b a b a b a d b c a b b c D c d c d c d c d ----------=- 于是有22(1)()n n n n n n D a d b c D -=-=11112(2)()()...n n n n n n n n n a d b c a d b c D -------==11111111()()...()n n n n n n n n a d b c a d b c a d b c -------特别注意：本题也可用拉普拉斯定理计算解：1111121222(1)1111..(1)()..n n n n n nn n n n n n nnn n a b a b a b D a d b c D c d c d c d --+++---=-=-Ps ：其中第一步按1，2n 行展开方法3对于形如，，，的所谓剑型行列式，可直接利用行列式性质将其一条边换位零，从而可根据三角或者反三角行列式的结果求值。
例：计算n 级行列式11.11021....01.010.01n D n n =- 解：1112...1n n n c c n c c n D ---=======(1)21111...11...200 (2011)(1)!(1...)............201 (00)0 (00)n n nn n n n ----=-----方法4对于形如，的三对角或者反三对角行列式，按其第一行（列）或者第n 行（列）展开得到两项的递推关系式，再利用变形递推的技巧即可求解。
例1：计算n 级行列式210 (00)121...0012...00...............000...21000...12n D ----=-- 解：112n 111110...00021...012 (00)2(1)(1)2...............000...210...12n n n D D D D +-------======+-•-=---按第行展开直接递推不容易得到结果，但是级数较低时可以，于是变形得112232121 (211)2n n n n n n D D D D D D D D -------=-=-==-=-=-于是12112...(1)2(1)1n n n D D D D n n n ++=+=+==+-=+-=+例2： 方法5一般是利用不完全归纳法寻找出行列式的猜想值，再用数学归纳法给出猜想的证明。
因此，数学归纳法一般是用来证明行列式等式。
因为给定一个行列式，要猜想其值是比较难的，所以是先给定其值，然后再去证明。
例：证明2cos 10 (001)2cos 1...00012cos ...00sin(1)(sin 0)...............sin 000...2cos 10...12cos nn D θθθθθθθθ+==≠解：当1,2n =时，有：122sin(11)2cos sin 2cos 1sin(21)4cos 112cos sin D D θθθθθθθθ+==+==-=结论显然成立。
现假定结论对小于等于1n -时成立。
即有：21sin(21)sin(11),sin sin n n n n D D θθθθ---+-+==将n D 按第1列展开，得：(1)(1)122cos 1 (00)2cos 0 (00)12cos ...0012cos ...00........................00...2cos 100...2cos 100...12cos 00...12cos 2cos sin(11)sin(21)2cos sin sin 2cos sin sin(1n n n n n D D D n n n n θθθθθθθθθθθθθθθθ----=-=⋅--+-+=⋅-⋅--=)sin 2cos sin sin cos cos sin sin sin cos cos sin sin sin(1)sin n n n n n n θθθθθθθθθθθθθθθθ⋅-⋅+⋅=⋅+⋅=+=故当对n 时，等式也成立下面说一个综合了方法4和方法5的例子，在高等代数书中101页18题（3）小题例：已知：0 (001000100) 0....1n D αβαβαβαβαβαβ++=++11,n n n D αβαβαβ++-=≠-证明 ：其中解：D n 按第1列展开，再将展开后的第二项中n-1阶行列式按第一行展开有：12n n n D D D αβαβ=－－（＋）－这是由D n-1 和D n-2表示D n 的递推关系式。
若由上面的递推关系式从n 阶逐阶往低阶递推，计算较繁，注意到上面的递推关系式是由n-1阶和n-2阶行列式表示n 阶行列式，因此，可考虑将其变形为：11212n n n n n n D D D D D D αβαββα－－－－－－＝－＝（－） 或 11212n n n n n n D D D D D D βααβαβ－－－－－－＝－＝（－）现可反复用低阶代替高阶，有：23112233422221[()()](1)n n n n n n n n n n nD D D D D D D D D D αβαβαβαβαβαβαβααββ-+--+=－－－－－－－－－＝（－）＝（－）＝（－）＝＝（－）=同样有：23112233422221[()()](2)n n n n n n n n n n nD D D D D D D D D D βαβαβαβαβααβαββαβα-+--+=－－－－－－－－－＝（－）＝（－）＝（－）＝＝（－）=因此当αβ≠时由（1）（2）式可解得：11n n n D αβαβ++-=-方法6还有一种行列式，因无法用图形表达，故在此用语言表达出来：该类型具有各行（列）元素之和相等的特点，但是在所学的高等代数书绝大多数均为主对角线上是同一个元素，对角线两边是相对应的相等的同一元素，且行列式是不存在零元素。
当然我所举得例子只是特殊情况，但是若考此类型的行列式，大部分都是此种套路。
解决此类行列式的方法是可将第2，3，…，n 列（行）都加到第1列（行）（或者第12，…，n-1列（行）都加到第n 列（行）），则可得第1（n ）列（行）元素相等，再进一步化简即可华为三角或反三角行列式例：计算n 级行列式........................n x a a aax a a D aa x a a a a x=解：2112311211......(1)...(1)....(1)......(1)...nn r r c c r r c c n c c r r x n a aa x n a x a D x n a x n aa x-+-++-+-+-=======+-+-1(1)....[(1)]()....n x n aa ax ax n a x a x a-+--=+--- ps ： c 代表行，r 代表列。
与上一类型的行列式相似的，是对角线上元素不同，但是关于对角线元素的两边元素是同一个元素。
而对于这种类型的行列式的方法是添项（称为升级法或加边法）：在保持原行列式值不变的情况下，增加一行一列，适当选择所增加行（列）的元素，使得下一步化简后出现大量的零元素，一般都会变成前面方法3的剑型行列式。
例：计算n 级行列式123a ........................n nb b b b a b bD b ba b b b ba = (,1,2,...,)ib a i n ≠= 解：21311112...1b ...0...0...............0...n r r r r n r r n b ba b b D b a b b ba +---====升级121...10...010...0 (100)...n b bb a b a b a b ------ 2113121111...21.........n n c c a b n c c a bc c a bn b bb bba b a ba ba ba b++-+-+-+++---======--=1211[1]()()....()nn i b a b a b a b a b+----∑还有一种是主对线是同一个元素，但是关于对角线两边的元素是互为相反数的，而解题方法是利用两边元素互为相反数，行列式平方运算则必得对角线形式行列式例：计算4级行列式4ab c d b a d c D c d a b dcb a --=----解：2'444ab c d a bc d b a d c b a d c D D D c d a b c d a b dcba dc ba------==------=222222222222222200000000a b c d a b c d a b c da b c d ++++++++++++=22224()a b c d +++故 222224()D a b c d =±+++根据行列式定义可知，D4的展开式中有一项为(1234)411223344(1)a a a a a τ-= 故得 222224()D a b c d =+++方法7在方法5中提到了添项法，再说一个添项法的实际应用，范德蒙德行列式高等代数中最经典，最重要的行列之之一，而有些问题中会出现变形得范德蒙德行列式，一般的变形情况是缺少一行（或者一列）而解题方法就是增加缺少的行（或列），间接的求出行列式。