行列式论文

行列式计算方法总结及简单应用

摘要：行列式的计算方法，并举例说明了它们的应用，同时对若干特殊例子进行推广。并举出了几种常见的行列式应用。

关键词：行列式；范德蒙行列式；矩阵；特征植；拉普拉斯定理；析因法；辅助行列式法；行列式的应用；方程组；平面几何。

Abstract: The formulation of the various calculation methods, and examples of theirapplications, and to promote a number of special cases Cited several common determinant applications

.

Keywords: determinant; Vandermonde determinant; matrix; characteristics

of plants;Laplace theorem; factorial method; secondary determinant method Determinant of the application; equations; plane geometry

引言

计算方法变化多样，本科期间只能解决一些初等的基本的或者说是有规律的行列式。而其方法又分为简单和复杂。最复杂的情形就是：任何一个n阶行列式都可以由它的定义去计算其值。但由定义可知，n阶行列式的展开式有n!项，计算量很大，一般情况下不用此法。当然也有列外，假设行列式中有许多零元素，可考虑此法，但也只是考虑。特别需要注意的是：在应用定义法求非零元素乘积项时，不一定从第1行开始，哪行非零元素最少就从哪行开始。本论文要介绍的是有规律可循的行列式计算。

而在高代课本中行列式的应用包括了求解方程组，求矩阵的特征向量等等，本论文就不再赘述，本论文中给出的应用是我在做题过程中总结出的行列式考题中的一些常见的问题，以例题的形式给出，可以引发进一步的思考。

一．行列式计算方法总结 方法1 对于形如

,

的所谓二条线的行列式，可直接展开降级，再利用三角或者反三

角行列式的结果直接计算。 例：计算n 级行列式

Dn=1

12

21

1.

..

.n n n

n

a b a b b a b a --

解：

Dn=

2

21

11

.

..

.n n a b a a b a

--+

()

12

2111

1.

..

.n

n n n b a b b a b =---=

()

1

1212...1...n n n a a a b b b ++-

Ps ：其中第一步展开按1列展开

方法2

对于形如的所谓两条线行列式，可直接展开得到递推公式。

例：计算2n 级行列式1

1

11211

1

1.

.

..n

n

n n n n n n

n

a b a b a b D c d c d c d ----=

解

：

()

1

1

1

1

11111221

1

1

1

11

1

10

.

.

..1...

.0

0n n n n n n n

n n n n n n

n

a b a b a b a b D a c d b c d c d c d d c ----+----=+-=

()()1

11

1

1111211

1

1

1

1

1

1

1

.

.

.

.

....n n n n n n

n n

n n n n n n n n n a b a b a b a b a d b c a b b c D c d c d c d c d ----------=- 于是有22(1)()n n n n n n D a d b c D -=-=11112(2)()()...n n n n n n n n n a d b c a d b c D -------==

11111111()()...()n n n n n n n n a d b c a d b c a d b c -------

特别注意：本题也可用拉普拉斯定理计算

解：1

1

11121222(1)11

1

1

.

.

(1)()..n n n n n n

n n n n n n n

n

n n a b a b a b D a d b c D c d c d c d --+++---=

-=-

Ps ：其中第一步按1，2n 行展开

方法3

对于形如，，，的所谓剑型行列式，可直接利用行列式性质将其一条边换位零，从而可根据三角或者反三角行列式的结果求值。

例：计算n 级行列式11.11

021.

...01.010.

01

n D n n =- 解：11

12...1n n n c c n c c n D ---=======(1)2111

1

...11...200 (2011)

(1)!(1...)............201 (00)

0 (00)

n n n

n n n n ----

=-----

方法4

对于形如，的三对角或者反三对角行列式，按

其第一行（列）或者第n 行（列）展开得到两项的递推关系式，再利用变形递推的技巧即可求解。

例1：计算n 级行列式210 (00)

1

2

1...

00

12...00...

............000...

210

00

...12n D ----=

-- 解：112

n 11111

0...

0002

1...

012 (00)

2(1)(1)

2...............000...

210

...1

2

n n n D D D D +-------======+-•-=---按第行展开

直接递推不容易得到结果，但是级数较低时可以，于是变形得