第四章 转动参考系

如用柱坐标， 方向的反作用力。 如用柱坐标，可求出z方向的反作用力。
2.空间转动参照系 2.空间转动参照系
a = a ′ + at + ac
ɺ × r +ω (ω ⋅ r ) −ω2r at = ω ɺ = ω × r −ω2R
a c = 2ω × v ′
ma ′ = F + mω R − 2 mω × v ′
相对加速度
ɺ a ′ = a − ω × r + ω 2 r − 2ω × v′
ɺ × r + mω 2 r − 2 mω × v ′ m a ′ = F − mω
对于匀速转动， 对于匀速转动， 该项为零 惯性离 心力 科里奥利力
在一光滑水平直管中， 的小球， 例 在一光滑水平直管中，有一质量为m的小球，此管以恒定 绕通过管子一端的竖直轴转动。如果起始时， 角速度ω绕通过管子一端的竖直轴转动。如果起始时，球距转 球相对于管子的速度为零， 动轴的距离为a，球相对于管子的速度为零，求小球沿管的运 动规律及管对小球的约束反作用力。 动规律及管对小球的约束反作用力。 解 先用非惯性参照系 小球运动微分方程
a c = 2 ω × v ′ = − 2 ω v ′ s in ϕ i
a = v′4 + 2ω 2 R 2 (1 + sin 2 ϕ ) v′2 + R 4ω 4 cos2 ϕ
非惯性系动力学（ §4.3 非惯性系动力学（二）
1. 平面转动参照系 绝对加速度
ɺ a = a′ + ω × r − ω 2 r + 2ω × v′
ω 2 ≃ ( 7.3 × 10 − 5 ) ≃ 5 × 10 − 9 可略去ω2项
2
z方向振幅很小，可略去 又 方向振幅很小， ɺɺ z
l −z ≈l
g p = l
2
ɺ T = mg − 2mω y cos λ ≃ mg
ɺɺ − 2 m ω y sin λ + p 2 x = 0 ɺ x ɺɺ + 2 m ω x sin λ + p 2 y = 0 ɺ y
第四章 转动参照系
§4.1 平面转动参照系 §4.2 空间转动参照系 非惯性系动力学（ §4.3 非惯性系动力学（二） §4.4 地球自转所产生的影响 §4.5 傅科摆
§4.1 平面转动参照系
位矢
r = xi + yj
(1.2.8)
di di dθ = =ω j dt dθ dt
dj dj dθ = = −ω i dt dθ dt
y = − x1 sin (ω sin λ ) t + y1 cos (ω sin λ ) t
y1 = ( A − B ) sin pt
J L Foucault Demo
ɺɺ ɺ mx = Fx + 2mω y sin λ
ɺɺ ɺ ɺ my = Fy − 2mω ( x sin λ + z cos λ ) ɺ ɺɺ mz = Fz − mg + 2mω y cos λ
x y l−z Fx = − T , Fy = − T , Fz = T l l l
′ = F − ma0 + mω 2 R − 2mω × v′ ma
2. 科里奥利力
ma′ = F + mgk − 2mω × v′
i ω × v′ = −ω cos λ ɺ x j k 0 ω sin λ ɺ ɺ y z
ɺɺ ɺ mx = Fx + 2mω y sin λ
ɺɺ ɺ ɺ my = Fy − 2mω ( x sin λ + z cos λ ) ɺ ɺɺ mz = Fz − mg + 2mω y cos λ
a ′ = ɺɺ + ɺɺ xi yj
相对加速度 牵连加速度 科里奥利加速 度
ɺ × r − ω 2r at = ω
a c = 2ω × v ′
a = a ′ + at + ac
例 圆盘半径为R，以匀角速度ω绕垂直 的轴线转动． 于盘心O的轴线转动．一质点沿径向槽自 向外运动． 盘心以匀速度v’向外运动．试求质点加速 度各分量的量值． 度各分量的量值． 解
dr di dj ɺ ɺ v = = xi + yj + x + y dt dt dt
速度
v = v′ + ω × r
相对速度 牵连速度
加速度
其中
dv ′ d (ω × r ) a= + dt dt dv ′ = a′ + ω × v′ dt
v = v′ + ω × r
d (ω × r ) d ω dr = ×r +ω× dt dt dt
∆ v r = v ′ cos ω ∆ t − ω ( r + v ′∆ t ) sin ω ∆ t − v ′ = v ′ − ω ( r + v ′∆ t ) ω ∆ t − v ′ = −ω 2 r ∆ t ∆ vθ = ω ( r + v ′∆ t ) cos ω ∆ t + v ′ sin ω ∆ t − ω r
h = 200m, ω ih ≃ ( 7.3 ×10
2
−5 2
)
× 200 ≃ 10−6
x=0 1 3 y = gt ω cos λ 3 1 2 z = h − gt 2
v′ = 1m / s, 2ω v′ = 2 × 7.3 ×10−5 ≃ 10−4
略去ω2项，可得
ɺɺ = 0 x ɺɺ = 2 gtω cos λ y ɺɺ = − g z
ɺɺ − 2mω y sin λ + p 2 x = 0 ɺ x ɺɺ + 2mω x sin λ + p 2 y = 0 ɺ y
2 n1,2 + 2iω sin λ n1,2 + p 2 = 0
ɺɺ ξ + 2 iω ξɺ sin λ + p 2 ξ = 0 ξ = x + iy
ξ = Aen t + Be−n t
3. 落体偏东问题
ɺɺ ɺ mx = 2mω y sin λ ɺɺ ɺ ɺ my = −2mω ( x sin λ + z cos λ ) ɺ ɺɺ mz = −mg + 2mω y cos λ
ɺ ɺ ɺ t = 0 : x = y = z = 0, t = 0 : x = y = 0, z = h
di = ω j dt
dj = −ω i dt
速度
v = v′ + ω × r
相对速度 牵连速度
加速度
ɺ ′ + ω × r − ω 2 r + 2ω × v ′ a = a
相对加速度 牵连加速度 科里奥利加速 度
a ′ = ɺɺ + ɺɺ xi yj ɺ × r − ω 2r a =ω
t
a c = 2ω × v ′
2
ma′ = F − ma0 + mω R − 2mω × v′
2
§4.4 地球自转所产生的影响
地球公转角速度很小， 地球公转角速度很小，而且所 产生的惯性离心力几乎与太阳引力 抵消。 抵消。自转角速度约为 ×10−5弧度/ 秒 7.3 可产生一些可观察的现象。 可产生一些可观察的现象。 1.惯性离心力 如果物体静止， 如果物体静止，则只有惯性离心 力作用，使得重力小于引力， 力作用，使得重力小于引力，随着纬 度变化。在赤道处最小， 度变化。在赤道处最小，在两极处最 引力的作用线通过球心， 大。引力的作用线通过球心，但是重 力作用线一般不通过球心。 力作用线一般不通过球心。
轨道方程 8 ω 2 cos 2 λ 3 y2 = − z − h) ( 9 g
1 落地时 y = 3
8h 3 ω cos λ g
λ = 40 , h = 200m, y ≃ 4.75 ×10−2 m
§4.5 傅科摆
1851年，傅科在巴黎圣母院用67米长的单摆进行实验， 米长的单摆进行实验， 根据摆的振动平面偏转效应证明地球自转博得了很大的声誉， 根据摆的振动平面偏转效应证明地球自转博得了很大的声誉， 被命名为傅科摆。 被命名为傅科摆。联合国大厅和北京自然博物馆门口就有一个 傅科摆。 傅科摆。
改用惯性参照系， 改用惯性参照系，选极坐标系 运动微分方程
( ) ɺɺ ɺ m ( rθ + 2 rθɺ ) = R
ɺɺ mr = rω 2 ɺ 2 mrω = Rθ
ɺɺ − rθɺ 2 = Fr = 0 m r
θ
ɺɺ θɺ = ω = 常数， = 0 θ
比较
ɺɺ = mω 2 x mx ɺ ɺɺ mz = 2 mω x − Rz = 0
ɺ a = a ′ + ω × v′ + ω × r + ω × ( v′ + ω × r )
ɺ a = a ′ + ω × r + ω × (ω × r ) + 2ω × v ′
其中
ω × (ω × r ) = ω (ω ⋅ r ) − ω r = −ω r
2 2
ɺ × r − ω 2 r + 2ω × v ′ a = a′ + ω
= ω ( r + v ′∆ t ) + v ′ω ∆ t − ω r = 2ω v ′∆ t
∆ vr ar = lim = −ω 2 r ∆t → 0 ∆ t ∆vθ aθ = lim = 2ω v′ ∆t → 0 ∆ t
t+△t时刻 △ 时刻 t时刻 时刻
§4.2 空间转动参照系
任一矢量 G = G x i + G
y
Y
j + G zk
y
dG ɺ ɺ ɺ = G xi + G y j + G zk dt di dj dk +Gx + Gy + Gz dt dt dt
Z
*
G
j
i
k
x
O
X
z
dG d G = +ω ×G dt dt
绝对变化率 相对变化 率 牵连变化 率
di = ω ×i dt dj = ω × j dt dk = ω × k dt
ɺɺ mx = mω 2 x ɺɺ my = R y − mg = 0 ɺ ɺɺ mz = 2 mω x − R z = 0
ɺ x = Aeω t + Be −ωt , x = Aω eω t − Bω e −ω t R = mg y ɺ t = 0, x = a , x = 0 ⇒ A = B = a / 2 ɺ Rz = 2 mω x a ωt x = ( e + e −ω t ) = a ch ω t = 2 maω 2 shω t 2
a = a ′ + at + ac
补充例题 4.1 P点在一半径为R的球上以速度v’沿球 的经线作匀速运动， 的经线作匀速运动，球以匀角速ω绕其坚 直直径转动， 点的绝对加速度。 直直径转动，求P点的绝对加速度。 解 牵连加速度
at = −ω 2 r = −ω 2 R cos ϕ j
相对加速度 v ′2 v ′2 a′ = cos ϕ j − s in ϕ k R R 科氏加速度
demo
ɺɺ ɺ mx = Fx + 2mω y sin λ
ɺɺ ɺ ɺ my = Fy − 2mω ( x sin λ + z cos λ ) ɺ ɺɺ mz = Fz − mg + 2mω y cos λ
1) 贸易风 由于极地和赤道之间的对流产生了南北方 向的贸易风。科里奥利力的影响， 向的贸易风。科里奥利力的影响，使之偏 在北半球产生东北贸易风（ 转，在北半球产生东北贸易风（sinλ>0， ， 自北向南的气流偏西）， ），在南半球产生西 自北向南的气流偏西），在南半球产生西 南贸易风（ 南贸易风（sinλ<0，自南向北的气流也偏 ， 西） 。 2) 轨道磨损和河岸冲刷 在北半球，科里奥利力总指向运动的右侧， 在北半球，科里奥利力总指向运动的右侧，这种作用使得 北半球河流右岸的冲刷甚于左岸， 北半球河流右岸的冲刷甚于左岸，铁路右轨的磨损大于左 在南半球，情况正好相反。 轨。在南半球，情况正好相反。
1 2
n1,2 = − iω sin λ ± i ω 2 sin 2 λ + p 2 ≃ − iω sin λ ± p
ξ = e − iωt sin λ ( Aeipt + Be − ipt )
x = x1 cos (ω sin λ ) t + y1 sin (ω sin λ ) t
x1 = ( A + B ) cos pt ,
ɺ x = 2ω y sin λ
ɺ y = −2ω ( x sin λ + 源自文库 z − h ) cos λ )
ɺ z = − gt + 2ω y cos λ
ɺɺ = −4ω 2 sin λ x sin λ + ( z − h ) cos λ x ɺɺ = 2 gtω cos λ − 4ω 2 y y ɺɺ = − g − 4ω 2 cos λ x sin λ + ( z − h ) cos λ z