山东建筑大学 概率论 第三章小结及作业答案

n
EXi .
i1 i1
5
六、方差与标准差
定义 X 的方差： DX EX EX 2
定义 X 的标准差： X DX
若X 为离散型随机变量，则有

DX xi EX 2 pi i 1
若X 为连续型随机变量，则有 DX

x

EX
2
f
17
二、选择题
1. 设随机变量X和Y的方差存在且不等于0，则
D(X Y) D X DY 是X和Y的 （ B ）
A）不相关的充分条件，但不是必要条件； B）独立的必要条件，但不是充分条件； C）不相关的必要条件，但不是充分条件； D）独立的充分必要条件
2. 设 X ~ P() 且E (X 1) X 2 1 ，则 （A ）
2
12
指数分布: EX 1 ,

DX

1
2
7
二维随机变量的方差：
离散型随机变量X ,Y ,
DX xi EX 2 pX xi xi EX 2 p xi , yj ,
i
ij
DY yi EY 2 pY yj

1
x2
4
1 7 x3 x9 dx 0; 1 4
15
2) x 1 时，
fX x
f x, ydy

1 21x2 ydy 21
4 x2
8
x2 x6
;
x 1 时，fX x 0
21

f
X

x


E(3X 2 +5)= 13.4
4. 已知随机变量的分布列为P(X=m)=1/10, m＝2,4,…,18,20,
则 EX = 11
5. 对两台仪器进行独立测试，已知第一台仪器发生故障的概率 为 p1 ，第二台仪器发生故障的概率为 p2 ．令X表示测试中发生
故障的仪器数，则 EX p1 p2

8
八、原点矩与中心矩
定义1： 随机变量X 的 k 阶原点矩： k X E X k
其中k为正整数。特别的，1 EX
对于离散随机变量： k ( X ) xik p( xi )
i
对于连续随机变量： k ( X )
xk f ( x)dx

定义2： X 的k 阶中心矩：k X E X EX k
8
x2 x6,
x 1;
0,
x 1.
0 y 1 时，
fY y
f x, ydx

y
21x2
ydx

7
5
y2;
y4
2
y 1或y 0 时 fY y 0

fY

y

7 2
y
5 2
,
0 y 1;
0, y 1或y 0.
P( X xi ) p( x1 ) p( x2 ) p( xn )
则定义随机变量函数 Y gX 的数学期望为：
EY EgX gxi pxi
i
（2）若X为连续型随机变量，其概率密度为 f x, 则定义随
机变量函数Y gX 的数学期望为：
EY

EgX


gx
f
xdx
3
四、二维随机变量的函数的数学期望
（1）设二维离散随机变量(X,Y)的联合概率函数为p(xi , yj)，则
随机变量函数g(X,Y)的数学期望如下：
EgX ,Y gxi , y j pxi , y j ,
ij
假定这个级数是绝对收敛的.
i j
ji
即： EX xi pX xi , EY y j pY y j .
i
j
假定级数是绝对收敛的.
（2）设二维连续随机变量(X,Y)的联合概率密度为f(x, y)，则
随机变量X及Y 的数学期望分别定义如下：
EX


xf
x,
ydxdy,
16
概率论与数理统计作业10（§3.2～§3.4）
一、填空题
1. 设随机变量 X1, X 2, X3相互独立，其中 X1在[0，6]上服从
均匀分布， X 2服从
e(
1 2
)
，X
3
服从参数为

3 的泊松分布,
记 Y X1 2X 2 3X3 ，则 D(Y ) 46
2.
随机变量X、Y相互独立，又
12
二、计算题
kxa 1. 连续型随机变量的概率密度为 f (x)
0
又知 EX 0.75，求 k 和 的值。
0 x 1 (k, a 0) 其它
解：由
f xdx

1 kxadx 1, 得
0
k 1, a 1
又，E(X ) 0.75 有 xf xdx 1 x kxadx 0.75,
注 ⑴ 离散型随机变量：
covX ,Y xi EX yj EY pxi , yj .
ij
⑵ 连续型随机变量：
cov X
,Y



x


EX

y

EY

f
x,
ydxdy.
定理1 cov(X ,Y ) E( XY ) E( X )E(Y )
（3）EbX bEX
定理2 EX Y EX EY
推论： E n Xi n EXi .
i1 i1
定理3 若X、Y 独立，则有： EXY EX EY
推论
若X1 ,
X2 ,
,
X
相互独立，则
n
E

n
Xi
P( X 5) pq4 q5 q4
∴X 的概率分布表如下：
X
12
3
4
5
P(X m) p
pq
pq 2
pq 3
q4
EX p 2 pq 3 pq2 4 pq3 5q4 5 10 p 10 p2 5 p3 p4
14
3．设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为
则随机变量X的数学期望为
EX




xf
xdx
1
二、二维随机变量的数学期望
（1）设二维离散随机变量(X,Y)的联合概率函数为p(xi , yj)，则
随机变量X及Y 的数学期望分别定义如下：
EX xi p xi , y j , EY y j p xi , y j .
f
x，
y

21 4
x2 y
1）求EX, EY 及 E(XY)；0
2）求X与Y的边缘密度函数；
x2 y 1 其它

解：1）EX

xf

x, y dxdy
1
dx
1 x 21 x2 ydy
4 1
x2
1 21 x3 x7 dx 0; 1 8

0
得 k 0.75, a2
故由上两式解得k=3,a=2
13
2 对某工厂的每批产品进行放回抽样检查。若发现次品，则 立即停止检查而认为这批产品不合格；若连续检查5个产品 都是合格，则也停止检查而认为这批产品合格。设这批产品
的次品率为p，求每批产品抽查样品的平均数。
解 设随机变量X 表示每批产品抽查的样品数，则: P( X m) pqm1 (m 1, 2, 3, 4) ( p q 1)
定理2 若X与Y 独立，则：covX ,Y 0. 逆命题不成立。
注 设X与Y是任两个随机变量，
D(X Y ) D(X ) D(Y ) 2cov(X ,Y )
10
2、X与Y 的相关系数
定义 R( X ,Y ) cov( X ,Y )
R( X ,Y ) cov( X ,Y ) D( X ) D(Y )
X
~
P2,Y
~
B

8,
1 4
则 E X 2Y --2 ， D X 2Y 8 ．
3.
随机变量 X
~ B(10,0.6),Y
~
P(0.6),
相关系数 R(X ,Y )

1 4
,
则 Cov(X ,Y ) 0.3
4、若 X ~ B(n, p) ，且 E(X ) 12, DX 8 ，则n= 36 ,p= 1/3 .

EY
yf x, y dxdy
1
dx
1 y 21 x2 ydy

1
x2
4
1 7 x2 x8 dx 7 ;
1 4
9
E XY
xyf x, ydxdy
1
dx
1 xy 21 x2 ydy
第三章 随机变量的数字特征
（一）基本内容 一、一维随机变量的数学期望
定义1：设X是一离散型随机变量，其分布列为：
X x1 x2 xi
P p( x1 ) p( x2 ) p( xi )
则随机变量X 的数学期望为: EX xi pxi
i
定义2：设X是一连续型随机变量，其分布密度为 f x,
y j EY 2 p xi , y j .
j
ij
连续型随机变量X ,Y ,
DX

x


EX
2
fX
xdx



x

EX
2
f
x,
y dxdy,

DY

y


EY
2
fY
ydy



y

EY
2
f
x,
y dxdy.
( x)dx

方差的计算公式: DX E X 2 EX 2
有关方差的定理： 定理1 DaX b a2DX
推论：Db 0; DX b DX; D(aX ) a2DX.
6
定理2： 若X与Y 独立， DX Y DX DY
推论：D
n
X i
n
DXi
i1 i1
七、某些常用分布的数学期望及方差
0 -1分布：EX p, DX pq 二项分布：EX np, DX npq
Poisson分布 EX , DX 几何分布: EX 1 ,
p
q DX p2
均匀分布: EX a b , DX (b a)2
A）1，
B）2， C）3，
D）0
3. 设 X1, X 2 , X3 相互独立同服从参数 3 的泊松分布，
令Y
1. X、Y独立同分布，X 0 1 则P(X Y 1) 5/9
P 1/3 2/3
E(XY )= 4/9
2.
设X的密度函数为 E( X 2 ) 1/6
2(1 x)
f (x)
0
0 x 1 其它
,则 EX =
1/3
X 2 0 2
3. 随机变量的分布率为 P 0.4 0.3 0.3 ,则 E( X ) -0.2
（2）设二维连续随机变量(X,Y)的联合概率密度为f(x, y)，则
随机变量g(X,Y)的数学期望如下：
Eg
X
,Y源自文库




g
x,
y

f

x,
y
dxdy,
假定这个积分是绝对收敛的.
4
五、关于数学期望的定理
定理1 Ea bX a bEX
推论 （1）Ea a （2）Ea X a EX
定理3 RX ,Y 1
定理4 R( X ,Y ) 1
Y

a
bX ,
且
R( X ,Y )

1, 1,
b 0; b 0.
定理5 如果 X 与Y 独立，则 R( X ,Y ) 0, 反之不成立。
即: X 与 Y相互独立
X与 Y 不相关
11
概率论与数理统计作业9（§3.1）
EY
yf x, ydxdy.


即：EX

xf X x dx,
EY

yfY y dy.
假定积分是绝对收敛的.
2
三、一维随机变量函数的数学期望
（1）设离散型随机变量X 的概率分布为：
X
x1
x2
xn
特别的，1 0; 2 DX
对于离散随机变量：k ( X ) [xi E( X )]k p( xi )
i
对于连续随机变量：k ( X )

x

E( X
)k
f
(
x)dx

9
九、协方差与相关系数
1、X与Y 的协方差（或相关矩）：
定义 cov( X ,Y ) E{[ X E( X )][Y E(Y )]}.