椭圆型方程的有限元法

两点边值问题有限元法（必做）

从Galerkin 原理出发用线性元解两点边值问题：

"2,01(0)(1)0

u u x x u u ⎧-+=<<⎨==⎩ 精确解：12

2

1()[(23)(23)]21

x x u x e e e e x e -=

---++-。 1.1变分形式

从Galerkin 原理出发推导出两点边值问题的变分形式，将积分区间等分为N 份，则步长1

,1,2,i h i n N

=

=，记为h 。写出有限元方程及系数矩阵元素。

基于虚功原理，求变分形式),(),(v f v u a h =。

对于h v v ∈∀，取h h u x u ∈)(在n 个剖分结点，1,,,010==n x x x 。取值为

0)1(,,,0)0(10====u u u u u n 。其中ih x x i +=0，N i 1≤≤，N

h 1

=

。取v u =，udx x udx u u ⎰

⎰=+-1

10

2)''(，推得dx ux dx u u ⎰⎰=+1

210

22])'[(。相应的双线性变分形式

dx a j i j i j i ⎰+=1

]'[),(ϕϕϕϕϕϕ，则有限元方程∑==n

i j i j i x x f u x x a 1

))(),(())(),((ϕϕϕ，

n j ,,1 =。

εεεϕϕd q h p h a j j j j ⎰-+-=--1

1

1])1([),(；

εεεεϕϕd q h d q h p h a j j j j j ])1([][),(21

1

1121-++=⎰⎰-+-；

εεεϕϕd q h p h a j j

x x j j j ⎰

+-+-=++++1

)]

1([)(11

-1j 1； 这里1,,2-=n j 。第一行只有两个非零元素：),(11ϕϕa ，),(21ϕϕa 。第n 行

也只有两个非零元素：),(1-n n a ϕϕ和εεϕϕd q h p h a n n

n n ⎰+=-1

021

][),(，方程的右端εεεεεϕd h x f h d h x f h dx f j j j j j j j )1()()(1

1110

11

-+++=⎰⎰⎰

++-；

方程的系数矩阵为：⎥

⎥

⎥⎥⎦

⎤⎢

⎢⎢⎢⎣⎡-),(00

),(0)

,(),(0

),(),(12

21

22111n n n n a a a a a a ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ

1.2利用MATLAB 求解问题的过程

依次取2,2,3,4,5,6,7,8.n N n ==用MATLAB 求解并图形比较数值解与精确解，用表格列出不同剖分时的2L 误差。

4N =:

8 N: = N:

16 =

32 N=: N=:

64

128 N=: N=:

256

1.3 方法总结及分析

在利用Galerkin原理出发用线性元解两点边值问题，利用MATLAB作图可以发现解析解与精确解非常逼近，但从误差上可以看出，剖分结点越多，误差越小，逼近程度越好。

附件程序

function [U,precise_value,err]= G(N)

h=1/N;

p=1;

q=1;

X=0:h:1;

A=zeros(N-1);

for i=2:N-1

f3=@(ks)-p./h+h.*q.*ks.*(1-ks);

f2=@(ks)p./h+h.*q.*(ks.^2)+p./h+h.*q.*((1-ks).^2);

f1=@(ks)-p./h+h.*q.*ks.*(1-ks);

A(i-1,i)=quadl(f1,0,1);

A(i,i)=quadl(f2,0,1);

A(i,i-1)=quadl(f3,0,1);

end

A(1,1)=quadl(f2,0,1);

f=zeros(N-1,1);

for i=2:N

f11=@(ks)(X(i-1)+h.*ks).^2.*ks+(X(i)+h.*ks).^2.*(1-ks);

f(i-1)=h.*quadl(f11,0,1);

end

U=A\f;

dx=X;

precise_value=((exp(2)-1)^(-1)).*((2-3*exp(1))*exp(dx)-(2*exp(1)-3)*exp(1-dx))+dx.^2+2

plot(X,[0;U;0],'b--',X,precise_value,'r:+');

legend('数值解','精确解');

err=norm([0;U;0]-precise_value');

format long

sprintf('Galerkin有限元法最大误差%f\n',err)

end

小组成员：宋珂、张云雷、黄镭、耿盼丽