椭圆型方程的有限元法
有限差分法、有限单元和有限体积法简介
有限差分法、有限单元法和有限体积法的简介1.有限差分方法有限差分方法(Finite Difference Method，FDM)是计算机数值模拟最早采用的方法，至今仍被广泛运用。
该方法将求解域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域。
有限差分法以Taylor级数展开等方法，把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差商代替进行离散，从而建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组。
该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法，数学概念直观，表达简单，是发展较早且比较成熟的数值方法。
对于有限差分格式，从格式的精度来划分，有一阶格式、二阶格式和高阶格式。
从差分的空间形式来考虑，可分为中心格式和逆风格式。
考虑时间因子的影响，差分格式还可以分为显格式、隐格式、显隐交替格式等。
目前常见的差分格式，主要是上述几种形式的组合，不同的组合构成不同的差分格式。
差分方法主要适用于有结构网格，网格的步长一般根据实际地形的情况和柯朗稳定条件来决定。
构造差分的方法有多种形式，目前主要采用的是泰勒级数展开方法。
其基本的差分表达式主要有三种形式：一阶向前差分、一阶向后差分、一阶中心差分和二阶中心差分等，其中前两种格式为一阶计算精度，后两种格式为二阶计算精度。
通过对时间和空间这几种不同差分格式的组合，可以组合成不同的差分计算格式。
2.有限元方法有限元方法(Finite Element Method，FEM)的基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。
采用不同的权函数和插值函数形式，便构成不同的有限元方法。
有限元方法最早应用于结构力学，后来随着计算机的发展慢慢用于流体力学的数值模拟。
在有限元方法中，把计算域离散剖分为有限个互不重叠且相互连接的单元，在每个单元内选择基函数，用单元基函数的线形组合来逼近单元中的真解，整个计算域上总体的基函数可以看为由每个单元基函数组成的，则整个计算域内的解可以看作是由所有单元上的近似解构成。
多尺度有限元方法解椭圆方程
多尺度有限元方法解椭圆方程1.研究背景众所周知，现代科学、技术、工程中的大量数学模型都可以用微分方程来描述.但绝大部分微分方程(特别是偏微分方程)定解问题的解不能以适用的解析形式来表示，这就产生了理论与实际的矛盾．为了解决上述矛盾，许多研究人员进行了数值解研究，这就促使微分方程的数值方法成为一门学科，它不仅是数学学科，而且是很多其他学科领域的一种重要研究手段和方法．微分方程数值方法主要有有限差分法和有限元方法，另外还出现了边界元、混合有限元、谱方法、有限体积法等．有限元方法是求解各种微分方程的一种重要的数值方法，它本身有着有限差分法无法比拟的优越性．最早用有限元方法处理偏微分方程近似解的是40年代Courant等人，国内最早研究有限元方法的是冯康先生，他的成果当时处于世界先进行列．NT 60年代，有限元方法开始广泛应用于船舶，一般机械，巨型建筑和水利设施(如大坝和桥梁)的设计以及用于解决流体力学，电磁场等非应力问题，并取得了良好的成果，但该方法仅能得到未知函数的近似解．70年代初，Babuska和Brezzi创立了混合有限元方法的一般理论，其主要的结果是B—B稳定条件。
为了使混合有限元方法能解决更多、更广泛的问题，得到更高的计算精度，80年代初，ralk和Osborn提出了一种改进的方法，扩大了混合有限元方法的适用范围，使混合有限元方法得到了进一步的发展．较标准有限元方法，该方法可以同时高精度逼近未知函数及其伴随向量函数，对处理高阶方程和含有两个或两个以上未知函数的方程更为便利，且易于数值处理．但另一方面，混合有限元方法要求所构造的}昆合元空间满足LBB相容条件，因而在一定程度上限制了有限元空间的选取．有限差分法也是求解偏微分方程数值解的一个重要方法．其历史可追溯到欧拉，它以差商代微商，将微分方程化为差分方程．1928年。
库朗、弗瑞德里克斯及卢伊证明三大典型方程的典型差分格式的收敛性定理，为该方法的应用打下基础．第二次世界大战之后，由于计算机的运用，差分方法做为有效的数值方法得到有效的发展，1948年冯·诺伊曼对于无粘性流体的非线性双曲型方程，为避开激波引出的间断性，引进人工粘性项，为此设计的差分方法是现代流体力学数值计算主要方法．1956年拉克斯(P．D．Lax，1926．)及里希特迈尔(R．D．Richtmyer，1910一)建立了一般差分格式的收敛性及稳定性等价的定理，它对实际计算中误差积累问题有着重要意义．有限元离散化的思想早在20世纪40年代初就已经被提出(R．Courant，1943)，并于50年代被西方的工程师采用，用于求解简单的结构问题．它作为一种系统的数值方法，则是在60年代中期，以冯康先生为代表的中国学者与西方学者独立并行完成的．有限元方法是用简单方法解决复杂问题的范例，主要有以下三大特点：(i)从数学物理的变分问题出发，而不是从微分方程出发，因此是从问题的整体描述而不是从问题的局部描述出发；(ii)对所考虑问题的区域(以二维情形为例)作三角形(或其他简单多边形)剖分，而不是仅仅作矩形剖分；(iii)用剖分区域上的简单函数(例如分片多项式)去逼近原问题的解，而不是只在剖分节点上的数值逼近．有限元方法的基本过程可以归纳为：(1)把问题转化为变分形式，(2)选定单元的形状，对求解区域进行剖分，一维情形下的单元是小区间，二维情形下的重要单元有两种：四边形(矩形、任意凸四边形)和三角形，(3)构造基函数和单元形状函数，(4)形成有限元方程，(5)提供有限元方程的有效解法，(6)对近似解进行误差分析．2.多尺度有限元法基本原理。
椭圆微分方程及其求解方法
椭圆微分方程及其求解方法椭圆微分方程是常见的一类偏微分方程，它在自然科学、工程技术、金融数学等诸多领域中都有着广泛的应用。
本文将介绍椭圆微分方程的基础概念、分类、本征值问题及求解方法等内容。
一、椭圆微分方程的基本概念椭圆微分方程通常具有形如$$\begin{cases}Lu(x)=f(x), & x\in \Omega, \\u(x)=g(x), & x\in \partial\Omega, \\\end{cases}$$其中，$Lu(x)$是一线性偏微分算子，$\Omega$为区域（一般指开集上的连通子集），$\partial\Omega$为$\Omega$的边界，$f(x)$和$g(x)$为已知函数，求解$u(x)$满足上述条件。
椭圆微分方程中的偏微分算子$Lu(x)$通常具有形如$$Lu(x)=\sum_{i,j=1}^na_{i,j}(x)\frac{\partial^2}{\partial x_i\partial x_j}u(x)+\sum_{k=1}^nb_k(x)\frac{\partial}{\partialx_k}u(x)+c(x)u(x),$$其中，$n$为空间维数，$a_{i,j}(x)$、$b_k(x)$和$c(x)$都是已知函数。
二、椭圆微分方程的分类根据椭圆微分方程中的偏微分算子$Lu(x)$的性质，椭圆微分方程可分为一般椭圆型、二阶椭圆型和高阶椭圆型三类。
其中，一般椭圆型指的是$Lu(x)$的主部分系数矩阵在$\overline{\Omega}$上正定（即对于任意$x\in\overline{\Omega}$和非零$u\in\mathbb{R}^n$，均满足$u^T A(x)u>0$），二阶椭圆型指的是$Lu(x)$仅包含二次微分项，而高阶椭圆型则指的是$Lu(x)$中至少包含有三次或以上的微分项。
三、椭圆微分方程的本征值问题对于某些特殊的椭圆微分方程，我们可以考虑它们的本征值问题。
椭圆型方程新解法
4.特殊函数方法：对于二维泊松方程，我们可以采用复变函数的方法，引入调和函数和调和多项式，使用适当的变换和积分来得到精确解。这种方法的优点在于它可以提供一些有用的分析工具和结论，但是它不适用于大部分非线性问题。
以上这些方法都是对椭圆型方程进行求解的常见方法，对于不同的问题，可以根据具体情况选择合适的方法来求解。
我们可以以二维泊松方程为例，介绍如何使用这些方法来解决椭圆型方程的求解问题：
1.有限元方法：对于二维泊松方程，我们可以采用网格划分的方法将求解域离散化，然后构建稀疏矩阵来解决线性系统。这种方法的优点在于它适用于各种形状的求解域，并且对于非线性方程也能有效求解。但是，计算时间和内存消耗可能会比较大。
2.障碍泛函方法：对于二维泊松方程，我们可以构建一个能量泛函，并通过变分方法求解其最小值。该方法在求解高维些理论保证。但是，它需要一定的数学理论和分析基础。
椭圆型方程
(1.5)
注 此方程组尽管是高阶方程组，但每个方程未知数
最多有3个易于求解.
④ 对方程组 (1.4)～(1.5) 的解分析需要考虑以下几个问题：
(a) 解是否惟一？ (b) 当网格无限加密时，即 h 0 时，差分解 ui
是否收敛到真解 u (xi ) ? (c) 在何种度量下收敛？ (d) 收敛速度如何？ 为了解决如上问题，需要给出如下说明：
于是在 xi 将方程 (1.1) 写成
u (xi1) 2u (xi ) u (xi1) h2
q(xi )
u (xi )
f
(xi )
R
i(u),
(1.3)
其中
R
i(u)
h2 12
d
4u(x) dx4
i
O(h3 ).
舍去 R i(u) 得逼近方程 (1.1) 的差分方程为：
du dx
i
hi1 2
hi
d 2u dx2
i
O(h2
)
(2.3)
p(
x i
1
)
2
u(xi ) u(xi1) hi
p
du dx i1
2
hi2 24
p
d 3u
dx3
i1
2
O(h3)
p
du dx
取 x(1) x0 a, x(2) x1 , 得
2
(2.7) (2.8)
(2.9) (2.10)
W (a) W (x1 ) 2
x1
二阶椭圆方程自适应最小二乘混合有限元法
研究 发展起来 的 ， 最小 二 乘 有 限元 法 的一 个重 要 优点就是 可以通过 最小二乘 数将 一个 非 自共 轭
的问题转化成 一 个对 称 正定 问题 ， 而且 该 方法 不 需要 有 限元空 间满足 Ｌ Ｂ条 件 ， 以近 年来 最小 Ｂ 所
二乘 法被 广泛 的应用到 求解 多个方 程 （ ： ｔｋ ｓ 如 Ｓ ｏ ｅ
ＧＵ ａ— ｉ ｇ， ＬＩ Ｈｏ ｇ ｗｅ Ｈ ｉｍ ｎ ｎ — ｉ
（ ｌｅ ｅｏ ａｈ ｍａｉｓａ ｄＰｈ ｓｃ ，Ｑｉｇ ａ Ｃｏｌｇ ｆＭ ｔｅ ｔｃ ｎ ｙ ｉｓ ｎ ｄ ｏＵｎｉｅ ｓｔ ｆＳｃｅ ｃ ｎ ｃ ｎ ｌｇ ｖ ｒｉｙｏ ｉｎ ｅａ ｄ Ｔｅ ｈ ｏｏ ｙ，Ｑｉｇ ａ ６ ０ １ Ｃｈｉ ） ｎ ｄ ｏ２ ６ ６ 。 ｎａ
二
阶椭 圆方程 自适 应 最小 二乘 混合 有 限元 法
顾 海 明 ， 宏 伟 李
（ 岛科 技 大 学 数 理 学 院 ， 青 山东 青 岛 ２ ６６ ） ６０ １
摘 要 ： 究 了二 阶椭 圆方程 的 自适应 最 小二 乘混合 有 限元 法 ， 用二 次非协 调 有限 元 研 利
空间和 Ｒａ ｉ ｒ ｏ ｓ ｖａ — ｍａ 有限元 空 间进行 逼近 ， 用最小二乘 函数 构造 了进行 自适 应计 算 ｔ Ｔｈ 利
ｅ ｅ ｅ ｅ ｈｏ ｌｍ ｎｔｍ ｔ ｄ；ｐ ｔ ｒｏ ｉｅ ｒ ｓ ｉ ａ ｉ ｎ ｏｓ ｅ ｉ ｒ ｒ ｏｒｅ ｔｍ ｔｏ
解椭 圆型方程 的最小 二乘方 法的一 般理论 最
早 是 由 Ａｚ Ｋｅｌｇ 和 Ｓ ｅ ｈ ｎ ｊ Ａ Ｋ， ｌ ｇＲ Ｂ ｚ ｏ ｔｐ ｅ ｓＡ Ｂ
方程 ， 圆方 程 ， 体 力 学 】传 输 问 题 椭 流 ， 等） 。本研究 主要 目的是 研究 椭 圆 方程 的 自适 应 最小 二乘｝ 合 有 限法 ， 研究 的最 小二 乘 形式 类 昆 本
galerkin有限元法
galerkin有限元法
galerkin有限元法
Galerkin有限元法，也称为Galerkin有限体积法(FV)，是一种数值解决偏微分方程的有限元方法，用于快速求解各种椭圆型方程的数值求解。
它把椭圆型方程分解成多个有限元，然后对每个有限元计算其权重，将所有有限元的权重加起来就是椭圆型方程的数值解。
在使用Galerkin有限元法来解决椭圆型方程时，首先要确定有限元的形状与大小，这将影响有限元法求解时的准确程度。
一般来说，有限元的形状可以是矩形、三角形或其他任意多边形，但大小是由实际情况决定的，需要根据椭圆型方程质量结构以及实际求解精度来确定。
确定有限元的形状与大小之后，就可以为每个有限元应用Galerkin有限元法，主要步骤如下：
1. 对每个有限元确定一个适当的坐标系，以便计算其权重；
2. 将系数函数投影到有限元上，并且确定每个有限元的质点分布情况；
3. 确定每个有限元的权重，并将所有有限元的权重加起来就是椭圆型方程的数值解。
Galerkin有限元法的优点是可以快速求解出准确的解，而且可以灵活应用于解决多种椭圆型方程。
但是它也有一定的缺点，比如假设有限元的形状和大小得不到充分考虑，那么计算精度可能会降低；另外，在计算权重时，需要考虑每个有限元上的局部梯度，如果选取
的有限元尺度过小，必须计算大量的梯度，从而增加计算难度。
各类椭圆型微分方程的解法
各类椭圆型微分方程的解法
椭圆型微分方程是数学中重要的一类方程，解决这类方程的方法可以根据具体方程的形式和性质进行选择。
以下是一些常见的解法：
分离变量法
对于具有分离变量形式的椭圆型微分方程，可以将方程中的变量分开并独立求解。
这种方法常用于一维问题，例如求解泊松方程和拉普拉斯方程等。
特征值方法
当椭圆型微分方程的系数具有特殊的形式或性质时，可以采用特征值方法来求解。
这种方法利用特征值和特征函数的性质，将椭圆型方程转化为常微分方程或代数方程进行求解。
特征值方法常用于求解二维泊松方程、二维拉普拉斯方程等问题。
能量方法
能量方法是求解椭圆型微分方程的重要方法之一。
该方法基于
能量守恒原理，通过最小化能量泛函求得方程的解。
能量方法在求
解各种带边界条件的椭圆型微分方程问题中得到广泛应用。
变分法
变分法是一种广泛应用于微分方程求解的方法，包括椭圆型微
分方程。
利用变分法，将原始方程转化为变分问题，并通过求解变
分问题来找到方程的解。
数值解法
对于复杂的椭圆型微分方程，常常无法得到解析解，此时可以
采用数值解法进行求解。
常用的数值方法包括有限元法、有限差分
法和谱方法等，这些方法利用数值计算的手段来逼近方程的解。
以上是一些常见的椭圆型微分方程解法。
根据具体的方程形式
和性质，选择适合的解法可以更高效地求解椭圆型微分方程的问题。
偏微分方程理论与实际问题求解方法研究
偏微分方程理论与实际问题求解方法研究导言：偏微分方程（Partial Differential Equations, PDEs）是描述自然现象中变化与发展过程的数学模型，被广泛应用于物理、工程、金融等领域。
解决实际问题涉及到偏微分方程的求解方法研究，既需要深入理解偏微分方程的理论基础，又需要掌握有效的数值计算方法。
本文将对偏微分方程理论与实际问题求解方法展开研究讨论。
1. 偏微分方程的基本理论：1.1 偏微分方程的分类：偏微分方程可分为椭圆型、双曲型和抛物型三种类型。
椭圆型方程描述的是静态问题，如静电场的分布；双曲型方程描述的是波动问题，如声波传播；抛物型方程描述的是扩散和传热问题，如热传导方程。
1.2 解的存在性和唯一性：对于某些偏微分方程，解的存在性和唯一性是一个重要的问题。
根据边界条件、初值条件等给定条件，可以证明方程的解是存在且唯一的。
这为实际问题的数学建模提供了基础。
2. 偏微分方程的求解方法：2.1 分离变量法：对于某些特殊形式的偏微分方程，可以通过分离变量法求解。
该方法通过假设方程的解可以分解为若干个单变量的函数，将偏微分方程转化为一系列常微分方程，并通过求解常微分方程得到解。
2.2 特征线法：双曲型和抛物型偏微分方程常常可以利用特征线法求解。
该方法通过沿着特征线方向引入新的变量，将偏微分方程转化为常微分方程，并通过求解常微分方程得到解。
2.3 变换法：某些偏微分方程可以通过变换法将其转化为简化形式。
常见的变换包括小量变换、相似变量变换、齐次化变换等。
通过变换后的方程求解，可以获得原方程的解。
2.4 数值计算方法：对于复杂的偏微分方程，常常无法得到解析解。
此时需要借助数值计算方法进行求解。
常用的数值方法包括有限差分法、有限元法、有限体积法等。
这些方法将偏微分方程离散化，通过数值近似求解。
3. 实际问题求解方法：3.1 实例1：扩散方程的数值求解扩散方程是描述物质扩散过程的重要方程。
椭圆型偏微分方程的弱有限元方法研究
椭圆型偏微分方程的弱有限元方法研究【标题】椭圆型偏微分方程的弱有限元方法研究【引言】椭圆型偏微分方程在科学和工程领域中具有广泛的应用。
解决这些方程的数值方法是研究和解决实际问题的重要手段之一。
其中，弱有限元方法作为一种数值解法，在椭圆型偏微分方程的研究中具有重要意义。
本文将从深度和广度的角度，探讨椭圆型偏微分方程的弱有限元方法的研究。
【主体部分】1. 弱有限元方法简介1.1 弱有限元方法的基本思想和原理弱有限元方法是有限元方法的一种变体，它通过构造一个合适的测试函数空间，将原偏微分方程通过乘以测试函数，并在局部区域上进行积分的方式，转化为求解线性代数方程组的问题。
弱有限元方法的基本思想是弱化原方程对解函数在各项导数的要求，从而得到更广泛适用的数值解法。
1.2 弱有限元方法的优势和限制弱有限元方法相对于传统有限元方法，在某些椭圆型偏微分方程的求解中具有一些优势，如处理不规则网格或复杂几何域时更加灵活，适用于非光滑解等。
然而，弱有限元方法也存在一些局限性，如对边界条件的处理较为复杂，不适用于某些高阶偏微分方程等。
2. 椭圆型偏微分方程的数值解法2.1 有限元方法与弱有限元方法的区别有限元方法是一种将连续问题转化为离散问题的数值方法，其关键是构造合适的试验函数空间。
与有限元方法相比，弱有限元方法在选择测试函数空间时更加宽松，从而得到了更广泛适用的数值解法。
2.2 弱有限元方法的数值离散化弱有限元方法在数值离散化过程中，需要选择适当的多项式空间，并基于测试函数的特性，构造离散的代数方程。
这一过程涉及到网格划分、积分计算和求解线性方程组等步骤，通过这些步骤可以得到椭圆型偏微分方程的数值解。
3. 弱有限元方法的应用3.1 泊松方程的弱有限元方法泊松方程是椭圆型偏微分方程的一个典型例子。
弱有限元方法在解决泊松方程时具有很好的适用性，并且可以灵活地处理各种边界条件和几何域。
3.2 椭圆方程组的弱有限元方法椭圆方程组是由多个椭圆型偏微分方程组成的方程组。
椭圆形偏微分方程的数值方法
椭圆形偏微分方程的数值方法\[\frac{{\partial^2 u}}{{\partial x^2}} + \frac{{\partial^2 u}}{{\partial y^2}} = f(x,y)\]其中，\(f(x,y)\)是给定的函数。
求解椭圆形偏微分方程的传统方法，如有限差分法、有限元法等，需要将偏微分方程离散化成一组代数方程，然后通过求解这组方程得到数值解。
下面将介绍两种常用的数值方法：有限差分法和有限元法。
1.有限差分法：有限差分法是将空间和时间上的变量用网格离散化，然后通过代数关系来近似偏微分方程。
对于椭圆形偏微分方程，我们可以采用二维网格进行离散化。
假设网格大小为\(h_x\)和\(h_y\)，则在坐标点\((x_i,y_j)\)，偏微分方程可以近似为：\[\frac{{u_{i+1, j} - 2u_{ij} + u_{i-1,j}}}{{h_x^2}} +\frac{{u_{i, j+1} - 2u_{ij} + u_{i, j-1}}}{{h_y^2}} = f(x_i,y_j)\]其中，\(u_{ij}\)表示在网格点\((x_i, y_j)\)处的数值解。
通过将偏微分方程的离散化代入不同的边界条件（如Dirichlet边界条件、Neumann边界条件等），可以得到一组线性代数方程。
通过求解这组方程，即可获得数值解。
2.有限元法：有限元法是一种利用一组有限元进行近似求解的方法。
在椭圆形偏微分方程的求解中，我们需要将求解域分割成一组互不重叠的有限元，然后在每个有限元中构造适当的数学模型，如线性、二次等。
以线性有限元为例，假设在每个有限元中使用线性插值，那么在每个节点上可以用插值函数表示数值解。
即数值解可以表示为：\[u(x, y) = \sum_{j=1}^N c_j \phi_j(x, y)\]其中，\(\phi_j(x, y)\)是第j个节点上的插值函数，\(c_j\)表示相应节点处的系数。
非稳态四阶椭圆方程的galerkin有限元法
非稳态四阶椭圆方程的galerkin有限元法有限元法作为一种相对于积分法更为强大，更为精密的数值解法，在工程科学、物理学等涉及复杂方程求解的领域中都有非常广泛的应用，而Galerkin有限元法（Galerkin finite element method）作为有限元法中广受欢迎的一种，其优点是可以有效地解决任何形状的复杂结构中的非稳态四阶椭圆方程。
本文以“非稳态四阶椭圆方程的Galerkin有限元法”为标题，着重介绍了Galerkin有限元法在解决非稳态四阶椭圆方程时的解决思路及其应用。
首先，本文介绍了Galerkin有限元法的基本原理，椭圆方程的数学原理及其求解的相关内容。
Galerkin有限元法是一种基于单元的数值求解方法，它将按一定等级分割为多个单元，利用有限元函数系统进行多项式插值，对方程组求解得到有限元解析解。
Galerkin有限元法解决非稳态四阶椭圆方程的具体方法是将椭圆方程化为一阶线性系统，利用有限元函数系统进行多项式插值，在已给出的边界条件下求解有限元分析解。
其次，本文介绍了利用Galerkin有限元法解决非稳态四阶椭圆方程时所需要考虑的问题，如何选择合适的有限元函数，如何确定节点分布、如何处理边界条件等。
此外，本文还着重介绍了Galerkin有限元法在解决非稳态四阶椭圆方程时具有的优点，例如可以有效地解决任何形状的复杂结构中的椭圆方程，计算量小，实现效率高，计算精度高等。
最后，本文介绍了Galerkin有限元法在解决非稳态四阶椭圆方程时现有的应用，以及未来可能的应用方向。
例如，Galerkin有限元法可以应用于水力学、结构动力学、热传导等领域中的椭圆方程，以及在机械分析、电磁学、材料科学等领域中的等值面求解问题。
总之，Galerkin有限元法可以有效解决非稳态四阶椭圆方程，其中要考虑的问题和应用也有着非常丰富的内容。
因此，在今后的研究中，Galerkin有限元法在解决非稳态四阶椭圆方程中肯定会发挥着重要的作用。
椭圆型偏微分方程与有限元分析
椭圆型偏微分方程与有限元分析在数学领域中，偏微分方程是一种非常重要的研究课题，有很多不同类型的偏微分方程，其中椭圆型偏微分方程是一种特殊的类型，也是研究的热点之一。
椭圆型偏微分方程的解析解很难求得，因此使用数值方法计算其解成为一种有效的途径。
有限元方法是一种经典的数值计算方法，可以用于求解椭圆型偏微分方程的近似解。
本文将从椭圆型偏微分方程以及有限元分析两个方面阐述这个问题。
椭圆型偏微分方程的研究椭圆型偏微分方程是指在二元二阶偏微分方程中，特征方程的判别式始终为负，或者说该二元二阶偏微分方程所对应的二次型矩阵为正定。
如下方程便是一个椭圆型偏微分方程：$$\nabla \cdot (a \nabla u) = f$$其中，$\nabla u$ 表示 $u$ 的梯度，$a$ 是一个正定对称矩阵，$f$ 是所给定的外力。
椭圆型偏微分方程在数学物理、工程计算等领域中广泛出现，并且常常用于表达一些静态问题，如：固体力学、电磁学、地震孕育学等。
该方程存在很多的局部性质，其解$u$ 可以连续，在一般情况下 $\nabla u$ 和二阶导数都是连续的，并且不存在悬崖或颠峰等奇异点。
因此，椭圆型偏微分方程的求解是很有意义的。
但是，椭圆型偏微分方程的解析解往往较难求得，因此需要运用数值方法求解。
接下来，我们将介绍有限元方法。
有限元方法的介绍有限元方法是一种数值计算方法，广泛应用于数学、物理、工程、地质等很多领域中，特别是在计算机科学、航空航天工程等可视化领域中应用极广。
有限元方法计算的核心思想是将复杂问题离散化为有限个小问题，并且针对每个小问题求出一个近似解，进而得到整个问题的近似解。
这种方法可以用于求解各种形式的偏微分方程，包括椭圆型偏微分方程。
有限元方法实现的关键是构造适当的有限元模型。
该模型通常由以下三个方面所组成：1.有限元分析模型有限元分析模型将原问题离散化为有限个小问题。
通常来说，使用简单的几何体，如：直角三角形、四边形、三棱柱、四面体，来对问题进行离散化处理。
椭圆型偏微分方程的弱有限元方法研究
椭圆型偏微分方程的弱有限元方法研究1. 引言在数学和科学领域，偏微分方程是一个重要的研究课题。
而在偏微分方程中，椭圆型偏微分方程又是一个重要的分支。
它在描述流体力学、热传导以及弹性力学等领域中起着重要作用。
由于椭圆型偏微分方程的特殊性质，传统的数值求解方法可能面临困难。
弱有限元方法成为了研究人员关注的焦点之一。
2. 椭圆型偏微分方程概述椭圆型偏微分方程在数学上具有一定的性质，其形式通常为：[ (u) + f = 0 ]其中，[ ] 是定义在区域[ ] 上的正定函数，[ u ] 是待求解的函数，[ f ] 是已知函数。
椭圆型偏微分方程的特点是在解域上具有强耐磨性和吸引性。
对于这种类型的方程，传统的有限元方法可能会受到局部奇异性和数值振荡的影响。
3. 弱有限元方法的基本思想弱有限元方法是针对椭圆型偏微分方程而提出的一种数值解法。
其基本思想是在方程解域上引入一个试探函数空间[V_h]，将原方程右乘试探函数[v]并在方程解域上进行积分。
通过将试探函数空间离散化，得到离散格式的方程，最终通过代数方法求解得到数值解。
4. 椭圆型偏微分方程的弱有限元方法研究进展近年来，针对椭圆型偏微分方程的弱有限元方法研究取得了一些进展。
研究人员提出了多种基于弱有限元方法的数值求解算法，包括稳定的混合有限元方法、最小二乘有限元方法等。
这些方法在处理椭圆型偏微分方程的数值求解过程中取得了一定的效果。
5. 个人观点和理解从我的观点来看，椭圆型偏微分方程的弱有限元方法研究是一个具有挑战性和重要性的课题。
这种方法在处理椭圆型偏微分方程时可以有效克服传统方法的局限性，为实际问题的数值求解提供了新的思路和方法。
然而，弱有限元方法也面临着稳定性、收敛性等问题，这些都需要进一步深入研究和改进。
6. 总结椭圆型偏微分方程的弱有限元方法研究是一个复杂而重要的课题。
通过对该方法的深入研究和应用，可以更好地解决椭圆型偏微分方程在实际问题中的数值求解困难。
变系数椭圆方程的混合有限元方法
变系数椭圆方程的混合有限元方法混合有限元方法在求解变系数椭圆方程的数值解时具有很大的优势。
本文将对混合有限元方法在求解变系数椭圆方程中的应用进行详细介绍。
首先，我们先来了解一下变系数椭圆方程的一般形式。
变系数椭圆方程可以表示为以下形式：-\nabla\cdot(\alpha(x)\nabla u) + \beta(x)\cdot \nabla u +\gamma(x)u = f(x)\]其中，\(\alpha(x), \beta(x), \gamma(x)\)是系数函数，\(u\)是未知函数，\(f(x)\)是给定函数。
该方程在许多科学和工程领域中都具有广泛的应用，特别是在热传导和流体力学等领域。
混合有限元方法将变系数椭圆方程分解成两个子问题：一个为压力问题，另一个为速度问题。
通过求解这两个子问题得到原问题的数值解。
压力问题主要是求解散度形式的方程，而速度问题则是求解梯度形式的方程。
通过将变系数椭圆方程转化为这两个子问题，可以简化问题的处理，并提高计算效率。
接下来，我们将介绍混合有限元方法的数学模型。
首先，我们定义一个压力空间\(P_h\)和一个速度空间\(V_h\)。
压力空间\(P_h\)包括所有满足一定连续性和边界条件的压力函数，而速度空间\(V_h\)则包括所有满足一定连续性和边界条件的速度函数。
然后，我们将原方程用压力函数\(p\in P_h\)和速度函数\(v\in V_h\)分别进行试探和测试，并对原方程进行加权残量积分得到离散的问题。
通过对加权残量积分并适当选取试探函数和权重函数，可以得到压力问题和速度问题的数学模型。
压力问题的数学模型形式为：\int_{\Omega}\alpha(x)\nabla p\cdot \nabla q \,dx -\int_{\Omega}\beta(x)\cdot \nabla v \,dx +\int_{\partial\Omega}(\alpha(x)\nabla p\cdot \mathbf{n})q \,ds = \int_{\Omega}f(x)q \,dx\]速度问题的数学模型形式为：\int_{\Omega}\alpha(x)\nabla u\cdot \nabla \mathbf{v} \,dx - \int_{\Omega}\gamma(x)u\mathbf{v} \,dx +\int_{\partial\Omega}(\alpha(x)\nabla u\cdot\mathbf{n})\mathbf{v} \,ds = 0\]在数值求解过程中，我们采用有限元方法对上述数学模型进行离散，得到如下的有限元数值格式：\mathbf{K}_p\mathbf{p} = \mathbf{F}_p\]\mathbf{K}_u\mathbf{u} = \mathbf{F}_u\]其中，\(\mathbf{K}_p, \mathbf{K}_u\)是刚度矩阵，\(\mathbf{F}_p, \mathbf{F}_u\)是载荷向量，\(\mathbf{p},\mathbf{u}\)是压力和速度的有限元近似解。
椭圆型偏微分方程的有限元数值解法
椭圆型偏微分方程(Elliptic Partial Differential Equation, PDE)是用于描述在许多实际科学和工程问题中的物理特性的概念。
它是一个复杂的概念，无法直接的解决，然而有一些有限元数值(Finite Element Numerical, FEN)方法可以用来解决。
本文将简要介绍椭圆型偏微分方程的有限元数值方法。
椭圆型偏微分方程是一种二次型的偏微分方程通常用来模拟在某一空
间中时间不变的运动问题。
它经常用于研究和热传导，物理学，电磁学，有限元力学，水文学等一系列的应用领域。
椭圆型偏微分方程的有限元数值方法可以用来计算椭圆型偏微分方程
的解。
它的基本思想是将空间块状分解，然后在每个空间块内建立一
个有限元素实体来表示偏微分方程的形式，这就是所谓的有限元元素
数值方法。
在这个方法当中，每个有限元元素实体具有固定的函数，
通过它可以表达椭圆型偏微分方程中各个部分的变化特性。
有限元数值方法也可以用来计算椭圆型偏微分方程边界条件的决策。
它可以正确表达椭圆型偏微分方程的特性，从而提供更加准确的解决
方案。
有限元数值方法的优点在于，它可以根据椭圆型偏微分方程的特性进行微调，从而获得更加准确的解决方案。
总之，椭圆型偏微分方程的有限元数值方法是一种有效的解决椭圆型
偏微分方程问题的方法，它不仅能够计算出椭圆型偏微分方程的解，
而且还可以考虑到边界的任意条件，从而提供更加准确的解决方案。
它的缺点在于建立有限元元素数值方法需要花费大量的时间和精力，
而且有时也不能得到最优的解决方案。
变系数椭圆方程的混合有限元方法
在 实 际问题 中 ， 人们 经 常会遇 到兼 具快 、 变化 的统 一过程 ， 慢 这类 问题 的 Ｐ Ｅ 模 型具 有 多尺 度性 质 ． Ｄ ｓ
这 时如 果直 接使 用经 典 的有 限元方 法进 行数 值求 解 ， 就会 遇 到许多 困难 ， 如具 有典 型 的多介 质 计算 问题 的 二 维辐 射热 传导 方程 组 ， 由于 ３种 温度 的系数 差 别 巨大 ， 解 此方 程 组 时有 由某 些离 散 方案 引起 的 困难 ， 求
射 热传 导 方程 的简 化线性 模 型 ， 后利 用 Ｂ ｅｚ 理 论 对通 过混 合 有 限元 方 法得 到 的等价 变 分 问题 进行 理 然 ｒｚｉ 论 分析 ， 明 了变分 问题 解 的存在 唯一 性 ， 证 最后 给 出了相 应 的误 差 估计 式．
１ 模 型 问题
文 中考 虑如 下 二维 辐射 热传 导方 程 的简化 线性模 型 ：
＊
基 金 项 目 ： 南 省 教 育 厅 科 学 研 究 项 目（７ ２ ９ 湖 ０Ｃ １） 作 者 简 介 ： 志 清 （ ９ ６ ） 女 ， 南 长 沙 人 ， 南 涉 外 经 济 学 院 计 算 机 学 院 讲 师 ， 士 ， 要 从 事 多 重 网 格 与 区 域 分 刘 １７ 一 ， 湖 湖 硕 主
如 有 限体积 法 － 和有 限差 分法 ， 得 的大 型系数 线 性 方 程组 严 重 病 态等 ． 卜。 所 混合 有 限元 方 法［ 是 一种 求 ４
解 多介 质 Ｐ ｓ ＤＥ 模型 问题 的 自然方 法 ， 的优点是 通 过引入 中间变量 既 可将 高 阶微 分 方程 降 阶 ， 它 又可 降低 有 限元 空 间的光 滑性 要求 ． 者将混 合 有 限元 方 法应 用 于求解 二维 辐射 热传 导方程 组 中， 笔 首先 介绍 二维 辐
二维椭圆型方程边值问题的有限元解法
二维椭圆型方程边值问题的有限元解法摘要：现代科学、技术工程中的大量数学模型都可以用微分方程来描述,而更多数学模型本身就是偏微分方程的定解问题,如弹性力学的平衡问题,稳定流速场等等都可用椭圆型方程的定解问题来描述,当定解区域和边值条件复杂时,解析解极难寻找.可以利用偏微分方程的数值解及定解问题的有限元解法来解决区域不规则的二维椭圆型方程的边值问题,要用有限元法来解决,有限元法包括变分原理、剖分插值、边界条件的处理,涉及到Ritz-Galerkin方法,区域剖分及基函数的性质,之后再对有限元方程的进行求解.关键词：椭圆型方程;变分原理;边值问题;有限元解法;区域剖分1引言工程技术中的大量数学模型都可以用微分方程来描述,如弹性力学的平衡问题,解决这类方程的最主要的数值方法是有限元法,有限元法在数值求解各种实际问题方面表现出极大的优越性和生命力,有限元方法是逼进论、微分方程和泛函分析等的巧妙结合,它是一个发展着的体系,使有限元广泛地应用于工程技术和各类物理场中,有限元方法包括变分原理、剖分插值、边界条件的处理,涉及到Ritz-Galerkin方法,区域剖分及基函数的性质,传统的里茨－加廖金方法的发展,并融会了差分方法的优点,处理上统一,适应能力强.让数学和许多自然现象,工程技术和其它许多学科相互联系,相互渗透,用数学理论、方法、技巧去解决许多工程问题.现在有限元方法已广泛地有效地应用于实际问题的数值研究中.2二维二阶线性偏微分方程的分类及边值问题的提法2.1二维二阶线性偏微分方程的分类二维二阶线性偏微分方程的一般形式为f cu u b u b u a u a u a y x yy xy xx =+++++212212112 （2.1） 其中f c b b a a a ,,,,,,21221211是x 和y 的二次连续可微函数,在以下的讨论中,常将二阶线性偏微分方程简称为二阶方程.为了对（2.1）式进行简化,为此引入自变量变换),(),,(y x y x ηηξξ== （2.2） 其中式（2.2）式是二次连续可微函数,且雅可比（Jacobi ）行列式yxy x y x D D ηηξξηξ=),(),(在点),(00y x 不等于零,根据隐函数存在定理,在点),(00y x 近旁变换式（2.2）是可逆的,利用变换（2.2）可将方程（2.1）化成关于自变量ηξ,的偏微分方程f Cu u B u B u A u A u A =+++++ηξηηξηξξ212212112 （2.3） 故方程（2.3）中的系数⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫++=+++=++=22212211222212111222212211112)(2y y x xx y y x y y x x x yyx x a a a A a a a A a a a A ηηηηηξηξηξηξξξξξ （2.4）为化简方程,选取变换式（2.2）使方程（2.3）的二阶偏导数项化成最简形式,由式 （2.4）知,2211,A A 的形式是完全相同的,只是所用记号ηξ,有异,因此,若能获得方程0222212211=++y y x x z a z z a z a （2.5） 的两个函数无关解),(),,(21y x z z y x z z ==,取 ),(),,(21y x z y x z ==ηξ则011=A ,022=A ,方程（2.3）得以化简,现在,问题归结到求解方程（2.5）,而关于z 的一阶偏微分方程（2.5）的求解问题可以化为求常微分方程 0)(2)(2212211=+-a dxdy a dxdy a （2.6）的通积分,上式可化为：0)(2)(22212211=+-dx a dxdy a dy a （2.7）常微分方程（2.7）称为偏微分方程（2.1）的特征方程,称特征方程（2.7）的积分曲线为方程（2.1）的特征线.为求方程（2.10）的积分曲线,将其分解成两个方程11221121212a a a a a dxdy -+=(2.8)11221121212a a a a a dxdy --=(2.8)`积分即得.方程（2.1）按方程（2.8）,(2.8)`分类,有下列三种情形：1.如果在区域 Ω内点),(00y x 的近旁02211212<-≡∆a a a ,则称方程（2.1）是椭圆型的,此时方程不存在实的特征线,特征方程的通积分是一对共轭复值函数222121),(),(),(),(c y x iz y x z c y x iz y x z =-=+其中,),(1y x z 与),(2y x z 为实函数,则),(),(),(21y x iz y x z y x z +=满足0222212211=++y y x x z a z z a z a为了避免引入复数,我们可以作变换⎩⎨⎧==),(),(21y x z y x z ηξ 那么可以证明,),(1y x z 和),(2y x z 是函数无关的, 由于ηξi +满足方程（2.5）,下面将其代入,化简:0)()()(2)(22212211=++++++y y x x i a i i a i a ηξηξηξηξ0)2()(2)2(2222122211=+++-+++-+y y y y y x x y y x y x x y x x i a i i a i a ηηξξηηηξηξξξηηξξ 则化简最后可得:0,122211==A A A 于是方程（2.3）化为D Cu Bu Au u u +++=+ηξηηξξ （2.9）方程（2.9）称为椭圆型方程的标准形式.2.如果在区域Ω内点),(00y x 的近旁02211212>-≡∆a a a ,则称方程（2.1）是双曲型的,它有两族不相同的实特征线,,),(11c y x z = 22),(c y x z = 经过变换⎩⎨⎧==),(),(21y x z y x z ηξ它的标准形式为D u C u B u A u +++=ηξξη （2.10）3.如果在区域Ω内点),(00y x 的近旁02211212=-≡∆a a a ,则称方程（2.２）是抛物线型的,经过变换它的标准形式为D Cu Bu Au u +++=ηξηη （2.11）综上所述,二阶线性偏微分方程（2.1）依判别式2211212a a a -≡∆的符号可分成三种类型,并可化为三种标准形式.如表1.表1其中,H 为yx u u u y x ,,,,的函数.2.2边值问题的提法对于偏微分方程,一般很难用通解的形式表示.我们都是在一些特定条件下求方程的解,这样条件称为定解条件,定解条件也就是初始条件和边界条件的统称.我们主要研究边界条件,即如果在n R 的某个区域Ω内求解方程,即要求Ω∈x 时,),(t x u u =满足方程,一般在Ω的边界Ω∂上给出u 的条件,称之为边界条件,边界条件分为三类,即：第一类边界条件也就是Dirichlet 条件：在边界上给出未知函数u 的值.即:)(|M u ϕΩ=∂ 第二类边界条件也就是Neumam 条件：在边界上给定未知函数法向导数的值. 即:)(|M nu ϕΩ=∂∂∂第三类边界条件也就是Robin 条件：在边界上给定未知函数和它的法向导数的某种线性组合的值.即:)(|)(M nu u ϕβαΩ=∂∂+∂∂其中M 为x 的n 维函数.一个偏微分方程边同它的相应的定解条件组成一个定解问题.我们将主要研究边界问题,也就是一个偏微分方程和它的边界条件组成的一个定解问题.因为判别式符号 方程类型方程的标准形式 02211212>-≡∆a a a 双曲型 H u u yy xx =- 02211212=-≡∆a a a 抛物型 H u xx = 02211212<-≡∆a a a椭圆型H u u yy xx =+边界条件分为三类,所以边值问题也会为三类,则相应的三类边值问题也就是：第一类边值问题（由Dirichlet条件组成的定解问题）,第二类边值问题（Neumam条件组成的定解问题）和第三类边值问题（Robin条件组成的定解问题）.3有限元法有限元方法是一种高效能、常用的计算方法,有限元法在早期是以变分原理为基础发展起来的,所以它广泛地应用于以拉普拉斯方程和泊松方程所描述的各类物理场中,有限元方法是一个发展着的体系,是传统的里茨－加廖金方法的发展,并融会了差分方法的优点,处理上统一,适应能力强.自从1969年以来,某些学者在流体力学中应用加权余数法中的迦辽金法(Galerkin)或最小二乘法等同样获得了有限元方程,因而有限元法可应用于以任何微分方程所描述的各类物理场中,而不再要求这类物理场和泛函的极值问题有所联系.3.1有限元的概念及发展有限元法（FEA,Finite Element Analysis）的基本概念是用较简单的问题代替复杂问题后再求解.在这里它是一种求偏微分方程数值解的计算方法,有限元方法是把微分方程定解问题转化为求解一个等价的“变分问题”,再将变分问题作适当地离散化,然后求出数值解.有限元方法与其他求解边值问题近似方法的根本区别在于它的近似性仅限于相对小的子域中.20世纪60年代初首次提出结构力学计算有限元概念的克拉夫（Clough）教授形象地将其描绘为：“有限元法=Rayleigh Ritz法＋分片函数”,即有限元法是Rayleigh Ritz法的一种局部化情况.不同于求解（往往是困难的）满足整个定义域边界条件的允许函数的Rayleigh Ritz法,有限元法将函数定义在简单几何形状（如二维问题中的三角形或任意四边形）的单元域上（分片函数）,且不考虑整个定义域的复杂边界条件,有限元不仅计算精度高,而且能适应各种复杂形状,这是有限元法优于其他近似方法的原因之一.有限元方法是逼近论,微分方程和泛函分析的巧妙结合,已广泛有效地应用于实际问题的数值研究中.有限元的概念早在几个世纪前就已产生并得到了应用,例如用多边形（有限个直线单元）逼近圆来求得圆的周长,但作为一种方法而被提出,则是最近的事.有限元法最初被称为矩阵近似方法,应用于航空器的结构强度计算,并由于其方便性、实用性和有效性而引起从事力学研究的科学家的浓厚兴趣.经过短短数十年的努力,随着计算机技术的快速发展和普及,有限元方法迅速从结构工程强度分析计算扩展到几乎所有的科学技术领域,成为一种丰富多彩、应用广泛并且实用高效的数值分析方法.1943年, courant在论文中取定义在三角形域上分片连续函数,利用最小势能原理研究St.Venant的扭转问题.1960年clough的平面弹性论文中用“有限元法”这个名称.1965年冯康发表了论文“基于变分原理的差分格式”，这篇论文是国际学术界承认我国独立发展有限元方法的主要依据.1970年随着计算机和软件的发展,有限元发展起来.涉及的内容：有限元所依据的理论,单元的划分原则，形状函数的选取及协调性.有限元法涉及：数值计算方法及其误差、收敛性和稳定性。
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两点边值问题有限元法（必做）
从Galerkin 原理出发用线性元解两点边值问题：
"2,01(0)(1)0
u u x x u u ⎧-+=<<⎨==⎩ 精确解：12
2
1()[(23)(23)]21
x x u x e e e e x e -=
---++-。
1.1变分形式
从Galerkin 原理出发推导出两点边值问题的变分形式，将积分区间等分为N 份，则步长1
,1,2,i h i n N
=
=，记为h 。
写出有限元方程及系数矩阵元素。
基于虚功原理，求变分形式),(),(v f v u a h =。
对于h v v ∈∀，取h h u x u ∈)(在n 个剖分结点，1,,,010==n x x x 。
取值为
0)1(,,,0)0(10====u u u u u n 。
其中ih x x i +=0，N i 1≤≤，N
h 1
=。
取v u =，udx x udx u u ⎰
⎰=+-1
10
2)''(，推得dx ux dx u u ⎰⎰=+1
210
22])'[(。
相应的双线性变分形式
dx a j i j i j i ⎰+=1
]'[),(ϕϕϕϕϕϕ，则有限元方程∑==n
i j i j i x x f u x x a 1
))(),(())(),((ϕϕϕ，
n j ,,1 =。
εεεϕϕd q h p h a j j j j ⎰-+-=--1
1
1])1([),(；
εεεεϕϕd q h d q h p h a j j j j j ])1([][),(21
1
1121-++=⎰⎰-+-；
εεεϕϕd q h p h a j j
x x j j j ⎰
+-+-=++++1
)]
1([)(11
-1j 1； 这里1,,2-=n j 。
第一行只有两个非零元素：),(11ϕϕa ，),(21ϕϕa 。
第n 行
也只有两个非零元素：),(1-n n a ϕϕ和εεϕϕd q h p h a n n
n n ⎰+=-1
021
][),(，方程的右端εεεεεϕd h x f h d h x f h dx f j j j j j j j )1()()(1
1110
11
-+++=⎰⎰⎰
++-；
方程的系数矩阵为：⎥
⎥
⎥⎥⎦
⎤⎢
⎢⎢⎢⎣⎡-),(00
),(0)
,(),(0
),(),(12
21
22111n n n n a a a a a a ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ
1.2利用MATLAB 求解问题的过程
依次取2,2,3,4,5,6,7,8.n N n ==用MATLAB 求解并图形比较数值解与精确解，用表格列出不同剖分时的2L 误差。
4N =:
8 N: = N:
16 =
32 N=: N=:
64
128 N=: N=:
256
1.3 方法总结及分析
在利用Galerkin原理出发用线性元解两点边值问题，利用MATLAB作图可以发现解析解与精确解非常逼近，但从误差上可以看出，剖分结点越多，误差越小，逼近程度越好。
附件程序
function [U,precise_value,err]= G(N)
h=1/N;
p=1;
q=1;
X=0:h:1;
A=zeros(N-1);
for i=2:N-1
f3=@(ks)-p./h+h.*q.*ks.*(1-ks);
f2=@(ks)p./h+h.*q.*(ks.^2)+p./h+h.*q.*((1-ks).^2);
f1=@(ks)-p./h+h.*q.*ks.*(1-ks);
A(i-1,i)=quadl(f1,0,1);
A(i,i)=quadl(f2,0,1);
A(i,i-1)=quadl(f3,0,1);
end
A(1,1)=quadl(f2,0,1);
f=zeros(N-1,1);
for i=2:N
f11=@(ks)(X(i-1)+h.*ks).^2.*ks+(X(i)+h.*ks).^2.*(1-ks);
f(i-1)=h.*quadl(f11,0,1);
end
U=A\f;
dx=X;
precise_value=((exp(2)-1)^(-1)).*((2-3*exp(1))*exp(dx)-(2*exp(1)-3)*exp(1-dx))+dx.^2+2
plot(X,[0;U;0],'b--',X,precise_value,'r:+');
legend('数值解','精确解');
err=norm([0;U;0]-precise_value');
format long
sprintf('Galerkin有限元法最大误差%f\n',err)
end
小组成员：宋珂、张云雷、黄镭、耿盼丽。