《4.3 平面向量的数量积及平面向量的应用》 教案

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教学过程
课堂导入 一只猴子捡到一把钝刀，连小树也砍不断．于是它向砍柴人请教，砍柴人说“把刀放到石头上磨一磨”．于是猴子 高兴地飞奔回去，立刻把刀放在一块石头上拼命地磨．直到它发现刀口和刀背差不多厚了，便停下来……结果当然是失 败的．难道猴子没有做功吗？不！难道猴子没有用心吗？不！但是做功≠成功．物理学当中的做功在数学中叫做什么？ 是如何表示的呢？
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【例题 2】 【题干】(1)已知平面向量 α，β，|α|＝1，β＝(2,0)，α⊥(α－2β)，求|2α＋β|的值；
(2)已知三个向量 a、b、c 两两所夹的角都为 120° ，|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，求向量 a＋b＋c 与向量 a 的夹角．
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【解析】(1)∵β＝(2,0)，

π 5π 由 A＝6知 0<C< 6 ， π π 4π ∴－3<2C－3< 3 ， π π 从而 2C－3＝0 或 2C－3＝π， π 2π 即 C＝6或 C＝ 3 . π 2π π π π 2π 故 A＝6，B＝ 3 ，C＝6或 A＝6，B＝6，C＝ 3 .
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课堂运用 【基础】 1．(2012· 重庆高考)设 x∈R，向量 a＝(x,1)，b＝(1，－2)，且 a⊥b，则|a＋b|＝( A. 5 C ．2 5 B. 10 D．10 )
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【拔高】 6．下列判断： ①若 a2＋b2＝0，则 a＝b＝0； ②已知 a，b，c 是三个非零向量，若 a＋b＝0，则|a· c|＝|b· c|； ③a，b 共线⇔a· b＝|a||b|； ④|a||b|<a· b； ⑤a· a· a＝|a|3； ⑥a2＋b2≥2a· b； ⑦非零向量 a，b 满足 a· b>0，则 a 与 b 的夹角为锐角； ⑧若 a，b 的夹角为 θ，则|b|cos θ 表示向量 b 在向量 a 方向上的射影的数量． 其中正确的是________．
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【解析】(1)当 A＝90° 时，
∵ AB ⊥ AC ，∴ AB · AC ＝0. 2 ∴2×1＋3k＝0，解得 k＝－3. (2)当 B＝90° 时，∵ AB ⊥ BC ， 又 BC ＝ AC － AB ＝(1，k)－(2,3)＝(－1，k－3)， ∴ AB · BC ＝2×(－1)＋3×(k－3)＝0， 11 解得 k＝ 3 . (3)当 C＝90° 时， ∵ AC ⊥ BC ，∴1×(－1)＋k(k－3)＝0， 即 k2－3k－1＝0.∴k＝ 3± 13 2 .
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设向量 a＋b＋c 与向量 a 的夹角为 θ， 3 －2 a＋b＋c· a 3 则 cos θ＝ ＝ ＝－ 2 ， |a＋b＋c||a| 3 即 θ＝150° ， 故向量 a＋b＋c 与向量 a 的夹角为 150° .
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【例题 3】 【题干】在直角三角形 ABC 中，已知 AB ＝(2,3)， AC ＝(1，k)，求 k 的值．
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【巩固】 4．已知 a 与 b 为两个不共线的单位向量，k 为实数，若向量 a＋b 与向量 ka－b 垂直，则 k＝________.
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解析：∵a＋b 与 ka－b 垂直， ∴(a＋b)· (ka－b)＝0， 化简得(k－1)(a· b＋1)＝0，根据 a、b 向量不共线，且均为单位向量得 a· b＋1≠0，得 k－1＝0，即 k＝1. 答案：1
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5．(2012· 湖南高考)如图，在平行四边形 ABCD 中，AP⊥BD，垂足为 P，且 AP＝3，则 AP · AC ＝________.
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解析：设 AC 与 BD 的交点为 O，则 AP · 2 AO ＝2 AP 2＋2 AP · 32＋0＝18. AC ＝ AP · PO ＝2× 答案：18
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解析：选 B 由 a⊥b，可得 a· b＝0，即 x－2＝0，得 x＝2，所以 a＋b＝(3，－1)，故|a＋b|＝
32＋
－
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2
＝ 10.
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2．如图，在△ABC 中，AD⊥AB， BC ＝ 3 BD ，| AD |＝1，则 AC · AD ＝( A．2 3 3 C．－ 2 3 B. 2 D. 3
∴|β|＝2，又 α⊥(α－2β)， ∴α · (α－2β)＝α2－2α· β＝1－2α· β＝0. 1 ∴α · β＝2. ∴(2α＋β)2＝4α2＋β2＋4α· β＝4＋4＋2＝10. ∴|2α＋β|＝ 10. (2)由已知得(a＋b＋c)· a＝a2＋a· b＋a· c 3 ＝1＋2cos 120° ＋3cos 120° ＝－2， |a＋b＋c|＝ a＋b＋c2 ＝ a2＋b2＋c2＋2a· b＋2a· c＋2b· c ＝ 1＋4＋9＋4cos 120° ＋6cos 120° ＋12cos 120° ＝ 3.
＝ 2，则 AE · BF 的值是________．
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【答案】 2 【解析】以 A 为坐标原点，AB，AD 所在的直线分别为 x，y 轴建立直角坐标系，则 B( 2，0)，E( 2，
1)，D(0,2)，C( 2，2)．设 F(x,2)(0≤x≤ 2)，由 AB · BF ＝ AF ＝ 2⇒ 2x＝ 2⇒x＝1，所以 F(1,2)， AE · ( 2，1)· (1－ 2，2)＝ 2.
平面向量的数量积及平面向量的应用
适用学科 适用区域 知 识 点 数学 新课标 适用年级 课时时长 高三 60 分钟
平面向量数量积的概念及几何意义；平面向量数量积的性质；平面向量数量积的运算律 平面向量数量积的坐标表示；平面向量模的坐标表示；平面向量平行的坐标表示 平面向量垂直的坐标表示；平面向量的应用 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义．了解平面向量的数量积与向量投影的关系． 教学目标 2.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算． 3.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系． 4.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题. 教学重点 教学难点 平面向量的数量积的有关运算，利用数量积求解平面向量的夹角、模，以及两向量的垂直关系 平面向量的数量积的有关运算，利用数量积求解平面向量的夹角、模，以及两向量的垂直关系
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解析：由于 a2≥0，b2≥0，所以，若 a2＋b2＝0，则 a＝b＝0，故①正确； 若 a＋b＝0，则 a＝－b，又 a，b，c 是三个非零向量，所以 a· c＝－b· c，所以|a· c|＝|b· c|，②正确； a，b 共线⇔a· b＝± |a||b|，所以③错； 对于④，应有|a||b|≥a· b，所以④错； 对于⑤，应该是 a· a· a＝|a|2a，所以⑤错； a2＋b2≥2|a||b|≥2a· b，故⑥正确； 当 a 与 b 的夹角为 0° 时，也有 a· b>0，因此⑦错； |b|cos θ 表示向量 b 在向量 a 方向上的射影的数量，可取全体实数，而非射影长，故⑧错．综上可知①②⑥正确． 答案：①②⑥
)
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解析：选 D 建系如图． 设 B(xB,0)，D(0,1)，C(xC，yC)， BC ＝(xC－xB，yC)，
BD ＝(－xB,1)，
∵ BC ＝ 3 BD ，∴xC－xB＝－ 3xB⇒xC＝(1－ 3)· xB，yC＝ 3， AC ＝((1－ 3)xB， 3)， AD ＝(0,1)， AC · AD ＝ 3.
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3．已知圆 O 的半径为 1，PA、PB 为该圆的两条切线，A、B 为两切点，那么 PA · PB 的最小值为( A．－4＋ 2 C．－4＋2 2 B．－3＋ 2 D．－3＋2 2
)
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解析：选 D 设∠APB＝2θ，| PO |＝x，则 PA · | PB |· cos 2θ＝| PA |2cos 2θ＝(| PO |2－1)· (1－2sin2θ)＝(x2－ PB ＝| PA |· 2 2 2 4 1－x2＝x2－2－1＋ 2≥－3＋2 2，当且仅当 x2＝ 2即 x＝ 2时取等号． 1)· x x
5π 3 ∴sin C· sin 6 －C＝ 4 ， 1 3 3 cos C＋ sin C＝ ， 即 sin C· 4 2 2
∴2sin C· cos C＋2 3sin2C＝ 3， ∴sin 2C－ 3cos 2C＝0，
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π ∴sin2C－3＝0，
2 11 3± 13 综上可得 k 的值为－3或 3 或 2 .
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【例题 4】 【题干】在△ABC 中，已知 2 AB · | AC |＝3| BC |2，求角 A，B，C 的大小． AC ＝ 3| AB |·
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【解析】设 BC＝a，AC＝b，AB＝c，
∵由 2 AB · | AC |得 2bccos A＝ 3bc， AC ＝ 3| AB |· 3 ∴cos A＝ 2 ， π 又∵A∈(0，π)，∴A＝6. 由 3| AB |· | AC |＝3| BC |2 得 bc＝ 3a2， 3 由正弦定理得 sin C· sin B＝ 3sin2A＝ 4 ，
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π 3π 7．已知 A，B，C 的坐标分别为 A(3,0)，B(0,3)，C(cos α，sin α)，α∈2， 2 . (1)若| AC |＝| BC |，求角 α 的值； 2sin2α＋sin 2α (2)若 AC · 的值． BC ＝－1，求 1＋tan α
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2 x1 ＋y2 1
x1x2＋y1y2
2 2 2 x2 1＋y1· x2＋y2
x1x2＋y1y2＝0 |x1x2＋y1y2|≤
2 x1 ＋y2 1 2 x2 2＋y2
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例题精析 【例题 1】 【题干】如图，在矩形 ABCD 中，AB＝ 2，BC＝2，点 E 为 BC 的中点，点 F 在边 CD 上，若 AB · AF
解：(1)∵ AC ＝(cos α－3，sin α)， BC ＝(cos α，sin α－3)， ∴ AC 2＝(cos α－3)2＋sin2α＝10－6cos α，
BC 2＝cos2α＋(sin α－3)2＝10－6sin α.
由| AC |＝| BC |，可得 AC 2＝ BC 2，即 10－6cos α＝10－6sin α，得 sin α＝cos α. 5π π 3π 又∵α∈2， 2 ，∴α＝ . 4 (2)由 AC · BC ＝－1， 得(cos α－3)cos α＋sin α(sin α－3)＝－1， 2 ∴sin α＋cos α＝3.① 2sin2α＋sin 2α 2sin2α＋2sin αcos α 又 ＝ ＝2sin αcos α， sin α 1＋tan α 1＋cos α 4 由①式两边分别平方，得 1＋2sin αcos α＝9， 5 ∴2sin αcos α＝－9. 2sin2α＋sin 2α 5 ∴ ＝－9. 1＋tan α
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复习预习 1. 2. 3. 两个向量的夹角概念及求法 平面向量基本定理及其坐标表示方法 平面向量的坐标运算法则
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知识讲解 考点 1 平面向量的数量积
平面向量数量积的定义 已知两个非零向量 a 和 b， 它们的夹角为 θ， 把数量|a||b|cos θ 叫做 a 和 b 的数量积(或内积)， 记作 a· b.即 a· b＝|a||b|cos θ，规定 0· a＝0.
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考点 2
向量数量积的运算律
(1)a· b＝b· a (2)(λa)· b＝λ(a· b)＝a· (λb) (3)(a＋b)· c＝a· c＋b· c
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考点 3
平面向量数量积的有关结论
已知非零向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2) 结论 模 夹角 a⊥b 的充要条件 |a· b|与|a||b|的关系 几何表示 |a|＝ a· a a· b cos θ＝|a||b| a· b＝0 |a· b|≤|a||b| 坐标表示 |a|＝ cos θ＝