《4.3 平面向量的数量积及平面向量的应用》 教案
高中数学教案《平面向量及其应用》
教学设计：《平面向量及其应用》一、教学目标1.知识与技能：使学生理解平面向量的基本概念，包括向量的定义、表示方法（有向线段、坐标表示）、向量的模、方向角等；掌握向量的加法、减法、数乘及数量积的运算法则和几何意义；能运用向量知识解决简单的几何与物理问题。
2.过程与方法：通过观察、实验、推理等数学活动，培养学生的空间想象能力和逻辑推理能力；引导学生运用数形结合的思想，理解向量运算的几何背景，提高解决实际问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生严谨的科学态度和勇于探索的精神；通过团队合作解决问题，增强学生的沟通能力和团队协作能力。
二、教学重点和难点●重点：平面向量的基本概念、向量的基本运算（加法、减法、数乘、数量积）及其几何意义。
●难点：理解向量数量积的概念、性质及其在解决实际问题中的应用；向量运算的坐标表示法及其应用。
三、教学过程1.导入新课o情境创设：通过展示风力发电机叶片的运动、航海中的航向与速度变化等实例，引出向量的概念，说明向量在现实生活中的应用价值。
o问题引入：提问学生如何描述这些运动中的方向和大小，引导学生思考向量的必要性。
o概念引入：正式给出平面向量的定义，强调其作为“有方向的量”的特性。
2.新知讲授o基本概念讲解：详细解释向量的表示方法（有向线段、坐标表示）、模长、方向角等概念，并通过图示加深理解。
o向量运算教学：●加法与减法：通过“平行四边形法则”和“三角形法则”演示向量的加法与减法，强调其几何意义。
●数乘：讲解数乘的定义，通过伸缩变换的直观演示，理解数乘对向量方向和大小的影响。
●数量积：引入数量积的概念，通过投影长度的计算，讲解其计算公式和性质，强调其在度量角度、判断方向等方面的应用。
3.例题解析o选取典型例题，覆盖向量运算的所有类型，逐步引导学生分析、解题，重点讲解解题思路和方法。
o强调解题过程中向量运算的几何背景，促进学生数形结合思维的发展。
4.学生活动o小组讨论：分组讨论向量在日常生活或专业领域的应用实例，每组选代表分享，增强课堂互动性。
《平面向量数量积》教案
《平面向量数量积》教案教案：平面向量数量积一、教学目标：1.理解平面向量的数量积的概念和性质。
2.掌握平面向量的数量积的运算法则。
3.能够利用平面向量的数量积解决实际问题。
二、教学内容：1.平面向量的数量积的概念和性质。
2.平面向量的数量积的运算法则。
3.平面向量数量积的应用。
三、教学步骤：1.引入平面向量的数量积的概念。
首先通过提问和示例，引导学生思考两个平面向量的乘积是否有意义，以及该乘积有什么特殊的性质。
然后给出平面向量的数量积的定义：设有两个非零向量a和b，数量积定义为，a，·，b，·cosθ，其中，a，和，b，分别表示向量a和b的模长，θ表示向量a和b之间的夹角。
2.平面向量的数量积的性质。
通过具体的例子，讲解平面向量数量积的性质：（1）数量积的结果是一个数。
（2）数量积满足交换律、分配律。
（3）数量积的结果为0时，表示两个向量垂直，即cosθ=0。
（4）数量积的结果为正数时，表示两个向量同向，即θ为锐角。
（5）数量积的结果为负数时，表示两个向量反向，即θ为钝角。
3.平面向量的数量积的运算法则。
通过示例演算，教导学生具体的运算法则：（1）计算向量的模长：，a，=√(a1²+a2²)。
（2）计算向量的数量积：a·b = ，a，·，b，·cosθ。
（3）计算两个向量的夹角：cosθ = (a·b) / (，a，·，b，)。
（4）根据数量积的定义，解方程组：a·b=0，求出向量a与向量b 互相垂直的条件。
4.平面向量数量积的应用。
通过实际问题解决的例子，帮助学生将平面向量数量积的概念和运算法则应用到实际问题的解决中。
例如：已知有三个向量a、b和c，其中a·b=30，a·c=40，求b与c的夹角。
五、教学反思：在教学过程中，可以通过举一些具体的实际问题，提高学生的兴趣和参与度。
平面向量的应用(教案)(教师版)
平面向量的应用(教案)【第一课时】教学重难点教学目标核心素养向量在平面几何中的应用会用向量方法解决平面几何中的平行、 垂直、长度、夹角等问题数学建模、逻辑推理向量在物理中的应用 会用向量方法解决物理中的速度、力学问题数学建模、数学运算一、问题导入预习教材内容，思考以下问题：1．利用向量可以解决哪些常见的几何问题？ 2．如何用向量方法解决物理问题？ 二、新知探究 探究点1：向量在几何中的应用角度一：平面几何中的垂直问题例1：如图所示，在正方形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，求证：AF ⊥DE ． 证明：法一：设AD →＝a ，AB →＝b ， 则|a |＝|b |，a·b ＝0，又DE →＝DA →＋AE →＝－a ＋12b ，AF →＝AB →＋BF →＝b ＋12a ，所以AF →·DE →＝⎝⎛⎭⎫b ＋12a ·⎝⎛⎭⎫－a ＋12b ＝－12a 2－34a ·b ＋12b 2＝－12|a |2＋12|b |2＝0． 故AF →⊥DE →，即AF ⊥DE ．法二：如图，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A （0，0），D （0，2），E （1，0），F （2，1），AF →＝（2，1），DE →＝（1，－2）．因为AF →·DE →＝（2，1）·（1，－2）＝2－2＝0， 所以AF →⊥DE →，即AF ⊥DE ．角度二：平面几何中的平行（或共线）问题：如图，点O 是平行四边形ABCD 的中心，E ，F 分别在边CD ，AB 上，且CE ED ＝AF FB ＝12．求证：点E ，O ，F在同一直线上．证明：设AB →＝m ，AD →＝n ， 由CE ED ＝AF FB ＝12，知E ，F 分别是CD ，AB 的三等分点，所以FO →＝F A →＋AO →＝13BA →＋12AC →＝－13m ＋12（m ＋n ）＝16m ＋12n ，OE →＝OC →＋CE →＝12AC →＋13CD →＝12（m ＋n ）－13m ＝16m ＋12n ． 所以FO →＝OE →．又O 为FO →和OE →的公共点，故点E ，O ，F 在同一直线上． 角度三：平面几何中的长度问题：如图，平行四边形ABCD 中，已知AD ＝1，AB ＝2，对角线BD ＝2，求对角线AC 的长． 解：设AD →＝a ，AB →＝b ，则BD →＝a －b ，AC →＝a ＋b ，而|BD →|＝|a －b |＝a 2－2a ·b ＋b 2＝1＋4－2a ·b ＝5－2a ·b ＝2，所以5－2a ·b ＝4，所以a ·b ＝12，又|AC →|2＝|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝1＋4＋2a ·b ＝6，所以|AC →|＝6，即AC ＝6．用向量方法解决平面几何问题的步骤向量在物理中的应用：（1）在长江南岸某渡口处，江水以12．5 km/h 的速度向东流，渡船的速度为25 km/h ．渡船要垂直地渡过长江，其航向应如何确定？（2）已知两恒力F 1＝（3，4），F 2＝（6，－5）作用于同一质点，使之由点A （20，15）移动到点B （7，0），求F 1，F 2分别对质点所做的功．解：（1）如图，设AB →表示水流的速度，AD →表示渡船的速度，AC →表示渡船实际垂直过江的速度． 因为AB →＋AD →＝AC →，所以四边形ABCD 为平行四边形． 在Rt △ACD 中，∠ACD ＝90°，|DC →|＝|AB →|＝12．5．|AD →|＝25，所以∠CAD ＝30°，即渡船要垂直地渡过长江，其航向应为北偏西30°． （2）设物体在力F 作用下的位移为s ，则所做的功为W ＝F ·s ． 因为AB →＝（7，0）－（20，15）＝（－13，－15）．所以W 1＝F 1·AB →＝（3，4）·（－13，－15） ＝3×（－13）＋4×（－15）＝－99（焦）， W 2＝F 2·AB →＝（6，－5）·（－13，－15） ＝6×（－13）＋（－5）×（－15）＝－3（焦）．用向量方法解决物理问题的“三步曲”三、课堂总结1．用向量方法解决平面几何问题的“三个步骤”2．向量在物理学中的应用（1）由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的减法和加法相似，可以用向量的知识来解决．（2）物理学中的功是一个标量，即为力F 与位移s 的数量积，即W ＝F·s ＝|F ||s |cos θ（θ为F 与s 的夹角）． 四、课堂检测1．河水的流速为2 m/s ，一艘小船以垂直于河岸方向10 m/s 的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为（ ） A ．10 m/s B ．226 m/s C ．4 6 m/sD ．12 m/s解析：选B ．由题意知|v 水|＝2 m/s ，|v 船|＝10 m/s ，作出示意图如图． 所以小船在静水中的速度大小 |v |＝102＋22＝226（m/s ）．2．已知三个力f 1＝（－2，－1），f 2＝（－3，2），f 3＝（4，－3）同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，再加上一个力f 4，则f 4＝（ ） A ．（－1，－2） B ．（1，－2） C ．（－1，2）D ．（1，2）解析：选D ．由物理知识知f 1＋f 2＋f 3＋f 4＝0，故f 4＝－（f 1＋f 2＋f 3）＝（1，2）．3．设P ，Q 分别是梯形ABCD 的对角线AC 与BD 的中点，AB ∥DC ，试用向量证明：PQ ∥AB ． 证明：设DC →＝λAB →（λ＞0且λ≠1），因为PQ →＝AQ →－AP →＝AB →＋BQ →－AP →＝AB →＋12（BD →－AC →）＝AB →＋12[（AD →－AB →）－（AD →＋DC →）]＝AB →＋12（CD →－AB →）＝12（CD →＋AB →）＝12（－λ＋1）AB →， 所以PQ →∥AB →，又P ，Q ，A ，B 四点不共线，所以PQ ∥AB ．【第二课时】一、问题导入预习教材内容，思考以下问题： 1．余弦定理的内容是什么？ 2．余弦定理有哪些推论？ 二、新知探究已知两边及一角解三角形：（1）（2018·高考全国卷Ⅱ）在△ABC 中，cos C 2＝55，BC ＝1，AC ＝5，则AB ＝（ ）A ．42B ．30C ．29D ．25（2）已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝5，c ＝2，cos A ＝23，则b ＝（ ）A ．2B ．3C ．2D ．3解析：（1）因为cos C ＝2cos 2 C 2－1＝2×15－1＝－35，所以由余弦定理，得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos C ＝25＋1－2×5×1×⎝⎛⎭⎫－35＝32，所以AB ＝42，故选A ． （2）由余弦定理得5＝22＋b 2－2×2b cos A ，因为cos A ＝23，所以3b 2－8b －3＝0，所以b ＝3⎝⎛⎭⎫b ＝－13舍去．故选D ． 答案：（1）A （2）D 互动探究：变条件：将本例（2）中的条件“a ＝5，c ＝2，cos A ＝23”改为“a ＝2，c ＝23，cos A ＝32”，求b 为何值？解：由余弦定理得： a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，所以22＝b 2＋（23）2－2×b ×23×32， 即b 2－6b ＋8＝0，解得b ＝2或b ＝4． 规律方法：解决“已知两边及一角”解三角问题的步骤（1）用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程，运用解方程的方法求出此边长． （2）再用余弦定理和三角形内角和定理求出其他两角． 探究点2：已知三边（三边关系）解三角形：（1）在△ABC 中，已知a ＝3，b ＝5，c ＝19，则最大角与最小角的和为（ ） A ．90° B ．120° C ．135°D ．150°（2）在△ABC 中，若（a ＋c ）（a －c ）＝b （b －c ），则A 等于（ ） A ．90° B ．60° C ．120°D ．150°解析：（1）在△ABC 中，因为a ＝3，b ＝5，c ＝19， 所以最大角为B ，最小角为A ，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝9＋25－192×3×5＝12，所以C ＝60°，所以A ＋B ＝120°，所以△ABC 中的最大角与最小角的和为120°．故选B ．（2）因为（a ＋c ）（a －c ）＝b （b －c ），所以b 2＋c 2－a 2＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12．因为A ∈（0°，180°），所以A ＝60°． 答案：（1）B （2）B已知三角形的三边解三角形的方法先利用余弦定理的推论求出一个角的余弦，从而求出第一个角；再利用余弦定理的推论求出第二个角；最后利用三角形的内角和定理求出第三个角．注意：若已知三角形三边的比例关系，常根据比例的性质引入k ，从而转化为已知三边求解． 探究点3： 判断三角形的形状：在△ABC 中，若b 2sin 2C ＋c 2sin 2B ＝2bc cos B cos C ，试判断△ABC 的形状． 解：将已知等式变形为b 2（1－cos 2C ）＋c 2（1－cos 2B ）＝2bc cos B cos C ． 由余弦定理并整理，得 b 2＋c 2－b 2⎝⎛⎭⎫a 2＋b 2－c 22ab 2－c 2⎝⎛⎭⎫a 2＋c 2－b 22ac 2＝2bc ×a 2＋c 2－b 22ac ×a 2＋b 2－c 22ab ，所以b 2＋c 2＝[（a 2＋b 2－c 2）＋（a 2＋c 2－b 2）]24a 2＝4a 44a2＝a 2．所以A ＝90°．所以△ABC 是直角三角形． 规律方法：（1）利用余弦定理判断三角形形状的两种途径①化边的关系：将条件中的角的关系，利用余弦定理化为边的关系，再变形条件判断． ②化角的关系：将条件转化为角与角之间的关系，通过三角变换得出关系进行判断． （2）判断三角形时经常用到以下结论①△ABC 为直角三角形⇔a 2＝b 2＋c 2或c 2＝a 2＋b 2或b 2＝a 2＋c 2． ②△ABC 为锐角三角形⇔a 2＋b 2＞c 2，且b 2＋c 2＞a 2，且c 2＋a 2＞b 2． ③△ABC 为钝角三角形⇔a 2＋b 2＜c 2或b 2＋c 2＜a 2或c 2＋a 2＜b 2． ④若sin 2A ＝sin 2B ，则A ＝B 或A ＋B ＝π2．三、课堂总结 1．余弦定理cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ；cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac；cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ．3．三角形的元素与解三角形 （1）三角形的元素三角形的三个角A ，B ，C 和它们的对边a ，b ，c 叫做三角形的元素． （2）解三角形已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形． 四、课堂检测1．在△ABC 中，已知a ＝5，b ＝7，c ＝8，则A ＋C ＝（ ） A ．90° B ．120° C ．135°D ．150°解析：选B ．cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝25＋64－492×5×8＝12．所以B ＝60°，所以A ＋C ＝120°．2．在△ABC 中，已知（a ＋b ＋c ）（b ＋c －a ）＝3bc ，则角A 等于（ ） A ．30° B ．60° C ．120°D ．150°解析：选B ．因为（b ＋c ）2－a 2＝b 2＋c 2＋2bc －a 2＝3bc ， 所以b 2＋c 2－a 2＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，所以A ＝60°．3．若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边a ，b ，c 满足（a ＋b ）2－c 2＝4，且C ＝60°，则ab ＝________． 解析：因为C ＝60°，所以c 2＝a 2＋b 2－2ab cos 60°， 即c 2＝a 2＋b 2－ab ．① 又因为（a ＋b ）2－c 2＝4， 所以c 2＝a 2＋b 2＋2ab －4．②由①②知－ab ＝2ab －4，所以ab ＝43．答案：434．在△ABC 中，a cos A ＋b cos B ＝c cos C ，试判断△ABC 的形状．解：由余弦定理知cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝c 2＋a 2－b 22ca ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，代入已知条件得a ·b 2＋c 2－a 22bc ＋b ·c 2＋a 2－b 22ca ＋c ·c 2－a 2－b 22ab＝0，通分得a 2（b 2＋c 2－a 2）＋b 2（a 2＋c 2－b 2）＋c 2（c 2－a 2－b 2）＝0， 展开整理得（a 2－b 2）2＝c 4．所以a 2－b 2＝±c 2，即a 2＝b 2＋c 2或b 2＝a 2＋c 2．根据勾股定理知△ABC 是直角三角形．【第三课时】一、问题导入预习教材内容，思考以下问题：1．在直角三角形中，边与角之间的关系是什么？ 2．正弦定理的内容是什么？ 二、新知探究已知两角及一边解三角形：在△ABC 中，已知c ＝10，A ＝45°，C ＝30°，解这个三角形． 【解】因为A ＝45°，C ＝30°，所以B ＝180°－（A ＋C ）＝105°． 由a sin A ＝c sin C 得a ＝c sin A sin C ＝10×sin 45°sin 30°＝102． 因为sin 75°＝sin （30°＋45°）＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°＝2＋64，所以b ＝c sin B sin C ＝10×sin （A ＋C ）sin 30°＝20×2＋64＝52＋56．已知三角形的两角和任一边解三角形的思路（1）若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一角所对的边，再由三角形内角和定理求出第三个角． （2）若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求出第三个角，再由正弦定理求另外两边．已知两边及其中一边的对角解三角形已知△ABC 中的下列条件，解三角形： （1）a ＝10，b ＝20，A ＝60°； （2）a ＝2，c＝6，C ＝π3．解：（1）因为b sin B ＝asin A，所以sin B ＝b sin A a ＝20sin 60°10＝3>1，所以三角形无解．（2）因为a sin A ＝c sin C ，所以sin A ＝a sin C c ＝22．因为c ＞a ，所以C ＞A ．所以A ＝π4．所以B ＝5π12，b ＝ c sin Bsin C ＝6·sin 5π12sin π3＝3＋1．互动探究：变条件：若本例（2）中C ＝π3改为A ＝π4，其他条件不变，求C ，B, b ．解：因为a sin A ＝c sin C ，所以sin C ＝c sin A a ＝32．所以C ＝π3或2π3．当C ＝π3时，B ＝5π12，b ＝a sin B sin A ＝3＋1．当C ＝2π3时，B ＝π12，b ＝a sin B sin A＝3－1．（1）已知两边及其中一边的对角解三角形的思路 ①首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值；②如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角，大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角；③如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论．（2）已知两边及其中一边的对角判断三角形解的个数的方法①应用三角形中大边对大角的性质以及正弦函数的值域判断解的个数；②在△ABC 中，已知a ，b 和A ，以点C 为圆心，以边长a 为半径画弧，此弧与除去顶点A 的射线AB 的公共点的个数即为三角形解的个数，解的个数见下表：判断三角形的形状：已知在△ABC 中，角A ，B 所对的边分别是a 和b ，若a cos B ＝b cos A ，则△ABC 一定是（ ）A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形解析：由正弦定理得：a cos B＝b cos A⇒sin A cos B＝sin B cos A⇒sin（A－B）＝0，由于－π＜A－B＜π，故必有A－B＝0，A＝B，即△ABC为等腰三角形．答案：A互动探究：变条件：若把本例条件变为“b sin B＝c sin C”，试判断△ABC的形状．解：由b sin B＝c sin C可得sin2B＝sin2C，因为三角形内角和为180°，所以sin B＝sin C．所以B＝C．故△ABC为等腰三角形．判断三角形形状的两种途径注意：在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．三、课堂总结1．正弦定理对正弦定理的理解（1）适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立．（2）结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式．（3）揭示规律：正弦定理指出的是三角形中三条边与其对应角的正弦之间的一个关系式，它描述了三角形中边与角的一种数量关系．2．正弦定理的变形若R为△ABC外接圆的半径，则（1）a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C；（2）sin A＝a2R，sin B＝b2R，sin C＝c2R；（3）sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c；（4）a＋b＋csin A＋sin B＋sin C＝2R．四、课堂检测1．（2019·辽宁沈阳铁路实验中学期中考试）在△ABC中，AB＝2，AC＝3，B＝60°，则cos C＝（）A．33B．63C．32D．62解析：选B．由正弦定理，得ABsin C＝ACsin B，即2sin C＝3sin 60°，解得sin C＝33．因为AB＜AC，所以C＜B，所以cos C＝1－sin2C＝6 3．2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A∶B∶C＝1∶2∶3，则a∶b∶c＝（）A．1∶2∶3B．3∶2∶1C．2∶3∶1D．1∶3∶2解析：选D．在△ABC中，因为A∶B∶C＝1∶2∶3，所以B＝2A，C＝3A，又A＋B＋C＝180°，所以A＝30°，B ＝60°，C＝90°，所以a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝sin 30°∶sin 60°∶sin 90°＝1∶3∶2．3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若c－a cos B＝（2a－b）cos A，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形解析：选D．已知c－a cos B＝（2a－b）cos A，由正弦定理得sin C－sin A cos B＝2sin A cos A－sin B cos A，所以sin（A＋B）－sin A cos B＝2sin A cos A－sin B cos A，化简得cos A（sin B－sin A）＝0，所以cos A＝0或sin B－sin A＝0，则A＝90°或A＝B，故△ABC为等腰三角形或直角三角形．【第四课时】一、问题导入预习教材内容，思考以下问题：1．什么是基线？2．基线的长度与测量的精确度有什么关系？3．利用正、余弦定理可解决哪些实际问题？二、新知探究测量距离问题：海上A ，B 两个小岛相距10海里，从A 岛望C 岛和B 岛成60°的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75°的视角，则B 岛与C 岛间的距离是________．解析：如图，在△ABC 中，∠C ＝180°－（∠B ＋∠A ）＝45°， 由正弦定理，可得BC sin 60°＝ABsin 45°，所以BC ＝32×10＝56（海里）． 答案：56海里变条件：在本例中，若“从B 岛望C 岛和A 岛成75°的视角”改为“A ，C 两岛相距20海里”，其他条件不变，又如何求B 岛与C 岛间的距离呢？解：由已知在△ABC 中，AB ＝10，AC ＝20，∠BAC ＝60°，即已知两边和两边的夹角，利用余弦定理求解即可． BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos 60°＝102＋202－2×10×20×12＝300．故BC ＝103．即B ，C 间的距离为103海里．测量距离问题的解题思路求解测量距离问题的方法是：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解．构造数学模型时，尽量把已知元素放在同一个三角形中．测量高度问题：如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上，行驶600 m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD ＝________m ． 解析：由题意，在△ABC 中，∠BAC ＝30°，∠ABC ＝180°－75°＝105°，故∠ACB ＝45°． 又AB ＝600 m ，故由正弦定理得600sin 45°＝BCsin 30°，解得BC ＝300 2 m ．在Rt △BCD 中，CD ＝BC ·tan 30°＝3002×33＝1006（m ）． 答案：1006 互动探究：变问法：在本例条件下，汽车在沿直线AB 方向行驶的过程中，若测得观察山顶D 点的最大仰角为α，求tan α的值．解：如图，过点C ，作CE ⊥AB ，垂足为E ，则∠DEC ＝α，由例题可知， ∠CBE ＝75°，BC ＝3002， 所以CE ＝BC ·sin ∠CBE＝3002sin 75° ＝3002×2＋64＝150＋1503．所以tan α＝DC CE ＝1006150＋1503＝32－63．测量高度问题的解题思路高度的测量主要是一些底部不能到达或者无法直接测量的物体的高度问题．常用正弦定理或余弦定理计算出物体的顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．这类物体高度的测量是在与地面垂直的竖直平面内构造三角形或者在空间构造三棱锥，再依据条件利用正、余弦定理解其中的一个或者几个三角形，从而求出所需测量物体的高度．测量角度问题：岛A 观察站发现在其东南方向有一艘可疑船只，正以每小时10海里的速度向东南方向航行（如图所示），观察站即刻通知在岛A 正南方向B 处巡航的海监船前往检查．接到通知后，海监船测得可疑船只在其北偏东75°方向且相距10海里的C 处，随即以每小时103海里的速度前往拦截． （1）问：海监船接到通知时，在距离岛A 多少海里处？（2）假设海监船在D 处恰好追上可疑船只，求它的航行方向及其航行的时间． 解：（1）根据题意得∠BAC ＝45°，∠ABC ＝75°，BC ＝10， 所以∠ACB ＝180°－75°－45°＝60°， 在△ABC 中，由AB sin ∠ACB ＝BCsin ∠BAC ，得AB ＝BC sin ∠ACB sin ∠BAC＝10sin 60°sin 45°＝10×3222＝56． 所以海监船接到通知时，在距离岛A 5 6 海里处．（2）设海监船航行时间为t 小时，则BD ＝103t ，CD ＝10t ， 又因为∠BCD ＝180°－∠ACB ＝180°－60°＝120°， 所以BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos 120°， 所以300t 2＝100＋100t 2－2×10×10t ·⎝⎛⎭⎫－12， 所以2t 2－t －1＝0，解得t ＝1或t ＝－12（舍去）．所以CD ＝10，所以BC ＝CD ，所以∠CBD ＝12（180°－120°）＝30°，所以∠ABD ＝75°＋30°＝105°．所以海监船沿方位角105°航行，航行时间为1个小时． （或海监船沿南偏东75°方向航行，航行时间为1个小时）测量角度问题的基本思路（1）测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，在图形中标出相关的角和距离． （2）根据实际选择正弦定理或余弦定理解三角形，然后将解得的结果转化为实际问题的解． 三、课堂总结 1．基线在测量过程中，我们把根据测量的需要而确定的线段叫做基线 实际测量中的有关名称、术语南偏西60°（指以正南方向为始边，转向目标方向线形成的角）1．若P 在Q 的北偏东44°50′方向上，则Q 在P 的（ ） A ．东偏北45°10′方向上 B ．东偏北45°50′方向上 C ．南偏西44°50′方向上 D ．西偏南45°50′方向上解析：选C ．如图所示．2．如图，D ，C ，B 三点在地面同一直线上，从地面上C ，D 两点望山顶A ，测得它们的仰角分别为45°和30°，已知CD ＝200米，点C 位于BD 上，则山高AB 等于（ ）A ．1002米B ．50（3＋1）米C ．100（3＋1）米D ．200米解析：选C ．设AB ＝x 米，在Rt △ACB 中，∠ACB ＝45°， 所以BC ＝AB ＝x ．在Rt △ABD 中，∠D ＝30°，则BD ＝3AB ＝3x ． 因为BD －BC ＝CD ，所以3x －x ＝200， 解得x ＝100（3＋1）．故选C ．3．已知台风中心位于城市A 东偏北α（α为锐角）度的150公里处，以v 公里/小时沿正西方向快速移动，2．5小时后到达距城市A 西偏北β（β为锐角）度的200公里处，若cos α＝34cos β，则v ＝（ ）A ．60B ．80C ．100D ．125解析：选C ．画出图象如图所示，由余弦定理得（2．5v ）2＝2002＋1502＋2×200×150cos （α＋β）①，由正弦定理得150sin β＝200sin α，所以sin α＝43sin β．又cos α＝34 cos β，sin 2 α＋cos 2 α＝1，解得sin β＝35，故cos β＝45，sin α＝45，cos α＝35，故cos （α＋β）＝1225－1225＝0，代入①解得v ＝100．4．某巡逻艇在A 处发现在北偏东45°距A 处8海里处有一走私船，正沿南偏东75°的方向以12海里/小时的速度向我岸行驶，巡逻艇立即以123海里/小时的速度沿直线追击，问巡逻艇最少需要多长时间才能追到走私船，并指出巡逻艇的航行方向．解：设经过t 小时在点C 处刚好追上走私船，依题意：AC ＝123t ，BC ＝12t ，∠ABC ＝120°， 在△ABC 中，由正弦定理得123t sin 120°＝12tsin ∠BAC，所以sin ∠BAC ＝12，所以∠BAC ＝30°，所以AB ＝BC ＝8＝12t ，解得t ＝23，航行的方向为北偏东75°．即巡逻艇最少经过23小时可追到走私船，沿北偏东75°的方向航行．坚持希望一天，一个瞎子和一个瘸子结伴去寻找那种仙果，他们一直走呀走，途中他们翻山越岭。
《平面向量数量积》教案
《平面向量数量积》教案一、教学目标1. 理解平面向量的概念，掌握向量的表示方法。
2. 掌握向量的数量积运算，了解数量积的性质和运算规律。
3. 能够运用数量积解决实际问题，提高数学应用能力。
二、教学内容1. 向量的概念及表示方法2. 向量的数量积定义及计算公式3. 数量积的性质和运算规律4. 数量积在坐标系中的运算5. 数量积的应用三、教学重点与难点1. 重点：向量的概念，数量积的计算公式，数量积的性质和运算规律。
2. 难点：数量积在坐标系中的运算，数量积的应用。
四、教学方法1. 采用讲授法，讲解向量及数量积的基本概念、性质和运算规律。
2. 利用案例分析法，分析数量积在实际问题中的应用。
3. 利用数形结合法，直观展示数量积在坐标系中的运算。
4. 引导学生通过小组讨论、探究，提高学生的参与度和自主学习能力。
五、教学安排1. 第一课时：向量的概念及表示方法2. 第二课时：向量的数量积定义及计算公式3. 第三课时：数量积的性质和运算规律4. 第四课时：数量积在坐标系中的运算5. 第五课时：数量积的应用六、教学过程1. 导入：通过复习实数乘法的分配律，引导学生思考向量数量积的定义。
2. 讲解向量的概念，向量的表示方法，向量的几何直观。
3. 引入向量数量积的概念，讲解数量积的计算公式。
4. 通过实例，演示数量积的运算过程，让学生感受数量积的意义。
5. 总结数量积的性质和运算规律，引导学生发现数量积与向量坐标的关系。
七、案例分析1. 利用数量积解释物理学中的力的合成与分解。
2. 利用数量积解决几何问题，如求解平行四边形的对角线长度。
3. 利用数量积判断两个向量是否垂直。
八、数量积在坐标系中的运算1. 讲解坐标系中向量的表示方法，向量的坐标运算。
2. 推导数量积在坐标系中的运算公式。
3. 通过实例，演示数量积在坐标系中的运算过程。
4. 引导学生掌握数量积在坐标系中的运算方法，提高运算能力。
九、数量积的应用1. 利用数量积解决线性方程组。
平面向量的应用教案
平面向量的应用教案一、教学目标1. 了解平面向量的概念和性质；2. 掌握平面向量的加法、减法和乘法运算法则；3. 能够应用平面向量解决简单的几何和物理问题。
二、教学内容1. 平面向量的定义和表示；2. 平面向量的加法和减法；3. 平面向量的数量积和向量积；4. 平面向量在几何和物理问题中的应用。
三、教学过程步骤一：引入1. 通过展示一些与平面向量相关的真实生活例子，引起学生对平面向量的兴趣和好奇心。
2. 引导学生思考并讨论平面向量的定义和表示方法。
步骤二：知识讲解1. 介绍平面向量的定义：一个平面向量是由大小和方向确定的有向线段。
2. 解释平面向量的表示方法：以坐标表示和以向量符号表示。
3. 讲解平面向量的加法和减法运算法则。
步骤三：运算实践1. 给出一些平面向量的具体数值，让学生进行加法和减法运算练。
2. 提供一些几何图形，让学生将其分解为平面向量并进行计算。
步骤四：引入向量积和数量积1. 介绍向量积和数量积的概念和定义。
2. 解释向量积和数量积在几何和物理问题中的应用。
步骤五：应用实例1. 给出一些具体的几何和物理问题，让学生运用平面向量的知识进行求解。
2. 引导学生讨论解题思路，进行实际操作。
四、教学评价1. 在课堂上进行小组讨论和问题解答，检验学生是否理解和掌握了平面向量的相关知识。
2. 布置一些练题和作业，评估学生对平面向量运算的应用能力。
五、教学资源1. 平面向量的教学课件；2. 练题和作业。
六、教学反思以学生为中心，注重综合实践和问题解决能力的培养，通过生动的例子和实际运用让学生更好地理解和应用平面向量的知识。
同时，及时反馈学生的学习情况，帮助他们及时纠正错误和理清思路。
平面向量的数量积与应用教案
平面向量的数量积与应用教案一、引言平面向量是数学中重要的概念之一，它在几何、物理等领域具有广泛的应用。
其中，数量积作为平面向量的一种运算方式，被广泛运用于解决多种实际问题。
本教案旨在通过介绍平面向量的数量积及其应用，帮助学生掌握相关的概念和运算方法。
二、数量积的定义数量积，也称为点积或内积，是两个向量之间进行的一种运算。
对于两个平面向量a 和 b，它们的数量积可以表示为a·b，即：a·b = |a| |b| cosθ其中，|a| 和 |b| 分别表示向量 a 和 b 的模，θ表示向量 a 和 b 之间的夹角。
三、数量积的运算性质1. 交换律：a·b = b·a2. 分配律：(a+b)·c = a·c + b·c3. 数量积为零的条件：若 a·b = 0，则 a 和 b 两向量垂直。
四、数量积的几何意义数量积有着重要的几何意义。
当两个向量的数量积为正时，表示它们的方向较为接近；当数量积为负时，表示它们的方向较为背离；当数量积为零时，表示它们垂直。
五、数量积的应用数量积在几何、物理等领域有着广泛的应用。
以下是其中几个常见的应用场景：1. 判断两个向量的关系：通过计算两个向量的数量积，可以判断它们的夹角大小，从而了解两个向量之间的关系，比如是否垂直或平行。
2. 求向量在某一方向上的投影：通过数量积的计算，可以求得一个向量在另一个向量上的投影长度，从而进一步计算出向量在某一方向上的投影。
3. 计算力的功：在物理学中，力的功可以通过计算力和位移之间的数量积得到。
功等于力乘以移动的距离和夹角的余弦值。
4. 计算三角形的面积：数量积还可以用来计算三角形的面积。
当给定两条边和它们之间的夹角时，可以通过数量积公式计算出三角形的面积。
六、教学活动为了帮助学生更好地理解和应用数量积，以下是一些教学活动的建议：1. 理论讲解：教师可以通过简洁明了的语言，结合实际例子，向学生讲解数量积的定义、运算性质和几何意义。
平面向量数量积的教学设计
平面向量数量积的教学设计教学设计：平面向量数量积课时安排：本教学设计为一次课时的教学内容。
一、教学目标：1.理解平面向量的数量积的概念及其性质；2.掌握平面向量的数量积的计算方法；3.能够运用平面向量的数量积解决实际问题。
二、教学内容：1.平面向量的数量积的概念；2.平面向量的数量积的性质；3.平面向量的数量积的计算方法；4.平面向量的数量积在实际问题中的应用。
三、教学过程：步骤一：导入新知（5分钟）1.提问：大家知道平面向量的数量积是什么吗？它有哪些性质？2.学生回答并讨论。
步骤二：概念讲解（15分钟）1.通过投影的方法引入平面向量的数量积的概念。
2. 定义平面向量的数量积：对于平面内的任意两个向量a和b，它们的数量积记作a·b或者ab，定义为a·b=，a，b，cosθ，其中θ是a和b之间的夹角。
3.解释平面向量数量积的含义和作用。
步骤三：性质讲解（15分钟）1.定理1：若a和b是两个平面向量，那么a·b=0的充要条件是a 和b垂直。
2.定理2：若a、b、c是三个平面向量，那么(a+b)·c=a·c+b·c。
3.定理3：平面向量的数量积满足交换律和结合律。
步骤四：计算方法（20分钟）1.计算平面向量的数量积的方法：a. 坐标法：根据坐标计算向量的数量积，公式为：a·b=ax*bx+ay*by；b. 模长法：根据向量的模长和夹角计算向量的数量积，公式为：a·b=，a，b，cosθ。
2.通过示例演示数量积的计算方法。
步骤五：应用（20分钟）1.给出一些实际问题，要求学生运用平面向量的数量积来解决问题，例如：求两个向量所夹角的大小、判断两个向量是否垂直等。
2.学生分组讨论并解决问题。
3.学生展示解题过程和答案。
四、课堂练习与作业布置：1.在课堂上进行练习题的讲解，加深学生对平面向量的数量积的理解；2.布置相应的作业，要求学生练习平面向量的数量积的计算和应用。
第四章 第三节 平面向量的数量积及平面向量应用举例
1. 理解平面向量数量积的含义及其物理意义． 理解平面向量数量积的含义及其物理意义． 2．了解平面向量的数量积与向量投影的关系． ．了解平面向量的数量积与向量投影的关系． 3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量 ．掌握数量积的坐标表达式， 积的运算． 积的运算． 4．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积 ．能运用数量积表示两个向量的夹角， 判断两个平面向量的垂直关系． 判断两个平面向量的垂直关系． 5．会用向量方法解决某些简单的平面几何问题． ．会用向量方法解决某些简单的平面几何问题． 6．会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实 ． 际问题． 际问题．
(2)法一：a－2b＝(3，－ －2(2,1)＝(－1，－ ， 法一： － ＝ ，－ ，－4)－ ，－6)， 法一 ＝ － ，－ 2a＋3b＝2(3，－ ＋3(2,1)＝(12，－ ， ＋ ＝ ，－ ，－4)＋ ，－5)， ＝ ，－ (a－2b)·(2a＋3b)＝(－1)×12＋(－6)×(－5)＝18. － ＋ ＝－ × ＋－ ×－ ＝ 法二： － 法二：(a－2b)·(2a＋3b)＝2a2－a·b－6b2 ＋ ＝ － ＝2[32＋(－4)2]－[3×2＋(－4)×1]－6(22＋12)＝18. － － ＋－ － ＝
三、向量数量积的性质 〈 ， 〉 1．如果e是单位向量，则a·e＝e·a＝ |a|cos〈a，e〉． ．如果 是单位向量 是单位向量， ＝ ＝ ＝ 2．a⊥b⇒ a·b＝0 且a·b＝0⇒ a⊥b. ． ⊥ ⇒ ＝ ⇒ ⊥ 3．a·a＝ |a| ，|a|＝ a·a . ． ＝ ＝ 4．cos〈a，b〉＝ ． 〈 ， 〉 5．|a·b| ≤ |a||b|. ．
[题组自测 题组自测] 题组自测 1．已知下列结论：①|a|2＝a2；②(a·b)2＝a2·b2；③(a－ ．已知下列结论： － b)2＝a2－2a·b＋b2；④若a2＝a·b，则a＝b，其中正确 ＋ ， ＝ ， 的个数有 A．1 ． C．3 ． 答案： 答案：B B．2 ． D．4 ． ( )
4.3 平面向量的数量积
4.3 平面向量的数量积一、填空题(本大题共9小题，每小题6分，共54分)1．(2010·常州模拟)向量a ＝(cos 15°，sin 15°)，b ＝(－sin 15°，－cos 15°)，则|a －b |的值是__________．解析 由题设，|a |＝1，|b |＝1，a·b ＝－sin(15°＋15°)＝－12. ∴|a －b |2＝a 2＋b 2－2a·b ＝1＋1－2×⎝⎛⎭⎫－12＝3. ∴|a －b |＝ 3.答案 32.（2009·浙江温州十校联考）在边长为1的正三角形ABC 中，设BC →＝a ，AB →＝c ，AC →＝b ，则a·b ＋b·c ＋c·a ＝______________________.解析 如图所示，a +c =b ，a ·b +b ·c +c ·a=b ·(a +c )+a ·c =b 2+a ·c=1+|a |·|c |cos 〈a ，c 〉 =1+cos 120°=.21答案 21 3．(2010·广东韶关一中模拟)若向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，则a·b ＋b·b 的值为________．解析 a·b ＋b·b ＝|a|·|b |·cos 60°＋|b |2＝1×2×12＋4＝5. 答案 54．(2009·重庆改编)已知|a |＝1，|b |＝6，a ·(b －a )＝2，则向量a 与b 的夹角是________．解析 ∵a ·(b －a )＝a ·b －a 2＝2，∴a ·b ＝2＋a 2＝3∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝31×6＝12，∴a 与b 的夹角为π3. 答案 π35．(2009·福建福州期末)若a 与b －c 都是非零向量，则“a·b ＝a·c ”是“a ⊥(b －c )”的__________________条件．解析 若a ⊥(b －c )，则a·(b －c )＝0⇔a·b －a·c ＝0⇔a·b ＝a·c .答案 充要6.（2010·天津六校联考）点O 是三角形ABC 所在平面内的一点，满足OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →，则点O 是△ABC 的________心．解析 OA →·OB →＝OB →·OC →，得OB →·OA →－OB →·OC →＝0，即OB →·(OA →－OC →)＝0，∴OB →·CA →＝0，∴OB →⊥CA →.同理可得OA →⊥BC →，OC →⊥AB →.∴O 是三角形三条高线的交点．答案 垂7.（2008·江西理，13）直角坐标平面内三点A （1，2）、B （3，-2）、C （9，7），若E 、F为线段BC 的三等分点，则=⋅ .解析 ),9,6(=).6,4(32),3,2(31====∴ 又),4,2(-=.22)1(64),2,6(),1,4(=⨯-+⨯=⋅∴=+=-=+=∴BF AB AF BE AB AE答案 228．(2009·辽宁改编)平面向量a 与b 的夹角为60°，a ＝(2,0)，|b |＝1，则|a ＋2b |＝________.解析 a ＝(2,0)，故|a |＝2，|a ＋2b |＝(a ＋2b )2＝a 2＋4a ·b ＋4b 2.∵a ·b ＝|a |·|b |·cos 60°＝1，∴|a ＋2b |＝4＋4＋4＝2 3.答案 2 39.（2009·陕西改编）在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM =1，点P 在AM 上且满足 =2PM →＝2PM →，则·(PB →·(PB →＋PC →)＝________.解析 M 是BC 的中点，则.94)32()(2)(22-=-=-=⋅=⋅=+⋅答案 －49二、解答题(本大题共3小题，共46分)10．(14分)(2010·山东临沂一模)向量a ＝(cos 23°，cos 67°)，向量b ＝(cos 68°，cos 22°)．(1)求a·b ；(2)若向量b 与向量m 共线，u ＝a ＋m ，求u 的模的最小值．解 (1)a·b ＝cos 23°·cos 68°＋cos 67°·cos 22°＝cos 23°·sin 22°＋sin 23°·cos 22°＝sin 45°＝22.(2)由向量b 与向量m 共线，得m ＝λb (λ∈R )，u ＝a ＋m ＝a ＋λb＝(cos 23°＋λcos 68°，cos 67°＋λcos 22°)＝(cos 23°＋λsin 22°，sin 23°＋λcos 22°)，|u |2＝(cos 23°＋λsin 22°)2＋(sin 23°＋λcos 22°)2＝λ2＋2λ＋1＝⎝⎛⎭⎫λ＋222＋12，∴当λ＝－22时，|u |有最小值为22.11．(16分)(2010·浙江台州月考)已知平面上三个向量a 、b 、c 的模均为1，它们相互之间的夹角均为120°.(1)求证：(a －b )⊥c ；(2)若|k a ＋b ＋c |>1 (k ∈R )，求k 的取值范围．(1)证明 ∵(a －b )·c ＝a·c －b·c＝|a|·|c |·cos 120°－|b|·|c |·cos 120°＝0，∴(a －b )⊥c .(2)解 |k a ＋b ＋c |>1⇔|k a ＋b ＋c |2>1，⇔k 2a 2＋b 2＋c 2＋2k a ·b ＋2k a ·c ＋2b·c >1.∵|a |＝|b |＝|c |＝1，且a 、b 、c 相互之间的夹角均为120°，∴a 2＝b 2＝c 2＝1，a·b ＝b·c ＝a·c ＝－12， ∴k 2＋1－2k >1，即k 2－2k >0，∴k >2或k <0.12．(16分)(2009·广东广州二模)已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫cos 3x 2，－sin 3x2，b ＝⎝⎛⎭⎫cos x2，sin x2，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2.若函数f (x )＝a·b －12λ|a ＋b |的最小值为－32，求实数λ的值．解 ∵|a |＝1，|b |＝1，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，cos x ∈[0,1]．∴a·b ＝cos 3x 2cos x 2－sin 3x 2sin x2＝cos 2x ，|a ＋b |＝(a ＋b )2＝a 2＋2a·b ＋b 2＝2＋2cos 2x ＝2|cos x |＝2cos x .∴f (x )＝cos 2x －λcos x ＝2cos 2x －λcos x －1 ＝2⎝⎛⎭⎫cos x －λ42－λ28－1，①当λ<0时，取cos x ＝0，此时f (x )取得最小值， 并且f (x )min ＝－1≠－32，不合题意．②当0≤λ≤4时，取cos x ＝λ4，此时f (x )取得最小值，并且f (x )min ＝－λ28－1＝－32，解得λ＝2.③当λ>4时，取cos x ＝1，此时f (x )取得最小值， 并且f (x )min ＝1－λ＝－32，解得λ＝52，不符合λ>4舍去，∴λ＝2.。
平面向量的数量积教案
平面向量的数量积教案一、教学目标：1. 理解平面向量的数量积的定义及其几何意义。
2. 掌握平面向量的数量积的计算公式及运算性质。
3. 学会运用平面向量的数量积解决实际问题。
二、教学内容：1. 平面向量的数量积的定义向量的数量积又称点积，是指两个向量在数量上的乘积。
对于平面向量a和b，它们的数量积定义为：a·b = |a||b|cosθ，其中|a|和|b|分别表示向量a和b的模长，θ表示向量a和b之间的夹角。
2. 平面向量的数量积的几何意义（1）向量a和b的夹角为θ时，它们的数量积|a||b|cosθ表示在平行四边形法则下，向量a和b共同作用于某一点产生的合力的大小。
（2）向量a和b的夹角为90°时，它们的数量积为0，表示向量a和b垂直。
3. 平面向量的数量积的计算公式及运算性质（1）计算公式：a·b = |a||b|cosθ（2）运算性质：①交换律：a·b = b·a②分配律：a·(b+c) = a·b + a·c③数乘律：λa·b = (λa)·b = λ(a·b)三、教学重点与难点：1. 教学重点：平面向量的数量积的定义、几何意义、计算公式及运算性质。
2. 教学难点：平面向量的数量积的几何意义的理解及应用。
四、教学方法：1. 采用讲授法，讲解平面向量的数量积的定义、几何意义、计算公式及运算性质。
2. 利用多媒体课件，展示平面向量的数量积的图形演示，增强学生的直观感受。
3. 结合例题，引导学生运用平面向量的数量积解决实际问题。
五、课后作业：1. 理解并掌握平面向量的数量积的定义、几何意义、计算公式及运算性质。
2. 完成课后练习题，巩固所学知识。
3. 思考如何运用平面向量的数量积解决实际问题。
六、教学案例与分析：1. 案例一：在平面直角坐标系中，有两个向量a = (3, 2)和b = (4, -1)，求向量a和b的数量积。
第__3__讲___平面向量的数量积及平面向量应用举例
1．理解平面向量数量积的含义及其物理意义． ．理解平面向量数量积的含义及其物理意义． 2．了解平面向量的数量积与向量投影的关系． ．了解平面向量的数量积与向量投影的关系． 3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算． ．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算． 4．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向 ．能运用数量积表示两个向量的夹角， 量的垂直关系． 量的垂直关系． 5．会用向量方法解决某些简单的平面几何问题． ．会用向量方法解决某些简单的平面几何问题． 6．会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题． ．会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．
迁移发散 2．在直角△ABC中，已知＝(2,3)，＝(1，k)，求k的值． ．在直角△ 的值． 中 已知＝ ， ， ， 的值
考向三 平面向量的夹角与模的问题
1 1 【例 3】 已知 ＝ 1，a·b＝ ， (a－ b)·(a＋b)＝ . 】 已知|a|＝ ， ＝ － ＋ ＝ 2 2 的夹角； 求： (1)a 与 b 的夹角； (2)a－b 与 a＋b 的夹角的余弦值． － ＋ 的夹角的余弦值． 1 1 解：(1)∵(a－b)·(a＋b)＝ ，∴|a|2－|b|2＝ ， 2 2 1 2 又∵|a|＝1，∴|b|＝ |a|2－ ＝ . 2 2 设 a 与 b 的夹角为 θ， 1 a·b 2 2 则 cos θ＝ ＝ ＝ ， |a||b| 2 2 1· 2 ∵0°≤θ≤180°，∴θ＝45°.
解析： ＝ ， ，则有2a＋ ＝ ＋ ＋ ＝ 解析：设b＝(x，y)，则有 ＋b＝(8＋x,6＋y)＝(3,18)， ， 解得b＝ － 解得 ＝(－5,12)，故cos〈a，b〉＝ ， 〈 ， 〉 答案： 答案：C
高三数学一轮复习平面向量的数量积及应用教案
本讲以选择题、填空题考察本章的基本概念和性质，重点考察平面向量的数量积的概念及应用。重点体会向量为代数几何的结合体，此类题难度不大，分值5~9分。
平面向量的综合问题是“新热点”题型，其形式为与直线、圆锥曲线、三角函数等联系，解决角度、垂直、共线等问题，以解答题为主。
预测2017年高考：
（1）一道选择题和填空题，重点考察平行、垂直关系的判定或夹角、长度问题；属于中档题目。
法二： · ＝ ·( ＋ )
＝ ·( ＋ ＋ )
＝2 · ＋ ·
＝2| |·| |·cos ，
＝2×| |·| |·
＝2×| |2＝2×32＝18.
(1)C (2) 18
由题悟法
平面向量数量积问题的类型及求法
(1)已知向量a，b的模及夹角θ，利用公式a·b＝|a||b|·cosθ求解；
(2)已知向量a，b的坐标，利用数量积的坐标形式求解．
以题试法
2．(1)设向量a＝(x－1,1)，b＝(－x＋1,3)，则a⊥(a－b)的一个充分不必要条件是( )
A．x＝0或2 B．x＝2
C．x＝1 D．x＝±2
(2)已知向量a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝a＋λb(λ∈R)，向量d如图所示，则( )
A．存在λ>0，使得向量c与向量d垂直
B．存在λ>0，使得向量c与向量d夹角为60°
2．向量的应用
（1）向量在几何中的应用；
（2）向量在物理中的应用。
二．典例分析
(1)若向量a＝(1, 1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)满足条件(8a－b)·c＝30，则x＝( )
A．6B．5
C．4D．3
(2) (2012·湖南高考)如图，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，且AP＝3，则 · ＝________.
《平面向量的数量积及运算律》教案及说明
5.平面向量数量积的运算律:
（1）
（2）数乘向量的结合律：( ) = ( ) = ( )
（3）分配律：( + ) = +
（引导学生利用数量积的定义证明）
不满足结合律: （作为思考题留给学生课余去证明）
（三）例题讲解
例1、求证：
（1）
（2）
例2、
（四）巩固练习
1、判断正误，说明理由。
①若 = ，则对任一向量 ，有 · =0；
平面向量的数量积及运算律
一、教学目标
1.正确理解平面向量的数量积的概念，能够运用这一概念求两个向量的数量积，并能根据条件逆用等式求向量的夹角；
2.掌握平面向量的数量积的5条重要性质及运算律，并能运用这些性质解决有关问题；
3.通过平面向量的数量积的概念，几何意义，重要性质及运算律的应用，培养学生的应用意识.
二、教学重点，教学难点
教学重点平面向量的数量积的概念、重要性质及运算律
教学难点平面向量的数量积的重要性质及运算律的理解和应用.
三、教具三角尺，实物投影仪，多媒体
四、教学方法
启发引导式
本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义，理解定义之后便可引导学生推导数量积的性质及运算律，然后通过习题加深学生对于平面向量数量积的认识.
②若 ≠ 则对任一 ≠ ，有 · ≠0；
③若 ≠ ， · =0，则 ；
④若 · =0，则 ， 中至少有一个为 ；
⑤对任一向量 ，有 ； ⑥
2、已知 =4， =5，当① // ② ⊥ ③ 与 的夹角为 时，分别求 与 的数量积。
（五）归纳小结：
1、平面向量的夹角：
（1）两向量要共起点； （2）范围：
2、平面向量的数量积定义和几何意义；
向量第三节《平面向量的数量积及向量的应用》
高三文科 第三节《平面向量的数量积及向量的应用》 （ ）月（ ）日审稿人：高三数学组全体教师 星期 授课类型： 复习课学习目标1.通过自主学习准确记忆两向量夹角、范围、垂直的定义，向量在轴上正射影的求法，向量数量积的2.定义、性质、运算律及坐标运算. 通过自学检测和课堂检测的训练，会求向量的夹角，能应用向量 坐标进行数量积、夹角运算.3. 通过合作探究，初步体会向量与三角、不等式的交汇问题.4. 通过合作探究和课堂讲解，提高分析问题的能力和定时解题能力.课堂内容展示一、知识梳理： （一）两个向量的夹角1.已知两个非零向量a r 和b r ，作OA a =u u u r r ，OB b =u u u r r ，则AOB ∠称作向量a r 和向量b r的夹角，记作,a b <>r r. 注意：两个向量的夹角必须保证起点相同。
2.范围：向量夹角,a b <>r r 的范围是0,a b π≤<>≤r r ，且,,a b b a <>=<>r r r r.3.向量垂直：如果,2a b π<>=r r ，则a r 与b r 垂直，记作a b ⊥r r .规定零向量与任意向量垂直.（二）向量在轴上的正射影已知向量a r 和轴l ，作OA a =u u u r r，过点O A 、分别作轴l 的垂线，垂足分别为11O A 、，则向量11O A u u u u r叫做向量a r 在轴l 上的正射影，该射影在轴上的坐标，称作a r 在轴l 上的数量或在轴l 的方向上的数量.OA a =u u u r r 在轴l 上正射影的坐标记作l a ，向量a r的方向与轴l 的方向所成的角为θ，则由三角函数中的余弦定义有||cos l a a θ=r.（三）向量的数量积1.平面向量数量积的定义：||||cos ,a b a b <>r r r u u u r叫做向量a r 和b r 的数量积（或内积），记 作a b ⋅=r r ||||cos ,a b a b <>r r r u u u r .2.向量数量积的性质：（1）如果e r是单位向量，则||cos ,a e e a a a e ⋅=⋅=<>r r r r r r r .（2）0a b a b ⊥⇔⋅=r r r r规律总结图示（3）2||,||a a a a a a ⋅==⋅r r r r r r（4）cos (||||0)||||a b a b a b θ⋅=≠r rr rr r（5）||||||a b a b ⋅≤r r r r3.数量积的运算律：（1）交换律：a b b a ⋅=⋅r r r r（2）分配律：()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅r r r r r r r（3）对,()()()R a b a b a b λλλλ∈⋅=⋅=⋅r r r r r r4.数量积的坐标运算。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2 / 33
复习预习 1. 2. 3. 两个向量的夹角概念及求法 平面向量基本定理及其坐标表示方法 平面向量的坐标运算法则
3 / 33
知识讲解 考点 1 平面向量的数量积
平面向量数量积的定义 已知两个非零向量 a 和 b， 它们的夹角为 θ， 把数量|a||b|cos θ 叫做 a 和 b 的数量积(或内积)， 记作 a· b.即 a· b＝|a||b|cos θ，规定 0· a＝0.
20 / 33
3．已知圆 O 的半径为 1，PA、PB 为该圆的两条切线，A、B 为两切点，那么 PA · PB 的最小值为( A．－4＋ 2 C．－4＋2 2 B．－3＋ 2 D．－3＋2 2
)
21 / 33
解析：选 D 设∠APB＝2θ，| PO |＝x，则 PA · | PB |· cos 2θ＝| PA |2cos 2θ＝(| PO |2－1)· (1－2sin2θ)＝(x2－ PB ＝| PA |· 2 2 2 4 1－x2＝x2－2－1＋ 2≥－3＋2 2，当且仅当 x2＝ 2即 x＝ 2时取等号． 1)· x x
17 / 33
解析：选 B 由 a⊥b，可得 a· b＝0，即 x－2＝0，得 x＝2，所以 a＋b＝(3，－1)，故|a＋b|＝
32＋
－
2
＝ 10.
18 / 33
2．如图，在△ABC 中，AD⊥AB， BC ＝ 3 BD ，| AD |＝1，则 AC · AD ＝( A．2 3 3 C．－ 2 3 B. 2 D. 3
2 11 3± 13 综上可得 k 的值为－3或 3 或 2 .
13 / 33
【例题 4】 【题干】在△ABC 中，已知 2 AB · | AC |＝3| BC |2，求角 A，B，C 的大小． AC ＝ 3| AB |·
14 / 33
【解析】设 BC＝a，AC＝b，AB＝c，
∵由 2 AB · | AC |得 2bccos A＝ 3bc， AC ＝ 3| AB |· 3 ∴cos A＝ 2 ， π 又∵A∈(0，π)，∴A＝6. 由 3| AB |· | AC |＝3| BC |2 得 bc＝ 3a2， 3 由正弦定理得 sin C· sin B＝ 3sin2A＝ 4 ，
28 / 33
π 3π 7．已知 A，B，C 的坐标分别为 A(3,0)，B(0,3)，C(cos α，sin α)，α∈2， 2 . (1)若| AC |＝| BC |，求角 α 的值； 2sin2α＋sin 2α (2)若 AC · 的值． BC ＝－1，求 1＋tan α
29 / 33
平面向量的数量积及平面向量的应用
适用学科 适用区域 知 识 点 数学 新课标 适用年级 课时时长 高三 60 分钟
平面向量数量积的概念及几何意义；平面向量数量积的性质；平面向量数量积的运算律 平面向量数量积的坐标表示；平面向量模的坐标表示；平面向量平行的坐标表示 平面向量垂直的坐标表示；平面向量的应用 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义．了解平面向量的数量积与向量投影的关系． 教学目标 2.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算． 3.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系． 4.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题. 教学重点 教学难点 平面向量的数量积的有关运算，利用数量积求解平面向量的夹角、模，以及两向量的垂直关系 平面向量的数量积的有关运算，利用数量积求解平面向量的夹角、模，以及两向量的垂直关系
＝ 2，则 AE · BF 的值是________．
7 / 33
【答案】 2 【解析】以 A 为坐标原点，AB，AD 所在的直线分别为 x，y 轴建立直角坐标系，则 B( 2，0)，E( 2，
1)，D(0,2)，C( 2，2)．设 F(x,2)(0≤x≤ 2)，由 AB · BF ＝ AF ＝ 2⇒ 2x＝ 2⇒x＝1，所以 F(1,2)， AE · ( 2，1)· (1－ 2，2)＝ 2.
)
19 / 33
解析：选 D 建系如图． 设 B(xB,0)，D(0,1)，C(xC，yC)， BC ＝(xC－xB，yC)，xC－xB＝－ 3xB⇒xC＝(1－ 3)· xB，yC＝ 3， AC ＝((1－ 3)xB， 3)， AD ＝(0,1)， AC · AD ＝ 3.
24 / 33
5．(2012· 湖南高考)如图，在平行四边形 ABCD 中，AP⊥BD，垂足为 P，且 AP＝3，则 AP · AC ＝________.
25 / 33
解析：设 AC 与 BD 的交点为 O，则 AP · 2 AO ＝2 AP 2＋2 AP · 32＋0＝18. AC ＝ AP · PO ＝2× 答案：18
27 / 33
解析：由于 a2≥0，b2≥0，所以，若 a2＋b2＝0，则 a＝b＝0，故①正确； 若 a＋b＝0，则 a＝－b，又 a，b，c 是三个非零向量，所以 a· c＝－b· c，所以|a· c|＝|b· c|，②正确； a，b 共线⇔a· b＝± |a||b|，所以③错； 对于④，应有|a||b|≥a· b，所以④错； 对于⑤，应该是 a· a· a＝|a|2a，所以⑤错； a2＋b2≥2|a||b|≥2a· b，故⑥正确； 当 a 与 b 的夹角为 0° 时，也有 a· b>0，因此⑦错； |b|cos θ 表示向量 b 在向量 a 方向上的射影的数量，可取全体实数，而非射影长，故⑧错．综上可知①②⑥正确． 答案：①②⑥
12 / 33
【解析】(1)当 A＝90° 时，
∵ AB ⊥ AC ，∴ AB · AC ＝0. 2 ∴2×1＋3k＝0，解得 k＝－3. (2)当 B＝90° 时，∵ AB ⊥ BC ， 又 BC ＝ AC － AB ＝(1，k)－(2,3)＝(－1，k－3)， ∴ AB · BC ＝2×(－1)＋3×(k－3)＝0， 11 解得 k＝ 3 . (3)当 C＝90° 时， ∵ AC ⊥ BC ，∴1×(－1)＋k(k－3)＝0， 即 k2－3k－1＝0.∴k＝ 3± 13 2 .
5π 3 ∴sin C· sin 6 －C＝ 4 ， 1 3 3 cos C＋ sin C＝ ， 即 sin C· 4 2 2
∴2sin C· cos C＋2 3sin2C＝ 3， ∴sin 2C－ 3cos 2C＝0，
15 / 33
π ∴sin2C－3＝0，
1 / 33
教学过程
课堂导入 一只猴子捡到一把钝刀，连小树也砍不断．于是它向砍柴人请教，砍柴人说“把刀放到石头上磨一磨”．于是猴子 高兴地飞奔回去，立刻把刀放在一块石头上拼命地磨．直到它发现刀口和刀背差不多厚了，便停下来……结果当然是失 败的．难道猴子没有做功吗？不！难道猴子没有用心吗？不！但是做功≠成功．物理学当中的做功在数学中叫做什么？ 是如何表示的呢？
26 / 33
【拔高】 6．下列判断： ①若 a2＋b2＝0，则 a＝b＝0； ②已知 a，b，c 是三个非零向量，若 a＋b＝0，则|a· c|＝|b· c|； ③a，b 共线⇔a· b＝|a||b|； ④|a||b|<a· b； ⑤a· a· a＝|a|3； ⑥a2＋b2≥2a· b； ⑦非零向量 a，b 满足 a· b>0，则 a 与 b 的夹角为锐角； ⑧若 a，b 的夹角为 θ，则|b|cos θ 表示向量 b 在向量 a 方向上的射影的数量． 其中正确的是________．
解：(1)∵ AC ＝(cos α－3，sin α)， BC ＝(cos α，sin α－3)， ∴ AC 2＝(cos α－3)2＋sin2α＝10－6cos α，
BC 2＝cos2α＋(sin α－3)2＝10－6sin α.
由| AC |＝| BC |，可得 AC 2＝ BC 2，即 10－6cos α＝10－6sin α，得 sin α＝cos α. 5π π 3π 又∵α∈2， 2 ，∴α＝ . 4 (2)由 AC · BC ＝－1， 得(cos α－3)cos α＋sin α(sin α－3)＝－1， 2 ∴sin α＋cos α＝3.① 2sin2α＋sin 2α 2sin2α＋2sin αcos α 又 ＝ ＝2sin αcos α， sin α 1＋tan α 1＋cos α 4 由①式两边分别平方，得 1＋2sin αcos α＝9， 5 ∴2sin αcos α＝－9. 2sin2α＋sin 2α 5 ∴ ＝－9. 1＋tan α
π 5π 由 A＝6知 0<C< 6 ， π π 4π ∴－3<2C－3< 3 ， π π 从而 2C－3＝0 或 2C－3＝π， π 2π 即 C＝6或 C＝ 3 . π 2π π π π 2π 故 A＝6，B＝ 3 ，C＝6或 A＝6，B＝6，C＝ 3 .
16 / 33
课堂运用 【基础】 1．(2012· 重庆高考)设 x∈R，向量 a＝(x,1)，b＝(1，－2)，且 a⊥b，则|a＋b|＝( A. 5 C ．2 5 B. 10 D．10 )
4 / 33
考点 2
向量数量积的运算律
(1)a· b＝b· a (2)(λa)· b＝λ(a· b)＝a· (λb) (3)(a＋b)· c＝a· c＋b· c
5 / 33
考点 3
平面向量数量积的有关结论
已知非零向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2) 结论 模 夹角 a⊥b 的充要条件 |a· b|与|a||b|的关系 几何表示 |a|＝ a· a a· b cos θ＝|a||b| a· b＝0 |a· b|≤|a||b| 坐标表示 |a|＝ cos θ＝
10 / 33
设向量 a＋b＋c 与向量 a 的夹角为 θ， 3 －2 a＋b＋c· a 3 则 cos θ＝ ＝ ＝－ 2 ， |a＋b＋c||a| 3 即 θ＝150° ， 故向量 a＋b＋c 与向量 a 的夹角为 150° .