含参不等式恒成立问题
含参不等式恒成立问题例题
含参不等式恒成立问题例题在数学的世界里，有一种“含参不等式恒成立”的问题，听起来有点复杂，但实际上就像生活中的一些小窍门，掌握了就能轻松应对。
想象一下，数学就像一场舞会，里面有各种各样的舞步，有的简单易学，有的则需要你慢慢去摸索。
这些含参不等式就像那些你在舞会里需要学的舞步，只要掌握了，你就能在任何场合中游刃有余。
先说说什么是“含参不等式”。
简单来说，就是不等式中有参数，这些参数就像是调味料，放多少，怎么放，都会影响最终的结果。
参数就像是调皮的小孩子，让不等式变得难以捉摸。
可是，只要你找到合适的调味方式，不论参数怎么变化，不等式都能保持“和谐”的状态，听起来是不是很神奇？拿一个简单的例子来说吧，想象一下你在做饭，盐、糖、醋，每一样都要掌握好分量，才能做出美味的菜肴。
如果你在一道菜里放了太多盐，那就惨了，味道会让人皱眉；可是如果放得刚刚好，哇，绝对让人回味无穷。
这就是不等式的精髓，参数调得好，一切都能顺理成章。
在这道问题中，我们会遇到一些技巧，比如要学会“化简”。
有些东西，表面上看起来复杂，实际上只要你用对了方法，往往就能简单明了。
就像你在穿衣服的时候，挑选一件合适的外套，有时候那件看似简单的衣服，搭配得当，反而能让你瞬间提升气场。
其实数学也有同样的道理，化繁为简，才能找到最优解。
还有一些不等式的常用形式，比如“阿莫尔不等式”，听起来很高大上，其实就像在说：“伙计，学会了这招，你就能在不等式的海洋中畅游无阻。
”它帮助我们理解不同参数之间的关系，打下坚实的基础。
就好比你在乐队里，如果每个人都能把自己的乐器演奏得当，那整个乐队就会和谐得像一首动人的交响曲。
哦，咱们得聊聊例子了。
举个例子吧，假如有一个不等式 (a + b geq 2sqrt{ab)，听上去像是个难题，但实际上它是在说：只要你把 (a) 和 (b) 搞得好，它们的和总是大于等于它们的几何平均。
这就像你和朋友一起出去玩，不论你们买了多少东西，只要快乐是最重要的。
解答含参不等式恒成立问题的三个途径
解题宝典含参不等式恒成立问题是一类综合性较强的题型，经常同时涉及多个不同的知识点.由于问题中涉及了参数，所以在解题的过程中，我们要充分关注参数，对参数进行分离、分类讨论等.本文结合实例，对解答含参不等式恒成立问题的三种途径作一探讨.一、分离参数法分离参数法是指将不等式变形使参数和变量分离，然后构建关于变量的函数，将原问题转化为函数最值或值域问题来求解的方法.在分离出参数之后，求函数最值的方法有导数法、基本不等式法、配方法等.例1.已知函数f ()x =ln 2()1+x -x 21+x，其单调递增区间为()-1,0，单调递减区间为()0,+∞.若不等式æèöø1+1n n +a≤e 对于任意n ∈N *都成立（其中e 是自然对数的底数），求a 的最大值.解：将不等式æèöø1+1n n +a≤e 两边取对数，可得()n +a æèöø1+1n ≤1，即a ≤1ln æèöø1+1n -n ，设g ()x =1ln ()1+x -1x，x ∈(]0,1，而函数的单调递增区间为()-1,0，单调递减区间为()0,+∞，所以ln 2()1+x -x 21+x≤0，故g ′()x <0，x ∈(]0,1，即g ()x 在区间(]0,1上为减函数，因此g ()x 在(]0,1的最小值为g ()1=1ln 2-1，则a 的最大值为1ln 2-1.解答本题主要运用了分离参数法.首先将不等式进行变形使参数和变量分离，然后构造函数g ()x ，对其求导，通过讨论导函数的单调性求得g ()x 的最小值，得到a 的最大值.二、分段讨论法分段讨论法一般适用于求解需要分多种情况进行讨论的问题.在运用分段讨论法求解含参不等式恒成立问题时，需将参数或定义域区间分成几段，然后逐段讨论使不等式恒成立时的情况，最后综合所求得的结果即可.这种方法的优势在于可以将每一种情况都考虑到.例2.已知f ()x =x ||x -a -2.当x ∈[]0,1时，f ()x <0恒成立，求实数a 的取值范围.分析：已知函数式中含有绝对值，需采用分段讨论法来求解，在定义域内讨论不同区间去掉绝对值符号以及不等式恒成立的情况.解：当x =0时，显然f ()x <0成立，此时a ∈R ，当x ∈(]0,1时，由f ()x <0可得，x -2x <a <x +2x，令g ()x =x -2x ，h ()x =x +2x ，x ∈(]0,1，则g ′()x =1+2x2>0，所以g ()x 在x ∈(]0,1上是单调递增的，则g ()x max =g ()1=-1，此时h ′()x =1-2x2<0，则h ()x 是单调递减，h ()x min =h ()1=3，因此a 的取值范围是()-1,3.三、单调性法单调性法是指利用函数的单调性构造使不等式恒成立的条件，使问题获解的方法.在运用单调性法解答不等式恒成立问题时，要注意首先将不等式进行变形，构造出合适的函数，然后分析函数的单调性.例3.若定义在()0,+∞上的函数f ()x 满足f ()x +f ()y =f ()xy ，且当x >1时，不等式f ()x <0成立，若不等式f æèöøx 2+y 2≤f ()xy +f ()a 对于任意x ,y ∈()0,+∞恒成立，求实数a 的取值范围.解：设0<x 1<x 2，则x 2x 1>1，则有f æèçöø÷x 2x 1<0，所以f ()x 2-f ()x 1=f æèçöø÷x 2x 1∙x 1-f ()x 1=f æèçöø÷x 2x 1<0，即f ()x 2<f ()x 1，所以函数f ()x 在()0,+∞上为减函数，故f æèöøx 2+y 2≤f xy +f ()a ⇔f æèöøx 2+y 2≤f ()a xy⇔a +y xy+y xy≥2xy xy=2（当且仅当x =y 时取等号），所以a 的取值范围是()0,2.分离参数法、分段讨论法和单调性法都是解答含参不等式恒成立问题的方法，但它们的适用范围并不相同，分离参数法适用于求解方便将参数、变量分离的问题；分段讨论法适用于解答需要分多种情况进行讨论的问题；单调性法适用于解答函数的性质较为明显的问题.（作者单位：江苏省南通市海门四甲中学）42。
求解含参不等式恒成立问题的几个“妙招”
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含参不等式恒成立问题—任意性与存在性
１、f(x)=ax+b,x ∈ [α,β]，则：
f(x)>0恒成立＜
＞
f()>0
f()>0
f(x)<0恒成立＜
＞
f()<0
f()<0
1、一次函数型问题，利用一次函数的图像特征求解。
y
α
o
β
x
２、ax2+bx+c>0在R上恒成立的充要条件是：
a=b=0
a >0
或
C>0
Δ=b2-4ac<0
例：已知函数 f ( x) 8 x 2 16 x k ，g ( x) 2 x3 5 x 2 4 x ，其中 k 为实数 .
3] ，使 f ( x) g ( x) 恒成立，
（3） 若对 x [3，
求k的取值范围；
3] ，使 f ( x0 ) g ( x0 ) 能成立，
3] ，使 f ( x) g ( x) 恒成立，
（3） 若对 x [3，
求k的取值范围；
3] ，使 f ( x1 ) g ( x若 x1，x2 [3，
例：已知函数 f ( x) 8 x 2 16 x k ，g ( x) 2 x3 5 x 2 4 x ，其中 k 为实数 .
（4） 若 x0 [3，
求k的取值范围；
x D ：
x0 D ：
f ( x) g ( x)]min 0 f ( x ) g ( x ) [____________
f ( x) g ( x)]max 0
f ( x) g ( x) [____________
f min ( x) 0
27用含参不等式恒成立问题的解法
例1、对于不等式(1-m)x2+(m-1)x+3>0
................
(*)
（1）当| x | ≤2，不等式恒成立，求实数m的取值范围 ；
求谁,谁就是参数; 另一个是自变量
（2）当| m | ≤2，不等式恒成立，求实数x的取值范围 .
变更“主元” 解(2) : 设g(m)=(-x2+x)m+(x2-x+3) （m∈[-2,2]）法
（Ⅱ）{a|a≥-4}
练 习
设f（x）=x2-2ax+2（a∈R），g（x）=lgf（x） （1）当x∈R时，f（x）≥a恒成立，求a的取值范围； （2）若g（x）的值域为R，求a的取值范围； （3）当x∈[-1，+∞）时，f（x）≥a恒成立，求a的取值范围．
（1）{a|-2≤a≤1}； （2）{a|a≥ 或a≤2 }2
例1：已知关于x的不等式： (a-2)x2 + (a-2)x +1 ≥ 0恒成立， 试求a的取值范围.
解：由题意知： ①当a -2=0，即a =2时，不等式化为 1 ≥ 0，它恒成立，满足条件. ②当a -2≠0，即a ≠2时，原题等价于
a 2 0 2 ( a 2) 4( a 2) 0
练 已知不等式x2+mx＞4x+m-4． 习 （1）若对于0≤m≤4的所有实数m，不等式恒成立，求实数x的取值范围．
（2）若对于x≤1的所有实数x，不等式恒成立，求实数m的取值范围． （1）实数x的取值范围为：（-∞，0）∪（0，2）∪（2，+∞）； （2）实数m的取值范围是：{m|m＜4}． 求谁,谁就是参数; 另一个是自变量
f 0 ＞0 则 f 4 ＞0
含参不等式恒成立问题
专题课含参不等式恒成立问题－－参数取值范围求解策略知识梳理:“含参不等式恒成立问题”把不等式、函数、三角、几何等内容有机地结合起来，其以覆盖知识点多，综合性强，解法灵活等特点而倍受高考、竞赛命题者的青睐。
另一方面，在解决这类问题的过程中涉及的“函数与方程”、“化归与转化”、“数形结合”、“分类讨论”等数学思想对锻炼学生的综合解题能力，培养其思维的灵活性、创造性都有着独到的作用。
本文就结合实例谈谈这类问题的一般求解策略。
(一)、判别式法：●若所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。
【类型1】:一般地，对于二次函数),0()(2R x a c bx ax x f ∈≠++=,有 (1）0)(>x f 对R x ∈恒成立⎩⎨⎧<∆>⇔00a ; (2）0)(<x f 对R x ∈恒成立.0⎩⎨⎧<∆<⇔a【类型2】：设)0()(2≠++=a c bx ax x f （1）当0a >时，()0[,]f x x αβ>∈在上恒成立⎪⎩⎪⎨⎧>>-⎪⎩⎪⎨⎧<∆≤-≤⎪⎩⎪⎨⎧><-⇔0)(2020)(2βββαααf ab a b f a b 或或， ],[0)(βα∈<x x f 在上恒成立⎩⎨⎧<<⇔0)(0)(βαf f（2）当0<a 时，],[0)(βα∈>x x f 在上恒成立⎩⎨⎧>>⇔0)(0)(βαf f],[0)(βα∈<x x f 在上恒成立⎪⎩⎪⎨⎧<>-⎪⎩⎪⎨⎧<∆≤-≤⎪⎩⎪⎨⎧><-⇔0)(2020)(2βββαααf a bab f a b 或或例1．已知函数2lg[(1)(1)1]y a x a x =-+-+的定义域为R ，求实数a 的取值范围。
例2．一元二次不等式220x bx ++<在[]1,2上恒成立，求实数b 的取值范围。
由一道题谈求解含参不等式恒成立问题的思路
含参不等式恒成立问题通常较为复杂，且解题的难度较大.这类问题常与函数、导数、不等式、方程等知识相结合，侧重于考查同学们的数学抽象、逻辑推理以及数学运算能力.下面以一道例题，探讨一下求解含参不等式恒成立问题的思路.例题：已知函数f (x )=ae x -1-ln x +ln a ，若不等式f (x )≥1恒成立，求实数a 的取值范围.本题涉及了指数式e x -1、对数式ln x 以及参数a ，较为复杂.我们需将不等式进行合理的变形，构造出新函数，将问题转化为函数问题，利用函数的单调性、最值、极值、图象来解题.解答本题主要有以下三种思路.一、分离参数对于含参不等式恒成立问题，通常可采用分离参数法.即先将不等式中的参数和变量分离；然后将不含参数的式子构造成函数，通过研究函数的单调性、图象、最值，求得函数的最值，即可确定参数的取值范围.一般地，a >f (x )恒成立⇔a >f (x )max ；a ≥f (x )恒成立⇔a ≥f (x )max ；a <f (x )恒成立⇔a <f (x )min ；a ≤f (x )恒成立⇔a ≤f (x )min .解：对f (x )=aex -1-ln x +ln a 求导，得f ′(x )=a e x -1-1x，因为a >0,x >0，所以f ′(x )在(0,+∞)上单调递增.所以当x →0时，f ′(x )→-∞；当x →+∞时，f '(x )→+∞.由函数零点存在性定理可知，必存在唯一的正实数x 0，使得f ′(x 0)=0，且当0<x <x 0时，f ′(x )<0；当x >x 0时，f '(x )>0，所以函数f (x )在(0,x 0)上单调递减，在(x 0,+∞)上单调递增，所以f (x )min =f (x 0)=aex 0-1-ln x 0+ln a .由f (x )≥1可得ae x-1-ln x 0+ln a ≥1.又f ′(x 0)=0，则ae x 0-1=1x 0，所以1x 0-ln x 0+ln a ≥1①.在aex 0-1=1x 0的两边取对数，得ln a +x 0-1=-ln x 0②.由①②可得1x 0+2ln a +x 0≥2，所以2ln a ≥2-(x 0+1x).又2-(x 0+1x 0)≤2-0，当且仅当x 0=1时取等号，可得2ln a ≥0，解得a ≥1，故实数a 的取值范围是[1,+∞).我们先根据导函数与函数单调性之间的关系，判断出函数f (x )=ae x -1-ln x +ln a 的单调性，求得函数的极小值，即可将“不等式f (x )≥1恒成立”等价转化为“使f (x )min ≥1成立”；然后将所得的新不等式进行变形，使其中的参数、变量分离，得2ln a ≥2-(x 0+1x 0)；再根据基本不等式求得不等式右边式子的最大值，即可求得参数a 的取值范围.二、构造同构式对于含有指对数的含参不等式问题，为了简化问题，通常可将不等式进行适当的变形，使不等式左右两边的式子成为同构式，即可根据同构式的结构特征构造出新函数，利用新函数的单调性、最值、图象求得问题的答案.43解法1.不等式f (x )≥1可变形为xe x≥ex a ln exa，即e x ln e x ≥ex a ln exa（*）.由于x >0,a >0，所以当0<exa≤1时，不等式（*）恒成立，设函数g (t )=t ln t ，其中t >1，则g (e x )≥g (exa)成立.由g '(t )=ln t +1>1>0，知函数g (t )在(1,+∞)上单调递增，因此e x ≥exa ，所以a ≥x ex -1恒成立.设函数h (x )=xe x -1，其中x >0，则h ′(x )=1-xex -1，则当0<x <1时，h ′(x )>0，当x >1时，h ′(x )<0，所以函数h (x )在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，从而可得h (x )max =h (1)=1.因此a ≥1，故实数a 的取值范围是[1,+∞).将已知不等式f (x )≥1变形为同构式xe x≥ln ex a⋅e ln exa ，即可构造出函数g (t )=te t，根据其单调性和最值就能顺利解题.一般地，可以根据ae a ≥b ln b ⇔e a ln e a ≥b ln b ，构造函数f (x )=x ln x ；根据ae a ≥b ln b ⇔ae a ≥ln b ⋅e ln b ，构造函数f (x )=xe x .解法2.不等式f (x )≥1可变形为e ln a +x -1+ln a +x -1≥x +ln x ，即(ln a +x -1)+eln a +x -1≥ln x +e ln x ，构造函数g (t )=t +e t，则不等式g (ln a +x -1)≥g (ln x )成立.所以函数g (t )=t +e t是增函数，所以ln a +x -1≥ln x ，所以ln a ≥ln x -x +1恒成立.设函数h (x )=ln x -x +1，则h ′(x )=1x -1=1-x x,x >0，所以当0<x <1时，h ′(x )>0；当x >1时，h ′(x )<0，所以h (x )在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，可得h (x )max =h (1)=0，从而可知ln a ≥0，解得a ≥1，故实数a 的取值范围是[1,+∞).将已知不等式f (x )≥1变形为同构式e ln a +x -1+ln e ln a +x -1≥x +ln x ，即可根据同构式的特点构造出函数g (t )=t +ln t ，利用函数的单调性、最值解题.一般地，根据e a ±a ≥b ±ln b ⇔e a ±ln e a ≥b ±ln b ，可构造函数f (x )=x ±ln x ；根据e a ±a ≥b ±ln b ⇔e a ±a ≥e ln b ±ln b ，可构造函数f (x )=e x ±x .三、寻找不等式恒成立的必要条件对于含参不等式恒成立问题，往往可先根据一些特例，探求出已知不等式恒成立的一个必要条件（利用参数不等式表示），若经检验知该必要条件也是已知不等式恒成立的充分条件，则可根据其充分必要条件建立关系式，求得参数的取值范围.显然，这种解题思路具有一定的偶然性和局限性，并不适合于求解大部分的题目.解：因为不等式f (x )≥1恒成立，所以f (1)≥1，即a +ln a ≥1（*）.设函数g (a )=a +ln a ，因为g (1)=1，所以由（*）可得g (a )≥g (1).因为函数g (a )是增函数，从而可得a ≥1，因此a ≥1是不等式f (x )≥1恒成立的必要条件.接下来证明a ≥1也是不等式f (x )≥1恒成立的充分条件.当a ≥1时，f (x )=ae x -1-ln x +ln a ≥e x -1-ln x （**）.设函数h (x )=e x -1-ln x ，求导得h ′(x )=e x -1-1x，因为导函数h ′(x )是增函数，且h ′(1)=0，所以函数h (x )在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，从而可得h (x )min =h (1)=1，由（**）可得f (x )≥e x -1-ln x ≥1，所以f (x )≥1恒成立.综上可知，不等式f (x )≥1恒成立，解得a ≥1.故实数a 的取值范围是[1,+∞).我们根据不等式f (x )≥1恒成立，寻找到特例f (1)≥1，得a +ln a ≥1，然后根据g (a )=a +ln a 的单调性，证明a ≥1是不等式f (x )≥1恒成立的必要条件；再根据h (x )=e x -1-ln x 的单调性，证明a ≥1也是不等式f (x )≥1恒成立的充分条件，从而确定参数的取值范围.总之，解答含参不等式恒成立问题的思路有多种，同学们需根据恒成立不等式的结构特征，将其进行合理的变形、构造，以运用转化思想，将问题转化为函数最值问题、单调性问题，利用函数思想顺利求得问题的答案.（作者单位：贵州省松桃民族中学）44。
含参不等式恒成立问题
恒成立、能成立、恰成立问题解法汇编一、恒成立问题的基本类型：类型1：设)0()(2≠++=a c bx ax x f ，（1）R x x f ∈>在0)(上恒成立00<∆>⇔且a ；（2）R x x f ∈<在0)(上恒成立00<∆<⇔且a 。
类型2：设)0()(2≠++=a c bx ax x f（1）当0>a 时，],[0)(βα∈>x x f 在上恒成立⎪⎩⎪⎨⎧>>-⎪⎩⎪⎨⎧<∆≤-≤⎪⎩⎪⎨⎧><-⇔0)(2020)(2βββαααf a ba b f a b 或或， ],[0)(βα∈<x x f 在上恒成立⎩⎨⎧<<⇔0)(0)(βαf f （2）当0<a 时，],[0)(βα∈>x x f 在上恒成立⎩⎨⎧>>⇔0)(0)(βαf f],[0)(βα∈<x x f 在上恒成立⎪⎩⎪⎨⎧<>-⎪⎩⎪⎨⎧<∆≤-≤⎪⎩⎪⎨⎧><-⇔0)(2020)(2βββαααf a ba b f a b 或或 类型3：αα>⇔∈>min )()(x f I x x f 恒成立对一切，αα>⇔∈<max )()(x f I x x f 恒成立对一切。
类型4：)()()()()()()(max min I x x g x f x g x f I x x g x f ∈>⇔∈>的图象的上方或的图象在恒成立对一切一、用一次函数的性质对于一次函数],[,)(n m x b kx x f ∈+=有：⎩⎨⎧<<⇔<⎩⎨⎧>>⇔>0)(0)(0)(,0)(0)(0)(n f m f x f n f m f x f 恒成立恒成立例1：若不等式)1(122->-x m x 对满足22≤≤-m 的所有m 都成立，求x 的范围。
破解含参不等式恒成立的5种常用方法
破解含参不等式恒成立的5种常用方法含参数不等式恒成立问题越来越受高考命题者的青睐，且由于对导数应用的加强，这些不等式恒成立问题往往与导数问题交织在一起，在近年的高考试题中不难看出这个基本的命题趋势。
对含有参数的不等式 恒成立问题，破解的方法有：分离参数法、数形结合法、单调性分析法、最值定位法、构造函数法等。
一 分离参数法分离参数法是解决含问题的基本思想之一。
对于含参不等式的问题，在能够判断出参数的系数正负的情况下，可以根据不等 式的性质将参数分离出来 ，得到一个一端是参数、另一端是变量表达式的不等式，只要研究变量表达式的性式就可以解决问题。
例1 已知函数a x f x x 421)(++=在（－∞，1］上有意义，试求的取值范围。
分析 ：函数)(x f 在（－∞，1］上有意义，等价于0421≥++a x x 在区间（－∞，1］上恒成立，这里参数的系数04>x ，故可以分离参数。
解析：函数)(x f 在（－∞，1］上有意义，等价于0421≥++a x x 在区间（－∞，1］上恒成立，即⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-≥x x a 2141，∈x （－∞，1］恒成立，记)(x g a ≥，∈x （－∞，1］，因此问题又等价于)(x g a ≥在)(x g a ≥上恒成立，)(x g 在（－∞，1］上是增函数，因此)(x g 的最大值为)1(g 。
)(x g a ≥在（－∞，1］上恒成等价于43)1()(max -==≥g x g a 。
于是工的取值范围为43-≥a 。
【点评】)(x f a ≥恒成立等价于max )(x f a ≥；)(x f a ≤恒成立等价于min )(x f a ≤。
如果函数)(x f 不存在最值，上面的最大值就替换为函数值域的右端点，最小值就替换为函数值域的左端点。
解这类问题时一定要注意区间的端点值。
二 数形结合法数形到结合法是一种重要的数学思想方法，其要点是“见数想形，以形助数”，从而达到解决问题的目的，数形结合法是破解含参数不等式恒成立问题的又一个主要方案。
高考中函数含参量不等式恒成立问题的解题
高考中函数含参量不等式恒成立问题的解题函数含参量不等式恒成立问题是高考中的一道考察数学基本功及解决实际问题的综合题，需要考生能正确的理解题意，归纳结论，运用相关知识点来解决实际问题。
函数含参量不等式恒成立是指，定义域内的含参量函数，其值作为不等式的一方参与计算，当另一方参数在一定有界范围内，不等式恒成立。
例如，函数f(x)＝sinx，若x∈[-π,π]，f(x)≤1，则f(x)≤1恒成立。
函数含参量不等式恒成立问题的解题关键在于分析函数的取值范围，进而推断出不等式成立的范围。
首先要明确函数的定义域，以确定参数的取值范围，其次对函数图像进行分析，求出函数在定义域内的最大值和最小值，在此基础上推断不等式成立的范围。
例1：已知函数f(x)＝3x-2，x∈[-3，3]求f(x)≥2的解集。
解：由题意知f(x)的定义域为[-3，3],且有f(x)＝3x-2，令f(x)＝3x-2＝2，即3x＝4,所以当x＝4/3时，f(x)＝2。
由题中给出的定义域为[-3，3],计算有f(x)绝对值最大时：当x ＝3时，f(x)＝3，有f(x)绝对值最小时：当x＝-3时，f(x)＝-5，易知f(x)≥2的解集为[4/3，3]。
例2：已知函数f(x)＝|x-1|，求f（x）≤2的解集。
解：已知f(x)＝|x-1|，令f(x)＝|x-1|＝2，即x-1＝2或-2，所以当x＝3或-1时，f(x)＝2。
由题中未给出定义域，且f（x）＝|x-1|的定义域为全体实数，在定义域内函数有一个极大值和一个极小值，即极大值为f(1)=1，极小值为f(－∞)=－∞，故f(x)≤2的解集为[-∞，3]。
函数含参量不等式恒成立问题的解题，主要通过分析函数的定义域、取值范围及极值，分情况推断不等式成立的范围，便可解出该类题目。
但也有一些常用的函数，其取值范围及极值不容易记忆，特别是高考的变形函数，仍需将函数写成一般形式，求出它的最大值和最小值，然后推出不等式的范围，以此类推，从而解出此类题目。
解答含参不等式恒成立问题的几种思路
含参不等式恒成立问题一般较为复杂.仅运用不等式的性质，往往很难找到使不等式恒成立的条件，使问题顺利得解.这就需要采用不同思路，如变换主元、分离参数、分类讨论等来解题.下面结合实例来谈一谈解答含参不等式恒成立问题的三种思路.一、变换主元变换主元法是指将问题中主元、参数的位置互换，即将参数视为主元，将主元视为参数进行求解的方法.运用变更主元法解答含参不等式恒成立问题，需先找出所要求证不等式中的变量与参数，然后将两者进行互换，得到新不等式，根据新主元的取值或者限制条件，列出满足题意的不等式或不等式组，从而解题.例1.对于任意-1≤a ≤1，x 2+()a -4x +()4-2a >0恒成立，则x 的取值范围为_____.解：设f ()a =()x -2a +()x 2-4x +4，a ∈[]-1,1，则问题等价于在a ∈[]-1,1时，f ()a >0恒成立，由一次函数的性质可得ìíîf ()-1>0，f ()1>0，解题宝典即{x2-5x+6>0，x2-3x+2>0，解得x<1或x>3，所以实数x的取值范围为()-∞,1⋃()3,+∞.将x和a进行变换，把a看作主元，构造关于a的函数f()a，便可采用变更主元法来解题.很显然f()a为一次函数，根据一次函数的性质，要使f()a>0恒成立，只需使[]-1,1上的所有函数值都大于0，建立关于x的不等式组，即可解题.二、分离参数分离参数法是解答含参不等式恒成立问题的重要方法.运用分离参数法求解不等式恒成立问题，需先将不等式进行变形，使参数分离，得到形如a≤f()x、a<f()x、a>f()x、a≥f()x的式子，只要使a≤f()x min、a<f()x min、a>f()x max、a≥f()x max，就能确保不等式恒成立.在求f()x的最值时，往往可根据导数的性质、函数的单调性，或利用基本不等式.例2.已知函数f()x=-x ln x+a()x+1，若f()x≤2a在[)2,+∞上恒成立，求a的取值范围.解：当x≥2时，由f()x≤2a可得a≤x ln xx-1，令g()x=x ln xx-1，x≥2，则g′()x=-ln x-x+1()x-12，令t()x=ln x-x+1，x≥2，则t′()x=1x-1，当x≥2时，t′()x<0，故t()x在[)2,+∞上单调递减，可得t()x max=ln2-1<0，所以g′()x=-ln x-x+1()x-12>0，则函数g()x在[)2,+∞上单调递增，可得a≤g()x min=g()2=2ln2，所以a的取值范围为(]-∞,2ln2.首先将不等式进行移项、变形，使参数a分离，得到a≤g()x.对函数g()x求导，根据导函数与函数的单调性之间的关系判断出函数g()x的单调性，求得函数g()x min，即可运用分离参数法，确定参数a的取值范围.三、分类讨论含参不等式恒成立问题中参数的取值往往不确定，因而在求解含参不等式恒成立问题时，需灵活运用分类讨论法，对参数或某些变量进行分类讨论，从而求得问题的答案.而确定分类讨论的标准是解题的关键，可根据一元二次方程的判别式大于、等于、小于0进行分类讨论；也可根据二次函数的二次项系数大于、小于0进行分类讨论；还可根据导函数值大于、等于、小于0进行分类讨论.例3.设f()x=x2-2mx+2，当x∈[)-1,+∞时，f()x≥m恒成立，求参数m的取值范围.分析：首先将不等式f()x≥m转化为F()x=x2-2mx+2-m≥0.要使F()x≥0，需使该函数在x∈[)-1,+∞上恒大于或等于0.由于x2-2mx+2-m=0为一元二次方程，只需讨论方程在x∈[)-1,+∞上的根的分布情况.而方程的根的分布情况主要由判别式确定，所以需采用分类讨论法，对方程的判别式与0之间的大小关系进行讨论.解：设F()x=x2-2mx+2-m，则问题等价于当x∈[)-1,+∞时，F()x≥0恒成立，①当Δ=4()m-1()m+2<0，即-2<m<1时，F()x>0恒成立，②当Δ≥0时，ìíîïïΔ≥0，F()-1≥0，--2m2≤-1，即ìíîïï4()m-1()m+2≥0，m+3≥0，--2m2≤-1，解得-3≤m≤-2，综上所述，参数m的取值范围为m∈[)-3,1.采用分类讨论的思路来求解含参不等式恒成立问题，一般可将参数或与参数相关的量定为分类讨论的对象，再根据题意确定分类讨论的标准，逐层、逐级进行讨论，最后综合所得的结果即可.相比较而言，第一种思路的适用范围较窄；第二、三种思路较为常用，但第三种思路解题的过程繁琐，且运算量较大.因此在解题时，同学们可首先尝试将参数分离，将问题转化为最值问题来求解；若行不通，再考虑运用变更主元、分类讨论的思路.（作者单位：安徽省砀山第二中学）解题宝典41。
含参不等式的恒成立问题
含参不等式的恒成立问题作者：郑蓉来源：《知识文库》2019年第15期纵观近几年全国各省市的高考题，含参不等式的恒成立问题频频出现，是历年高考的一大热点。
这类问题以不等式的“恒成立”为载体，考察函数，导数，方程，不等式等内容，渗透划归，分类讨论，数形结合等数学思想，综合性强，对学生能力要求高，一直备受高考命题者的青睐。
本文介绍这类问题的常见解题策略，供大家参考。
1 分离参数法分离参数法即通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两边，从而使不等式的恒成立问题转化为求主元函數的最值问题。
若函数在给定区间上存在最值，则：（1）恒成立 ;（2）恒成立 ;若函数在给定区间上不存在最值，则转化为求函数的范围问题.例1.设函数，若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围.点评：本题通过分离参数将不等式的恒成立问题转化为求新函数的最大值问题，思路清晰，解法简洁。
2 函数最值法函数最值法即将不等式的恒成立问题直接转化为求函数的最值问题，一般来说，由于函数中含有参数，在求最值时，往往涉及到分类讨论。
若函数在给定区间上存在最值，则：（1）恒成立 ;（2）恒成立 ;若函数在给定区间上不存在最值，则转化为求函数的范围问题.例2.已知函数，，对任意的， ;，不等式 ;恒成立，求正实数的取值范围.点评：本题将不等式的恒成立问题直接转化为求两个函数的最值问题。
常见类型：若函数在给定区间上存在最值，则：若有函数在给定区间上不存在最值，则转化为求该函数的范围问题。
3 变换主元法在解答含参不等式的恒成立问题时，有时需要我们转化思维角度，将主元变量与参数变量进行“换位”，反客为主，可使问题化难为易，迅速获解。
一般来说，将题中给出了取值范围的量视为主元，待求的量视为参数。
例3.设函数（1）若函数的图象在处与直线相切①求实数的值;②求函数在的最大值.（2）当时，若不等式对所有的，恒成立，求实数的取值范围.点评：本题是有关双参数的恒成立问题，在解答时选择以哪个变量为主元非常关键，当然本题的实质仍然是转化为函数的最值问题。
含参不等式恒成立问题例析
含参不等式恒成立问题例析廖东明含参不等式恒成立问题是高考的热点问题，此类问题灵活多变，综合性强，不少学生望而生畏．理解问题的本质，掌握解决的方法，多练习几道此类试题，就能增强解决此类问题的信心．一、已知参数范围求自变量的求值范围例1 对任意[2,3]a ∈-，不等式2(6)930x a x a +-+->恒成立，求实数x 的取值范围．分析：参数a 是一次的，变量x 的最高次数为二次，采用变更主元法，构造关于a 的一次函数()g a 建构不等式组获解．另外，参数a 可以分离，也可以利用分离参数法求解．解法 1 构造函数2()(3)69g a x a x x =-⋅+-+，则问题转化为()0g a >对任意[2,3]a ∈-恒成立．若3x =，则()0g a =，不符合题意．所以3x ≠，则问题等价于(2)0(3)0g g ->⎧⎨>⎩，即22815030x x x x ⎧-+>⎪⎨->⎪⎩，解得0x <或5x >，所以(,0)(5,)x ∈-∞+∞． 解法 2 不等式2(6)930x a x a +-+->即2(3)(3)x a x -⋅<-对任意[2,3]a ∈-恒成立．显然30x -≠．若3x <，则3a x <-即3x a <-对任意[2,3]a ∈-恒成立，所以min (3)0x a <-=．若3x >，则3a x >-即3x a >-对任意[2,3]a ∈-恒成立，所以max (3)5x a >-=．综上可知，实数x 的取值范围是(,0)(5,)-∞+∞．点评：变更主元法只适用于参数a 是一次的，且给定了参数a 的取值范围求变量x 的取值范围类型．而参数分离法（当参数可分离时）则更具有普遍性，转化为()()f x g a ≤或()()f x g a ≥的形式，进而根据()()f x g a ≤⇔min ()()f x g a ≤或()()f x g a ≥⇔max ()()f x g a ≥来获解．在本例中，若(2,3]a ∈-，则解答中将(2)0(3)0g g ->⎧⎨>⎩变为(2)0(3)0g g ->⎧⎨≥⎩，将m i n (3)0x a <-=变为min (3)0x a ≤-=，再完成后续的修改工作，得到x 的取值范围是(,0](5,)-∞+∞．【牛刀小试】设不等式221(1)x m x ->-对满足||2m ≤的一切m 的值恒成立，求实数x 的取值范围．x << 二、已知自变量x 的范围求参数a 的取值范围1．参数可分离型 例2 已知定义在(,3]-∞上的减函数()f x ，使22(sin )(1cos )f a x f a x -≤++对一切x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围．分析：本题是函数不等式恒成立问题，可先根据函数的单调性去掉函数的对应法则f 转化为自变量的大小关系，再考虑定义域，转化为建构一个不等式组对x ∈R 恒成立问题．解：原问题等价于不等式组222sin 3sin 1cos a x a x a x ⎧-≤⎪⎨-≥++⎪⎩即2223sin 19(sin )24a x a a x ⎧≤+⎪⎨-≥--+⎪⎩对一切x ∈R 恒成立，所以22294a a a ⎧≤⎪⎨-≥⎪⎩，解得a ≤≤． 点评：已知不等式在未知数x 的某一范围内恒成立求参数的取值范围问题，通常采用分离参数法（参数可分离时），把求参数的取值范围问题转化为求函数的最值问题（当最值不存在时，转化为求函数的上确界M 上或下确界M 下问题）． 【牛刀小试】设4()f x x x=+，若不等式()()0f x f a -<对(1,8)x ∈恒成立，求实数a 的取值范围．（答案：(0,1][4,)a ∈+∞．提示：44a x a x+>+对(1,8)x ∈恒成立，因为函数4y x x =+在(0,2)上单调递减，在(2,)+∞上单调递增，(1)5y =，(2)4y =，17(8)2y =，所以417[4,)2x x +∈，所以4172a a +≥，所以20540a a a >⎧⎨-+≥⎩，解得01a <≤或4a ≥．） 2．参数不可分离型例 3 已知不等式22(45)4(1)30m m x m x +---+>，对于一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围．分析：本题参数不可分离，审视所给的不等式特点，对二次项的系数分类讨论，利用二次函数的图象和性质求解．解：（1）当2450m m +-=时，有5m =-或1m =．①5m =-时，不等式为2430x +>，解集为1(,)8-+∞而不为R ，所以5m ≠-．②1m =时，不等式为30>，对一切实数x 恒成立，所以1m =满足． （2）当2450m m +-≠时，由不等式恒成立得24500m m ⎧+->⎨∆<⎩，即22245016(1)12(45)0m m m m m ⎧+->⎪⎨--+-<⎪⎩，解得119m <<．综上可知，实数m 的取值范围是[1,19)． 点评：对于参数不能分离型，需根据题目的特点采用相应的方法，如利用二次函数的图象和性质，或挖掘几何意义用数形结合的方法求解．【牛刀小试】若不等式22()(1)0a a x x -++≤对一切(0,2]x ∈恒成立，则a 的取值范围为（ ） A．(-∞ B．)+∞ C．13([,)+-∞+∞ D ．11[22（答案：C ．解：若不采用分离参数法，构造函数22()()(1)f x a a x x =-++．因为()0f x ≤对一切(0,2]x ∈恒成立，所以必然是20a a -<，所以函数()f x 的对称轴212()x a a =-位于y 轴的右方．故原问题等价于22122()(2)3()20a a f a a ⎧≥⎪-⎨⎪=-+≤⎩或221022()1()02()a a f a a ⎧<<⎪-⎪⎨⎪≤⎪-⎩，解得a ∈∅或13([,)a +∈-∞+∞，选C ．采用分离参数法，则2max 11()12a a x x -≥=+，解得a ≤a ≥．）。
高中含参不等式的恒成立问题整理版
三在x [句 ]
上恒成立
b 2a
或
b 2a
或
b 2a
，
f 心理 三 三
f 心 理 三
f
心x理
三在x
[ 句
]
上恒成立
f f
心 理 心理
三 三
（2）当
a
三 时，
f
心x理
三在x
[ 句
]
上恒成立
f f
心 理 心理
三 三
f
心x理
三在x
[句 ]
上恒成立
b 2a
或
b 2a
分析：若将不等号两边分别设成两个函数，则左边为二次函数，右边为对数函数，故可以采用数形结合借助图象
位置关系通过特指求解 a的取值范围。
解：设 T:f (x) =(x 1)2 ,T:g(x) log x ,则 T的图象为右图所示的抛物线，要使对一切 x (1,2f)(x,) <g(x)
1
2
a
1
恒成立即 T的图象一定要在 T的图象所的下方，显然 a>1并,且必须也只需 g(2) f (2)
解：要使 (a 2)x 2 2(a 2)x 4 0 对于 x Ｒ恒成立，则只须满足：
a 2 0 （1） 4(a 2)2 16(a 2) 0 或
a 2 0 （2） 2(a 2) 0
4 0
a 2 解（1）得 2 a 2
，解（2） a ＝２
∴参数 a 的取值范围是－２＜ a ２．
的最值问题：
若对于 取值范围内的任一个数都有
恒成立，则
；
若对于 取值范围内的任一个数都有
恒成立，则
.
例
1．已知函数
f
求解含参不等式恒成立问题的三种途径
考点透视赵爱华含参不等式恒成立问题的常见命题形式有求参数的取值范围、证明不等式恒成立.由于不等式中含有参数，导致问题中的其他参变量不确定，这给我们解题带来了很大的不便.因而解答此类问题，需采用一些途径，如分离变量、变更主元、分类讨论.下面结合实例，探讨一下如何求解含参不等式恒成立问题.一、分离变量对于含参数不等式恒成立问题，可以将不等式进行变形，使其变量和参数分离，即使变量和参数分别置于不等号的左右两边，然后通过求含有变量式子的最值，将问题转化为解关于参数的不等式问题.例1.对任意θ∈R ，不等式cos 2θ-3>2m cos θ-4m 恒成立，求实数m 的取值范围.解：由cos 2θ-3>2m cos θ-4m 得：cos 2θ-3>2m ⋅()cos θ-2，由θ∈R 知cos θ-2<0，所以m >cos 2θ-32()cos θ-2=-2(2-cos θ)+2(2-cos θ)+4.当2-cos θ=22-cos θ，即cos θ=2-2时，-2(2-cos θ)+2(2-cos θ)+4取得最大值4-22，所以实数m的取值范围为m >4-22.将不等式变形为一边只含有变量、一边只含有参数的式子，便可将变量分离，再根据函数的单调性和有界性求得-2(2-cos θ)+2(2-cos θ)+4的最值，即可建立使不等式恒成立的新不等式.二、变更主元对于含参不等式恒成立问题，很多同学习惯于将x 视为变量，其他字母看作参数.事实上，有时为了求得参数的取值范围，我们可变更主元，将所求的参数看作主元、变量视为参数，根据题目中对变量的限制情况，建立关于参数的不等式，从而求得参数的取值范围.例2.对任意||m ≤2，不等式2x -1>m ()x 2-1恒成立，求x 的取值范围.解：由2x -1>m ()x 2-1可得()x 2-1m +1-2x <0，设f (m )=(x 2-1)m -2x +1,-2≤m ≤2，所以要使f ()m <0恒成立，只需使f ()-2<0且f ()2<0，ìíîïï-2()x 2-1+1-2x <0，2()x 2-1+1-2x <0，解得x.解答本题，需变更主元，将m 视为变量、x 看作参数，构造关于m 的一元一次函数，根据一次函数的单调性建立关于x 的不等式，进而通过解不等式求得x 的取值范围.三、分类讨论由于含参不等式恒成立问题中涉及了参数，所以常需运用分类讨论法，对不等式中的某些参数、变量进行分类讨论，使一些不确定因素变成确定因素，建立使目标不等式恒成立的关系式，即可解题.例3.对任意x ∈[-2,2]，不等式x 2+ax +3-a ≥0恒成立，求a 的取值范围.解：设f ()x =x 2+ax +3-a =æèöøx +a 22-a 24-a +3，令f (x )在x ∈[-2,2]上的最小值为g (a ).①当-2+a2>0，即a >4时，g (a )=f (2)=7-3a ，要使g (a )≥0，需使7-3a ≥0，即a ≤73，显然a 不存在.②当2+a 2≥0≥-2+a 2，即-4≤a ≤4时，g (a )=f (-a 2)=-a 24-a +3.由g (a )≥0得-6≤a ≤2，所以-4≤a ≤2.③当2+a2<0，即a <-4时，g (a )=f (-2)=7+a ，由g (a )≥0得a ≥-7，所以-7≤a <-4.综上所述，a 的取值范围为-7≤a ≤2.要使目标不等式恒成立，需使f (x )的最小值大于或等于0.而函数f (x )的最小值受参数影响，于是分三种情况：-2+a 2>0、2+a 2≥0≥-2+a 2、2+a 2<0进行讨论，从而确定f ()x min .总之，含参不等式恒成立问题具有较强的综合性，在解题时不仅要灵活运用函数、不等式、方程等知识，还需根据不等式的特点来分离变量、变更主元、分类进行讨论.（作者单位：江苏省盐城市龙冈中学）40。
含参不等式恒成立问题的求解
含参不等式恒成立问题的求解王丹+谢伟含参不等式恒成立问题在高考试题中如同一颗璀璨的明珠夺人眼球，与函数、方程、数列、导数等知识结合，演奏出了一曲曲优美的乐章. 解决这类问题需要运用换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，下面举例介绍这类问题的求解策略.数形结合法有些含参不等式恒成立问题，从数的角度很难切入；但从形的角度入手，可以利用恒成立条件的几何意义直观求解.例1 若对任意[x∈]R，不等式[x≥ax]恒成立，则实数[a]的取值范围是（）A. [a-1]B. [a≤1]C. [a1]D. [a≥1]解析如图，其几何意义是[f（x）=x，][x∈R]的图象不低于[g （x）=ax，x∈R]的图象. 因此，[a≤1].答案B例2 若不等式[3x2-logax0]在[x∈0，13]上恒成立，则实数[a]的取值范围是________.解析由题意知，不等式[3x2 p如图，其几何意义是在区间[0，13]上函数[f（x）=logax]的图象在函数[g（x）=3x2]的图象的上方.若[a1]，则函数[f（x）=logax]的图象在函数[g（x）=3x2]的图象的下方，不合题意.若[0则[loga13≥13]，解得，[a≥127].所以，[127≤a1].综上所述，实数a的取值范围是[127，1].答案[127，1]点评对于具有明显几何意义的含参不等式恒成立问题，可以利用其几何意义建立关于参数的不等式，进而求出参数的取值范围.不等式解集法若不等式[f（x）0]的解集是集合[B]，则不等式[f（x）0]在集合[A]中恒成立等价于集合[A]是集合[B]的子集. 利用[A?B]建立关于参数的不等式，即可求出参数的取值范围.例3 已知[f（x）=x+a+__2]，若[f（x）≤__4]在[[1，2]]上恒成立，则实数a的取值范围是________.解析由题意知，[x+a+__2≤__4]在[[1，2]]上恒成立，也就是[x+a+2__≤4__]，即[x+a≤2]在[[1，2]]上恒成立.因为不等式[x+a≤2]的解集为[-2-a，2-a]，所以[[1，2]][?-2-a，2-a].从而[-2-a≤1，2-a≥2，]解得，[-3≤a≤0].答案[-3，0]例4 设[f（x）]是定义在R上的偶函数，且当[x≥0]时，[f（x）=2x]. 若对任意的[x∈[a，a+2]]，不等式[f（x+a）][≥f2（x）]恒成立，则实数[a]的取值范围是________.解析由题意知，[f（x）=2x].则[f（x+a）≥f2（x）]，即[2x+a≥2x2].亦即[x+a≥2x]对任意的[x∈[a，a+2]]恒成立.也就是[3x2-2a__a2≤0]对任意的[x∈[a，a+2]]恒成立.（1）当[a0]时，不等式[3x2-2a__a2≤0]的解集为[a，-a3].则[[a，a+2]][?a，-a3].从而[a0，-a3≥a+2，]解得，[a≤-32].（2）当[a=0]时，不等式[3x2-2a__a2≤0]的解集为.则[[a，a+2]][?0]，这是不可能的，所以[a∈?].（3）当[a0]时，不等式[3x2-2a__a2≤0]的解集为[-a3，a].则[[a，a+2]][?-a3，a]，这是不可能的，所以[a∈?].综上所述，实数[a]的取值范围是[-∞，-32].答案[-∞，-32]点评对于容易求出不等式的解集的含参不等式恒成立问题，可以根据给定恒成立区间是不等式解集的子集列出关于参数的不等式（组），从而求得参数的取值范围.函数最值法含参不等式恒成立问题中至少含有两个变量，根据条件构造函数，并用求函数最值的方式解题. 一般有两种解题策略.（1）分离参数法. 先分离参数[k]得，[kf（x）]，或[k f（x）]恒成立[?kf（x）max]；②[kp（2）不分离参数法. 不分离参数[k]，直接构造含参数[k]的函数[y=g（x）]，通过求含参数[k]的函数[y=g（x）]的最值，建立关于[k]的不等式，再求参数[k]的取值范围.例5 若不等式[x2+ax+1≥0]对[x∈0，0.5]恒成立，则实数a 的最小值是（）A. 0B. -2C. -2.5D. -3解析两种转化策略：（1）分离参数法，将不等式转化为[a≥__+1x]. 由题意知，它对[x∈0，0.5]恒成立，构造不含参数的函数[g（x）=__+1x]，[x∈0，0.5]并求出最值，只需[a≥g（x）max]. （2）不分离参数法，直接构造含参数[a]的函数[f（x）=x2+ax+1]，[x∈0，0.5]，并用参数[a]表示出最小值[h（a）]，只需[h（a）≥0]. 1]，由图可知，函数[f（x）=logax]的圖象必须经过点[a13，13]，或在[a]点的上方.方法一：将不等式转化为[a≥__+1x]，由题意知，它对[x∈0，0.5]恒成立.构造函数[g（x）=__+1x，x∈0，0.5].因为[y=g（x）=__+1x]在[0，0.5]上是增函数，所以[g（x）max=g（0.5）=-2.5].所以[a≥-2.5].所以实数[a]的取值范围是[{a|a≥-2.5}].方法二：构造函数[y=f（x）=x2+ax+1]，[x∈0，0.5.]①当[a≥0]时，[y=f（x）]在[0，0.5]上是增函数.则[f（x）1]，所以[a≥0]符合题意.②当[-1由题意得，[-1所以[-1③当[a≤-1]时，[y=f（x）]在[0，0.5]上是減函数.则[ymin=f（0.5）=1.25+0.5a].由题意得，[a≤-1，1.25+0.5a≥0.]所以[-2.5≤a≤-1].综上所述，实数[a]的取值范围是[aa≥-2.5].点评一般选择恒成立的变量和区间作为构造函数的自变量和定义域. 如例5中选择[x]而不是[a]作为自变量，选择[0，0.5]而不是其他范围作为定义域. 而且，通常用到一次函数、二次函数、[y=x+kx（k0）]型等函数的性质，以及利用导数的性质求函数的最值.例6 已知函数[f（x）=xln__ax2]在[x∈1e2，+∞]上是单调增函数，求实数a的取值范围.解析方法一：依题意得，[f（x）=ln__2ax+1≥0]对[x∈1e2，+∞]恒成立，即[2a≤lnx+1x]对[x∈1e2，+∞]恒成立.令[gx=lnx+1x]，则[gx=-ln__2].所以g（x）在[1e2，1]上单调递增，在（1，+∞）上单调递减.又当x→+∞时，g（x）→0，且[g1e2=-e2]，故[gxmin=g1e2=-e2].所以[2a≤-e2]，即[a≤-e22].所以实数[a]的取值范围是[-∞，-e22].方法二：依题意得，[f（x）=ln__2ax+1≥0]对[x∈1e2，+∞]恒成立.令[h（x）=ln__2ax+1，x∈1e2，+∞]，则[h（x）=ln__2ax+1≥0]对[x∈1e2，+∞]恒成立.则[h（x）=1__2a=-2ax+1x].①当[a≤0]时，[h′（x）0]，[h（x）]在区间[1e2，+∞]上单调递增.则[h（x）min=h1e2=-2ae2-1≥0].则[a≤0，-2ae2-1≥0.]解得，[a≤-e22].②当[a]0时，由[h′（x）0]得，[x=12a].当[1e212a]，即[0当[x→+∞]时，[g（x）→-∞]，故不合题意.当[1e212a]，即[ae22]时，h（x）在区间[1e2，+∞]上单调递减.当[x→+∞]时，[g（x）→-∞]，故不合题意.综上所述，实数[a]的取值范围是[-∞，-e22].点评两种解题策略的区别在于：构造的函数是否含有参数，而参数会对求最值产生影响. 一般优先选择分离参数法，如果分离参数比较困难，再选择不分离参数法. 0].0，1-a24≥0.]0]时，[ymin=f（-a2）=1-a24].。
【02】专题讲座1：不等式恒成立问题
a 的取值范围.
解：根据题意得： x +
a − 2 > 1 在 x ∈ [ 2, +∞ ) 上恒成立， x
即： a > − x 2 + 3x 在 x ∈ [ 2, +∞ ) 上恒成立，
(a ∈ R)
所以对任意 a ∈ (0, +∞) ， g (a ) > 0 恒成立的充分必要条件是 g (0) ≥ 0 ，即
− x 2 − 2 x ≥ 0 ，∴ −2 ≤ x ≤ 0
于是 x 的取值范围是 { x | −2 ≤ x ≤ 0} 练习 1 、已知对于任意的 a∈[-1,1]，函数 f(x)=ax2+(2a-4)x+3-a>0 恒成立，求 x 的取值范围. 解 令 g(a)=(x2+2x-1)a-4x+3 在 a∈[-1,1]时，g(a)>0 恒成立，则 得 − 3 − 13 < x < −3 + 13 . 点评 对于含有两个参数，且已知一参数的取值范围，可以通过变量转换， 构造以该参数为自变量的函数，利用函数图象求另一参数的取值范围. 2、化归二次函数法： 根据题目要求，构造二次函数，结合二次函数的最值、二次函数零点等相关 知识，求出参数取值范围.此法适用于二次型函数. 若所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解 ①判别式策略： 题.一般地，对于二次函数 f ( x ) = ax 2 + bx + c ( a ≠ 0, x ∈ R ) ,有 a > 0 a < 0 ; 2） f ( x ) < 0 对 x ∈ R 恒成立 ⇔ 1） f ( x ) > 0 对 x ∈ R 恒成立 ⇔ . ∆ < 0 ∆ < 0 例 2、在 R 上定义运算 ⊗ ：x ⊗ y＝x(1－y) 实数 x 成立，则 若不等式(x－a) ⊗ (x＋a)<1 对任意 ( ) 1 3 3 1 (A)－1<a<1 (B)0<a<2 (C) − < a < (D) − < a < 2 2 2 2 分析： 根据条件得出二次不等式对任意 x ∈ R 恒成立， 可借助二次方程的 ∆ 的 符号求解 解：由题意可知 (x-a)[1-(x+a)] <1 对任意 x 成立 2 2 即 x -x-a +a+1>0 对 x ∈ R 恒成立 记 f(x)=x2-x-a2+a+1 则应满足 ∆ = (-1)2 - 4(-a2 + a + 1) < 0 化简得 解得 4a2-4a-3<0 1 3 − <a< ,故选择 C. 2 2
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不等式中恒成立问题的解法研究在不等式的综合题中，经常会遇到当一个结论对于某一个字母的某一个取值范围内所有值都成立的恒成立问题。
恒成立问题的基本类型：类型1：设)0()(2≠++=a c bx ax x f ，（1）R x x f ∈>在0)(上恒成立00<∆>⇔且a ；（2）R x x f ∈<在0)(上恒成立00<∆<⇔且a 。
类型2：设)0()(2≠++=a c bx ax x f （1）当0>a 时，],[0)(βα∈>x x f 在上恒成立⎪⎩⎪⎨⎧>>-⎪⎩⎪⎨⎧<∆≤-≤⎪⎩⎪⎨⎧><-⇔0)(2020)(2βββαααf a bab f a b 或或， ],[0)(βα∈<x x f 在上恒成立⎩⎨⎧<<⇔0)(0)(βαf f（2）当0<a 时，],[0)(βα∈>x x f 在上恒成立⎩⎨⎧>>⇔0)(0)(βαf f],[0)(βα∈<x x f 在上恒成立⎪⎩⎪⎨⎧<>-⎪⎩⎪⎨⎧<∆≤-≤⎪⎩⎪⎨⎧><-⇔0)(2020)(2βββαααf a bab f a b 或或 类型3：αα>⇔∈>min )()(x f I x x f 恒成立对一切αα>⇔∈<max )()(x f I x x f 恒成立对一切。
类型4：)()()()()()()(max min I x x g x f x g x f I x x g x f ∈>⇔∈>的图象的上方或的图象在恒成立对一切 恒成立问题的解题的基本思路是：根据已知条件将恒成立问题向基本类型转化，正确选用函数法、最小值法、数形结合等解题方法求解。
一、用一次函数的性质对于一次函数],[,)(n m x b kx x f ∈+=有：⎩⎨⎧<<⇔<⎩⎨⎧>>⇔>0)(0)(0)(,0)(0)(0)(n f m f x f n f m f x f 恒成立恒成立 例1：若不等式)1(122->-x m x 对满足22≤≤-m 的所有m 都成立，求x的范围。
解析：我们可以用改变主元的办法，将m 视为主变元，即将元不等式化为：0)12()1(2<---x x m ，；令)12()1()(2---=x x m m f ，则22≤≤-m 时，0)(<m f 恒成立，所以只需⎩⎨⎧<<-0)2(0)2(f f 即⎪⎩⎪⎨⎧<---<----0)12()1(20)12()1(222x x x x ，所以x 的范围是)231,271(++-∈x 。
二、利用一元二次函数的判别式对于一元二次函数),0(0)(2R x a c bx ax x f ∈≠>++=有： （1）R x x f ∈>在0)(上恒成立00<∆>⇔且a ； （2）R x x f ∈<在0)(上恒成立00<∆<⇔且a例2：若不等式02)1()1(2>+-+-x m x m 的解集是R ，求m 的范围。
解析：要想应用上面的结论，就得保证是二次的，才有判别式，但二次项系数含有参数m ，所以要讨论m-1是否是0。
（1）当m-1=0时，元不等式化为2>0恒成立，满足题意；（2）01≠-m 时，只需⎩⎨⎧<---=∆>-0)1(8)1(012m m m ，所以，)9,1[∈m 。
三、利用函数的最值（或值域）（1）m x f ≥)(对任意x 都成立m x f ≥⇔min )(；（2）m x f ≤)(对任意x 都成立max )(x f m ≥⇔。
简单计作：“大的大于最大的，小的小于最小的”。
由此看出，本类问题实质上是一类求函数的最值问题。
例3：在∆ABC 中，已知2|)(|,2cos )24(sin sin 4)(2<-++=m B f B BB B f 且π恒成立，求实数m 的范围。
解析：由]1,0(sin ,0,1sin 22cos )24(sin sin 4)(2∈∴<<+=++=B B B B BB B f ππ，]3,1()(∈B f ，2|)(|<-m B f 恒成立，2)(2<-<-∴m B f ，即⎩⎨⎧+<->2)(2)(B f m B f m 恒成立，]3,1(∈∴m例4：（1）求使不等式],0[,cos sin π∈->x x x a 恒成立的实数a 的范围。
解析：由于函]43,4[4),4sin(2cos sin ππππ-∈--=->x x x x a ，显然函数有最大值2，2>∴a 。
如果把上题稍微改一点，那么答案又如何呢？请看下题： （2）求使不等式)2,0(4,cos sin ππ∈-->x x x a 恒成立的实数a 的范围。
解析：我们首先要认真对比上面两个例题的区别，主要在于自变量的取值范围的变化，这样使得x x y cos sin -=的最大值取不到2，即a 取2也满足条件，所以2≥a 。
所以，我们对这类题要注意看看函数能否取得最值，因为这直接关系到最后所求参数a 的取值。
利用这种方法时，一般要求把参数单独放在一侧，所以也叫分离参数法。
四：数形结合法对一些不能把数放在一侧的，可以利用对应函数的图象法求解。
例5：已知恒成立有时当21)(,)1,1(,)(,1,02<-∈-=≠>x f x a x x f a a x ，求实数a 的取值范围。
解析：由x x a x a x x f <-<-=2121)(22，得，在同一直角坐标系中做出两个函数的图象，如果两个函数分别在x=-1和x=1处相交，则由12221)1(211-=--=-a a 及得到a 分别等于2和0.5，并作出函数x x y y )21(2==及的图象，所以，要想使函数x a x <-212在区间)1,1(-∈x 中恒成立，只须x y 2=在区间)1,1(-∈x 对应的图象在212-=x y 在区间)1,1(-∈x 对应图象的上面即可。
当2,1≤>a a 只有时才能保证，而2110≥<<a a 时，只有才可以，所以]2,1()1,21[ ∈a 。
由此可以看出，对于参数不能单独放在一侧的，可以利用函数图象来解。
利用函数图象解题时，思路是从边界处（从相等处）开始形成的。
例6：若当P(m,n)为圆1)1(22=-+y x 上任意一点时，不等式0≥++c n m 恒成立，则c 的取值范围是（ ）A 、1221-≤≤--cB 、1212+≤≤-cC 、12--≤cD 、12-≥c解析：由0≥++c n m ，可以看作是点P(m,n)在直线0=++c y x 的右侧，而点P(m,n)在圆1)1(22=-+y x 上，实质相当于是1)1(22=-+y x 在直线的右侧并与它相离或相切。
12111|10|01022-≥∴⎪⎩⎪⎨⎧≥+++>++∴c c c ，故选D 。
其实在习题中，我们也给出了一种解恒成立问题的方法，即求出不等式的解集后再进行处理。
以上介绍了常用的五种解决恒成立问题。
其实，对于恒成立问题，有时关键是能否看得出来题就是关于恒成立问题。
下面，给出一些练习题，供同学们练习。
练习题：1、对任意实数x ，不等式),,(0cos sin R c b a c x b x a ∈>++恒成立的充要条件是_______。
][22b a c +>2、设]1,(7932lg lg -∞++=在a y x x x 上有意义，求实数a 的取值范围.),95[+∞。
3、当1||)3,31(<∈x Log x a 时，恒成立，则实数a 的范围是____。
)],3[]31,0[(+∞4、已知不等式：32)1(1211......2111+->++++++a Log n n n n a 对一切大于1的自然数n 恒成立，求实数a 的范围。
)]251,1([+∈a含参不等式恒成立问题的求解策略“含参不等式恒成立问题”把不等式、函数、三角、几何等内容有机地结合起来，其以覆盖知识点多，综合性强，解法灵活等特点而倍受高考、竞赛命题者的青睐。
另一方面，在解决这类问题的过程中涉及的“函数与方程”、“化归与转化”、“数形结合”、“分类讨论”等数学思想对锻炼学生的综合解题能力，培养其思维的灵活性、创造性都有着独到的作用。
本文就结合实例谈谈这类问题的一般求解策略。
一、判别式法若所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。
一般地，对于二次函数),0()(2R x a c bx ax x f ∈≠++=,有1）0)(>x f 对R x ∈恒成立⎩⎨⎧<∆>⇔00a ;2）0)(<x f 对R x ∈恒成立.00⎩⎨⎧<∆<⇔a例1．已知函数])1(lg[22a x a x y +-+=的定义域为R ，求实数a 的取值范围。
解：由题设可将问题转化为不等式0)1(22>+-+a x a x 对R x ∈恒成立，即有04)1(22<--=∆a a 解得311>-<a a 或。
所以实数a 的取值范围为),31()1,(+∞--∞ 。
若二次不等式中x 的取值范围有限制，则可利用根的分布解决问题。
例2．设22)(2+-=mx x x f ，当),1[+∞-∈x 时，m x f ≥)(恒成立，求实数m 的取值范围。
解：设m mx x x F -+-=22)(2，则当),1[+∞-∈x 时，0)(≥x F 恒成立 当120)2)(1(4<<-<+-=∆m m m 即时，0)(>x F 显然成立； 当0≥∆时，如图，0)(≥x F 恒成立的充要条件为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≤--≥-≥∆1220)1(0m F 解得23-≤≤-m 。
综上可得实数m 的取值范围为)1,3[-。
二、最值法将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法，其一般类型有：1）a x f >)(恒成立min )(x f a <⇔ 2）a x f <)(恒成立max )(x f a >⇔例3．已知x x x x g a x x x f 4042)(,287)(232-+=--=，当]3,3[-∈x 时，)()(x g x f ≤恒成立，求实数a 的取值范围。
解：设c x x x x g x f x F -++-=-=1232)()()(23， 则由题可知0)(≤x F 对任意]3,3[-∈x 恒成立 令01266)(2'=++-=x x x F ，得21=-=x x 或而,20)2(,7)1(a F a F -=-=-,9)3(,45)3(a F a F -=-=- ∴045)(max ≤-=a x F∴45≥a 即实数a 的取值范围为),45[+∞。