含参不等式恒成立问题
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不等式中恒成立问题的解法研究
在不等式的综合题中，经常会遇到当一个结论对于某一个字母的某一个取值范围内所有值都成立的恒成立问题。 恒成立问题的基本类型：
类型1：设)0()(2≠++=a c bx ax x f ，（1）R x x f ∈>在0)(上恒成立00<∆>⇔且a ；
（2）R x x f ∈<在0)(上恒成立00<∆<⇔且a 。 类型2：设)0()(2≠++=a c bx ax x f （
1
）
当
0>a 时，],[0)(βα∈>x x f 在上恒成立
⎪⎩⎪⎨⎧>>-⎪⎩⎪⎨⎧<∆≤-≤⎪⎩⎪⎨⎧><-
⇔0
)(2020)(2βββαααf a b
a
b f a b 或或， ],[0)(βα∈ ⎨⎧<<⇔0)(0 )(βαf f )(βαf f ],[0)(βα∈ ⇔0)(2020)(2βββαααf a b a b f a b 或或 类型3： α α>⇔∈>min )()(x f I x x f 恒成立对一切αα>⇔∈ 类型4： ) ()()()()()()(max min I x x g x f x g x f I x x g x f ∈>⇔∈>的图象的上方或的图象在恒成立对一切 恒成立问题的解题的基本思路是：根据已知条件将恒成立问题向基本类型转化，正确选用函数法、最小值法、数形结合等解题方法求解。 一、用一次函数的性质 对于一次函数],[,)(n m x b kx x f ∈+=有： ⎩ ⎨ ⎧<<⇔<⎩⎨⎧>>⇔>0)(0 )(0)(,0)(0)(0)(n f m f x f n f m f x f 恒成立恒成立 例1：若不等式)1(122->-x m x 对满足22≤≤-m 的所有m 都成立，求x 的范围。 解析：我们可以用改变主元的办法，将m 视为主变元，即将元不等式化为： 0)12()1(2<---x x m ，；令)12()1()(2---=x x m m f ，则22≤≤-m 时， 0)( ⎧<<-0)2(0)2(f f 即⎪⎩⎪⎨⎧<---<----0 )12()1(20 )12()1(222 x x x x ，所以x 的范围是)2 3 1,271( ++-∈x 。 二、利用一元二次函数的判别式 对于一元二次函数),0(0)(2R x a c bx ax x f ∈≠>++=有： （1）R x x f ∈>在0)(上恒成立00<∆>⇔且a ； （2）R x x f ∈<在0)(上恒成立00<∆<⇔且a 例2：若不等式02)1()1(2>+-+-x m x m 的解集是R ，求m 的范围。 解析：要想应用上面的结论，就得保证是二次的，才有判别式，但二次项系数含有参数m ，所以要讨论m-1是否是0。 （1）当m-1=0时，元不等式化为2>0恒成立，满足题意； （2）01≠-m 时，只需⎩⎨⎧<---=∆>-0)1(8)1(0 12 m m m ，所以，)9,1[∈m 。 三、利用函数的最值（或值域） （1）m x f ≥)(对任意x 都成立m x f ≥⇔min )(； （2）m x f ≤)(对任意x 都成立max )(x f m ≥⇔。简单计作：“大的大于最大的，小的小于最小的”。由此看出，本类问题实质上是一类求函数的最值问题。 例3：在∆ABC 中，已知2|)(|,2cos )2 4 (sin sin 4)(2<-++ =m B f B B B B f 且π 恒成立，求实数m 的范围。 解析：由 ]1,0(sin ,0,1sin 22cos )2 4( sin sin 4)(2∈∴<<+=++ =B B B B B B B f ππ ，]3,1()(∈B f ，2|)(|<-m B f 恒成立，2)(2<-<-∴m B f ，即⎩⎨ ⎧+<->2 )(2 )(B f m B f m 恒成立，]3,1(∈∴m 例4：（1）求使不等式],0[,cos sin π∈->x x x a 恒成立的实数a 的范围。 解析：由于函]4 3,4[4),4sin(2cos sin π πππ-∈--=->x x x x a ，显然函数 有最大值2，2>∴a 。 如果把上题稍微改一点，那么答案又如何呢？请看下题： （2）求使不等式)2 ,0(4,cos sin π π∈- ->x x x a 恒成立的实数a 的范围。 解析：我们首先要认真对比上面两个例题的区别，主要在于自变量的取值范 围的变化，这样使得x x y cos sin -=的最大值取不到2，即a 取2也满足条件，所以2≥a 。 所以，我们对这类题要注意看看函数能否取得最值，因为这直接关系到最后所求参数a 的取值。利用这种方法时，一般要求把参数单独放在一侧，所以也叫分离参数法。 四：数形结合法 对一些不能把数放在一侧的，可以利用对应函数的图象法求解。 例5：已知恒成立有时当2 1)(,)1,1(,)(,1,02<-∈-=≠>x f x a x x f a a x ，求 实数a 的取值范围。 解析：由x x a x a x x f <-<-=2 121)(22，得，在同一直角坐标系中做出两 个函数的图象，如果两个函数分别在x=-1和x=1处相交，则由 1222 1 )1(211-=--=-a a 及得到a 分别等于2和0.5，并作出函数 x x y y )21(2==及的图象，所以，要想使函数x a x <-2 1 2在区间)1,1(-∈x 中 恒成立，只须x y 2=在区间)1,1(-∈x 对应的图象在2 1 2-=x y 在区间 )1,1(-∈x 对应图象的上面即可。当2,1≤>a a 只有时才能保证，而 2