二次函数解析式求法与例题_题型归纳

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求二次函数解析式-综合题-练习+答案

求二次函数解析式：综合题例1 已知抛物线与x轴交于A(-1，0)、B(1，0)，并经过M(0，1)，求抛物线的解析式．分析：本题可以利用抛物线的一般式来求解，但因A(-1，0)、B(1，0)是抛物线与x轴的交点，因此有更简捷的解法．如果抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴(即y=0)有交点(x1，0)，(x2，0)．那么显然有∴x1、x2是一元二次方程ax2＋bx＋c=0的两个根．因此，有ax2+bx＋c=a(x-x1)(x-x2)∴抛物线的解析式为y=a(x-x1)(x-x2) (*)(其中x1、x2是抛物线与x轴交点的横坐标)我们将(*)称为抛物线的两根式．对于本例利用两根式来解则更为方便．解：∵抛物线与x轴交于A(-1，0)、B(1，0)∴设抛物线的解析式为y＝a(x＋1)(x-1)又∵抛物线过M(0，1)，将x=0，y=1代入上式，解得a=-1∴函数解析式为y=-x2＋1．说明：一般地，对于求二次函数解析式的问题，可以小结如下：①三项条件确定二次函数；②求二次函数解析式的一般方法是待定系数法；③二次函数的解析式有三种形式：究竟选用哪种形式，要根据具体条件来决定．例2 由右边图象写出二次函数的解析式．分析：看图时要注意特殊点．例如顶点，图象与坐标轴的交点．解：由图象知抛物线对称轴x=-1，顶点坐标(-1，2)，过原点(0，0)或过点(-2，0)．设解析式为y=a(x＋1)2+2∵过原点(0，0)，∴a＋2=0，a=-2．故解析式为y=-2(x+1)2+2，即y=-2x2-4x．说明：已知顶点坐标可以设顶点式．本题也可设成一般式y=ax2+bx＋c，∵过顶点(-1，2)和过原点(0，0)，本题还可以用过点(0，0)，(-2，0)而设解析式为y=a(x+2)·x再将顶点坐标(1，2)代入求出a．例3 根据下列条件求二次函数解析式．(1)若函数有最小值-8，且a∶b∶c=1∶2∶(-3)．(2)若函数有最大值2，且过点A(-1，0)、B(3，0)．(3)若函数当x＞-2时y随x增大而增大(x＜-2时，y随x增大而减小)，且图象过点(2，4)在y轴上截距为-2．分析：(1)由a∶b∶c=1∶2∶(-3)可将三个待定系数转化为求一个k．即设a=k，b=2k，c=-3k(2)由抛物线的对称性可得顶点是(1，2)(3)由函数性质知对称轴是x=-2 解：(1)设y=ax2＋bx+c ∵a∶b∶c=1∶2∶(-3)∴设a=k，b=2k，c=-3k ∵有最小值-8∴解析式y=2x2+4x-6(2)∵图象过点A(-1，0)、B(3，0)，A、B两点均在x 轴上，由对称性得对称轴为x=1．又函数有最大值2，∴顶点坐标为(1，2)，∴设解析式为y=a(x-1)2＋2．(3)∵函数当x＞-2时y随x增大而增大，当x＜-2时y 随x增大而减小∴对称轴为x=-2设y=a(x+2)2+n∵过点(2，4)在y轴上截距为-2，即过点(0，-2)说明：题(3)也可设成y=ax2＋bx＋c，得：题(2)充分利用对称性可简化计算．例4 已知抛物线y=ax2＋bx＋c与x轴相交于点A(-3，0)，对称轴为x=-1，顶点M到x轴的距离为2，求此抛物线的解析式．分析：此例题给出了三个条件，但实际上要看到此题还有隐含条件，如利用A点关于对称轴x=-1对称的对称点A′(1，0)，因此可以把问题的条件又充实了，又如已知顶点M到x轴的距离为2，对称轴为x=-1，因此又可以找顶点坐标为(-1，±2)，故可利用顶点坐标式求出函数的解析式，此题的解法不唯一，下面分别介绍几种解法．解法(一)：∵抛物线的对称轴是x=-1，顶点M到x轴距离为2，∴顶点的坐标为M(-1，2)或M′(-1，-2)．故设二次函数式y=a(x＋1)2＋2或y=a(x+1)2-2又∵抛物线经过点A(-3，0)∴0=a(-3＋1)2＋2或0=a(-3＋1)2-2所求函数式是解法(二)：根据题意：设函数解析式为y=ax2＋bx＋c ∵点A(-3，0)在抛物线上∴0=9a-3b＋c ①又∵对称轴是x=-1∵顶点M到x轴的距离为2解由①，②，③组成的方程组：∴所求函数的解析式是：解法(三)：∵抛物线的对称轴是x=-1又∵图象经过点A(-3，0)∴点A(-3，0)关于对称轴x=-1对称的对称点A′(1，0)∴设函数式为y=a(x+3)(x-1)把抛物线的顶点M的坐标(-1，2)或(-1，-2)分别代入函数式，得2=a(-1＋3)(-1-1)或-2=a(-1＋3)(-1-1)解关于a的方程，得∴所求函数式为：说明：比较以上三种解法，可以看出解法(一)和解法(三)比解法(二)简便．M点到x轴的距离为2，纵坐标可以是2，也可以是-2，不要漏掉一解．例5 已知抛物线y=x2-6x＋m与x轴有两个不同的交点A 和B，以AB为直径作⊙C，(1)求圆心C的坐标．(2)是否存在实数m，使抛物线的顶点在⊙C上，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．分析：(1)根据抛物线的对称性，由已知条件AB是直径圆心应是抛物线的对称轴与x轴的交点．(2)依据圆与抛物线的对称性知，抛物线的顶点是否在⊙C上，需要看顶点的纵坐标的绝对值是否等于⊙C的半径长，依据这个条件，列出关于m的方程，求出m值后再由已知条件做出判断．解：(1)∵y=x2-6x＋m=(x-3)2+m-9∴抛物线的对称轴为直线x=3∵抛物线与x轴交于A和B两点，且AB是⊙C的直径，由抛物线的对称性∴圆心C的坐标为(3，0)(2)∵抛物线与x轴有两个不同交点∴△=(-b)2-4m＞0，∴m＜9设A(x1，0)，B(x2，0)∵抛物线的顶点为P(3，m-9)解得：m=8或m=9∵m＜9，∴m=9舍去∴m＝8∴当m=8时，抛物线的顶点在⊙C上．说明“存在性”问题是探索性问题的主要形式．解答这类问题的基本思路是：假设“存在”—→演绎推理—→得出结论(合理或矛盾)．例6 已知抛物线y=ax2＋bx＋c，其顶点在x轴的上方，它与y轴交于点C(0，3)，与x轴交于点A及点B(6，0)．又知方程：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)两根平方和等于40．(1)求抛物线的解析式；(2)试问：在此抛物线上是否存在一点P，在x轴上方且使S△PAB=2S△CAB．如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，说明理由．分析：求解析式的三个条件中有一个是由方程的根来得到系数的关系式，通过解方程组求出系数也就得到解析式．第(2)问中问是否存在那么假设存在进行推理，从而判断存在或不存在．解：(1)由题设条件得∴抛物线顶点为(2，4)．又A点坐标为(-2，0)，而△ABC与△PAB同底，且当P点位于抛物线顶点时，△PAB面积最大．显然，S△PAB=16＜2S△ABC=2×12=24．故在x轴上方的抛物线上不存在点P使S△PAB=2S△CAB．例7 在一块底边长为a，高为h的三角形的铁板ABC上，要截出一块矩形铁板EFGH，使它的一边FG在BC边上，矩形的边EF等于多长时，矩形铁板的面积最大．分析：问题问“矩形的边EF等于多长时，矩形铁板的面积最大”，所以题目的目标是矩形面积(S)而自变量就是EF的长(x)，因此问题的关键就是用EF(x)表示矩形面积S，这就要用EF表示出EH．解：设内接矩形EFGH中，AM⊥BC，∵EH∥BC，设EF=x(0＜x＜h)则AN=h-x设矩形EFGH的面积为S说明：解决联系实际的问题，又与几何图形有关就应综合应用几何、代数知识，利用相似成比例列出函数式再求最值．例8 二次函数y=ax2＋bx-5的图象的对称轴为直线x=3，图象与y轴相交于点B，(1)求二次函数的解析式；(2)求原点O到直线AB的距离．分析：为直线x=3，来求系数a，b．注意根与系数关系定理的充分应用．为求原点O到直线AB的距离要充分利用三角形特征和勾股定理．解： (1)如图，由已知，有∴(x1+x2)2-2x1x2=26，∴a=-1．∴解析式为y=-x2＋6x-5=-(x-3)2＋4．(2)∵OB=5，OC=4，AC=3，∴△AOB为等腰三角形，作OD⊥AB于D，说明：有部分学生把二次函数的顶点坐标记错，也有的学生不会用“根与系数的关系”，得不出解析式．有不少学生没有发现△AOB是等腰三角形，若发现为等腰三角形，OD 是底边AB的高，利用勾股定理就迎刃而解了．发生错误的原因，没记熟抛物线的顶点坐标公式，有的学生记下来了，但与两个根如何综合使用发生了问题，有些学生求点O到直线AB的距离，没有分析出图形与数量关系，其实△AOB是等腰三角形，知道这一性质求OD的数据就方便多了．纠正错误的办法，加强抛物线顶点坐标的学习、顶点坐标与巧用“根与系数的关系”的学习；另外，也要加强寻找特殊点的学习．一般说，无论多难的题目，总是有解题规律的．在几何图形中，经过认真分析，有的题目总含等边三角形、等腰三角形、直角三角形．例9 设A，B为抛物线y=-3x2-2x＋k与x轴的两个相异交点，M为抛物线的顶点，当△MAB为等腰直角三角形时，求k的值．分析：首先按题意画出图形，再运用抛物线的对称性挖掘题中的隐含条件，来解答本题，得出解后要分析解的合理性进行取舍．解：∵抛物线与x轴有两个相异交点，故△＞0，即(-2)2-4·(-3)k＞0，解关于k的不等式，得根据题意，作出图象，如图设N为对称轴与x轴的交点，由抛物线的对称性知，N 为AB中点．∵∠AMB＝Rt∠，且MN的长即为M点的纵坐标，又设A点坐标(x1，0)，B点坐标(x2，0)，则有解关于k的方程，得∴k＝0．说明：本题有一个重要的隐含条件，即要使抛物线与x 轴有两个相异交点，应首先满足△＞0．(2)本题要求学生会运用抛物线的对称性观察图形，联想直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半这个重要定理，找到等量关系，列出关于k的方程，如果没有这种灵活运用定理的能力，将得不到关于k的方程，难以求解．例10 某商场将进货单价为18元的商品，按每件20元销售时，每日可销售100件，如果每提价1元(每件)，日销售量就要减少10件，那么把商品的售出价定为多少时，才能使每天获得的利润最大？每天的最大利润是多少？分析：此题主要涉及两个量，即售出价和每天获得的利润．而每天获得的利润是随着售出价的改变而改变的，所以要找到二者的函数关系式，应把售出价设为自变量，把每天获得的利润看作是售出价的函数．这样，再根据已知条件，就可列出二者的函数关系式．解：设该商品的售出价定为x元／件时，每天可获得y 元的利润．即每件提价(x-20)(元)，每天销售量减少10(x-20)(件)，也就是每天销售量为[100-10(x-20)](件)，每件利润(x-18)(元)根据题意，得：y＝(x-18)[100-(x-20)×10]=-10x2+480x-5400=-10(x-24)2+360．(20≤x≤30)y是x的二次函数∵a=-10＜0，20≤24≤30∴当x=24时，y有最大值为360．答：每件售出价为24元时，才能使每天获得的利润最大，每天的最大利润是360元．例11 改革开放后，不少农村用上了自动喷灌设备，如图所示，设水管AB高出地面1.5米，在B处有一个自动旋转的喷水头，一瞬间，喷出的水流呈抛物线状，喷头B与水流最高点C的连线与水平面成45°角，水流的最高点C比喷头B高出2米，在所建的坐标系中，求水流的落地点F到A 点的距离是多少？分析：要求点F到A点的距离，也就是求A、F两点横坐标的差．又A点横坐标为0，所以只需求出F点横坐标．F 点在抛物线上是抛物线与x轴的交点，所以要根据已知条件，求出抛物线的解析式．解：过C点作CD⊥Ox于D，BE⊥CD于E，则有CE=BE ＝2，AB=DE=1.5，则B(0，1.5)，C(2，3.5)．∵C为抛物线的最高点，例12 如图，这是某空防部队进行射击训练时在平面直角坐标系中的示意图．地导弹运行达到距地面最大高度3千米时，相应的水平距离为4千米(即图中E点)．(1)若导弹运行轨道为一抛物线，求抛物线的解析式；(2)说明按(1)中轨道运行的导弹能否击中目标C的理由．分析：题中的实际条件转化成数学意义就是已知抛物线的顶点E，而且过点D求抛物线的解析式以及判断C是否在曲线上．解：(1)设抛物线的解析式为y=a(x-4)2+3(2)设C(x0，y0)，过C点作CB⊥Ox，垂足为B．在Rt△OBC 和Rt△ABC中，OA=1，例13 已知函数y1=-x2+b1x+c1与x轴相交于原点O(0，0)和点A(4，0)，若函数y2=-x2+b2x+c2，(b1≠b2)也经过点A，且y1与y2的顶点所在直线平行于x轴．(1)求两个函数的解析式．(2)当x为何值时，y1＜y2．分析：解答第(1)题的关键是求y2的解析式，由题意可知a1=a2=-1，因此可以判断两条抛物线的形状和开口方向都相同，再利用y1与y2的顶点所在直线平行于x轴，可判断出y1和y2在x轴上截得的线段长相等，从而求出y2与x轴另一个交点B(8，0)，由A，B点都是抛物线与x轴交点，可设解析式为y=a(x-x1)(x-x2)形式解：(1)∵y1=-x2+b1x+c1过点O(0，0)，A(4，0)∴0=0＋0＋c1 ∴c1=00=-16+4b1+0 ∴b1=4∴函数y1=-x2+4x∵a1=a2=-1∴两条抛物线的形状，开口方向相同．又∵y1与y2的顶点所在直线平行于x轴∴y1与y2的顶点纵坐标相等∵b1≠b2，y1与y2都经过A(4，0)点∴y2与x轴的另一个交点是点B(8，0)y2=-(x-4)(x-8)=-x2＋12x-32注：以上求y2的解析式是采用数、形结合的方法，进行推理得到的，此外，也可用计算方法求到b2和c2，然后写出y2的解析式，具体解法如下：∵y1的顶点是(2，4)y1与y2的顶点所在直线平行于x轴∴y1与y2的顶点纵坐标相等，y2又过点A(4，0)∵b1=4，而b1≠b2 ∴b′2=4(舍去)∴y2=-x2+12x-32解：(2)若要使y1＜y2只要使-x2+4x＜-x2+12x-32即可解不等式，得x＞4∴当x＞4时，y1＜y2例14 m是怎样的数值时，二次函数y＝(m-2)x2-4mx+2m-6的图象与x轴的负方向交于两个不同点．分析：二次函数的图象与x轴的负方向交于两个不同点的条件是二次项系数不为零，判别式大于零，两根之和小于零，两根之积大于0．(所谓两根是这个函数对应的一元二次方程的两根)解：设二次函数与x轴两交点的横坐标为x1，x2．要使它的图象与x轴两交点都在x轴的负方向上，应满足不等式组：解得1＜m＜2．答：当1＜m＜2时，二次函数y=(m-2)x2-4mx+2m-6的图象与x轴的负方向交于两个不同点．对二次函数式中的m不知代表什么，也无从下手求m．当抛物线与x轴相交时，y=0，两个交点的横标即为方程的两个根，两个根在原点的左方，列不出算式，不知道列出这种算式与“根与系数的关系”有关．总之有不少学生没有掌握二次函数与一元二次方程的内在联系而解题失败．发生错误的原因，不知道在一元二次函数式中的m其实质是参数．一元二次方程的根在直角坐标系x轴上的分布理论如何表达，许多学生不清楚．解不等式功底不深厚也会发生错误．纠正错误的办法，加强一元二次函数式的学习，m属于实数，任给m一个数值，就存在一条具体数值的抛物线，给出m的数值是无穷的，随着m值的不同也产生了不同的抛物线，可用“抛物线族”这个名词去表达本题的一元二次函数表达式所勾勒的抛物线是无穷无尽的．另外也要加强方程理论、根与系数关系、根的判别式的学习．例15 已知抛物线l：y=x2-(k-2)x+(k+1)2．(1)证明：不论k取何值，抛物线l的顶点总在抛物线y=3x2＋12x＋9上；(2)要使抛物线y=x2-(k-2)x＋(k＋1)2和x轴有两个不同的交点A，B，求k的取值范围；(3)当(2)中的A，B间距离取得最大值时，设这条抛物线顶点为C，求此时的k值和∠ACB的度数．分析：把l的顶点坐标用k的代数式表示分别代入y=3x2+12x+9的左、右后能使两边相等说明顶点在抛物线y=3x2+12x+9上．抛物线与x轴交点的情况就是相应一元二次方程有无实根的情况．AB间距离又可列出反的二次函数．解：∴左边=右边，所以不论k取何值，抛物线l的顶点总在抛物线y＝3x2+12x+9上．(2)欲使抛物线l与x轴有两个交点，则△＞0，即△=[-(k-2)]2-4(k+1)2=-3k2-12k＞0，解之，-4＜k＜0．(3)当-4＜k＜0时，抛物线l与x轴有两个不同的交点A，B，设A(x1，0)，B(x2，0)，且x1＞x2，x1＋x2＝k-2，x1x2＝(k＋1)2，说明：不明白“不论k取何值，抛物线l的顶点总在抛物线y=3x2+12x+9”上这句话的意思，实质上就是方程与曲线的关系，点在曲线上，即点的坐标满足曲线的方程；将抛物线顶点坐标的表达式代入抛物线函数式左右相等，即达到(1)提问；不知道抛物线与x轴相交，是△＞0，无法运算而失败；不知道用“根与系数的关系”以及截距公式，不会巧用“根与系数的关系”，求不出最大值，因而求不出y=ax2＋bx＋c(a≠0)的a，b，c，使该题后面的提问无法进行；在x轴与抛物线顶点所构造出的三角形中，求边长时没有绝对值的概念、正切函数值不熟悉而求不出∠ACB=60°．发生错误的原因，本题是综合题，而且是中考的考题，要顺利而正确地回答出本题所有答案，从初一至初三所学的数学知识应该牢固掌握，第一问求出抛物线顶点坐标表达式，将表达式代入(1)的函数式，若相等，即满足了函数式的要求，按初中阶段属于验根的手段，按高中就是曲线与方程的关系了．这个不难的问题为什么学生束手无策呢？只是用文字表示了顶点坐标，很抽象，不易理解．本题的难度之一是出现了“k”，这个“k”其本质起到了参数作用．有些精品文档。

待定系数法求二次函数的解析式—知识讲解(基础)

待定系数法求二次函数的解析式—知识讲解（基础）【学习目标】1. 能用待定系数法列方程组求二次函数的解析式；2. 经历探索由已知条件特点，灵活选择二次函数三种形式的过程，正确求出二次函数的解析式，二次函数三种形式是可以互相转化的．【要点梳理】要点一、用待定系数法求二次函数解析式 1.二次函数解析式常见有以下几种形式：(1)一般式：2y ax bx c =++(a ，b ，c 为常数，a ≠0)； (2)顶点式：2()y a x h k =-+(a ，h ，k 为常数，a ≠0)；(3)交点式：12()()y a x x x x =--(1x ，2x 为抛物线与x 轴交点的横坐标，a ≠0)． 2.确定二次函数解析式常用待定系数法，用待定系数法求二次函数解析式的步骤如下第一步，设：先设出二次函数的解析式，如2y ax bx c =++或2()y a x h k =-+，或12()()y a x x x x =--，其中a ≠0；第二步，代：根据题中所给条件，代入二次函数的解析式中，得到关于解析式中待定系数的方程(组)；第三步，解：解此方程或方程组，求待定系数；第四步，还原：将求出的待定系数还原到解析式中．要点诠释：在设函数的解析式时，一定要根据题中所给条件选择合适的形式：①当已知抛物线上的三点坐标时，可设函数的解析式为2y ax bx c =++；②当已知抛物线的顶点坐标或对称轴或最大值、最小值时．可设函数的解析式为2()y a x h k =-+；③当已知抛物线与x 轴的两个交点(x 1，0)，(x 2，0)时，可设函数的解析式为12()()y a x x x x =--．【典型例题】类型一、用待定系数法求二次函数解析式1．（2019秋•岳池县期末）已知二次函数图象过点O （0，0）、A （1，3）、B （﹣2，6），求函数的解析式和对称轴．【答案与解析】解：设二次函数的解析式为y=ax 2+bx+c ，把O （0，0）、A （1，3）、B （﹣2，6）各点代入上式得解得，∴抛物线解析式为y=2x 2+x ；∴抛物线的对称轴x=﹣=﹣=﹣．【总结升华】若给出抛物线上任意三点，通常可设一般式：y=ax 2+bx+c (a ≠0). 举一反三：【高清课程名称：待定系数法求二次函数的解析式高清ID 号： 356565 关联的位置名称（播放点名称）：例1】【变式】已知：抛物线2y ax bx c =++经过A （0，5-），B （1，3-），C （1-，11-）三点，求它的顶点坐标及对称轴．【答案】设52-+=bx ax y (a ≠0)，据题意列⎩⎨⎧--=--+=-51153b a b a ，解得⎩⎨⎧=-=42b a ，所得函数为5422-+-=x x y 对称轴方程：1=x ，顶点()31-,.2.（2019•巴中模拟）已知抛物线的顶点坐标为M （1，﹣2），且经过点N （2，3），求此二次函数的解析式．【答案与解析】解：已知抛物线的顶点坐标为M （1，﹣2），设此二次函数的解析式为y=a （x ﹣1）2﹣2，把点（2，3）代入解析式，得： a ﹣2=3，即a=5，∴此函数的解析式为y=5（x ﹣1）2﹣2．【总结升华】本题已知顶点，可设顶点式. 举一反三：【高清课程名称：待定系数法求二次函数的解析式高清ID 号： 356565 关联的位置名称（播放点名称）：例2】【变式】在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为(14)A -，，且过点(30)B ，. （1）求该二次函数的解析式；（2）将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与x 轴的另一个交点的坐标.【答案】（1）223y x x =--．（2）令0y =，得2230x x --=，解方程，得13x =，21x =-．∴二次函数图象与x 轴的两个交点坐标分别为(30)，和(10)-，． ∴二次函数图象向右平移1个单位后经过坐标原点．平移后所得图象与x 轴的另一个交点坐标为(40)，.3．已知二次函数的图象如图所示，求此抛物线的解析式．【答案与解析】解法一：设二次函数解析式为2y ax bx c =++(a ≠0)，由图象知函数图象经过点(3，0)，(0，3)．则有930,3,1,2a b c c ba⎧⎪++=⎪=⎨⎪⎪-=⎩ 解得1,2,3.a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩∴ 抛物线解析式为223y x x =-++．解法二：设抛物线解析式为12()()y a x x x x =--(a ≠0)．由图象知，抛物线与x 轴两交点为(-1，0)，(3，0)．则有(1)(3)y a x x =+-，即223y ax ax a =--．又33a -=，∴ 1a =-．∴ 抛抛物物解析式为223y x x =-++．解法三：设二次函数解析式为2()y a x h k =-+(a ≠0)．则有2(1)y a x k =-+，将点(3，0)，(0，3)代入得40,3,a k a k +=⎧⎨+=⎩ 解得1,4.a k =-⎧⎨=⎩∴ 二次函数解析式为2(1)4y x =--+，即223y x x =-++．【总结升华】二次函数的解析式有三种不同的形式，它们是相互联系、并可相互转化的，在实际解题时，一定要根据已知条件的特点，灵活选择不同形式的解析式求解．类型二、用待定系数法解题4．已知抛物线经过(3，5)，A(4，0)，B(-2，0)，且与y 轴交于点C ．(1)求二次函数解析式； (2)求△ABC 的面积．【答案与解析】(1)设抛物线解析式为(2)(4)y a x x =+-(a ≠0)，将(3，5)代入得5(32)(34)a =+-，∴ 1a =-．∴ (2)(4)y x x =-+-．即228y x x =-++．(2)由(1)知C(0，8)， ∴ 1(42)8242ABC S =+⨯=△．【总结升华】此题容易误将(3，5)当成抛物线顶点．将抛物线解析式设成顶点式．2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．立定跳远是体育中考选考项目之一，体育课上老师记录了某同学的一组立定跳远成绩如表：则下列关于这组数据的说法，正确的是（） A ．众数是2.3 B ．平均数是2.4 C ．中位数是2.5D ．方差是0.012．如图，直线a ∥b ．将一直角三角形的直角顶点置于直线b 上，若∠l ＝28°，则∠2的度数是（）A.108°B.118°C.128°D.152°3．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC 的顶点A 在x 轴的正半轴上，顶点B 在函数y ＝kx（x ＞0）的图象上，若∠C ＝60°，AB ＝2，则k 的值为（）AB C ．1 D ．24．在一条笔直的公路上有A 、B 两地，甲乙两人同时出发，甲骑自行车从A 地到B 地，乙骑自行车从B 地到A 地，到达A 地后立即按原路返回B 地.如图是甲、乙两人离B 地的距离(km)y 与行驶时间(h)x 之间的函数图象，下列说法中①A 、B 两地相距30千米；②甲的速度为15千米/时；③点M 的坐标为(23，20)；④当甲、乙两人相距10千米时，他们的行驶时间是49小时或89小时. 正确的个数为( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．如图，ABC ∆中，90ACB ∠=︒，4AC =，6BC =，CD 平分ACB ∠交AB 于点D ，点E 是AC 的中点，点P是CD上的一动点，则PA PE+的最小值是（）A．B．6 C．D6．如果一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是（）A．5 B．6 C．7 D．87．如图，将边长为10的正三角形OAB放置于平面直角坐标系xOy中，C是AB边上的动点（不与端点A，B重合），作CD⊥OB于点D，若点C，D都在双曲线y＝kx上（k＞0，x＞0），则k的值为（）A．B．C．9 D．8．随着通讯市场竞争的日益激烈，某通讯公司的手机市话收费按原标准降低了a元后，再次下调了25%，现在的收费标准是每分钟b元，则原收费标准每分钟为（）A．4()3b a-元B．4()3b a+元C．5()4b a-元D．5()4b a+元9．下列“数字图形”中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个10．跳远项目中，以测量最靠近起跳线的点到起跳线的距离作为成绩．如图是小慧在跳远训练中的一跳，下列线段中，它的长度能作为她的成绩的是（）A.线段PAB.线段PBC.线段ADD.线段BD11．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH，若∠DHO＝20°，则∠ADC的度数是（）A.120°B.130°C.140°D.150°12．如图所示几何体的左视图是（）A. B. C. D.二、填空题13．在△ABC 中，AB ＝AC ，CD 是AB 边上的中线，点E 在边AC 上（不与A ，C 重合），且BE ＝CD ．设ABBC＝k ，若符合条件的点E 有两个，则k 的取值范围是_____．14．如图，两块三角尺的直角顶点靠在一起，BC=3，EF=2，G 为 DE 上一动点，把三角尺DEF 绕直角顶点 F 旋转一周，在这个旋转过程中，B ，G 两点的最小距离为_____.15．已知x 满足（x+3）3＝64，则x 等于_____． 16．分解因式：29m - =___________.17．若把代数式245x x --化为()2x m k -+的形式，其中m 、k 为常数，则m k +=______． 18．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y ＝x+1的图象l 与y 轴交于点C ，A 1的坐标为（1，0），点B 1在直线l 上，且A 1B 1平行于y 轴，连接CA 1、OB 1交于点P 1，过点A 1作A 1B 2∥OB 1交直线l 于点B 2，过点B 1作B 1A 2∥CA 1交x 轴于点A 2，A 1B 2与B 1A 2交于点P 2，……，按此进行下去，则点P 2019的坐标为_____．三、解答题19．在箱子中有10张卡片，分别写有1到10的十个整数，从箱子中任取一张卡片，记下它的读数x ，然后再放回箱子中，第二次再从箱子中任取一张卡片，记下它的读数y ，试求x+y 是10的倍数的概率．20．(1)计算)0-4cos60°+（13）-1. (2)先化简,再求值:（2-43-3x x x +-13x -）·(22-21-32x x x x ++-2-2x ),其中x=4.21．如图，一次函数y ＝kx+b 的图象与坐标轴分别交于A 、B 两点，与反比例函数y ＝mx的图象在第一象限的交点为C ，CD ⊥x 轴于D ，若OB ＝3，OD ＝6，△AOB 的面积为3．（1）求一次函数与反比例函数的表达式；（2）当x ＞0时，比较kx+b 与mx的大小．22．计算：214)0452-︒⎛⎫ ⎪⎝⎭． 23．解不等式组()214111143x x x x ⎧+-⎪⎨+--≤⎪⎩＞24．如图，在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AB AC =，AD BC D ⊥于点.（1）如图1，点E 、F 在AB ，AC 上，且90EDF ∠=︒，求证：BE AF =. （2）点M ，N 分别在直线AD ，AC 上，且90BMN ∠=︒. ①如图2，当点M 在AD的延长线上时，求证：AB AN +=；②当点M 在点A ，D 之间，且30AMN =︒∠时，已知AB =AM 的长.25．有一块含30°角的直角三角板OMN ，其中∠MON ＝90°，∠NMO ＝30°，ON ＝，将这块直角三角板按如图所示位置摆放．等边△ABC 的顶点B 与点O 重合，BC 边落在OM 上，点A 恰好落在斜边MN 上，将等边△ABC 从图1的位置沿OM 方向以每秒1个单位长度的速度平移，边AB ，AC 分别与斜边MN 交于点E ，F （如图2所示），设△ABC 平移的时间为t （s ）（0＜t ＜6）．（1）等边△ABC 的边长为；（2）在运动过程中，当时，MN 垂直平分AB ；（3）当0＜t ＜6时，求直角三角板OMN 与等边△ABC 重叠部分的面积S 与时间t 之间的函数关系式．【参考答案】*** 一、选择题二、填空题13．3k <<且1k ≠ 14． 15．16．(m －3)(m ＋3) 17．-718．20202019221,33⎛⎫-+ ⎪⎝⎭三、解答题 19．1 【解析】【分析】本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是先后取两次卡片，每次都有1～10这10个结果，满足条件的事件x+y 是10的倍数的数对可以列举出结果数，根据等可能事件的概率公式得到结果．【详解】解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是先后取两次卡片，每次都有1～10这10个结果，故形成的数对（x ，y ）共有100个．满足条件的事件x+y 是10的倍数的数对包括以下10个：（1，9），（9，1），（2，8），（8，2），（3，7），（7，3），（4，6），（6，4），（5，5），（10，10）．故“x+y 是10的倍数”的概率为 1100.1100P ==．【点睛】本题考查等可能事件的概率，是一个关于数字的题目，数字问题是概率中经常出现的题目，一般可以列举出要求的事件，然后根据概率公式计算．20．（1）；（2）x-2，2. 【解析】【分析】（1）先根据二次根式的性质、绝对值的意义、零指数幂、特殊角的三角函数值及负整数指数幂的意义逐项化简，再合并同类项或同类二次根式即可；（2）先根据分式的运算法则将所给代数式化简，再把x=4代入计算即可. 【详解】解:(1)原式4×12+3(2)原式=2-43-3x x x ++1-3x ·2(-1)(-1)(-2)x x x -2-2x=2(-2)-3x x ·-1-2x x -2-2x=2(-2)-3x x ·-3-2x x=x-2,当x=4时,原式=4-2=2. 【点睛】本题考查了实数的混合运算，分式的化简求值，熟练掌握特殊角的三角函数值、负整数指数幂的意义及分式的运算法则是解答本题的关键. 21．(1) 223y x =-,12y x =;(2) 当0＜x ＜6时，kx+b ＜m x ,当x ＞6时，kx+b ＞mx【解析】【分析】（1）根据点A 和点B 的坐标求出一次函数的解析式，再求出C 的坐标6，2），利用待定系数法求解即可求出解析式（2）由C （6，2）分析图形可知，当0＜x ＜6时，kx+b ＜m x ,当x ＞6时，kx+b ＞mx【详解】（1）S △AOB ＝12OA•OB＝3，∴OA＝2，∴点A的坐标是（0，﹣2），∵B（3，0）∴2 30 bk b=-⎧⎨+=⎩∴232 kb⎧=⎪⎨⎪=-⎩∴y＝23x﹣2．当x＝6时，y＝23×6﹣2＝2，∴C（6，2）∴m＝2×6＝12．∴y＝12x．（2）由C（6，2），观察图象可知：当0＜x＜6时，kx+b＜mx,当x＞6时，kx+b＞mx．【点睛】此题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题关键在于求出C的坐标22．1【解析】【分析】直接利用零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值和负指数幂的性质分别化简得出答案．【详解】解：原式＝4﹣3+12＝2﹣1＝1．【点睛】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．23．-5≤x＜5 2【解析】【分析】分别解出两不等式的解集，再求其公共解．【详解】解：() 214111143x xx x⎧+-⎪⎨+--≤⎪⎩＞①②由①得x＜52；由②得x≥-5；∴不等式组的解集为-5≤x＜52．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，求不等式组的解集应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．24．（1）见解析；（21.【解析】【分析】（1）先判断出∠BAD=∠CAD=45°，进而得出∠CAD=∠B，再判断出∠BDE=∠ADF，进而判断出△BDE≌△ADF，即可得出结论；（2）①先判断出AM=PM，进而判断出∠BMP=∠AMN，判断出△AMN≌△PMB，即可判断出AP=AB+AN，再判断出，即可得出结论；②先求出BD，再求出∠BMD=30°，最后用三角函数求出DM，即可得出结论．【详解】（1）∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠B=∠C=45°，∵AD⊥BC，∴BD=CD，∠BAD=∠CAD=45°，∴∠CAD=∠B，AD=BD，∵∠EDF=∠ADC=90°，∴∠BDE=∠ADF，∴△BDE≌△ADF（ASA），∴BE=AF；（2）①如图1，过点M作MP⊥AM，交AB的延长线于点P，∴∠AMP=90°，∵∠PAM=45°，∴∠P=∠PAM=45°，∴AM=PM，∵∠BMN=∠AMP=90°，∴∠BMP=∠AMN，∵∠DAC=∠P=45°，∴△AMN≌△PMB（ASA），∴AN=PB，∴AP=AB+BP=AB+AN，在Rt△AMP中，∠AMP=90°，AM=MP，∴，∴AM；②如图，在Rt△ABD中，AD=BD=2∵∠BMN=90°，∠AMN=30°，∴∠BMD=90°-30°=60°，在Rt△BDM中，DM=1BDtan BMD==∠，∴．【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数，判断出△BDE≌△ADF是解（1）的关键，构造出全等三角形是解（2）的关键．25．（1）3；（2）3；（3）22(03)84(36)tSt+<⎪=+<<….【解析】【分析】（1）根据，∠OMN＝30°和△ABC为等边三角形，求证△OAM为直角三角形，然后即可得出答案．（2）易知当点C与M重合时直线MN平分线段AB，此时OB＝3，由此即可解决问题；（3）分两种情形分别求解：当0＜t≤3时，作CD⊥FM于D．根据S＝S△MEB﹣2S△MDC，计算即可．②当3＜t ＜6时，S＝S△MEB．【详解】解：（1）在Rt△MON中，∵∠MON＝90°，ON＝M＝30°∴OM＝6，∵△ABC为等边三角形∴∠AOC＝60°，∴∠OAM＝90°∴OA⊥MN，即△OAM为直角三角形，∴OA＝12OM＝12×6＝3．故答案为3．（2）易知当点C与M重合时直线MN平分线段AB，此时OB＝3，所以t＝3．故答案为3．（3）易知：OM＝6，MN＝，S△OMN＝12×6＝∵∠M＝30°，∠MBA＝60°，∴∠BEM＝90°．①当0＜t≤3时，作CD⊥FM于D．∵∠ACB＝60°，∠M＝30°，∠FCB＝∠M+∠CFM，∴∠CFM＝∠M＝30°，∴CF＝CM，∵CD⊥FM，∴DF＝DM，∴S△CMF＝2S△CDM，∵△MEB∽△MON，∴2MEBMONS BMS MB⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴S△MEB＝2822t-+，∵△MDC∽△MON，∴2MDCMONS MCS MN⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴S△MDC＝2848t-+，∴S＝S△MEB﹣2S△MDC＝﹣284+．②当3＜t＜6时，S＝S△MEB＝2822-+，综上所述，S＝22(03)(36)tt+<<<⎩…．【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了平移变换，等边三角形的性质和判定，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．下列计算正确的是（） A ．b 2•b 3＝b 6 B ．（﹣a 2）3＝a 6C ．（ab ）2＝ab 2D ．（﹣a ）6÷（﹣a ）3＝﹣a 32．如图的四个转盘中，若让转盘自由转动一次，停止后，指针落在阴影区域内的概率最大的转盘是（）A. B. C. D.3．若关于x ，y 的二元一次方程组59x y k x y k +=⎧⎨-=⎩的解也是二元一次方程2x+3y ＝6的解，则k 的值为（）A.34B.43C.﹣34D.﹣434．6月15日“父亲节”，小明准备送给父亲一个礼盒（如图所示），该礼盒的俯视图是（）A. B. C. D.5．下列标志中，是中心对称图形的是（）A. B. C. D.6．如图，已知AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，∠CAB ＝30°，AC ＝则图中阴影部分的面积是（）A ．32π-B ．32π C ．3924π- D ．3π-7．在某次训练中，甲、乙两名射击运动员各射击10发子弹的成绩统计图如图所示，对于本次训练，有如下结论：①22S S >乙甲；②22S S <甲乙.③甲的射击成绩比乙稳定；④乙的射击成绩比甲稳定，由统计图可知正确的是（）A.①③B.①④C.②④D.②③8．如图所示的几何体的左视图是（）A.B.C.D.9．如图，DE∥MN，Rt△ABC的直角顶点C在DE上，顶点B在MN上，且BC平分∠ABM，若∠A＝58°，则∠BCE的度数为（）A．29°B．32°C．58°D．64°10．如图,在菱形ABCD中,AB=8,∠B=60°,P是AB上一点,BP=5,Q是CD边上ー动点,将四边形APQD沿直线PQ折叠,A的对应点A`.当CA`的长度最小时,则CQ的长为( )A．7 B．C．D．11．下列图形中，可以看作是中心对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．12．如图，已知等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝DC ，AC 与BD 相交于点O ，则下列判断不正确的是（）A ．△ABC ≌△DCB B ．△AOD ≌△COBC ．△ABO ≌△DCOD ．△ADB ≌△DAC二、填空题 13．二次函数223y x =的图象如图所示，自原点开始依次向上作内角为60度、120度的菱形(其中两个顶点在抛物线上另两个顶点在y 轴上，相邻的菱形在y 轴上有一个公共点)，则第2017个菱形的周长=______．14．写出一个解为11x y =⎧⎨=-⎩的二元一次方程是_____．15．如图，在矩形ABCD 中，AB=4，AD=3，矩形内部有一动点P 满足S △PAB =13S 矩形ABCD ，则点P 到A 、B 两点的距离之和PA+PB 的最小值为______．16．中国的领水面积约为3700000km 2，将3700000用科学记数法表示为_____． 17．计算：＝_____．18．利用标杆测量建筑物的高度的示意图如图所示，若标杆的高为米，测得米，米,则建筑物的高为__米．三、解答题19．2019年初，电影《流浪地球》和《绿皮书》陆续热播，为了解某大学1800名学生对两部电影的喜爱程度，调查小组随机抽取了该大学20名学生对两部电影打分，过程如下．收集数据20名大学生对两部电影的打分结果如下：《流浪地球》78 75 99 98 79 67 88 78 76 98 88 79 97 91 78 80 93 90 99 99《绿皮书》88 79 68 97 85 74 96 84 92 97 89 81 91 75 80 85 91 89 97 92整理、描述数据绘制了如下频数分布直方图和统计表，请补充完整．(说明：60≤x＜70表示一般喜欢，70≤x＜80表示比较喜欢，80≤x＜90表示喜欢，90≤x＜100表示超级喜欢)分析数据、推断结论(1)估计该大学超级喜欢电影《绿皮书》的有人；(2)你认为观众更喜欢这两部电影中的(填《流浪地球》或《绿皮书》)，理由是．20．随着生活水平的提高，人们对饮水品质的需求越来越高，某公司根据市场需求代理A，B两种型号的净水器，每台A型净水器比每台B型净水器进价多200元，用5万元购进A型净水器与用4.5万元购进B 型净水器的数量相等（1）求每台A型、B型净水器的进价各是多少元？（2）该公司计划购进A，B两种型号的净水器共50台进行试销，其中A型净水器为x台，购买资金不超过9.8万元，试销时A型净水器每台售价2500元，B型净水器每台售价2180元，公司决定从销售A型净水器的利润中按每台捐献a元作为公司帮扶贫困村饮水改造资金．若公司售完50台净水器并捐献扶贫资金后获得的最大利润不低于20200元但不超过23000元，求a 的取值范围．21．某学校打算假期组织老师外出旅游，初步统计，参加旅游的人数约在30～60人左右．该校联系了两家报价均为1200元的旅行社，甲旅行社的优惠措施是30人以内（包括30人）全额收费，超出部分每人打六折；乙旅行社的优惠措施是每人打九折，若人数在30人（包括30人）以上，还可免去两个人的费用．（1）该校选择哪一家旅行社合算？（2）若该校最终确定参加旅游的人数为48人，学校可给每位参加旅游的教师补贴200元，则参加旅游的教师每人至少要花多少钱？22．如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，A 、B 为切点，连接AO 并延长，交PB 的延长线于点C ，连接PO ，交⊙O 于点D ．（1）求证：∠APO ＝∠CPO ；（2）若⊙O 的半径为3，OP ＝6，∠C ＝30°，求PC 的长．23．（1）计算：（0+3tan30°﹣2|+11()2-（2）解方程：3+1x xx x -= 24．已知四边形ABCD 内接于O ，AB 为O 的直径，148BCD ∠=︒.（Ⅰ）如图①，若E 为AB 上一点，延长DE 交O 于点P ，连接AP ，求APD ∠的大小；（Ⅱ）如图②，过点A 作O 的切线，与DO 的延长线交于点P ，求APD ∠的大小.25．春暖花开，树木萌芽，某种时令蔬菜的价格呈上升趋势，若这种蔬菜开始时的售价为每斤20元，并且每天涨价2元，从第六天开始，保持每斤30元的稳定价格销售，直到11天结束，该蔬菜退市．（1）请写出该种蔬菜销售价格y 与天数x 之间的函数关系式；（2）若该种蔬菜于进货当天售完，且这种蔬菜每斤进价z 与天数x 的关系为z ＝﹣21(8)8-x +12（1≤x≤11），且x 为整数，那么该种蔬菜在第几天售出后，每斤获得利润最大？最大利润为多少？【参考答案】***一、选择题二、填空题13．806814．x+y=01516．7×10617．318．15三、解答题19．补全统计图与统计表见解析；(1)720；(2)见解析.【解析】【分析】（1）根据题干中所给数据，整理可补全直方图；再根据众数和中位数的定义可得；（2）答案不唯一，合理即可．【详解】（1）补全《流浪地球》的分布直方图如下：填统计表如下：估计该大学超级喜欢电影《绿皮书》的有1800×820＝720(名)，故答案为：720；(2)答案不唯一，喜欢《绿皮书》理由：在被调查者中，喜欢《绿皮书》的中位数高于喜欢的《流浪地球》中位数；为《绿皮书》打分在80分以上的有16人，而为《流浪地球》打分在以上的只有12人．故答案为：《绿皮书》，在被调查者中，喜欢《绿皮书》的中位数高于喜欢的《流浪地球》中位数．【点睛】此题考查了条形统计图，用样本估计总体，以及统计表，弄清题中的数据是解本题的关键．20．（1）每台A 型、B 型净水器的进价分别是2000元、1800元；（2）a 的取值范围是20≤a≤90．【解析】【分析】（1）根据题意可以列出相应的分式方程，从而可以解答本题；（2）根据题意可以求得x 的取值范围和利润与x 的函数关系式，然后根据一次函数的性质即可解答本题．【详解】（1）设每台A 型的进价为m 元，5000045000200m m =-，解得，m ＝2000，经检验，m ＝2000是原分式方程的解，∴m ﹣200＝1800，答：每台A 型、B 型净水器的进价分别是2000元、1800元；（2）2000x+1800（50﹣x ）≤98000，解得，x≤40，设公司售完50台净水器并捐款后获得的利润为w 元，w ＝（2500﹣2000）x+（2180﹣1800）（50﹣x ）﹣ax ＝（120﹣a ）x+19000，当a≥120时，w≤19000不合题意，当a ＜120时，120﹣a ＜0，当x ＝40时，w 取得最大值，∴20200≤40（120﹣a ）+19000≤23000，解得，20≤a≤90，即a 的取值范围是20≤a≤90．【点睛】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用、分式方程的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答，注意分式方程要检验．21．（1）当旅游人数小于46人时，选乙旅行社；人数为46人时，两家旅行社费用一样；人数大于46人时，选甲旅行社；（2）820.【解析】【分析】（1）设x 人参加旅游，用x 分别表示甲和乙旅行社的费用，两费用相等则列方程求出对应的人数，谁家费用较大列不等式求出对应的人数范围．（2）人数为48人则选甲旅行社花费少，把总费用求出后再减去学校补贴总额200×48元，得到总旅游费用，再除以48记得人均费用．【详解】解：（1）设参加旅游的人数为x人（30＜x＜60），甲旅行社费用为y1元，乙旅行社费用为y2元，得：y1=1200×30+1200×0.6（x-30）=720x+14400y2=1200×0.9（x-2）=1080x-2160当y1=y2时，720x+14400=1080x-2160解得：x=46当y1＞y2时，720x+14400＞1080x-2160解得：x＜46当y1＜y2时，720x+14400＜1080x-2160解得：x＞46答：当旅游人数小于46人时，选乙旅行社；人数为46人时，两家旅行社费用一样；人数大于46人时，选甲旅行社．（2）由（1）得，人数为48人时选甲旅行社费用更低．∴（720×48+14400-200×48）÷48=820（元）答：参加旅游的教师每人至少要花820元．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，是选择方案的常考题．22．（1）详见解析；（2）．【解析】【分析】（1）根据切线长定理证明；（2）根据切线的性质得到∠PAC＝90°，根据勾股定理求出AP，根据含30°的直角三角形的性质计算即可．【详解】（1）证明：∵PA、PB是⊙O的切线，∴∠APO＝∠CPO；（2）解：∵PA是⊙O的切线，∴∠PAC＝90°，∴AP=，在Rt△CAP中，∠C＝30°，∴PC＝2AP＝．【点睛】本题考查的是切线的性质、直角三角形的性质，掌握切线长定理、勾股定理是解题的关键．23．（1）；（2）x＝﹣1.5．【解析】【分析】（1）根据0指数幂、特殊的三角函数值、绝对值及负整数指数幂即可解答.（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】（1）原式＝13221+-++=+（2）去分母得：x 2＝x 2﹣2x ﹣3，移项合并得：﹣2x ＝3，解得：x ＝﹣1.5，经检验x ＝﹣1.5是原方程的解．【点睛】本题考查了0指数幂、特殊的三角函数值、绝对值、负整数指数幂及解分式方程，掌握各种运算的法则是关键，解分式方程必须检验.24．（Ⅰ）；58APD ∠=︒；（Ⅱ）26APD ∠=︒.【解析】【分析】（Ⅰ）连接BD ，根据圆内接四边形的对角互补得出BAD 32∠=︒，再根据直径所对的圆周角是直角得出ADB 90∠=︒，从而求出ABD ∠，再根据同弧所对的圆角角相等即可得出APD ∠的度数.（Ⅱ）连接AD,根据等腰三角形的性质，可得ADO OAD 32∠∠==︒，再根据切线的性质和三角形即可得出APD ∠度数.【详解】解：（Ⅰ）连接BD ，∵四边形ABCD 是圆内接四边形，∴BCD BAD 180.∠∠+=︒∵BCD 148,∠=︒∴BAD 32.∠=︒又AB 是O 的直径，∴BDA 90.∠=︒∴BAD ABD 90,∠∠+=︒∴ABD 58.∠=︒∴APD ABD 58.∠∠==︒（Ⅱ）连接AD,由（Ⅰ）可知：BAD 32,∠=︒又OA OD =，可得ADO OAD 32,∠∠==︒∵DP 切O 于点A,∴OA PA ⊥，即PAO 90.∠=︒则PAD PAO OAD 122,∠∠∠=+=︒在APD 中，∵PAD ADO APD 180,∠∠∠++=︒∴APD 26∠=︒.【点睛】本题考查了圆内接四边形定理、圆周角定理、切线的性质等知识，熟练掌握相关的定理定义是解题的关键.25．（1）202(1)218(16)30(611)x x x y x +-=+<⎧=⎨⎩…剟；（2）在第11天进货并售出后，所获利润最大，且为每件最大利润为19.125元．【解析】【分析】（1）根据销售价格随时间的变化关系设y 与x 之间的函数关系为y ＝kx+b,由分段函数求出其值即可;（2）根据利润＝售价﹣进价就可以表示出利润与时间之间的关系,由二次函数的性质就可以求出结论．【详解】解：（1）该种蔬菜销售价格y 与天数x 之间的函数关系式：y ＝()()()20212181630611x x x x ⎧+-=+≤≤⎪⎨≤≤⎪⎩; （2）设利润为W,则W ＝y ﹣z ＝()()()()()()()222211218812141688113081281861188x x x x x x x x x ⎧++--=+≤≤⎪⎪⎨⎪+--=-+≤≤⎪⎩为整数为整数, W ＝21148x +,对称轴是直线x ＝0,当x ＞0时,W 随x 的增大而增大, ∴当x ＝5时,W 最大＝258+14＝17.125（元） W ＝()218188x -+,对称轴是直线x ＝8,当x ＞8时,W 随x 的增大而增大,∴当x＝11时,W最大＝18×9+18＝1918＝19.125（元）综上可知：在第11天进货并售出后，所获利润最大且为每件19.125元．【点睛】本题主要考查了二次函数的应用,待定系数法求函数的解析式的运用,二次函数的最值的运用,解答时求出利润的解析式是关键．。

初三数学《二次函数》考点整理与例题解析

初三数学《二次函数》考点整理与例题解析二次函数重难点分析:1、二次函数的图像2、二次函数的性质以及性质的综合应用3、二次函数的应用性问题：①面积最值问题②高度、长度最值问题③利润最大化问题④求近似解知识点归纳：1、二次函数的概念y=ax2+bx+c(a≠0)2、求二次函数的解析式一般式y=ax2+bx+c、顶点式y=a（x+m）2+k交点式y=a（x-x1）(x-x2)3、二次函数的图像和性质当a>0时，图像开口向上，有最低点，有最小值当a<0时，图像开口向下，有最高点，有最大值顶点式对称轴：直线x=-m一般式对称轴：直线x=-b/2a交点式对称轴：直线x=（x1+x2）/24.二次函数图像的平移函数y=a（x+m）2+k的图像，可以由函数y=ax2的图像先向右（当m<0时）或向左（m>0时）平移|m|个单位，再向上（当k>0时）或向下（当k<0时）平移|k|个单位得到5、抛物线与系数的关系二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。

当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。

|a|越大，则抛物线的开口越小。

一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。

常数项c决定抛物线与y轴交点抛物线与y轴交于（0，c）抛物线与x轴交点个数?= b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。

?= b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。

?= b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点知识拓展：初中数学最重要的部分，在中考中占的比重大，跟其他知识点联系多，以数形结合的题型考查几何，解方程、代数等都相互联系，知识点多题型多变，压轴题多以此为出题点1、考查形式：以选择题、填空题形式考察二次函数图像的性质，以解答题形式考察以二次函数为载体的综合题。

2、考察趋势：二次函数图像与系数的关系，二次函数的应用仍是重点3、二次函数求最值的应用：依据实际问题中的数量关系，确定二次函数的解析式，结合方程、一次函数等知识解决实际问题（对于二次函数最大（小）值的确定，一定要注意二次函数自变量的取值范围，同时兼顾实际问题中对自变量的特殊约定，结合图像进行理解）经典例题。

二次函数知识点及题型归纳总结

二次函数知识点及题型归纳总结知识点精讲一、二次函数解析式的三种形式及图像 1. 二次函数解析式的三种形式（1）一般式：2()(0)f x ax bx c a =++≠；（2）顶点式：2()()(0)f x a x m n a =-+≠；其中，(,)m n 为抛物线顶点坐标，x m =为对称轴方程. （3）零点式：12()()()(0)f x a x x x x a =--≠，其中，12,x x 是抛物线与x 轴交点的横坐标. 2．二次函数的图像二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图像是一条抛物线，对称轴方程为2bx a=-，顶点坐标为24(,)24b ac b a a--. (1) 单调性与最值①当0a >时，如图2-8所示，抛物线开口向上，函数在(,]2b a -∞-上递减，在[,)2ba-+∞上递增，当2b x a =-时， 2min 4()4ac b f x a -=；②当0a <时，如图2-9所示，抛物线开口向下，函数在(,]2ba -∞-上递增，在[,)b -+∞上递减，当bx =-时，；24()4ac b f x a -=.(2) 当240b ac ∆=->时，二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图像与x 轴有两个交点11(,0)M x 和22(,0)M x ，1212||||||M M x x a =-==. 二、二次函数在闭区间上的最值闭区间上二次函数最值的取得一定是在区间端点或顶点处.对二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠，当0a >时，()f x 在区间[,]p q 上的最大值是M ，最小值是m ，图2-9令02p qx +=：（1）若2bp a-≤，则(),()m f p M f q ==；（2）若02b p x a <-<，则(),()2bm f M f q a =-=；（3）若02b x q a ≤-<，则(),()2bm f M f p a =-=；（4）若2bq a-≥，则(),()m f q M f p ==.三、一元二次方程与二次函数的转化1．实系数一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的实根符号与系数之间的关系（1）方程有两个不等正根12,x x ⇔212124000b ac b x x a c x x a ⎧⎪∆=->⎪⎪+=->⎨⎪⎪=>⎪⎩（2）方程有两个不等负根12,x x ⇔212124000b ac b x x a c x x a ⎧⎪∆=->⎪⎪+=-<⎨⎪⎪=>⎪⎩（3）方程有一正根和一负根，设两根为12,x x ⇔120c x x a=< 2.一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根的分布问题一般情况下需要从以下4个方面考虑：（1）开口方向；（2）判别式；（3）对称轴2bx a=-与区间端点的关系；（4）区间端点函数值的正负. 设12,x x 为实系数方程20(0)ax bx c a ++=>的两根，则一元二次20(0)ax bx c a ++=>的根的分布与其限定条件如表2-5所示.四、二次不等式转化策略1. 二次不等式的解集与系数的关系若二次不等式2()0f x ax bx c =++≤的解集是0(,][,)a b a c a αβαβαβ⎧⎪<⎪⎪-∞+∞⇔+=-⎨⎪⎪⋅=⎪⎩二次不等式解集的构成是与二次函数图像的开口方向及与x 轴交点横坐标有关的.2. 二次函数恒大于零或恒小于零的转化策略已知二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠.()0f x >恒成立00a >⎧⇔⎨∆<⎩；()0f x <恒成立00a <⎧⇔⎨∆<⎩.注若表述为“已知函数2()f x ax bx c =++”，并未限制为二次函数，则应有()0f x >恒成立00a >⎧⇔⎨∆<⎩或00a b c ==⎧⎨>⎩；()0f x <恒成立00a <⎧⇔⎨∆<⎩或00a b c ==⎧⎨<⎩. 五、二次函数有关问题的求解方法与技巧有关二次函数的问题，关键是利用图像.（1）要熟练掌握二次函数在某区间上的最值或值域的求法，特别是含参数的两类问题——动轴定区间和定轴动区间，解法是抓住“三点一轴”，三点指的是区间两个端点和区间中点，一轴指对称轴.即注意对对称轴与区间的不同位置关系加以分类讨论，往往分成：①轴处在区间的左侧；②轴处在区间的右侧；③轴穿过区间内部（部分题目还需讨论轴与区间中点的位置关系），从而对参数值的范围进行讨论.（2）对于二次方程实根分布问题，要抓住四点，即开口方向、判别式、对称轴位置及区间端点函数值正负.题型归纳及思路提示题型1 二次函数、一元二次方程、二次不等式的关系思路提示二次函数、二次方程、二次不等式都是利用二次函数的图像及性质进行解答，利用数形结合思想进行分析.例2.41 “0a <”是“方程2210ax x ++=至少有一个负数根”的（）Ａ．必要不充分条件Ｂ．充分不必要条件Ｃ．充要条件Ｄ．既不充分也不必要条件解析由于0a <，则方程2210ax x ++=的判别式440a ∆=->，设12,x x 为方程的两根，则12122010x x ax x a ⎧+=->⎪⎪⎨⎪=<⎪⎩，故12,x x 异号，因此方程有一个负数根；但反之，若方程2210ax x ++=有负数根，当0a =时，即210x +=有负数根12x =-，那么方程2210ax x ++=有负数根⇒0a <.因此“0a <”是方程“2210ax x ++=至少有一个负数根”的充分不必要条件.故选B.变式1 已知函数2()f x ax bx c =++，且a b c >>，0a b c ++=，集合{|()0}A m f m =<，则（）. A. m A ∀∈ ，都有(3)0f m +> B. m A ∀∈ ，都有(3)0f m +<C. 0m A ∃∈，使得0(3)0f m +=D. 0m A ∃∈，使得0(3)0f m +<变式2 已知函数2()24(03)f x ax ax a =++<<，若12x x <，121x x a +=-，则（）.A. 12()()f x f x <B. 12()()f x f x =C. 12()()f x f x >D. 1()f x 与2()f x 的大小不能确定例 2.42 （2012江苏13）已知函数2()(,)f x x ax b a b R =++∈的值域为[0,)+∞，若关于x 的不等式()f x c <的解集为(,6)m m +，则实数c 的值为_____________. 解析将二次不等式转化为二次方程求解.由题意知2()f x x ax b =++的值域为[0,)+∞，得240a b ∆=-=.不等式()f x c < ()0f x c ⇔-<，即20x ax b c ++-<的解集为(,6)m m +，设方程20x ax b c ++-=的两根为12,x x ，则1212x x ax x b c +=-⎧⎨=-⎩，12||x x -==6==，得9c =.评注本题的关键在于将二次不等式转化为二次方程求解.即不等式2x ax b c ++<的解集为(,6)m m +与方程2x ax b c ++=的实根12,x x 之间的联系，即12||6x x -=.变式1 （2012浙江理17）设a R ∈，若0x >时均有2[(1)1](1)0a x x ax ----≥，则______a =. 变式2 （2012北京理14）已知()(2)(3),()22x f x m x m x m g x =-++=-，若同时满足条件：①,()0x R f x ∀∈<或()0g x <；②(,4),()()0x f x g x ∃∈-∞-<，则m 的取值范围是________. 题型2 二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的实根分布及条件思路提示结合二次函数2()f x ax bx c =++的图像分析实根分布，得到其限定条件，列出关于参数的不等式，从而解不等式求参数的范围.例2．43 已知,αβ是方程2(21)420x m x m +-+-=的两个根，且2αβ<<，求实数m 的取值范围. 分析根据二次方程根的分布结合图像求解.解析根据题意，如图2-10所示，对于2()(21)42f x x m x m =+-+-，由图像知2αβ<<，得(2)0f <，故2(2)2(21)2420f m m =+-⨯+-<，解得3m <-，所以m 的取值范围是(,3)-∞-.图2-10评注利用图像法研究二次方程根的分布问题，会起到事半功倍的效果.变式1 关于x 的方程22(1)210m x mx -+-=的两个根，一个小于0，一个大于1.求实数m 的取值范围. 变式2 已知二次函数2()2(,)f x x bx c b c R =++∈满足(1)0f =,且关于x 的方程()0f x x b ++=的两个实数根分别在区间(3,2)--和(0,1)内，求实数b 的取值范围.例2.44 已知方程32230(,,)x ax bx c a b cR +++=∈的三个实根可分别作为一个椭圆、一个双曲线、一个）.A. )+∞ B.)+∞ C.)+∞ D. )+∞ 解析由方程32230(,,)x ax bx c a b c R +++=∈有三个实根123,,x x x ，且满足12301,1,1x x x <<=>.则231a b c ++=-，得123c a b =---.32232310x ax bx a b ++---=, (*)由1x =是方程的根，可知方程(*)可写成：2(1)[(231)]0x x mx a b -++++=，展开并与方程(*)对照系数可得21m a =+.所以2(21)(231)0x a x a b +++++=. 令2()(21)(231)f x x a x a b =+++++，(0)2310(1)4330f a b f a b =++>⎧⎨=++<⎩，如图2-11，(,)a b 所在的区域如阴影部分所示,点1(1,)3A -)+∞.故选A.图2-11变式1 设直线2y x m =-+与y 轴相交于点P ，与曲线22:33(1)C x y x -=≥相交于Q ，R ，且|PQ|<|PR |,求||||PR PQ 的取值范围. 题型3 二次函数“动轴定区间”、“定轴动区间”问题思路提示根据二次函数图像，分析对称轴与区间的位置关系.例2.45 函数2()23f x x ax =--在区间[1,2]上是单调函数，则（）. A. (,1)a ∈-∞ B. (2,)a ∈+∞ C. [1,2) D. (,1][2,)a ∈-∞+∞ 分析利用区间[1,2]在对称轴的左侧和右侧分别作图.解析作出函数在[1,2]上符合单调区间的图像，如图2-12（a ）,(b)所示的情况均满足要求.故选D.图2-12(b)(a)x评注在处理“动轴定区间”问题时，首先应确定不定量，即区间一定，然后根据题目要求分类讨论对称轴与区间的相对位置关系，求解参数的范围.变式1 函数2()23f x x kx =-+在[1,)-+∞上是增函数，求实数k 的取值范围. 例2.46 求函数2()21f x x ax =--在[0,2]上的值域.分析解答本题可结合二次函数的图像及对称轴与区间的位置关系. 解析 2()21f x x ax =--，抛物线()y f x =开口向上，对称轴x a =.（1）当0a ≤时，函数在区间[0,2]上为增函数，故min max (0)1,(2)34y f y f a ==-==-，所以函数的值域为[1,34]a --.（2）当2a ≥时，函数在区间[0,2]上为减函数，故min max (2)34,(0)1y f a y f ==-==-，所以函数的值域为[34,1]a --.（3）当01a <≤时，函数在区间[0,]a 上为减函数，在区间[,2]a 上为增函数，故2min max ()(1),(2)34y f a a y f a ==-+==-，所以函数的值域为2[(1),34]a a -+-.（4）当12a <≤时，函数在区间[0,]a 上为减函数，在区间[,2]a 上为增函数，故2min max ()(1),(0)1y f a a y f ==-+==-，所以函数的值域为2[(1),1]a -+-.评注在求二次函数的最值时，要注意定义域是R 还是区间[,]m n ，若是区间[,]m n ，最大（小）值不一定在对称轴处取得，而应该看对称轴是在区间[,]m n 内还是在区间的左边或右边.在区间的某一边时，应该利用函数的单调性求解，最值不在对称轴处取得，而在区间的端点处取得.变式1 已知函数22()4422f x x ax a a =-+-+在区间[0,2]上有最小值3，求实数a 的值.例2.47 已知二次函数2()23f x x x =--，若()f x 在[,1]t t +上的最小值为()g t ，求()g t 的表达式. 分析本题考查“定轴动区间”问题，求给定的二次函数在动区间上的最值，利用数形结合及分类讨论思想求解.解析根据二次函数的解析式知1x =为其对称轴，分析对称轴与区间的位置关系，如图2-13所示.(b)(c)图2-13(a )x(1) 当1t >时，如图2-13（a ）所示，2()()23g t f t t t ==--；(2) 当11t +<，即0t <时，如图2-13（b ）所示，2()(1)4g t f t t =+=-； (3) 当11t t ≤≤+，即01t ≤≤时，如图2-13（c ）所示，()(1)4g t f ==-.因此224(0)()4(01)23(1)t t g t t t t t ⎧-<⎪=-≤≤⎨⎪-->⎩.变式1 已知二次函数()f x 满足(1)(1)f x f x +=-，且(0)0,(1)1f f ==，若()f x 在区间[,]m n 上的值域是[,]m n ，求,m n 的值.变式2 （2012北京东城期末理8）已知函数2()1f x x =+的定义域为[,]()a b a b <，值域为[1,5]，则在平面直角坐标系内，点(,)a b 的运动轨迹与两坐标轴围成的图形面积为A.8B.6C.4D.2最有效训练1.函数2263,[1,1]y x x x =-+∈-，则y 的最小值是（）.A. 32-B. 3C. 1-D.不存在 2.已知,,a b c 成等比数列，则函数2y ax bx c =++的图像与x 轴的交点个数为( ). A. 0 B. 1 C. 2 D. 0或13. 函数y =x 2+mx +1的图像关于直线x =1对称的充要条件是( ). A. m =-2 B. m =2 C. m =-1 D. m =14. 已知函数ƒ(x )=ax 2+bx +c ，且a >b >c ，a +b +c =0，则( ). A. ∀x ∈(0,1)，都有ƒ(x )>0 B. ∀x ∈(0,1)，都有ƒ(x )<0 C. ∃x 0∈(0,1)，都有ƒ(x 0)=0 D. ∃x 0∈(0,1)，都有ƒ(x 0)>05. 已知点A(0,2)，B(2,0)，若点C在函数y=x2的图像上，则使得∆ABC的面积为2的点C的个数为( ).A. 4B. 3C. 2D. 16. 已知函数ƒ(x)=2x2+(4-m)x+4-m，g(x)=mx，若对于任意实数x，ƒ(x)与g(x)的值至少有一个为正数，则实数m的取值范围是( ).A. [-4,4]B. (-4,4)C. (-∞,4)D. (-∞,-4)7. 若函数ƒ(x)=x2+(a+2)x+b(x∈[a,b])的图像关于直线x=1对称，则ƒ(x)max=________.8. 关于x的方程2x2+ax-5-2a=0的两实根可分别作为一个椭圆与一个双曲线的离心率，则实数a的取值范围是________.9. 当x∈[0,2]时，函数ƒ(x)=ax2+4(a-1)x-3在x=2时取得最大值，则a的取值范围是________.10.已知二次函数ƒ(x)=ax2-x+c(x∈R)的值域为[0,+∞)，则c aa c+++22的最小值为________.11.已知定义域为R的函数ƒ(x)满足ƒ(ƒ(x)-x2+x)=ƒ(x)-x2+x.(1)若ƒ(2)=3，求ƒ(1)，又若ƒ(0)=a，求ƒ(a)；(2)设有且仅有一个实数x0，使得ƒ(x0)=x0，求函数ƒ(x)的解析式.12.已知二次函数ƒ(x)=x2+mx+1(x∈Z)，且关于x的方程ƒ(x)=2在区间(-3,12)内有两个不同的实根.(1)求ƒ(x)的解析式；(2)若x∈[1,t](t>1)时，总有ƒ(x-4)≤4x成立，求t的最大值.。

二次函数解析式与交点题型总结

抛物线解析式1、已知二次函数图象的顶点是（-1，2），且过点（0，23），（1）求二次函数的表达式，并画出图象；（2）求证：对任意实数m ，点M （2,m m -）都不在这个二次函数的图象上。

）都不在这个二次函数的图象上。

2、已知抛物线的图象以A （-1，4）为顶点，且过点B （2，-5），求该抛物线的表达式. 3、已知一抛物线与x 轴的交点是A （-2，0）、B （1，0），且经过点C （2，8）. （1）求该抛物线的解析式；（2）求该抛物线的顶点坐标. 4、如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=x 2+bx+c 与x 轴交于A 、B 两点，点A 在x 轴负半轴，点B 在x 轴正半轴，与y 轴交于点C ，且tan ∠ACO=12，CO=BO ，AB=3，则这条抛物线的函数解析式是，则这条抛物线的函数解析式是．5、对称轴平行于y 轴的抛物线与y 轴交于点（轴交于点（00，-2-2）），且x=1时，时，y=3y=3y=3；；x=-1时y=1y=1，求此，求此抛物线的关系式抛物线的关系式. .6、已知抛物线c bx ax y ++=2与抛物线732+--=x x y 的形状相同，顶点在直线1=x 上，且顶点到x 轴的距离为5，则此抛物线的解析式为，则此抛物线的解析式为。

7、形状与抛物线22--=x y 相同，对称轴是2-=x ，且过点（0，3）的抛物线是（）的抛物线是（）A 、342++=x x yB 、342+--=x x yC 、342++-=x x y D 、342++=x x y 或342+--=x x y8、已知二次函数的图象经过原点及点（12-，14-），且图象与x 轴的另一交点到原点的距离为1，则该二次函数的解析式为，则该二次函数的解析式为9、对称轴是y 轴且过点A （1，3）、点B （－2，－6）的抛物线的解析式为．10、已抛物线过点A （－1，0）和B （3，0），与y 轴交于点C ，且BC ＝23，则这条抛物线的解析式为物线的解析式为。

专题5.4 求二次函数解析式常考类型(六大题型)(原卷版)

专题5.4 求二次函数解析式常考类型（六大题型）【题型1 开放型】【题型2 一般式】【题型3 顶点式】【题型4两根式】【题型5平移变换型】【题型6 对称变换型】【题型1 开放型】【典例1】（2023秋•海淀区期中）写出一个顶点在坐标原点，开口向下的抛物线的表达式．【变式1-1】（2023秋•昌平区期中）请写出一个开口向下，对称轴为直线x＝3的抛物线的解析式．【变式1-2】（2022秋•伊川县期末）请写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，2）的抛物线的表达式：．【变式1-3】（2023•苏州二模）已知抛物线顶点坐标为（2，3），则抛物线的解析式可能为（）A．y＝﹣（x+2）2﹣3B．y＝﹣（x﹣2）2﹣3C．y＝﹣（x+2）2+3D．y＝﹣（x﹣2）2+3【题型2 一般式】【方法点拨】当题目给出函数图像上的三个点时，设为一般式2=++（a，y ax bx ca≠），转化成一个三元一次方程组，以求得a，b，c的值；b，c为常数，0【典例2】（2023•宁波）如图，已知二次函数y＝x2+bx+c图象经过点A（1，﹣2）和B（0，﹣5）．（1）求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标．（2）当y≤﹣2时，请根据图象直接写出x的取值范围．【变式2-1】（2022秋•新罗区校级月考）求经过A（﹣1，﹣5）、B（0，﹣4）、C（1，1）三点的抛物线的表达式？【变式2-2】（2023春•海淀区校级期末）已知抛物线y＝2x2+bx+c过点（1，3）和（﹣1，5），求该抛物线的解析式．【变式2-3】（2023秋•崆峒区校级月考）已知二次函数过点A（﹣1，2），B（1，﹣4），C（0，3）三点，求这个二次函数的解析式．【变式2-4】（2023秋•博乐市月考）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（5，0）两点，顶点为P．（1）求抛物线的解析式；（2）求△ABP的面积．【方法点拨】若已知抛物线的顶点或对称轴、最值，则设为顶点式()k-=2．这顶点坐标为（h，k），对称轴直线x = h，最值为当x = h y+axh时，y最值=k来求出相应的系数.【典例3】（2023秋•龙马潭区月考）若抛物线的顶点坐标是A（﹣1，﹣3），并且抛物线经过点B坐标为（1，﹣1）．（1）求出该抛物线的关系式；（2）当x满足什么条件时，y随x的增大而增大．【变式3-1】（2023秋•临潼区月考）已知二次函数的图象顶点为P（﹣2，2），且过点A（0，﹣2）．（1）求该抛物线的解析式；（2）试判断点B（1，﹣6）是否在此函数图象上．【变式3-2】（2023秋•越秀区校级月考）已知二次函数图象的顶点坐标为A（2，﹣3），且经过点B（3，0）．（1）求该二次函数的解析式；（2）判断点C（3，﹣4）、D（1，0）是否在该函数图象上，并说明理由．【方法点拨】已知图像与 x 轴交于不同的两点()()1200x x ，，，，设二次函数的解析式为()()21x x x x a y --=，根据题目条件求出a 的值．【典例4】（2023•荔湾区校级一模）如图，二次函数y ＝ax 2+bx +c 经过点A （﹣1，0），B （5，0），C （0，﹣5），点D 是抛物线的顶点，过D 作x 轴垂线交直线BC 于E ．（1）求此二次函数解析式及点D 坐标．（2）连接CD ，求三角形CDE 的面积．（3）ax 2+bx +c ＞0时，x 的取值范围是．【变式4-1】（2023秋•广西月考）若二次函数的图象经过（﹣1，0），（3，0），（0，3）三点，求这个二次函数的解析式．【变式4-2】（2023秋•长沙月考）已知二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象经过点A （0，﹣3）、（1，0）和C （﹣3，0）．求此二次函数的解析式．【变式4-3】（2023•南山区三模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣1，0），点B（3，0），且OB＝OC．（1）求抛物线的表达式；（2）如图，点D是抛物线的顶点，求△BCD的面积．【题型5平移变换型】【方法点拨】将一个二次函数的图像经过上下左右的平移得到一个新的抛物线．要借此类题目，应先将已知函数的解析是写成顶点式y = a( x – h)2 + k，当图像向左（右）平移n个单位时，就在x – h上加上（减去）n；当图像向上（下）平移m个单位时，就在k上加上（减去）m．其平移的规律是：h值正、负，右、左移；k值正负，上下移．由于经过平移的图像形状、大小和开口方向都没有改变，所以a得值不变．【典例5】将抛物线y＝x2﹣6x+5向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，求平移后的抛物线解析式．【变式5-1】（2022秋•洪山区期中）将二次函数y＝（x﹣1）2﹣4的图象沿直线y＝1翻折，所得图象的函数表达式为（）A．y＝﹣（x﹣1）2+4B．y＝（x+1）2﹣4C．y＝﹣（x+1）2﹣6D．y＝﹣（x﹣1）2+6【变式5-2】（秋•普陀区校级期中）将抛物线y＝2x2先向下平移3个单位，再向右平移m（m＞0）个单位，所得新抛物线经过点（1，5），求新抛物线的表达式及新抛物线与y轴交点的坐标．【变式5-3】已知a+b+c＝0且a≠0，把抛物线y＝ax2+bx+c向下平移一个单位长度，再向左平移5个单位长度所得到的新抛物线的顶点是（﹣2，0），求原抛物线的表达式．【变式5-4】抛物线y＝x2+2x﹣3与x轴正半轴交于A点，M（﹣2，m）在抛物线上，AM交y轴于D点，抛物线沿射线AD方向平移√2个单位，求平移后的解析式．【题型6 对称变换型】【方法点拨】根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．【典例6-1】（2022秋•上城区月考）已知y＝﹣3（x﹣2）2﹣7将它的图象沿着x轴对折后的函数表达式是．【典例6-2】（2022秋•汉阳区校级月考）抛物线y＝x2﹣6x+7绕其顶点旋转180°后得到抛物线y＝ax2+bx+c，则a＝，b＝，c＝．【变式6-1】（2022秋•萧山区月考）抛物线y＝（x+3）2﹣4关于y轴对称的抛物线解析式为．【变式6-2】（2022秋•汉川市月考）若抛物线y＝ax2+c与y＝﹣4x2+3关于x轴对称，则a+c＝．【变式6-3】（2021秋•镇海区期末）把二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象关于y 轴对称后得到的图象的函数关系式为．【变式6-4】（2021秋•闽侯县期中）二次函数y＝2（x﹣3）2+1图象绕原点旋转180°得新图象的解析式为．【变式6-5】（2023•雁塔区校级三模）已知抛物线L：y＝x2+bx+c经过点A（﹣2，0），点B（4，﹣6）．抛物线L′与L关于x轴对称，点B在L'上的对应点为B′．（1）求抛物线L的表达式；（2）抛物线L'的对称轴上是否存在点P，使得△AB′P是以AB′为直角边的直角三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．【变式6-6】（2022•岳阳）如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线F1：y＝x2+bx+c经过点A（﹣3，0）和点B（1，0）．（1）求抛物线F1的解析式；（2）如图2，作抛物线F2，使它与抛物线F1关于原点O成中心对称，请直接写出抛物线F2的解析式；（3）如图3，将（2）中抛物线F2向上平移2个单位，得到抛物线F3，抛物线F1与抛物线F3相交于C，D两点（点C在点D的左侧）．①求点C和点D的坐标；②若点M，N分别为抛物线F1和抛物线F3上C，D之间的动点（点M，N与点C，D不重合），试求四边形CMDN面积的最大值．。

部编数学九年级上册待定系数法求二次函数解析式(讲+练)【7种题型】2023考点题型精讲解析版含答案

22.1.5待定系数法求二次函数解析式二次函数解析式常见有以下几种形式： (1)一般式：2y ax bx c =++(a ，b ，c 为常数，a ≠0)；(2)顶点式：2()y a x h k =-+(a ，h ，k 为常数，a ≠0)；(3)交点式：12()()y a x x x x =--(1x ，2x 为抛物线与x 轴交点的横坐标，a ≠0)．注意：确定二次函数解析式常用待定系数法，用待定系数法求二次函数解析式的步骤如下第一步，设：先设出二次函数的解析式，如2y ax bx c =++或2()y a x h k =-+，或12()()y a x x x x =--，其中a ≠0；第二步，代：根据题中所给条件，代入二次函数的解析式中，得到关于解析式中待定系数的方程(组)；第三步，解：解此方程或方程组，求待定系数；第四步，还原：将求出的待定系数还原到解析式中．题型1：一般式求二次函数解析式-一个或两个参数未知1.若抛物线y ＝x 2+bx +c 的对称轴为y 轴，且点P （2，6）在该抛物线上，则c 的值为（） A ．﹣2B ．0C ．2D ．4【答案】C 【解析】【解答】解：∵抛物线y ＝x 2+bx+c 的对称轴为y 轴，∴b ＝0，∵点P （2，6）在该抛物线上，∴6＝4+c ，解得：c ＝2．题型2：一般式求二次函数解析式-a、b、c未知2.二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过点A（﹣1，8）、B（2，﹣1），与y轴交于点C（0，3），求二次函数的表达式．【答案】解：把A（﹣1，8）、B（2，﹣1），C（0，3）都代入y＝ax2+bx+c中，得a−b+c=84a+2b+c=−1c=3，解得a=1b=−4c=3，的三元一次方程组，解出a、b、c的值即得y=−x+6x−5，然后将其化为顶点式，即可得出结论.题型3：顶点式求二次函数解析式3.已知抛物线的顶点是A（2，﹣3），且交y 轴于点B（0，5），求此抛物线的解析式.应的y值，则可得点A的坐标.【变式3-2】已知如图，抛物线的顶点D的坐标为（1，-4），且与y轴交于点C（0，-3）.（1）求该函数的关系式；（2）求该抛物线与x轴的交点A，B的坐标.【答案】解：（1）∵抛物线的顶点D的坐标为(1，−4)，∴设抛物线的函数关系式为y=a(x−1)2−4，又∵抛物线过点C(0，-3)，∴-3=a(0−1)2−4，解得a=1，∴抛物线的函数关系式为y=(x−1)2−4，即y=x2−2x−3；（ 2 ）令y=0，得：x2−2x−3=0，解得x1=3，x2=−1.所以坐标为A（-1，0），B（3，0）.【解析】【分析】（1）设出抛物线方程的顶点式，将点C的坐标代入即可求得抛物线方程；（2）对该抛物线令y=0，解二元一次方程即可求得点A，B的坐标.题型4：交点式求二次函数解析式4.已知二次函数y=ax2+bx+c的图像经过A（-1，0），B（3，0），C（0，-3）三点，求这个二次函数的解析式．【答案】解：设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3），把C（0，-3）代入得a×1×（-3）=-3，解得a=1，所以这个二次函数的解析式为y=（x+1）（x-3）=x2-2x-3【解析】【分析】根据A，B，C三点的坐标特点，设出所求函数的交点式，再将C点的坐标代入即可求出a的值，从而得出抛物线的解析式。

二次函数中考专题一：二次函数解析式的求法

二次函数中考专题专题一：二次函数解析式的求法待定系数法：（1）已知抛物线上三点的坐标，则可采用一般式：y=ax2+bx+c（a≠0），利用待定系数法求出a、b、c；（2）若已知抛物线的顶点坐标或对称轴方程，则可采用顶点式：y=a（x-h）2+k（a≠0），其中顶点坐标为（h，k）对称轴为直线x=h；（3）若已知抛物线与x轴的交点的横坐标，则可采用交点式：y=a（x-x1）（x-x2）（a≠0），其中与x轴的交点坐标为（x1，0）（x2，0）.例题：一、已知三点求解析式1．抛物线y＝ax2＋bx＋c经过（-1，-22），（0，-8），（2，8）三点，求它的开口方向、对称轴和顶点.2．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点（-1，10），（2，7），且3a＋2b＝0，求该抛物线的解析式。

3．抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点（0，0）与（12，0），最高点的纵坐标是3，求这条抛物线的解析式.4．已知：如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过A，B，C三点，求此抛物线的解析式.5．已知抛物线C：y＝-x2＋bx＋c经过A（-3，0）和B（0，3）两点，将这条抛物线的顶点记为M，它的对称轴与x轴的交点记为N.（1）求抛物线C的解析式；（2）求点M的坐标.6．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA＝2，OC＝3．求抛物线的解析式．7．如图所示，抛物线y＝ax2＋bx-4a经过点A（-1，0），C（0，4）.（1）求抛物线的解析式；（2）已知点D（m，m＋1）在第一象限的抛物线上，求点D关于x轴对称的点的坐标.二、已知顶点或对称轴求解析式1．在平面直角坐标系内，二次函数图象的顶点为A（1，-4），且过点B（3，0），求该二次函数的解析式.2．已知抛物线y＝x2＋kx＋k＋3，若抛物线的顶点在y轴上，求此抛物线的解析式。

3．已知某二次函数，当x=3时，函数有最小值-2，且函数图象与y轴交于，求此二次函数的解析式。

二次函数图像的性质求解析式知识点+例题+练习 (非常好分类全面)

1.抛物线y=ax2+bx+c中，b＝4a，它的图象如图，有以下结论：①c>0；②a+b+c> 0 ③a-b+c> 0 ④b2-4ac<0 ⑤abc< 0 ；其中正确的为（）AA．①②B．①④C．①②③D．①③⑤2.当b<0时，一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx+c在同一坐标系内的图象可能是（）B3．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，那么abc，b2－4ac， 2a＋b，a＋b＋c 四个代数式中，值为正数的有( ) B 123A.4个B.3个C.2个D.1个4.在同一坐标系中，函数y= ax2+c与y= cx(a<c)图象可能是图所示的( )AA B C D5.函数y=x2+bx+c与y=x的图象如图，有以下结论：①b2﹣4c＜0；②c﹣b+1=0；③3b+c+6=0；④当1＜x＜3时，x2+（b﹣1）x+c＜0．其中正确结论的个数为（） C 134A．1B．2C．3D．46．如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为x=﹣1，且过点（﹣3，0）下列说法：①abc＜0；②2a﹣b=0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣5，y1），（2，y2）是抛物线上的两点，则y1＞y2．其中说法正确的是（）DA．①②B．②③C．②③④D．①②④7.已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象如图所示，则下列结论： ①a ，b 同号； ②当x ＝1和x ＝3时，函数值相同； ③4a ＋b ＝0; ④当y ＝－2时，x的值只能取0；其中正确的个数是（）23 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4题型八、函数解析式的求法用待定系数法求二次函数的解析式（1）一般式：c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式. （2）顶点式：()k h x a y +-=2.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.（3）交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=.一、已知抛物线上任意三点时，通常设解析式为一般式y=ax 2+bx+c ，然后解三元方程组求解； 1．已知抛物线过A （1，0）和B （4，0）两点，交y 轴于C 点且BC ＝5，求该二次函数的解析式。

二次函数各知识点、考点、典型例题及练习

二次函数各知识点、考点、典型例题与对应练习（超全）【典型例题】题型 1 二次函数的概念例1（基础）.二次函数2365y x x =--+的图像的顶点坐标是（） A ．（-1，8） B.（1，8） C （-1，2） D （1，-4）点拨：本题主要考察二次函数的顶点坐标公式例2.（拓展，2008年XX 市中考题，12）下列命题中正确的是○1若b 2－4ac ＞0，则二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与坐标轴的公共点的个数是2或3 ○2若b 2－4ac=0，则二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴只有一个交点，且这个交点就是抛物线顶点。

○3当c=－5时，不论b 为何值，抛物线y=ax 2+bx+c 一定过y 轴上一定点。

○4若抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴有唯一公共点，则方程ax 2+bx+c=0有两个相等的实数根。

○5若抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴有两个交点A 、B ，与y 轴交于c 点，c=4，S △ABC=6，则抛物线解析式为y=x 2－5x+4。

○6若抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）的顶点在x 轴下方，则一元二次方程ax 2+bx+c=0有两个不相等的实数根。

○7若抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）经过原点，则一元二次方程ax 2+bx+c=0必有一根为0。

○8若a －b+c=2，则抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）必过一定点。

○9若b 2＜3ac ，则抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴一定没有交点。

○10若一元二次方程ax 2+bx+c=0有两个不相等的实数根，则函数y=cx 2+bx+a 的图象与x 轴必有两个交点。

○11若b=0，则抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴的两个交点一个在原点左边，一个在原点右边。

点拨：本题主要考查二次函数图象与其性质，一元二次方程根与系数的关系，与二次函数和一元二次方程二者之间的联系。

中考数学-二次函数题型-求解析式

二、已知抛物线的顶点坐标，或抛物线上纵坐标相同的两点和抛物线上另一点时，通常设解析式为顶点式y=a(x－h)2+k求解。
3．已知二次函数的图象的顶点坐标为（1，－6），且经过点（2，－8），求该二次函数的解析式。
4．已知二次函数的图象的顶点坐标为（1，－3），且经过点P（2，0）点，求二次函数的解析式。
中考数学
二次函数题型-求解析式
教学目标:
二次函数的解析式
函数解析式的求法
一、已知抛物线上任意三点时，通常设解析式为一般式y=ax2+bx+c，然后解三元方程组求解；
1．已知二次函数的图象经过A（0，3）、B（1，3）、C（－1，1）三点，求该二次函数的解析式。
2．已知抛物线过A（1，0）和B（4，0）两点，交y轴于C点且BC＝5，求该二次函数的解析式。
三、已知抛物线与轴的交点的坐标时，通常设解析式为交点式y=a(x－x1)(x－x2)。
5．二次函数的图象经过A（－1，0），B（3，0），函数有最小值－8，求该二次函数的解析式。
6．已知x＝1时，函数有最大值5，且图形经过点（0，－3），则该二次函数的解析式。
7．抛物线y=2x2+bx+c与x 轴交于（2，0）、（－3，0），则该二次函数的解析式。
15．若二次函数y=ax2+bx+c经过（1，0）且图象关于直线x= 对称，那么图象还必定经过哪一点？
16．y=－x2+2(k－1)x+2k－k2，它的图象经过原点，求①解析式②与x轴交点O、A及顶点C组成的△OAC面积。
17．抛物线y= (k2－2)x2+m－4kx的对称轴是直线x=2，且它的最低点在直线y=－ x+2上，求函数解析式。

求二次函数解析式的典型题

求二次函数解析式的典型题二次函数解析式三种求法1、一般式：2、顶点式：3、交点式：例题精讲1、已知二次函数y=+bx+c的图像经过A2,0和B0,-6两点;(1)求该二次函数的解析式;(2)设该二次函数的对称轴与x轴交于点C,连接BA、BC,求△ABC的面积;2、已知抛物线的顶点坐标为M1,﹣2,且经过点N2,3,求此二次函数的解析式．3、已知一抛物线与x轴的交点是A﹣2,0、B1,0,且经过点C2,8．1求该抛物线的解析式；2求该抛物线的顶点坐标．课堂训练1、在直角坐标平面内,二次函数图象的顶点为A1,﹣4,且过点B3,0．1求该二次函数的解析式；2将该二次函数图象向右平移几个单位,可使平移后所得图象经过坐标原点并直接写出平移后所得图象与x轴的另一个交点的坐标．2、已知抛物线y=ax2+bx+c经过﹣1,0,0,﹣3,2,﹣3三点．1求这条抛物线的解析式；2写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标．3、已知二次函数图象经过2,﹣3,对称轴x=1,抛物线与x轴两交点距离为4,求这个二次函数的解析式．4、2004沈阳如图二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A、B、C三点．1观察图象,写出A、B、C三点的坐标,并求出抛物线解析式；2求此抛物线的顶点坐标和对称轴；3观察图象,当x取何值时,y＜0,y=0,y＞0;5、2003甘肃已知二次函数y=m﹣2x2+m+3x+m+2的图象过点0,5．1求m的值,并写出二次函数的解析式；2求出二次函数图象的顶点坐标和对称轴．6、1999河南已知一个二次函数的图象经过点1,﹣1,0,1,﹣1,13,求这个二次函数的解析式．7、已知二次函数的图象的对称轴为x=2,函数的最小值为3,且图象经过点﹣1,5,求此二次函数图象的关系式．。

二次函数解析式的几种求法

二次函数解析式的几种求法一、定义型：此类题目是根据二次函数的定义来解题，必须满足二个条件：1、a ≠0； 2、x 的最高次数为2次．例1、若 y =( m2+ m )xm2 – 2m －1是二次函数，则m = ．解：由m2+ m ≠0得:m ≠0，且 m ≠－ 1由m2–2m –1 = 2得m =－1 或m =3∴ m = 3 ．二、已知三点求二次函数的解析式当已知二次函数的图象经过三已知点时，通常把这三点的坐标代入一般式c bx ax y ++=2（a ≠0）中，可得以a 、b 、c 为未知数的三元方程组，解此方程组求得a 、b 、c 的值再代入一般式可得所求函数解析式。

例已知二次函数的图象经过点A （1，1）、B （0，2）、C （2，4），求这个二次函数的解析式。

三、已知顶点坐标、对称轴、极值求二次函数的解析式当已知顶点坐标、对称轴、或极值时，可设其解析式为k h x a y +-=2)(（即顶点式）较为简便。

例已知二次函数图象的顶点为（2，5），且与y 轴的交点的纵坐标为13，求这个二次函数的解析式。

解：设这个二次函数的解析式为5)2(2+-=x a y . ∵它与y 轴的交点为（0，13）， ∴135)20(2=+-a ， ∴2=a故所求的解析式为5)2(22+-=x y .即 13822+-=x x y例已知二次函数的图象过点（－1，2），对称轴为1=x 且最小值为－2，求这个函数的解析式。

解：由题设知抛物线的顶点为（1，－2），因此，设所求二次函数为2)1(2--=x a y 。

∵抛物线过点（－1,2）∴22)11(2=---a∴1=a 故所求的解析式为2)1(2--=x y ，即122--=x x y 。

四、已知图象与x 轴两交点坐标求解析式当已知二次函数图象与x 轴的两交点坐标时，可设其解析式为))((21x x x x a y --=较为简便。

例4、已知二次函数的图象与x 轴交于)0,1(-A 、)0,3(B 两点，与y 轴交点的纵坐标为2，求此二次函数的解析式。

二次函数中考复习题型总结归纳

中考专题之二次函数考点一：二次函数解析式【知识点】三种解析式形式 1.一般式：2+y ax bx c =+(a ≠0)．若已知条件是图象上的三个点，则设所求二次函数为2y ax bx c =++，将已知条件代入，求出a 、b 、c 的值．2.交点式（双根式）：12()()(0)y a x x x x a =--≠．若已知二次函数图象与x 轴的两个交点的坐标为(x 1，0)，(x 2，0)，设所求二次函数为12()()y a x x x x =--，将第三点(m ，n)的坐标(其中m 、n 为已知数)或其他已知条件代入，求出待定系数，最后将解析式化为一般形式． 3.顶点式：2()(0)y a x h k a =-+≠．若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大值(或最小值)，设所求二次函数为2()y a x h k =-+，将已知条件代入，求出待定系数，最后将解析式化为一般形式．【经典例题】例1 已知一条抛物线经过点（0，0），（2，4），（4，0）,求这个函数关系式。

【变式练习】1．已知二次函数的图象经过A （0，3）、B （1，3）、C （－1，1）三点，求该二次函数的解析式。

2．已知抛物线过A （1，0）和B （4，0）两点，交y 轴于C 点且BC ＝5，求该二次函数的解析式。

3．已知二次函数的图象的顶点坐标为（1，－6），且经过点（2，－8），求该二次函数的解析式。

4．已知二次函数的图象的顶点坐标为（1，－3），且经过点P（2，0）点，求二次函数的解析式。

5．二次函数的图象经过A（－1，0），B（3，0），函数有最小值－8，求该二次函数的解析式。

考点二：二次函数图像【知识点】一、各种形式的二次函数的图像性质如下表：1.抛物线c bx ax y ++=2中的系数c b a ,,（1）a 决定开口方向，几个不同的二次函数，如果二次项系数a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.当0>a 时，抛物线开口向上，顶点为其最低点；当0<a 时，抛物线开口向下，顶点为其最高点. （2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置：当0=b 时，对称轴为y 轴；当a 、b 同号时，对称轴在y 轴左侧；当a 、b 异号时，对称轴在y 轴右侧.（3）c 决定抛物线与y 轴交点位置：当0=c 时，抛物线经过原点；当0>c 时,相交于y 轴的正半轴；当0<c 时,则相交于y 轴的负半轴. （4）.抛物线与x 轴的交点设二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程02=++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式来判定：（1）240b ac ->⇔抛物线与x 轴有两个交点；（2）240b ac -=⇔抛物线与x 轴有一个交点（顶点在x 轴上）；（3）240b ac -<⇔抛物线与x 轴没有交点. 要点诠释：当x ＝1时，函数y ＝a+b+c ；当x ＝-1时，函数y ＝a-b+c ；当a+b+c ＞0时，x ＝1与函数图象的交点在x 轴上方，否则在下方；当a-b+c ＞0时，x ＝-1与函数图象的交点在x 轴的上方，否则在下方． 2.求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法：a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=，顶点是），（ab ac a b 4422--，对称轴是直线ab x 2-=。

二次函数几种解析式的求法

二次函数的解析式求法求二次函数的解析式这类题涉与面广，灵活性大，技巧性强，笔者结合近几年来的中考试题，总结出几种解析式的求法，供同学们学习时参考。

一、三点型例1 已知一个二次函数图象经过（-1，10）、（2，7）和（1，4）三点，那么这个函数的解析式是_______。

分析已知二次函数图象上的三个点，可设其解析式为y=ax 2+bx+c,将三个点的坐标代入，易得a=2,b=-3,c=5 。

故所求函数解析式为y=2x 2-3x+5.这种方法是将坐标代入y=ax 2+bx+c 后，把问题归结为解一个三元一次方程组，求出待定系数 a, b , c, 进而获得解析式y=ax 2+bx+c.二、交点型例2 已知抛物线y=-2x 2+8x-9的顶点为A ，若二次函数y=ax 2+bx+c 的图像经过A 点，且与x轴交于B （0，0）、C （3，0）两点，试求这个二次函数的解析式。

分析要求的二次函数的图象与x 轴的两个交点坐标，可设y=ax(x-3),再求也y=-2x 2+8x-9的顶点A （2，-1）。

将A 点的坐标代入y=ax(x-3),得到a=21∴y=21x(x-3),即 y=x x 23212 .三、顶点型例 3 已知抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点是A(-1,4)且经过点(1,2)求其解析式。

分析此类题型可设顶点坐标为(m,k)，故解析式为y=a(x-m)2+k.在本题中可设y=a(x+1)2+4.再将点(1,2)代入求得a=-21∴y=-,4)1(212++x即y=-.27212+-x x由于题中只有一个待定的系数a ，将已知点代入即可求出，进而得到要求的解析式。

四、平移型例 4 二次函数y=x 2+bx+c 的图象向左平移两个单位，再向上平移3个单位得二次函数,122+-=x x y 则b 与c 分别等于(A)2,-2;(B)-6,6;(c)-8,14;(D)-8,18.分析逆用平移分式，将函数y=x 2-2x+1的顶点（1，0）先向下平移3个单位，再向右平移两个单位得原函数的图象的顶点为（3，-3）。