圆锥曲线焦点三角形推导
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椭圆焦点三角形
1．椭圆焦点三角形定义及面积公式推导
（1）定义：如图1，椭圆上一点与椭圆的两个焦点12,F F 构成的三角形12
PF F 称之为椭圆焦点三角形． （2）面积公式推导
解：在12PF F ∆中，设12F PF α∠=，11PF r =，22PF r =，由余弦定理得
2
2
2
1212
12
cos 2PF PF F F PF PF α+-=
⋅222
1212
(2)2r r c r r +-=
⋅ 22121212()242r r r r c r r +--=22
1212(2)242a r r c r r --=
2212124()22a c r r r r --=212
122b rr r r -=
∴21212cos 2r r b r r α=-
即2
1221cos b r r α
=+，
∴12
212112sin sin 221cos PF F b S r r ααα∆==⨯⨯+2sin 1cos b αα=+=2tan 2
b α． 例1．焦点为12,F F 的椭圆22
14924
x y +=上有一点M ，若120MF MF ⋅=，求12
MF F ∆的面积．
解：∵120MF MF ⋅=， ∴12MF MF ⊥， ∴ 12MF F S ∆=290tan
24tan
242
2
b α
︒
==． 例2．在椭圆的22
221(0)x y a b a b
+=>>中，12,F F 是它的两个焦点，B 是短轴的
一个端点，M 是椭圆上异于顶点的点，求证：1212F BF F MF ∠>∠．
证明：如图2，设M 的纵坐标为0y ，
图1
F 1 x
y
O
P
F 2
∵21210212121
21MF F F BF S y F F b F F S ∆∆=⋅>⋅=
， ∴221212tan tan 22F BF F MF b b ∠∠>， 即1212tan tan 22F BF F MF ∠∠>， 又121211
,22
F BF F MF ∠∠都是锐角， 故121211
22F BF F MF ∠>∠ 从而有1212F BF F MF ∠>∠．
2．双曲线焦点三角形定义及面积公式推导．
（1）定义：如图3，双曲线上一点P 与双曲线的两个焦点12,F F 构成的三角形12PF F 称之为双曲线焦点三角形．
（2）面积公式推导：
解：在12PF F ∆中，设12F PF α∠=，11PF r =，22PF r =，由余弦定理得
2
2
2
1212
12
cos 2PF PF F F PF PF α+-=
⋅222
1212
(2)2r r c r r +-=
⋅ 22121212()242r r r r c r r -+-=22
1212(2)242a r r c r r +-=
2212122()r r c a r r --=
2
12
12
2rr b
r r -= ∴2
1212cos 2r r r r b α=-
即2
1221cos b r r α
=-，
∴12
212112sin sin 221cos PF F b S r r ααα∆==⨯⨯-2sin 1cos b αα=-=2cot 2
b α． 例3、已知双曲线22169144x y -=，设12,F F 是双曲线得两个焦点．点P 在双曲线上，1232PF PF ⋅=，求12F PF ∠的大小．
解：双曲线的标准方程为22
1916
x y -
=， 图2
F 1 x
y O M F 2
B 图3
F 1 x
y
O
P
F 2
∴121212121211
sin 32sin 16sin 22
PF F S PF PF F PF F PF F PF ∆=
⋅∠=⨯∠=∠， 从而有1216sin F PF ∠1216cot 2
F PF ∠==12
1216sin 1cos F PF F PF ∠-∠， ∴12cos 0F PF ∠=， ∴1290F PF ∠=︒．
例4：椭圆22
162
x y +
=与双曲线 2213x y -=的公共焦点为12,F F ，P 是两曲线的一个交点，求21cos PF F ∠的值．
解：在椭圆和双曲线中异算12PF F ∆面积 ∵122tan 1cot
2
2
PF F S α
α
∆==⨯，
∴2
1
tan 2
2
α
=
， ∴2
21
1tan 1122cos 13
1tan 122
α
αα--
=
==++
． 开拓：从上例我们不难发现，若椭圆22
112211
1(0)x y a b a b +=>>和双曲线
22
222
2221(0,0)x y a b a b -=>>有公共的焦点12,F F 和公共点P ，那么12PF F ∆的面积2121tan
2F PF S b ∠=，又2122cot 2
F PF
S b ∠=，从而22212S b b =⋅，即12S b b =⋅．