九年级数学上册 第二章 一元二次方程 1 花边有多宽快乐学案(无答案)1 北师大版
贵州省六盘水市第十三中学九年级数学上册 2.1 花边有多宽导学案(无答案) 北师大版
花边有多宽3、观察下面等式：
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六盘水市第十三中学数学导学案
主要设计者：夏榕九年级数学备课组组长：最终审核人：
集体备课人及执行人：徐燕尚强华陈丽夏榕邓伦君聂国华肖荷张元彦童英红———————————————————————————————————
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甘肃省张掖市临泽县第二中学九年级数学上册 第二章《
第二章《花边有多宽》导学案备注【教学目标】：1、掌握一元二次方程的一般形式。
2、会将一元二次方程化为一般形式，并会指出二次项、一次项和常数项。
【重点】：一元二次方程的概念【难点】：如何把实际问题转化为数学方程【学法指导】：观察实践法，分组讨论法，讲练结合法，自主探究法。
【预习提纲】：1.只含_____未知数；（2）它们的最高次数都是____次的方程；（3）是__________方程．这样的方程叫做一元二次方程。
2. 一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，•经过整理，•都能化成如下形式______________________________．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．【范例导学】：1、一块四周镶有宽度相等的花边的地毯如下图，它的长为８m ，宽为５m ．如果地毯中央长方形图案的面积为１８m 2， 则花边多宽?2、如图，一个长为10m 的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m ．如果梯子的顶端下滑1m ，那么梯子的底端滑动多少米？由上面两个问题，我们可以得到两个方程（8-2x)(５-２x)=18; 即 2x 2－13x ＋11 = 0 (x ＋6) 2＋7 2=102即 x 2＋12 x －15 ＝010m7m6m1m上面的方程都是只含有 的 ，并且都可以化为 的形式，这样的方程叫做一元二次方程。
把ax 2＋bx ＋c ＝０(a ，b ，c 为常数,a ≠０)称为一元二次方程的一般形式，其中ax 2 ， bx ， c 分别称为二次项、一次项和常数项，a ， b 分别称为二次项系数和一次项系数。
【当堂检测，小组评价】：1．在下列方程中，一元二次方程的个数是（ ）． ①3x 2+7=0 ②ax 2+bx+c=0 ③（x-2）（x+5）=x 2-1 ④3x 2-5x=0 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个2．方程2x 2=3（x-6）化为一般形式后二次项系数、•一次项系数和常数项分别为（ ）．A ．2，3，-6B ．2，-3，18C ．2，-3，6D ．2，3，6 3．方程3x 2-3=2x+1的二次项系数为________，一次项系数为_________，常数项为_________．4.关于x 的方程（a-1）x 2+3x=0是一元二次方程，则a 的取值范围是__________.【拓展探究】：1、写出方程12)3)(31(2+=++x x x的二次项系数、一次相系数和常数项。
九年级数学上册 2.1花边有多宽第一课时教案 北师大版【教案】
2.1花边有多宽方程是刻画现实世界的一个有效数学模型，随着数学应用的日趋广泛，方程的工具作用显得愈发重要.一元二次方程是中学数学的主要内容，在初中数学中占有重要的地位．本节“花边有多宽”是一元二次方程的基础，是通过丰富的实例，让学生建立一元二次方程，并通过观察归纳出一元二次方程的概念，进而通过夹逼思想估算方程的解．本节的重、难点是一元二次方程的概念及其近似解．2.1花边有多宽(一)教学目标(一)教学知识点1．一元二次方程的概念2．一元二次方程的有关概念．(二)能力训练要求1．经历由具体问题抽象出一元二次方程的概念的过程，进一步体会方程是刻画现实世界的一个有效数学模型．2．理解一元二次方程的概念(三)情感与价值观要求从生活实际中抽象出数学问题，让学生感受方程是刻画现实世界数量关系的工具，增加对一元二次方程的感性认识．教学重点一元二次方程的概念a≠0教学难点一元二次方程的概念:a≠0教学方法启发诱导式教具准备投影片四张第一张：花边有多宽(记作投影片§2．1．1 A)第二张：数学问题(记作投影片§2．1．1 B)第三张：实际问题(记作投影片§2．1．1 C)第四张：想一想(记作投影片§2．1．1 D)教学过程Ⅰ．创设现实情景、引入新课[师]前面我们学过黄金分割，知道黄金比是多少吗?[生]黄金比是0.618．[师]很好，你知道黄金比为什么是0．618吗?……[师]好，经济时代的今天，你能根据商品的销售利润作出一定的决策吗?你能为一个矩形花园提供多种设计方案吗?……从今天开始，我们来学习能解决这些问题的知识：第二章：一元二次方程．与一次方程和分式方程一样，一元二次方程也是刻画现实问题的有效数学模型．下面我们来学习第一节：花边有多宽．Ⅱ．讲授新课[师]我们来看一个实际问题 (出示投影片§2．1．1 A)；大家来讨论讨论．一块四周镶有宽度相等的花边的地毯，如图所示，它的长为8m，宽为5 m，如果地毯中央长方形图案的面积为18m2，那么花边有多宽?[生]我们可以利用列方程来求解．[师]很好，那如何列方程来求解实际问题呢?想一想，前面我们学习的列一元一次方程的思路和方法．[生]要从题中，找出已知量、未知量及问题中所涉及的等量关系．这个题已知：这块地毯的长为8 m，宽为5 m，它中央长方形图案的面积为18m2．这个题所要求的是；地毯的花边有多宽．本题是以面积为等量关系．[师]这位同学分析得很好，下面我们共同来利用这些数量关系列出方程．[师生共析]如果设花边的宽为x m，那么地毯中央长方形图案的长为(8-2x)m，宽为(5-2x)m，根据题意，可得方程(8-2x)(5-2x)＝18注意：1．利用列方程解实际问题时，关键是要找到等量关系，如本题中的面积等于长乘以宽． 2．用一个含有未知数的代数式表示一个量，并且这个量有单位时，需要把这个代数式用括号括起来，如本题中的地毯中央长方形图案的长、宽等．[师]好，下面我们来看一个数学问题(出示投影片§ 2．1．1 B)：观察下面等式102+112+122＝132+142．你还能找到其他的五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗?[生]这个题我们也可以利用数量关系列方程．[师]很好，如果设五个连续整数中的第一个数为x，那么后面的四个数该如何表示呢? [生甲]因为任何两个连续整数的差为1.所以，如果设五个连续整数中的第一个数为x，那么后面四个数依次可表示为x+1，x+2，x+3，x+4．[生乙]根据题意，则可得到方程x2+(x+1)2+(x+2)2=(x+3)2+(x+4)2．[生丙]老师，我觉得这个题也可以设中间的那个数为x，那么其余四个数依次为x-2，x-1，x+1，x+2，由此也可得方程(x-2)2+(x-1)2+x2＝(x+1)2+(x+2)2．这样行吗?[师]丙同学的思路很好，这个问题可以有不同的设未知数的方法，同学们可灵活设未知数，即可设这五个数中的任意一个，其他四个数可随之变化．下面我们来看一个实际问题(出示投影片§2．1．1 C)：如图，一个长为10 m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8 m，如果梯子的顶端下滑1 m，那么梯子的底端滑动多少米?[师]同学们分组讨论，列出方程．[生甲]墙与地面是垂直的，因而墙、地面和梯子构成了直角三角形．已知梯子的长为10 m，梯子的顶端距地面的垂直距离为8 m，所以由勾股定理可知，滑动前梯子底端距墙有6 m．[生乙]设梯子底端滑动xm，那么滑动后梯子底端距墙(6+x)m，根据题意，利用勾股定理，可得方程．(x+6)2+(8-1)2＝102，即(x+6)2+72＝102．[师]同学们讨论得很完整，接下来想一想，议一议(出示投影片§ 2．1．1 D)：由上面三个问题，我们可以得到三个方程：(8-2x)(5-2x)＝18，x2+(x+1)2+(x+2)2=(x+3)2+(x+4)2，(x+6)2+72＝102．这三个方程有什么共同特点?[生甲]这三个方程的每个方程的左、右两边都是整式．[生乙]我把这三个方程进行了化简，即(1)(8-2x)(5-2x)＝18，40-26x+4x2＝18，4x2-26x+22＝0．(2)x2+(x+1)2+(x+2)2＝(x+3)2+(x+4)2，x2+x2+2x+1+x2+4x+4=x2+6x+9+x2+8x+16，x2-8x-20＝0．(3)(x+6)2+72=102，x2+12x+36+49=100，x2+12x-15=0．由此可以知道：这三个方程可以化简为三项的和．[生丙]把这三个方程经过化简后，最高次数是二次．[生丁]这三个方程的每一个方程中只含有一个未知数．[师]同学们总结得很好．上面的三个方程都是只含有一个未知数x的整式方程,等号两边都是关于未知数的整式的方程，称为整式方程，如：我们学习过的一元一次方程，二元一次方程等都是整式方程．这三个方程还都可以化为ax2+bx+c＝0(a、b、c为常数，a≠0)的形式，这样的方程我们叫做一元二次方程(quadrat ic equatton wit h one unknown)，即只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．注意：1．一元二次方程必须同时满足以下三点；(1)方程是整式方程．(2)它只含有一个未知数．(3)未知数的最高次数是2，即化简为ax2+bx+c=0时，a≠0．2．任何一个关于x的一元二次方程都可以化为ax2+bx++c=0(a≠0)的形式,其中a≠0是定义的一部分，不可漏掉，否则就不是一元二次方程了．因为任何一个关于x的一元二次方程都可以化为ax2+bx+c=0《a≠0》的形式，所以我们把ax2+bx+c＝O(a、b、c为常数，a≠0)称为一元二次方程的一般形式,其中ax2、bx、c分别称为二次项、一次项和常数项，a、b分别称为二次项系数和一次项系数．注意：(1)当a＝0，b≠0时，方程就是一元一次方程，当一个方程是一元二次方程时，则隐含了条件：a≠0.(2)要准确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，必须把它先化为一般形式．Ⅲ．应用、深化课本P43随堂练习1．从前有一天，二个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门框宽4尺，竖着比门框高2尺，另一个醉汉教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个醉汉一试，不多不少刚好进去了．你知道竹竿有多长吗?请根据这一问题列出方程．解：设竹竿长为x尺，则门框宽为(x-4)尺，门框高为(x-2)尺，根据题意，得x2＝(x-4)2+(x-2)2，即x2-12x+20=02．把方程(3x+2)2＝4(x-3)2化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项.解：方程(3x+2)2＝4(x-3)2的一般形式是5x2+36x-32＝0．方程的二次项系数是5，一次项系数是36，常数项是-32．Ⅳ．课时小结本节课我们由讨论“花边有多宽”得出一元二次方程的概念．1．一元二次方程属于“整式方程”，其次，它只含有一个未知数，并且都可以化为ax2+bx+c=0(a、b、c为常数，a≠0)的形式．2．一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c＝O(a≠0)，一元二次方程的项及系数都是根据它的一般形式定义的，这与多项式中的项、次数及其系数的定义是一致的．3．在实际问题转化为数学模型(一元二次方程)的过程中，体会学习一元二次方程的必要性和重要性．Ⅴ.课后作业(一)课本P44习题2．1 1、2(二)1．预习内容：P44-P462．预习提纲探索一元二次方程的解或近似解，Ⅵ．活动与探究1．当d、b、c满足什么条件时，方程(a-1)x2-bx+c＝0是一元二次方程?这时方程的二次项系数、一次项系数分别是什么?当a、b、c满足什么条件时，方程(a-1)x2-bx+c＝0是一元一次方程?[过程]让学生通过讨论、总结，知道：对于方程ax2+bx+c＝0，当a≠0时．是一元二次方程；当a＝0且b≠0时，方程为bx+c=0，是一元一次方程．[结果]当a≠1时，方程(a-1)x2-bx+c＝0是一元二次方程，这时，方程的二次项系数是a-1，一次项系数是-b．当a=1且b≠0时，方程是一元一次方程．板书设计2.1花边有多宽(一)一、1．设花边的宽为x m，那么地毯中央长方形图案的长为(8-2x)m，宽为(5-2x)m．根据题意，可得(8-2x)(5-2x)＝18．2．设五个连续整数中的第一个数为x，那么后面四个数依次可表示为x+1、x+2、x+3、x+4．根据题意，可得x2+(x+1)2+(x+2)2＝(x+3)2+(x+4)2．3．设梯子底端滑动x m，那么滑动后梯子底端距墙(x+6)m．根据题意，可得(x+6)2+72＝102．二、议一议三个方程的共同特点：(1)只含有一个未知数．(2)整式方程．(3)可化为ax2+bx+c＝0．三、1．一元二次方程的定义．2．一元二次方程的一般形式；ax2+bx+c＝0(a≠0)ax2是二次项，a是系数bx是一次项，b是系数c是常数项四、练习五、小结六、课后作业。
北师大版九年级上一元二次方程学案
第二章一元二次方程花边有多宽（1）学习目标：1、经历抽象一元二次方程概念的过程，进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型。
2、会识别一元二次方程及各部分名称。
一、自主探究活动内容：问题一：一块四周镶有宽度相等的花边的地毯如下图，它的长为８m，宽为５m．地毯中央长方形图案的面积为１８m2。
根据这一情境，结合已知量你想求哪些量？你能根据条件列出关于这个量的什么关系式？问题二：你能找到关于102、112、122、132、142这五个数之间的等式吗？得到等式102+112+122=132+142之后你的猜想是什么？根据猜想继续找五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和。
问题三：如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m．如果梯子的顶端下滑1m.那么梯子的底端滑动多少米？二、总结归纳活动内容：归纳一元二次方程的概念：结合上面三个问题得到的三个方程，观察它们的共同点，得到一元二次方程的概念及其各部分的名称。
一元二次方程概念：含有一个未知数并且未知数的最高次数是2的整式方程。
经过整理后，一个一元二次方程可化简为ax2+bx+c=0(a≠0)，即它的一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)。
应从两方面理解一元二次方程的一般形式：(1)若ax2+bx+c=0是一元二次方程，则有a≠0； (2) 若a≠0(b、c可以为零)，则ax2+bx+c=0是一元二次方程。
判断一个方程是不是一元二次方程，满足三个条件：①含有一个未知数并且未知数的最高次数是2;②必须是整式方程；③二次项系数不能为零。
简而言之是指经化简后，若符合ax2+bx+c=0(a≠0) ，则为一元二次方程，否则不是。
三、学以致用活动内容：1、把方程(3x＋2)2＝4(x－3)2化成一元二次方程的一般形式,并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．2．从前有一天，一个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门框宽４尺，竖着比门框高２尺，另一个醉汉教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个醉汉一试，不多不少刚好进去了．你知道竹竿有多长吗？请根据这一问题列出方程．8易错易混点1. 下列关于x 的方程：(1) ax 2+bx+c=0 ；(2)532=+aa ；(3)0322=--x x ；(4)0223=+-x x x 中，一元二次方程的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个2. 判断方程m 2(x 2+m)+2x=x(x+2m)-1是不是关于x 的一元二次方程。
九年级数学(上)第二章(2)
回顾与思考
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“知识” 知多少
你能根据商品的销售利润作出一定决策吗? 你能根据商品的销售利润作出一定决策吗
与一次方程和分式方程一样,一元二次方程也是刻画现实 与一次方程和分式方程一样 一元二次方程也是刻画现实 的有效数学模型
做一做
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花边有多宽
一块四周镶有宽度相等的花边的地毯如下图，它的 长为８m，宽为５m．如果地毯中央长方形图案的面 积为１８m2 ，则花边多宽?
c分别称为二次项、一次项和常数项，a， b分别
称为二次项系数和一次项系数．
驶向胜利 的彼岸
想一想:
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内涵与外延
1.关于x的方程(k－3)x2 ＋ 2x－1＝0,当k ≠3 时，是一元二次方程． 2.关于x的方程(k2－1)x2 ＋ 2 (k－1) x ＋ 2k ＋ 2＝0,当 k ≠±1 时，是一元二次方程．,当k ＝－1 时， 是一元一次方程．
AC BC = ,那么称线段AB被点C黄金分割 AB AC
C B
驶向胜利 的彼岸
学 一 二 方 之 ,我 可 求 习 元 次 程 后 们 以 得 AC BC = = AB AC 5 −1 2 ≈ 0.618. 1
回顾与思考
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数学与生活
你能为一个矩形花园提供多种设计方案吗? 你能为一个矩形花园提供多种设计方案吗
3、教学目标： 、教学目标： 根据上述教材分析，考虑到学生已有的认知结构、 根据上述教材分析，考虑到学生已有的认知结构、心理特 征，制定如下教学目标 (1)知识目标： 知识目标： 知识目标 1）经历抽象一元二次方程的概念的过程，进一步体会 ）经历抽象一元二次方程的概念的过程， 方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型。 方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型。 2）理解和掌握一元二次方程及其一般形式。 ）理解和掌握一元二次方程及其一般形式。 3）会判断一个方程是一元二次方程 ） 情感态度与价值观: （2）.情感态度与价值观 ） 情感态度与价值观 通过用一元二次方程解决实际问题过程， 通过用一元二次方程解决实际问题过程，激发学生学数 学的兴趣，体会做数学的快乐， 学的兴趣，体会做数学的快乐，培养用数学的意识
九年级上第二章《一元二次方程》学案
§2.1花边有多宽学习目标：经历抽象一元二次方程的概念的过程，进一步体会方程是刻画现实世界的一个有效数学模型。
学习重点：认识产生一元二次方程知识的必要性学习难点：列方程的探索过程学习过程：一、知识回顾1、什么是方程？2、我们学过的方程有哪几种类型，举例说明。
3、列方程解应用题的步骤。
二、学习新课1、阅读46页的两道题目，找出等量关系，列方程2、阅读47页的题目，根据题意画图，从图形中找出等量关系，列方程3、把以上三个方程化简，发现它们有什么共同特点？它们属于哪一类方程？4、一元二次方程的三个特点：是__________方程；有________个未知数；化简后，未知数最高次数是____。
5、什么是一元二次方程的一般形式？三、巩固练习：完成48页“随堂练习”，49页“知识技能”2四、小结§2.2配方法学习目标：1．会用开平方法解形如(x十m)2＝n(n≥0)的方程；2．理解一元二次方程的解法——配方法学习重点：利用配方法解一元二次方程学习难点：把一元二次方程通过配方转化为(x十m)2＝n(n≥0)的形式学习过程：一、知识回顾：1、什么是一元二次方程和它的一般形式？2、完成54页“做一做”二、探索新知：1、解方程：（1）x2=5；（2）(x+2)2=5思考：以上方程用什么方法解？2、解方程：x2+12x+36=5思路点拨：将方程化成(x十m)2＝n的形式来解3、阅读54页例1，得到用配方法解一元二次方程的步骤（完善各步骤的具体做法）：（1）移项：____________________________________ ______(2)配方___________________________________________________________(3)开方：_________________________________________________(4)解：____________________________________________________4、完成55页“随堂练习”5、阅读56页例2，思考：当一元二次方程二次项系数不为1时，该如何处理？三、巩固练习：完成56页“做一做”；完成57页“随堂练习”四、小结§2.3公式法学习目标：1．一元二次方程的求根公式的推导；2．会用求根公式解一元二次方程学习重点：一元二次方程的求根公式学习难点：求根公式的条件：b2-4ac≥0学习过程：一、知识回顾1、用配方法解一元二次方程的步骤有哪些？2、用配方法解方程：x2－7x－18=0二、探索新知1、解方程：ax2+bx+c=0 (a≠0)解：（1）二次项系数化为1：_____________________________________(2)移项：______________________________________________(3) 配方：____________________________________________(4)开方：________________________________________________(5)解两个一元一次方程，得：_______________________________________思考：当b2－4ac≥0时，方程有几个根；当b2－4ac<0时，方程有几个根总结：一元二次方程的求根公式：_________________________________2、公式法：利用_____________解一元二次方程的方法叫做公式法3、解方程：x2―7x―18=0总结：用公式法解一元二次方程的步骤：（1）将方程化为____________形式，找出______________________（2）计算________________________的值，判断方程根的情况（3）把数值代入公式求解三、巩固练习：65页“随堂练习”1、2 四、小结：§2.4分解因式法学习目标：会用分解因式法（提公因式，公式法）解简单的数字系数的一元二次方程学习重点：掌握分解因式法解一元二次方程学习难点：灵活运用分解因式法解一元二次方程学习过程：一、知识回顾：1、一元二次方程的求根公式？2、分别用配方法、公式法解方程：x2－3x+2=03、分解因式：（1）5 x2－4x（2）x－2－x(x－2) (3) (x+1)2－25二、探索新知1、阅读67~68页小颖、小明、小亮的解法，谈一谈自己的看法：谁的解法正确？谁的解法更快？2、利用_________________解一元二次方程的方法叫分解因式法3、例题讲析：解下列方程：(1) 5x2=4x(2) x－2=x(x－2)4、想一想：你能用分解因式法简单方程x2－4=0；(x+1)2－25=0吗？三、巩固练习：69页“随堂练习”1、2四、小结§2.5为什么是0.618（1）学习目标：经历分析具体问题中的数量关系，建立方程模型并解决问题的过程，认识方程模型的重要性，并总结运用方程解决实际问题的一般步骤。
(北师大版)九年级上册数学第二章《一元二次方程》2.1花边有多宽(导学案)
花边有多宽【学习目标】1．在具体情境中，理解一元二次方程相关概念及其解的概念；2．通过自主探索和小组合作，会列出问题情境中的方程，并学会估算一元二次方程的解； 3．积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲，在数学活动中，获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心。
【使用说明和学法指导】1．用15分钟左右的时间认真阅读、探究课本基础知识，并借助《教材解读》自主学习，用双色笔勾画出一元二次方程的相关概念。
2．认真完成课前导学案的问题； $3．初步评价自己完成学习目标情况，并把自己的疑问写出来，以求课堂上解决。
【课前导学】 一、探究新知：知识点1 一元二次方程定义解读：1、只含有一个未知数x 的_________方程，并且都可以转化成______________（a 、b 、c 为常数，a ______0）的形式，这样的方程叫做一元二次方程。
2、相关概念：二次项是______，一次项是______，c 叫做_________。
3、反思：(1) 由于一元二次方程的最高次数为______，所以必须满足a ______0；(2) 由于一元二次方程的一般形式是_____________________，所以在化为一般形式时，一定要使得方程的右边是_______。
只有把方程转化为一般形式后，才可确定是否是一元二次方程。
^【自我测评】1． 辨析下列方程是否为一元二次方程，不是的请说明原因：①310x -=；②0132=-x③0132=+xx ；④)2)(1(122--=-x x x ；⑤215)73)(25(x x x =-+；⑥x y x 322=+2．把方程：x x x -=--3)5(2化成一般形式为__________________，其二次项系数为_____，一次项系数为________，常数项为________。
3．若2)1(222+-=++x c bx ax ，则a =______，b =_______，c =_______。
新北师大版九年级上册第二章一元二次方程全章教案
新北师大版九年级上册第二章一元二次方程全章教案(总21页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除第二章 一元二次方程 认识一元二次方程-（1） 晋公庙中学数学组学习目标：1、会根据具体问题列出一元二次方程。
通过“花边有多宽”，“梯子的底端滑动多少米”等问题的分析，列出方程，体会方程的模型思想，2．通过分析方程的特点，抽象出一元二次方程的概念，培养归纳分析的能力 3．会说出一元二次方程的一般形式，会把方程化为一般形式。
学习重点：一元二次方程的概念学习难点：如何把实际问题转化为数学方程 学习过程：一、导入新课：什么是一元一次方程什么是二元一次方程 二、自学指导：1、自主学习：自学课本31页至32页内容，独立思考解答下列问题：1）情境问题：列方程解应用题：一个面积为120 m 2的矩形苗圃，它的长比宽多2m 。
苗圃的长和宽各是多少？设未知数列方程。
你能将方程化成ax 2+bx+c=0的形式吗？阅读课本P48，回答问题： 1）什么是一元二次方程？2）什么是一元二次方程的一般形式二次项及二次项系数、一次项及一次项系数、常数项2、合作交流：1.一元二次方程应用举例：1）一块四周镶有宽度相等的花边的地毯，如图所示，它的长为8m ，宽为5m ，如果地毯中央长方形图案的面积为18m 2，那么花边有多宽?列 方程并化成一般形式。
2）求五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和。
如果设中间的一个数为x ，列 方程并化成一般形式。
3）如图，一个长为10m 的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m ，如果梯子的顶端下滑1m ，那么梯子的底端滑动多少米? 列出方程并化简。
如果设梯子底端滑动x m ，列 方程并化成一般形式。
2.知识梳理：1）一元二次方程的概念：强调三个特征：①它是______方程；②它只含______未知数；③方程中未知数的最高次数是__________.8一元二次方程的一般形式： 在任何一个一元二次方程中，_______是必不可少的项．2）几种不同的表示形式：①ax 2+bx+c=0 (a ≠0,b ≠0,c ≠0) ② ___________ (a ≠0,b ≠0,c=0) ③____________ (a ≠0,b=0,c ≠0) ④___________ (a ≠0,b=0,c=0) 三、当堂训练1、判断下列方程是不是一元二次方程,并说明理由。
九年级数学上册 第二章 一元二次方程 1 花边有多宽课时训练 北师大版
2.1花边有多宽第1题． 若方程2231kx x x +=+是一元二次方程，则k 的取值范围是．第2题． 下列方程中，不是整式方程的是（）Ａ．21523x x += 3720x +-= Ｃ．2213x x+=Ｄ．1725x -=第3题． 下列各方程中一定是关于x 的一元二次方程的是（ ）Ａ．234x x m =+ Ｂ．280ax -= Ｃ．20x y +=Ｄ．560xy x -+=第4题． 若方程2(1)1m x -=是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是（）Ａ．1m ≠ Ｂ．m ≥0 Ｃ．0m ≥且1m ≠ Ｄ．m 为任意实数第5题． 把下列方程整理成一般形式，然后写出其二次项系数，一次项系数及常数项． （1）232232m x mx m x nx px q +=+++（2）2)(3)x x x =-第6题． 设33100a x x -+-=和34680b x x -++=都是一元二次方程，求20042002()a b +的值．第7题． 关于x 的方程1(1)10k k x kx -+++=是一元二次方程，求k 的值．第8题． 方程214y y --=-化为一般形式后，二次项系数是，一次项系数是，常数项是 ．第9题． 若2950ax x -+=是一元二次方程，则不等式360a +>的解集是 ．第10题． 下列方程中，不是整式方程的是（）Ａ．21523x x += 3720x +-= Ｃ．2213x x+=Ｄ．1725x -=第11题． 若方程2(1)1m x -=是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是（）Ａ．1m ≠ Ｂ．m ≥0Ｃ．0m ≥且1m ≠Ｄ．m 为任意实数第12题． 求关于x 的一元二次方程222(31)(1)m mx m x m x -+-=+的二次项系数、一次项系数及常数项．第13题． 下列各方程中属于一元二次方程的是（ ） （1）214y y -= （2）22t = （3）213x=（40= （5）325x x -= （6）22(1)20x x ++-=Ａ．（1）（2）（3）． Ｂ．（2）（3）（4）． Ｃ．（1）（2）（6）． Ｄ．（1）（2）．第14题． 把下列方程先化成一元二次方程的一般形式，再写出它的二次项系数、一次项系数和常数项：（1）22469154x x x x +=-+；（2）2(31)(2)51x x x x -+=-++ （3）22(23)2(5)41t t +--=-．第15题． 不解方程，估计方程2410x x --=的根的大小（精确到0．1）第16题． 下列方程中属于一元二次方程的是（ ） Ａ．22(3)4x x-=-+． Ｂ．0ax b +=．25x -=． 21x =+．第17题． 关于x 的一元二次方程22(32)0x m x n n ---=中，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）Ａ．1，3mn ，22mn n -． Ｂ．1，3m -，22mn n -． Ｃ．1，m -，2n -． Ｄ．1，3m ，22mn n -．第18题． 在下列方程中一定是关于x 的一元二次方程的是（ ） Ａ．29ax bx c ++=． Ｂ．3560k x k ++=．20x x =． Ｄ．2(3)30m x -+-=．第19题． 填表第20题． 若方程210ax bx c ++-=是一元二次方程，则必须满足条件 ．若此方程是一元一次方程，则必须满足条件 ．第21题． 当k 时，方程2223kx x x -=-是关于x 的一元二次方程．第22题． 关于x 的一元二次方程(3)(3)2(2)4x x a x a -+-+=，化成一般形式是 ．二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 ．第23题． 解方程2214133x x x x -+=-时，设21xy x =-，则原方程化成关于y 的整式方程是 ．．第24题． 已知a ，b ，c 均为有理数，判定关于x 的方程2231ax x c b -+=-是不是一元二次方程？如果是，请写出二次项系数、一次项系数及常数项．如果不是，请说明理由．第25题． m 为何值时，关于x 的方程2(31m m xmx m --=是一元二次方程？写出这个一元二次方程的一般形式．第26题． 下列各式哪个不是二次三项式（ ） Ａ．2(0)ax bx c a ++≠，a ，b ，c 为实数 Ｂ．22285x xy y +-Ｃ．2132x x -- Ｄ．2132x x--第27题． 将方程25x x +=化成一般形式是 ．第28题． 用一块长宽分别为8cm ，6cm 的矩形薄铁片，在四个角处裁去四个相同的小正方形，再折叠成一个无盖且底面积为15cm 2的长方体盒子，据上述题意，可得方程： ．第29题． 若1x =-是20(0)ax bx c a ++=≠的一个解，你能求出b a c --的值吗？第30题． k 时，关于x 的方程22(1)(1)10k x k x ---+=是一元二次方程．第31题． 某种洗衣机的包装箱外形是长方体，其高为1．2米，体积 为1．2立方米，底面是正方形，则该包装箱的底面边长为 米．1.答案：3k ≠2.答案：Ｃ3.答案：Ａ4.答案：（1）2()0m n x px q ---=，二次项系数为：m n -，一次项系数p -，常数项为q -．（2）22630x x --=，二次项系数为2，一次项系数为6-，常数项为3-． 5.答案：Ｃ 6.答案：32342a b -=⎧⎨-=⎩12a b =⎧⎨=⎩∴ 20042002220022200222002(()()[()()]()()(12)(12)322a b a b a b a b a b a b a b +==-=-=-7.答案：123131.10k k k k k k ⎧-===-⎧⎪=⎨⎨≠-+≠⎪⎩⎩或，，∴∴8.答案：1，4-，19.答案：2a >-且0a ≠ 10.答案：Ｃ 11.答案：Ｃ12.答案：解：将方程222(31)(1)m mx m x m x -+-=+化为一般式：223(31)0mx m x m m -++-=．∵已知该方程是一元二次方程，所以0m ≠．此方程的二次项系数为3m ，一次项系数为(31)m -+，常数项为2m m -． 13.答案：Ｄ15.答案：解：分别取与时，有：2(0.3)4(0.3)10.09 1.210.290--⨯--=+-=>，2(0.2)4(0.2)10.160----=<．于是，方程2410x x --=必有一根在0.3-与0.2-之间．分别取 4.2x =与 4.3x =时，有：24.24 4.210.160-⨯-=-<，24.34 4.310.290-⨯-=>因此，方程2410x x --=必有一根在4．2与4．3之间．16.答案：Ｃ 17.答案：Ｂ 18.答案：Ｃ20答案：0a ≠；0a =，0b ≠ 21.答案：3k ≠-22.答案：一般形式是22890x ax a ++-=；二次项系数是1，一次项系数是2a ，常数项是89a -．23.答案：23410y y -+=24.答案：是一元二次方程，二次项系数为a 3--，常数项为1c b -+．25.答案：m =，一般形式为210-=26.答案：Ｄ27.答案：251)0x x -=28.答案：(82)(62)15x x --= 29.答案：1 30.答案：1≠±31.答案：0，将1x =-代入20ax bx c ++=，得0a b c -+=，从而0b c a --=。
初中九年级数学 第二章一元二次方程学案设计及测试题
1、花边有多宽（1）设计人：温现国教师寄语：没有自信，成功远在天涯。
拥有自信，你已成功了一半。
【学习目标】1、知识与技能：理解一元二次方程的定义，会判断满足一元二次方程的条件。
2、能力培养：能根据具体情景应用知识。
3、情感与态度：体验与他人合作的重要性及数学活动中的探索和创造性。
【学习重点】1、一元二次方程的定义；2、一元二次方程的一般形式。
【学习过程】（教师寄语：自信是成功的前提！）一、前置准备：1、什么是方程？什么样的方程是一元一次方程？2、多项式2x2-3x+1是几次几项式？每项的系数和次数分别是几？二、自学探究：理解一元二次方程的概念并会把一元二次方程化为一般形式。
自学教材42-43页，回答：（1）如果设花边的宽为xm，那么地毯中央长方形图案的长为m，宽为m 根据题意，可得方程（2）试再找出其他的五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和：；如果设五个连续整数中的第一个数为x，那么后面四个数依次可表示为、、、，根据题意可得方程：（3）根据图2-2，由勾股定理可知，滑动前梯子底端距墙 m，如果设梯子底端滑动xm，那么滑动后梯子底端距墙 m，梯子顶端距地面的垂直距离为 m，根据题意，可得方程：三、合作交流：观察上述三个方程，它们的共同点为：①；②；象这样的方程叫做。
其中我们把称为一元二次方程的一般形式，ax2，bx，c分别称为、、，a、b分别称为、。
1、分别把上述三个方程化为ax2+bx+c=0的形式并说明每个方程的二次项系数、一次项系数和常数项：（1）（2）（3）（与同学交流你的想法）四、归纳总结：通过本节课的学习你学到了哪些知识？与同学交流一下。
五、当堂训练：1、判断下列方程是否为一元二次方程，如果是说明二次项及二次项系数、一次项及一次项系数和常数项：（1）2x 2+3x+5 （2）（x+5）（x+2）=x 2+3x+1 （3）（2x-1）（3x+5）=-5 （4）（3x+1）（x-2）=-5x2、把方程(3x+2)2=4(x-3)2化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项。
九年级数学上册 第二章 一元二次方程 1 花边有多宽名师教案 北师大版
10．复习总结，布置作业。
作业：P47，习题2.2：1、2
板书设计：
1．认真听讲，对本单元(一元二次方程) 有了一个较好的总体认识，为新的内容的学习作好准备。
2．进入良好的学习状态，在教师的引导下顺利进入到新课的学习中，新颖的标题也引起了学生的兴趣；
7．认真体会老师的思路，老师是如何总结抽象概括的。记下一元二次方程的要点和定义。
8．认真听讲，掌握一般的一元二次方程的形式和二次项系数不为0的要点，清楚二次项、一次项、常数项以及二次项和一次项系数的含义。
9．顺利指出三个方程的二次项、一次项、常数项以及二次项、一次项的系数。
10．总结本节内容，记下作业。
教学重点
一元二次方程的概念
教学难点
如何把实际问题ห้องสมุดไป่ตู้化为数学方程
学情分析
本课通过丰富的实例：花边有多宽、梯子的底端滑动多少米 ，让学生观察、归纳出一元二次方程的有关概念，并从中体会方程的模型思想。学生在以前的学习中已经了解了方程的概念，但对于一元二次方程没有深入的理解。通过本节课的学习，应该让学生进一步体会一元二次方程也是刻画现实世界的一个有效学生模型。
6．正整数是学生最熟悉的内容，五个连续整数的性质引发了学生的兴趣和探究的欲望，受到前面题目的启发，可能会想到可以通过设未知数列方程来求解。
7．积极认真地填空，大部分学生可以顺利完成。
8．回答老师的问题；并基本正确，做对的同学举手示意，方便老师掌握情况。
9．对于这个问题也很感兴趣，有的猜测可能梯子底端滑动的距离和梯子顶端滑动的距离一样，都是1米，但不能充分说明。
2．给学生必要的提示：我们曾经学习了—元一次方程，同学们可以类比着它的要点来看看这些方程有什么特点。
北师大版-数学-九年级上册-2.1花边有多宽 课时1 教案
北师大版九年级上第二章第一节花边有多宽(一) 教案一、教学目标：（一）知识与技能1、一元二次方程的概念2、一元二次方程的有关概念（二）过程与方法1、经历抽象一元二次方程的概念的过程，进一步体会方程是刻画现实世界的一个有效数学模型。
2、理解一元二次方程的概念（三）情感态度与价值观让学生感受到方程时刻画显示世界数量关系的工具，增加对一元二次方程的感性认识二、教学重点：一元二次方程的概念：a ≠0教学难点：一元二次方程的概念：a ≠0三、教学方法：启发诱导式四、教学过程：（一）创设情景，引入新课1、艺术设计一块四周镶有宽度相等的花边的地毯如图所示，它的长为8m ，宽为5m 。
如果地毯中央长方形图案的面积为18m 2，那么花边有多宽？如果设花边的宽为x 米，那么地毯中央长方形图案的长为 5m米，宽为 米。
根据题意，可得方程 。
答案：（8－2x ）(5－2x)=182、趣味数学 口算：365141312111022222++++ 这是俄罗斯画家别尔斯基的一幅题为《难题》的名画中写在教室黑板上的一道题，此画上面还画了拉钦斯基和他的作口算的学生们。
拉钦斯基（1836～1902）一度曾在大学中任自然科学教授，后来辞去大学的职务，成为一名普通的乡村教师，在这期间，对非标准习题的解法以及口算给予很大注意。
从惊奇与趣味中激发学生思考：这样的数组还有吗？如何求解？设未知数的技巧。
联想勾股定理中：222543=+，……如果设五个连续整数中的第一个数为x ，那么后面四个数依次可表示为 ， ， ， 。
根据题意，可得方程 。
答案：x 2＋(x ＋1) 2＋(x ＋2) 2=(x ＋3) 2＋(x ＋4)2 3、梯子移动如图，一个长为10m 的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m 。
如果梯子的顶端下滑1m ，那么梯子的底端滑动多少米？及时教育学生，要学会用数学的眼光观察生活中的现象，培养自己发现问题与解决问题的能力。
北师大版九年级(初三)数学上册教案教案 2、一元二次方程 2.1.1 花边有多宽
第1课时§2.1.1 花边有多宽教学目标1、 经历抽象一元二次方程概念的过程，进一步体会方程是刻画现实世界的一个有效数学模型2、 了解和掌握一元二次方程的一般形式教学重点和难点重点：引导学生列出方程并抽象出一元二次方程的概念 难点：引导学生列出方程并抽象出一元二次方程的概念教学过程设计一、 从学生原有的认知结构提出问题在七年级的时候，我们学习了一元一次方程；八年级的时候，我们学习了分式方程；这一章，我们将会学习另一种方程。
二、 师生共同研究形成概念1、 整式方程和分式方程方程的两边都是关于未知数的整式，这样的方程叫做整式方程。
如：532=+x 分母中含有未知数的方程叫分式方程。
如：322=+x 一元一次方程：元：所含的未知数的个数；次：未知数的最高次数2、 引导出二元一次方程的定义根据题意，列出方程：1） 一个数的平方与1的和等于50，求这个数: 5012=-x2） 两个连续整数的各是240，求这两个数: 240)1(=+x x ， 即2402=+x x3） 一个长比宽多4的矩形的面积为60，求这个矩形的宽: 60)4(=+x x ， 即6042=+x x☆ 想一想 书本P 42 具体实例 通过“花边有多宽”、“梯子下滑”等丰富的实例，让学生观察、归纳出一元二次方程的有关概念，并从中体会方程的模型思想。
梯子下滑可借助教具讲解。
书本所列举的例子较难，讲解时，可通过其它实例让学生抽象出方程模型。
✧ 花边有多宽实例得出方程：18)25)(28(=--x x ，即：0111322=+-x x ✧ 五个连续整数实例得出方程：22222)4()3()2()1(+++=++++x x x x x ，即： ✧ 梯子下滑得出方程：222107)6(=++x ，即：015122=-+x x☆ 议一议 书本P 44 议一议 通过对所列三个方程共性的分析，抽象出一元二次方程的概念。
可先让学生进行观察与思考，并用自己的语言进行描。
北师大版九年级数学上册研学案：2-1花边有多宽(1)
一、学习目标：1．一元二次方程的概念及它的一般形式2．经历由具体问题抽象出一元二次方程的概念的过程，进一步体会方程是刻画现实世界的一个有效数学模型．学习重点：一元二次方程的概念学习难点：求一般形式中的abc二、学习过程：课前热身：什么是一元一次方程、什么是二元一次方程？自主学习：阅读课本P48，回答问题：1．一元二次方程的概念：强调三个特征：①它是______方程；②它只含______未知数；③方程中未知数的最高次数是__________.一元二次方程的一般形式：__________，在任何一个一元二次方程中，_______是必不可少的项．2.几种不同的表示形式：①ax2+bx+c=0 (a≠0,b≠0,c≠0)② ___________ (a≠0,b≠0,c=0)③____________ (a≠0,b=0,c≠0)④___________ (a≠0,b=0,c=0)课堂小结：1．一元二次方程属于“整式方程”，其次，它只含有一个未知数，并且都可以化为_______________________的形式．其中________是定义的一部分，不可漏掉，否则就不是一元二次方程了。
2．一元二次方程必须化为一般形式___________________________后，才能找它的项及系数。
三、反馈检测：1、下列叙述正确的是（）B.方程4x2+3x=6不含有常数项D.一元二次方程中，二次项系数一次项系数及常数项均不能为03、关于x的方程(k2－1)x2＋ 2 (k－1) x ＋ 2k ＋ 2＝0,当k =______时，是一元二次方程．,当k =_______时，是一元一次方程．4、当m=_________时，方程032)1(1=++-+mx x m m 是关于x 的一元二次方程。
（2）(x+2)(x-1)=6（3）4-7x 2=06、判断下列方程是不是一元二次方程,并说明理由。
（1）x 2-y=1 (2) 1/x 2-3=2(3)2x+x 2=3 (4)3x-1=0(5) (5x+2)(3x-7)=15x 2 （k 为常数）(6)ax 2+bx+c=0(7)()02122=-++k x k。
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第二章一元二次方程学案
2．1、花边有多宽（1）
【学习目标】1、知识与技能：理解一元二次方程的定义，会判断满足一元二次方程的条件。
2、能力培养：能根据具体情景应用知识。
3、情感与态度：体验与他人合作的重要性及数学活动中的探索和创造性。
【学习重点】1、一元二次方程的定义；
2、一元二次方程的一般形式。
【学习过程】
一、前置准备：1、什么是方程？什么样的方程是一元一次方程？
2、多项式2x2-3x+1是几次几项式？每项的系数和次数分别是几？
二、自学探究：
理解一元二次方程的概念并会把一元二次方程化为一般形式。
自学教材，回答：
（1）如果设花边的宽为xm，那么地毯中央长方形图案的长为 m，宽为 m 根据题意，可得方程
（2）试再找出其他的五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和：
；
如果设五个连续整数中的第一个数为x，那么后面四个数依次可表示为、、、，根据题意可得方程：
（3）根据图2-2，由勾股定理可知，滑动前梯子底端距墙 m，如果设梯子底端滑动xm，那么滑动后梯子底端距墙 m，梯子顶端距地面的垂直距离为 m，根据题意，可得方程：
三、合作交流：
观察上述三个方程，它们的共同点为：①；②；象这样的方程叫做。
其中我们把称为一元二次方程的一般形式，ax2，bx，c分别称为、、，a、b分别称为、。
1、分别把上述三个方程化为ax2+bx+c=0的形式并说明每个方程的二次项系数、一次项系数
和常数项：
（1）
（2）
（3）
四、归纳总结：
通过本节课的学习你学到了哪些知识？与同学交流一下。
1.一元二次方程的定义；
2、一元二次方程的一般形式。
五、当堂训练：
1、判断下列方程是否为一元二次方程，如果是说明二次项及二次项系数、一次项及一次项系数和常数项：
（1）2x 2+3x+5 （2）（x+5）（x+2）=x 2
+3x+1 （3）（2x-1）（3x+5）=-5 （4）（3x+1）（x-2）=-5x
2、把方程(3x+2)2=4(x-3)2
化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项。
3、关于x 的方程（k-3）x 2
+2x-1=0，当 k 时，是一元二次方程。
【课下训练】
1、在教材随堂练习1中：如果设竹竿长为x 尺，则门框长为 尺，宽为 尺。
列出的方程是 。
2、根据题意，列出方程：
（1）有一面积为54平方米的长方形，将它的一边剪短5米，另一边剪短2米，恰好变成一个正方形，这个正方形的边长是多少？
（2）三个连续的整数两两相乘，再求和，结果为242，这三个数分别是多少？
3、把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数
4、关于x 的方程（k -1）x +2（k-1）x+2k+2=0
当k 时是一元二次方程；当 k 时是一元一次方程。
5、把方程2x(x-3)=(x+1)(x-2)+3化成ax 2
+bx+c=0的形式后,a,b,c 的值分别是（ ）
A.3、7、1
B.2、-5、-1
C.1、-5、-1
D.3、-7、-1
6、方程①x 2
-1=x; ②2x 2
-y-1=0; ③3x 2
-x 1
+1=0; ④
15
2 x 中.其中是一元二次方程的是（ ）
A. ①④
B. ①③④
C.① .
D. ①②
【链接中考】关于x 的方程（k-2
3）x 2
+(m-3)x-1=0，是一元二次方程。
则k 和m 的取值范围分别为什么？。