经济数学微积分期末复习资料

经济数学--微积分大一下期末复习资料 考试题型：

1.求偏导数5*8’=40’

2.求偏弹性1*6’=6’

3.条件极值1*6’=6’

4.二重积分2*6’=12’

5.微分方程与差分方程4*6’=24’

6.无穷级数2*6’=12’ a.判断正项级数敛散性

判断交错级数敛散性及条件或绝对收敛 b.求和函数（收敛半径、收敛域）

求和函数展开式

一.求偏导

类型1：展开式形式，如：xy z =

求解：将求的看做变量，另一个看做常数。求二阶时，只要对相应的一阶再求一次即可。

Eg ：设133

2

3

+--=xy xy y x z ，求22x z ∂∂、x y z ∂∂∂2、y

x z

∂∂∂2、22y z ∂∂

解：

y -y 3-y x 3x

z

322=∂∂

x -x y 9-y x 2y

z

23=∂∂

2

2x z ∂∂=

2x y 6

x y z ∂∂∂2=1-y 9-y x 622 y

x z ∂∂∂2=1-y 9-y x 62

2 22y z ∂∂=x y 18-x 23

类型2:），（y x z f =

求解：画链式法则进行求解

Eg ：）（z ，，xy y x f w ++=，求z

x w

x w ∂∂∂∂∂2，

解：设u=x+y+z ，v=xyz ，，（v u f w =

则

链

式

法

则

如右图所示

参考资料：课本练习册7-16页 二.求偏弹性

经济数学-微积分P310 例8

u w

v

x

z

y x y

PS ：例8

参考资料：练习册21-22页 三.条件极值

求解：找出目标函数与约束条件，设出拉格朗日函数，解方程组，得出答案。

参考资料：练习册19-20页 四.二重积分 类型1.直角坐标系下 型 先积x 再积y 型 先积y 再积x 类型2.极坐标系下

⎩⎨

⎧==θ

θrsin y rcos x θσrdrd d =：PS

求解：1.做出积分区间

2.判断适合用直角坐标解答还是极坐标

3.如果适合用直角坐标系解答，判断是X 型还是Y 型。

4.如果需要，要考虑交换积分次序。 参考资料：练习册23-26页 五.微差分方程 微分方程：

（一）)x (y x dx

dy Q P =+）（

⎥⎦

⎤⎢⎣⎡+⋅⎰•⎰==+≡===+≡⎰⋅⋅C Q Q P Q P P P Q P P dx x Y x y x dx

dy

x dx x -y

dy

y x -dx dy

0y x dx

dy

0x dx x dx x -）

（）（）（运用公式

）（）（）不（②）（）（可分离变量为）（时）（①

（二）为常数）、（）（q p x f qy y p y x

λ =+'+''

*

x n x

n

k *x n

k *x x 21x 21rx 21x r 1x r 1212y y x f qy y p y x y y y x x y 2k 1k 0k x x y x f qy y p y x f qy y p y 0qy y p y 0x f 0x f x sin x cos r r 0x r 0r r 00

q pr r 0

qy y p y 0

x f 21+==+'+'''''=⎪⎩

⎪

⎨⎧=====+'+''=+'+''=+'+''=≡⎪⎩

⎪⎨⎧+=±=<∆+==∆+=>∆=++=+'+''≡Y Q Q Q C C Y i C C Y C C Y 的通解为）（综上可得）中的相关未知值。（通过待定系数法可求出带入原方程中。、、将的一阶导与二阶导，并）（求出是特征方程的重根。，是特征方程的单根。，不是特征方程的解。，）（的特解为）（即设的特解。

）（再求的通解。即①步骤。，求出）（先令时

）不（②）（。则，，解得虚根）（。则，解得单根。则，，解得双根特征方程为）（①λλλλλαλλλβββα

非齐次方程的通解=所对应的齐次方程的通解+非齐次方程的特解

差分方程：一阶 （一））

（x Q ay -y n x 1x =+ ①当时）

（0x Q n ≡ x

x 1x Ca y a

0a -0ay -y ====+方程的通解为解得特征方程为λλ

②当时）不（0x Q n ≡

即）

（x Q ay -y n x 1x =+ 先求所对应的齐次方程的通解。即① 再求非齐次方程的特解。

即设）（x Q ay -y n x 1x =+的特解为）

（x x y n k *Q = ⎩

⎨

⎧==是特征方程的解。，不是特征方程的解。

，k 1k k 0k 求出1x *y +，并将*y 、1x *y +代入）（x Q ay -y n x 1x =+中求出）（x n Q 中的各值。

因此）（x Q ay -y n x 1x =+的通解是其所对应的其次方程的通解+原方程的特解，即y=Y+*y （二））（x Q by ay y n x 1x 2x =++++ ①当）

（x n Q =0时