弹簧振子周期影响因素

弹簧振子周期的影响因素

（南京 210096）

摘要：本文研究了弹簧质量对弹簧振子系统周期的影响，分析了不同方法近似成立的条件并对计算结果进行了讨论。并且通过对弹簧振子研究的进一步探析，发现如果弹簧的形状不是几何对称, 即使用相同的方法对弹簧两端分别挂测，其质量对周期公式产生的影响也是不同的。从而发现弹簧振子的周期与其重心位置也是有关的。

关键词：弹簧振子；周期；质量；重心

Spring vibrator cycle impact factors

(Information science and engineering college of Southeast University, Nanjing, 210096)

Abstract:This paper studies the quality of spring spring vibration subsystem the influence of the cycle, and analyzes on the different methods of approximate established condition and the calculation results are discussed. And through the spring vibrator further analysis, found that if the shape of the spring is not symmetrical geometric, that is, using the same method of spring ends hang separately measured, its quality to cycle the impact of the formula is also different. Spring vibrator to find the cycle of barycenter position is also related with.

key words: spring vibrator; cycle;quality;focus

人们在讨论弹簧振子的振动情况时，往往忽略弹

簧本身的质量。实际弹簧振子由质量为m、劲度系数为k的弹簧和连接于弹簧一端的质量为M的振动物体组成。由于弹簧本身有质量，这种弹簧振子不是理想振子，它的振动周期与弹簧的质量有着密切的联系。当我们把这种影响仅归于质量因素时，振子的周期可以写成与弹簧有效质量有关的表达式。

而且质量一定，形状不规则的弹簧，其运动周期还与他的形状及重心相关。

作者简介：1实验回顾

在“弹簧振子周期公式研究”的实验中，最后的课题探究采用控制变量的方法，控制振子质量M不变，研究弹簧自身质量m对弹簧振子振动周期的影响。测得的数据见表1。

表1 弹簧振子周期与质量的关系

用Origin软件作出——图像，并进行线性

分析。

图1 ——图像

由Origin软件线性分析的到B=0.32437±0.00633。

可见如果考虑弹簧质量，弹簧这子周期公式就不再简

单的满足公式了。那么弹簧质量是如何影

响弹簧振子运动的呢。我想通过理论推导与实验的结

合来进行一定的分析。

2 分析弹簧质量对振动周期的影响

2.1利用机械能守恒法进行分析

如图2所示,设弹簧未形变时的长度为,此时弹

簧单位长度的质量为。设弹簧质量m比振

动物体的质量M小,以至于弹簧质量对弹簧振子的振

型没有影响。近似地,可以假定弹簧各截面的位移是按

线性规律变化的,因此,离弹簧固定端距离为u的截面

的位移为,其中,x为振动物体离开弹簧平

衡位置O的位移。不计各种阻力引起的能量损耗,弹簧

振子系统的能量守恒。

图2 弹簧振子示意图

弹簧的动能

(1)

振动物体的动能

(2)

弹簧振子系统的弹性势能

(3)

根据机械能守恒定律有

(4)

将(4)式对时间求导，整理后得

(5)

与谐振子的动力学方程比较得弹簧振子系统的周

期为

(6)

可见，当考虑弹簧质量m,且在m比M小时，弹簧振子的运动仍可认为是谐振动，但计算周期时要把弹簧质量的1/3加到M上去，再按不考虑弹簧质量时的周期计算公式计算即可。

探究实验中求得的B=0.32437±0.00633。其误差为

误差

<5，在误差允许范围内，可以认为两者相等。

2.2利用迭代法进行分析

设弹簧的匝数为N，实际弹簧振子的运动可以归结为不同圆频率谐振动的合成，即

且使

，

由参考文献[3]知

(7)

其中(n=0,1,2,…)

是为了描述动态劲度系数

和有效质量而引入的一系列参数，它们由弹簧振子的本征方程

， (8) 和本征值

(9)决定。振动物体的各阶振动周期为

(10) 其中

(11)将式(9)代入式(8)中有

(12)

利用级数展开式式(12)可以写成

(13)通过分析发现，对固定的γ值，n=0

对应的基频的

振幅占绝对优势，高频振动的振幅随频率的增大而迅速减小（比如，γ=1时,=98％）。因此，为简单起

见，只讨论n=0时弹簧振子的周期。取式(13)右边前两项易得

(14)

再取初值代人式(14)迭代,有

(15)代人式(11)可得

(16)因此迭代法近似得到基频振动的周期为

(17) b由式(16)给出，只与振动物体质量和弹簧质量之比γ有关。式(17)把弹簧质量对振动周期的影响归结为

有效质量，很容易就能求出基频振动周期。

2.3对两种分析方法的讨论

(1)比较两种不同方法知道,从机械能守恒定律出发,计算过程简单清晰,而迭代法过程稍为复杂,但能得到更准确且带有普遍意义的结果。机械能守恒近似法中假定弹簧各截面的位移按线性规律变化，或者说