描述函数法
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自动控制原理
天津职业技术师范大学 自动化与电气工程学院
王菁华
推荐
http://hi.baidu.com/steveric021 4/blog/item/70e909dca8ca08df 8d102930.html 百度：描述函数 达尼尔 朋来先敬
第七章 非线性系统
7.1 典型非线性特性 7.2 描述函数 7.3 描述函数法 7.4 相平面法 7.5 像平面法分析 7.6 例题精解
1 1
1 1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0 ; | x | a t [(0, 1 ) ( 1, 1 ) (2 1,2 )]
二、描述函数的计算
因为死区特性是单值奇对称的，所以
B1
4
1
2
A1 0, 1 0
0
y (t ) sin td (t ) y (t ) sin td (t )
A1 0, 1 0, N B1 / A
二、 描述函数的计算
1）死区特性
y
1 1
1 2 1
二、 描述函数的计算
-a a
输入：x(t ) A sin t ( A a)
输出:
k ( x a) k ( Asin t a) ; x a t ( , ) y k ( x a) k ( Asin t a) ; x a t ( ,2 )
n 1
A0 Yn sin( nt n )
n 1
7.2 描述函数
如果非线性特性是奇对称的，即满足条件(2)那么 直流分量A0=0。
An Bn
1
1
2
0 2
y (t ) cos ntd (t ) y (t ) sin ntd (t )
2 n
2）其他典型非线性环节特性
二、描述函数的计算
理想继电器特性的描述函数
M y(t ) M
n 1
x(t ) A sin t
(0 t ) ( t 2)
7.2 描述函数
2.描述函数的定义
7-13 非线性系统典型结构图
设非线性环节y=f (x) 的输入为正弦函数：
x(t ) A sin t
7.2 描述函数
式中，A是正弦函数的幅值。将非线性环节的输出 分解为富氏级数：
y (t ) A0 ( An cos nt Bn sin nt )
§7.2 描述函数
在频率特性中我们知道，对于线性时不变系统， 当输入正弦函数时输出也是同频率的正弦函数，输 出和输入只有幅值和相位的差别。 对于非线性系统，当输入正弦函数时 , 输出是同 频率的非正弦函数，也就是说输出中含有高次谐波， 可见线性系统的频率法不适用于非线性系统。 描述函数法是达尼尔(P.J.Daniel)于1940年提 出的, 它是线性系统频率法在非线性系统中的推广， 是非线性系统稳定性的近似判别法。
7.2 描述函数
描述函数定义为：输出的基波分量与输入正弦函 数的复数比：
B1 ( A) jA1 ( A) Y1 ( A) j1 ( A) N ( A) e A A 显然，描述函数是A的函数，描述函数可以理 解为非线性环节在忽略高次谐波情况下的非线性增 益——这个增益与输入正弦函数的幅值有关。如果 非线性特性是单值奇对称的，那么：
1 1 1 1
Y1 sin( t 1 ) Y1 A1 B1
2 2
如果函数 y=f(x) 已知，输入正弦函数幅值A是
A1 1 arctan B1
一个待定常数，那么傅氏级数 A1 , B1 , Y1 , 1只与A有
关，记作 A1 ( A), B1 ( A), Y1 ( A), 1 ( A) 。
0
Yn A B
2 n 1
An n tan ( ) Bn
7.2 描述函数
在傅氏级数中，n越大，谐波分量的频率越高，所 占比重越小，即An、Bn越小，如果系统满足条件(3) 即G(s)具有良好的低通特性，则高次谐波分量会大 大衰减，可认为非线性环节的稳态输出只含有基波 分量： y (t ) y (t ) A cos t B sin t
4k
2 0
设t1 1 a 则a A sin t1 , t1 sin ( ) A 带入到B1中
1
2 0
( A sin t a ) sin td (t )
二、描述函数的计算
4 Ak 2 2 2 B1 t1sin td (t ) sin t1 t1 sin td (t ) 4 Ak 1 cos 2 t 2 2 d (t ) sin t1 sin td (t ) t1 t1 2 4 Ak t1 1 ( sin t cos t ) sin t cos t ) 1 1 1 1 4 2 2 2 Ak t sin t con t 1 1 1 2
7.2 描述函数
一、描述函数的定义 1.描述函数法的应用条件
(1)非线性系统的结构图可以简化成只有一个非线性 环节N+一个线性部分G(s)串联的闭环结构。 (2)非线性环节N的输入输出特性曲线奇对称，以保 证非线性元件在正弦信号作用下的输出不包含直 流分量。
(3)线性部分G(s)具有良好的低通特性，使得系统 信号中的高次谐波大大衰减，可以用基波来近似。
2 2 Ak a a a sin 1 ( ) 1 2 A A A
二、描述函数的计算
所以死区特性的描述函数为：
2 B1 2k a a 1 a N ( A) sin ( ) 1 ( A a) A A A A
天津职业技术师范大学 自动化与电气工程学院
王菁华
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第七章 非线性系统
7.1 典型非线性特性 7.2 描述函数 7.3 描述函数法 7.4 相平面法 7.5 像平面法分析 7.6 例题精解
1 1
1 1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0 ; | x | a t [(0, 1 ) ( 1, 1 ) (2 1,2 )]
二、描述函数的计算
因为死区特性是单值奇对称的，所以
B1
4
1
2
A1 0, 1 0
0
y (t ) sin td (t ) y (t ) sin td (t )
A1 0, 1 0, N B1 / A
二、 描述函数的计算
1）死区特性
y
1 1
1 2 1
二、 描述函数的计算
-a a
输入：x(t ) A sin t ( A a)
输出:
k ( x a) k ( Asin t a) ; x a t ( , ) y k ( x a) k ( Asin t a) ; x a t ( ,2 )
n 1
A0 Yn sin( nt n )
n 1
7.2 描述函数
如果非线性特性是奇对称的，即满足条件(2)那么 直流分量A0=0。
An Bn
1
1
2
0 2
y (t ) cos ntd (t ) y (t ) sin ntd (t )
2 n
2）其他典型非线性环节特性
二、描述函数的计算
理想继电器特性的描述函数
M y(t ) M
n 1
x(t ) A sin t
(0 t ) ( t 2)
7.2 描述函数
2.描述函数的定义
7-13 非线性系统典型结构图
设非线性环节y=f (x) 的输入为正弦函数：
x(t ) A sin t
7.2 描述函数
式中，A是正弦函数的幅值。将非线性环节的输出 分解为富氏级数：
y (t ) A0 ( An cos nt Bn sin nt )
§7.2 描述函数
在频率特性中我们知道，对于线性时不变系统， 当输入正弦函数时输出也是同频率的正弦函数，输 出和输入只有幅值和相位的差别。 对于非线性系统，当输入正弦函数时 , 输出是同 频率的非正弦函数，也就是说输出中含有高次谐波， 可见线性系统的频率法不适用于非线性系统。 描述函数法是达尼尔(P.J.Daniel)于1940年提 出的, 它是线性系统频率法在非线性系统中的推广， 是非线性系统稳定性的近似判别法。
7.2 描述函数
描述函数定义为：输出的基波分量与输入正弦函 数的复数比：
B1 ( A) jA1 ( A) Y1 ( A) j1 ( A) N ( A) e A A 显然，描述函数是A的函数，描述函数可以理 解为非线性环节在忽略高次谐波情况下的非线性增 益——这个增益与输入正弦函数的幅值有关。如果 非线性特性是单值奇对称的，那么：
1 1 1 1
Y1 sin( t 1 ) Y1 A1 B1
2 2
如果函数 y=f(x) 已知，输入正弦函数幅值A是
A1 1 arctan B1
一个待定常数，那么傅氏级数 A1 , B1 , Y1 , 1只与A有
关，记作 A1 ( A), B1 ( A), Y1 ( A), 1 ( A) 。
0
Yn A B
2 n 1
An n tan ( ) Bn
7.2 描述函数
在傅氏级数中，n越大，谐波分量的频率越高，所 占比重越小，即An、Bn越小，如果系统满足条件(3) 即G(s)具有良好的低通特性，则高次谐波分量会大 大衰减，可认为非线性环节的稳态输出只含有基波 分量： y (t ) y (t ) A cos t B sin t
4k
2 0
设t1 1 a 则a A sin t1 , t1 sin ( ) A 带入到B1中
1
2 0
( A sin t a ) sin td (t )
二、描述函数的计算
4 Ak 2 2 2 B1 t1sin td (t ) sin t1 t1 sin td (t ) 4 Ak 1 cos 2 t 2 2 d (t ) sin t1 sin td (t ) t1 t1 2 4 Ak t1 1 ( sin t cos t ) sin t cos t ) 1 1 1 1 4 2 2 2 Ak t sin t con t 1 1 1 2
7.2 描述函数
一、描述函数的定义 1.描述函数法的应用条件
(1)非线性系统的结构图可以简化成只有一个非线性 环节N+一个线性部分G(s)串联的闭环结构。 (2)非线性环节N的输入输出特性曲线奇对称，以保 证非线性元件在正弦信号作用下的输出不包含直 流分量。
(3)线性部分G(s)具有良好的低通特性，使得系统 信号中的高次谐波大大衰减，可以用基波来近似。
2 2 Ak a a a sin 1 ( ) 1 2 A A A
二、描述函数的计算
所以死区特性的描述函数为：
2 B1 2k a a 1 a N ( A) sin ( ) 1 ( A a) A A A A