第5章 生存年金的精算现值

δ
δ
⇒1 = δax + Ax： n
1− zt 1 （2）Var(Y ) = Var( ) = 2 Var(zt )
δ
δ
⇒Var(aT ) =
1
δ
[2Ax:n − ( Ax:n )2 ] 2
为什么会对应两全保险 两全保险？ 思考：为什么会对应两全保险？
（提示：分析Zt的表达式）
20
例5.4（例5.3续） 5.4（ 5.3续
a30:30 =
1− A30:30
δ
1− 0.35 = = 13.01 0.05
22
延期连续生存年金
定义: 定义: 种类 延付m 延付m年终身连续生存年金 延付m 延付m年定期连续生存年金 常用领域 养老金
23
延期连续年金精算现值
险种
延期m年 延期m 终身生存年金
延期m年 延期m n年定期生存年金
精算现 值估计
m
ax = ax − ax:m = m Ex ⋅ ax+m = ( Ax:m − Ax ) 1
mn x
a = ax:m+n − ax:m = m Ex ⋅ ax+m:n = ( Ax:m − Ax:m+n ) 1
δ
δ
24
例5.5（例5.3,5.4续） 5.5（ 5.3,5.4续
Moivre假定下 假定下， 在De Moivre假定下，
Moivre假定下 假定下， 在De Moivre假定下，
ω = 100,δ = 0.05, x = 30
计算：30年定期生存年金精算现值及方差 计算：30年定期生存年金精算现值及方差
a30:30
21
4答案 例5. 4答案
a30:30 1− e−0.05t 1 1− e−0.05×30 40 = ∫ at} fT (t)dt + a30 30 p30 = ∫ dt + = 13.01 0.05 70 δ 70 0 0
27
5.4 期初终身生存年金
当期支付技巧
综合支付技巧
ɺɺ ɺɺ ɺɺ ɺɺ ax = E[aK +1 ] = ∑ ak +1 ⋅ Pr( K = k ) = ∑ ak +1 ⋅ k qx
k =0 k =0
∞
∞
28
相关公式
1 − v K +1 1 1 − Ax ɺɺ ɺɺ 1) ax = E[aK +1 ] = E = d E[ z k ] = d d
ω = 100,δ = 0.05, x = 30
计算：终身连续生存年金精算现值及方差 计算：
a30 , Var(Y )
16
例5.3答案 5.3答案
1− e−0.05t 1 (1) a30 = ∫ at fT (t)dt = ∫ dt 0.05 70 0 0
70 70
1 1− e−0.05×70 = − = 14.458 2 0.05 0.05 × 70 or A30 = ∫ v fT (t )dt = ∫ e
(1)1000040 E25 = 10000×1.06−40 × 0.78765825= 765.78 (1)1000040 E25 = 10000×1.025
例题5.2.2（P140）： 例题5.2.2（P140）： 5.2.2
− 40
× 0.78765825= 2933.48
6
相关公式及意义
(1) lx ⋅ n Ex (1+ i)n = lx+n 1 1 n lx (2) S = = n = (1+ i) v ⋅ n px lx+n n Ex Ex (3) n Ex = t Ex ⋅ n−t Ex+t ⇔ = n Ex
9
终身连续生存年金精算现值的估计 ——综合支付技巧 综合支付技巧
步骤一：计算到死亡发生时间T 步骤一：计算到死亡发生时间T为止的所有已支付的 年金的现值之和 T
aT =
1− v
δ
步骤二： 步骤二：计算这个年金现值关于时间积分所得的年 金期望值，即终身连续生存年金精算现值， 金期望值，即终身连续生存年金精算现值，
3
生存年金的用途
被保险人保费交付常使用生存年金的方式 某些场合保险人保险理赔的保险金采用生存年金的 方式，特别在： 方式，特别在： 养老保险 伤残保险 抚恤保险 失业保险
4
5.2 生存保险
现龄x岁的人在投保n年后仍然存活， 现龄x岁的人在投保n年后仍然存活，可以在 年末获得生存赔付的保险。也就是我们在第4 第n年末获得生存赔付的保险。也就是我们在第4 章讲到的n年期纯生存保险。 章讲到的n年期纯生存保险。n年期生存保险的趸 1 缴纯保费为 Ax:n 在生存年金研究中习惯用 n Ex 表示该保险的精算现 值
30 30
or a30:30 = ∫ v t p30dt = ∫ e
t 0 0 30 30 −0.05t
70− t dt = 13.01 70
30
or A30:30 = ∫ v fT (t)dt + v
t 0 30 30 30
p30 = ∫ e
0
−0.05t
1 −0.05×30 40 dt + e = 0.35 70 70
2 2
1
14
例5.2答案 gt; ax ) = Pr( 0.06 ln 0.4 = Pr(T > − ) 0.06 = ∫ ln 0.4 0.04e
− 0.06 ∞ −0.04t
−0.06T
> 10)
dt
= 0.54
15
例5.3
Moivre假定下 假定下， 在De Moivre假定下，
⇒1 = δax + Ax
1− vt 1− zt 1 （ ）Var(aT ) = Var( 3 ) = Var( ) = 2 Var(zt )
δ
δ
δ
⇒Var(aT ) =
1
δ
[2Ax − ( Ax )2 ] 2
11
例5.2
在死亡力为常数0.04，利息力为常数0.06的假定下， 在死亡力为常数0.04，利息力为常数0.06的假定下， 0.04 0.06的假定下 求 （1） ax （2） aT 的标准差 （3）aT 超过
t 0 0 70 70 −0.05t
1 dt = 0.277 70
a30 =
1− A30
δ
1− 0.277 = = 14.458 0.05
17
例5.3答案 5.3答案
(2)
2 70 70
A30 = ∫ v fT (t)dt = ∫ e
2t 0 0
−0.1t
1 1− e dt = = 0.1427269 70 70× 0.1
ax = E(aT ) = ∫ aT fT (t)dt
0
10
∞
相关公式
（）ax = E(aT ) = ∫ aT fT (t)dt = ∫ 1
0 ∞ ∞
1− vt
0
δ
t
px µx+t dt
1− zt 1 1− vt （2）ax = E(aT ) = E( ) = E( ) = (1− Ax )
δ
δ
δ
t 30 30
−0.05t
70− t dt = 1.45 70
or
30
a30 =
A30:30 − A30
δ
0.35− 0.277 = = 1.45 0.05
26
简介
离散生存年金定义： 离散生存年金定义： 在保障时期内，以被保险人生存为条件，每隔一 在保障时期内，以被保险人生存为条件， 段时期支付一次年金的保险。 段时期支付一次年金的保险。 离散生存年金的分类 期初年金/ 期初年金/期末年金 终身年金/ 终身年金/定期年金 延期年金/ 延期年金/非延期年金
n 0
,0 ≤ T < n ,T ≥ n
ax： = E(Y ) = ∫ at ⋅ t px ⋅ µx+t dt + an ⋅ n px n
当期支付技巧
ax： =∫ v t pxdt n
t 0
n
例题5.3.1（P142） 例题5.3.1（P142） 5.3.1
19
相关公式及理解
1− zt 1 （）ax： = E(Y ) = E( 1 ) = (1− Ax： ) n n
8
终身连续生存年金精算现值的估计 ——当期支付技巧 当期支付技巧
步骤一：计算时间T 步骤一：计算时间T所支付的当期年金的现值
v
T
步骤二： 步骤二：计算该当期年金现值按照可能支付的时间 积分， 积分，得到期望年金现值
ax = E(v ) = ∫ v ⋅ t pxdt
T t 0
∞
例题5.3.2（P143）： 例题5.3.2（P143）： 5.3.2
t
1 n−t Ex+t
x+n 1 S
7
年龄 现时值
n
x
x+t
n−t
Ex 1
Ex+t
1
t
Ex
5.3 连续生存保险
连续生存年金的定义 连续生存年金的定义 在保障时期那，以被保险人存活为条件， 在保障时期那，以被保险人存活为条件，连续支 付年金的保险 连续生存年金的种类 连续生存年金的种类 终身连续生存年金/ 终身连续生存年金/定期连续生存年金 连续生存年金精算现值的估计方法 综合支付技巧： 综合支付技巧：考虑年金在死亡或到期而结束时 的总值 当期支付技巧： 当期支付技巧：考虑未来连续支付的现时值之和
2
生存年金与确定性年金的关系
确定性年金 支付期数确定的年金（ 支付期数确定的年金（利息理论中所讲的年 金） 生存年金与确定性年金的联系 都是间隔一段时间支付一次的系列付款 生存年金与确定性年金的区别 确定性年金的支付期数确定 生存年金的支付期数不确定（ 生存年金的支付期数不确定（以被保险人生 存为条件） 存为条件）