关于细菌繁殖的数学建模
细菌生长和进化过程的数学模拟研究
细菌生长和进化过程的数学模拟研究细菌是一类微小但却很重要的生物体，在自然界中广泛存在。
它们通过分裂繁殖，快速适应环境，并对人类及其他生物产生着广泛的影响。
在这篇文章中，我们将探讨细菌生长和进化过程的数学模拟研究。
第一部分：细菌生长和分裂细菌的生长和分裂是一种快速的过程，可以利用数学模型来描述。
最简单的模型是指数生长模型，它假定细菌的数量一定时，细菌数量会以指数方式增长。
这种模型表明，细菌数量随着时间呈指数增长，即成倍增加。
然而，指数生长模型并不能完全描述细菌的生长和分裂过程。
更复杂的模型考虑了限制因素，如营养和空间，更加精确地描述了细菌数量的增长。
其中一个例子是Logistic模型，它包括一个最大容纳量，表示环境所允许的最大细菌数量。
当细菌数量达到最大容纳量时，它们的生长率会下降。
这个模型可以更准确地预测细菌数量的增长趋势。
另一个例子是Gompertz模型，它考虑了细菌数量的增长率将随着时间而下降。
这个模型更好地匹配多种微生物群的生长数据。
第二部分：细菌进化细菌不仅在生长和分裂方面表现出卓越的适应能力，还能通过进化适应更广泛的环境。
生物进化可以通过数学模型来描述，其中最流行的是突变、漂变和选择模型。
突变模型假定生物体的基因存在随机突变，这些突变可能会改变生物的适应性。
例如，如果生物最初对某一环境并不适应，一个突变可能会使它对该环境更具有适应性。
突变模型可以被视为生物进化中最简单的模型，它只考虑到了随机事件对进化的影响。
漂变模型考虑了随机性和纯随机性对进化的影响。
漂变是指随机性使得一个种群中个体的遗传构成发生变化。
漂变模型考虑到了漂变事件在进化过程中的重要性。
当一个小群体的细菌隔离到其他群体，其遗传结构可能发生变化，这一过程可能影响整个群体。
选择模型是进化中最复杂的数学模型之一，它考虑了生物体基因对于环境的不同适应性。
例如，在某一种环境下，一个特定的基因可能会使生物更容易存活。
随着时间的推移，这种基因将在群体中得到增强，而其他基因则会被淘汰。
种群的数量变化
培养液中酵母菌种群数量的变化
④血球计数板的清洗： 使用完毕后，将血球计数板在水龙头上用水柱冲洗， 切勿用硬刷洗刷，洗完后自行晾干或用吹风机吹干。 镜检，观察每个小格内是否有残留菌体或其他沉淀 物。若不干净，则必须重复洗涤至干净为止。
培养液中酵母菌种群数量的变化
⑤结果分析 数据记录：
以汤麦式血球计数板的数据记录为例。下表为 某一次的数据记录表，其中，A表示五个中方格 的总菌数；B表示菌液稀释倍数：
在大自然中
食物有限 空间有限 种内斗争 种间竞争 天敌捕食……
环境阻力
在自然界中，种群增长的“J”型曲线应 该从哪些方面进行修正呢？
[例]生态学家高斯的实验：
大草履虫数量增长过程 如何？
大草履虫的增长呈 “S”型曲线的原因有 哪些？
大草履虫种群的增长曲线
资源有限条件下的种群增长
食物有限 空间有限 种内斗争 种间竞争 天敌捕食
（3）对家鼠等有害动物的控制，应当采取 什么措施？（有害生物如何防治？）
增大环境阻力，降低环境容纳量（如封储粮 食，清除生活垃圾，养殖它们天敌）；严防 达到K/2，甚至在K/2以前就应采取相应措施。
（4）为保护鱼类资源不受破坏，并持续获得 最大捕鱼量，被捕鱼群种群数量保持在什么 水平？（如何开发与利用资源？）
培养液中酵母菌种群数量的变化
3.讨论探究思路、制定计划、实施计划
培养酵母菌
↓
连续7天抽样检测
↓
取样
↓
用显微镜和血球计数板计数
↓
折算出总数
培养液中酵母菌种群数量的变化
酵母菌的培养：
培养液配制： 配制质量分数为5％的葡萄糖溶液（葡萄糖20g， 1000 mL水），分装到5个烧杯中（200mL/烧杯） 灭菌： 用高压蒸汽灭菌锅将培养液和取样、计数时所用 的滴管分别灭菌。贴标签。 接种： 接种时要在酒精灯附近，用灭菌干净的1mL刻度 吸管每次吸取0.1mL酵母菌母液，往每个烧杯中加 入。 培养： 将烧杯置于28℃的恒温箱中培养
毕业设计_细菌增长模型数学建模一等奖论文
承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： B我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：武汉理工大学参赛队员(打印并签名) : 1. 江泽武2. 徐佳恒3. 陈影指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：日期： 2012 年 11月 29 日评阅编号：编号专用页评阅编号：评阅记录：评阅人评分备注细菌增长模型摘要针对题目所提要求，我们建立了两个细菌增长模型，分别用于对细菌的增长情况做短期和中长期的模拟及预测。
为了对细菌增长发展做短期的预测，根据题目所表述的意思，在短期内，细菌处于自然理想的条件下，每20min左右会通过分裂生长繁殖一代，暂且短期内不考虑细菌的死亡，，我们建立离散Malthus细菌增长模型，主要的参数变量即为其单位时间内的增长量，在理想条件下，由于增长率为一确定的常数，以此来建立简单的细菌增长模型，来模拟此状态下种群的数量形式，其变化形式将呈现指数增长，由于其简单可行，在初始阶段预测种群的数量变化有着合理的数学理论基础。
为了对细菌的生长做中长期的模拟，由Malthus细菌增长模型，模拟酵母菌的生长，发现短期内有一定的重合度，但一定时间后，发现存在较大误差，因此我们根据实际情况，建立新的模型，得出数量和时间的函数关系。
考虑到生物学上细菌在培养基的生长时，在营养的有限情况下，封闭培养基里生物数量的增长最终都趋近于零，查阅资料可知，经过一段时间后，种群数量趋于一个稳定的值，为排除生长营养不足对细菌数量的干扰，我们假设细菌生长在稳定的培养基里，外界环境不受破坏，则在一定的空间内，细菌数量随时间的函数图象呈“S”型曲线增长，我们通过假设满足增长率的倒数成线性增长关系，建立线性回归方程，选取前面17组数据，用最小二乘法拟合出其参数，然后根据误差分析该假设的合理性，最终得出离散的Beverton-Holt模型，最后解出细菌数量关于时间的函数解析式，并计算出第17h、18h的细菌数量，与题目给出数据进行比较，进而判定该模型的合理性。
数学建模-细菌繁殖
不变的，且等于该时段初始时刻的变化速度。但这 种近似程度将随着小区间的长度的缩小精度越高。 若对时间间隔无限细分，就可以得到精确值。所以， 经过时间t 后细菌总数为
t n kt kt kt A(t ) = lim A0 (1 + k ) = A0 lim(1 + ) = A0e kt n →∞ n →∞ n n
细菌繁殖
根据已知的对细菌繁殖的统计规律，在营养充足的 t 条件下，时刻细菌的繁殖速度 v(t) 与t 时刻细菌的数 量A(t ) 成正比，比例系数为k ，并且 A(t )是时间t 的 连续函数。试建立细菌数量与时间之间的函数关系。 若某种细菌在繁殖过程中的记录数据如下表所示
3 671 5 937 7 1316 8 1559 10 2186 12 3085
解题过程
从图中容易看出，细菌生长数据与时间成直线关系， 故可用一次函数拟合。
解题过程
第六步： 同样用MATLAB软件，其程序为 > > x = [3 5 7 8 10 12]; > > z = [6.5 6.84 7.18 7.35 7.69 8.03]; > polyfit(x,z,1); ans = 0.1700 5.9900 > > v=0.17*x+5.99; > > plot(x,v,’*’) 出现下面的直线拟合图
n
很多事物的发展变化规律服从这个模型，所以也称 y = Ake kx 为生产函数。 模型
解题过程
第四步：
用MATLAB软件绘制表中所给数据的散点图，其 MATLAB程序为： x = [3 5 7 8 10 12]； > > y = [671 937 1316 1559 2186 3085]； > > plot(x, y, ’*’) 这里是设（A(t ) = y），得到
数学建模细菌繁殖讨论
细菌繁殖讨论
1.问题的提出
细菌生长繁殖速度之快、以及数量之大是难以琢磨的，而有些细菌细菌是有益的、更多的是疾病之源。
下面记录了某些细菌的繁殖数据，通过软件Mathematica来研究：
（1）开始时细菌的个数是多少？
（2）如果细菌以过去的速度继续增长，一个月后细菌的个数是多杀？
2.模型假设及符号约定
2.1模型假设
假设1 排除环境对细菌的影响
假设2 细菌个体繁殖能力相同
假设3 一个月三十天
2.2符号约定
y~细菌个数
x~时间
3.模型分析
问题中给了一组观察数据，为了找出细菌个体与繁殖天数之间的关系，将数据导入Excel，画出散点图（见图1）。
图1 时间与细菌繁殖数散点图
通过观察发现，细菌个数与繁殖天数之间成二次函数（见图2）或者指数的
关系（见图3），对比两种拟合，发现指数拟合更优，采用指数拟合。
图3
时间与细菌繁殖指数拟合图
4.结论
选取指数拟合结果，可以认为细菌个数与时间的关系满足
y = 401.57e 0.1697x
（1）
由公式（1）开始时细菌数是402个；由假设3一个月后细菌个数为62577
个。
常微分方程数学建模案例分析
常微分方程数学建模案例分析假设我们要研究一个简单的生物系统：一种细菌的生长过程。
我们知道，细菌的生长通常可以描述为以指数速度增长的过程。
为了建立一个数学模型，我们首先需要确定一些基本假设和已知信息。
基本假设：1.我们假设细菌的生长速度与细菌的数量成正比。
2.我们假设细菌的死亡速率与细菌的数量成正比。
已知信息：1.我们已经知道在初始时刻，细菌的数量为N0个。
2.我们已经知道在初始时刻的细菌数量的增长速率为r个/单位时间。
3.我们已经知道在初始时刻的细菌数量的死亡速率为d个/单位时间。
接下来，我们将建立一个常微分方程模型来描述细菌数量的变化。
假设t表示时间，N(t)表示时间t时刻的细菌数量，则我们可以得到以下微分方程：dN/dt = rN - dN这个方程的含义是，细菌数量的变化率等于细菌的增长速率减去细菌的死亡速率。
如果我们将细菌的增长速率和死亡速率设为常数r和d，则上述方程可以进一步简化为：dN/dt = (r-d)N解这个微分方程，我们可以得到细菌数量随时间变化的函数N(t)。
根据初值条件N(0)=N0，我们可以求解该方程并得到解析解：N(t) = N0 * exp((r-d)t)上述解析解告诉我们，细菌数量随时间以指数速度增长。
这与我们的基本假设相符。
然而，对于复杂的系统，往往很难获得精确的解析解。
在这种情况下，我们可以使用数值方法来求解微分方程。
常见的数值方法包括欧拉法、改进的欧拉法和四阶龙格-库塔法等。
这些方法基于近似计算的原理，通过迭代逼近解。
在我们的细菌生长模型中，我们可以使用数值方法来计算细菌数量随时间的变化。
我们可以选择欧拉法，它是一种简单而直观的数值方法。
欧拉法的迭代公式为：N(t+h)=N(t)+h*(r-d)N(t)其中，N(t)是在时间t时刻的细菌数量，N(t+h)是在时间(t+h)时刻的细菌数量，h是时间间隔。
我们可以选择一个足够小的时间间隔h，并迭代使用欧拉法来计算细菌数量的近似解。
细菌数量生长规律的数学模型
云南大学学报(自然科学版),2008,30(S2):157～159CN 53-1045/N ISSN 0258-7971Jour na l o f Yunnan U n iv er sityΞ细菌(数量)生长规律的数学模型许金泉1,张 娟2,马琼瑜3,李 云4(11昆明理工大学材料与冶金工程学院,云南昆明 650093;21昆明理工大学应用技术学院,云南昆明 650093;31呈贡县环保局环境监测站,云南呈贡 650500;41西南铝业(集团)有限责任公司,重庆 401326)摘要:为描述单一细菌群落的生长繁殖(数量、速度)曲线的关系,设计了3种极端条件环境.应用数理方法,分析在各种极端环境中细菌的繁殖情况,得到了新的细菌生长繁殖规律.关键词:微生物;生长繁殖;数学模型中图分类号:TX 172 文献标识码:A 文章编号:0258-7971(2008)S2-0157-03 从微生物的基本概念出发,用数学的方法,建立了细菌的生长规律的数学模型[1,2].从这个基本模型出发,将可以更详细地描述出细菌在各个阶段的生长特征[3].1 理想实验假定在繁殖过程中,细菌不发生变异.其繁殖过程可归结为细菌(活体)个体数量变化的问题.以3种极端环境条件,设计了3个理想实验.①三维空间情况:如酿酒、酿制酱油等占有庞大空间的情况,此时细菌可能向任何方向生长繁殖.②二维空间情况:在培养皿上涂有一薄层培养基.显然细菌的繁殖是受到了环境的限制,细菌只能沿着平面向外按扩散方式繁殖.③一维空间情况:在一条细细的刻线内才有培养基.显然细菌只能沿细线向前繁殖.2 理论解释与分析首先提出细菌的τ———“平均寿命”这个概念.细菌的“寿命”是指,在已经完全没有营养供给的前提下,细菌不会立即解体,其原先那种生命特征还能维持一段时间,把这段时间称为“寿命”.对同一种类型的细菌群体,都可用“平均寿命”来描述.因此τ是客观的、内在的、确定的,τ值与细菌的种类以及所处的环境有关.假定在t 时有n 1细菌断了“口粮”.而在t +τ时有n 2细菌解体(死亡),则一定有 n 1≈n 2.(1)211 实验1 在三维空间下将少量(m 0)细菌均匀地接种在培养基内,让其温度、压力、光照、p H 值等实验条件保持不变.从细菌开始分裂时算起(即时间的起始点),设在t 时刻细菌数量为m ,而在t +d t 时刻,细菌繁殖了d m ,则有 d m =am d t.(2)此时细菌的繁殖规律为何是(2)式呢?理由如下:其一,因为细菌是采取2,4,8…这种等比级数方式繁殖的;其二,所有的种子细菌(m 0)都有等同的繁殖机会,故而在(2)式等式右边应有m.另外,由于实验条件恒定,理应把α认定为常数,考虑到细菌的代谢物可能改变培养基的酸、碱度,此时应把α当作时间函数α(t )更为适宜.由(2)式得 log m =log m 0+∫tα(ξ)d ξ.(3)当α为常数时,得到最简单的情况 m =m 0e αt .(3′)假定当t =T 时刻,培养基已全部被细菌吃完,此时m 应达到最大值 M =m 0e ∫Tα(ξ)d ξ.(4)由于细菌采用分裂方式繁殖,由1个细菌分裂为2个新细菌.在T 时刻的M 个细菌,虽然没有营养供给,却还会存活一段时间τ,当达到t =T +τ时,M 个细菌全部死亡.212 实验2 在二维空间下Ξ收稿日期作者简介许金泉( ),男,云南人,工程师,主要从事环境工程和材料物理化学方面的研究:2008-09-10:1971-.图1 实验2中细菌繁殖的生长方式Fig11 Style of bacteria of reproduction and growth in ex2 periment2图2 τ>Τ时细菌繁殖的生长曲线Fig12 The cur ve of bacteria of reproduction and growt h inτ>Τ 取一个圆形培养皿,在底部涂上一层极薄的培养基,在培养基的中心处接种细菌.细菌基本上是按同心圆向外扩散的方式繁殖,见图1.设细菌向外繁殖的速度为υ,则有 R=vt.(5)按此种方式接种,只有处在半径为R=vt圆周上的细菌,才有向外繁殖的机会.其所接触到的培养基完全是新鲜的,故而繁殖速度v应为一定值.假定在t到t+d t时段内,相应的v小圆环内细菌繁殖d m,则有 d m=ρ(2πR d R)=2πρv2d t.(6)其中:ρ为细菌的面密度.由(6)式得 m(t)=m0+πρv2t2.(7)与(3)式相比,两者相差巨大.假定在t=T时刻,培养基已全部用完,此时m应达到最大值. M=m0+πρv2T2.(8)在此种培养方式中,细菌有的诞生,有的死亡,呈现出复杂情况.即使如此,也逃不脱2个时间τ,Τ的制约.也就是说,τ,Τ之间只可能有下列3种情况:τ>Τ,τ<Τ,τ=Τ.21211 τ>Τ情况下细菌繁殖规律 由图2可见,由于τ>Τ细菌的生长曲线由生长期、稳定期和死亡期3部分构成.在生长期内,细菌全部存活,但受培养基的限制,细菌的个数只能达到最大值M,以后就停止繁殖由于τ>Τ,因此M能够保持到τ时刻,一旦超过τ时刻,最早出生的细菌(也就是培养皿中心处的全部细菌)将统统死亡.生长曲线在此处出现一个跃变,跃变的幅度恰好就是接种的那些“种子”细菌.接着就是先出生的先死亡.如AA这一时刻出生的,要比BB时刻出生的早死,而且死亡的数量A′A′,B′B′应有A′A′=A A和B′B′=BB.由此可见,在生长曲线m(t)中,死亡期的这段曲线,是在改变符号的前提下,丝毫不差地重复生长期的那段曲线的.若从生长速度的曲线来看,在生长期,生长速度是量值为v的直线ab段;在死亡期生长速度为-v的直线ef段;而在稳定期,生长速度为0值.下面从(7)式中求出生长速度v=±12ιρd2md t2.(9)如果将m(t)写成函数形式,即是⌒m(t)=m(t),0≤t≤T;M,T≤t≤τ;M-m(t-τ),τ≤t≤τ+T;0,τ+T≤t.(10)其中m(t)=m0+πρv2t2.以后可知(10)式可推广到一般情况.21212 τ=T情况下细菌繁殖规律 此情况与情况21211生长曲线m(t)形状差不多,只是“稳定期”消失,即图上的W,点重合,相应的生长速度曲线段也随之消失851云南大学学报(自然科学版) 第30卷.2P2cd.21213 τ<T情况下细菌繁殖规律 这第3种情况是最常见的现象,与图2相似,在图3中细菌生长曲线m(t)在t=τ时刻发生跃变,跃变幅度m0,原因前面已述;在t=T时刻,曲线连续,但导数跃变,原因是从此时刻起,细菌(活体)的总数已不可能再继续增大.当然在图3中,最主要是出现“共存期”,共存期的特点是,细菌有的诞生,有的死亡,共存曲线实际上是生长曲线与死亡曲线相互抵消的结果,在此种情况下,“活着的”细菌个数不可能达到最大值M.m(t)的函数形式是m(t)=m(t),0≤t≤T;M-m(t-τ),T≤t≤τ;M-m(t-τ),τ≤t≤τ+T; 0,τ+T≤t.(11)图3 τ<T时细菌繁殖的生长曲线Fig13 The curve of bacteria of reproducti on a nd growthinτ<T其中m(t)=m0+πρv2t2.在图3中,与共存期相应的速度曲线cd段,实质上是bb′和ee′相互抵消的结果.也就是说,只有在共存期,才会出现“出生”和“死亡”这两个机理同时在起作用.213 实验3 先在玻璃板上刻出一条细线,放进培养液后,在细线一端接种细菌,细菌只能沿细线向另一端繁殖,细菌的个数m(t)为 m(t)=m0+σvt.(12)其中σ———细菌的线密度.重复实验2的讨论,将得到与图2、图3十分相似的曲线m(t).3 结 论综上所述,除实验1中每个细菌都有完全均等的机会、在这种理想的情况外,采取其它任何别的培养方式,如在实验2与3中一部分细菌总会或多或少地受到这种或那种条件的限制,但是它们最终都有十分相似的生长曲线,曲线如数学表达式m(t)所示.参考文献:[1] 顾夏声,李献文,竺建荣.水处理微生物学[M].北京:中国建筑工业出版社,2006.[2] 张漂清.水处理微生物学[M].北京:中国水利水电出版社,2007.[3] 张胜华.水处理微生物学[M].北京:化学工业出版社,2005.Mathematics model of bacteria(quantity)growt h and reproduction ruleXU Jin2quan1,ZHAN GJuan2,MA Qiong2yu3,L I Yun4(11Facu lty of Materials and Metallur g ical Engineering,K unming University of Science and Techn ol ogy,Kunming650093, China;21Faculty of Application Tec hnology Eng ineering,K unming University of Science a nd Technology,Kunming650093, China;31Environmental Protection Agency,Che nggong650500,China;41Southwest Aluminum(G roup)Co Lt d,Ch ongq ing 401326,China)A bstract:In order to describe t he relation curve of single bact eria growth and reproduction rule,t he t hree kind of ext reme envi r onment are designed.Appl yi ng mat h and physics met hod and analyzi ng bacteria growt h y xK y;;951第S2期 许金泉等:细菌(数量)生长规律的数学模型and reproduction i n ever e t reme environment t he new bacteria gr owt h and reproduction curve is gai ned.e w or ds:bacteria reproduction growt h mat hematics model。
种群数量增长方式
500 400 300 200 100 20 40 60 80 100 180 时间
增长速率 越来越快
自然界中种群的指数增长
1859年，一个英格 兰的农民带着24只 野兔，登陆澳大利 亚并定居下来，但 谁也没想到，一个 世纪之中，这个澳 洲“客人”的数量 呈指数增长，达到6 亿只之巨。
澳洲野兔
理想条件下，如果种群的起始数量为N0，并 且第二年的数量是第一年的λ倍，那么： N 0λ 一年后种群数量N1＝________ ，
2 N λ 两年后种群数量N2＝________ ， 0 t N λ t年后种群数量Nt＝________ 。 0
二、指数增长 ——J型增长
1、存在条件——理想条件 2、数学模型——公式法 、曲线图法
优点： 科学，精确 优点： 直观
t
Ｎt＝N0λ
时间（min)
20
40
60
80
100
120
140
160
细菌（个）
增长率 (%/20min)
2
4
8
16
32
64
128 256
100% 128 128
(4-2)/2 100% 100% 100% 32 64 4 8 16 4-2=2 增长速度v 2 8 32 (个/20min)
种群密度越大环境阻力越大
三、逻辑斯谛增长（S型增长）
小组讨论
种 群 数 量
从图中你得到了哪些信息？
发现了什么问题？
K
（环境容纳量）
K/2
A
时间
四、“J”型曲线与“S”型曲线的比较： 项目
前提条件 种群增长率 K值
“J”型曲线 “S”型曲线
环境资源无限 保持稳定
六年级科学模拟细菌的繁殖实验报告
六年级科学模拟细菌的繁殖实验报告
实验名称 模拟细菌的繁殖
实验目的 1、使学生感悟到细菌繁殖的速度和数量都非常惊人
2、会计算细菌繁殖的数量。
实验材料 8个透明杯子 无数颗豆子。
实验步骤 1、将8个同样的透明杯子按1—8编号。
2、在1号杯中放入一颗豆子代表第一代细菌。
3、在2号杯中放入两颗豆子 代表第一代分裂后的第二代细菌
4、以此类推 在其他各个杯中应放入多少颗豆子
实验现象 3号杯子放4个、4号杯子放8个、5号杯子放16个、6号杯子放32个、7号杯子放64个、8号杯子放128个
实验结论 细菌成倍地增长 繁殖相当迅速。
数学教学中的数学建模与应用
数学教学中的数学建模与应用数学，作为一门基础学科，不仅在学术领域有着重要地位，更是在我们的日常生活中无处不在。
在数学教学中，数学建模与应用是帮助学生理解数学知识、培养数学思维和解决实际问题能力的重要手段。
数学建模，简单来说，就是将实际问题转化为数学问题，并通过建立数学模型来解决问题的过程。
它是连接数学理论与实际应用的桥梁，让学生能够看到数学在现实世界中的作用和价值。
在教学中引入数学建模，首先能够激发学生的学习兴趣。
传统的数学教学往往侧重于理论知识的传授和公式的推导，容易让学生感到枯燥乏味。
而通过数学建模，将抽象的数学概念与具体的实际问题相结合，让学生感受到数学的实用性和趣味性。
比如，在讲解函数概念时，可以引入手机话费套餐的选择问题，让学生通过建立函数模型来分析不同套餐的费用情况，从而选择最适合自己的套餐。
这样的例子能够让学生明白数学不是纸上谈兵，而是能够解决生活中的实际问题，从而激发他们的学习热情。
数学建模还能够培养学生的创新思维和实践能力。
在建模过程中，学生需要对实际问题进行分析、抽象和简化，选择合适的数学工具和方法，建立数学模型，并通过求解和验证来不断完善模型。
这个过程需要学生发挥自己的想象力和创造力，尝试不同的方法和思路，培养了他们独立思考和解决问题的能力。
例如，在研究城市交通拥堵问题时，学生可以通过收集数据、建立交通流量模型，提出缓解拥堵的方案，这不仅锻炼了他们的实践能力，也培养了他们的创新精神。
此外，数学建模有助于培养学生的团队合作精神。
在实际建模中，往往需要学生分组合作，共同完成任务。
在小组中，学生们需要分工协作，交流讨论，发挥各自的优势，共同解决问题。
这种团队合作的经验对于学生今后的发展具有重要意义。
在数学教学中，数学建模的应用非常广泛。
在物理学中，通过建立数学模型可以研究物体的运动规律；在经济学中，可以用数学模型来分析市场供求关系和预测经济走势；在生物学中，数学模型可以帮助研究生物种群的增长和变化。
数学建模__细菌繁殖问题
细菌繁殖摘要本文针对酵母菌种群繁殖的基本特点，为达到解决所列出的三个问题的目的，建立了符合实际情况的预测模型。
预测模型：根据题目给出的已知条件，最终建立了符合本题的Logistic模型。
综合考虑了各种因素，利用计算机MATLAB编程分别对问题进行求解，并分别绘制出本题的Logistic数学模型和问题三中所列的二次多项式的曲线，以供对比。
对于问题一得出，本文建立了种群预测的Malthus模型以及符合本题的Logistic模型，模型中参数K的值为：0.00081411，参数M的值为：663.97。
对于问题二得出，自初始时刻起，20小时时酵母菌的数量为：663.06。
该种群的增长呈现出S型，前期呈指数型增长，中后期增长缓慢，种群数量最终达到最大值：663.97。
对于问题三得出，根据计算机MATLAB程序绘制出的本题Logistic数学模型以及问题三中所列的二次多项式的曲线。
对两条曲线进行对比，易知符合本题的Logistic模型具有更好的预测能力。
关键词：Malthus模型；Logistic模型；MATLAB；预测1 问题重述已知酵母菌种群在培养物中的增长情况，见附录中表a 所示。
现根据已有的数据来预测酵母菌的数量，要求尽量与实际相符。
根据以上题目所给的条件及数据，回答以下问题：问题一：建立酵母菌数量的数学模型，确定模型中的未知参数； 问题二：利用问题一中的模型，预测20小时时酵母菌的数量；问题三：若用二次多项式2210)(t k t k k t N ++=（其中)2,1,0(=i k i 为常数）作为新模型，试从误差角度说明新模型与问题一中的模型哪个具有更好的预测能力，并画出对比曲线。
2 问题的基本假设与说明1）假设题目所给的数据全部真实可靠，可以作为检验所建立的数学模型的准确性的事实依据。
2）在自然环境中，细菌繁殖增长会受到各方面复杂因素的影响，为简化模型，本文以题目中给出的实测数据，作为衡量所建立的数学模型准确度的主要因素。
关于细菌繁殖的数学建模
关于大草履虫的种群数量增长研究在放有10ml 培养液的培养瓶中放入10只大草履虫，然后每隔天统计一次大草履虫的数量。
其种群增长表格和曲线如下：模型的建立根据假设可知，N 。
1，增长率r 1，繁殖i 代后细菌的数量为M ,繁殖i 1 代后细菌的数量为M 1，则有N i 1(1 r)N i(1)模型的求解代入以上数据根据等差数列公式即可解得：N i当t 72h 时，t it代入（2）即可得，72h 细菌的数量：N2216216繁殖n 代后细菌数量为2n 个。
(2)20由于环境阻力的限制，当细菌增长到一定数量时，其繁殖会受到一定影响＜ 查阅资料可知，经过一定时间，在各种因素作用下，种群数量增长会趋于稳定, 其数量时间关系图象呈“ s ”型曲线。
5.2.1.模型的建立由于环境阻力的限制，当细菌增长到一定数量时，其繁殖会受到一定影响＜ 查阅资料可知，经过一定时间，在各种因素作用下，种群数量增长会趋于稳定, 其数量时间关系图象呈“ s ”型曲线。
令R r 1，由前两问可得，种群数量与时间成等比数列的形式增长，离散Malthus差分方程如下N i i RN i （3）以此我们得到第一模型的指数函数图象与题目中数据描点：图1指数增长模拟图由图象分析可知，在一定空间内，由于环境阻力，细菌数量的增长会趋于稳定，而不是呈现“ J”型指数增长，因此，以上模型存在很大的误差，即单纯地用Malthus 模型对本题进行分析存在一定的局限性。
对此，进行如下分析与修正:早期细菌增长规律：R=1，种群数量保持稳定；OvRvI种群数量下降；R=0,此时没有繁殖，种群在这一代中灭亡。
对于R>1,因为空间、食物等资源的有限性以及种群自身的密度制约效应，说明在模型（3）中引入密度制约的效应，即在净增长率R中考虑种间竞争的影响，下面几何直观我们给出一个具有密度制约效应的离散单种群模型的严格推到过程。
由题目数据分析、查阅资料，可知酵母菌每小时内繁殖一次，建立起时间与种群数量的关系式：Nt/Nt+11/R在图2中给出了比率“N 与N t 的函数关系。
细菌(数量)生长规律的数学模型
题目：细菌(数量)生长规律的数学模型北京理工大学吴帆 200810431.摘要：假定在繁殖过程中,细菌不发生变异.其繁殖过程可归结为细菌(活体)个体数变化的问题，实际上这个模型就是一个细菌数量关于时间t的一个函数。
在培养皿上涂有一薄层培养基.显然细菌的繁殖是受到了环境的限制,细菌只能沿着平面向外按扩散方式繁殖.由于只有在外层的细菌接触培养液，内层细菌都处于不繁殖状态，根据这个细菌的繁殖特点，和细菌在失去培养基条件保持生命体时间τ为定值的条件。
模拟出细菌生长-死亡曲线的数学模型的整体结构。
不仅如此，由于处于繁殖状态的细菌个数是和当前菌落半径成正比的，类比人口增长的马尔萨斯模型与该模型的改进，利用各个参数之间的微分关系，求出细菌繁殖速率与时间的关系，这也反映出环境阻力对细菌生长的影响，（这是原文章所忽略的）。
将反映出环境阻力的细菌生长曲线带入细菌生长-死亡曲线的数学模型的整体结构。
就可以得到一个含参的细菌数量关于时间的一个函数。
利用这个函数实际细菌接种实验结果就可以得到一个接近实际的细菌生长规律的数学模型。
这也就是本论文的分析结果。
2.模型建立：a．问题背景：少量的细菌，接种到一定体积的、合适的新鲜液体培养基中，在适宜的条件下进行培养，定时测定培养液中的菌量，以菌量的对数作纵坐标、生长时间作横坐标，绘制的曲线为生长曲线。
一般生长曲线可分为延迟期、对数期、稳定期和衰亡期，生长曲线是微生物在一定环境条件下于液体培养时所表现出的群体生长规律。
不同的微生物其生长曲线不同，即使是同一种微生物，在不同的培养条件其生长曲线也不同，测定在一定条件下培养的微生物的生长曲线。
在科学研究及生产上是非常有意义的。
b．理论分析：其一，在二维培养基平面下细菌生长和三维空间不同，由于细菌活动自由度的限制，只有在外表层的细菌接受营养来源，也就是说只有分布在外层的细菌才有参与繁殖的条件。
其二，对于同种细菌，在没有营养供给的条件下并不会直接死亡，而是维持一段时间的活体状态，由于同种细菌个体内部生物结构大致相同，所以这段延迟时间是一个客观存在的，确定的数值。
细菌(数量)生长规律的数学模型
题目：细菌(数量)生长规律的数学模型北京理工大学吴帆 200810431.摘要：假定在繁殖过程中,细菌不发生变异.其繁殖过程可归结为细菌(活体)个体数变化的问题，实际上这个模型就是一个细菌数量关于时间t的一个函数。
在培养皿上涂有一薄层培养基.显然细菌的繁殖是受到了环境的限制,细菌只能沿着平面向外按扩散方式繁殖.由于只有在外层的细菌接触培养液，内层细菌都处于不繁殖状态，根据这个细菌的繁殖特点，和细菌在失去培养基条件保持生命体时间τ为定值的条件。
模拟出细菌生长-死亡曲线的数学模型的整体结构。
不仅如此，由于处于繁殖状态的细菌个数是和当前菌落半径成正比的，类比人口增长的马尔萨斯模型与该模型的改进，利用各个参数之间的微分关系，求出细菌繁殖速率与时间的关系，这也反映出环境阻力对细菌生长的影响，（这是原文章所忽略的）。
将反映出环境阻力的细菌生长曲线带入细菌生长-死亡曲线的数学模型的整体结构。
就可以得到一个含参的细菌数量关于时间的一个函数。
利用这个函数实际细菌接种实验结果就可以得到一个接近实际的细菌生长规律的数学模型。
这也就是本论文的分析结果。
2.模型建立：a．问题背景：少量的细菌，接种到一定体积的、合适的新鲜液体培养基中，在适宜的条件下进行培养，定时测定培养液中的菌量，以菌量的对数作纵坐标、生长时间作横坐标，绘制的曲线为生长曲线。
一般生长曲线可分为延迟期、对数期、稳定期和衰亡期，生长曲线是微生物在一定环境条件下于液体培养时所表现出的群体生长规律。
不同的微生物其生长曲线不同，即使是同一种微生物，在不同的培养条件其生长曲线也不同，测定在一定条件下培养的微生物的生长曲线。
在科学研究及生产上是非常有意义的。
b．理论分析：其一，在二维培养基平面下细菌生长和三维空间不同，由于细菌活动自由度的限制，只有在外表层的细菌接受营养来源，也就是说只有分布在外层的细菌才有参与繁殖的条件。
其二，对于同种细菌，在没有营养供给的条件下并不会直接死亡，而是维持一段时间的活体状态，由于同种细菌个体内部生物结构大致相同，所以这段延迟时间是一个客观存在的，确定的数值。
种群数量增长方式
3、某种鱼迁入一生态系统后，种群数量增长速率 随时间变化的曲线，下列叙述正确的是（ B ） A.在T0-T2时，种群数量呈“J”型增长 B.若在T2时种群的数量为N，则在T1时种群的 数量为N/2； C.捕获该鱼的最佳时期为T2时 D.在TI-T2时，该鱼种群数量呈下降趋势。
\ q
种 群 增 长 速 率
优点： 科学，精确 优点： 直观
t
Ｎt＝N0λ
时间（min)
20
40
60
80
100
120
140
160
细菌（个）
增长率 (%/20min)
2
4
8
16
32
64
128 256
100% 128 128
(4-2)/2 100% 100% 100% 32 64 4 8 16 4-2=2 增长速度v 2 8 32 (个/20min)
时间 分钟 细菌 数量
20
40
60
80
100 120 140 160 180
2
4
8
16 32 64 128 256 512
• 36小时后由1个细菌分裂产生的数量是多少？ 2108 • 如果用N表示细菌数量，n表示细菌繁殖的代数， 写出计算细菌种群数量的公式？ N=2n • 利用表格中的数据，在坐标系中画出细菌增长的 曲线（横轴为时间，纵轴为细菌的数量）
无 K值
五、研究种群数量变化意义
1、有利于野生生物资源的合理利用及保护。
在Faroe Islands上，
捕鲸现场成了血的海洋
你能提出保护大熊猫措施吗？
大熊猫数量日益减少的原因？
•自身繁殖率低
•食性单一
•气候变迁
细菌生长与传播规律的数学模型研究
细菌生长与传播规律的数学模型研究随着社会的发展和城市化的加速，人们越来越关注微生物的生长和传播问题。
这些微生物对于人类的健康和生存产生了深刻的影响，因此，研究微生物生长和传播的规律是非常必要的。
其中，最重要的问题是如何建立有关微生物生长和传播的数学模型。
本文将介绍细菌生长和传播规律的数学模型研究，并阐述其理论意义和应用价值。
一、细菌的生长规律细菌生长是指细菌在适宜环境下繁殖的过程。
细菌的生长可以分成四个阶段：潜伏期、指数增长期、减速增长期和平稳期。
（1）潜伏期：在此期间，细菌数量几乎不变，因为它们正处于适应环境的过程中。
（2）指数增长期：在此期间，细菌的数量以几何级数的方式增加。
也就是说，细菌的数量将以指数方式增长，最初生长缓慢，但是迅速加速，并在生长峰值后迅速下降。
（3）减速增长期：细菌的数量仍然在增加但是速度放缓。
（4）平稳期：细菌的数量趋于稳定，因为细菌的繁殖量等于死亡量，或者说细菌数量没有增加或减少。
通过对细菌生长规律的研究，我们可以建立基于微生物生长的数学模型，使一定程度上更好地预测和控制微生物的生长过程。
二、细菌的传播规律细菌的生长来自于细菌的传播，它们通过某些方式在不同的环境中繁殖。
细菌的传播方式可以分成两种方式：接触传播和空气传播。
（1）接触传播接触传播通常是指与其他物体和人或动物接触时，细菌通过皮肤、黏膜、呼吸道等途径传播。
例如：肝炎细菌、金黄色葡萄球菌、链球菌等。
（2）空气传播空气传播通常是指细菌直接通过空气传播，如空气中的飞沫或气溶胶，从而进入人体或其他生物的呼吸道。
例如：流感病毒和肺结核等。
通过对细菌的传播规律的研究，我们可以建立基于微生物传播的数学模型，以更好地预测和控制微生物的传播过程。
三、数学模型的建立数学模型是一种分析和描述自然或人工系统特征的方法。
细菌生长和传播的数学模型，可以分为三个部分：生长模型、传播模型及整体模型。
（1）生长模型生长模型用于描述细菌在特定环境中生长的过程。
细菌生长与适应的数学模型
细菌生长与适应的数学模型随着科技水平的发展，人类对各种生物的研究也日益深入。
其中，对微小生物的研究一直是热点之一。
在微生物中，细菌被认为是最常见、最广泛分布、最具代表性的生物。
细菌的生长和适应是细菌研究领域的核心问题之一，而数学模型则是研究这些问题的常用方法之一。
一、细菌生长的数学模型细菌生长的数学模型是指用数学方法来描述细菌的生长和繁殖规律。
目前，细菌生长的常用模型有单个细胞增值模型、传代增值模型、寿命分布模型等。
单个细胞增值模型是最简单的细菌生长模型之一，也是最早被研究的模型之一。
该模型假设在一定条件下，单个细胞生长速率是恒定的，与其他细胞的存在无关。
该模型的方程可以用以下公式表示：dN/dt = kN其中，dN/dt表示单位时间内细菌数量的变化量，k表示细菌增殖速率，N表示初始时刻的细菌数量。
传代增值模型是一种更加贴近现实的模型。
该模型包含细菌之间的相互作用和竞争等因素，能更加真实地反映细菌生长状态。
该模型的方程可以用以下公式表示：dN/dt = (G * N - k * N * N) / K其中，dN/dt表示单位时间内细菌数量的变化量，G表示细菌的增殖速率，k表示细菌的竞争系数，K表示环境的容纳量。
寿命分布模型是一种可以描述细菌在生长过程中出现死亡的模型。
该模型基于统计学原理，假设细菌在生命的不同阶段死亡的概率是相同的，并且各细菌个体之间是独立的。
该模型的方程可以用以下公式表示：dN(t)/dt = -λ * N(t)其中，dN(t)/dt表示在时间t时刻细菌数量的变化量，λ表示细菌死亡率。
在该模型中，细菌的寿命分布是指在每一个时刻，生命从开始到该时刻结束的概率密度函数。
寿命分布模型常用于研究细菌死亡的生理现象，及其与环境条件的关系。
二、细菌适应的数学模型细菌适应的数学模型是指用数学方法来描述细菌对外界环境变化的响应和适应规律。
目前，关于细菌适应的数学模型主要包括突变积累模型、基因表达模型和基因调控网络模型等。
微生物菌落行为模拟的数学建模
微生物菌落行为模拟的数学建模微生物学是一个跨学科的领域，它与生物学、化学、物理学和数学等学科有密切联系。
微生物菌落行为研究，旨在探究微生物群落的进化、竞争和生长等问题，进一步应用于医学、食品工业、环境保护和农业等领域。
微生物菌落行为研究常采用数学建模方法，以预测微生物在生命周期的各个阶段的生长行为和相互影响。
其中，最常用的数学模型之一是反应扩散方程（Reaction Diffusion Equation，简称RDE），它是描述化学反应和物理扩散等过程的偏微分方程。
反应扩散方程被广泛应用于描述生物的扩散、细胞增长、药物释放和微生物菌落的扩散、生长等过程。
微生物菌落的生长率受到周围环境的影响，例如温度、水分、营养和氧气等因素。
因此，反应扩散方程可以描述这些环境变量在空间上的分布和时间上的变化。
在微生物菌落中，各种微生物会相互竞争，在空间上形成复杂的生态系统，其中某些种类微生物的数目会随着时间的推移而增加，而另一些种类则会随之减少。
通过建立反应扩散方程，可以预测这些微生物种群的相互影响和演变过程。
反应扩散方程的一般形式为：∂u/∂t = D × ∇²u + f(u)其中，u是菌落中微生物的浓度，D是扩散常数，f(u)是生长速率与浓度之间的反应函数，∇²表示拉普拉斯算子。
生长速率通常被描述为饱和型函数，即随着细胞浓度的增加而减缓。
方程中∇²表示微生物浓度的分布情况，在浓度变化较大的地方，∇²也会相应增大。
对于微生物菌落行为模拟，通常采用数值方法求解反应扩散方程。
其中最常用的方法是有限元法，它将连续的微生物浓度场离散化为一个有限的网格，在网格上进行数值计算，以预测微生物群落的发展和行为。
通过反应扩散方程的数学建模，可以更好地理解微生物菌落的行为，为微生物资源开发和产业应用提供支持。
同时，也为微生物菌落治疗和防控等医学领域提供了基础理论和技术支持。
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关于大草履虫的种群数量增长研究
在放有10ml 培养液的培养瓶中放入10只大草履虫，然后每隔一天统计一次大草履虫的数量。
其种群增长表格和曲线如下：
模型的建立
根据假设可知，10=N ，增长率1=r ，繁殖i 代后细菌的数量为i N ，繁殖1+i 代后细菌的数量为1+i N ，则有
1(1)i i
N r N +=+ （1）
模型的求解
代入以上数据根据等差数列公式即可解得：
2i
i N = （2）
当h t 72=时，
726021620t i t ⨯=
==∆
代入（2）即可得， 72h 细菌的数量：
2162162N =
繁殖n 代后细菌数量为2n 个。
由于环境阻力的限制，当细菌增长到一定数量时，其繁殖会受到一定影响。
查阅资料可知，经过一定时间，在各种因素作用下，种群数量增长会趋于稳定，其数量时间关系图象呈“s ”型曲线。
5.2.1. 模型的建立
由于环境阻力的限制，当细菌增长到一定数量时，其繁殖会受到一定影响。
查阅资料可知，经过一定时间，在各种因素作用下，种群数量增长会趋于稳定，其数量时间关系图象呈“s ”型曲线。
令1R r =+，由前两问可得，种群数量与时间成等比数列的形式增长，离散Malthus 差分方程如下
1i i N RN += （3） 以此我们得到第一模型的指数函数图象与题目中数据描点：
图1 指数增长模拟图
由图象分析可知，在一定空间内，由于环境阻力，细菌数量的增长会趋于稳定，而不是呈现“J ”型指数增长，因此，以上模型存在很大的误差，即单纯地用Malthus 模型对本题进行分析存在一定的局限性。
对此，进行如下分析与修正：
早期细菌增长规律：
R=1，种群数量保持稳定； 0<R<1种群数量下降；
R=0，此时没有繁殖，种群在这一代中灭亡。
对于R>1,因为空间、食物等资源的有限性以及种群自身的密度制约效应，说明在模型（3）中引入密度制约的效应，即在净增长率R 中考虑种间竞争的影响，下面几何直观我们给出一个具有密度制约效应的离散单种群模型的严格推到过程。
由题目数据分析、查阅资料，可知酵母菌每小时内繁殖一次，建立起时间与种群数量的关系式：
图2 比率
1
t
t N N +与t N 的函数关系 在图2中给出了比率1
+t t
N N 与t N 的函数关系。
图5-2-1中的点A 所表示生物
意义可以这样理解：当种群数量非常小的时候，种群之间的相互竞争非常小甚至没有，此时净增长率R 不需要任何的修改。
因此，模型1t t N RN +=，当种群数量非常小的时，关系仍然成立。
重新改写成该方程得到
11
t t N N R +=
(4)
然而，随着种群数量的增加，种群之间的竞争越来越强，这使得精确的净增
长率被这种竞争而修正，并且一定存在一点使得竞争强到种群的数量不再增长，此时即有1
+t t N N 充分接近1。
设此时的种群数量达到种群的环境容纳量K ，即为
图2中的点B 。
由图2知，当种群数量从A 点到B 点时，比值1
+t t N N 也有一定的增加。
为了
简单起见，我们直接假设比值1
+t t N N 与t N 具有如图2中的直线关系，该直线的方
程式为
1
t
t t N aN b N +=+ （5） 5.2.2 模型的求解
本题以酵母菌为例，由题目中酵母菌数量变化表，对数据进行分析，先取前17组数据，分别求出t N 与1
+t t N N ，处理后可得到如下表格：
表2 酵母菌增长情况
以小时计的时间
t
观察到的酵母菌生物量
t N
生物量的变化
1t t N N +
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
10 18 29 47 71 119 175 257 351 441 513 560 595 629 641 651 656 660
0.556 0.621 0.617 0.662 0.597 0.680 0.681 0.732 0.796 0.860 0.916 0.941 0.946 0.981 0.985 0.992 0.994 \
根据最小二乘法的拟合原理，取a 、b 为使得函数()()21
,()t t t E a b f N x ==-∑值
最小时的值。
其中令t x 是n t =时1
+t t
N N 的数值。
用matlab 进行线性拟合
图3 拟合直线图
由此可得的1
+t t
N N 关于t N 的解析式为：
1
0.00061890.58766t
t t N N N +=+ （6) 根据以上解析式（6），我们可以看出，随着种群数量N 越来越大，1
+t t N N 越
来越大，则种群的增长率r 及R 越来越小，符合基本的生物学规律，而拟合的方差很小，具有很强的规律性。
随着繁殖代数i 的增长,即时间的变长，最终指数项将趋近于0，故种群的数量最终呈现稳定的值max N ，与题目假设、生物学知识刚好吻合。