复合函数的定义域和值域
常见函数解析式定义域值域的求法总结
常见函数解析式定义域值域的求法总结函数的定义域和值域是函数解析式中的两个重要概念。
定义域指的是函数的自变量可能取值的范围，值域则是函数的因变量可能取值的范围。
在解析式中，定义域和值域可以通过不同的方法进行求解。
下面是常见的函数解析式定义域和值域求解方法总结。
一、定义域的求法：1.开方函数的定义域：对于形如y = √(ax + b)的开方函数，考虑开方中的被除数，即ax + b的取值范围，对ax + b >= 0进行求解，得到定义域。
2.分式函数的定义域：对于形如y=f(x)/g(x)的分式函数，需要满足分母不等于0的条件，因此需要解g(x)≠0，将g(x)=0进行求解，得到定义域。
3.对数函数的定义域：对于形如y = logₐ(x)的对数函数，需要满足x > 0的条件，因此定义域为x > 0。
4.指数函数的定义域：对于形如y=aˣ的指数函数，没有特殊定义域的限制，因此定义域为全体实数。
5.三角函数的定义域：对于常见的正弦函数、余弦函数、正切函数等三角函数，它们的定义域为全体实数。
6.反三角函数的定义域：对于反正弦、反余弦、反正切等反三角函数，它们的定义域要满足对应的正弦、余弦、正切函数取值范围的要求。
7.复合函数的定义域：当函数为两个函数的复合函数时，需要满足两个函数的定义域的交集作为复合函数的定义域。
二、值域的求法：1.函数的图像法：通过绘制函数的图像，观察函数在定义域内的取值范围，得到值域的估计。
2.函数的导数法：对函数求导，并观察导数的符号及极限情况，来推断函数的值域。
例如，当导数恒大于0时，函数为增函数，值域为整个实数轴。
3.函数的区间法：对于已知闭区间上连续的函数，可以通过求出函数的最大值和最小值，及极限情况，来确定值域的范围。
4.反函数的值域：如果函数存在反函数，那么反函数的值域即为原函数的定义域。
5.一次函数的值域：对于一次函数y = kx + b，k为斜率，通过观察斜率的正负和直线与坐标轴的交点可以得到值域的范围。
复合函数的定义域详细讲义及练习详细答案
复合函数的定义域详细讲义及练习详细答案(总15页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除复合函数一，复合函数的定义：设y是u的函数，即y=f(u),u是x的函数，即u=g(x)，且g(x)的值域与f(u)的定义域的交集非空，那么y通过u的联系成为x的函数，这个函数称为由y=f(u)，u=g(x)复合而成的复合函数，记作y=f[g(x)],其中u称为中间变量。
二，对高中复合函数的通解法——综合分析法1、解复合函数题的关键之一是写出复合过程例1：指出下列函数的复合过程。
（1）y=√2-x2 (2)y=sin3x (3)y=sin3x (4)y=3cos√1-x2解：(１) y=√2-x2是由y=√u,u=2-x2复合而成的。
（2）y=sin3x是由y=sinu,u=3x复合而成的。
（3）∵y=sin3x=(sinx)-3∴y=sin3x是由y=u-3,u=sinx复合而成的。
（4）y=3cos√1+x2是由y=3cosu,u=√r,r=1+x2复合而成的。
2、解复合函数题的关键之二是正确理解复合函数的定义。
看下例题：例２：已知f(x+3)的定义域为[1、2],求f(2x-5) 的定义域。
经典误解１：解：f(x+3)是由y=f(u),u=g(x)=x+3复合而成的。
F(2x-5)是由y=f(u2),u2=g(x)=2x-5复合而成的。
由g(x),G(x)得：u2=2x-11即：y=f(u2),u2=2x-11∵f(u1)的定义域为[1、2]∴１≤x﹤2∴-9≤2x-11﹤-6即：y=f(u2)的定义域为[-9、-6]∴f(2x-5)的定义域为[-9、-6]经典误解２：解：∵f(x+3)的定义域为[1、2]∴1≤x+3﹤2∴-2≤x﹤-1∴-4≤2x﹤-2∴-9≤2x-5﹤-7∴f(2x-5)的定义域为[-9、-7]（下转2页）注：通过以上两例误解可得，解高中复合函数题会出错主要原因是对复合函数的概念的理解模棱两可，从定义域中找出“y”通过u的联系成为x的函数，这个函数称为由y=f(u),u=g(x)复合而成的复合函数，记作y=f[g(x)],其中u称为“中间变量”。
复合函数定义域的常见求法
复合函数定义域的常见求法一、复合函数的概念假如y 是u 的函数，而u 是x 的函数，即y = f ( u ), u = g ( x ) ,那么y 关于x 的函数y = f [g ( x ) ]叫做函数f 与 g 的复合函数，u 叫做中间变量。
注意：复合函数并不是一类新的函数，它只是反映某些函数在结构方面的某种特点，因此，依照复合函数结构，将它折成几个简单的函数时，应从外到里一层一层地拆，注意不要漏层。
另外，在研究有关复合函数的咨询题时，要注意复合函数的存在条件，即当且仅当g ( x )的值域与f ( u )的定义域的交集非空时，它们的复合函数才有意义，否那么如此的复合函数不存在。
例：f ( x + 1 ) = (x + 1)2 能够拆成y = f ( u ) = u 2 , u = g ( x ) , g ( x ) = x + 1 ,即能够看成f ( u ) = u 2 与g ( x ) = x + 1 两个函数复合而成。
二、求复合函数的定义域：〔1〕假设f(x)的定义域为a ≤ x ≤ b,那么f [ g ( x ) ] 中的a ≤ g ( x ) ≤ b ，从中解得x 的范畴，即为f [g ( x )]的定义域。
例1、y = f ( x ) 的定义域为[ 0 ， 1 ]，求f ( 2x + 1 )的定义域。
答案： [-1/2 ，0 ]例2、f ( x )的定义域为〔0，1〕，求f ( x 2)的定义域。
答案： [-1 ，1]〔2〕假设f [ g ( x ) ]的定义域为〔m , n 〕那么由m < x < n 确定出g ( x )的范畴即为f ( x )的定义域。
例3、函数f ( 2x + 1 )的定义域为〔0，1〕，求f ( x ) 的定义域。
答案： [ 1 ，3]〔3〕由f [ g ( x ) ] 的定义域，求得f ( x )的定义域后，再求f [ h ( x ) ]的定义域。
求复合函数的定义域
求复合函数的定义域一、复合函数定义： 设y=f(u)的定义域为A ，u=g(x)的值域为B ，若A ⊇B ，则y 关于x 函数的y=f ［g(x)］叫做函数f 与g 的复合函数，u 叫中间量.二、例题剖析：(1)、已知f x ()的定义域，求[]f g x ()的定义域思路：设函数f x ()的定义域为D ，即x D ∈，所以f 的作用范围为D ，又f 对g x ()作用，作用范围不变，所以D x g ∈)(，解得x E ∈，E 为[]f g x ()的定义域。
例1. 设函数f u ()的定义域为（0，1），则函数f x (ln )的定义域为_____________。
解析：函数f u ()的定义域为（0，1）即u ∈()01，，所以f 的作用范围为（0，1）又f 对lnx 作用，作用范围不变，所以01<<ln x解得x e ∈()1，，故函数f x (ln )的定义域为（1，e ）例2. 若函数f x x ()=+11，则函数[]f f x ()的定义域为______________。
解析：先求f 的作用范围，由f x x ()=+11，知x ≠-1 即f 的作用范围为{}x R x ∈≠-|1，又f 对f(x)作用所以f x R f x ()()∈≠-且1，即[]f f x ()中x 应满足x f x ≠-≠-⎧⎨⎩11() 即x x ≠-+≠-⎧⎨⎪⎩⎪1111，解得x x ≠-≠-12且 故函数[]f f x ()的定义域为{}x R x x ∈≠-≠-|12且（2）、已知[]f g x ()的定义域，求f x ()的定义域思路：设[]f g x ()的定义域为D ，即x D ∈，由此得g x E ()∈，所以f 的作用范围为E ，又f 对x 作用，作用范围不变，所以x E E ∈，为f x ()的定义域。
例3. 已知f x ()32-的定义域为[]x ∈-12，，则函数f x ()的定义域为_________。
反函数与复合函数学习反函数和复合函数的定义和计算方法
反函数与复合函数学习反函数和复合函数的定义和计算方法在数学中，函数是一种很基础且重要的概念。
在函数的学习中，我们常常会接触到两个特殊的概念：反函数和复合函数。
本文将重点介绍反函数和复合函数的定义以及计算方法。
一、反函数1. 反函数的定义给定一个函数y=f(x)，如果对于任意的y值，都能找到唯一的x值使得f(x)=y成立，则称该函数存在反函数。
反函数常用符号表示为f^(-1)(y)，读作"f的反"2. 反函数的计算方法为了计算一个函数的反函数，我们可以遵循以下步骤：步骤一：设y=f(x)，将该方程中的x和y互换位置得到x=f^(-1)(y)。
步骤二：解上述方程，得到f^(-1)(y)。
需要注意的是，有些函数的反函数可以通过解方程直接得到，而有些则需要通过其他方法求得。
3. 反函数的性质反函数具有以下两个重要性质：性质一：原函数和反函数互为镜像关系。
即对于函数y=f(x)和反函数y=f^(-1)(x)，它们的图像关于直线y=x对称。
性质二：对于原函数和反函数，它们的定义域和值域互换。
即原函数的定义域为反函数的值域，原函数的值域为反函数的定义域。
二、复合函数1. 复合函数的定义给定两个函数f(x)和g(x)，将g(x)的输出作为f(x)的输入，得到一个新的函数h(x)=f(g(x))，则称h(x)为f(x)和g(x)的复合函数。
2. 复合函数的计算方法计算复合函数的方法如下：步骤一：将g(x)的定义代入f(x)中，得到h(x)=f(g(x))。
步骤二：根据需要，进行进一步的计算和化简。
3. 复合函数的性质复合函数具有以下两个重要性质：性质一：复合函数是非交换的。
即对于两个函数f(x)和g(x)，一般情况下有f(g(x))≠g(f(x))。
性质二：复合函数的定义域和值域由内层函数和外层函数的定义域和值域共同决定。
三、计算示例以下是一个计算反函数和复合函数的示例：示例一：计算函数y=2x+3的反函数和复合函数。
复合函数定义域三种形式解法
复合函数定义域三种形式解法复合函数是由两个或多个函数组成的一个新函数。
在定义复合函数的时候，需要确定合成函数的定义域以保证合成函数的存在和可行性。
一、基本定义域的合成考虑两个函数f和g，其中g的定义域包含f的值域，即对于任意x属于f的定义域，存在一个数y，使得f(x)=y且y属于g的定义域。
例如，考虑f(x) = x^2和g(x) = sin(x)，其中f的定义域为实数集R，g的定义域为[-1,1]。
显然，f的值域为非负实数集R+，并且R+在g的定义域[-1,1]内。
因此，f和g的合成函数h(x) = g(f(x))的定义域为实数集R。
二、交集的合成当两个函数的定义域没有包含关系时，可以考虑它们的交集作为合成函数的定义域。
也就是说，要找到两个函数的共同定义域，才能进行合成。
例如，考虑f(x)=√(4-x^2)和g(x)=1/x，其中f的定义域为[-2,2]，g的定义域为(-∞,0)U(0,+∞)。
显然f和g的共同定义域为(0,2]U[-2,0]，即f和g的交集为[-2,2]。
因此，f和g的合成函数h(x)=g(f(x))的定义域为[-2,2]。
三、条件限制的合成有时候，函数之间的合成有些条件限制。
在这种情况下，复合函数的定义域需要根据这些条件来确定。
例如，考虑f(x)=x+2和g(x)=√x，其中f的定义域为实数集R，g的定义域为非负实数集[0,+∞)。
但是，根据g的定义域的条件，对于g(f(x))来说，只有f(x)>=0时，g(f(x))才有定义。
因此，f(x)>=0，即x>=-2、所以，复合函数g(f(x))的定义域为[-2,+∞)。
综上所述，复合函数的定义域有三种形式的解法：基本定义域的合成、交集的合成和条件限制的合成。
具体的解法需要根据函数的定义域和值域来确定，以确保复合函数的存在和可行性。
复合函数的概念
复合函数的概念复合函数是数学中的一种重要概念，它在分析、微积分和代数等领域广泛应用。
复合函数通过将一个函数的输出作为另一个函数的输入来构成新的函数。
本文将介绍复合函数的定义、性质和应用，并通过示例来说明其使用方法。
一、复合函数的定义复合函数是指将一个函数的输出作为另一个函数的输入，通过符号“∘”表示。
设有两个函数f和g，对于任意x，先应用函数g(x)，再将其输出作为f的输入。
这样得到的新函数表示为f∘g，定义如下：（f∘g)(x) = f(g(x))其中x为自变量，(f∘g)(x)为复合函数的值。
需要注意的是，两个函数的定义域和值域必须满足要求，才能进行复合运算。
二、复合函数的性质1. 结合律：对于三个函数f、g、h，复合函数满足结合律，即(f∘g)∘h = f∘(g∘h)。
这意味着复合函数的结果与复合的顺序无关。
2. 不满射和不单射：复合函数的满射和单射性质可能与原函数不同。
对于函数f和g，如果f∘g为满射，则g必须是满射；如果f∘g为单射，则f必须是单射。
3. 逆函数的复合：如果两个函数f和g互为逆函数，则(f∘g)(x) = x。
这表明复合函数与逆函数的组合会互相抵消。
4. 定义域和值域的改变：复合函数的定义域和值域可能与原函数不同。
需要根据具体问题进行分析，并确定新函数的定义域和值域。
三、复合函数的应用复合函数在实际问题中有着广泛的应用，特别是在自然科学和工程领域中。
以下是一些常见的应用场景：1. 函数关系求解：复合函数可以用于求解多个函数之间的关系。
通过将多个函数组合成复合函数，可以简化问题的求解过程。
2. 数据处理与转换：复合函数可以用于对数据进行处理和转换。
例如，在信号处理中，可以通过复合函数对信号进行加工和变换，以实现滤波、调制等操作。
3. 物理模型建立：在物理学中，复合函数常用于描述多个物理量之间的关系。
通过对各种物理量进行复合函数运算，可以建立更为准确的物理模型。
4. 优化问题求解：复合函数可以用于求解最大值、最小值等优化问题。
函数的复合过程复合函数怎么求
函数的复合过程复合函数怎么求首先，我们来介绍函数的复合过程。
所谓函数的复合过程，就是将一个函数的输出作为另一个函数的输入。
具体来说，如果有两个函数f(x)和g(x)，其中f(x)的定义域为集合A，值域为集合B，g(x)的定义域为集合B，值域为集合C，那么可以定义这两个函数的复合过程为：(g◦f)(x)=g(f(x))其中，符号“◦”表示函数的复合。
在复合过程中，先对x进行f(x)的运算，得到一个值，然后把这个值作为g(x)的输入，再进行g(x)的运算，得到最终的输出。
接下来，我们来介绍复合函数的概念。
所谓复合函数，就是将一个函数作为另一个函数的输入，并得到一个新的函数。
具体来说，如果有两个函数f(x)和g(x)，其中f(x)的定义域为集合A，值域为集合B，g(x)的定义域为集合B，值域为集合C，那么可以定义这两个函数的复合函数为：(g◦f)(x)=g(f(x))与函数的复合过程不同的是，复合函数的输入仍然是自变量x，而输出则是复合函数的取值。
接下来，我们来讨论如何求解函数的复合过程和复合函数。
在求解复合过程时，需要先将一个函数的输出作为另一个函数的输入，然后对输入进行运算得到输出。
具体的求解步骤如下：1.确定函数的定义域和值域：首先要明确每个函数的定义域和值域，这样才能确定函数的复合过程是否有意义。
2.确定复合过程的具体形式：根据需要求解的问题，确定函数的复合过程的具体形式，即确定哪个函数的输出将作为另一个函数的输入。
3.进行复合运算：根据复合过程的具体形式，进行相应的运算。
先对输入进行第一个函数的运算，得到一个值，然后把这个值作为第二个函数的输入，再进行第二个函数的运算，得到最终的结果。
求解复合函数的步骤也类似，但是需要注意复合函数的输入仍然是自变量x，而输出则是复合函数的取值。
具体的求解步骤如下：1.确定函数的定义域和值域：同样需要明确每个函数的定义域和值域，以确定复合函数的定义域和值域。
2.确定复合函数的具体形式：根据需要求解的问题，确定复合函数的具体形式。
5：函数的定义域和值域高三复习数学知识点总结(全)
（二）函数的定义域（1）解决函数问题，优先考虑定义域.若没有标明定义域，则认为定义域是使得函数解析式有意义的x 的取值范围.实际问题中还要考虑自变量的实际意义.（2）分式中分母0≠；偶次根式中被开方数应为非负数；)0(10≠==x x y ；)10(≠>=a a a y x 且；,log x y a =真数,0>x 底数10≠>a a 且；x y sin =定义域为,R x y cos =定义域为,R x y tan =定义域为x {|},2Z k k x ∈+≠ππ.（3）复合函数的定义域方法：①定义域是输入值x 的集合；②同一对应法则下的括号内整体范围一样.例：已知)1(+=x f y 的定义域为],3,2[-则)12(-=x f y 的定义域为.答案：]25,0[小结：①若已知)(x f 的定义域为],,[b a 则复合函数))((x g f 的定义域可由b x g a ≤≤)(解出；②若已知))((x g f 的定义域为],,[b a 则)(x f 的定义域即为],[b a x ∈时)(x g 的值域.（三）函数的值域（数形结合）常用方法法一：图象法（形）1.)10(22≤<+-=x x x y 2..30,113<≤+-=x x x y 3..14,4-≤≤-+=x xx y 法二：换元法+图象法（形）4.3212++=x x y 5.x x y 21-+= 6.1212+-=x x y 7.)0(422>+=x x x y 8.).1(1542>-+-=x x x x y 9.)10(210212≤≤++=x x xy 法三：单调性（导数和单调性的性质）（数）10.x x y 21--=11.2,0[,sin π∈+=x x x y 12.]3,3[,8123-∈+-=x x x y 法四：几何意义（形）13.2cos 1sin --=x x y 答案：1.]81,1[-；2.)2,1[-；3.]4,5[--；4.]21,0(；5.]1,(-∞；6.)1,1(-；7.]21,0(；8.),222[+∞-；9.]10103,22[；10.21,(-∞；11.]12,0[+π；12.]24,8[-；13.34,0[。
高中数学复合函数定义域和值域学习中易错问题浅析
高中数学复合函数定义域和值域学习中易错问题浅析作者：宿志强来源：《新课程·下旬》2018年第11期摘要：函数问题集定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性和图象于一身。
主要研究高考热点问题中抽象函数和复合函数的定义域和值域。
关键词：复合函数；定义域；值域一、复合函数的定义、定义域和值域问题抽象函数的定义：我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数。
由于这类问题可以全面考查学生对函数概念和性质的理解，同时抽象函数问题又将函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性和图象集于一身，所以在高考中不断出现.记函数v=F（u）的定义域为u1，函数u=f（x）的值域为u2，记U=U1∩U2，D={x|x∈R，f（x）∈U}，则以D为定义域，以F[f（x）]为对应法则的函数v=F[f（x）]叫做D上的复合函数.为叙述方便，构成复合函数的每一次复合步骤所形成的函数，可形象地称为该复合函数的一“层”函数，上述定义中的F（u）叫做f（x）的外层函数，u=f（x）叫做F（u）的内层函数或中间变量复合.1.已知f（x）的定义域，求f[g（x）]的定义域其解法是：若f（x）的定义域为a≤x≤b，则在f[g（x）]中，a≤g（x）≤b，从中解得x的取值范围即为f[g（x）]的定义域.例1：已知y=f（x）的定义域为[-1，1]，求y=f（2x-1）的定义域.解：由题意可知-1≤2x-1≤1，解得0≤x≤1，所以次函数的定义域为[0，1].2.已知f[g（x）]的定义域，求f（x）的定义域其解法是：若f[g（x）]的定义域为m≤x≤n，则由m≤x≤n确定的g（x）的范围即为f（x）的定义域.例2：已知f（2x-1）的定义域为[-1，1]，求f（x）的定义域.解：由于-1≤x≤1，解得-3≤x≤1，因此f（x）定义域为[-3，1].3.运算型的抽象函数求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域，其解法是：先求出各个函数的定义域，然后再求交集.例3：若f（x）的定义域为[-3，5]，求φ（x）=f（-x）+f（2x+5）的定义域.解：可知-3≤-x≤5，因此-5≤x≤3.同时，-3≤2x+5≤5，可得-4≤x≤0.因此，φ（x）的定义域为[-5，3]∩[-4，0]=[-4，0]4.已知函数f[g（x）]的定义域，求函数f[h（x）]的定义域其解法是，先由f[g（x）]的定义域，求出函数f（x）的定义域，再由f（x）的定义域，求出函数f[g（x）]的值域.例4：f（）的定义域为[2，3]，求f（x+5）的定义域.解：f（）的定义域为[2，3]所以，-1≤≤所以，f（x）的定义域为[0，]所以，0二、对数函数的学习过程中，关于求对数函数与二次函数的复合函数的定义域和值域的问题具体模型是，设函数f（x）=logm（ax2+bx+c）（a≠0，m>0，且m≠1），二次方程ax2+bx+c=0对应的判别式？驻=b2+4ac.（1）若函数f（x）的定义域为R，则a>0，且？驻（2）若函数f（x）的值域为R，则a>0，且？驻≥0.例5设函数f（x）=log2（ax2+3x+5），其中a≠0（1）若此函数的定义域为R，求a的取值范围；（2）若此函数的值域为R，求a的取值范围.解：（1）由于此函数是复合函数，所以可令f（x）=log2μ，μ=ax2+3x+5.f（x）=log2μ中μ>0，所以二次函数μ=ax2+3x+5的值域大于零，且x取遍所有实数，只需保证a>0，且？驻=9-20a.（2）同理，可令f（x）=log2μ，μ=ax2+3x+5.则f（x）=log2μ，由于f（x）取遍所有实数，所以μ取遍所有大于0的实数.因此必须保证函数μ=ax2+3x+5与平面直角坐标系中x轴有交点.则对应的判别式？驻≥0.即有a>0，且？驻=9-20a≥0.即0练习1.已知函数y=f（x+1）的定义域是[-2，3]，求y=f（2x-1）的定义域.解：依题可知x+1∈[-1，4]，从而2x-1∈[-1，4]，解得此函数的定义域为[0，].2.已知y=f（x）的定义域为[-1，1]，求函数y=f（x+）·f（x-）的定义域.解：x+∈[-1，1]，解得x∈[-，]；x-∈[-1，1]，解得x∈[-，].取交集可得此函数定义域为[-，].参考文献：[1]刘天好.复合函数定义域求法及其解题意义研究[J].考试周刊，2017（71）：69.[2]赵铎皓.求函数定义域的常见题型例析[J].中学生数理化（学习研究），2017（6）：60.？誗编辑李琴芳。
高考数学复合函数知识点归纳
高考数学复合函数知识点归纳不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数，只有当Mx∩Du≠?时，二者才可以构成一个复合函数。
下面是小编为大家精心推荐数学复合函数知识点总结，希望能够对您有所帮助。
高考数学复合函数知识点归纳1.复合函数定义域若函数y=f(u)的定义域是B,u=g(x)的定义域是A,则复合函数y=f[g(x)]的定义域是D={x|x∈A,且g(x)∈B} 综合考虑各部分的x的取值范围，取他们的交集。
求函数的定义域主要应考虑以下几点：⑴当为整式或奇次根式时，R的值域;⑵当为偶次根式时，被开方数不小于0(即≥0);⑶当为分式时，分母不为0;当分母是偶次根式时，被开方数大于0;⑷当为指数式时，对零指数幂或负整数指数幂，底不为0(如，中)。
⑸当是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，它的定义域应是使各部分都有意义的自变量的值组成的集合，即求各部分定义域集合的交集。
⑹分段函数的定义域是各段上自变量的取值集合的并集。
⑺由实际问题建立的函数，除了要考虑使解析式有意义外，还要考虑实际意义对自变量的要求⑻对于含参数字母的函数，求定义域时一般要对字母的取值情况进行分类讨论，并要注意函数的定义域为非空集合。
⑼对数函数的真数必须大于零，底数大于零且不等于1。
⑽三角函数中的切割函数要注意对角变量的限制。
注：设y=f(u)的最小正周期为T1,μ=φ(x)的最小正周期为T2,则y=f(μ)的最小正周期为T1_2,任一周期可表示为k_1_2(k属于R+)2.复合函数单调性依y=f(u)，μ=φ(x)的单调性来决定。
即“增+增=增;减+减=增;增+减=减;减+增=减”，可以简化为“同增异减”。
⑴求复合函数的定义域;⑵将复合函数分解为若干个常见函数(一次、二次、幂、指、对函数);⑶判断每个常见函数的单调性;⑷将中间变量的取值范围转化为自变量的取值范围;⑸求出复合函数的单调性。
三角函数诱导公式记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”。
复合函数的定义域值域
复合函数的定义域值域复合函数的定义域和值域是数学中的一个重要概念。
在学习复合函数时，理解它们的定义域和值域是极为关键的。
下面，让我们来深入探讨一下复合函数的定义域和值域。
一、复合函数复合函数是由两个已知的函数所组成的。
设f(x)和g(x)是两个函数，复合函数f(g(x))指将g(x)的输出结果作为f(x)的输入，即f(g(x))=f(g(x))。
二、复合函数定义域复合函数的定义域是指输入自变量的集合，也就是使得f(g(x))有意义的所有x的集合。
对于复合函数f(g(x))，当x属于g(x)的定义域，且g(x)的输出属于f(x)的定义域时，才有f(g(x))有意义，此时x属于f(g(x))的定义域。
示例如下：设f(x)=√x，g(x)=x+3，则复合函数f(g(x))=√(x+3)。
对于复合函数f(g(x))，要使得f(g(x))有意义，有以下两个条件：1. x+3的值不小于0，因为函数√x的定义域是[0,+∞)，所以x+3≥0，即x≥-3。
2. x+3的值在√x的定义域范围内。
由于√x的定义域是[0,+∞)，即x≥0，所以x+3≥0，且当x≥0时，x+3也属于√x的定义域范围内，所以此时f(g(x))的定义域为[-3,+∞)。
三、复合函数值域复合函数的值域是指输出因变量的集合，也就是所有f(g(x))的值构成的集合。
我们需要找到g(x)的值域和f(x)的值域，然后求它们的交集。
示例如下：设f(x)=√x，g(x)=x+3，则复合函数f(g(x))=√(x+3)。
1、由于g(x)为一个一次函数，它的值域是实数集。
2、√x的值域是[0,+∞)。
3、f(g(x))的值域是[x+3≥0]∩[0,+∞)=[3,+∞)。
因此，由函数g(x)和f(x)组成的复合函数f(g(x))的值域为[3,+∞)。
综上，复合函数的定义域和值域对我们深入理解复合函数是至关重要的。
如果我们能够熟练掌握复合函数的定义域和值域的求解方法，就能更好地解决有关复合函数的问题。
2.13-2抽象函数(复合函数)定义域的求法讲义
抽象函数的定义域抽象函数的定义：我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数。
复合函数的概念：设y=f(u ）的定义域为Du ，值域为Mu ，函数u=g(x ）的定义域为Dx ，值域为Mx,那么对于Dx 内的任意一个x 经过u ；有唯一确定的y 值与之对应，因此变量x 与y 之间通过变量u 形成的一种函数关系，记为：y=f[g(x)]，这种函数称为复合函数(composite function)，其中x 称为自变量,u 为中间变量，y 为因变量（即函数）。
总结解题模板1.已知)(x f 的定义域，求复合函数()][x g f 的定义域由复合函数的定义我们可知，要构成复合函数，则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中，因此可得其方法为：若)(x f 的定义域为()b a x ,∈，求出)]([x g f 中b x g a <<)(的解x 的范围，即为)]([x g f 的定义域。
2.已知复合函数()][x g f 的定义域，求)(x f 的定义域方法是：若()][x g f 的定义域为()b a x ,∈，则由b x a <<确定)(x g 的范围即为)(x f 的定义域。
3.已知复合函数[()]f g x 的定义域，求[()]f h x 的定义域结合以上一、二两类定义域的求法，我们可以得到此类解法为：可先由()][x g f 定义域求得()x f 的定义域，再由()x f 的定义域求得()][x h f 的定义域。
4.已知()f x 的定义域，求四则运算型函数的定义域若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的交集，即先求出各个函数的定义域，再求交集。
例1已知函数()f x 的定义域为[]15-，，求(35)f x -的定义域．分析：若()f x 的定义域为a x b ≤≤，则在[]()f g x 中，()a g x b ≤≤，从中解得x 的取值范围即为[]()f g x 的定义域．本题该函数是由35u x =-和()f u 构成的复合函数，其中x 是自变量，u 是中间变量，由于()f x 与()f u 是同一个函数，因此这里是已知15u -≤≤，即1355x --≤≤，求x 的取值范围．解：()f x 的定义域为[]15-，，1355x ∴--≤≤，41033x ∴≤≤．故函数(35)f x -的定义域为41033⎡⎤⎢⎥⎣⎦，．变式训练：若函数)(x f y =的定义域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21，则)(log 2x f 的定义域为 。
高一数学复合函数专题
结论:
1、已知函数f(x)的定义域为[a,b],求其 复合函数f[g(x)]的定义域，应由不 等式a≤g(x)≤b解出x即得. 2、已知复合函数f[g(x)]的定义域为 [a,b],求原函数f(x)的定义域,应
求出g(x)的值域(x∈[a,b]),即得
y=f(x)的定义域.
三、复合函数的值域
例：求下列函数的定义域、值域： ⑴
则y=f[g(x)] 增函数 增函数
规律：
当两个函数的单调性相同时，其复合函数是增函数；
当两个函数的单调性不相同时，其复合函数是减函数
“同增异减”
设 y 3 ,u=x2－2x－1,由u∈R, 得原复合函数的定义域为x∈R. u y 3 因为 在定义域R内为增函数， 所以由二次函数u=x2－2x－1的单调性易知 u=x2－2x－1=(x－1)2－2在x≤1时单调减， 由 x∈R, (复合函数定义域) x≤1， (u减) 解得x≤1.所以(－∞，1］是该复合函数的单 调减区间. 同理［1，+∞)是该复合函数的单调增区间. 解:
三、复合函数的单调性
当两个函数的单调性相同时，其复合函数是增函数； 当两个函数的单调性不相同时，其复合函数是减函数
“同增异减” 四、复合函数的奇偶性 奇＋奇＝奇 偶＋偶＝偶 奇×奇＝偶 偶×偶＝偶 奇×偶＝奇 奇＋偶＝（不确定）
六、总结
一、求复合函数的定义域
1、已知函数f(x)的定义域为[a,b],求其复合函数f[g(x)]的定 义域,应由不等式a≤g(x)≤b解出x即得. 2、已知复合函数f[g(x)]的定义域为[a,b],求原函数f(x)的定 义域,应求出g(x)的值域(x∈[a,b]),即得f(x)的定义域.
二、求复合函数的值域
结论:
复合函数的定义域详细讲义及练习详细答案
复合函数一，复合函数得定义:设y就是u得函数,即y=f(ｕ),u就是x得函数,即u=g(x),且ｇ(x)得值域与f(ｕ)得定义域得交集非空,那么y通过u得联系成为ｘ得函数,这个函数称为由y＝f(u),u=g(x)复合而成得复合函数,记作y=ｆ［g(x)］,其中u称为中间变量、二，对高中复合函数得通解法——综合分析法1、解复合函数题得关键之一就是写出复合过程例1:指出下列函数得复合过程。
(１)y=√２—x２ (２)y=sin３x (3)y＝ｓin３x (4)y=3cｏｓ√１—x2 解:(１) y＝√2－x2就是由ｙ=√u,ｕ=2－x2复合而成得、(2)y=sｉn3ｘ就是由y=ｓinu,u=3x复合而成得。
(3)∵ｙ=ｓin3x=(ｓｉnx)-3∴ｙ=ｓin3x就是由y=ｕ—3,u=ｓｉnx复合而成得。
(4)ｙ=3ｃｏs√1+x2就是由y=3cosu,u=√r,ｒ=1+x2复合而成得。
２、解复合函数题得关键之二就是正确理解复合函数得定义、瞧下例题:例2:已知ｆ(x+３)得定义域为［１、2］,求ｆ(2x－５) 得定义域。
经典误解１:解:ｆ(x＋3)就是由y＝f(u),u=ｇ(x)＝x+3复合而成得。
Ｆ(２x—5)就是由y＝f(u2),u2=g(x)＝2x-5复合而成得。
由ｇ(ｘ),G(x)得:u２=2x－11即:y=f(u２),ｕ2=2x-11∵ｆ(u1)得定义域为［1、2]∴１≤x﹤2∴—9≤2x－11﹤—6即:y=ｆ(u2)得定义域为［—９、—6]∴f(２ｘ—5)得定义域为［—9、-6］经典误解2:解:∵f(x+3)得定义域为［１、2］∴1≤x+3﹤2∴—２≤x﹤-1∴-4≤2ｘ﹤－２∴－9≤2ｘ—5﹤-7∴f(2x－5)得定义域为［—9、-7］(下转2页)注:通过以上两例误解可得,解高中复合函数题会出错主要原因就是对复合函数得概念得理解模棱两可,从定义域中找出“y”通过u得联系成为ｘ得函数,这个函数称为由y=ｆ(u),u=g(ｘ)复合而成得复合函数,记作y=f[g(ｘ)］,其中u称为“中间变量”、从以上误解中找出解题者易将f(ｘ+3)得定义域理解成(ｘ＋3)得取值范围,从而导致错误。
有关复合函数单调性的定义和解题方法
有关复合函数单调性的定义和解题方法一、复合函数的定义设y=f(u)的定义域为A ，u=g(x)的值域为B ，若A B ，则y 关于x 函数的y=f ［g(x)］叫做函数f 与g 的复合函数，u 叫中间量.二、函数的单调区间1.一次函数y=kx+b(k ≠0).解 当k ＞0时，(－∞，+∞)是这个函数的单调增区间；当k ＜0时，(－∞，+∞)是这个函数的单调减区间.2.反比例函数y=x k (k ≠0).解 当k ＞0时，(－∞，0)和(0，+∞)都是这个函数的单调减区间，当k ＜0时，(－∞，0)和(0，+∞)都是这个函数的单调增区间.3.二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0).解 当a ＞1时(－∞，－a b 2)是这个函数的单调减区间，(－a b2，+∞)是它的单调增区间；当a ＜1时(－∞，－a b 2)是这个函数的单调增区间，(－a b2，+∞)是它的单调减区间；4.指数函数y=ax(a ＞0，a ≠1).解 当a ＞1时，(－∞，+∞)是这个函数的单调增区间，当0＜a ＜1时，(－∞，+∞)是这个函数的单调减区间.5.对数函数y=log a x(a ＞0，a ≠1).解 当a ＞1时，(0，+∞)是这个函数的单调增区间，当0＜a ＜1时，(0，+∞)是它的单调减区间.三、复合函数单调性相关定理引理1 已知函数y=f ［g(x)］.若u=g(x)在区间(a,b)上是增函数，其值域为(c ，d)，又函数y=f(u)在区间(c,d)上是增函数，那么，原复合函数y=f ［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.(本引理中的开区间也可以是闭区间或半开半闭区间.)证明 在区间(a,b)内任取两个数x 1,x 2，使a ＜x 1＜x 2＜b.因为u=g(x)在区间(a,b)上是增函数，所以g(x 1)＜g(x 2),记u1=g(x 1),u2=g(x 2)即u 1＜u 2,且u 1,u 2∈(c,d).因为函数y=f(u)在区间(c,d)上是增函数，所以f(u 1)＜f(u 2),即f ［g(x 1)］＜f ［f(x 2)］， 故函数y=f ［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.引理2 已知函数y=f ［g(x)］.若u=g(x)在区间(a,b)上是减函数，其值域为(c ，d)，又函数y=f(u)在区间(c,d)上是减函数，那么，复合函数y=f ［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.证明 在区间(a,b)内任取两个数x 1,x 2，使a ＜x 1＜x 2＜b.因为函数u=g(x)在区间(a,b)上是减函数，所以g(x 1)＞g(x 2),记u1=g(x 1),u2=g(x 2)即u 1＞u 2,且u 1,u 2∈(c,d).因为函数y=f(u)在区间(c,d)上是减函数，所以f(u 1)＜f(u 2),即f ［g(x 1)］＜f ［f(x 2)］，故函数y=f ［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.规律：当两个函数的单调性相同时，其复合函数是增函数；当两个函数的单调性不同时，其复合函数为减函数。
复合函数的单调性、定义域与值域
复合函数的单调性设单调函数)(xfy=为外层函数，)(xgy=为内层函数(1) 若)(xfy=增，)(xgy=增，则))((xgfy=增.(2) 若)(xfy=增，)(xgy=减，则))((xgfy=减.(3) 若)(xfy=减，)(xgy=减，则))((xgfy=增.(4) 若)(xfy=减，)(xgy=增，则))((xgfy=减.结论：同曾异减例1. 求函数222)(-+=xxxf的单调区间.外层函数：ty2=内层函数：22-+=xxt内层函数的单调增区间：],21[+∞-∈x内层函数的单调减区间：]21,[--∞∈x由于外层函数为增函数所以，复合函数的增区间为：],21[+∞-∈x复合函数的减区间为：]21,[--∞∈x在本例题的讲解的开始就求出内层函数的单调区间，因为在复合函数的单调性的问题中很多基础薄弱的同学在此处会出现思维混乱，并且这样可以避免接下来涉及到定义域而学生又容易忽略的情况.例2.求函数)2(log)(22-+=xxxf的单调区间.解题过程：外层函数：ty2log=内层函数：22-+=xxt22>-+=xxt由图知：内层函数的单调增区间：[∈x内层函数的单调减区间：]2,[--∞∈x由于外层函数为增函数所以，复合函数的增区间为：],1[+∞∈x复合函数的减区间为：]2,[--∞∈x例3.求函数xy cos=的单调区间解题过程：外层函数：ty=内层函数：xt cos=cos≥=xt由图知：内层函数的单调增区间：]2,22[πππkkx+-∈内层函数的单调减区间：]22,2[πππkkx+∈由于外层函数为增函数所以，复合函数的增区间为：]2,22[πππkkx+-∈复合函数的减区间为：]22,2[πππkkx+∈复合函数的定义域函数的概念：设是,A B非空数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个x，在集合B中都有唯一确定的数()f x和它对应，那么就称:f A B→为集合A到集合B的函数，记作：(),y f x x A=∈。
复合函数使用条件
复合函数使用条件
当使用复合函数时，需要满足以下条件：
1. 函数的定义域和值域必须符合要求。
即，对于函数f和g，g 的定义域必须是f的值域的子集，这样才能保证复合函数的定义域是合法的。
2. 函数的类型必须一致。
即，对于函数f和g，它们的类型必须一致，例如都是实数函数或都是向量函数等。
3. 函数的复合顺序必须正确。
即，对于复合函数f(g(x))，必须先计算g(x)，再将其结果代入f中进行计算。
如果两个函数的复合顺序不正确，将导致计算结果错误。
4. 函数的连续性必须得到保证。
即，对于函数f和g，它们必须都是连续函数，否则将导致复合函数的连续性受到影响。
5. 函数的可微性必须得到保证。
即，对于函数f和g，它们必须都是可微函数，否则将导致复合函数的可微性受到影响。
需要注意的是，以上条件并非全部必须满足，具体取决于所涉及函数的性质和应用场景。
在使用复合函数时，应根据具体情况确定条件。
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复合函数的定义域和值
域
The manuscript was revised on the evening of 2021
如果y是u的函数，记为，u又是x函数，记为，且g(x)的值域与f(u)的定义域的交集不空，则确定了一个y关于x的函数，这就是函数的复合函数，而称为外函数，称为内函数。
本文举例
介绍复合函数问题的一些常见类型及解法。
1．求复合函数的定义域
关键是正确分析函数的复合层次，由里向外或由外向里逐层解决。
例1已知f(x)的定义域为[0，1）若，则函数的定义域是
________。
解析由
故函数的定义域为。
例2已知函数f(x)的定义域为（1，3]，求函数的定义域(a>0)。
解析由
由a>0，而知只有当0<a<1时，不等式线才有解，解集为；否则，不等式组的解集为空集，这说明仅当o<a<1时，g(x)才能是x的函数，且其定义域为。
2．求复合函数的值域
关键是由里向外，逐层解决。
例3函数的值域是（）
（A）（B）[0，4]
（C）（D）
解析函数是由函数与y=lgu复合而成的。
由
知,由y=lgu知，，故所给函数的值域为，应该选C。
例4求函数的值域。
解析函数是由函数复合而成的。
由u的定义域得：。
由，或y>1，故所给函
数的值域为。
3．求复合函数的奇偶性
（1）若内函数为偶函数，那么复合函数的奇偶性与外函数无关，必为偶函数；
（2）若内与外函数都为奇函数，那么复合函数也是奇函数；
（3）若内函数为奇函数，外函数为偶函数，那么复合函数必为偶函数。
除以上类型外，其它类复合函数的奇偶性和须严格按函数奇偶性定义来判断。
例5判断下列函数的奇偶性。
解析（1）由于内函数为偶函数，据以上结论知f(x)必为偶函数。
解析（2）由于内函数为偶函数，虽外函数是非奇非偶函数，但f(x)仍为偶函数。
例6若f(x)为奇函数，试判断函数的奇偶性。
解析根据以上结论，由于内函数和外函数f(u)都为奇函数，故函数必为奇函数。
例7已知，试判断函数f(x)的奇偶性。
解析由于内函数非奇非偶，外函数也非奇偶性，这时，f(x)
的定义域为（－１，１），又所以，函数f(x)为奇函数。