附录3-1：高斯-马尔科夫定理的证明
高斯公式的内容及其证明
设S是向量场F内的一片有向曲面，n是S上点(x, y, z)处的单位 法向量，则
F ndS
S
叫做向量场F通过曲面S向着指定侧的通量（或流量）． 高斯公式的另一形式：
divFdv = F ndS ．
W
S
S1
S1
x2 y2 h2
因此
(x2 cos y2 cos z2 cos)dS 1 h4 h 4 1 h4 ．
S
2
2
二、通量与散度
高斯公式的物理意义：
高斯公式
W
P x
Q y
R z
dv
S
F
ndS
的右端可解释为单位时间内离开闭区域W的流体的总质量，左
S
Dxy
所以有 类似地有
W
Rdv z
S
R(
x,
y,
z)dxdy
．
W
Pdv x
S
P(x,
y,
z)dydz
，
W
Q y
dv
S
Q(
x,
y,
z
)dzdx
，
把以上三式两端分别相加，即得高斯公式．
例 1 利用高斯公式计算曲面积分 (x y)dxdy ( y z)dydz ， S
lim 1 F ndS
WM V S
表示在点M处单位时间内所产生的流量，我们称其为向量场F在
点M的散度，记为divF，即
divF lim 1 F ndS ． WM V S
散度的计算： 设P、Q、R具有一阶连续偏导数，则 divF P Q R ． x y z
计量经济学答案—湘潭大学(龚志民 马知遥)讲解
计量经济学课后习题答案——湘潭大学出版社（龚志民马知遥）本文档由湘潭大学13级经济学1班整理第一章导论1.1 说明什么是横截面数据、时间序列数据、合并截面数据和面板数据。
答：截面数据是指一个变量或多个变量在某个时点的数据集。
也就是说，在同一个时点观察多个对象的某个属性或变量取值。
时间序列数据是指对一个或几个变量跨期观察得到的数据。
也就是按固定的时间间隔观察某个对象的属性或变量的取值。
合并截面数据是指在不同时点截面数据的合并。
不同时点的截面单位可以不同，即不同时点抽取的样本不必相同。
面板数据也称纵列数据，是对若干固定对象的属性或变量值跟踪观察而得的数据，跟踪观察一般是按固定时间间隔的跨期观察。
1.2 你如何理解计量经济学？答：计量经济学是在对经济数据的收集和加工，并以图、表等各种形式展现经济发展现状的基础上，进行定量研究，同时进行经济理论的探索和经济变量之间关系的研究，并注重理论的可度量性及其经验验证。
总之，计量经济学是利用经济学理论、数学、数理统计学方法、计算机工具和统计软件研究经济学问题的一门学科。
1.3 DA TA1-1给出了2010-2011年中国31个省市GDP和固定资产投资的数据，你能想到那些方法研究两者之间的关系？答：方法一：用一元线性回归模型的方法。
方法二：相关分析。
利用数据可以求出两者之间的相关系数r,利用相关系数的性质即可判断出两者是否存在相关关系。
1.4 DA TA1-2给出了中国1952-2012年GDP和消费支出的数据，尝试对消费和收入的关系作出描述。
从中你有什么发现？答：从表中数据可以看出：当收入增加时，消费也会相应的增长；当收入增加幅度变大时，消费增加的幅度也变大，但消费增加的幅度比收入增加的幅度小。
也就是说，收入增加时，收入增加的一部分用于消费，而不是全部。
这很符合消费者边际消费倾向小于1的理论。
由此可见，消费和收入可能存在高度相关性。
通过描图更能直观地说明问题。
高斯公式的内容及其证明
一、高斯公式 二、通量与散度
高斯公式的物理意义、散度 散度的计算、通量、高斯公式的另一形式
一、高斯公式
定理1 设空间闭区域W是由分片光滑的闭曲面S所围成，函数 P(x, y, z)、Q(x, y, z)、R(x, y, z)在W上具有一阶连续偏导数，则有
W
P x
，
W
Q y
dv
S
Q(
x,
y,
z
)dzdx
，
把以上三式两端分别相加，即得高斯公式．
例 1 利用高斯公式计算曲面积分 (x y)dxdy ( y z)dydz ， S
其中S为柱面 x2y21 及平面 z0，z3 所围成的空间闭区域W的整
个边界曲面的外侧．
z
解 这里P(yz)x，Q0，Rxy，
P yz， Q 0，R 0．
3
x
x
x
由高斯公式，有
(x y)dxdy ( y z)dydz
S
(y z)dxdydz W
O 1y 1 x
(r sin z)rdrddz
2
d
1
rdr
3
(r
sin
z)dz
9
．
W
0
0
0
2
例 2 计算曲面积分 (x2 cos y2 cos z2 cos)dS，其中S为 S
锥面 x2y2z2 介于平面 z0 及 zh (h>0)之间的部分的下侧，cos 、
S1
x2 y2 h2
因此
(x2 cos y2 cos z2 cos)dS 1 h4 h 4 1 h4 ．
S
2
2
二、通量与散度
高斯代数基本定理
高斯代数基本定理高斯代数基本定理（Gauss's Fundamental Theorem of Algebra）是现代代数学中的一个重要定理，它揭示了复数域上代数方程的根的存在性。
该定理由德国数学家卡尔·弗里德里希·高斯于1799年首次提出，并在1828年发表。
在代数学中，一个代数方程是形如f(x) = 0的方程，其中f(x)是一个多项式函数，而x是未知数。
高斯代数基本定理指出，对于任何次数大于等于1的复系数多项式方程，总存在至少一个复数根。
具体来说，高斯代数基本定理可以表述为：任何一个次数大于等于1的复系数多项式方程f(x) = 0，在复数域上总有解。
换句话说，复数域上的代数方程总能够被复数根解决。
为了更好地理解高斯代数基本定理，我们可以通过一个简单的例子来说明。
考虑方程x^2 + 1 = 0，其中x是未知数。
根据高斯代数基本定理，我们知道这个方程在复数域上必定有解。
实际上，这个方程的解是x = ±i，其中i是虚数单位。
高斯代数基本定理的证明并不简单，它需要使用复数域的性质和代数学的基本概念。
高斯通过将复数域扩展为复平面，并利用复数的极坐标形式来证明了这个定理。
他的证明是基于代数学中的重要定理之一，即代数基本定理（Fundamental Theorem of Algebra），它指出任何一个次数大于等于1的复系数多项式方程在复数域上至少有一个复数根。
高斯代数基本定理的重要性不仅在于它解决了复数域上的代数方程，还在于它为代数学的发展奠定了基础。
通过这个定理，我们能够更深入地研究多项式方程的性质和解的特征。
它在代数学、数论、几何学等领域都有广泛的应用。
除了在理论研究中的应用，高斯代数基本定理还在实际问题中发挥着重要作用。
例如，在工程和科学领域中，我们经常需要解决各种复杂的方程和模型。
高斯代数基本定理提供了一种有效的方法来确定方程的解的存在性，并为我们提供了解决问题的思路和方法。
高斯马尔科夫场
马尔可夫随机场(MRF)模型是一种描述图像结构的概率模型，是一种较好的描述纹理的方法。
它是建立在MRF 模型和 Bayes 估计基础上，按统计决策和估计理论中的最优准则确定问题的解。
其突出特点是通过适当定义的邻域系统引人结构信息，提供了一种一般用来表达空间上相关随机变量之间相互作用的模型，由此所生成的参数可以描述纹理不同方向、不同形式的集聚特征，更符合人的感官认识。
MRF 模型及其应用主要有两个分支：一是采用与局部Markov 性描述完全等价的Gibbs 分布；另一支是假设激励噪声满足高斯(Gauss)分布，从而得到一个由空域像素灰度表示的差分方程，称作高斯--马尔可夫随机场模型。
在实际应用中，由于高斯--马尔可夫随机场(GMRF)的计算量相对较小，获得了较为广泛的应用。
高斯马尔可夫随机场模型及参数估计马尔科夫场（MRF ）是一个一维因果马尔科夫链到二维或更高维数的扩展。
一个马尔科夫场MRF }),(),,({Λ∈n m n m f 是一个局部条件概率密度函数的表述)),(),,(|),((}),(),,(),(),,(|),((),(n m l k l k f n m f p l k n m l k l k f n m f p N ∈=Λ∈≠),(n m N 表示像素),(n m 的邻域。
如果这个条件概率是一个高斯分布，则我们成这个MRF 为GMRF 。
图1 表示GMRF 的阶数，其相对于邻域的局部性。
图1 GMRF 阶数描述我们现在用一个二阶系数GMRF 模型：),(),(),(),(),(n m e s n t m f s t n m f s t +--=∑N∈θ邻域：)}1,1(),0,1(),1,1(),1,0(),1,0(),1,1(),0,1(),1,1{(------=N 均值和方差 ：),0(~),(2σ-N n m e .对于每一个像素，我们利用定义在一个窗口W 的协方差矩阵的μ, σ和参数}),(),,({N ∈s t s t θ，通过最小平方估计(LSE)：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----)1,0()1,1()0,1()1,1()1,0()1,1()0,1()1,1()0,0()2,1()1,1()0,1()2,1()0,0()1,0()2,0()1,1()1,0()0,0()1,0()0,1()2,0()1,0()0,0(r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r θθθθ∑N∈-=),(2),(),()0,0(s t s t r s t r θσ∑∈--=Wn m ws n t m f n m f N s t r ),(),(),(1),(∑∈=Wn m wn m f N ),(),(1μw N 表示窗口W 的像素的个数。
代数基本定理高斯证明
高斯在他的博士论文中证明了代数基本定理，即一个带有复数系数的n次代数方程g(x)=0，其中n为正整数，至少有一个复数解。
高斯给出了四种不同的证明方法，其中第一种方法是在他的博士论文中首次提出的。
高斯的第一种证明方法是通过纯粹的存在性证明，他并没有具体构造出多项式方程的解，而是证明了这样的解一定存在。
他的证明基于复数域的完备性，即任何复数多项式都可以表示为一次因式的乘积。
他通过考虑多项式的根和系数的关系，以及多项式的因式分解，证明了代数基本定理的正确性。
高斯的第二种证明方法是通过几何论据来证明的，但这种方法相对复杂，不是很容易理解。
第三种证明方法是通过判别式来证明的，即证明每两个根之差的乘积可以表示成多项式和它的导数的线性组合，这种方法也不易理解。
第四种证明方法是基于前三种方法的变种，但高斯更自由地使用了复数，使得证明更加简洁和易于理解。
总之，高斯的代数基本定理证明在数学史上具有重要地位，它不仅解决了长期以来数学家们对于多项式方程解的存在性的疑惑，而且为复数域的研究奠定了基础。
高斯的证明方法也展示了他在数学领域的卓越才华和创新思维。
高斯公式的内容及其证明
divFdv = F ndS ．
W
S
cos 、cos是S上点(x, y, z)处的法向量的方向余弦．
解 设S1为zh(x2y2 h 2)的上侧，则S与S1一起构成一个闭曲 面，记它们围成的空间闭区域为W． z
S1 h
S : z x2 y2
O
y
x
x2y2 h 2
由高斯公式得
(x2 cos y2 cos z2 cos)dS 2 (x y z)dv
，
W
Q y
dv
S
Q(
x,
y,
z
)dzdx
，
把以上三式两端分别相加，即得高斯公式．
例 1 利用高斯公式计算曲面积分 (x y)dxdy ( y z)dydz ， S
其中S为柱面 x2y21 及平面 z0，z3 所围成的空间闭区域W的整
个边界曲面的外侧．
z
解 这里P(yz)x，Q0，Rxy，
P yz， Q 0，R 0．
3
x
x
x
由高斯公式，有
(x y)dxdy ( y z)dydz
S
(y z)dxdydz W
O 1y 1 x
(r sin z)rdrddz
2
d
1
rdr
3
(r
sin
z)dz
9
．
W
0
0
0
2
例 2 计算曲面积分 (x2 cos y2 cos z2 cos)dS，其中S为 S
锥面 x2y2z2 介于平面 z0 及 zh (h>0)之间的部分的下侧，cos 、
质量．
散度：
在流速场
F{ P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)}
高斯积分定理
高斯积分定理
摘要：
一、高斯积分定理的简介
二、高斯积分定理的推导过程
三、高斯积分定理的应用领域
四、高斯积分定理的意义和价值
正文：
高斯积分定理，又称高斯(Gauss) 积分公式、高斯(Gauss) 积分反常定理，是数学分析领域中一种非常重要的积分定理。
它不仅为我们提供了一种求解积分的方法，还在许多领域有着广泛的应用。
首先，我们来了解一下高斯积分定理的推导过程。
高斯积分定理的推导主要依赖于概率论中的概率密度函数和概率分布函数。
设随机变量X 的概率密度函数为f(x)，则随机变量Y=|X|的概率密度函数为f_Y(y)=f(x)/2，其中
y=|x|。
通过对Y 进行积分，我们可以得到高斯积分定理的数学表达式。
高斯积分定理的应用领域非常广泛。
在概率论中，它可以用来求解随机变量的数学期望和方差；在数理统计中，它可以用来求解参数的极大似然估计；在信号处理中，它可以用来求解信号的能量和功率谱密度；在量子力学中，它可以用来求解量子态的概率密度函数。
高斯积分定理的意义和价值在于，它提供了一种将不同领域的积分问题联系起来的方法。
通过高斯积分定理，我们可以将概率论、数理统计、信号处理、量子力学等领域的积分问题转化为求解概率密度函数或概率分布函数的问
题，从而简化问题的求解过程。
高斯马尔可夫假设条件
高斯马尔可夫假设是指在线性回归模型中，误差项满足高斯分布和马尔可夫性质的条件。
具体来说，高斯马尔可夫假设包括以下条件：
1.线性关系：自变量和因变量之间存在线性关系。
2.独立性：误差项ϵi与ϵj在i=j时互相独立。
3.同方差性：误差项ϵi的方差2σ2 在所有样本中是相同
的。
4.正态性：误差项ϵi的分布是正态分布。
5.马尔可夫性：误差项ϵi只与前一个时间点的误差项ϵi−1
相关，即ϵi的值只受到ϵi−1 的影响，而与其他时间点的误差项无关。
这些假设条件是线性回归模型能够进行参数估计和进行推断的重要前提，也是许多现实问题中实际存在的条件。
然而，在实践中，这些假设条件并不总是成立，因此需要对模型进行修正或者使用其他更适合的模型来解决实际问题。
高斯定理的证明方法和应用
式中最后一步用到 函数的筛选性，将式（3）代入式（2）中得：
r SE dS V 0 dV
（1） 当电荷 Q 包含在闭合曲面 S 内时，则
7
r Q E d S d V S V 0 0
e E dS
S
S n
E
i 1 S n
n
i
dS
E i dS
i 1
1
0
Q
i 1
i
上式表明，在真空中的静电场内，通过任意一闭合曲面的电通量，等于包围在该面 内的所有电荷的代数和的 0 分之一，这就是真空中的高斯定理。通常把闭合曲面 S 称为 高斯面，对于连续分布的电荷，上式可以表述为
B dS 0
S
与静电场中的高斯定理相比较，两者有着本质上的区别。在静电场中，由于自然界中存 在着独立的电荷，所以电场线有起点和终点，只要闭合面内有净余的正或者负电荷，穿 过闭合面的电通量就不等于零，即静电场是有源场；而在磁场中，由于自然界中没有单 独的磁极存在，N 极和 S 极是不能分离的，磁感线都是无头无尾的闭合线，所以通过任
S
（1）
其中 S 取外侧。(1)式称为高斯公式。 1、 物理上静电场的高斯定理
在一半径 r 的球面 S 包围一位于球心的点电荷 Q，在这个球面上，场强 E 的方向处 处垂直于球面，且 E 的大小相等，都是 E
Q 4 0 r 2
。通过这个球面 S 的电通量为
e E dS E dS 4 r 2 E
（2） 当电荷 Q 不包含在闭合曲面 S 内时，则
S V
r E dS dV 0
证明高斯马尔科夫定理
证明高斯马尔科夫定理
高斯马尔科夫定理是统计物理学的一项基本定理，用来描述一个由大量粒子组成的系统的统计性质。
它指出，在经典的条件下，一个处于平衡状态的理想气体分子速度的分布是高斯分布。
高斯马尔科夫定理的证明可以通过以下步骤进行：
1. 假设气体分子速度的分布函数为f(v)，即f(v)dv表示速度在
v到v+dv范围内的分子数目。
2. 假设速度的三个分量v_x，v_y和v_z是独立的，并且符合
相同的概率分布。
3. 由于分子的速度是连续的，其分布函数满足归一化条件，即∫f(v)dvdvdw = 1
其中v和w是速度的一对坐标，积分范围是整个速度空间。
4. 考虑速度分布的一阶矩，即速度的平均值。
根据高斯马尔科夫定理，这个平均值为零，即
∫vf(v)dvdwdv = 0
5. 根据速度分布函数的性质，可以推导得到速度分布的二阶矩，即速度的方均根值（均方速度）。
根据高斯马尔科夫定理，均方速度与温度成正比，即
∫v^2f(v)dvdwdv = 3kT/m
其中k是玻尔兹曼常数，T是系统的绝对温度，m是分子的质量。
6. 根据速度分布的特性，可以证明整个速度空间的分布函数为高斯分布。
由于速度的三个分量是独立的，所以总的分布函数可以表示为：
f(v) = f(v_x)f(v_y)f(v_z)
其中f(v_x)、f(v_y)和f(v_z)都是单个分量速度的高斯分布。
综上所述，根据上述证明的步骤可以得出高斯马尔科夫定理的结论，即一个处于平衡状态的理想气体分子速度的分布是高斯分布。
高斯数学定理
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高斯数学定理
咱都知道数学界那可是有好多超厉害的定理呀，高斯数学定理也不例外。
高斯那可是个数学大神，他搞出来的定理就像数学世界里的宝藏。
这高斯数学定理涵盖的东西可多啦。
就比如说在数论方面，有关于同余的定理，这同余就像是给数字分组一样。
打个比方，就像咱们把一群小动物按照它们的种类分组，同余就是把数字按照除以某个数的余数来分组。
比如说10除以3余数是1，13除以3余数也是1，那10和13在除以3这个规则下就是同余的。
在几何里，高斯也有很牛的发现。
他对曲面的研究就超级深入。
想象咱们生活的地球，地球的表面其实就是个曲面。
高斯通过他的定理能算出这个曲面上各种点之间的关系，比如说两点之间的最短距离可不只是咱们在平面上看到的那种直线哦，在曲面上是有独特的曲线的，这曲线就是高斯研究出来的。
在概率论方面，高斯的正态分布那可是非常出名的。
正态分布就像一个钟形曲线，大多数的数据都会集中在曲线的中间部分，就像咱们考试的成绩，大多数人都会集中在某个分数段，特别高或者特别低的分数都是少数。
这个正态分布在很多领域都超级有用，像统计人口身高、体重，分析产品的质量等。
高斯数学定理就像是一个万能钥匙，打开了数学各个领域的大门，让数学家们能在这些领域里不断探索新的东西，也让数学能够在物理、工程、经济等好多学科里发挥巨大的作用。
它是数学发展史上的一座丰碑，激励着一代又一代的数学爱好者去深入学习数学，探索更多的数学奥秘。
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高斯博内定理证明
高斯博内定理证明高斯博内定理证明引言高斯博内定理是微积分中的一个重要定理，它描述了一个向量场的流量与该向量场的散度之间的关系。
在本文中，我们将详细介绍高斯博内定理的证明过程。
定义首先，让我们回顾一下一些基本概念。
在三维空间中，一个向量场可以表示为$F(x,y,z)=F_x(x,y,z)i+F_y(x,y,z)j+F_z(x,y,z)k$，其中$i,j,k$是三个标准单位向量。
该向量场的散度定义为$\operatorname{div} F=\frac{\partial F_x}{\partialx}+\frac{\partial F_y}{\partial y}+\frac{\partial F_z}{\partial z}$。
同时，我们可以将一个立方体看作由若干小立方体组成的，并将其每个小立方体上的流量相加得到整个立方体上的流量。
定理陈述现在我们可以正式陈述高斯博内定理了：对于一个光滑、有界的三维区域$\Omega$和其边界$\partial \Omega$，如果向量场$F(x,y,z)$在$\Omega$中连续可微，则有$$\iiint_\Omega\operatorname{div} F dV=\iint_{\partial \Omega} F \cdot ndS$$其中$n$是边界$\partial \Omega$上的单位法向量，$\cdot$表示点积，$dV$表示三维空间中的体积元素，$dS$表示边界面积元素。
证明过程为了证明高斯博内定理，我们需要将立方体分成若干小立方体，并计算每个小立方体上的流量之和。
具体地说，我们可以将每个小立方体看作一个长方体，其六个面中有四个面是与相邻小立方体共享的。
这些共享面上的流量会在计算相邻小立方体时被重复计算。
因此，我们需要用正负号来区分它们。
接下来，我们考虑一个小立方体的流量。
假设该小立方体的六个面分别为$S_1,S_2,\cdots,S_6$。
根据定义，该小立方体上的流量可以表示为$$\int_{S_1} F \cdot n dS-\int_{S_2} F \cdot n dS+\int_{S_3} F\cdot n dS-\int_{S_4} F \cdot n dS+\int_{S_5} F \cdot n dS-\int_{S_6} F \cdot n dS$$其中$n$是各个面上的单位法向量。
附录3-1：高斯-马尔科夫定理的证明
高斯－马尔科夫定理（OLS 有效性）的证明根据OLS 的一阶条件：022)(='+'-=∂∂βββX X y X S 设b 是解，则b 满足正则方程组y X Xb X '='这正是我们曾分析的最小二乘正则方程组。
因为X 是满秩的，所以X X '的逆存在， 从而得到解是y X X X b ''=-1)(ββββX X y X y y S ''+''-'=2)(022)(='+'-=∂∂βββX X y X S 为了证实这确实是最小值，我们需要二阶编分矩阵X X S b '=∂∂∂=2')(2ββββ是一个正定矩阵。
我们现在来证明这个结果。
对任意一非零向量c ，令Xc X c q ''=，则Xc q i i =='=∑νυνν其中,2除非ν的每一元素都为0，否则q 是正的。
但若υ为零的话，则X 的各列的一个线性组合等于0，这与X 满秩的假定相矛盾。
三、最小二乘估计量的统计特性在本节中，我们对回归量的两种情况，即非随机回归量和随机回归量下分别作讨论。
1、X 非随机回归量若回归量当作非随机来进行处理时，则将X 当作常数矩阵处理就可导出最小二乘估计量的各种特性。
可得εβεβX X X X X X X b ''+=+''=--11)()()( （4）若X 是非随机的，或0)(='εX E ，则（4）中第二项的期望值是0。
所以，最小二乘估计量是无偏的，它的协方差矩阵是]))([(]['--=ββb b E b Var])()[(11--''''=X X X X X X E εε 11)(][)(--''''=X X X E X X X εε 121)()()(--'''=X X X I X X X σ12)(-'=X X σ在前面的内容中，对K =2的特殊b 是β的最小方差的线性无偏估计量。
高斯博内定理证明
高斯博内定理证明什么是高斯博内定理？高斯博内定理（Gauss-Bonnet定理）是微分几何中的一个重要定理，描述了曲面的几何性质与其曲率之间的关系。
该定理被广泛应用于物理学、工程学以及计算机图形学等领域。
本文将对高斯博内定理进行详细的证明和探讨。
高斯博内定理的数学表达式高斯博内定理的数学表达式如下：∫K S ds+∑θini=1=2πχ(S)其中，S代表一个紧致曲面（无边），K代表该曲面上的高斯曲率，ds代表该曲面上的面积元素，θi代表该曲面上的截角，χ(S)代表该曲面的欧拉示性数。
高斯博内定理的证明第一步：将曲面分割成多个小区域我们可以将曲面S分割成多个小区域，每个小区域都是由边界曲线和曲面共同组成的。
这些小区域可以是任意形状的，例如三角形、梯形等。
假设我们将曲面S分割成n个小区域，其面积分别为A1,A2,...,A n。
第二步：计算每个小区域的截角之和根据几何学知识，我们可以计算出每个小区域内的截角之和。
假设第i个小区域的截角之和为θi，则有：∑θini=1=θ1+θ2+...+θn第三步：计算曲面上的高斯曲率我们知道，曲面上的高斯曲率K可以通过曲面的曲率半径r计算得到：K=1r12+1r22其中，r1和r2分别为曲面上某一点的主曲率半径。
第四步：计算曲面上的曲率积分现在，我们可以计算曲面S上的曲率积分。
曲率积分是将曲面上的高斯曲率乘以面积元素ds后进行累加。
对于每个小区域，其曲率积分为K⋅ds，所以整个曲面S上的曲率积分为：∫K S ds=∑(K⋅ds)ini=1=∑K ini=1⋅A i其中，K i为第i个小区域的高斯曲率，A i为第i个小区域的面积。
第五步：应用欧拉示性数最后，我们可以应用欧拉示性数来简化计算。
对于一个紧致曲面（无边），其欧拉示性数χ(S)可以通过计算曲面的顶点数V、边数E和面数F后得到：χ(S)=V−E+F结果分析将第四步和第五步的结果代入高斯博内定理的数学表达式中，我们得到：∫K S ds+∑θini=1=∑K ini=1⋅A i+∑θini=1=2πχ(S)根据数学推导和应用欧拉示性数的结果，我们成功证明了高斯博内定理。
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高斯－马尔科夫定理（OLS 有效性）的证明
根据OLS 的一阶条件：
022)(='+'-=∂∂ββ
βX X y X S 设b 是解，则b 满足正则方程组
y X Xb X '='
这正是我们曾分析的最小二乘正则方程组。
因为X 是满秩的，所以X X '的逆存在， 从而得到解是
y X X X b ''=-1)(
ββββX X y X y y S ''+''-'=2)(
022)(='+'-=∂∂ββ
βX X y X S 为了证实这确实是最小值，我们需要二阶编分矩阵
X X S b '=∂∂∂=2'
)
(2ββββ
是一个正定矩阵。
我们现在来证明这个结果。
对任意一非零向量c ，令Xc X c q ''=，则
Xc q i i =='=∑νυνν其中,
2
除非ν的每一元素都为0，否则q 是正的。
但若υ为零的话，则X 的各列的一个线性组合等于0，这与X 满秩的假定相矛盾。
三、最小二乘估计量的统计特性
在本节中，我们对回归量的两种情况，即非随机回归量和随机回归量下分别作讨论。
1、X 非随机回归量
若回归量当作非随机来进行处理时，则将X 当作常数矩阵处理就可导出最小二乘估计量的各种特性。
可得
εβεβX X X X X X X b ''+=+''=--11)()()( （4）
若X 是非随机的，或0)(='εX E ，则（4）中第二项的期望值是0。
所以，最小二乘
估计量是无偏的，它的协方差矩阵是
]))([(]['--=ββb b E b Var
])()[(11--''''
=X X X X X X E εε 11)(][)(--''''
=X X X E X X X εε 121)()()(--'''=X X X I X X X σ
12)(-'=X X σ
在前面的内容中，对K =2的特殊b 是β的最小方差的线性无偏估计量。
现在我们给出这个基本结果的一个更一般的证明，令β是Cy b =~的另一个不同于b 的线性无偏估计量，其中C 是一个K ×n 矩阵。
若b ~
是无偏的， ,][][βεβ=+=C CX E Cy E
这暗示着CX=I ，并且εβC b +=~。
所以可以得到b ~
的协方差矩阵是 C C b Var '=2]~[σ
现在令X X X C D ''-=-1)(，由假设知D ≠0。
那么，,~
*Dy b b b =-= ,''*)(2DD D D b Var Y σ==∑ 于是'DD 是非负定矩阵。
则
]))()()([(]~[112'''+''+=--X X X D X X X D b Var σ
)])()()([(1
12--'+'''
+=X X X D X X X D σ ))((12-'+'=X X D D σ
在展开这个四项和式之前，我们注意到 )()(1X X X X DX CX I ''+==-
由于上面最后一项是I ，有DX=0，所以
122)(]~[-'+'=X X D D b Var σσ
D D b Var '+=2
][σ
b ~的方差矩阵等于b 的方差矩阵加上一个非负定矩阵。
所以，]~[b Var 的每个二次型都大于][b Var 的相应二次型。
利用这个结果可以证明高斯-马尔科夫定理：
高斯—马尔科夫定理：
对任意常向量w ，古典线性模型中βw '的最小方差线性无偏估计量是b w '，其中b 是最小二乘估计量。