初中数学定义、定理及性质全集

1、直线的性质：两点确定一条直线。

2、两点的所有连线中，线段最短。

（即两点之间，线段最短。

）
3、余角定义：如果两个角的和等于90̊，就说这两个角互为余角。

性质：等角的余角相等。

【补角定义、性质略】
4、垂线的性质（1）：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

（2）：垂线段最短。

5、平行公理（1）：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。

（2）：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。

6、平行线的判定：（1）同位角相等，两直线平行。

（2）内错角相等，两直线平行。

（3）同旁内角互补，两直线平行。

7、平行线的性质：（1）两直线平行，同位角相等。

（2）、（3）略。

8、几个距离：（1）两点之间的距离。

（2）点到直线的距离。

（3）两条平行线的距离。

9、几种图形变换：平移、旋转、轴对称。

10、三角形三边关系定理：三角形两边的和大于第三边。

11、三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180º。

多边形的内角和等于（n-2）・180°；多边形的外角和等于360º；
12、三角形的外角定理：（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。

（2）三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。

13、全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等、对应角相等。

全等三角形的判定：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL(Rt∆专用）。

14、角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等。

角平分线的判定：到角的两边距离相等的点在角的平分线上。

15、线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。

判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

16、等腰三角形的性质：（1）等边对等角。

（2）等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高
相互重合。

判定：等角对等边。

17、等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每个都等于60°；
判定：（1）三个角都相等的三角形是等边三角形。

（2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

18、直角三角形的性质：（1）在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所
对的直角边等于斜边的一半。

【反之也可用】
（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

（3）勾股定理【反之用来判定Rt∆】
19、轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就
说这两个图形关于这条直线对称，也叫轴对称。

【中心对称】：把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这点对称，也叫中心对称。

20、平行四边形的性质：（1）平行四边形的对边平行。

（2）平行四边形的对边相等。

（3）平行四边形的对角相等。

（4）平行四边形的对角线互相平分。

21、平行四边形的判定：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

（3）两组对角分别相等的四边形的平行四边形。

（4）对角线互相平分的四边形是平行四边形。

（5）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

22、矩形的性质：（1）对边平行且相等。

（2）四个角都是直角。

（3）对角线互相平分且相等。

【矩形的判定】（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形。

（2）对角线相等的平行四边形是矩形。

（3）有三个角是直角的四边形是矩形。

23、菱形的性质：（1）菱形的四条边都相等。

（2）菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。

【菱形的判定】（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形。

（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

（3）四边相等的四边形是菱形。

24、正方形的性质和判定：综合22、23.
25、等腰梯形的性质：（1）等腰梯形同一底边上的两个角相等。

（2）等腰梯形的两条对角线相等。

【等腰梯形的判定】同一底边上两个角相等的梯形是等腰梯形。

26、三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。

【梯形的中位线定理】：梯形的中位线平行于两底，且等于两底和的一半。

27、三角形的（1）【重心】：是三条中线的交点。

（每一条中线都可平分三角形的面积。

）
【外心】：是外接圆的圆心，是三边垂直平分线的交点。

它到三个顶
点的距离相等。

【内心】是内切圆的圆心，是三角形三条角平分线的交点，它到三
边的距离相等。

28、垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。

【推论】平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

29、弧、弦、圆心角定理及推论：同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中，有
一组量相等，其余两组量也相等。

30、圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对
圆心角的一半。

【推论】半圆或直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。

31、点和圆的位置关系：点在圆外 <=> d > r；
点在圆上 <=> d = r；
点在圆内 <=> d < r；
直线和圆的位置关系：直线和圆相离 <=> d > r；
直线和圆相切 <=> d = r；
直线和圆相交 <=> d < r；
圆和圆的位置关系：外离 <=> d > r1 + r2 ；
外切<=> d = r1 + r2 ；
相交 <=> r2 - r1 < d < r1 + r2 ；
内切<=> d = r2 - r1；内含<=> d < r2 - r1；
32、切线的判定：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

性质：圆的切线垂直于过切点的半径。

33、切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一
点和圆心的连线平分两条切线的夹角。

34、几个公式：（1）菱形的面积：
（2）梯形的面积：
（3）弧长公式：
（4）扇形的面积：
35、相似三角形的性质：（1）相似三角形的对应角相等；对应边的比相等。

（2）相似三角形周长的比等于相似比。

（3）相似三角形面积的比等于相似比的平方。

【判定】（1）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成
的三角形与原三角形相似。

（2）如果两个三角形三组对应边的比相等，那么这两个
三角形相似。

（3）如果两个三角形两组对应边的比相等，并且相应的
夹角相等，那么这两个三角形相似。

（4）如果两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

36、位似：
37、锐角三角函数：sinA= ;cosA= ; tanA=
[特殊角的三角函数值】
30°45°60°
sinα
cosα
tanα
【几个性质】（1）当角度在0°～90°间变化时，
正弦值随着角度的增大而增大。

余弦值随着角度的增大而减小。

正切值随着角度的增大而增大。

（2）0≤sinα≤1；1≥cosα≥0；tanα>0；
（3）sin(90°-α)=cosα；cos(90°-α)=sinα；（4）sin²α+cos²α=1
38、【函数】一般地，在某一变化过程中，有两个变量x 和y ，如果给定一个X 值，有唯一确定的Y 值与之对应，那么我们称Y 是X 的函数。

39、【一次函数】y=kx+b （k 为任意不为零实数，b 为任意实数）；
特别的，当b=0时，y 是x 的正比例函数。

即：y=kx （k 为任意不为零实数） 。

【一次函数的性质】（1）当k>0时，直线 y=kx 经过三、一象限， y 随x 的增大而增大；
当k<0时，直线 y=kx 经过二、四象限， y 随x 的增大而减小。

（2）直线 y=kx+b 可以看作由直线 y=kx 上、下平移 |b|个单位而成。

因此：当 k>0,b>0, 函数的图象经过一，二，三象限。

当 k>0,b<0, 函数的图象经过一，三，四象限。

当 k<0,b<0, 函数的图象经过二，三，四象限。

当 k<0,b>0, 函数的图象经过一，二，四象限。

（3）一次函数 y=kx+b 与x 轴交点的坐标是（—k
b ，0） ； 与y 轴交点的坐标是（0，b)；
正比例函数 y=kx 的图像总是过原点。

（4）当平面直角坐标系中两直线平行时，其函数解析式中K 值（即一
次项系数）相等 。

【确定一次函数的表达式】 ① y=kx ，只需知道图像上一 个点的坐标，
代人确定k 即可。

②确定y=kx+b ：
一：设一次函数的表达式（也叫解析式）为y=kx+b 。

二：代入满足关系式的两个点的坐标，列出关于k 和b 的 二元一次方程组。

三：解这个二元一次方程组，得到k ，b 的值。

四：最后得到一次函数的表达式。

40\【反比例函数】形如x
k y =（k 为常数且k≠0) 的函数，叫做反比例函数。

或xy=k 或y=kx -1 【反比例函数的图象】反比例函数x
k y =
的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限。

它们关于原点对称、反比例函数的图象与x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交。

【反比例函数的性质】 （1） 当0k >时，图象在第一、三象限，在每个象限内，y 随x
的增大而减小；当0k <时，图象在第二、四象限，在每
个象限内，y 随x 的增大而增大。

（2）k 的意义：
41、（一）、【二次函数】二次函数的图像是抛物线。

其开口方向、对称轴、顶点坐标要牢记。

开口方向决定于a ，① 当a>0时，开口向上，抛物线有最低点，即函数有最 小值，在对称轴左侧，y 随x 的增大而减小；在对称 轴右侧，y 随x 的增大而增大。

②当 a<0时，开口向下，抛物线有最高点，即函数有 最大值，在对称轴左侧，y 随x 的增大而增大；在对称 轴右侧，y 随x 的增大而减小。

|a|越大，抛物线开口越小。

（1）形如 y=ax 2 的函数：对称轴是y 轴，顶点坐标（0，0）。

（2）形如 y=ax 2+k 的函数：它可以看做由 y=ax 2 上下平移|k|个单位而得到 的。

k >0，向上平移；k<0，向下平移。

即【加上减下】
它的对称轴是y 轴，顶点坐标是（0，k ）。

（3）形如 y=a （x-h ）2 的函数：它可以看做由 y=ax 2 左右平移 |h|个单位得到。

【加左减右】；对称轴是直线 x=h ，顶点坐标是（h ，0）。

（4）形如 y=a （x-h ）2+k 的函数：它可以看做由 y=ax 2 上下左右平移得到。

对称轴是直线 x=h ，顶点坐标是（h ，k ）。

-4ac >0
（5）形如 y=ax 2+bx+c 的函数，也是二次函数的一般形式。

对称轴是直线 x=a b 2- ， 顶点坐标是 （a
b 2-，
（二）当 b 2-4ac >0 时，一元二次方程 ax 2+bx+c =0 有两个不相等的实数根， 此时二次函数 y=ax 2+bx+c 与x 轴有两个交点。

当 b 2-4ac=0 时，一元二次方程 ax 2+bx+c =0 有两个相等的实数根， 此时二次函数 y=ax 2+bx+c 与x 轴有一个交点。

当 b 2-4ac <0 时，一元二次方程 ax 2+bx+c =0 没有实数根, 此时二次函数 y=ax 2+bx+c 与x 轴没有交点。

即两根式
（三）二次函数解析式的确定：
（1）若已知对称轴或顶点坐标，就设 y=a （x-h ）2+k ，即顶点式。

（2）若已知图像上任意三点的坐标，就设 y=ax 2+bx+c ，即一般式。

（3）若已知抛物线与x 轴交点的坐标，就设 y=a （x-x 1 ）（x-x 2) 即两根 式。

（其中 x 1、x 2 是抛物线与x 轴两个交点的横坐标。

）
42、实数的有关概念及实数的分类
（1）、
实数有理数整数正整数自然数零负整数分数正分数负分数无理数正无理数负无理数()⎧⎨⎪⎩⎪⎧⎨⎩⎧⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎧⎨⎩⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎪ 或 ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧负无理数负分数负整数负有理数负实数零正无理数正分数正整数正有理数正实数实数 2、数轴:
⑴数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线。

⑵实数与数轴上的点是一一对应的。

3、相反数：
⑴相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零。

⑵在一个数的前面添上“－”号，就成为这个数的相反数。

即实数a 的相 反数是a -；在数轴上表示相反数的两点以原点对称。

⑶a 、b 互为相反数 <====> a b +=0
4、倒数：
⑴倒数：乘积是1的两个数互为倒数。

⑵a 、b 互为倒数 <====> ab =1
a 、
b 互为负倒数 <====> ab =-1
注意：零没有倒数
5、绝对值：
⑴绝对值：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反 数，零的绝对值是零。

a a a a a a =>=-<⎧⎨⎪⎩
⎪0000
6、方根的有关概念：
⑴平方根: 如果a x =2 (0≥a )，那么x 叫做a 的平方根(二次方根), 记作 a x ±=，其中a 叫做a 的算术平方根。

正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零(一个)。

负数没 有平方根。

⑵立方根:如果a x =3(a 为一切实数)，那么x 叫做a 的立方根(三次方根),
记作 3a x =。

正数有一个正的立方根；零的立方根是零；负数有一个负的立方根。

⑶⎪⎩
⎪⎨⎧<-=>==00002a a a a a a a
7、有关实数的非负性：
a 20≥ a ≥0 )0(0≥≥a a
8、科学记数法：把一个数记成n a 10⨯的形式，其中101<≤a ，n 为整数。

这种记数方法叫做科学记数法。

9、近似数与有效数字：一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位。

这时，从左边第一个非0数字起，到精确的数位止，所有的数字，都叫做这个数的有效数字。

2。