利用函数性质判断方程解的存在 课件(25张 )
北师大版高一数学必修一利用函数性质判断方程解的存在性说课稿
利用函数性质判断方程解的存在性尊敬的各位考官大家好，我是今天的06号考生，今天我说课的题目是利用函数性质判断方程解的存在性。
接下来我将从教材分析、学情分析、教学过程（手势）等几个方面展开我的说课。
一、说教材《对数的概念》本节课选自北师大版高中数学必修一第五章第一节。
函数是中学数学的重要内容，本节课则体现出了函数的应用价值。
此前的基本初等函数，函数性质的学习为本节课做了良好的铺垫。
二、说学情深入了解学生是新课标要求下教师的必修课，学生对基本初等函数以及其性质也有了一定的程度的认识，具有一定的分析概括能力三、说教学目标依据学生的知识水平和年龄特点，以及本节课在教材中所处的地位及作用，我制定了以下教学目标：（1）理解方程的解和零点的关系，掌握零点存在性定理（2）通过对方程解的探究，培养学生观察，分析，归纳的思维能力，渗透数形结合，从特殊到一般的思想方法（3）通过探究过程，培养学生细心观察，认真分析的思维习惯，发展数学抽象和逻辑推理的数学核心素养四、说教学重难点要上好一节数学课，在教学内容上一定要做到突出重点、突破难点。
根据本节课的内容，确定教学重点为掌握零点存在性定理的概念。
教学难点为利用函数性质判定方程解的存在性。
五、说教法和学法结合本节课的内容和学生的认知规律，我主要采用讲授法、启发法、小组合作、自主探究等教学方法。
在学法上,我主要采用观察法、合作交流法、归纳总结法等教学方法。
六、说教学过程古语说“凡事预则立，不预则废”，为了更好的以学定教，我会让学生在课前完成一份前置作业（预习单），分为两部分：1.是旧知连接，出一些本课知识紧密相关的已经学过的练习题，这样可以很好的摸清学生基础。
2.是新知速递，是让学生自己先进行预习，完成一些与本课知识相关的基础的练习，从而培养学生的预习能力。
为了实现这节课的教学目标，突出重点，突破难点，整节课的教学分几个部分进行环节一：创设情境，引入新课在这个环节中，我会展示一副北方某天气温变化曲线图，图中显示早上6点气温为零下5度，中午12点温度为5度，我会对学生进行提问：“同学们，咱们看下这幅图片，有没有刚好温度等于0度的时刻呢？”，进而引出今天的课题。
北师大版高中数学必修一-4.1.1 利用函数性质判定方程解的存在 教案
4.1.1利用函数性质判定方程解的存在教学目标1.理解函数零点的意义，能够利用函数性质判定方程解的存在2.通过函数性质判定方程解的存在，培养数形结合的思想3.通过学习，初步体会事物间相互转化的辩证思想教学重难点重点：利用函数性质判定方程解的存在难点：方程实数解的存在区间的求解教学过程问题1 下列函数图像x轴的交点坐标和相应方程的根有何关系？（画出图象并分析）y=2x-4 与2x-4=0 y= x2－2x－3与x2－2x－3=0概括总结：函数的零点定义：我们把函数y=f(x )的图象与x轴交点的横坐标叫做函数y=f(x)的零点等价关系：方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图象与X轴有交点⇔函数y=f(x)有零点示例·练习问题探究2概括总结零点存在性定理：如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)<0,那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点，f(x)=0至少有一个实数解。
思考下列问题：问题1：函数f(x)在区间（a,b)上f(a)f(b)<0，是否一定有零点? 举例说明。
问题2 ：函数f(x)在区间（a,b)上有零点，是否一定有f(a)f(b)<0？举例说明。
问题3：函数f(x)在区间（a,b)上有零点，是否只有一个？举例说明。
总结出函数零点存在性定理注意事项：（1）函数y=f(x)的图象是连续不断地曲线（2）f(a)﹒f(b)<0 y=f(x)有零点，但不可逆（3）若f(a)﹒f(b)>0，不确定函数是否有零点示例·练习课后小结1.什么是函数的零点？2.如何使用函数性质判定方程解得存在？作业：P116.第3题[]实数解？为什么？内有没有在问方程已知函数0,1-0)(,3)(.22=-=x f x x f x []否存在零点。
上是在判断函数）（1,2-44)(.11-+=-x e x f x []并说明理由。
精 品 教 学 设 计4.1.1利用函数性质判定方程解的存在
精 品 教 学 设 计1.1利用函数性质判定方程解的存在一、教学目标以二次函数的图象与对应的一元二次方程的关系为突破口，探究方程的根与函数的零点的关系，发现并掌握在某区间上图象连续的函数存在零点的判定方法；学会在某区间上图象连续的函数存在零点的判定方法。
让学生在探究过程中体验发现的乐趣，体会数形结合的数学思想，从特殊到一般的归纳思想，培养学生的辨证思维以及分析问题解决问题的能力。
二、教学重点难点重点：函数零点与方程根之间的关系；连续函数在某区间上存在零点的判定方法。
难点：发现与理解方程的根与函数零点的关系；探究发现函数存在零点的方法。
三、教学程序设计(一)设问激疑，创设情景问题1一元一次方程10x -=的根和相应的一次函数()1f x x =-的图象与x 轴交点坐标有何关系？问题2一元二次方程2320x x -+=的根和相应的二次函数2()32f x x x =-+的图像与x 轴交点坐标有何关系？(二)启发引导，形成概念函数零点的概念：我们把函数的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点。
等价关系：方程()0f x =有实数根⇔函数()y f x =的图像与x 轴有交点⇔函数()y f x =有零点 例如：判断函数12y x =--零点的个数.解：通过分类讨论把绝对值函数转化为分段函数，作出 函数图像。
函数12y x =--的图像与x 轴有两个交点，所以函数有两个零点。
练习：求下列函数的零点：2(1).()56f x x x =-+(2).()21x f x =-(三)讨论探究，揭示定理思考：函数()y f x =在某个区间上是否一定有零点？怎样的条件下，函数()y f x =一定有零点？观察函数()1f x x =-的图像，此函数在区间[]0,2上有没有零点？计算函数()1f x x =-在区间[]0,2的两个端点对应的函数值(0)f 和(2)f 的乘积，你能发现这个乘积有何特点？观察函数2()32f x x x =-+的图像，此函数在区间[]0,1.5上有没有零点？ 计算函数2()32f x x x =-+在区间[]0,1.5的两个端点对应的函数值(0)f 和(1.5)f的乘积，你能发现这个乘积有何特点？此函数在区间[]1.5,3上是否也具有这样的特点？结论：如果函数()y f x =在区间[],a b 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 ()()0f a f b <, 那么函数()y f x =在区间(),a b 内至少有一个零点，即存在(),c a b ∈ , 使得()0f c =，这个c 也就是方程()0f x =的根。
2024-2025学年高一数学必修第一册(配北师版)教学课件1.1利用函数性质判定方程解的存在性
D.(-∞,-3)和(4,+∞)
解析 易知f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图象是一条连续不断的曲线,又f(-3)·f(-1)
(1)函数的零点是一个点.( × )
(2)函数的零点是一个点的坐标.( × )
1
2.函数y=1+ 的零点是( B )
A.(-1,0)
B.-1
C.1
D.0
3.[人教B版教材例题]如图所示是函数y=f(x)的图象,分别写出
f(x)=0,f(x)>0,f(x)≤0的解集.
解 由图可知,f(x)=0的解集为{-5,-3,-1,2,4,6}.
f(x)=0,通过求方程f(x)=0的解求得函数的零点;二是几何法,画出函数y=f(x)
的图象,图象与x轴交点的横坐标即函数的零点.
变式训练1已知函数f(x)=x2+3(m+1)x+n的零点是1和2,求函数y=logn(mx+1)
的零点.
解 由题意知函数f(x)=x2+3(m+1)x+n的零点为1和2,则1和2是方程
【例2】 判断下列函数零点的个数:
(1)f(x)=(x2-4)log2x;
(2)f(x)=x2-
1
;
(3)f(x)=2x+lg(x+1)-2.
解 (1)令f(x)=0,得(x2-4)log2x=0,因此x2-4=0或log2x=0,解得x=±2或x=1.
又因为函数定义域为(0,+∞),所以-2不是函数的零点,故函数有1和2两个零点.
(方法二)令h(x)=2-2x,g(x)=lg(x+1),在同一平面直
利用函数性质判定方程解的存在PPT演示文稿
-x 2 =log
数形 结合
练习
2
已知函数的图象有公共点A，且点A的横坐标为2，则 （A） （B） （C） （D）
P133:1,2,3 1、若y=ax2-x-1只有一个零点，求a范围。 x bx c, x 0, x 0 f ( x) f 4 f 0， f 2 2 2、设函数 若 ， 2, x 0 则关于x的方程 f ( x) x 解的个数为 （A）1 （B）2 （C）3（D）4 3、已知函数 y log x与y kx 的图象有公共点A，且点 A的横坐标为2，则 k = 1 1 1 1 （A） 4 （B） 2 （C） 4 （D） 2
坐标叫做该函数的零点。即 f(x)=0的解。 若y=f(x)的图像在[a,b]上是连续 曲线，且f(a)f(b)<0，则在(a,b)内 至少有一个零点，即f(x)=0在 (a,b)内至少有一个实数解。
例2
两根都大于1，求m 的范围。
数形 结合ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2 f(x)=x -5x+m=0的
例3
讨论
x 2 解的个数和分 布情况。
1 2014-9-24
4.1.1
利用函数性质判 定方程解的存在
问题提出
方程与函数都是代数的
重要内容 多数方程没有求解公式 如何利用方程与函数的 关系求方程的解？
实例分析
判断方程
F(x)=
2 x -x-6=0
解的存在。
2 x -x-6
-3
0
4
-6
抽象概括
y=f(x)的图像与x轴的交点的横
1 4
总结 方程与函数的关系 根的存在性的判断 的方法
利用函数性质判断方程解的存在性
【问题提出】
怎样求函数的零点？
1：代数法； 2：几何法；
例1：
求函数 y= x 5x 14 的零点。
2
例2：若函数f ( x) x 2 x a没有零点，求实数a
2
的取值范围。
【随堂练习】
导学案
【课堂小结】
1.函数零点的概念 2.零点与方程根的关系 3.零点的求法（代数法）。
【课后作业】
问：观察你的导学案上面函数
y x2 2x 3
的图像，函数的零点是？
【问题提出】：
问题1：零点是点吗？
问题2：函数的零点和相应方程的解的关系？
函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图 象与轴交点的横坐标． 这样就为我们提供了一个通过函数性质确定 方程解的途径。函数的零点的个数就决定 了相应方程实数解的个数。 即： 方程有实数根 函数的图象与轴有交点 函数有零点．
利用函数性质判断方程解 的存在性
第一课时
授课者：刘骞
【新课导入】
你能说出二次函数和相应的一元二 次方程的关系吗？
例如：
方程 x 2 x 3 0 与函数 y x 2x 3
2
2
【知识探索】 先观察几个具体的一元二次方程及其相应 的二次函数，求出方程的根，画出二次函 数的图像：
大家请看导学案。
分别求出三个方程的解和相应函数的 图像与X轴的交点。
【问题提出】：
观察方程的解和相应函数的图像与X轴 的交点有什么关系？
答：方程的解就是对应函数图像和 X轴交点的横坐标。
注：此结论可以推广到所有方程与其相应函数。【 Nhomakorabea知学习】：
我们把函数的图像与横轴的交点的横坐 标称为这个函数的零点。
利用函数性质判定方程解的存在性 获取数据的途径(2) 高一下学期数学北师大版(2019)必修第一册
如何从函数的角度判定方程 2 − − 6 = 0实数根的存在性呢？
观察函数 = 2 − − 6的图象，
−4 = 14 > 0
6 与
点C 4，6 之间的那部分曲线必然穿过x轴，即在区间
= ln 在区间
它是方程− 2 − + 2 = 0的一个根．
它是方程ln = 0的一个根．
<0
内有零点 = 1，
= − 2 − + 2在 −3，0 内有零点 = −2，
它是方程− 2 − + 2 = 0的另一个根．
➢你能概括上面两种情况的共性吗？
如果函数 = 在区间[，]上满足 • < 0，是否一定能得到函数
至少有一个零点，即在区间 ， 内相应的方程 = 0至少有一个解．
如果满足零点存在定理的条件，那么方程 = 0 在区间 ， 内只有一个解吗？
不一定．
如： = (－1)(－2)(－3)， 0 4 = －6 × 6 < 0，
但是该函数在区间(0，4)内有三个零点 = 1， = 2和 = 3．
加什么条件就能保证函数 = 在区间[，]内存在零点？
函数 = 的图象在给定区间[，]上的图象连续不断．
零点存在定理 若函数 = 在闭区间[，]上的图象是一条连续的曲线，并且在
区间端点的函数值一正一负，即 • < 0，则在开区间 ， 内，函数 =
画出函数 = − 2 − 5 − 1的图象，如图：
观察得， −1 = −1 × −4 − 1 = 3 > 0， 6 = 4 × 1 − 1 = 3 > 0．
《函数的零点与方程的解》示范课教学课件【高中数学】
（2）（3，4）．
（3）（0，1）．
（4）（－4，－3），（－3，－2），（2，3）．
归纳小结
问题6 回顾本节课，说说运用函数零点存在定理时，需要注意些什么？
（3）函数零点存在定理只能判定在某一段区间内函数的零点存在，但是零点的个数无法确定．要确定零点的个数，还需要结合函数的单调性等性质，对函数进一步研究．
答案：不能．
目标检测
下图中的（1）（2）（3）分别为函数 在三个不同范围的图象．能否仅根据其中一个图象，得出函数 在某个区间只有一个零点的判断？为什么？
1
同一个函数的图象在三个不同范围看到的情况都不一样，
只能从图（1）观察到它与x轴有1个交点，
从图（2）观察到它与x轴有2个交点，
答案：不能．
目标检测
下图中的（1）（2）（3）分别为函数 在三个不同范围的图象．能否仅根据其中一个图象，得出函数 在某个区间只有一个零点的判断？为什么？
1
从图（3）观察到它与x轴有3个交点，
所以仅凭观察函数图象只能初步判断它在某个区间是否有零点，
答案：不能．
目标检测
下图中的（1）（2）（3）分别为函数 在三个不同范围的图象．能否仅根据其中一个图象，得出函数 在某个区间只有一个零点的判断？为什么？
1
至于是否真的有零点，以及有几个零点，
要依据函数零点存在定理和在某个区间的单调性判断．
目标检测
利用计算工具画出函数的图象，并指出下列函数零点所在的大致区间：
2
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ．
新知探究
新知探究
追问2 函数 在区间[－2，0]上也有零点，这时，函数图象与x轴有什么关系？函数f(x)的取值有什么规律？你能用 在区间[－2，0]上的两个具体的函数值来刻画这种关系和规律吗？
利用函数性质判定方程解的存在性 导学案(含答案)(2024)高一上学期北师大版必修 第一册
第五章函数应用§1方程解的存在性及方程的近似解1.1利用函数性质判定方程解的存在性【学习目标】1.结合学过的函数图象,了解函数零点与方程解的关系.2.结合具体函数及其图象的特点,了解函数零点存在定理.◆知识点一函数的零点使得f(x0)=0的数x0称为方程f(x)=0的解,也称为函数f(x)的零点.f(x)的零点就是函数y=f(x)的图象与x轴交点的.【诊断分析】判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y=x+1的零点是(-1,0).()(2)函数y=x2-2x-3有两个零点.()◆知识点二零点存在定理若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图象是一条连续的曲线,并且在区间端点的函数值一正一负,即,则在开区间(a,b)内,函数y=f(x)至少有一个零点,即在区间(a,b)内相应的方程f(x)=0解.【诊断分析】判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)(1)f(x)在区间[a,b]内满足f(a)·f(b)>0,则f(x)在区间(a,b)内无零点.()(2)f(x)在区间(a,b)内有一个零点,则f(a)·f(b)<0.()◆探究点一由图象确定函数的零点例1 (1)已知函数f(x)的图象如图所示,则函数f(x)在[a,d]内有个零点.(2)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则下列结论中正确的是()A .a>0B .c<0C .(-1,0)是函数的一个零点D .3是函数的一个零点(3)定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x )=x 2-2x (x ≥0),则函数f (x )的零点个数为 ( ) A .0 B .1 C .2D .3[素养小结]由图象确定函数的零点个数主要有两种方法:1.直接画出函数的图象,通过图象与x 轴交点的个数确定零点个数.2.将函数f (x )写成f (x )=h (x )-g (x )的形式,画出函数y=h (x )与y=g (x )的图象,根据两函数图象的交点个数判断方程h (x )=g (x )的根的个数,即可确定函数f (x )的零点个数.◆ 探究点二 由方程的解求函数的零点[提问] 当方程易得出解时,可通过 得到对应函数的零点.例2 求函数f (x )=(ax-1)(x-1)(a ∈R)的零点.变式 函数f (x )={x 2+x -2,x ≤0,-1+lnx ,x >0的零点为 .[素养小结]求函数y=f (x )的零点通常有两种方法:其一是令y=0,由对应方程的根求得函数的零点;其二是画出函数的图象,图象与x 轴的交点的横坐标即为函数的零点.◆ 探究点三 函数零点的综合问题 角度1 判断函数零点个数例3 求函数f (x )=3x - lo g 12x 的零点个数.变式 (1)函数f (x )=2x +x 3-2在区间(0,1)上的零点个数是 ( )A .0B .1C .2D .3(2)设函数f (x )={x 2+bx +c ,x ≤0,2,x >0,若f (-2)=f (0),f (-3)=1,则函数y=f (x )-x 的零点个数为( )A .1B .2C .3D .4[素养小结]确定函数零点个数的方法:(1)因式分解法:可转化为一元n 次方程根的个数问题,一般采用因式分解法来解决. (2)判别式法:可转化为一元二次方程根的个数问题,通常用判别式法来判断根的个数. (3)图象法:将函数的零点个数问题转化为两个函数图象的交点个数问题,可用图象法解决. (4)单调性法:如果能够确定函数在所给区间上有零点,且是单调函数,那么函数在所给区间上只有一个零点.角度2 判断函数零点所在的区间例4 (1)函数f (x )=ln x+x-4的零点所在的区间为( )A .(1,2)B .(2,3)C .(3,4)D .(5,6)(2)二次函数f (x )=ax 2+bx+c (a ≠0)的部分对应值如下表:x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 y 6 m -4 -6 -6 -4 n 6不求a ,b ,c 的值,判断方程ax 2+bx+c=0的两根所在的区间是 ( ) A .(-3,-1)和(2,4) B .(-3,-1)和(-1,1) C .(-1,1)和(1,2) D .(-∞,-3)和(4,+∞)变式 (1)根据下表中的数据,可以判断方程e x -x-2=0的一个根所在的区间为 ( )x -1 0 123e x 0.37 1 2.72 7.39 20.09 x+212345A .(-1,0)B .(0,1)C .(1,2)D .(2,3)(2)若x 0是函数f (x )=(13)x -x 12的零点,则x 0属于区间( )A .(0,13)B .(13,12) C .(12,23)D .(23,1)[素养小结](1)判断一个函数是否有零点,首先看函数f (x )在区间[a ,b ]上的图象是否连续,其次判断f (a )·f (b )<0是否成立,若成立,则函数y=f (x )在区间(a ,b )内必有零点.(2)已知函数f (x )在[a ,b ]上的图象是连续不断的曲线,若存在f (a )·f (b )<0,则f (x )在区间(a ,b )内有零点,若只有一个零点,则称此零点为变号零点.反过来,若f (a )与f (b )不变号,而是同号,即不满足f (a )·f (b )<0,也不能说函数f (x )在(a ,b )内无零点,如f (x )=x 2在[-1,1]上的图象是连续不断的曲线,且f (-1)·f (1)=1>0,但0是f (x )的零点.角度3 由函数零点(或方程的解)的个数求参数问题例5 (1)函数f (x )=ax 2-x-1仅有一个零点,则实数a= .(2)已知函数f (x )={x 2+2x -3,x ≤0,-2+lnx ,x >0的图象与直线y=k 有三个不同的交点,则k 的取值范围是 ( ) A .(-4,-3) B .[-4,-3) C .[-4,-3]D .(-4,-3]变式 若函数f (x )=|2x -2|-b 有两个零点,则实数b 的取值范围是 .[素养小结]解此类题的关键是将零点个数问题转化为两个函数图象的交点个数问题.求解时首先根据已知条件构造两个函数,然后在同一平面直角坐标系内画出两个函数的图象,最后结合函数图象的交点个数确定参数的取值范围.拓展已知函数f(x)=log a x-4x-1(a>0且a≠1)在(0,12]上无零点,在(12,1)上有零点,则实数a的取值范围为()A.(0,14)B.(14,1)∪(1,+∞)C.(0,14]D.(14,1)第五章函数应用§1方程解的存在性及方程的近似解1.1利用函数性质判定方程解的存在性【课前预习】知识点一横坐标诊断分析(1)×(2)√[解析] (1)零点不是点,是一个数,是函数图象与x轴交点的横坐标.知识点二f(a)·f(b)<0至少有一个诊断分析(1)×(2)×[解析] (2)函数y=x2在区间(-2,2)内有零点,但f(-2)·f(2)>0.【课中探究】探究点一例1(1)3(2)D(3)D[解析] (1)由题图知函数f(x)在[a,d]内有3个零点.(2)由题图可知a<0,c>0,∵函数图象的对称轴为直线x=1,函数图象与x轴的一个交点的坐标为(-1,0),∴函数图象与x轴的另一个交点的坐标为(3,0),∴3是函数的一个零点.故选D. (3)根据题意可知x=2,x=0为f(x)的零点,因为奇函数的图象关于原点对称,所以x=-2也为f(x)的零点,所以f(x)的零点共有3个,故选D.探究点二提问解方程例2 解:①当a=0时,函数f (x )=-x+1.令-x+1=0,得x=1,则函数f (x )的零点为1.②当a=1时,函数f (x )=(x-1)2.令(x-1)2=0,得x=1,则函数f (x )的零点为1. ③当a ≠0且a ≠1时,令(ax-1)(x-1)=0,得x=1或x=1a ,则函数f (x )的零点为1,1a .综上,当a=0或a=1时,函数f (x )的零点为1;当a ≠0且a ≠1时,函数f (x )的零点为1,1a . 变式 -2,e [解析] 由f (x )=0,得{x ≤0,x 2+x -2=0或{x >0,-1+lnx =0,解得x=-2或x=e .所以函数f (x )的零点为-2,e .探究点三例3 解:令f (x )=0得3x =lo g 12x.作出y=3x (x>0)和y=lo g 12x 的图象,如图所示,由图可知y=3x (x>0)和y=lo g 12x 的图象有1个交点,∴f (x )=3x -lo g 12x 有1个零点.变式 (1)B (2)B [解析] (1)因为y=2x 与y=x 3-2在R 上均为增函数,所以函数f (x )=2x +x 3-2在R 上是增函数,因此函数f (x )=2x +x 3-2在(0,1)上单调递增,又f (0)=1+0-2=-1<0,f (1)=2+1-2=1>0,所以f (x )在(0,1)上有1个零点.(2)由f (-2)=f (0)得4-2b+c=c ,所以b=2,由f (-3)=9-6+c=1,得c=-2,所以当x ≤0时,f (x )=x 2+2x-2.当x ≤0时,由f (x )-x=x 2+x-2=0,得x=-2或x=1(舍去).当x>0时,由f (x )-x=2-x=0,得x=2.因此方程f (x )-x=0只有两个解,即函数y=f (x )-x 有两个零点.故选B .例4 (1)B (2)A [解析] (1)易知f (x )=ln x+x-4在(0,+∞)上单调递增,又f (2)=ln 2-2<0,f (3)=ln 3-1>0,所以f (2)·f (3)<0,所以f (x )的零点在区间(2,3)内.故选B .(2)易知f (x )=ax 2+bx+c 的图象是一条连续不断的曲线,因为f (-3)×f (-1)=6×(-4)=-24<0,所以f (x )在(-3,-1)内有零点,即方程ax 2+bx+c=0在(-3,-1)内有根.同理方程ax 2+bx+c=0在(2,4)内有根.故选A .变式 (1)C (2)B [解析] (1)令f (x )=e x -x-2,则由表中数据知f (-1)=0.37-1=-0.63<0,f (0)=1-2=-1<0,f (1)=2.72-3=-0.28<0,f (2)=7.39-4=3.39>0,f (3)=20.09-5=15.09>0,因为f (1)·f (2)<0,f (x )的图象是连续不断的曲线,所以f (x )的一个零点在区间(1,2)内,即方程e x -x-2=0的一个根在区间(1,2)内.故选C .(2)根据指数函数和幂函数的性质,可得(13)13>(13)12,(13)12<(12)12,所以f (13)=(13)13-(13)12>0,f (12)=(13)12-(12)12<0,即f (13)·f (12)<0.又f (x )=(13)x-x 12为R 上的减函数,所以由零点存在定理,可得函数f (x )=(13)x-x 12有且只有一个零点且零点x 0∈(13,12).故选B .例5 (1)0或-14 (2)D [解析] (1)若a=0,则f (x )=-x-1,易知函数f (x )仅有一个零点.若a ≠0,则f (x )为二次函数,由f (x )仅有一个零点,得方程ax 2-x-1=0有两个相等的实数根,故Δ=1+4a=0,即a=-14.综上所述,当a=0或a=-14时,函数f (x )仅有一个零点.(2)作出f (x )={x 2+2x -3,x ≤0,-2+lnx ,x >0的图象和直线y=k ,如图所示,由图可知-4<k ≤-3,故选D .变式 (0,2) [解析] 由|2x -2|-b=0,得|2x -2|=b ,由题意可知函数y=|2x -2|与y=b 的图象有两个交点,结合函数y=|2x -2|与y=b 的图象(如图所示)可知0<b<2.拓展 D [解析] 函数f (x )在(0,12]上无零点,在(12,1)上有零点,即方程f (x )=0在(0,12]上无实数根,在(12,1)上有实数根,即方程log a x=4x-1在(0,12]上无实数根,在(12,1)上有实数根.设g (x )=log a x ,h (x )=4x-1,则函数h (x )在R 上为增函数,且h (0)=14,h (12)=12,h (1)=1,h (x )=4x-1>0恒成立.若a>1,则当x ∈(0,1)时,g (x )=log a x<0,不满足条件,故0<a<1.由于g (x )与h (x )的图象在(0,12]上无交点,在(12,1)上有交点,因此根据函数g (x )与h (x )的图象(如图所示)可知{0<a <1,g (12)>ℎ(12),解得14<a<1,故选D .。
沪科版数学九年级上册21.3二次函数与一元二次方程 课件(共24张PPT)
21.3 二次函数与一元二次方程
学习目标
学习重难点
重点
难点
1.理解二次函数与一元二次方程(不等式)的关系.2.能运用二次函数及其图象、性质确定方程的解.3.了解用图象法求一元二次方程的近似根的方法.
二次函数图象、性质确定方程的解.
二次函数与一元二次方程(不等式)的关系.
D
C
3.已知函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，求k的取值范围．解：当k＝3时，函数y＝2x＋1是一次函数．∵一次函数y＝2x＋1与x轴有一个交点，∴k＝3;当k≠3时，y＝(k－3)x2＋2x＋1是二次函数．∵二次函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，∴Δ＝b2－4ac≥0.∵b2－4ac＝22－4(k－3)＝－4k＋16，∴－4k＋16≥0. ∴k≤4且k≠3.综上所述，k的取值范围是k≤4.
归纳小结
1.二次函数与一元二次方程的关系： 一般地，关于x的一元二次方程 的根，就是二次函数 的值为0时自变量x的值，也就是函数 的图像与x轴交点的横坐标.2.二次函数 与x轴交点个数的确定. 可有一元二次方程的根的判别式来表示判定二次函数图象与x轴的交点的情况，由根与系数的关系来解决相关问题.在函数问题中，往往需要解方程：反过来也可以利用函数图象解方程.
思 考： 如何利用二次函数求一元二次方程的近似解.例：求一元二次方程x2+2x-1=0的根的近似值（精确到 0.1）. 分析：一元二次方程x²+2x-1=0的根就是抛物线y=x²+2x-1与x轴的交点的横坐标，因此我们可以先画出这条抛物线，然后从图上找出它与x轴的交点的横坐标，这种解一元二次方程的方法叫作图象法.
想一想：观察下列二次函数，图象与x轴有公共点吗? 如果有，公共点的横坐标是多少?当x取公共点的横坐标时，函数的值是多少?由此你能得出相应的一元二次方程的根吗?(1) y＝x2＋x－2.(2)y＝x2－6x＋9.(3)y＝x2－x＋1.
利用函数性质判定方程解的存在
4.1.1
利用函数性质判定
方程解的存在
实例分析：
例 1.判断方程 x x 6 0 是否存在实数解.
2
解：由题意知函数 f ( x) x x 6 的图像是连续的,
2
因 f (0) 6 0 , f (4) 6 0 ,
y
A
故方程 x x 6 0 在区间 (0, 4) 内有实根,记为 x1 ；
x 1 f(x) 23
2 9
3 –7
4 11
5 6 7 –5 –12 –26
）个
那么函数在区间[1，6]上的零点至少有（
A.5 B.4 C.3 D.2
例4.方程log2 x x 0在 0,1内是否存在实数解.
练习3.判断下列方程在指定区间是否存在实数解.
1 log x 2 x 0在 1,3内；
所以方程 3 x 0 在区间 (1, 0) 内有实根.
x 2
例3 判定方程(x-2)(x-5)=1有两个相异的实数 解,且一个大于5,一个小于2.
解:函数f(x)=(x-2)(x-5)-1 f(5)=(5-2)(5-5)-1=-1 f(2)=(2-2)(2-5)-1=-1 f(x)的图像开口向上的抛物 线,所以抛物线与横轴在 (5,+∞)内有一交点,在(-∞,2) 内也有一个交点.
方程(x-2)(x-5)=1有两个相异的实数解,且一个大于5,一个小 于2
练习1.证明方x 2 1至少有一个小于1的正根.
x
1.在二次函数 y ax2 bx c中，ac<0,则其零点的个
数为（
Ａ.１
）
Ｂ.２ Ｃ.３ Ｄ.不存在
2.已知函数f(x)的图像是连续不断的,有如下的x,f(x) 对应值表：
函数的零点与方程的解-课件
D (3，4)
例2：函数 f (x) ln x 2x 6在以下哪个区间
一定有零点？为什么？
A (1，1) B (1，e) C (e，3)
D (3，4)
e
解：由于f(x)连续，又因为 f (1) 0, f (e) 0 ，这
说明函数f(x)在区间(1,e)内有零点.
例2：函数 f (x) ln x 2x 6在以下哪个区间
一定有零点？为什么？
A (1，1) B (1，e) C (e，3)
D (3，4)
e
解：由于f(x)连续，又因为 f (1) 0, f (e) 0 ，这
说明函数f(x)在区间(1,e)内有零点.
进一步思考：函数f(x)在区间(1,e)内有几个零点？
例3：函数 f (x) ln x 2x 6有几个零点，为
f(a) • f(b)<0 那么，函数y=f(x)在区间(a , b)内至少有一个零 点.即存在c∈(a , b) ，使得f(c)=0 ，这个c 也就是方 程f(x)=0 的解.
例2：函数 f (x) ln x 2x 6在以下哪个区间
一定有零点？为什么？
A (1，1) e
B (1，e)
C (e，3)
思考
函数 f (x) ln x 2x 6有零点吗？
思考
函数 f (x) ln x 2x 6有零点吗？ 方程 ln x 2x 6=0 有解吗？
思考
函数 f (x) ln x 2x 6有零点吗？
1 –4 2 –1.3069 3 1.0986 4 3.3863 5 5.6094
函数的零点与方程的解
二次函数
复习
一元二次方程
复习
二次函数
一元二次方程
第八节 函数与方程 课件(共31张PPT)
答案：C
2．函数 f(x)＝4cos2 x2·cosπ2－x－2sin x－|ln(x＋1)| 的零点个数为________．
解析：f(x)＝2(1＋cos x)sin x－ 2sin x－|ln(x＋1)|＝sin 2x－|ln(x＋ 1)|，x>－1，函数 f(x)的零点个数即为 函数 y1＝sin 2x(x>－1)与 y2＝|ln(x＋1)|(x>－1)的图象的 交点个数．分别作出两个函数的图象如图所示，可知有两 个交点，则 f(x)有两个零点．
x2－2x，x≤0， 1．已知函数 f(x)＝1＋1x，x>0， 则函数 y＝f(x)＋
3x 的零点个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：令 f(x)＋3x＝0，
则xx≤2－02，x＋3x＝0或x1>＋01x，＋3x＝0，
解得 x＝0 或 x＝－1，
所以函数 y＝f(x)＋3x 的零点个数是 2.
的取值范围是( )
A．a<－1
B．a>1
C．－1<a<1 D．0≤a<1 解析：令 f(x)＝2ax2－x－1， ①当 a＝0 时，－x－1＝0，x＝－1 不合适． ②a≠0 时，f(0)·f(1)<0，a>1.验证若 f(0)＝0，此式不成立； 当 f(1)＝0 时，2a－1－1＝0.
a＝1，方程另一根为－12(不合题意)，故 a>1，选 B. 答案：B
考点 2 判断函数零点个数
[例 1] (1)函数 f(x)＝x－2＋1＋x－ln2x，，xx≤>00，的零点个数
为( )
A．3
B．2
C．7
D．0
(2)已知函数 y＝f(x)是周期为 2 的周期函数，且当 x∈
二次函数与几何综合类存在性问题课件
03
注意答案的完整性和规 范性；
04
在解答过程中，注意逻 辑的严密性和推理的准 确性。
02
二次函数与几何综合类存在
性问题的类型
以二次函数为背景的存在性问题
总结词
这类问题主要考察二次函数的性质，如开口方向、对称轴、顶点等，以及这些 性质在几何图形中的应用。
详细描述
这类问题通常会给出二次函数的一般形式，如$f(x) = ax^2 + bx + c$，然后要 求求解满足某些条件的点或线。例如，求函数$f(x) = x^2 - 2x$在$x$轴上的交 点，或求函数$f(x) = x^2 - 2x$的对称轴等。
3. 将代数结果和几何结果相互印证，得出最终结论。
04
二次函数与几何综合类存在
性问题的实例分析
实例一
总结词
利用抛物线的性质和点到直线距离公式，求出最小值。
详细描述
设抛物线方程为 $y = ax^2 + bx + c$，直线方程为 $y = mx + n$。首先，将抛线上的点 $(x, y)$ 到直线的距离表示为 $d = frac{|ax^2 + bx + c - mx - n|}{sqrt{m^2 + 1}}$。然后，利用抛物线的 性质和极值定理，求出 $d$ 的最小值。
实例三
总结词
利用双曲线的性质和点到直线距离公 式，求出最小值。
详细描述
设双曲线方程为 $frac{x^2}{a^2} frac{y^2}{b^2} = 1$，直线方程为 $y = mx + n$。首先，将双曲线上的点 $(x, y)$ 到直线的 距离表示为 $d = frac{|mx - y + n|}{sqrt{m^2 + 1}}$。然后，利用双曲线的性质和极值定理 ，求出 $d$ 的最小值。
「精品」北师大版高中数学必修一课件4-1-1~2-精品课件
∴ ff01＞ ＜00， ， f2＞0，
(6 分)
即 1a＞ －02， ＋1＜0， 4a－4＋1＞0，
解得34＜a＜1.(8 分)
(3)当 a＜0 时，设方程的两根为 x1，x2， 则 x1·x2＝1a＜0，(10 分) x1，x2 一正一负不符合题意． 综上，a 的取值范围为34，1(12 分)
1.25
f(1.25)＜0
(1.25,1.5)
1.375
f(1.375)＞0
(1.25,1.375)
1.312 5
f(1.312 5)＜0
(1.312 5,1.375)
∵|1.375－1.312 5|＝0.062 5＜0.1， 故函数 f(x)＝x3－x－1 在(1,1.5)内的一个近似零点为 1.375， 即方程 x3－x－1＝0 在(1,1.5)内的一个近似解为 1.375.
规律方法 这是一类非常基础且常见的问题，考查的是函数零 点的判定方法，一般而言只需将区间端点代入函数求出函数值， 进行符号判断即可得出结论，这类问题的难点往往是函数值符 号的判断，可运用函数的有关性质进行判断，同时也要注意该 函数的单调性．
【训练 1】 求下列函数的零点： (1)f(x)＝－x2－2x＋3； (2)f(x)＝x4－1； (3)f(x)＝x3－4x.
规律方法 使用二分法求方程的近似解应转化为求其相应函数 的近似零点，当区间两个端点在满足精确度条件下的近似值相 等时，所得区间两个端点的近似值便为所求方程的根(或函数零 点)．
【训练 2】 在一个风雨交加的夜晚，从某水库闸房到防洪指挥 部的电话线路发生了故障，这是一条 10 km 长的线路，每隔 50 m 有一根电线杆，维修工人需爬上电线杆测试，你能帮他找到 一个简便易行的方法吗？
4.1.1利用函数性质判定方程解的存在性
班级：姓名：编号：01
设计：史旭龙审核：审批：
学习目标：
1、正确认识函数与方程的关系，体会函数知识的核心作用.
2、能够利用函数的性质判断方程解得存在性.
重难点：
重点：掌握方程 的实数解就是函数 的零点；
难点：利用函数的性质判断方程解得存在性.
一、自主学习：
1、把函数 的图像与横坐标轴的交点的____________称为这个函数的零点.
2、求下列函数的零点.
① ② ③
3、判定方程 在[1,2]内实数解的存在性，并说明理由.
三、合作探究
1、根据表格中的数据，可以判定方程 的一个根所在的区间上的是______.
-1
0
1
2
3
0.37
1
2.72
7.39
20.09
1
2
3
4
5
2、函数 在[5,5]上有零点吗？为什么？
2、 的零点就是方程 的解.
3、若函数 在闭区间[a,b]上的图像是_______曲线，并且在区间端点的函数值符号___b）内至少有一个实数解.
二、自主检测
1、观察下面四个图像，指出在区间（-∞，0）内，方程 那个有解？并说明理由.
函数ppt课件
复合函数具有保号性、保单调性、保奇偶性等性质。
2024/1/28
22
反函数定义及求解方法探讨
反函数的定义
设函数$y=f(x)$的定义域为$D_f$，值域为$R_f$。如果存在一个函数$x=g(y)$，其定义域为$R_f$，值域为 $D_f$，且对任意$x in D_f$，有$g[f(x)]=x$；对任意$y in R_f$，有$f[g(y)]=y$，则称函数$x=g(y)$为函数 $y=f(x)$的反函数。
角度测量
利用三角函数计算角度 或边长等。
2024/1/28
振动与波动
描述简谐振动、波动等 现象中的三角函数模型
。
交流电路
天文观测
分析交流电路中的电压 、电流等物理量的变化
规律。
20
计算天体的高度角、方 位角等天文观测数据。
05
复合函数与反函数
Hale Waihona Puke 2024/1/2821
复合函数定义及运算规则介绍
复合函数的定义
2024/1/28
8
二次函数表达式与图像特点
1
二次函数的一般形式
$y = ax^2 + bx + c$，其中 $a$、$b$ 和 $c$ 是常数，且 $a neq 0$。
2
图像特点
二次函数的图像是一条抛物线。当 $a > 0$ 时， 抛物线开口向上；当 $a < 0$ 时，抛物线开口向 下。
对称轴与顶点
设函数$y=f(u)$的定义域为$D_f$，函数$u=g(x)$的定义域为$D_g$，且$g(D_g) subseteq D_f$，则由下式确定的函数$y=f[g(x)],(x in D_g)$称为由函数$u=g(x)$与函数 $y=f(u)$构成的复合函数。
2024-2025年北师大版数学必修第一册5.1.1利用函数性质判定方程解的存在性(带答案)
1．1 利用函数性质判定方程解的存在性必备知识基础练知识点一函数零点的概念1．下列图象表示的函数中没有零点的是( )2．函数f(x)＝log3(x－1)－2的零点为( )A．10 B．9 C．(10，0) D．(9，0)3．已知函数f(x)＝x2＋ax＋3.(1)若f(x)有一个零点为x＝3，求a；(2)若当x∈R时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围．知识点二利用零点存在性定理判断方程的根所在区间4．对于函数f(x)，若f(－1)·f(3)<0，则( )A．方程f(x)＝0一定有实数解B．方程f(x)＝0一定无实数解C．方程f(x)＝0一定有两实数解D．方程f(x)＝0可能无实数解5．已知函数f(x)＝x3＋x－3，则f(x)的零点存在于下列哪个区间内( )A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，3)D ．(3，4) 6．函数f (x )＝log 4(2x ＋4)－4x ＋1的一个零点所在的一个区间是( ) A ．(－1，0) B ．(0，1) C ．(1，2) D ．(2，3)知识点三 判断函数的零点(或方程根)的个数7．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3，x ≤0，－2＋ln x ，x >0的零点个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．08．方程log 2x －x ＋2＝0的根的个数为________． 知识点四 二次函数的零点问题9．关于x 的方程ax 2－2(a ＋1)x ＋a ＝1(a ≠0)，求a 为何值时： (1)方程有一个正根和一个负根； (2)方程的两个根都大于1.关键能力综合练1．下列关于函数零点的说法正确的是( ) A ．函数零点就是函数图象与x 轴的交点B ．函数f (x )有几个零点，其图象与x 轴就有几个交点C ．不存在没有零点的函数D ．若f (x )＝0有且仅有两个相等的实根，则函数f (x )有两个零点 2．已知函数f (x )的图象是连续不断的，有如下的x ，f (x )对应值表A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．设二次函数f (x )＝x 2－bx ＋a (a ，b ∈R )的部分图象如图所示，则函数g (x )＝ln x ＋2x －b 的零点所在的区间是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12 D ．(2，3) 4．函数f (x )＝2x|log 0.5x |－1的零点个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．45．已知函数f (x )＝(x －a )(x －b )－2，并且α，β是方程f (x )＝0的两个根，则a ，b ，α，β的大小关系可能是( )A ．a <α<b <βB ．α<a <β<bC ．α<a <b <βD ．a <α<β<b6．(探究题)已知e 是自然对数的底数，函数f (x )＝e x＋x －2的零点为a ，函数g (x )＝ln x ＋x －2的零点为b ，则下列不等式中成立的是( )A ．a <1<bB ．a <b <1C ．1<a <bD ．b <1<a7．若方程2x－2x－a ＝0的一个根在区间(1，2)内，则实数a 的取值范围是________．8．(易错题)已知方程x 2－2ax ＋a 2－4＝0的一个实根在区间(－1，0)内，另一个实根大于2，则实数a 的取值范围是________．9．已知方程ax 2－2(a ＋1)x ＋a －1＝0，求a 为何值时： (1)方程有唯一实数根；(2)方程的一个根大于1，一个根小于1.核心素养升级练1．(多选题)若函数y＝x2－4|x|＋5－m有四个不同的零点，则实数m可取的值有( ) A．1 B．2C．4 D．62．(学科素养—逻辑推理与数学运算)已知函数f(x)＝4x2－4ax＋a2－2a＋2在区间[0，2]上有两个零点，求实数a的取值范围．1．1 利用函数性质判定方程解的存在性必备知识基础练1．答案：A解析：通过函数图象与x轴的交点个数确定函数的零点，选A.2．答案：A解析：令f(x)＝log3(x－1)－2＝0，即log3(x－1)＝2＝log332，所以x－1＝32，因此x ＝10，所以函数f(x)＝log3(x－1)－2的零点为10，故选A.3．解析：(1)因为f(x)有一零点x＝3，所以32＋a ×3＋3＝0， 所以a ＝－4.(2)因为当x ∈R 时，x 2＋ax ＋3－a ≥0恒成立， 需Δ＝a 2－4(3－a )≤0，即a 2＋4a －12≤0， 解得－6≤a ≤2，所以a 的取值范围是[－6，2]. 4．答案：D解析：因为函数f (x )的图象在(－1，3)上未必连续，所以尽管f (－1)·f (3)<0，但函数y ＝f (x )在(－1，3)上未必有零点，即方程f (x )＝0可能无实数解．5．答案：B解析：∵f (x )＝x 3＋x －3，∴f (0)＝－3<0，f (1)＝－1<0，f (2)＝7>0，f (3)＝27>0，f (4)＝65>0， ∴f (1)·f (2)<0，又y ＝x 3与y ＝x －3在R 上单调递增，所以f (x )在R 上单调递增， ∴函数f (x )的零点所在的一个区间为(1，2).故选B. 6．答案：C解析：函数f (x )的定义域为(－2，－1)∪(－1，＋∞)，易知函数f (x )在(－1，＋∞)上单调递增．f (1)＝log 46－2＝log 46－log 416＝log 438<log 41＝0，f (2)＝log 48－43 ＝log 4432 －43 ＝32 －43 ＝16>0，由零点存在性定理可知，函数f (x )的一个零点所在的一个区间是()1，2 .故选C. 7．答案：B解析：当x ≤0时，由x 2＋2x －3＝0，得x ＝－3；当x >0时，由－2＋ln x ＝0，得x ＝e 2.故函数f (x )有2个零点，选B. 8．答案：2解析：log 2x －x ＋2＝0，即log 2x ＝x －2.令y 1＝log 2x ，y 2＝x －2. 画出两个函数的大致图象，如图所示． 由图可知，两个函数有两个不同的交点．所以方程log 2x －x ＋2＝0有两个根．9．解析：令f (x )＝ax 2－2(a ＋1)x ＋a －1(a ≠0).(1)当方程有一个正根和一个负根时，f (x )对应的草图可能如图①或②所示．因此f (x )＝0有一个正根和一个负根等价于⎩⎪⎨⎪⎧a >0，f （0）<0 或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，f （0）>0，解得0<a <1.所以当0<a <1时，方程有一个正根和一个负根．(2)当方程的两个根都大于1时，f (x )对应的草图可能如图③或④所示．因此f (x )＝0的两个根都大于1等价于⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ>0，2（a ＋1）2a >1，f （1）>0 或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ>0，2（a ＋1）2a >1，f （1）<0.解得a ∈∅.所以不存在实数a ，使方程的两个根都大于1.关键能力综合练1．答案：B解析：函数零点指的是使f (x )＝0的x 的值，即函数图象与x 轴交点的横坐标，所以A 不正确；并不是所有的函数都有零点，比如函数y ＝2，故C 不正确；两个相等的实根只算一个零点，所以D 不正确．故选B.2．答案：D解析：∵f (2)f (3)<0，f (3)f (4)<0，f (4)f (5)<0，f (6)f (7)<0，∴函数f (x )至少有4个零点，即方程f (x )＝0到少有4个实根．3．答案：A解析：由图可得，f (0)＝a ∈(0，1)，f (1)＝1－b ＋a ＝0， 所以b ＝a ＋1∈(1，2)，因为g (x )＝ln x ＋2x －b 单调递增，且g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 ＝ln 12 ＋1－b <0，g (1)＝2－b >0， 所以g (x )＝ln x ＋2x －b 的零点所在的区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 ，故选A.4．答案：B解析：令f (x )＝2x|log 0.5x |－1＝0，可得|log 0.5x |＝(12)x .设g (x )＝|log 0.5x |，h (x )＝(12 )x，在同一坐标系下分别画出函数g (x )，h (x )的图象，可以发现两个函数图象一定有2个交点，因此函数f (x )有2个零点．5．答案：C解析：由题意得，f (a )＝f (b )＝－2<0，而f (α)＝f (β)＝0，借助图象可知(图略)，a ，b ，α，β的大小关系有可能是α<a <b <β，故选C.6．答案：A解析：令f (x )＝0，即e x＋x －2＝0，则e x＝2－x .令g (x )＝0，即ln x ＋x －2＝0，则ln x ＝2－x ，设y 1＝e x，y 2＝ln x ，y 3＝2－x . 在同一平面直角坐标系下，作出函数y 1＝e x，y 2＝ln x ，y 3＝2－x 的图象如图．∵函数f (x )＝e x＋x －2的零点为a ，函数g (x )＝ln x ＋x －2的零点为b ，∴y 1＝e x与y 3＝2－x 图象的交点的横坐标为a ，y 2＝ln x 与y 3＝2－x 图象的交点的横坐标为b ，由图象知a <1<b ，故选A. 7．答案：(0，3)解析：令f (x )＝2x －2x －a ，根据指数函数和反比例函数的性质可知函数f (x )＝2x －2x－a 在区间(1，2)内是增函数，又函数f (x )＝2x－2x－a 的一个零点在区间(1，2)内，所以f (1)<0，且f (2)>0，求解可得0<a <3.8．答案：(1，2)解析：设f (x )＝x 2－2ax ＋a 2－4，结合零点存在性定理，得⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）>0，f （0）<0，f （2）<0， 即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋2a －3>0，a 2－4<0，a 2－4a <0，解得1<a <2. 9．解析：(1)当a ＝0时，方程变为－2x －1＝0，即x ＝－12 ，符合题意；当a ≠0时，Δ＝4(a ＋1)2－4a (a －1)＝0，解得a ＝－13 .所以当a ＝0或a ＝－13 时，方程有唯一实数根．(2)令f (x )＝ax 2－2(a ＋1)x ＋a －1.因为方程的一个根大于1，一个根小于1，故a ≠0，f (x )的草图可能如图①或②所示．所以必须有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，f （1）<0， 或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，f （1）>0. 解得a >0.所以当a >0时，方程的一个根大于1，一个根小于1.核心素养升级练1．答案：BC解析：因为函数y ＝x 2－4|x |＋5－m 有四个不同的零点， 所以关于x 的方程x 2－4|x |＋5＝m 有四个不同的实数解，所以令f (x )＝|x |2－4|x |＋5＝(|x |－2)2＋1，h (x )＝m ，画出函数f (x )的图象，如图所示．因为要使f (x )的图象与h (x )的图象有四个交点，则直线h (x )＝m 应该在直线l 和直线n 之间，所以1＜m ＜5，故实数m 可取2，4.2．解析：当x ＝0时，f (0)＝a 2－2a ＋2＝(a －1)2＋1＞0， 因此x ＝0不是f (x )的零点．当x ＝2时，f (2)＝16－8a ＋a 2－2a ＋2＝a 2－10a ＋18， 由f (2)＝0，得a ＝5±7 .若a ＝5＋7 ，则另一根x 2＝5＋7 －2＝3＋7 ∉[0，2]， 若a ＝5－7 ，则另一根x 2＝5－7 －2＝3－7 ∈[0，2]. ∴a ＝5－7 符合题意．若f (x )在(0，2)内有两个零点，则⎩⎪⎨⎪⎧f （0）＝a 2－2a ＋2＞0，f （2）＝a 2－10a ＋18＞0，Δ＝16a 2－4×4（a 2－2a ＋2）＞0，⇒0＜a2＜2⎩⎨⎧a ＞5＋7或a ＜5－7，a ＞1，0＜a ＜4，解得1＜a ＜5－7 .综上所述，a 的取值范围是(1，5－7 ].。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1．1
函数与方程
利用函数性质判断方程解的存在
预习课本 P115～116，思考并完成以下问题
1．函数的零点的定义是什么？
2．判断函数 f(x)在区间(a，b)内有零点的方法是什么？
[新知初探]
1．函数的零点 (1)函数的零点：函数 y＝f(x)的 图像 与 横轴的交点的横坐标 称为这个函数的零点． (2)函数 y＝f(x)的零点，就是方程 f(x)＝0 的解． 2．零点存在性定理 若函数 y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图像是连续曲线 ，并且在区
)
法一：(判定定理法)∵f(0)＝1＋0－2＝－1＜0，
f(1)＝2＋lg 2－2＝lg 2＞0， ∴f(x)在(0,1)上必定存在零点． 又显然 f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2 在(－1，＋∞)上为增函数， 故 f(x)有且只有一个零点．
法二：(图像法)如图，在同一坐标系中作出 h(x)＝2－2x 和 g(x) ＝lg(x＋1)的图像．
[活学活用]
函数 f(x)＝x A．0 C．2
1 3
1 －3x 的零点个数是
(
)
B． 1 D．3
1 3
解析：选 B 函数 f(x)＝x 个数，即方程 x
1 3 1 3
1 －3x 的零点
1 －3x＝0
的根的个数，
1 y＝3x
即函数 y＝x 的图像与函数
A．(1,2) C．(3,4)
[解析]
因为 f(1)＝ln 1＋2×1－6＝－4＜0，f(2)＝ln 2＋
2×2－6＜ln e2－2＝0， f(3)＝ln 3＋2×3－6＝ln 3＞0， f(4)＝ln 4 ＋2×4－6＝2ln 2＋2＞0，f(5)＝ln 5＋2×5－6＝ln 5＋4＞0，所 以 f(2)· f(3)＜0，又函数 f(x)的图像是连续不断的一条曲线，故函 数 f(x)的零点所在的一个区间是(2,3)．[答案] B
(4)若函数 y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，则 f(a)· f(b)＜0.( × )
2．函数 y＝4x－2 的零点是 A．2
1 C.2，0
( B．(－2,0) 1 D. 2
)
答案：D
3．下列函数没有零点的是 A．f(x)＝0 C．f(x)＝x －1
2
( B．f(x)＝2 1 D．f(x)＝x－x
又∵f(x)在(0，＋∞)上是单调增函数，∴在(1,2)内 f(x)无零点． 2 又∵f(3)＝ln 3－ ＞0，∴f(2)· f(3)＜0. 3 ∴f(x)在(2,3)内有一个零点．故选 B.
判断函数零点的个数
[典例] A．0 C．2
[解析]
函数 f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2 的零点个数为( B． 1 D．3
求函数的零点
[典例] 求下列函数的零点． (2)f(x)＝x4－1.
(1)y＝－x2－x＋20；
[解]
(1)y＝－x2－x＋20＝－(x2＋x－20)
＝－(x＋5)(x－4)， 方程－x2－x＋20＝0 的两根为－5,4.故函数的零点是－5,4. (2)由于 f(x)＝x4－1＝(x2＋1)(x＋1)(x－1)， ∴方程 x4－1＝0 的实数根是－1,1.故函数的零点是－1,1.
)
答案：B
1 4．函数 f(x)＝log2x－x的零点所在的区间为
1 A.0，2 1 B.2，1
(
)
C．(1,2)
D．(2,3)
1 1 ∵f 2 ＝log2 －2＝－3＜0， 2
解析：选 C
1 1 f(1)＝log21－1＝－1＜0，f(2)＝log22－ ＝ ＞0， 2 2 ∴函数零点所在区间为(1,2)．
－
解：(1)由 2x－1＝0，得 x＝0，故函数的零点为 0. (2)由 lg(x2－ 1)＋8＝0，得 x＝ ± 10－8＋1. (3)由 ex 1－4＝0，得 x＝1＋ln 4，故函数的零点为 1＋ln 4.
－
10－8＋1，故函数的零点为±
判断函数零点所在的区间
[典例] 函数 f(x)＝ln x＋2x－6 的零点所在的一个区间是( B．(2,3) D．(4,5) )
函数零点的求法 求函数 f(x)的零点时，通常转化为解方程 f(x)＝0，若方 程 f(x)＝0 有实数根，则函数 f(x)存在零点，该方程的根就是 函数 f(x)的零点；否则，函数 f(x)不存在零点．
[活学活用]
求下列函数的零点． (1)f(x)＝2x－1；(2)f(x)＝lg(x2－1)＋8； (3)f(x)＝ex 1－4.
取值范围． (1)一个根大于 1，一个根小于 1； (2)一个根在(0,1)内，另一个根在(6,8)内．
解：(1)方程 x2－2ax＋4＝0 的一个根大于 1，一个根小于 1，设 f(x)＝x2－2ax＋4，结合二次函数的图像与性质及零点的存在性 5 定理得 f(1)＝5－2a＜0，解得 a＞ . 2 故实数 a
5 的取值范围为2，＋∞
(2)方程 x2－2ax＋4＝0 的一个根在(0,1)内，另一个根在 (6,8)内，结合二次函数的图像与性质及零点的存在性定 f0＝4＞0， f1＝5－2a＜0， 理得 f6＝40－12a＜0， f8＝68－16a＞0， 故实数 a
图像
的交点个数；画出两者的图像(如图)，可得交点的个数为 1.
与零点有关的参数取值范围问题
[典例] 已知 a 是实数，函数 f(x)＝2a|x|＋2x－a，若函
数 y ＝ f(x) 有且仅有两个零点，则实数 a 的取值范围是 ________．
[解析] 易知 a≠0，令 f(x)＝0，即 2a|x|＋2x－a＝0，变形
根据函数零点个数求参数的方法 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式， 通过解不等式确定参数范围． (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问 题加以解决． (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐 标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解．
[活学活用] 已知关于 x 的方程 x2－2ax＋4＝零点．
[小试身手]
1．判断下列说法是否正确，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)函数 y＝f(x)的零点是一个点． (2)函数 y＝f(x)的零点就是方程 f(x)＝0 的解． (× ) (√ )
(3)若函数 y＝f(x)的图像是连续不断的，且 f(a)· f(b)＜0，则函数 y＝f(x)在区间(a，b)内有且只有一个零点． (× )
f(b)<0 ，则在(a，b)内，函数 y 间端点的函数值 符号相反 ，即 f(a)·
＝f(x) 至少有一个 零点，即相应的方程 f(x)＝0 在(a，b)内至少有 一个实数解．
[点睛] (1)方程 f(x)＝0 有实数解⇔函数 y＝f(x)的图像与 x 轴有交点 ⇔函数 y＝f(x)有零点． (2)f(a)· f(b)<0 只能判断出零点的存在性，而不能判断出零点 的个数，如下图中的图(1)和图(2)．
解决零点所在区间的判断问题，只需计算选项中所 有的区间端点对应的函数值并判断正负即可．
[活学活用]
2 函数 f(x)＝ln x－x的零点所在的大致区间是 A．(1,2)
1 C.e，1和(3,4)
(
)
B．(2,3) D．(e，＋∞)
解析：选 B
∵f(1)＝－2＜0，f(2)＝ln 2－1＜0，
10 17 解得 ＜a＜ . 3 4
10 17 的取值范围为 3 ， 4 .
“多练提能·熟生巧”见“课时跟踪检测(二十)” (单击进入电子文档)
1 1 得|x|－ ＝－ax，分别作出函数 y1＝|x|－ 2 1 1 ，y ＝－ax 的图像，如图所示． 2 2
1 由图易知：当 0＜－a＜1 或 1 －1＜－a＜0， 即 a＜－1 或 a＞1 时， y1 和 y2 的图像有两 个不同的交点， ∴当 a＜－1 或 a＞1 时， 函数 y＝f(x)有且仅有两个零点， 即实数 a 的取值范围是(－∞，－1)∪(1，＋∞)． [答案] (－∞，－1)∪(1，＋∞)
由图知， g(x)＝lg(x＋1)和 h(x)＝2－2x 的图像有且只有一个交点， 即 f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2 有且只有一个零点． [答案] B
判断函数零点的个数的主要方法 (1)利用判定定理法判断：对于一般函数的零点个数的判 断问题，可以利用零点存在性定理来确定零点的存在性，然 后借助于函数的单调性判断零点的个数． (2)利用图像法判断：由 f(x)＝g(x)－h(x)＝0，得 g(x)＝ h(x)，在同一坐标系中作出 y1＝g(x)和 y2＝h(x)的图像，利用 图像判断方程根的个数．