矩阵位移法ppt课件

第二节 单元刚度矩阵
1. 一般单元杆端力和杆端位移的表示方法
图9-1所示平面刚架中的一等截面直杆单元e。设杆件除弯曲变形
外，还有轴向变形。杆件两端各有三个位移分量(两个移动、一个
转动)，杆件共有六个杆端位移分量，这是平面杆系结构单元的一
般情况，故称为一般单元。单元的两端采用局部编码i和j。现以i
点为原点，以从i向j的方向为轴的正方向，并以轴正向逆时针转
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先把结构拆开，分解成若干个单元（在杆件结构中， 一般把每个杆件取作一个单元），这个过程称作离散化。 然后按单元力学性质对每个单元建立单元刚度方程，在满 足变形条件和平衡条件的前提下，将这些单元集合成整体。 在一分一合，先拆后搭的过程中，把复杂结构的计算问题 转化为简单单元分析和集合问题。
矩阵位移法的要点 ：
e
Ni
M
e ii'
e
i
i
F
e
Si
e
uie
l
e
F Sj
M
e
j
e
j
j'
F
e
Nj
j
x
uje
vie vje
j端的杆端位移为
u
e j
、v
j
e
和
j
e
，相应的杆端力为
F
e Nj
、e
F Sj
和M j。e
杆端力和杆端位移的正负号规定为：
x 杆端轴力
F
e N
与
轴正方向一致为正，杆端剪力F
e S
以与
y 轴正方
向相同为正，杆端弯矩 M e以逆时针转向为正，杆端位移的正负
矩阵位移法是以位移法为理论基础，以矩阵为表现形 式，以计算机为运算工具的综合分析方法。引入矩阵运算 的目的是使计算过程程序化，便于计算机自动化处理。尽 管矩阵位移法运算模式呆板，过程繁杂，但这些正是计算 机所需要的和十分容易解决的。矩阵位移法的特点是用 “机算”代替“手算”。因此，学习本章是既要了解它与 位移法的共同点，更要了解它的一些新手法和新思想。 2
自由式单元的单元刚度矩阵不要求背记，但要领会其 物理意义，并会有它推出特殊单元的单元刚度矩阵。
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第一节 矩阵位移法概述
矩阵位移法以传统的结构力学作为理论基础，以 矩阵作为数学表达形式，以电子计算机作为计算手段， 一种三位一体的解决各种杆系结构受力、变形等计算 的方法。采用矩阵进行运算，不仅公式紧凑，而且形 式统一，便于使计算过程规格化和程序化。这些正是 适应了电子计算机进行自动化计算的要求。
第九章 矩阵位移法
学习内容
有限单元法的基本概念，结构离散化。 平面杆系结构的单元分析：局部坐标系下的单元刚度矩
阵和整体坐标系下的单元刚度矩阵。 平面杆系结构的整体分析：结构整体刚度矩阵和结构整
体刚度方程。 边界条件的处理，单元内力计算。 矩阵位移法的计算步骤和应用举例。
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学习目的和要求
目的：矩阵位移法是以计算机为计算工具的现代化结 构分析方法。基于该法的结构分析程序在结构设计中得到 了广泛的应用。因此，以计算机进行结构分析是本章的学 习目的。
矩阵位移法是有限元法的雏形，因此结构矩阵分析有时也称 为杆件结构的有限元法。在本章中将使用有限元法中的一些 术语和提法。
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1、矩阵位移法的基本思路
a、方法的选择
位移法与力法之由于选取的基本未知量不同，因此计算次序不同
力法
结构结点力 杆件杆端力 杆件端点位移 结构结点位移
位移法
力 法 需要选择基本体系和多余约束。所以较多地依赖于结构的具体 情况，不宜实现计算机计算的自动化，但其优点是计算出的结果就是力。
过90°为的正方向。这样的坐标系称为单元的局部坐标系。字母、
上面的一横是局部坐标系的标志。i端、j端分别称为单元的始端和
末端。i端的杆端位移为ui、e vi
e和i
e，相应的杆端力为
F
e Ni
、F
e Si
和Mie
(各符号上面的一横代表是在局部坐标系中的量值，上标e表示是
单元的编号，下同)；
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y
F
化整为零
集零为整
（离散化、单元分析） （结点力平衡、位移协调）
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2、单元划分
将一个在荷载作用下的连续结构剖分成若干个各自独立 的单元，原结构可以看成是由各单元在连接点（称结点） 连接而成的体系——化整为零
在杆件结构矩阵分析中，一般 是把杆件的转折点、汇点之间的 杆件部分作为单元。
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结构力学传统方法与结构矩阵分析方法，二者同源而有别： 在原理上同源，在作法上有别。 前者在“手算”的年代形成，后者则着眼于“电算”，计算 手段的不同，引起计算方法的差异。
与传统的力法、位移法相对应，在结构矩阵分析中也有矩阵力 法和矩阵位移法，或称柔度法与刚度法。矩阵位移法由于具有 易于实现计算过程程序化的优点而广为流传。
学习目的和要求
要求：矩阵位移法包含两个基本环节：单元分析和整 体分析。
在单元分析中，熟练掌握单元刚度矩阵和单元等效荷 载的概念和形成。熟练掌握已知结点位移求单元杆端力的 计算方法。
在整体分析中，熟练掌握结构整体刚度矩阵元素的物 理意义和集成过程，熟练掌握结构综合结点荷载的集成过 程。掌握单元定位向量的建立，支撑条件的处理。
位移法 是先求结点位移，再换算成力，该法的计算自动化和通用性强， 目前广为采用。
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1、矩阵位移法的基本思路 b、基本假设和基本原理
线弹性、小变形。满足叠加原理、功能原理
c、正负号规定（采用右手法则）
杆端内力规定当与坐标轴正方向一致时为正； 杆端位移和结点位移规定当与坐标轴正方向一致时为正。 结点外力规定当与坐标轴正方向一致时为正；
号规定与杆端力相同。
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上述杆端位移分量可用矩阵表示为：
i端的位移分量为：
i
e

uvii


ui vi i
eT
i
j端的位移分量为：
j
e

u v
j j


uj vj j
eT
j
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单元e的杆端位移列阵为：
ui e
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将一个在荷载作用下的连续结构剖分成若干个各自独立 的单元，原结构可以看成是由各单元在连接点（称结点） 连接而成的体系——化整为零
为了减少基本未知量的数目，跨 间集中荷载作用点可不作为结点， 但要计算跨间荷载的等效结点荷 载；跨间结点也可不作为结点， 但要推导相应的单元刚度矩阵， 编程序麻烦。
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e

ie e


e j


vii

u
j

v j
ui vi i u j v j j e T