灰色预测 投入产出模型 灰色关联分析主成分——聚类模型
灰色理论关联度与预测,数学建模必备知识,很实用哦
X m {xm ( jm )} | jm 1, 2,..., nm} 比较序列
灰色关联分析3
设x0(k)为X0（为参考序列）的第k个数；xi(k) 为Xi（比较序列）的第k个数；
则比较序列Xi对参考序列X0的灰色关联度为：
(X0 ,
Xi )
1 n
n k 1
r(x0 (k),
度，根据经验，当ρ=0.5时，关联度大于0.6便 满意了。
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（3）后验差检验 a.计算原始序列标准差:
X 0 i X 0 2
S1
n 1
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b. 计算绝对误差序列的标准差：
0 i 0 2
S2
X 0 t ,
3
X 0 t ,...,
n
X 0 t
t1
t 1
t 1
t 1
目录
基本概念 灰色关联分析 灰色预测模型
灰色关联分析1
基本特征
建立的模型属于非函数形式的序列模型 计算方便易行 对样本数量多寡没有严格要求 不要求序列数据必须符合正态分布 不会产生与定性分析大相径庭的结论
n 1
c. 计算方差比：
C S2 S1
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d. 计算小误差概率：
P P 0i 0 0.6745S1
令: 则：
ei 0i 0 ， S0 0.6745S1 P Pei S0
P >0.95 >0.80 >0.70 ≤0.70
灰色关联分析3
灰色关联度的数学模型
X 0 {x0 ( j0 )} | j0 1, 2,..., n0} X1 {x1( j1)} | j1 1, 2,..., n1} X 2 {x2 ( j2 )} | j2 1, 2,..., n2}
灰色预测理论详解
单序列灰色预测模型
灰色系统理论认为：系统的行为现象尽管朦胧，数据尽管 复杂，但它必然是有序的，都存在着某种内在规律。不过 这些规律被纷繁复杂的现象所掩盖,人们很难直接从原始 数据中找到某种内在的规律. 灰色生成：建立灰色模型之前，需要对原始时间序列按照 某种要求进行预处理，得到有规律的时间序列数据—生成 列。即对原始数据的生成就是企图从杂乱无章的现象中去 发现内在规律. 常用的灰色系统生成方式有: 累加生成,累减生成,均值生 成,级比生成等,下面对这几种生成做简单介绍：
灰色预测理论
胡亚飞 彭
敬
李云飞
吕连磊 苗成林
沈 聪
目录
灰色系统理论简介以及发展 灰色预测理论 —灰色预测简介 —灰色预测类型 —灰色预测模型 —灰色预测检验 案例以及软件实现
灰色系统理论简介
灰色系统理论是由我国著名学者邓聚龙教授于1982年 创立的“以部分信息已知，部分信息未知的小样本、贫信 息”不确定系统为研究对象的一门系统科学新学科，具有 原创性的科学意义，是我国对系统科学的新贡献，目前已 受到国内外学术界的广泛重视，并在农业科学、经济管理、 环境科学、医药卫生、矿业工程、教育科学、水利水电、 图像信息、生命科学、控制科学、航空航天等众多领域中 得到了广泛的应用，解决了许多过去难以解决的实际问题。
(1)
k
累加生成的作用：通过累加生成可以看出灰量积累过程的发展态 势,使离乱的原始数据中蕴含的积分特性或规律加以显化。 2.累减生成 对数列求相邻两数值的差，是累加生成的逆运算。 记原始序列为 X(1)=(x(1)(1), x(1)…(2),…),x(1)(n)) 一次累减生成序列为 X(0)=(x(0)(1), x(0)(2),…,x(0)(n)) 其中，x(0)(k)=x(1)(k)-x(1)(k-1) 累减生成的作用 累减生成可将累加生成还原为非生成数列,在建模 方 程用来获得增量信息。
《灰色系统理论及其应用》——读书笔记
第一章灰色系统的概念与基本原理1.1 灰色系统理论的产生于发展动态1.1.1 灰色系统理论产生的科学背景1、在系统研究中，由于内外扰动的存在和认识水平的局限，人们得到的信息往往带有某种不确定性。
随着科学技术的发展和人类社会的进步，人们对各类系统不确定性的认识逐步深化，对不确定性系统的研究也日益深入。
邓聚龙于80年代创立的灰色系统理论。
2、中国学者邓聚龙在1982年创立的灰色系统理论，是一种研究少数据、贫信息不确定性问题的新方法。
3、灰色系统理论以“部分信息已知、部分信息未知”的“小样本”、“贫信息”不确定性系统为研究对象，主要通过对“部分”已知信息的生成、开发，提取有价值的信息，实现对系统运行行为、演化规律的正确描述和有效监控。
1.1.2 灰色系统理论的产生与发展动态1、灰色系统理论的产生——1982年，北荷兰出版公司的《系统与控制通讯》（Systems & Control Letters）杂志刊载了我国学者邓聚龙的第一篇灰色系统系统论文“灰色系统的控制问题”（The control problem of grey systems）；同年，《华中工学院学报》刊载了邓聚龙的第一篇中文灰色系统论文“灰色控制系统”。
这两篇开创性论文的公开发表，标志着灰色系统理论的问世。
1.1.3 不确定性系统的特征与科学的简单性原则1、信息不完全、不准确是不确定性系统的基本特征。
2、系统演化的动态特性、人类认识能力的局限性和经济、技术条件的制约，导致不确定性系统的普遍存在。
3、信息不完全是不确定性系统的基本特征之一。
信息不完全是绝对的，信息完全则是相对的。
4、概率统计中的“大样本”，实际上表达了人们对不完全的容忍程度。
通常情况下，样本量超过30即可视为“大样本”。
5、不确定性系统的另外一个基本特征是数据不准确。
从不准确产生的本质来划分，又可分为概念型、层次型和预测型三类：（1）概念型。
概念型不准确源于人们对某种事物、观念或意愿的表达，如人们通常所说的“大”、“小”、“多”、“少”、“高”、“低”、“胖”、“瘦”、“好”、“差”以及“年轻”、“漂亮”、“一堆”、“一片”、“一群”等，都是没有明确标准的不准确概念，难以用准确的数据表达。
灰色预测模型
灰色系统模型（Grey Model,GM）一：解决的关键问题 （所谓灰色系统是指部分信息已知而部分信息未知的系统，灰色系统所要考察和研究的是对信息不完备的系统，通过已知信息来研究和预测未知领域从而达到了解整个系统的目的）灰色系统模型作为一种预测方法广泛应用于工程控制，经济管理，社会系统等众多领域。
二：ＧＭ（１，１）模型（一）：对原始序列累加处理一次累加生产序列②(即1－AGO序列)，表示为其中，一次累加序列(1)X 的第k 项由原序列的前k 项和产生，即： 由(1)X 的相邻项平均得到(1)X 的紧邻均值生成序列(1)z ，表示为:根据上述序列，有灰色系统模型GM(1，1)的基本形式:(二)构造GM(1，1)模型方程组的矩阵形式，并求解参数 GM(1，1)模型的微分方程基本形式:(三)求的时间响应序列，累减得到原序列的预测值(四)模型检验残差的均值、方差分别为:21S C S 称为均方差比值，对于给定的00C ，当0C C 时，称模型为均方差比合格模型;1(()0.6745)p p k S 称为小误差概率，对于给定的00P ，当0P P 时，称模型为小误差概率合格模型。
一般均方差比值C 越小越好(因为C 小说明S 小，1S 大，即残差方差小，原始数据方差大，说明残差比较集中，摆动幅度小，原始数据比较分散，摆动幅度大，所以模拟效果好，要求2S 与1S 相比尽可能小)，以及小误差概率p 越大越好，给定000,,,C p 的一组取值，就确定了检验模型模拟精度的一个等级，常用的精度等级见表1。
软件DPS 的分析结果也提供了C 、p 的检验结果。
(五)残差修正模型(六)建立新陈代谢GM(1，1)进行动态预测在实际建模过程中，原始数据序列的数据不一定全部用来建模。
我们在原始数据序列中取出一部分数据，就可以建立一个模型。
一般说来，取不同的数据，建立的模型也不一样，即使都建立同类的GM(1，1)模型，选择不同的数据，参数a，b的值也不一样。
[数学]灰色系统理论
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灰色系统理论进行关联分析的两种方法：一 根 据数据的几何关系分析法；二 利用关联公式分析法
生成数的生成方法
生成方法 一次累加
应用相关 时间
一次累减
时间
均值生成
得 Xˆ 0 ( Xˆ 0 (1), Xˆ 0 (2), Xˆ 0 (3), Xˆ 0 (4), Xˆ 0 (5))
(2.8740, 3.2320, 3.3545, 3.4817, 3.6136)
对比原数据
X0=( x0(1), x0(2), x0(3), x0(4), x0(5) )
=( 2.874, 3.278, 3.337, 3.390, 3.679 )
3．检验预测值
4．预测预报 由模型 GM(1,1)所得到的指定时区内的预测值，
根据实际问题的需要，给出相应的预测预报。
定义 设原始数据序列
X 0 ( x0 (1), x0 (2), , x0 (n))
相应的预测模型模拟序列:
X0
x0
1 , x0
2,
残差序列:
x0
n
0 0 1 , 0 2 , 0 n
b a
85.276151e0.0372k
82.402151
第五步：求X1的模拟值
X 1 (x1 (1), x1 (2), x1 (3), x1 (4), x1 (5)) (2.8704,6.1060,9.4605,12.9422,16.5558)
第六步：还原出 X0 的模拟值，由 Xˆ0(k) Xˆ1(k) Xˆ1(k 1)
主要内容
灰色预测模型原理
灰色预测模型原理灰色预测模型（Grey Prediction Model）是一种基于灰色系统理论和数学建模方法的预测模型。
灰色系统理论是我国学者黄金云教授于1982年提出的一种系统理论，它是研究非确定性和不完备信息系统的一种新方法，可用于研究多变量、小样本和非线性系统。
灰色预测模型主要基于灰色数学建模方法，通过对已知的部分序列数据进行建模和预测，来推测未知的序列数据趋势。
它适用于研究数据量小、信息不完备、非线性关系复杂的系统。
下面将简要介绍灰色预测模型的原理、模型建立过程以及一些应用案例。
1. 灰色预测模型的原理灰色预测模型的核心思想是通过对已知数据进行灰色关联度的度量，从而建立出合适的数学模型，进行未来数据的预测。
其基本原理可以概括为以下五个步骤：（1）建立灰色微分方程：根据原始数据的特点，确定合适的灰色微分方程，通常使用一阶或高阶灰色微分方程。
（2）求解灰色微分方程：根据所选择的灰色微分方程，求解其参数，得到模型的特征参数。
（3）模型检验：检验所建立的灰色预测模型的拟合程度和误差是否符合要求。
（4）进行灰色关联度分析：根据已知数据的变化规律，计算各个因素的灰色关联度，确定相关因素的重要性。
（5）进行预测：利用建立好的灰色预测模型，对未来的数据进行预测和分析，得出预测值。
2. 模型建立过程灰色预测模型的建立过程中，通常包括以下几个步骤：（1）数据的建立与处理：对原始数据进行筛选、预处理和归一化处理，以满足模型的要求。
（2）建立灰色微分方程：从已知数据中提取主要特征，并根据数据的特点选择合适的灰色微分方程。
（3）求解灰色微分方程：根据所选的灰色微分方程，通过累加生成序列、求解参数等方法，得到模型的特征参数。
（4）模型的检验：根据已知数据的拟合程度和误差范围，评估所建立的灰色预测模型的准确性和可靠性。
（5）模型的应用与预测：利用已建立的模型进行未来数据的预测和分析，得出预测结果。
3. 应用案例灰色预测模型在实际应用中具有广泛的应用范围，以下是一些常见的应用案例：（1）经济领域：用于对经济指标、市场需求、价格变动等进行预测，为经济决策提供参考。
灰色预测与决策
灰色猜测与决策灰色系统中的猜测与决策部分主要包括序列算子生成；GM猜测模型即GM(1,1), GM(1, N)z GM(O, N),GM(2,1),Verhulst及GM(r,h)模型和离散灰色模型等；灰色系统猜测；灰色关联分析；灰色聚类评估；灰色决策模型等内容。
我们知道灰色系统理论是讨论少数据，贫信息不确定性问题的新方法，是通过对原始数据的挖掘、整理中寻求其变化规律。
而且传统的GM(1,1)模型采用的数据是近指数，低增长的数据，所以就需要我们对数据进行处理。
这里可以用缓冲算子、初值化生成算子、均值化生成算子、区间值化生成算子削减干扰或函数变换即对数变换、平移变换、开方变换、余弦函数变换、正切函数变换、负指数函数变换、累函数变换、中心位似函数变换等缩小级比偏差，使数据适于建模。
1、灰色猜测部分：1)、数据经过以上的处理后，基本适于建模，传统的猜测模型有GMQI)模型，其原始形式如下：x(°)(Q + o?)(Q = 〃，其基本形式如下：x(°)(Q + az”Q = b ,此方程是用均值Z⑴⑹代替X⑴⑹，使得数据更平滑，其中Z⑴优)=，(”(％—1)+”(%)),叫做方程的背景值，-〃是进展系数，人是灰作用量。
这里的a,b是采用最小二乘法求出来的。
白化方程为：竺+ α√D(Q = 8dt―)⑺=G ⑴⑴一4-"g)+2时间响应函数为：∖ a) ax(l)(⅛ + l) = f?0)(l)--V^ +-I a) a时间响应序列为:Λ(°)八⑴八⑴/ / h∖还原值是「(攵)=X 卜 + 1)-X 仕) =模型的求解是先用最小二乘法将a,b求出，再采用白化微分方程求出解。
而将白化方k程还原为基本模型的形式时，会消失误差，即用Z⑴(。
代替JX⑴力消失的误差，很多学者k—l 在此基础上提出了很多优化模型。
在实际应用与理论讨论过程中，人们对GMQl)模型进行了诸多改进。
关于“灰色预测模型”讲解
集成学习可以通过组合多个基模型的预测结果来提高整体 预测性能。可以将灰色预测模型作为基模型之一，与其他 预测方法一起构建集成学习模型。
与模糊逻辑融合
模糊逻辑能够处理不确定性和模糊性问题，可以与灰色预 测模型相结合，提高模型在处理不确定信息时的预测性能 。
THANKS
感谢观看
灰色差分方程
灰色预测模型的核心是建立灰色差分方程，通过对原始数据序列进行累加或累减 生成，构造出具有指数规律的数据序列，进而建立相应的微分方程进行求解。
适用范围及优势
适用范围
小样本建模
适应性强
预测精度高
灰色预测模型适用于数据量较 少、信息不完全、具有不确定 性和动态性的系统。它可以在 数据序列较短、波动较大、趋 势不明显的情况下，进行有效 的预测和分析。
04
灰色预测模型检验与评 估
残差检验法
01
02
03
残差计算
通过比较实际值与预测值 之间的差异，计算残差序 列。
残差分析
对残差序列进行统计分析 ，包括计算均值、方差等 指标，以评估模型的预测 精度。
残差图
绘制实际值与预测值的散 点图，以及残差序列的折 线图，直观展示模型的拟 合效果。
后验差检验法
金融市场分析
灰色预测模型可以用于分析金融市场的波动性和 趋势，帮助投资者做出更明智的投资决策。
3
物价水平预测
利用灰色预测模型可以对物价水平进行短期和长 期预测，为政府制定物价调控政策提供依据。
社会领域应用案例
人口数量预测
通过收集历史人口数据，利用灰色预测模型可以对未来人 口数量进行预测，为政府制定人口政策提供参考。
关于“灰色预测模型 ”讲解
灰色关联分析模型
模型优化
01
改进灰色关联分析模型的计算方 法，提高模型的准确性和稳定性 。
02
引入人工智能和机器学习技术， 实现灰色关联分析模型的自适应 和智能化。
应用拓展
将灰色关联分析模型应用于更多领域 ，如金融、能源、环境等，挖掘各领 域数据之间的关联关系。
结合其他数据分析方法，形成更为综 合和全面的数据分析体系。
THANKS
感谢观看
通过灰色关联分析，可以挖掘出数据之间的内在联系，为决策提供依据，有助于提 高决策的科学性和准确性。
灰色关联分析模型的基本概念
灰色关联分析
灰色关联分析是一种基于因素之间发 展趋势相似或相异程度的分析方法， 用于衡量因素之间的关联程度。
灰色关联序
灰色关联序是根据灰色关联度的大小 对因素进行排序，从而找出主要影响 因素和次要影响因素。
灰色关联分析模型
• 引言 • 灰色关联分析模型的理论基础 • 灰色关联分析模型的实例应用 • 灰色关联分析模型的优缺点 • 灰色关联分析模型的发展趋势和展望
01
引言
灰色关联分析模型的背景和意义
灰色关联分析模型是一种用于处理不完全信息或不确定信息的数学方法，广泛应用 于经济、社会、工程等领域。
在实际应用中，由于数据的不完全性和不确定性，许多问题难以得到准确的分析和 预测。灰色关联分析模型的出现，为这类问题提供了有效的解决方案。
灰色关联度
灰色关联度是灰色关联分析中的核心 概念，表示因素之间的关联程度。通 过计算灰色关联度，可以判断各因素 之间的相似或相异程度。
灰色关联矩阵
灰色关联矩阵是表示因素之间关联程 度的矩阵，通过矩阵可以直观地看出 各因素之间的关联程度。
02
灰色关联分析模型的理论基础
数学建模模型常用的四大模型及对应算法原理总结
数学建模模型常用的四大模型及对应算法原理总结四大模型对应算法原理及案例使用教程：一、优化模型线性规划线性回归是利用数理统计中回归分析，来确定两种或两种以上变量间相互依赖的定量关系的一种统计分析方法，在线性回归分析中，只包括一个自变量和一个因变量，且二者的关系可用一条直线近似表示，这种回归分析称为一元线性回归分析。
如果回归分析中包括两个或两个以上的自变量，且因变量和自变量之间是线性关系，则称为多元线性回归分析。
案例实操非线性规划如果目标函数或者约束条件中至少有一个是非线性函数时的最优化问题叫非线性规划问题，是求解目标函数或约束条件中有一个或几个非线性函数的最优化问题的方法。
建立非线性规划模型首先要选定适当的目标变量和决策变量，并建立起目标变量与决策变量之间的函数关系，即目标函数。
然后将各种限制条件加以抽象，得出决策变量应满足的一些等式或不等式，即约束条件。
整数规划整数规划分为两类：一类为纯整数规划，记为PIP，它要求问题中的全部变量都取整数；另一类是混合整数规划，记之为MIP，它的某些变量只能取整数，而其他变量则为连续变量。
整数规划的特殊情况是0-1规划，其变量只取0或者1。
多目标规划求解多目标规划的方法大体上有以下几种：一种是化多为少的方法，即把多目标化为比较容易求解的单目标，如主要目标法、线性加权法、理想点法等；另一种叫分层序列法，即把目标按其重要性给出一个序列，每次都在前一目标最优解集内求下一个目标最优解，直到求出共同的最优解。
目标规划目标规划是一种用来进行含有单目标和多目标的决策分析的数学规划方法，是线性规划的特殊类型。
目标规划的一般模型如下：设xj是目标规划的决策变量，共有m个约束条件是刚性约束，可能是等式约束，也可能是不等式约束。
设有l个柔性目标约束条件，其目标规划约束的偏差为d+, d-。
设有q个优先级别，分别为P1, P2, …, Pq。
在同一个优先级Pk中，有不同的权重，分别记为[插图], [插图]（j=1,2, …, l）。
灰色关联度分析方法模型
灰色关联度分析方法模型灰色综合评价主要是依据以下模型：R=Y×W式中，R 为M 个被评价对象的综合评价结果向量；W 为N 个评价指标的权重向量；E 为各指标的评判矩阵，（矩阵略）)(k i ξ为第i 个被评价对象的第K 个指标与第K 个最优指标的关联系数。
根据R 的数值，进行排序。
（1）确定最优指标集设],,[**2*1n j j j F =,式中*k j 为第k 个指标的最优值。
此最优序列的每个指标值可以是诸评价对象的最优值，也可以是评估者公认的最优值。
选定最优指标集后，可构造矩阵D （矩阵略）式中i k j 为第i 个期货公司第k 个指标的原始数值。
（2）指标的规范化处理由于评判指标间通常是有不同的量纲和数量级，故不能直接进行比较，为了保证结果的可靠性，因此需要对原始指标进行规范处理。
设第k 个指标的变化区间为],[21k k j j ,1k j 为第k 个指标在所有被评价对象中的最小值，2k j 为第k 个指标在所有被评价对象中的最大值，则可以用下式将上式中的原始数值变成无量纲值)1,0(∈i k C 。
i k k k i k i kj j j j C --=21，m i ,2,1=，n k ,,2,1 =（矩阵略） （3）计算综合评判结果根据灰色系统理论，将],,,[}{**2*1*n C C C C =作为参考数列，将],,,[}{21i n i i C C C C =作为被比较数列，则用关联分析法分别求得第i 个被评价对象的第k 个指标与第k 个指标最优指标的关联系数，即i k k k i i k k i k k k i i k k k iC C C C C C C C k -+--+-=****i max max max max min min )ρρξ（式中)1,0(∈ρ，一般取5.0=ρ。
这样综合评价结果为：R=ExW若关联度i r 最大，说明}{C 与最优指标}{*C 最接近，即第i 个被评价对象优于其他被评价对象，据此可以排出各被评价对象的优劣次序。
灰色关联分析模型及其应用的研究
灰色关联分析模型及其应用的研究灰色关联分析模型是一种应用于研究和分析的数学方法，它可以用于解决各种实际问题。
本文将探讨灰色关联分析模型的基本原理和应用领域，并通过实例说明其在实际问题中的有效性。
一、灰色关联分析模型的基本原理灰色关联分析模型是由中国科学家陈纳德于1982年提出的。
它是一种基于信息不完全和不确定性条件下进行系统评价和决策的方法。
其基本原理是通过建立数学模型，将系统中各个因素之间的联系进行量化，并通过计算各个因素之间的关联系数，评估它们对系统变化的贡献程度。
灰色关联度是衡量两个变量之间相关程度的指标，它可以用来描述两个变量之间是否具有线性相关、非线性相关或无相关等情况。
在计算过程中，首先需要将原始数据序列进行归一化处理，然后根据序列数据计算出各个因素之间的差值序列，并确定参考值序列。
接下来，根据差值序列和参考值序列计算出各个因素之间的关联系数，最后通过对关联系数进行综合分析，得出各个因素对系统变化的贡献程度。
二、灰色关联分析模型的应用领域灰色关联分析模型可以应用于各个领域，包括经济、环境、工程、管理等。
下面将以几个具体的应用领域为例进行说明。
1. 经济领域：在经济研究中，灰色关联分析模型可以用于预测和评估经济指标之间的相关性。
例如，在宏观经济研究中，可以通过对GDP、消费指数、投资指数等因素进行灰色关联分析，评估它们对经济增长的贡献程度，并预测未来的发展趋势。
2. 环境领域：在环境保护和资源管理中，灰色关联分析模型可以用于评估不同因素之间的相关性，并制定相应的措施。
例如，在水资源管理中，可以通过对降雨量、水位变化等因素进行灰色关联分析，评估它们对水资源供需平衡的影响，并制定相应的调控措施。
3. 工程领域：在工程设计和优化中，灰色关联分析模型可以用于评估不同设计方案的优劣程度。
例如，在产品设计中，可以通过对不同设计参数的灰色关联分析，评估它们对产品性能的影响，并选择最优方案。
4. 管理领域：在管理决策中，灰色关联分析模型可以用于评估不同决策方案的风险和效益。
灰色预测模型
dx
(t)
(1)
ax
(t)b,
dt
解为
b
a
(
t
1
) b
x(
t)
(
x(
1
))
e
.
a
a
(
1
)
(
0
)
（3）
于是得到预测值
b
b
(
1
)
(
0
)
ak
ˆ
x(
k
1
)
(
x(
1
)
)
e
,
k
1
,
2
,
,
n
1
,
a
a
从而相应地得到预测值：
(
0
)
(
1
)
(
1
)
ˆ
ˆ
ˆ
x
(
k
1
)
x
(
k
1
)
x
(
k
lim
dt
t
t 0
而 （ 1）( x ( k )) x ( k ) x ( k 1 ), 相当于
t 1
（3）加权邻值生成
(
0
)
(
0
)
(
0
)
(
0
)
x
(
x
(
1
),
x
(
2
),
,
x
(
n
))
设原始数列为
灰色关联度分析法
灰色关联度分析法
灰色关联度分析法（Grey Relational Analysis，GRA）是一种多属性
决策分析的统计方法，是一个在变量未知情况下实现系统模型和控制
不确定性的有用工具。
灰色关联度分析法主要用于研究和分析影响多
维度多属性数据测量结果的各种因素之间的相关关系。
它对模糊数据
进行综合处理，可以把多维评价分解成基本的准则来实现。
灰色关联度分析法的原理是利用灰色关联度的基本定义来衡量某种系
统的相关程度，灰色关联度通过确定系统的相似度和差异度来计算相
关程度，以此作为最终判断结果。
首先，将所有系统样本的信息表示
成一维度序列，并计算各时间点的灰色关联度。
其次，将灰色关联度
转化成定量指标，以此确定每一种系统的相关程度。
最后，根据定量
指标的值，把每一种系统分成几个类，以便于进一步分析和研究。
灰色关联度分析法可以应用于多种领域，例如工程设计、产品设计、
资源调配等。
例如，当进行工程设计时，可以利用灰色关联度分析法，通过灰色关联度来考虑多种参数和因素，以便最大限度地满足工程项
目的要求。
总之，灰色关联度分析法是一种有效的多属性决策分析方法，在许多
领域得到了广泛的应用，对于多维度和多属性问题具有显著优势。
有
效地利用灰色关联度分析法，能够更好地实现系统模型和控制不确定性，有助于优化效率和提高决策水平。
灰色预测模型
常用的灰色预测有五种： （1）数列预测，即用观察到的反映预测对象特征的时间序列来构造灰色预测模型，预测未来某一时刻的特征量，或达到 某一特征量的时间。
（2）灾变与异常值预测，即通过灰色模型预测异常值出现的时刻，预测异常值什么时候出现在特定时区内。
（3）季节灾变与异常值预测，即通过灰色模型预测灾变值发生在一年内某个特定的时区或季节的灾变预测。
用差分代替微分，又因等间隔取样，
t(t1)t1, 故得
x(1 )(2 ) x(1 )(2 )x(1 )(2 ) x(1 )(1 )x(0 )(2 ), t
类似地有
x(1)(3)x(0)(3),..., x(1)(N )x(0)(N ).
t
t
于是，由式（7.3）有
x (0)(2) a x (1)(2) u ,
就可得原始序列
x (0) 的拟合值 xˆ(0) (k 1)；当k N时，
可得原始序列
x ( 0 ) 预报值.
(1)残差检验：分别计算
7.2 灰色系统的模型
（3）预测精度等级对照表，见表7.1.
7.2 灰色系统的模型
7.2 灰色系统的模型
由于模型是基于一阶常微分方程（7.3）建立的，故称为一阶一元灰色模型，记为GM(1,1).须指出的是， 建模时先要作一次累加，因此要求原始数据均为非负数.否则，累加时会正负抵消，达不到使数据序列随时 间递增的目的.如果实际问题的原始数据列出现负数，可对原始数据列进行“数据整体提升”处理. 注意到一阶常微分方程是导出GM(1,1)模型的桥梁，在我们应用GM(1,1)模型于实际问题预测时，不必求解 一阶常微分方程（7.3）.
[3.278, 3.337, 3.390, 3.679]T
7.3 销售额预测
灰色聚类法
灰色聚类法灰色聚类法是一种用于数据分析和预测的方法，它是将灰色系统理论与聚类分析相结合的一种技术。
灰色系统理论是一种包括模型、方法和计算工具的科学体系，它研究的对象是伪随机不确定系统，即在没有足够数据的情况下，难以进行精确预测的系统。
灰色聚类法是利用灰色系统理论中的灰色关联度计算方法，对数据进行聚类分析的一种方法。
它可以很好地处理数据量较小、样本不足、数据质量较差的情况，可以得到较为准确、可靠的结果。
灰色聚类法的基本思想是，将不同的对象或变量，根据它们相互之间的联系程度进行分类，使得同一类别内的对象或变量之间相似度较高，不同类别之间的相似度较低。
灰色聚类法主要包括以下几个步骤：首先，确定要聚类的对象或变量，并对其进行数据标准化处理，使得它们在不同量级和单位下具有可比性。
其次，计算灰色关联度矩阵，采用灰色关联度计算公式对数据进行处理，得到每个对象或变量与其他对象或变量之间的相似性值。
然后，通过聚类算法对灰色关联度矩阵进行分组，得到不同的聚类簇。
最后，根据聚类结果对数据进行分析和预测，对于同一聚类簇内的对象或变量进行比较和统计，得到它们的特征和规律，并利用这些规律进行预测和决策。
灰色聚类法具有以下几个特点：首先，它可以有效地处理样本量较小、数据质量较差的情况，对于缺失值和噪声数据的处理能力比较强。
其次，它可以得到较为准确、可靠的聚类结果，对于数据的分类和区分能力较强。
最后，它适用于各种类型的数据，包括数值型、字符型和混合型数据等。
在实际应用中，灰色聚类法可以用于各种领域和行业中的数据分析和预测，例如金融、医疗、能源、环境等方面。
它可以通过对数据的聚类和分析，发现数据之间的联系和关系，揭示数据背后的规律和模式，从而为企业和组织提供决策支持和战略指导。
例如，在金融行业中可以利用灰色聚类法对不同的股票进行聚类分析，得到不同类型的股票组合，为投资者提供投资建议和决策支持；在医疗领域中可以利用灰色聚类法对患者的诊断数据进行聚类分析，发现患者之间的相似性和差异性，为医生提供诊断和治疗方案的参考。
基于灰色线性拟合的科技投入产出模型应用研究
基于 灰色 线 性拟 合 的科 技投 入 产 出模 型应 用研 究
王 亮 ，杜 鹏 程 ，王 长 河
（ 安徽 大 学工 商 管理 学 院 ，安 徽 合 肥 ２０３ ） ３０ ９
摘 要 ：在 国 内外 学 者对 投 入产 出相 关 定 量研 究的 基 础 上 ， 以投入 产 出 间灰 色关联 度 最大 作 为拟 合 准 则 ，建 立 一 种 新 的 定 量分 析投 入 产 出关 系的模 型 。新 模 型 与 部 分 定量 方 法进 行 比较 ，改进 了一 些存 在 的缺 陷 。 同 时应 用 该 模型对我 国大中型工业企业 １９ － ２０ ９ ６ ０ ７年的科技投入与产 出关 系进行研 究，验证 了方法的有效性 也得 出了若
２ 相 关研 究方法及其 局限性
投入产出定量关系相关研究涉及 的内容很广 ，使用 的方 法 也 不 尽 相 同 ，包 括 基 于 经 典 生 产 函 数 进 行 数 据 分 析 在 内。 以下 方 法是 当下 使 用 较 多 的几 种 ，相 对 于 文章 所 提 出 的模 型 ， 这几种方法都有其值得改进的地方。
干 企 业科 技 投 入 的 建议 。
关 键 词 ：科 技 投入 与产 出； 定量 分 析 ；灰 色 关联 度 ；线 性 拟 合 ；应 用研 究 中图 分 类号 ：Ｃ ３ ９１ 文献 标 识 码 ：Ａ
不足。
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． 丁ｌ苗
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对投入与产出的定量研究由来已久 ，有基于各种生 产函 数如 ：柯布一道格拉斯生产函数 、超越 生产 函数 、固定 弹性 生产 函数等进行数据定量分析以求得到 函数 系数 的 ，也有 针 对行业或企业具体情况编制投入产出表进行研 究的 ，以及其 他基于定量方法直接对投入产出数据进行分 析的” 。 近 年 来 ， 国内 外仍 然 有 大 量 的 相关 应 用 研 究 在 不 断 地 丰 富投入产出理论。有的研究 通 过 ２０ ０ ０年之 前 ４ Ｏ年 的相关 数据 ，将 资本 、劳动 和进 口作 为投 入，而将 消费品 以及投 资
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2010年上海世博会影响力的定量评估摘要中国2010年上海世界博览会，作为第41届世界博览会，于2010年5月1日至10月31日期间，在中国上海市举行。
举办2010年世界博览会，可以进一步提高我国的国际形象和地位，加强与各国的经济和技术合作，促进国际间经济贸易往来，对于加速上海市现代化程度，促进上海区域经济发展具有十分重要的意义。
目前对世博影响力的定量评价还比较缺乏，因此定量研究上海世博会在各个方面的影响力显得尤为重要。
在本题中，我们选取上海世博会对上海市的直接经济收入、世博会对上海旅游业经济效益的影响与世博会对上海市的直接经济和旅游的综合影响这三个侧面，从横、纵向时间轴上对其影响力进行定量评估。
研究世博会对上海市的直接经济收入的影响，考虑到世博会未结束，故先用灰色预测的方法对世博会参观人数进行了预测，考虑到10月份假期影响系数和尾积效应的影响，我们用季节性修正来对10月份的数据进行修正，通过总人数的统计，得出门票总收入，再对世博会的直接投资与直接收益利用投资成数比例和投资数乘模型计算出间接投资与延伸效益，利用投入产出模型分析出了世博对上海市经济发展的直接影响力是对2010年上海市的GDP直接贡献值896.25亿元。
并对比前五年的GDP增长值看出，举办了世博会后的上海市2010年GDP增长率是明显大于之前未举办世博的年份的。
对于世博会对上海旅游业经济效益的影响力方面，我们采用灰色关联分析模型来研究世博会对上海市旅游业经济效益的影响进行量化。
由关联度的分析可得到2005年到2010年旅游综合评价结果排名的比较，上海2010年的旅游综合评价值为2.6459，06至09年综合评价值分别为0.8975、1.6292、0.9782、0.8743，2010年旅游综合评价明显大于历年的综合评价值位于第一。
说明由于世博会的影响，带动了上海市旅游经济效益的快速增加。
为研究上海世博会对上海市的直接经济与旅游的综合影响，我们选取2009年1月至2010年7月的社会消费品零售总额、入境旅游人数、外国人数、上海市进出口总额、居民消费价格指数5项指标的具体数值，利用主成分——聚类模型选出主成分并进行聚类分析，得出的分类结果为2009年1月至2010年4月为一类，2010年5月至7月为一类，表明世博会的举办与否对上海市的直接经济与旅游具有重要影响。
【关键词】：影响力定量评估灰色预测投入产出模型灰色关联分析主成分——聚类模型一、问题的重述2010年上海世博会影响力的定量评估2010年上海世博会是首次在中国举办的世界博览会。
从1851年伦敦的“万国工业博览会”开始，世博会正日益成为各国人民交流历史文化、展示科技成果、体现合作精神、展望未来发展等的重要舞台。
请你们选择感兴趣的某个侧面，建立数学模型，利用互联网数据，定量评估2010年上海世博会的影响力。
二、模型的假设在我们的模型中做了如下假设：1.在4.1.1节中的灰色预测9月和10月参观世博会的人数中，忽略天气、人为客观因素等给日客流量带来的影响；2.在4.1.2节中在分析产出预算时，我们只把门票收入、赞助、特许权、场馆出租等算为总体产出，而由于世博会所产生的其他的周边联动效益难以估计，故不参与计算。
三、符号说明四、模型的建立与求解4.1上海世博会经济效益对上海市发展的影响 4.1.1灰色预测模型4.1.1.1问题的分析上海世博会对上海带来的经济效益必须要从上海对本届世博会的资金投入以及上海世博会给上海市带来的总体财政收入这两方面考虑。
而在上海世博会给上海市带来的总体财政收入中，门票收入是需要统计在内的。
因此，我们通过网上查找得到的2010年6、7、8月上海世博会每日参观人数，对9、10月的参观人数进行预测，并且考虑到10月份具有假期影响和尾积效应，故对10月份预测数据进行季节性修正，从而得出上海世博会的参观总人数与门票总收入。
由于我们是对短时期的数据进行预测，故采用灰色预测模型，使其预测值具有较好的准确性。
4.1.1.2模型的建立我们在网上搜索到了2010年5、6、7、8月上海世博会日客流量的柱状图，通过对柱状图中数据的统计分析得到6、7、8月每天的参观人数，具体数据间附录1。
为便于统计，我们用软件将6、7、8月份数据分别整理成折线图，见图1。
T r o u s t N u m b e r (M )dayT o u r i s t N u m b e r (M )dayT o u r i s t N u m b e r (M )day图1世博会6、7、8月份参观人数的折线图而由图1中的折线图容易看出，五月份时世博会每天的参观人数不太稳定，有较大的波动，可能是由于世博会刚刚开始的缘故。
因此我们决定只采用6、7、8月的数据利用灰色系统来预测9月和10月参观世博会的人数。
根据附录1中的数据，容易计算出每个月的均参观人数，6月平均参观人数为43.63万人，7月平均参观人数为44.27万人，8月平均参观人数40.23万人。
灰色模型GM （1，1）建立过程如下：设2010年世博会6月、7月、8月的日平均参观人数向量为()()()()()()(){}3,2,10000x x x x =，这里记6月为第1个月。
其中()()62633.4310=x ，()()27032.4420=x ，()()23355.4030=x .对数列x (0)做1次累加，生成向量()()()()()()(){}3,2,11111x xx x=，其中()()()()∑==ki i x k x 101。
则相应的白化微分方程为. (1)式(1)中参数a ，u 的计算方法为：,即得到累加序列的预测模型()()()()a u e a u x K xak +⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-11ˆ01 ， 2,1=K ,n. (2) 由于世博持续时间长，影响因素众多，需要对预测的数据进行修正，本文考虑到节假日和世博的尾积效应等因素对参观人数的影响，故采用如下公式进行计算，t t T V xY ˆ=. (3) 其中xˆ代表预测值，t V 代表假期影响系数，t T 代表世博会尾积效应系数。
t V 由6月与7月的人数比获得，t T 可由往届世博会数据计算（本文采用大阪世博会数据计算，大阪各月参加者人数见附录2）。
4.1.1.3模型的求解经过MATLAB 程序语句（具体程序代码参见附录3）计算得到9月、10月份的世博会参观人数，并将其进行季节性修正，最终数据整理为下表1：考虑到优惠人群，我们通过上网查找可以知道优惠人群占总人数的%30，团队购买或多次票数占总数的%85，假设两者不重复。
另外指定日为17天，普通日为167天，则平均每人次价格为：()[]()[]11885.03.01003.011601841673.01203.0120018417=⨯⨯+-⨯+⨯+-⨯=P (元), 由此可得世博会期间门票总收入为71.8604.7348=⨯=P W (亿元).4.1.1.4模型的检验对6、7、8月份同样进行灰色预测，把预测值与实际值构造方差比和小误差概率，来对模型进行检验：预测误差()()()()()k xk x k e 00ˆ-=, 预测误差均值()∑==ni i e n e 11,原始数据均值()()()∑==n i i x n x1001, 原始数据标准差()()()()210011∑=-=n i x i x n S ,预测误差标准差()()2121∑=-=ni e i e n S ,标准差比值12S S C =,小误差频率利用6、7、8月份数据检验可得MATLAB 的检验结果为C=0.0079，说明精度等级为一级，精度很高。
4.1.2投入、产出效益模型4.1.2.1问题的分析上海世博会涉及的产业链较长，对投入与产出效益的放大效应相当明显，客观地对上海世博会投入与产出效益评价应该从两个层面进行分析，即世博会本身运营范围内的直接收益和世博会运营范围外的延伸收益。
因此，我们建立投入、产出效益模型，来分析世博会给上海带来的收益。
4.1.2.2模型的建立与分析首先在下面给出世博会本身运营范围内的直接收益中的投入预算与产出预算的数据。
投入预算：据2010年上海世博会筹备报道，中国2010年上海世博会直接投资包括主体工程建设总投入180亿元人民币和运营支出106.8亿元人民币两部分，合计M 1=286.8亿元。
筹建上海世博会的直接投资与间接投资的投资乘数高达1:10以上，即预计间接投资M 2=2868亿元。
总投资规模M=3154.8亿元。
产出预算：上海世博会预计整体财务收入为96.1亿元。
其中，门票收入已在上面的模型中预测出，为86.71亿元，其余部分收入主要来自赞助、特许权、场馆出租等。
根据上海世博会的直接投资规模M 1=286.8亿元，运用投资乘数模型，可计算出世博会的直接投资对上海GDP 的增量为：1111M MPCY ⋅-=∆, (4)间接投资对上海GDP 的增量为：2211M MPC Y ⋅-=∆, (5)式(4)与(5)中MPC 为边际消费倾向，相对稳定，上海的MPC 为0.68。
计算得25.8961=∆Y亿元，5.89622=∆Y 亿元，总产出规模85.9954=Y 亿元。
从以上投入与产出预算可以看出，此经济系统具有较佳的效应。
下面世博会对上海GDP 的增量角度分析世博会对上海经济发展的影响力。
在上海市统计局网站，我们可得到上海市2005年至2009年的GDP 如下表3：表3中2010年GDP 为用一元线性回归预测出的GDP 值。
加上产出预算中世博会的直接投资对上海GDP 的增量25.8961=∆Y 亿元，可得上海2010年的GDP为17417.82亿元。
柱状图2如下：G D PYear图2 上海市2005年至2010年的GDP 柱状图从柱状图可看出，上海市2010年的GDP 增长量要明显大于往年的增长量。
说明世博会给上海市带来的经济效益是非常明显的。
而在世博会运营范围外的延伸收益方面，为保证外来游客住宿、餐饮、交通和通信等需要，需进一步完善航空、铁路、公路、电信、供电和供水等基础设施的建设，这些方面的资金投入必将有力地拉动上海经济快速增长；旅游人数的增多也将带来巨大的消费增长；世博会参观者在个人消费上的消费收入也将非常惊人；同时，由于“乘数效应”的发挥，各种行业都会被带动发展，就业人数增加，人民收入自然增加。
根据微观经济学消费行为理论，收入的增加必然带来消费的增长。
其次，世博会的政治效益与文化效益，有利于提升上海的国际影响力和文化软实力，对上海市未来的发展起到至关重要的作用。
4.2上海世博会对上海市旅游业经济效应的影响4.2.1问题的分析在研究上海世博会产生的经济效应的过程中，旅游业是上海世博会产生经济效应影响的重要方面之一，通过对上海历年统计年鉴的统计，我们从不同方面选取几个反映近几年上海旅游业发展的指标，这样就可有一个易于操作和评价并由若干个有代表性重要指标构成的综合评价体系，从而定量的来评估旅游业的发展状况，进而反映出世博会对上海市旅游业经济效应的影响。