实变函数复习提纲

实 变 函 数 复 习 提 纲

2006-7-14

第一章 集合

一、基本概念：集合、并集、交集、差集、余集；可数集合、不可数集合；映射、一一映射（对应）；集合的对等，基合的基数（势、浓度）．

二、基本理论：

1、集合的运算性质：并、交差、余集的运算性质；德一摩根公式；

2、集合对等的性质；

3、可数集合的性质、基数：a N =、a Q =（a ＞0）；

4、不可数数集合的基数：c R =（c >a>0）． 三、基本题目

1、集合对等的判定、求基合的基数

例 证明I =（－1，1）和R =（－∞，+∞）是对等的，并求I . 证：作映射ф：()x x 2

tan π

φ=，x ∈（－1，1）

，其值域为R =（－∞，+∞）、 因()x x 2

tan

π

ϕ=，在（－1，1）是严格单调增的，∴ϕ：()x x 2

tan

π

ϕ=是（－1，1）到R

上的一一对应, 即 I= (-1,1)

x

x 2

tan

)(1

1π

ϕ=-(),+∞∞-=R

由对等的定义知：I ～R .

∵I ～R ∴R I =，又c R =，∴c I =. 2 集合的运算，德。摩根律的应用

3 可数数集合的判定

第二章 点集

一、基本概念：距离、度量空间、n 维欧氏空间；聚点、内点、界点,开核、导集、闭包；开集、闭集、完备集；构成区间 二、基本理论

1、开集的运算性质 ；

2、闭集的运算性质

3、直线上开集的构造；

4、直线上闭集的构造 三、基本题目

1 求集合的开核、导集、闭包，判定开集、闭集 例 设E 为[0，1]上的有理数点的全体组成的集

1）求0

E ，'E ，E ； 2）判定E 是开集还是闭集，为什么？

解：1）对于E x ∈∀，x 的任意邻域)(x U 内有无数个无理点,∴)(x U E _

⊂，∴x 不是

E 的内点，由x 的任意性，知E 无内点,∴φ=0

E .

对于[]1,0∈∀x ，)(x U ∀内都有无数多个有理点，即有无数多个E 的点,∴x 为E 的聚点.又在[0，1]外的任一点都不是E 的聚点. ∴[]1,0='E . ∵[][]1,01,0=⋃='⋃=E E E E ， ∴[]1,0=E .

2）E 不是开集，也不是闭集.

因为ϕ=0

E ，而E 是非空的，∴,0

E E ≠ ∴E 不是开集.

因为[]1,0='E ，而[0，1]中的无理点不在E 内，即E E __

⊂'，∴由定义知，E 不是闭集. 2 直线上开集、闭集的构造

第三章 测度论

引入：把区间的长度、平面图形的面积、空间立体图形的体积推广到点集的度量—测度． 一、基本概念：勒贝格外测度，L 测度，可测集，可测集类

1勒贝格外测度的定义：设E 为n

R 中任一点集，对于每一列覆盖E 的开区间E I U i i ⊃∞

=1

，

作出它的体积和∑∞

==

1

i i

I

μ（μ可以等于+∞，不同的区间列一般有不同的μ），所有这一

切的μ组成一个下方有界的数集，它的下确量（由E 完全确定）称为E 的勒贝格外测度，简称外测度或外测度，记为E m *，即：

⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧=∑∞=⊂∞

=1inf

1

*i i E I I E m i i

注：由定义1知：n

R 中的任一点集都有外测度（一个非负数）. 2勒贝格测度、可测集的定义：设E 为n

R 中点集，若对任一点集T 都有

)(*)(**CE T m E T m T m ⋂+⋂=（1）

则称E 为L 可测的，这时E 的L 外测度E m *就称为E 的L 测度，记为mE ，条件（1）称为卡拉泰奥多里条件，也简称卡氏条件.L 可测集的全体记为μ.

3可测集类

1）零测度集类：

2）一切区间I （开、闭、半开半闭）都是可测集合，且I mI = 3）凡开集、闭集皆可测 4）凡博雷尔集都是可测的

二、基本理论

1勒贝格外测度的性质

（1）E m *≥0，当E 为空集时E m *=0（即0*=ϕm ）；（非负性）； （2）设A ⊂B ，则A m *≤B m *；（单调性） （3）)(*1∞

=i i UA m ≤

∑∞

=1

*i i

A

m ；（次可数可加性）

2 勒贝格测度、可测集的性质及可测性 1）（定理1）集合E 可测←→对任意的A ⊂E ，B ⊂[CE ，总有

B m A m B A m **)(*+=⋃

2）余集的可测性：S 可测←→CS 可测

3）并集的可测性：若S 1，S 2都可测，则S 1∪S 2也可测； 4）交集的可测性：若S 1，S 2都可测，则S 1∩S 2也可测； 5）差集的可测性：若S 1，S 2都可测，则S 1－S 2也可测；

6）可列可加性：设{}i S 是一列互不相交的可测集，则i i S U ∞

=1也是可测的，且

∑∞

=∞

==1

1

)(i i i i mS US m

7）可列交的可测性：设{}i S 是一列可测集合，则i i S ∞

=⋂1

也是可测集合；

8）递增的可测集列的极限的测度：设{}i S 是一列递增的可测集合：

⊂

⊂s s 2

1

…s

n

⊂

…，

令S=

s

s n

n i i

lim 1

∞

→∞

== 则n n mS mS ∞

→=lim

9）递减的可测集列的极限的测度：设{}i S 是一列递减的，可测集合： S 1⊃S 2⊃…⊃Sn

…

令n n i i S S S ∞

→∞==⋂=lim 1

，则当它1mS ＜∞时，n n mS mS ∞

→=lim . 三 基本题目

1、试述L 外测度的定义.（答案见第三章§1定义1）

2、试给L 测度的定义（答案见第三章§2定义1）

3、设点集n R E ⊂，0*=E m ，证明E 是可测集，并求mE .

证：只须证明卡氏条件成立，即对n

R T ⊂∀，有

)(*)(**CE T m E T m T m ⋂+⋂=