概率论与数理统计 习题参考答案

概率论与数理统计习题二参考答案

1、将一颗骰子抛掷两次，以X 1表示两次所得点数之和，以X 2表示两次得到的点数的最小者，试分别求X 1和X 2的分布律。

解：X 1可取2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12

36

1

6161)1,1()2(1=×===P X P

36

2

61616161)"1,2""2,1(")3(1=

×+×=∪==P X P 36

3

616161616161)"1,3""2,2""3,1(")4(1=

×+×+×=∪∪==P X P …… 所以X 1的分布律为

X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 P k 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36 X 2可取的数有1、2、3、4、5、6

P （X 2=1）=P （）="1,6""1,5""1,4""1,3""1,2""6,1""5,1""4,1""3,1""2,1""1,1"∪∪∪∪∪∪∪∪∪∪36

11

所以X 2的分布律为 X 2 1 2 3 4 5 6 P k 11/36 9/36 7/36 5/36 3/36 1/36 2、10只产品中有2只是次品，从中随机地抽取3只，以X 表示取出次品的只数，求X 的分布律。 解：X 可取0、1、2

{}310380C C X P ==15

7

=

{}157

13

102812===C C C X P {}15

1

23101822===C C C X P

3、进行重复独立试验。设每次试验成功的概率为)10(<

（1） 将试验进行到出现一次成功实验为止，以X 表示所需试验的次数，此时

称X 服从参数为p 的几何分布。求X 的分布律。

（2） 将试验进行到出现r 次成功为止，以Y 表示所需试验的次数，此时称Y 服

从参数为r 、p 的巴斯卡分布。求Y 的分布律。

解：（1）（k-1次未成功，最后一次成功）

{},......2,1,)1(1=−==−k p p k X P k （2） {},......1,,)1(11

+=−==−−−r r k p p C k X P r

k r r k

4、下列表中列出的是否是某随机变量的分布律？ X 1 2 3 P k 0.4 0.5 0.1 X -1 0 1 P k 0.2 0.3 0.4 解：（1）是 （2）不是，因概率之和不为1

5、（1）设随机变量X 的分布律为{}N k N

a

k X P .....,2,1,===

试确定常数

a （2）设随机变量X 的分布律为{}.....2,1,32=⎟⎠

⎞

⎜⎝⎛⋅==k b k X P k

试确定常数

b （3）设随机变量X 的分布律为{}0......2,1,0,!

>=⋅==λλk k c k X P k

为常数，

试确定常数c 解：（1）{}111====∑

∑==a N

a

k X P N

k N

k ， 1=∴a （2）{}123

2132321

1==−=

⎟⎠⎞⎜⎝⎛⋅==∑∑∞

=∞

=b b

b k X P k k

k ， 21=∴b （3）{}1!

==⋅

==∑∑∞

=∞=λλe c k c k X P k k

k ， λ−=∴e c

6、设随机变量X 的分布律为{}5,4,3,2,1,15

===k k

k X P 其分布函数为，试求：

)(x F （1）⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<2521X P ， （2）{

}21≤≤X P ， （3）⎟⎠⎞

⎜⎝⎛51F 解：（1）{}{}212521

=+==⎭

⎬⎫⎩⎨⎧<

（2）{

}21≤≤X P {}{}21=+==X P X P 5

1

152151=+= （3）⎟⎠⎞⎜⎝⎛51F 051=⎭⎫⎩

⎨⎧

≤=X P

7、一大楼装有5个同类型的供水设备。调查表明在任一时刻t 每个设备被使用的概率为，求在同一时刻

1.0

（1） 恰有两个设备被使用的概率； （2） 至少有1个设备被使用的概率； （3） 至多有3个设备被使用的概率。 解：设X 表示设备被使用的个数

则

)1.0,5(~b X （1）

{}()()0729.09.01.023

2

25===C X P （2）

{}{}4095.09.010115=−==−=≥X P x p （3）{}{}{}==−=−=≤5413X P X P x p ()()()99954.01.09.01.015

5

5

1

4

45=−−C C 8、甲、乙两种味道的酒各4杯,颜色相同。从中挑4杯便能将甲种酒全部挑出，

算是试验成功.(1)某人随机地去挑,问他试验成功的概率是多少？ (2)某人通过品尝区分两种酒,他连续试验10次,结果成功3次，问此人是否 确有品尝区分的能力？(设各次实验相互独立) 解:(1)所求概率为:

70

1

148=

C (2)令试验10次中成功次数为X ，则)70

1,

10(~b X ，47

33

101016.3)7069()70

1(

}3{−×≈××==C X P 显然{}3=X 是一小概率事

根据小概率事件实际不可能发生原理,可以认为此人有一定品尝区分能力. 9、某商场每月销售某商品的数量服从参数为3的泊松分布。问在月初进货时要

进多少此种商品，才能保证此商品当月不脱销的概率为0.999? 解：设X 表示当月销售量，则要使

999.0!30

3=∑=−x

k k

k e 查表得001.0999.01000292.0!311

3=−<=∑+∞

=−k k

k e 所以在月初进货时要进此种商品10件，才能保证此商品当月不脱销的概率

为0.999。

10、每年袭击某地的台风次数近似服从参数为4的泊松分布。求一年中该地区受

台风袭击次数为3~5的概率。 解：设X 表示每年袭击某地的台风次数 {}{}{}2553≤−≤=≤≤X P X P X P ={}{}()3161≥−−≥−X P X P ={}(){}63≥−≥X P X P