温度变化对结构影响的计算

设温度沿杆件截面高度线性变化， 设温度沿杆件截面高度线性变化，上表面升 温 t 1 ，下表面升温 t 2，杆轴温度变化 t 0 ，上、 ∆t ,线膨胀系数为 . α 下边缘的温差 线膨胀系数为 若 h1 = h 2 = h / 2 ,
h1 h2 t1 + h1t 2 t 0 = t1 + ( t 2 − t1 ) = h h
∆ Ky = ∑ ∫ M i Mds + ∑ N iα t0 l EI α∆tωi + ∑ (±) = −34.75α l (↑) h
Mi
M
温度低的一侧受拉。 温度低的一侧受拉。
超静定结构温度变化时的内力计算(位移法） 超静定结构温度变化时的内力计算 位移法） 位移法
把超静定结构拆成单杆， 解决思路： 把超静定结构拆成单杆，分 别计算各杆在单位位移和温度改变作 用下的杆端弯矩， 用下的杆端弯矩，求出附加约束上的 反力或反力矩， 反力或反力矩，利用平衡条件求出未 知量，进而求出内力。 知量，进而求出内力
α ∆ td s
h M ds = ∑ α t0 ∫ N i ds + ∑ α ∆t ∫ i h
温度引起的位移计算公式: 温度引起的位移计算公式
M i ds ∆ it = ∑ α t 0 ∫ N i d s + ∑ α ∆ t ∫ h
对等 截 面 直 杆:
∆ it = ∑ α t 0 N i l + ∑ ( ± )
温度变化时的结构内力和位移计算
(Analysis of Internal force and Displacements in Structures Induced by Temperature Changes)
静定结构温度变化时的位移计算
荷载作用求 点竖向位移 点竖向位移. 荷载作用求K点竖向位移 变形体虚功方程为: 变形体虚功方程为
解： δ 11 X 1 + ∆1 t = 0
t 0 = 30 , 5l 3 δ 11 = 3EI
X 1 = 138
αEI
l2
10 l2 2 ∆1t = −α ⋅ 30 ⋅ l − α ⋅ ⋅ (2 ⋅ + l ) h 2 = −230αl
M = M1 X 1
∆t = 10
M1
温度改变引起的内力与各杆 有关。 的绝对刚度 EI 有关。
EI=常数, t1〉t2 EI=常数, k11 = 8i 同上例 F1t的计算: 的计算:
+t
o 2
o + t2
Z1
o + t2
o + t2
+ t1o
l
+ t1o
l
l h
+ t0
+ t1o
−t
+ t1o
F1 t//
− t/ + t/
F1t o
+ t2
+ t1o
/
+ t0
F1 t/
/
+ t1o
=
+ t0
⋅
1 l ⋅l 2
⋅l ⋅l
= − 0 . 005 m ( ↑ )
求图示桁架温度改变引起的AB杆转角 杆转角. 例： 求图示桁架温度改变引起的 杆转角
+ to + to + to + to A 0
Ni
a
4× a
解：构造虚拟状态
B 1/ a
−1/ a −1/ a −1/ a −1/ a
1 2a
1 2a
+ t0
+
/
+ t/
t0 = (t1 + t2 ) / 2, t = (t1 − t2 ) / 2
F1t = F1t/ + F1t// F1 t/ = 9 i α t 0 同上例 α t / l 3i / α t /l // F1t = 3 i + α t l − 2i h l h k11Z1 + F1t = 0 M = MZ 1 + M t
余约束力和温度变化共同作用下的静 定结构，于是， 定结构，于是，问题转化为在静定结 构上求某项位移（ 构上求某项位移（注：不能忽略温变 引起的轴向变形） 引起的轴向变形）。
例: 求图示刚架由于温度变化引起 的内力与K点的位移 点的位移。 的内力与 点的位移。 t1=+250C t2=+350C,EI=常数 矩形截面 常数,矩形截面 常数 矩形截面,h=l/10.
δWe =δWi 其中: 其中 δWe =1∆kP
k P = M P /EI
δWi =Σ∫MikPds ∆kP =Σ∫MikPds
温度作用求 点竖向位移 点竖向位移. 温度作用求K点竖向位移
δWe =1∆kt
关键是计算微 段的温度变形
δWi =Σ∫[Niεt + Qiγt +Mikt ]ds
微段的温度变形分析
(−10 − 20) + (0 − 20) t0 = = −250 C , 2 ∆t = 0 − ( −10) = 100C α ∆t ∆t ∆ Ay = ∑ α t 0 N i l + ∑ ωi h = α ⋅ ( − 25 )( − 1) l
l
Mi
1
Ni
1 ⋅ α ⋅ 10 h 1 − ⋅ α ⋅ 10 h −
t 0 = ( t 2 + t1 ) / 2
∆ t = t 2 − t1 d u t = α t0d s
无剪应变
dϕ t =
td α ∆ td s h
( ∆ Ky ) t = ∑ ∫ N iε t + Qiγ t + M i k t ds = ∑ ∫ N iα t 0 d s + ∑ ∫ M i
(
)
θ AB =
∑ αt
0
N il
= α ⋅ t ⋅ ( − 1 / a )a × 4
= − 4α ⋅ t ( )
超静定结构温度变化时的内力计算(力法） 超静定结构温度变化时的内力计算 力法） 力法 t1 t1 t2 t1 t1 t1 t2 t1
X1 X2
t1 t1 t2 t1
∆1t
∆ 2t
∆1 = 0 ∆ 2 = 0
3 iα t l 3 i / + αt l h l
2 iα t / l / h
3 i α tl / h −t +t 2 i α tl / h −t +t
说明： 说明：
根据杆件内外侧温度将其分解为轴向温度改 变和弯曲方向的温差改变； 变和弯曲方向的温差改变； 温度改变引起的弯矩图考虑由两部分组成： 温度改变引起的弯矩图考虑由两部分组成： 由杆件伸缩引起的结点线位移和杆轴两侧温 差引起的结点角位移； 差引起的结点角位移； 不计力作用引起的轴向变形，但必须考虑温 不计力作用引起的轴向变形， 度改变引起的轴向变形； 度改变引起的轴向变形； 求指定位置的位移， 求指定位置的位移，应与力法一样先将超静定 结构化成一静定结构，然后利用位移公式计算。 结构化成一静定结构，然后利用位移公式计算。
例 ： 作 M图 ，
EI=常数 EI=
+ to + to
l
Z1
+ to + to
l Z1=1 3i l
+ to + to
解:
F1=0 k11Z1 + F1t = 0
+ to lα t
+ to
M1
k11 = 8i F1 t = 9 i α t Z 1 = − 9α t / 8
4i
i 2i
+ to
+ to lα t + to
上式中的正、负号： 上式中的正、负号：
α∆t
h
ωM
使杆件产生拉伸变形为正， N i 使杆件产生拉伸变形为正，
t 0 温度升高为正。 温度升高为正。 若 M 和 ∆t 使杆件的同一边
产生拉伸变形，其乘积为正。 产生拉伸变形，其乘积为正。
刚架施工时温度为20 例： 刚架施工时温度为 0C ，试求冬季外侧温度为 -100C ，内侧温度Biblioteka Baidu 0 0C 时A点的竖向位移 ∆ Ay。已知 点的竖向位移 l=4 m, α = 10 −5 ,各杆均为矩形截面杆，高度 h=0.4 m． 各杆均为矩形截面杆， 各杆均为矩形截面杆 ． 解：构造虚拟状态
F1t
3i α tl l 6i α tl l
M = M1 Z1 + Mt
由结果可见：温度变 由结果可见： 化引起的位移与EI大 化引起的位移与EI大 小无关，内力与EI大 小无关，内力与EI大 小有关
9α ti / 8 3α ti / 2
M
3α ti / 8 15α ti / 4
Mt
例 ： M图 ，
End
δ 11 X 1 + δ 12 X 2 + ∆1t = 0 δ 21 X 1 + δ 22 X 2 + ∆ 2 t = 0
∆tαω i ∆ it = ∑ N i t 0αl + ∑ ( ± ) h
超静定结构温度变化时的位移计算(力法） 超静定结构温度变化时的位移计算 力法） 力法
解决思路： 把超静定结构等效替换为多