自然数方幂和与伯努利数(上)
伯努利数求导
伯努利数求导伯努利数求导是数学中的一道经典问题，涉及到微分学和级数等多个数学概念。
在这篇文章中，我们将介绍伯努利数的定义、性质以及求导的方法，以及一些实际应用。
一、伯努利数的定义和性质伯努利数是数学家Jakob Bernoulli于18世纪早期研究无穷级数时引入的数列。
伯努利数可以通过如下递归关系定义：```B_0 = 1B_n = 0 for n为奇数，n≥3B_n = (-1)^(n/2) * (n-1)! * Σ [ C(n, k) * B_k * B_{n-k} ] for n为偶数，n≥2```其中，C(n, k)表示组合数。
根据这个定义，我们可以计算得到伯努利数的前几项如下：```B_0 = 1B_1 = -1/2B_2 = 1/6B_3 = 0B_4 = -1/30...```从这些数值可以看出，伯努利数的奇数项都为0，而偶数项则是一个具有特殊规律的分数序列。
伯努利数具有很多重要的性质，下面我们将介绍其中的一些。
1. 奇数项为0：根据伯努利数的定义，可以发现任何奇数项B_n都等于0。
这是因为伯努利数的定义中只涉及到偶数项的计算。
2. 递推关系：伯努利数的递推关系是其非常重要的性质之一。
根据定义，每个偶数项都可以通过前面的偶数项进行递推计算。
具体的计算方法是将所有的B_k * B_{n-k}相加，并且每项的系数是组合数C(n, k)的乘积。
通过这个递推关系，我们可以计算得到伯努利数的任意一项。
3. 奇数次幂和：伯努利数有一个有趣的性质，即任何一个奇数次幂的和都等于0。
这可以通过伯努利数的定义和奇数项为0的性质推导得到。
4. Zeta函数和伯努利数：伯努利数与Zeta函数有着密切的联系。
Zeta函数是一个在复数域上定义的函数，具有一些重要的性质和应用。
伯努利数B_n可以通过Zeta函数的特殊值进行表示，其中奇数项为0，偶数项具有一个较为简单的形式。
二、伯努利数的求导公式我们知道，求导是微积分中的一个基本操作。
求自然数方幂和的一个简单公式
求自然数方幂和的一个简单公式自然数方幂和是指将自然数的各个不同次方相加的过程和结果。
当次方从1开始递增时，自然数方幂和就是自然数的一个简单公式。
要求的公式如下：S_n=(n*(n+1)*(2n+1))/6其中，S_n表示自然数方幂和的结果，n表示自然数的最大值。
为了更好地理解这个公式，我们可以通过数学归纳法来证明。
首先，当n=1时，公式右边的式子变为(1*(1+1)*(2*1+1))/6=1、这正是自然数1的方幂和。
接下来，假设当n=k时，公式右边的式子成立，即S_k=(k*(k+1)*(2k+1))/6那么当n=k+1时，我们来证明：S_k+1=(k+1)*(k+2)*(2(k+1)+1)/6我们可以将S_k+1展开，得到：S_k+1=(k*(k+1)*(2k+1))/6+(k+1)*(k+2)*(2(k+1)+1)/6进一步简化这个式子：S_k+1=(k*(k+1)*(2k+1)+(k+1)*(k+2)*(2k+3))/6=(2k^3+9k^2+13k+6)/6=(k^3+4.5k^2+(6.5k+3))/6这正是自然数k+1的方幂和。
通过数学归纳法，我们证明了对于任意自然数n，公式S_n=(n*(n+1)*(2n+1))/6成立。
这个公式可以帮助我们轻松地计算自然数方幂的和。
例如，如果我们想计算自然数1到10的方幂和，只需要将n代入公式中即可：S_10=(10*(10+1)*(2*10+1))/6=(10*11*21)/6=385这意味着自然数1到10的方幂和为385此外，这个公式的时间复杂度是O(1)，因为无论n的大小如何，计算式子的代价都是相同的。
总结起来，自然数方幂和的简单公式是S_n=(n*(n+1)*(2n+1))/6，它可以帮助我们高效地计算任意自然数的方幂和。
构造模型求自然数的方幂和
我们构造如下的一个正三角形数塔 , 第一 个层 1 个 1 ,第 2 层 2 个 2 , 第 3 层 3 个 3 , …, 第 n 层 n 个 n , 旋转这个数塔得到另两个数塔 , 如 下图所示
(
n)
2
…2C
k22 k
S
k21
(
n)
]
可见 , 只要将 S1 ( n) , S2 ( n) , …, S k21 代入上
式就能求出 S k ( n) .
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n
∑ n( n + 1) k = S k ( n) + i[ ( i + 1) k2i k ] =
i =1
n
∑ S k ( n) +
i ( C0k
+ C1k i
+
C2k i 2
+
…+
Ck22 k
i
k22
+
i =1
Ck21 k
i
k21
)
n
∑ = S k ( n) +
( C0k i + C1k i 2 + C2k i 3 + … +
不妨让
k ≥1 , 令
nk
=
a Ck k n + k21
+
ak21
Ck21 n + k22
+
…+ a1 C1n .
用 比 较 系 数 法 可 以 唯 一 确 定 ai =
i
伯努利数的定义和性质
伯努利数的定义和性质伯努利数是数学中重要的一类数，它是一种特殊的实数序列。
伯努利数由瑞士数学家雅各布·伯努利发现，他首先研究了概率论，而后发现了这一类数。
伯努利数不仅在数学领域有着广泛的应用，也被应用于物理学、统计学等领域。
伯努利数的定义伯努利数是以瑞士数学家雅各布·伯努利的名字命名的，它是一种由整数组成的无穷序列。
伯努利数的定义如下：首先，令B0 = 1。
接下来，假设我们有一个关于x的幂级数表达式：$$\frac{x}{e^x - 1} = \sum_{n=0}^\infty \frac{B_n}{n!}x^n$$其中Bn是第n个伯努利数。
从上式可以看出，伯努利数是通过一个幂级数来定义的。
这个幂级数中含有一个无穷级数的和，以及每一项都包含一个系数Bn。
因此，伯努利数的定义是通过一个特定的函数来表示的。
伯努利数的性质伯努利数有很多重要的性质，下面我们来介绍一些最基本的性质。
1. 前几项的值伯努利数序列的前几项如下：B0 = 1, B1 = -1/2, B2 = 1/6, B3 = 0, B4 = -1/30, B5 = 0, B6 = 1/42, B7 = 0, B8 = -1/30, B9 = 0, B10 = 5/66, B11 = 0, B12 = -691/2730,B13 = 0, B14 = 7/6, B15 = 0, B16 = -3617/5102. 伯努利数的奇偶性伯努利数的序列中，如果n为偶数，则Bn是正数；如果n为奇数，则Bn是负数。
这个性质可以根据伯努利数的幂级数的表达式来导出。
3. 伯努利数的对称性伯努利数序列也有对称性，即B-n = (-1n-1)Bn。
这个性质可以通过幂级数的表达式直接推导出来。
4. 伯努利数与欧拉数的关系欧拉数是另一种数学上的序列，它与伯努利数有很紧密的关系。
具体来说，欧拉数可以通过伯努利数来定义：$$e^{tx} = \sum_{n=0}^\infty E_n(t) \frac{x^n}{n!}$$其中E0(t) = 1，En(t)是欧拉数。
自然数幂和公式伯努利数
自然数幂和公式伯努利数全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：自然数幂和公式伯努利数是数学中非常重要的两个概念。
自然数幂是指自然数的n次幂，例如2的3次幂就是8，3的4次幂就是81。
而公式伯努利数则是一系列重要的数学常数，可以用来表示一系列数学问题中的系数。
首先我们来谈谈自然数幂。
自然数幂是指一个自然数的n次方。
通常我们用符号a^n来表示，其中a是底数，n是指数。
2^3就是2的3次方，结果是8；3^4就是3的4次方，结果是81。
自然数幂在数学中有着广泛的应用，特别是在代数、几何等领域。
自然数幂有着一些重要的性质。
任何数的0次方都等于1，即a^0=1。
自然数的1次方等于自身，即a^1=a。
自然数幂有着乘法法则和幂的乘方法则，即a^m * a^n=a^(m+n)和(a^m)^n=a^(m*n)。
我们还可以通过一些公式来计算任意自然数的幂。
对于大数的幂，我们可以利用公式a^m * a^n=a^(m+n)来简化计算过程。
这样可以节省大量时间和精力，提高计算的效率。
对于负数的幂，我们可以利用公式a^(-n)=1/a^n来求解。
接下来我们来谈谈公式伯努利数。
公式伯努利数是一系列重要的数学常数，用来表示一系列数学问题中的系数。
它们最早由瑞士数学家雅各布·伯努利提出，并被广泛应用于数论、概率论等领域。
公式伯努利数有着一些重要的性质。
伯努利数是一种无理数，无限不循环小数。
伯努利数有着特定的计算公式，可以通过递推公式或其他数学方法来计算得到。
伯努利数还具有一定的加法、乘法等运算规律，可以用来解决一些复杂的数学问题。
公式伯努利数在数学中有着广泛的应用。
它们可以用来表示数列的和、解决递归关系等问题。
伯努利数还可以应用于概率统计、数论等领域。
自然数幂和公式伯努利数是数学中非常重要的概念，它们在数学研究和实践中具有重要的地位。
通过研究和探索这些概念，我们可以更深入地了解数学的本质，发现数学中的美和奥秘。
希望本文能对您有所帮助，谢谢阅读！第二篇示例：自然数幂是指大于等于1的整数，公式伯努利数是一种特殊的数列，它们之间有着密切的关系。
关于自然数方幂和的几个研究方向
和 的 内 涵 不 断 被 诠 释 。历 史 上 很 多
科 学 家 研 究 过 它 ： 高 斯 、 费 马 、牛
顿 、伯 努 利 ，以 及 许 多 如 我 这 般 的
无名小生。
利 用 初 等 数 学 知 识 ，我 们 能 比
较容易的算出低阶自然数方幂和
的表达式：
S (0) n
=
n
S (1) n
=
n(n + 1) 2
2
阶
，1
阶
，最
终
求
出
S (m) n
的
表
达
式
。
很 遗 憾 ， 到 目 前 为 止 没 有 做 到 ，可
能牛顿真的很聪明。
行 列 式 （ 系 数 三 角 形 ）：
申 明 ：网 上 有 一 种“ 系 数 三 角
形 ”的 方 法 ，据 说 是 一 个 初 中 生 找
出 来 的 。 文 献 要 钱 ， 我 没 看 到 。我
⎡
−
C1 m+1
⎢ ⎢
C2 m+1
− Cm1
0 ⎤ ⎡xm+1 ⎤ ⎡− 1⎤
⎥ ⎥
⎢ ⎢
xm
⎥ ⎥
⎢ ⎢
0
⎥ ⎥
⎢ ⎢
−
C3 m+1
⎢ ⋅⋅⋅
Cm2 ⋅⋅⋅
−
C1 m−1
⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅
⎥ ⎥ ⎥
⎢ ⎢ ⎢
xm−1 ⋅⋅⋅
⎥ ⎥ ⎥
=
⎢0⎥ ⎢⎢⋅ ⋅ ⋅⎥⎥
( ) ( ) ( ) ⎢⎣
−1
C k+1 k+1 m+1
此式可通过数学归纳式，如取求自然数立方和时，
什么是伯努利数，伯努利是如何发现的
什么是伯努利数，伯努利是如何发现的
这是连续自然数任意次幂之和的公式，S1时1次方下的求和，S2时2次方下的求和，S5是5次方下的求和
大数学家伯努利，凭借惊人的天赋，发现了一个统一的规律，首先红色区域所示
伯努利凭借惊人的洞察力发现了伯努利数
伯努利将其全部编号，这就是著名的伯努利数
伯努利结合帕斯卡三角
伯努利结合帕斯卡三角原理
发现任意次方的自然数之和可以用伯努利数表示出来
从第二列开始，用伯努利数填补空缺的位置
帕斯卡三角结合伯努利数，得到通用的连续自然数任意次幂之和的公式
最后就得到伯努利数形式的连续自然数任意次方之和的公式
这是伯努利书中的一页。
自然数方幂和的公式
自然数方幂和的公式1^k+2^k+3^k+...+n^k其中，n为任意一个自然数，k为自然数方幂的指数。
这个求和的问题也可以被称为幂和问题。
1.幂和问题的简单形式：k=1当指数k为1时，方程可以简化为：1+2+3+...+n根据高斯的求和公式，我们可以得出一个结论：1+2+3+...+n=(n*(n+1))/2这是我们最为熟悉的自然数求和公式。
2.幂和问题的一般形式：k>1当指数k大于1时，我们可以推导出自然数方幂和的公式。
为了解决这个问题，我们采取的主要方法是差值法。
具体步骤如下：第一步，求解差分表达式：D(n)=(n+1)^k-n^k第二步，对差分表达式进行求和：D(1)+D(2)+D(3)+...+D(n)=(n+1)^k-1-1^k+2^k-2^k+3^k-3^k+...+n^k-n^k经过我们的计算，我们可以得到以下结论：D(n)=(n+1)^k-n^k=(n^k+k*n^(k-1)+....+k*n+k)-(n^k)=k*n^(k-1)+....+k*n+k因此D(1)+D(2)+D(3)+...+D(n)=k*1^(k-1)+....+k*n+k整理得到D(1)+D(2)+D(3)+...+D(n)=k*(1^(k-1)+2^(k-1)+3^(k-1)+...+n^(k-1))+k*(1^(k-2)+2^(k-2)+3^(k-2)+...+n^(k-2))+....+k*(1+2+3+...+n)+k*(1)根据前面我们已经解决了k=1的情况，我们可以将该公式进一步化简为：D(1)+D(2)+D(3)+...+D(n)=k*(1^(k-1)+2^(k-1)+3^(k-1)+...+n^(k-1))+k*(1^(k-2)+...+n^(k-2))+....+k*((1+2+3+...+n)+1)D(1)+D(2)+D(3)+...+D(n)=k*(1^(k-1)+2^(k-1)+3^(k-1)+...+n^(k-1))+k*(1^(k-2)+...+n^(k-2))+....+k*((n*(n+1))/2+1)3.幂和问题的递推公式根据求和公式的推导过程，我们可以得到自然数方幂和的递推公式：S(n,k)=k*S(n,k-1)+k*S(n,k-2)+...+k*S(n,1)+(n*(n+1))/2+1其中，S(n,k)表示自然数方幂和的第n项，k为幂的指数。
自然数幂次方和公式
自然数幂次方和公式-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1自然数幂次方和的另一组公式摘要：一般的自然数幂次方和公式是用n 的p+1次方的多项式表示，考虑到任一多项式均可用k n C 表示，本文给出了自然数幂次方和用kn C 表示的方法，并且给出了相应的系数完整表达式。
这比多项式表达方便得多，因为多项式表达的系数至今仍是递推公式表达。
由笔者的文章（注【1】）知，自然数幂次方和可以用关于n 的多项式表达，而每一个多项式均可用kn C 表示的，因此可猜想自然数幂次方和也可以用knC 表达出来。
假设自然数幂次方和可以写成以下形式∑∑=++===pk k n k nk p n C A k S 1111。
（1）那么同理可应有：∑∑=++--=-==pk k n k n k p n C A k S 111)1(111那么：∑∑=+=++--=-=pk k n k p k k n k n n p C A C A S S n 111111 []∑∑==+++=-=pk k nk pk k nk n k pCA CCA n 11111∑==pk kn k p C A n 1因为对于充分大的自然数n 均使得上述式子成立，所以上式对应的应该是一个关于n 的p 次多项式，其中：)1).....(1(k n n n C k n -+-=这仅仅是一个多项式的写法，与排列组合无关, n 可为任意的数。
分别令n=1,2,3， 。
p-1时就有： 01111+=+==∑∑∑∑=+===tk kt k pt k ktk tk k tk pk k tk pC A C A C A C A t∑==tk kt k pC A t 1)1...3,2,1(-=p t 。
（2) ∑-=-=11t k k t k pt C A t A )1...3,2,1(-=p t。
（3）这是一个递推的数列，其中A 1=1 ， 很显然，通过它可以求出所有的系数t A ，仿照笔者的文章（注【1】）可证明，由（3）式求出的系数t A ，使得公式（1）成立，即自然数幂次方和的公式由（1）（3）给出了。
伯努利数——精选推荐
伯努利数⼀.伯努利公式伯努利数是⼀个⽤于解决n次⽅和的数列。
它的递归定义公式如下：\sum_{i=0}^n \binom {n+1} i B_i=[n=0] ~~~~~~~~ (1.1)通过这个定义可以得到伯努利数的前⼏项：1,-\frac{1}{2},\frac{1}{6},0...令S_m(n)=\sum_{i=0}^{n-1} i^m，伯努利通过找规律发现了伯努利公式：S_m(n)=\frac{1}{m+1} \sum_{i=0}^m \binom {m+1} i B_i n^{m+1-i} ~~~~~~~~ (1.2)《具体数学》上给出的证明如下：\begin{aligned} S_{m+1}(n)+n^{m+1}&=\sum_{i=0}^ni^{m+1}\\ &=\sum_{i=0}^{n-1} (i+1)^{m+1} \\ &=\sum_{i=0}^{n-1}\sum_{j=0}^{m+1} \binom {m+1}{j} i^j \\ &=\sum_{j=0}^{m+1}\binom {m+1}{j} \sum_{i=0}^{n-1} i^j \\&=\sum_{j=0}^{m+1}\binom {m+1}{j} S_j(n) & (1.3) \end{aligned}由(1.3)两边同时减去n^{m+1}得，S_{m+1}(n)=\sum_{j=0}^{m}\binom {m+1}{j} S_j(n) ~~~~~~~~ (1.4)设S'_ m(n)为(1.2)右式，\Delta=S_m(n)-S'_m(n)。
归纳证明S_m(n)=S'_m(n)：1.当m=0时成⽴。
2.设对于\forall i\in[0,m),S_i(n)=S'_ i(n), 由(3.4)得：\begin{aligned} n^{m+1}&=\sum_{j=0}^{m} \binom{m+1}{j} S'_ {j}(n)+ \binom{m+1}{m} \Delta & \text{(只有j=m时有差异)} \\&=\sum_{j=0}^{m} \binom{m+1}{j} \frac{1}{j+1} \sum_{k=0}^j \binom {j+1} k B_k n^{j+1-k} + (m+1) \Delta & \text{(化简代⼊)} \\ &=\sum_{j=0}^{m} \sum_{k=0}^j \binom{m+1}{j} \binom {j+1} k \frac{B_k}{j+1} n^{j+1-k} + (m+1) \Delta \\ &=\sum_{j=0}^{m} \sum_{k=0}^j \binom{m+1}{j} \binom {j+1} {j-k} \frac{B_{j-k}}{j+1} n^{k+1} + (m+1) \Delta & \text{(将k换为j-k)} \\&=\sum_{j=0}^{m} \sum_{k=0}^j \binom{m+1}{j} \binom {j+1} {k+1} \frac{B_{j-k}}{j+1} n^{k+1} + (m+1) \Delta & (\binom {n}{m} = \binom {n}{n-m}) \\ &=\sum_{k=0}^{m} \sum_{j=k}^{m} \binom{m+1}{j} \binom {j+1} {k+1} \frac{B_{j-k}}{j+1} n^{k+1} + (m+1) \Delta \\ &=\sum_{k=0}^{m} \sum_{j=k}^{m} \binom{m+1}{j} \binom {j} {k} * \frac{j+1}{k+1} * \frac{B_{j-k}}{j+1} n^{k+1} +(m+1) \Delta & (\binom{n+1}{m+1}=\binom{n}{m} \times \frac{n+1}{m+1}) \\ &=\sum_{k=0}^{m} \frac{n^{k+1}}{k+1}\sum_{j=k}^{m} \binom{m+1}{j} \binom {j} {k} B_{j-k} + (m+1) \Delta \\ &=\sum_{k=0}^{m} \frac{n^{k+1}}{k+1} \binom{m+1}{k} \sum_{j=k}^{m} \binom{m+1-k}{j-k} B_{j-k} + (m+1) \Delta \\ &=\sum_{k=0}^{m} \frac{n^{k+1}}{k+1} \binom{m+1}{k}\sum_{j=0}^{m-k} \binom{m+1-k}{j} B_{j} + (m+1) \Delta \\ &=\sum_{k=0}^{m} \frac{n^{k+1}}{k+1} \binom{m+1}{k} [m-k=0] + (m+1) \Delta & (\text{将(1.1)带⼊)} \\ &=\frac{n^{m+1}}{m+1} \binom{m+1}{m} + (m+1) \Delta \\ &=n^{m+1} + (m+1) \Delta \\\end{aligned}所以(m+1)\Delta=0 , ⼜m \ge 1 , 所以\Delta=0，证毕。
自然数次方和之间的关系
有關Bernoulli 多項式的其它相關性質詳見 參考資料。 利用上面的性質, 加上多項式恆等定理, 我們可將關係式 (∗) 改寫成下面形式:
x x
C (1 + 2 + . . . + n)2 = 13 + 23 + . . . + n3 那麼, 其它的次方和之間是否也有 類似的關係? 亦即, 是否還有其它 正整數 m、n、k 使下面的關係式:
x+1 BK (t)dt x
1 (Bn+1 (x) − Bn+1 (a)) n+1
C
i=1
im = (
i=1
in )k
(∗ )
對所有正整數 P 均成立? 其中 C 為一常數。」 本文將對此問題給出解答。 首 先, 我 們 要 介 紹 Bernoulli 多 項 式 Bk (x), 它由下式定義:
= xK 。
(3, 1, 2, 1) 外無其它解。 式 (∗) 還可推廣成下面的問題: 「是否存在正整數 m, k1 , k2 , . . . , kn 與 一正數 C 使下式成立:
M n M
上式中, 若 n = 1, 則 m = 3, 設有 n > 1, m ∈ N 使 (3) 式成立, 注意到因 0 必為 Bm+1 (x) − Bm+1 的 2 重根, 所以 n + 1 必
2t+2 2t+1 2t+1 2t
將定理 1、(6) 及 Bernoulli 多項式的一般表 達式代入 (3) 式, 則我們得到:
4p+1 i=0 2p
4p + 2 Bi x4p+2−i 2p + 1 Bj x2p+1−j j
自然数幂和公式伯努利数
自然数幂和公式伯努利数自然数幂和公式与伯努利数（Bernoulli numbers）之间有着紧密的联系。
伯努利数是一个在数学中经常出现的数列，其定义与自然数的幂和公式有关。
首先，我们来看自然数幂和的定义。
对于任意正整数(n) 和(k)，自然数幂和(S_k(n)) 定义为[ S_k(n) = \sum_{i=1}^{n} i^k ]即前(n) 个自然数的(k) 次幂的和。
伯努利数(B_n) 则是一个无穷数列，其定义与自然数幂和的生成函数有关。
伯努利数的生成函数(B(x)) 定义为[ B(x) = \frac{x}{e^x - 1} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{B_n}{n!} x^n ]其中(e^x) 是自然对数的底数(e) 的指数函数。
伯努利数与自然数幂和之间的关系可以通过以下公式体现：[ \sum_{i=1}^{n-1} i^k = \frac{1}{k+1} \sum_{j=0}^k \binom{k+1}{j} B_j n^{k+1-j} ]这个公式给出了自然数幂和的一个表达式，其中涉及到了伯努利数(B_j)。
这个公式在(k \geq 2) 时成立，对于(k = 1) 的情况需要特别处理，因为此时(B_1 = -\frac{1}{2}) 会导致分母为零。
伯努利数的前几项是：(B_0 = 1), (B_1 = -\frac{1}{2}), (B_2 = \frac{1}{6}), (B_3 = 0), (B_4 = -\frac{1}{30}), (B_5 = 0), (B_6 = \frac{1}{42}), (\ldots)。
可以看出，伯努利数的绝对值交替出现，且随着(n) 的增大而逐渐减小。
伯努利数在自然数幂和的计算中起到了关键的作用，它们提供了一种有效的方法来求解自然数幂和的问题。
同时，伯努利数也在其他数学领域，如数论、组合数学和微积分等中有着广泛的应用。
自然数幂和公式推导
]
(利用(12)式)
即当 = + 1时，原式也成立。
综合①、②知(16)式成立。
【自然数幂和的公式形式】
利用 可以把 写成
=∑
(−1)
(17)
在加之二项式定理( + ) = ∑
=
!
=
=∑
∑
!
[
∑
!
∑
( ≥ 1)，得
∑
(−1)
(−1)
∑
(−1)
546
4536
22449
67284
118124
9
45
870
9450
63273
269325
723680
10
55
1320
18150
157773
902055
3416930
11
66
1925
32670
357423
2637558
13339535
12
78
2717
55770
749463
6926634
44990231
(5)
= + +
(6)
【组合积和
】
设( + 1)( + 2)( + 3) ⋯ ( + ) = ∑
。其中 称为组合积和，可看作韦达定理的特例。
显然有
=
(7)
= !
(8)
=1
(9)
当 > 时，
=0
(10)
自然数方幂的和与Bernolli数
自然数方幂的和与Bernolli数
周铭
【期刊名称】《南昌水专学报》
【年(卷),期】1991(010)001
【摘要】本文证明了自然数的方幂和sum from1=1 to n(1/n)i^k是关于n的k+1次多项式,揭示了这个多项式的系数与Bernoulli数之间的关系.
【总页数】4页(P62-65)
【作者】周铭
【作者单位】无
【正文语种】中文
【中图分类】O171
【相关文献】
1.自然数方幂和中的Stirling数研究 [J], 李朝星
2.第二类Stirling数与多重自然数方幂和 [J], 李朝星
3.自然数方幂和的包含Bernoulli数的精确表示式 [J], 李朝星
4.自然数方幂和的包含Bernoulli数的精确表示式 [J], 李朝星;韩宇健
5.自然数方幂和的包含Bernoulli数的精确表示式 [J], 李朝星;韩宇健
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伯努利数（Bernoullinumber）
伯努利数（Bernoullinumber）设B0＝1，当k＞0时，定义这些B i(i＝0, 1,…, k)被称为伯努利数。
按定义，⾃然得出：B1＝－，B2＝，B3＝0，B4＝－，B5＝0，B6＝，B7＝0，B8＝－，…。
伯努利数是瑞⼠数学家雅各布·伯努利引⼊的数，出⾃于他的著作《猜度术》(1713)。
除了B1外，当k为奇数时，B k＝0；当k为偶数时，B2, B6, B10,…是正分数；B4, B8, B12,…是负分数。
雅各布·伯努利引⼊伯努利数的⽬的是解决所谓“等幂和”的问题：求S k(n)＝1k＋2k＋…＋n k对于 S1(n)＝1＋2＋3＋…＋n＝n(n＋1)S2(n)＝12＋22＋32＋…＋n2＝n(n＋1)(2n＋1)，S3(n)＝13＋23＋33＋…＋n3＝〔n(n＋1)〕2＝n4＋n3＋n2，S4(n)＝l4＋24＋34＋…＋n4＝n(n＋1)(2n＋1)(3n2＋3n－1)＝n5＋n4＋n3－n。
到17世纪，已求到了S17(n)，费马等⼈由此看出S k可⽤S k-1, S k-2,…的代数式表⽰出来。
⼀般地，当k为奇数时S k(n)＝n(n＋1)×(n的多项式)，当k为偶数时，S k(n)＝n(n＋1)(2n＋1)×(n的多项式)。
最后可证明S k(n)是n的k＋1次多项式S k(n)＝a1n＋a2n2＋…a k+1n k+1但是怎样求出这些系数a1, a2,…, a k+1呢？雅各布·伯努利求出了系数间的规律性，并且得出了系数的具体表⽰，其中的关键性数列B k被称为伯努利数，他给出了⼀个形式公式S k(n)＝，注意，这是的B k+1≡B k+1，不是⽅幂，⽽是⼀个形式记法。
按此得出（k＋1）S k(n)＝n k+1＋（）B1n k＋（）B2n k－1＋…＋（）B k n。
确定了伯努利数，就解决了等幂和的问题，还可以把伯努利数进⾏推⼴，如定义中的B n为伯努利数，其中| x |<2π。
伯努利数的递推公式
伯努利数的递推公式伯努利数是数学领域中一个挺有趣的概念，特别是它的递推公式。
咱们今天就来好好聊聊这个。
我记得有一次，我给学生们上数学课，讲到了伯努利数。
当时，有个小家伙一脸迷茫地看着我，问：“老师，这伯努利数到底是啥呀？”我笑了笑，跟他们说：“别着急，咱们慢慢了解。
”伯努利数是 18 世纪瑞士数学家雅各布·伯努利引入的一个数列。
要理解伯努利数的递推公式，咱们得先知道伯努利数通常用符号 Bn 表示。
伯努利数的递推公式看起来有点复杂，但咱们一点点拆解就不难理解啦。
它的递推公式是这样的：\[\begin{align*}\sum_{k=0}^n \binom{n + 1}{k} B_k &= 0, \quad n \geq 1\\B_0 &= 1\end{align*}\]这里面的“\(\binom{n + 1}{k}\)”是组合数，也就是从 \(n + 1\) 个不同元素中取出 \(k\) 个元素的组合数。
咱们来举个例子看看。
比如说，要计算 \(B_1\)，根据递推公式，\(\sum_{k=0}^1 \binom{1 + 1}{k} B_k = 0\)，也就是 \(2B_0 + B_1 = 0\)，因为 \(B_0 = 1\)，所以 \(2×1 + B_1 = 0\)，算出来 \(B_1 = -2\)。
再比如计算 \(B_2\)，\(\sum_{k=0}^2 \binom{2 + 1}{k} B_k = 0\)，也就是 \(3B_0 + 3B_1 + B_2 = 0\)，把 \(B_0 = 1\)，\(B_1 = -2\) 带进去，算出来 \(B_2 = \frac{1}{6}\)。
在学习伯努利数的递推公式过程中，同学们可能会觉得有点头疼，这很正常。
就像当初我自己学习的时候，也是琢磨了好久才弄明白。
咱们再深入一点，伯努利数在数学的很多领域都有重要应用。
比如在数论中，计算一些特定的求和问题；在组合数学里，能帮助我们解决一些排列组合的难题。
求自然数方幂和的一个简单公式
求自然数方幂和的一个简单公式讲解自然数方幂指的是当一个数n的幂p满足n,p∈N时，我们称n的p次方为自然数方幂。
自然数方幂的一般形式为n^p，其中n,p均是正整数，如25^3表示2的3次方乘以5的3次方。
自然数方幂的一般公式是虚数单位欧拉公式：一般情况下，虚数单位欧拉公式可以定义为：n^p = (1 + i)^p = 1 + pi + p(p-1)/2!i^2 + p(p-1)(p-2)/3!i^3 + … + i^p，其中1 + i = √-1，i 是虚数单位，p 是正整数，当p为自然数时，i^p的值为1，此时虚数单位欧拉公式可以表示为：n^p = 1 + pi + p(p-1)/2! + p(p-1)(p-2)/3! + … + 1，可以看到，虚数单位欧拉公式中，自然数方幂是一项十分特别的形式。
在求和化简过程中，系数1一直会存在，因此，自然数方幂的一个简单公式可以定义为：n^p = 1 + pi + p(p-1)/2! + p(p-1)(p-2)/3! + … + 1= (p + 1)*p/2= p*(p+1)/2 。
这里的简单公式可以用来计算任何自然数的幂的结果，不必搜索自然数的所有因子，或者进行指数计算，节约了时间和精力。
要注意的是，此公式只适用于求解正整数的幂，如果p为负整数，上述公式将无法使用。
此外，虚数单位欧拉公式也可以用来计算单位欧拉数的幂，其公式为：1 + i^p = (1 + i)^p，即虚数单位欧拉公式中，当p为负数时，i^p 的值并不等于 1，而是表示为 (-1)^p，以此类推，虚数单位公式也可以用于求解负整数的幂。
从上面简单公式可以看出，假如再除以常数， n^p 就是一个二次多项式，因此可以直接求解出n^p的值，此外，假如扩展到曲线，可以用多项式的方法研究曲线的性质。
总的来说，自然数方幂的简单公式可以节省计算时间，加快求解速度，并用于求解多项式和曲线的性质。
它无疑给我们学习数学带来了极大的便利。
个人整理方幂和公式（∑i^k公式）
个⼈整理⽅幂和公式（∑i^k公式）有个Oier⼩学妹问了我⼀个Σi^k，i<=1e8 ,k<=1e6的问题，我认为这个⽤伯努利数列可能可以解决他的问题，所以整理了以下⽂章，给学弟学习学习~~~本⼈⽔平有限，也只能帮到这⾥了吧QAQ~~~下⾯进⼊正⽂：计算∑{i=1,n}i^k的值需要引⼊伯努利数列的概念定义将(B-1)^k展开，然后将B^k写成数列的第k项，即B(k)当k>=2时，令(B-1)^k展开后的形式（将B^k写成B(k)）与B(k)相等（便于记忆相当于，令(B-1)^k=B^k，然后将B^k写成B(k)求出各个项的值）即可得出伯努利数列（即伯努利数）例如计算B(1)令(B-1)^2=B^2B^2-2B+1=B^2将B^k写成数列的第k项，即B(k)有B(2)-2B(1)+1=B(2)则B(1)=0.5同理，若计算B(2)令(B-1)^3=B^3有B^3-3B^2+3B-1=B^3将B^k写成数列的第k项有B(3)-3B(2)+3B(1)-1=B(3)B(2)=[3B(1)-1]/3即B(2)=1/6由此可算出数列的任意⼀项定义B(0)=1由上⾯所述：(x+B)^(k+1)=∑{i=0, k+1}C{i,k+1}B^i*x^(k+1-i)=x^(k+1)+C{1,k+1}Bx^k+∑{i=2,k+1}C{i,k+1}*B^i*x^(k+1-i)=x^(k+1)+0.5C{1,k+1}x^k+∑{i=2,k+1}C{i,k+1}*B^i*x^(k+1-i)⼜(x+B-1)^(k+1)=∑{i=0, k+1}C{i,k+1}(B-1)^i*x^(k+1-i)=x^(k+1)+C{1,k+1}(B-1)x^k+∑{i=2,k+1}C{i,k+1}*(B-1)^i*x^(k+1-i)=x^(k+1)-0.5C{1,k+1}x^k+∑{i=2,k+1}C{i,k+1}*(B-1)^i*x^(k+1-i)因为B(k)是伯努利数列有(B-1)^i=B^i即(x+B-1)^(k+1)=x^(k+1)-0.5C{1,k+1}x^k+∑{i=2,k+1}C{i,k+1}*B^i*x^(k+1-i)所以(x+B)^(k+1)-(x+B-1)^(k+1)=(k+1)x^k令x=1，2，3，…，i，…，n有(1+B)^(k+1)-B^(k+1)=(k+1)(2+B)^(k+1)-(1+B)^(k+1)=(k+1)*2^k(3+B)^(k+1)-(2+B)^(k+1)=(k+1)*3^k……(i+B)^(k+1)-(i-1+B)^(k+1)=(k+1)*i^k……(n+B)^(k+1)-(n-1+B)^(k+1)=(k+1)*n^k由上式求和，得：(n+B)^(k+1)-B^(k+1)=(k+1)∑{i=1,n}i^k即∑{i=1,n}i^k=[(n+B)^(k+1)-B^(k+1)]/(k+1)注意：这⾥的(n+B)^(k+1)并不代表(n+B)的k+1次幂⽽是指的展开后将B^k写成伯努利数列的第k项就像前⾯说的⼀样。
伯努利是如何将自然数任意次幂之和系统化的？
伯努利是如何将自然数任意次幂之和系统化的？
上一篇我们知道了连续自然数任意次幂之和的公式，
在此基础上伯努利发现了伯努利数，将看似毫无无关联的数值，用帕斯卡三角将其联系了起来
伯努利将其连续自然数任意次幂，全部系统规律化，如下，括号内的系数都是杨辉三角或怕死看三角
如果建设上述的结果都是1
就得到如下结果
写成矩阵的形式，很明显一步到位，非常漂亮
而上述的逆矩阵就是伯努利数
于是得到整齐完美的矩阵样式。