数学建模中的初等模型

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数学建模培训讲义-建模概论与初等模型

模型建立建立t与n的函数关系有多种方法:
1. 右轮盘转过第 i 圈的半径为r+wi, m圈的总长度等于录象带在时间t内移动的长度vt, 所以
m kn
模型建立
2. 考察右轮盘面积的变化,等于录象带厚度 3. 考察t到t+dt录象带在乘以转过的长度,即右轮盘缠绕的长度,有
[(r wkn)2 r 2 ] wvt (r wkn)2kdn vdt
• 亲自动手，认真作几个实际题目
数学建模的论文结构
1、摘要——问题、模型、方法、结果
2、问题重述
3、模型假设
4、分析与建立模型
5、模型求解
6、模型检验
7、模型推广
8、参考文献
9、附录
谢谢！
二、初等模型
例1 哥尼斯堡七桥问题
符号表示“一笔画问题”(抽象分析法) 游戏问题图论(创始人欧拉) 完美的回答连通图中至多两结点的度数为奇
3. 对于椅脚的间距和椅腿的长度而言，地面是相对平坦的，
使椅子的任何位置至少有三只脚同时着地。
A
y A
椅脚连线为正方形ABCD(如右图).
模型
t ——椅子绕中心点O旋转角度
构 f(t)——A,C两脚与地面距离之和 D
B
t
x
成 g(t)——B,D两脚与地面距离之和
O
B
f(t), g(t) 0
D
C
模型构成由假设1，f和g都是连续函数 A
实际上, 由于测试有误差, 最好用足够多的数据作拟合。
若现有一批测试数据：
t 0 20 40 60 n 0000 1153 2045 2800 t 100 120 140 160 n 4068 4621 5135 5619

数学建模实验报告

湖南城市学院数学与计算科学学院《数学建模》实验报告专业：学号：姓名：指导教师：成绩：年月日实验一初等模型实验目的：掌握数学建模的基本步骤，会用初等数学知识分析和解决实际问题。

实验内容：A 、B 两题选作一题，撰写实验报告，包括问题分析、模型假设、模型构建、模型求解和结果分析与解释五个步骤。

A 题飞机的降落曲线在研究飞机的自动着陆系统时，技术人员需要分析飞机的降落曲线。

根据经验，一架水平飞行的飞机，其降落曲线是一条S 形曲线。

如下图所示，已知飞机的飞行高度为h ，飞机的着陆点为原点O ，且在整个降落过程中，飞机的水平速度始终保持为常数u 。

出于安全考虑，飞机垂直加速度的最大绝对值不得超过g ／10，此处g 是重力加速度。

（1）若飞机从0x x 处开始下降，试确定出飞机的降落曲线；（2）求开始下降点0x 所能允许的最小值。

B 题铅球的投掷问题众所周知，铅球的投掷运动是运动员单手托住7.264kg(16磅)重的铅球在直径为2.135m 的投掷圆内将铅球掷出并且使铅球落入开角为45o 的有效扇形区域内。

以铅球的落地点与投掷圆间的距离度量铅球投掷的远度，并以铅球投掷远度的大小评定运动员的成绩。

在铅球的训练和比赛中，铅球投掷距离的远与近是人们最关心的问题。

而对于教练和运动员最为关心的问题是如何使铅球掷得最远。

影响铅球投掷远度的因素有哪些？建立一个数学模型，将预测的投掷距离表示为初始速度和出手角度的函数。

最优的出手角度是什么？如果在采用你所建议的出手角度时，该运动员不能使初始速度达到最大，那么他应该更关心出手角度还是出手速度？应该怎样折中？哪些是影响远度的主要因素？在平时训练中，应该更注意哪些方面的训练？试通过组建数学模型对上述问题进行分析，给教练和运动员以理论指导。

参考数据资料如下：实验报告：一、问题分析在研究飞机下落过程中，需要分析飞机下降的降落曲线，根据经验应该是一条五次多项式。

以降落点为原点O建立直角坐标系。

数学建模第二章初等模型

第二章初等模型如果研究对象的机理比较简单，一般用静态、线性、确定性模型描述就能达到建模的目的时，我们基本上可以用初等数学的方法来构造和求解模型。

通过下面的几个实例我们能够看到，用很简单的数学方法就可以解决一些有趣的实际问题。

需要强调的是，衡量一个模型的优劣完全在于它的应用效果，而不是它看它采用了多么高深的数学方法。

进一步说，对于某个实际问题我们如果能够用初等方法和所谓的高等方法建立了两个模型，而它们的应用效果相差无几的话，那么受人们欢迎并采用的，一定是前者而非后者。

§2.1公平的席位分配设有A 、B 两个单位，各有人数1p 、2p 个，现在要求按人数选出q 个代表召开一次代表会议。

那么怎样分配这q 个席位呢？一般的方法是令：q p p p q 211*1+= q p p p q 212*2+= （2.1）若*1q ，*2q 恰好是两个整数，就以*1q ，*2q 分别作为A ，B 两个单位的席位数，即可以获得一个完全合理的分配方案。

当*1q ，*2q 不是两个整数时，那么怎样分配才合理呢？下面我们就来讨论这个问题。

首先给出一种自然的想法，也就是通常所执行的方法。

即由（2.1）式计算出的*1q ，*2q ，用][*i i q q =表示*i q 的整数部分。

当*1q －1q ＞*2q －2q 时，则用1q ＋1与2q 分别作为A ，B 两个单位的席位数；当*2q －2q ＞*1q －1q 时，则用1q 与2q ＋1分别作为A ，B 两个单位的席位数；而当*2q －2q ＝*1q －1q 时，就只能由A ，B 两个单位协商来确定那多余的一个席位了。

这个方法的优点是简单、方便，并被很多人所接受，同时也容易推广到m （m ＞2）个单位的席位分配问题。

但是这个分配方案是存在弊病的，它有明显的不合理性。

例1 某学校有3个系共200名学生，其中甲系100名，乙系60名，丙系40名。

若学生代表会议设20个席位，公平而又简单的席位分配办法是按学生人数的比例分配，显然甲乙丙三系分别应占有10、6、4个席位。

数学建模初等模型

数学建模初等模型
数学建模是将现实世界的问题抽象化为数学模型，并利用数学方法和技巧来分析和解决这些问题的过程。

在数学建模中，初等模型是指使用基本的数学概念和方法来描述和解决问题的模型。

常见的初等模型包括线性模型、指数模型、对数模型、多项式模型等。

线性模型是最简单的初等模型之一，它假设变量之间的关系是线性的，可以用直线来表示。

指数模型描述的是变量之间的指数关系，对数模型则描述的是变量之间的对数关系。

多项式模型可以用多项式函数来描述变量之间的关系。

使用初等模型进行数学建模时，我们需要确定问题中的关键变量和它们之间的关系，然后建立数学方程或函数来表示这些关系。

通过对这些方程或函数进行求解和分析，我们可以得到问题的解答或结论。

初等模型的优点是简单易懂，容易理解和应用。

它适用于一些简单的实际问题，例如人口增长、物体运动、投资收益等。

但初等模型也有一些限制，它对问题的描述和解决方法有一定的限制性，不能很好地处理复杂的问题。

总之，初等模型是数学建模中的一种简单模型，通过使用基本的数学
概念和方法来描述和解决问题。

它易于理解和应用，适用于一些简单的实际问题。

但在处理复杂问题时，可能需要借助更高级的数学模型和技巧来进行建模和分析。

数学建模初等模型ppt课件

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21
理学院
xx
2.5 经济问题中的初等模型
设产品产量为q,产品价格为p,固定成本c0，可变成本为c1.
（1）总成本函数： c cq c0 c1q
（2）供给函数：
Qs f p
（3）需求函数：
Q0 gp
（4）价格函数：
p f 1Q0 pq
证明：存在0，使f(0) = g(0) = 0.
理学院 6
xx
模型求解
给出一种简单、粗糙的证明方法
将椅子旋转900，对角线AC和BD互换。由g(0)=0， f(0) > 0 ，知f(/2)=0 , g(/2)>0.
令h()= f()–g(), 则h(0)>0和h(/2)<0.
由 f, g的连续性知 h为连续函数, 据连续函数的基本性
理学院 22
xx
（5）收益函数：
R Rq qpq
（6）利润函数： Lq Rq Cq
（7）边际成本函数：
Cm C'q
（8）边际收益函数：
Rm R'q
（9）边际利润函数： Lm R'q C'q Rm Cm
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理学院
xx
Q(t)=-t3+9t2+12t
个晶体管收音机。
问：在早上几点钟这个工工作人效的率工最作高效，率即最生高产？率最大，此题中，工人在t时刻的生产率
解：工人的生产率为为Q’(产Rt)量t，Q则关Q问于' 题t时转间化t的3为t 2变求化Q1’8率(tt：)的12
R't Q''最t大值6t 18 0

数学建模之初等模型

工作路面长度：
S (t )
令v(t)=0解得

S (0)

t
0
v(t)dt

20t 3

rt 2 30
tend 100 / r
为无法工作的时刻。此时路面工作长度
S(tend ) S(0)
tend v(t)dt 20tend
0
3
rte2nd 30
1000 3r
问题1：下雪在一小时内速度不变是不合情理的，修改这一假设。

tn
)
tn )2 2 v (t

tn
)
给定路面宽度，即可得到可以穿过十字路口的车辆数。
思考题
（1）分析绿灯亮的时间长度与穿过车辆数之间的关系。（2) 如果给出以下四个路口的绿灯亮时的车辆通过数，
t
30
30
40
45
n
13
14
52
58
如何评价你的模型？
（3）如果只有红绿灯，则绿灯转红灯时，部分车辆在路上没有穿过十字路口。为了解决这一问题，我们把绿灯时间的一部分变为黄灯。建模描述黄灯的时间长度。
给出以下数据：（1）铲雪机开始工作时，雪还要下1小时；（2）降雪速度可能随时间变化，最大时积雪的增加量达0.1cm/s。（3）积雪厚度达1.5m时铲雪机将无法工作。（4）铲雪机在无雪的路面行驶速度为10m/s。
问题分析和建模
这个问题的解决需要找出两个关系：
（1）铲雪机的工作速度与积雪厚度的关系；（2）降雪引起的积雪厚度与时间的关系。由于这些关系没有明确给出，而建模要从简单的情况入手，因此先做以下模型假设：
模型的描述：

概率论与数理统计在数学建模中的应用

概率论与数理统计在数学建模中的应用概率论与数理统计在数学建模中的应用——国冰。

第一节概率模型一、初等概率模型初等概率模型主要介绍了可靠性模型、传染病流行估计、常染色体遗传模型等三类问题：1、复合系统工作的可靠性问题的数学模型设某种机器的工作系统由N 个部件组成，各部件之间是串联的，即只要有一个部件失灵，整个系统就不能正常工作．为了提高系统的可靠性，在每个部件上都装有主要元件的备用件及自动投入装置(即当所使用元件损坏时，备用元件可自动替代之而开始工作)明显地，备用件越多，整个系统正常工作的可靠性就越大. 但是，备用件过多势必导至整个系统的成本、重量和体积相应增大，工作精度也会降低. 因此，配置的最优化问题便被提出来了：在某些限制性条件之下，如何确定各部件的备用件数量，使整个系统的工作可靠性最大? 这是一个整体系统的可靠性问题.我们假设第i 个部件上装有i x 个备用件(1,2,,)i N =,此时该部件正常工作的概率为()i p x ，那么整个系统正常工作的可靠度便可用1()ni i p p x ==∏ （9.1）来表示.又设第i 个部件上的每个备用件的费用为i C ，重量为i W ，并要求总费用不超过C ，总重量不超过W ，则问题的数学模型便写成为1max ()ni i p p x ==∏合理的决策必须具备三个条件：（1）目标合理；（2）决策结果满足预定目标的要求；（3）决策本身符合效率、满意、有限合理、经济性的原则。

所谓风险型决策是指在作出决策时，往往有某些随机性的因素影响，而决策者对于这些因素的了解不足，但是对各种因素发生的概率已知或者可估算出来，因此这种决策存在一定的风险.①风险决策模型的基本要素决策者——进行决策的个人、委员会或某个组织.在问题比较重大和严肃时，通常应以后者形式出现.方案或策略——参谋人员为决策者提供的各种可行计划和谋略. 如渔民要决定出海打鱼与否便是两个方案或称两个策略.准则——衡量所选方案正确性的标准.作为风险型决策，采用的比较多的准则是期望效益值准则，也即根据每个方案的数学期望值作出判断.对收益讲，期望效益值越大的方案越好；反之对于损失来讲，期望效益值越小的方案越好.事件或状态——不为决策者可控制的客观存在的且将发生的自然状态称为状态(事件)，如下小雨，下大雨和下暴雨即为三个事件或称三种状态，均为人所不可控因素.结果——某事件(状态)发生带来的收益或损失值.②风险决策方法•利用树形图法表示决策过程具有直观简便的特点，将其称为决策树的方法.•充分利用灵敏度分析(即优化后分析)方法对决策结果作进一步的推广和分析.决策树一般都是自上而下的来生成的。

数学建模例题[1]

数学建模习题指导第一章初等模型讨论与思考讨论题1 大小包装问题在超市购物时你注重到大包装商品比小包装商品便宜这种现象吗？比如洁银牙膏50g 装的每支1.50元，120g 装的每支3.00元，二者单位重量的价格比是1.2:1，试用比例方法构造模型解释这种现象。

（1）分析商品价格C 与商品重量w 的关系。

（2）给出单位重量价格c 与w 的关系，并解释其实际意义。

提示：决定商品价格的主要因素：生产成本、包装成本、其他成本。

单价随重量增加而减少单价的减少随重量增加逐渐降低思考题2 划艇比赛的成绩赛艇是一种靠浆手划桨前进的小船，分单人艇、双人艇、四人艇、八人艇四种。

各种艇虽大小不同，但形状相似。

T .A .M c M a h o n 比较了各种赛艇1964—1970年四次2000m 比赛的最好成绩(包括1964年和1968年两次奥运会和两次世界锦标赛)，见下表。

建立数学模型解释比赛成绩与浆手数量之间的关系。

329434w w c γβ+=''-各种艇的比赛成绩与规格第二章线性代数模型森林管理问题森林中的树木每年都要有一批砍伐出售。

为了使这片森林不被耗尽且每年都有所收获，每当砍伐一棵树时，应该就地补种一棵幼苗，使森林树木的总数保持不变。

被出售的树木，其价值取决于树木的高度。

开始时森林中的树木有着不同的高度。

我们希望能找到一个方案，在维持收获的前提下，如何砍伐树木，才能使被砍伐的树木获得最大的经济价值。

思考：试解释为什么模型中求解得到的为每周平均销售量会略小于模型假设中给出的1。

练习：857.0 nR将钢琴销售的存贮策略修改为：当周末库存量为0或1时订购，使下周初的库存达到3架；否则，不订购。

建立马氏链模型，计算稳态下失去销售机会的概率和每周的平均销售量。

2.将钢琴销售的存贮策略修改为：当周末库存量为0时订购本周销售量加2架；否则，不订购。

建立马氏链模型，计算稳态下失去销售机会的概率和每周的平均销售量。

数学建模-初等模型讲义

123
2083.3
1341.8
3425.2 256250.0 250365.4
237
2083.3
45.5
2128.8 493750.0 328794.3
238
2083.3
34.1
2117.4 495833.3 328828.5
239
2083.3
240
2083.3
22.7
2106.1 497916.7 328851.2
9
7
9
11.3
4
8.5
21
21 21
ai比惯例分配的要小
第21席应该分配乙系, 标准1的分配方案：10, 7, 4.
可用列表方法解决标准1(类似可解决标准2与3) 计算 ni 成表, k 1,2, k
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 甲 103 51.5 34.3 25.8 20.6 17.2 14.7 12.9 11.4 10.3 9.4 乙 63 31.5 21.0 15.8 12.6 10.5 9.0 7.9 7.0 6.3 5.7 丙 34 17.0 11.3 8.5 6.8 5.7 4.9 4.3 3.8 3.4 3.1
2. 按揭还款
用房产在银行办理的贷款, 该贷款要按照银行规
定的利率支付利息。贷款形式
商业贷款和公积金贷款. 还款形式
等额本息和等额本金.
如贷款50万, 分20年还清, 年利率r , 问月供是多少？
调整日期
2015.08.26 2015.06.28 2015.05.11 2015.03.01 2014.11.22 2012.07.07 2012.06.09 2011.07.07 2011.04.06 2011.02.09 2010.12.26 2010.10.20 2008.12.23

数学建模_初等模型

模型1：谁将是胜利者
1805年，英国和法国进行了一场惨烈的海战。其中，尼尔森担任英国统帅，他的对手则是大名鼎鼎的拿破仑。尼尔森的舰队有27艘战舰，而拿破仑的舰队却有33艘战舰。根据以往的战争经验，若两军相遇，一方损失兵力大约是对方兵力的10％。如果按照这一公式计算，显然人多势众的法军将获胜，而且在第11次遭遇战中全歼英军，如表所示。
(k3 ∈ R+ ) (k4 ∈ R+ )
⎧⎨⎩TOnn++11
= On + ΔOn = Tn + ΔTn =

= (1 (1 +
+ k1)On k2 )Tn −
− k3OnTn k4OnTn
现在，取k1=0.2、 k2=0.3、 k3=0.001、 k4=0.002，解得平衡点（O，T）=（150，200）或（0，0）【舍去】
在什么情况下双方的核军备精神才不会无限扩张而存在暂时的平衡状态，处于这种平衡状态下双方拥有最少的核武器数量是多大，这个数量受哪些因素影响，当一方采取诸如加强防御、提高武器精度、发展多弹头导弹等措施时，平衡状态会发生什么变化？
最后英军战胜了法军，而且双方伤亡情况与历史事实也很相近。当年，英军在战役A和战役B中战胜法军，但法军没有增援C，而是选择了撤退，大约有13艘战舰退回法国海港。
点评：数学建模以解决某现实问题为目的，从问题中抽象并归结出来的数学问题。从现象到模型，数学建模必须反映现实，既然是一种模型，它就不是现实问题的全部复制，常常会忽略一些次要因素，作一些必要的简化，但本质上必须反映现实问题的数量规律。
斑点猫头鹰
老鹰天数老鹰斑点猫头鹰天数
情况4：老鹰仍然成为胜利者，斑点猫头鹰最后还是灭绝了。与数量前面三种情况相比，两个种群的初始数量相同，可以说是站在同一条起跑线上。但是，老鹰种群以绝对的优势赢得胜利，而斑点 10 猫头鹰种群惨遭灭绝。

数学建模之初等模型

设该物品的某特征尺度为 L ，则
2 3 ⇒ s ∝ w 3 3 w ∝ v, v ∝ l ⇒ w ∝ l
s∝l
2
1 生产成本 ∝ w 包装成本 ∝ w 则由（） 1 C =αw+ βw
2 3
2
3
+γ
(α , β , γ > 0)
C −1 2 单位重量价格：c = = α + β w 3 + γ w −1 w
1 0
f(h)
1 1 + 8l / d
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 h 考虑到美观和使用上的方便，h不必取得过大，例如，可取h=3，即l=3d，此时房屋热量的损失不超过单层玻璃窗时的 3% 。
§2.3 崖高的估算
假如你站在崖顶且身上带着一只具有跑表功能的计算器，你也许会出于好奇心想用扔下一块石头听回声的方法来估计山崖的高度，假定你能准确地测定时间，你又怎样来推算山崖的高度呢，请你分析一下这一问题。
系别学生比例比例加惯例甲乙丙 103 51.5 63 34 31.5 17.0 100.0
20席的分配结果 10 6 4 20 10.3 6.3 3.4 20.0
21席的分配
人数（ %）比例
总和 200
对比例结果丙 10.815 11 系 6.615 7 公平 3.570 3 吗 21.000 21
机理简单，一般采用静态、线性、确定性模型描述
§2.1 舰艇的会合
某航空母舰派其护卫舰去搜寻其跳伞的飞行员，护卫舰找到飞行员后，航母通知它尽快返回与其汇合并通报了航母当前的航速与方向，问护卫舰应怎样航行，才能与航母汇合。

录像机计数器的用途—数学建模初等模型的应用

vt
i 1
m kn
t
wk
v
2
2rk n n v
2
模型建立 2. 考察右轮盘面积的变化，等于录像带厚度乘以转过的长度，即
2 2
3. 考察t到t+dt录像带在右轮盘缠绕的长度，有
[(r wkn) r ] wvt (r wkn)2kdn vdt
t
wk
v

2
2rk n n v
2

思考
m i 1
3种建模方法得到同一结果
2 (r wi ) vt
[(r wkn) r ] wvt
2 2
t
wk
v
2
(r wkn)2kdn vdt
2rk n n v
2
但仔细推算会发现稍有差别，请解释。
思考
• 录像带厚度（加两圈间空隙）为常数 • 空右轮盘半径记作 • 时间
r；
t=0 时读数 n=0 .
建立时间t与读数n之间的关系（设v,k,w ,r为已知参数）
建模目的
模型建立
建立t与n的函数关系有多种方法 1. 右轮盘转第 i 圈的半径为r+wi, m圈的总长度等于录像带在时间t内移动的长度vt, 所以
现有一批测试数据：用最小二乘法可得
t 0 20 40 n 0000 1141 2019 t 100 120 140 n 4004 4545 5051
60 2760 160 5525
80 3413 184 6061
a 2.61 10 , b 1.45 10 .
2
6
模型检验
应该另外测试一批数据检验模型：

数学建模第一章初等模型

2 2
型. 由此模型可解决这两个问题.
2V0
⑴炮弹发射后落地时纵坐标 y
2
0,
2
即

kx l (k 1) x , ( x 0), k x . 2 l (k 1)
dx 1 1 k 0 k 1. 2 2 dk l (k 1) k 1为函数的极大值点, 即最佳角度满足
第一章初等模型
在这一章中, 我们介绍几个初等模型及相应的求解方法. 所谓初等模型, 指的是该模型并不涉及高深的数学问题,
用常用的数学工具即可求解此类问题.
一、微积分方法寻找最优点
问题一
铁路线上 AB 段的距离为100km, 工厂C 距 A 处
20km, 并且 AC AB.（见下图）为了运输需要, 要在 AB上选定一点 D, 向工厂修筑一条公路. 已知铁路每公里货运的运费与公路每公里货运的运费之比为3: 5, 问D 点
⑼
该方法就称为最小二乘法.
最小二乘法的几何意义
y
y ax b
O
x
进一步地, 若所求曲线为以多项式时, 则也有相应的方程.
曲线拟合关系中的方程⑼常称为法式方程.
利用软件MatLab，可以简单地得到拟合多项式中的各项系数. MatLab中曲线拟合命令是 polyfit.
基本格式 polyfit
应选在何处? 建模设 AD xkm, 则
A x D B
DB 100 x,
20km
C
CD 400 x 2 .
再设铁路上货运的运费为 3k / km, 公路上货运的运费为
5k / km, 从 B 到 C 的总运费为 y, 则
y 5k CD 3k DB

初等模型-数学模型

几何模型
01
02
03
平面几何
平面几何是几何模型的基础，通过点、线、面等基本元素描述实际问题，如三角形、四边形、圆等。
立体几何
立体几何是描述三维空间中物体形状和位置关系的数学模型，如长方体、球体、圆柱体等。
解析几何
解析几何是将几何问题转化为代数问题的数学模型，通过代数方法解决几何问题。
提高数学模学模型具有强大的预测和决策支持功能，可以提高决策的科学性和准确性。通过数学模型的建立和应用，可以解决实际问题，推动科学技术和社会经济的发展。
影响力
加强数学模型的宣传和推广，提高其在社会、经济、科技等领域的认知度和影响力。同时，加强国际交流与合作，推动数学模型在全球范围内的应用和发展。
感谢观看
THANKS
通过数学模型可以模拟物种进化过程，解释生物多样性的起源和演化。
在商业决策中的应用
市场预测
通过分析历史数据和市场趋势，可以建立一个数学模型来预测未
来的市场需求和销售情况。
投资决策
利用数学模型评估投资组合的风险和回报，帮助投资者做出明智
的投资决策。
供应链管理
通过数学模型优化库存管理、物流和运输，降低成本并提高效率。
01
02
03
04
解析法
通过数学公式推导求解，适用于有解析解的简单问题。
数值法
通过数值计算求解，适用于大多数实际问题。
近似法
通过近似计算求解，适用于难以精确求解的问题。
模拟法
通过模拟实验求解，适用于难以建立数学模型的问题。
数学模型的验证与优化
模型验证
通过对比模型的预测结果与实际数据进行验证，确保模型的准确性。

数学建模中的初等模型

y0= s2(x–y)+ s(2y– x )
y y0 1 s x s(2 s) 2 s
y0=s2y
y=y0/s2
分析模型 x<y, y= y0+(1-s)x
x=y, y=y0/s
x=a y,
y
y0 sa
y0 sx/ y
y
x=y
x=2y
y<x<2y, y y0 1 s x s(2 s) 2 s
初等模型
• 研究对象的机理比较简单 • 用静态、线性、确定性模型即可达到建模目的可以利用初等数学方法来构造和求解模型如果用初等和高等的方法建立的模型，其应用效果差不多，那么初等模型更高明，也更受欢迎.
尽量采用简单的数学工具来建模
1. 双层玻璃窗的功效
室
室
问双层玻璃窗与同样多材料的单层
内 T1
平衡点PP´
xm xm , ym ym
y
y0 y=f(x)
0
x0
P(xm , ym )
P(xm,ym) x=g(y)
x
甲方的被动防御也会使双方军备竞赛升级.
模型解释
• 甲方将固定核导弹基地改进为可移动发射架.
乙安全线y=f(x)不变 y
甲方残存率变大
威慑值x 0不变
x减小，甲安全线
y0
x=g(y)向y轴靠近
x=2y, y=y0/s2 y0~威慑值 s~残存率
利用微积分知识可知 y是一条上凸的曲线，且
y=f(x)
y0 0
• y0变大，曲线上移、变陡. • s变大，y减小，曲线变平.
x
模型解释
• 甲方增加经费保护及疏散工业、交通中心等目标.
乙方威慑值 y0变大（其他因素不变）乙安全线 y=f(x)上移

实物交换、核军备竞赛—数学建模初等模型的应用

乙安全线
y0 0 x
y1 y0 0
y=f ( x)
y0 y f ( x) y0 x
x0
P(xm,ym)甲安 x=g(y) 全区 x1 x
P~平衡点(双方最少导弹数)
精细模型
x<y x=y
乙方残存率 s ~甲方一枚导弹攻击乙方一个基地，基地未被摧毁的概率。甲方以 x攻击乙方 y个基地中的 x个, sx个基地未摧毁，y–x个基地未攻击。 y0=sx+y–x y0=sy y= y0+(1-s)x
xm , ym ym xm
0
x0
x
甲方的被动防御也会使双方军备竞赛升级。
模型解释
• 甲方将固定核导弹基地改进为可移动发射架乙安全线y=f(x)不变
y
, ym ) P( xm
甲方残存率变大
威慑值x 0和交换比不变 x减小，甲安全线 x=g(y)向y轴靠近 PP´
y0 0
P(xm,ym)
.
D
B
p
0
A
.
C
xo x
设X单价a, Y单价b, 则等价交换下ax+by=s (s=ax0=by0)
2.7
背景
核军备竞赛
• 冷战时期美苏声称为了保卫自己的安全，实行“核威慑战略”，核军备竞赛不断升级。 • 随着前苏联的解体和冷战的结束，双方通过了一系列的核裁军协议。 • 在什么情况下双方的核军备竞赛不会无限扩张，而存在暂时的平衡状态。 • 估计平衡状态下双方拥有的最少的核武器数量，这个数量受哪些因素影响。 • 当一方采取加强防御、提高武器精度、发展多弹头导弹等措施时，平衡状态会发生什么变化。
模型假设

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