七年级数学下册完全平方公式教案青岛版

12.2 完全平方公式

教学目标：完全平方公式的推导及其应用；完全平方公式的几何解释；视学生对算理的理解，有意识地培养学生的思维条理性和表达能力．

教学重点与难点：完全平方公式的推导过程、结构特点、几何解释，灵活应用.

教学过程：

一、提出问题，学生自学

问题：根据乘方的定义，我们知道：a 2=a•a ，那么(a+b)2 应该写成什么样的形式呢？(a+b)2的运算结果有什么规律？计算下列各式，你能发现什么规律？

（1）(p+1)2 = (p+1)(p+1) = _______； (m+2)2 = _______；

（2）(p −1)2 = (p −1)(p −1) = _______； (m −2)2 = _______；

学生讨论，教师归纳，得出结果：

(1) (p+1)2 = (p+1)(p+1) = p 2+2p+1

(m+2)2 = (m+2)(m+2) = m 2+ 4m+4

(2) (p −1)2 = (p −1)(p −1) = p 2−2p+1

(m −2)2 = (m −2)(m −2) = m 2− 4m+4

分析推广：结果中有两个数的平方和，而2p =2•p•1，4m=2•m•2，恰好是两个数乘积的二倍(1)(2)之间只差一个符号．

推广：计算(a+b)2 = __________；(a −b)2 = __________.

得到公式，分析公式

结论： (a+b)2=a 2+2ab+b 2 (a −b)2=a 2−2ab+b 2

即：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的2倍．

二、几何分析：

你能根据图(1)和图(2)的面积说明完全平方公式吗？

图(1)大正方形的边长为(a+b)，面积就是(a+b)2，同时，大正方形可以分成图中①②③④四个部分，它们分别的面积为a 2、ab 、ab 、b 2，因此，整个面积为a 2+ab+ab+b 2 = a 2+2ab+b 2，即说明(a+b)2 = a 2+2ab+b 2. 类似地可由图(2)说明(a −b)2 = a 2−2ab+b 2.

三、例题：

例1．应用完全平方公式计算：

(1)( 4m+n)2 (2)(y −

21)2 (3)(−a −b)2 (4)(b −a)2

解答：(1)( 4m+n)2 = 16m 2+8mn+n 2

(2) (y −21)2 = y 2−y+4

1 (3) (−a −b)

2 = a 2+2ab+b 2

(4) (b −a)2 = b 2−2ba+a 2

例2．运用完全平方公式计算：

(1)1022 (2)992

解答：(1)1022 = (100+2)2 = 10000+400+4 = 10404

(2)992 = (100−1)2 = 10000−200+1 = 9801

四、添括号法则在公式里的运用

问题：在运用公式的时候，有些时候我们需要把一个多项式看作一个整体，把另外一个多项式看作另外一个整体，例如：(a+b+c)(a −b+c)和(a+b+c)2，这就需要在式子里添加括号；那么如何加括号呢？它有什么法则呢？它与去括号有何关系呢？

学生回顾去括号法则，在去括号时：a+(b+c) = a+b+c ，a −(b+c) = a −b −c

反过来，就得到了添括号法则：a+b+c = a+(b+c)，a −b −c = a −(b+c)

理解法则：如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；•如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号．也是：遇“加”不变，遇“减”都变．

总结：添括号法则是去括号法则反过来得到的，无论是添括号，还是去括号，运算前后代数式的值都保持不变，•所以我们可以用去括号法则验证所添括号后的代数式是否正确．

五、小结：

1．完全平方公式的结构特征：公式的左边是一个二项式的完全平方；右边是三项，其中有两项是左边二项式中每一项的平方，而另一项是左边二项式中两项乘积的2倍．

2．添括号法则：如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号．利用添括号法则可以将整式变形，从而灵活利用乘法公式进行计算，灵活运用公式进行运算.