第二章二维线性系统解析

任意函数都可以看作xy平面上不同位置处的很多 函数的线性组合，而每一个位于(,)坐标的函数 的权重因子就是函数在该点的数值f(,)。这种分 解方法称为脉冲分解。 于是系统的输出为：
一维函数的脉冲分解
g x, y L f x, y L f , x , y d d 由于系统是线性的，系统算符 L 可以写进积分号内(与积分算符交换顺序)，直 接作用到各个基元函数上：
第一节 线性系统
举例：选取基元函数为脉冲函数 (函数) 根据脉冲函数的筛选性质，可将任意函数分解为：
f x, y

f(x) f( ) f() .......................................... x
f , x , y d d
2）线性不变系统的定义
若
L t h t
若输入脉冲延迟时间，其相应h仅仅有相应的时间延迟，而函数形式不变， 这样的系统称为时不变系统。 若
L x , y h x, y; , h x , y
一个空间脉冲在输入平面位移，线性系统的响应函数形式不变，只是产生 了相应位移，这样的系统称为空间不变系统或位移不变系统。
a1L f1 x, y a2L f 2 x, y a1 g1 x, y a2 g 2 x, y
则表明该系统是线性系统！
均匀性、叠加性
第一节 线性系统
图例：线性系统的叠加性质
第一节 线性系统
3、基元函数的系统响应 （系统是一个线性系统）
对于给定的系统和输入, F (fx,fy) 和H (fx,fy) 较容易求出, 因此容易由输出的频谱推算出系统的输出, 可避免冗 繁的卷积积分求输出的运算. 例: P63, 2.5(3) 已知线性不变系统的脉冲响应为 h(x) = 7sinc(7x) 试用频域方法对下列每一个输入fi(x) ,求其输出 gi(x) （必要时，可做合理近似） (3) f3(x) =[1+cos(8px)]rect(x/75)
第二节 线性不变系统
二、 线性不变系统的传递函数
脉冲响应 点扩散函数
g x, y f x, y h x, y
卷积定理
G fx , f y H fx , f y F fx , f y
G f x , f y = F g x, y


它表示系统输出平面(x,y)点对应于输入平面坐标(,)点的函数响应，称为 系统的脉冲响应。
系统输出：
g x, y


f , h x, y; , d d
上式描述了线性系统输入和输出的关系，称其为“叠加积分”；
只要知道系统对位于输入平面上所有可能点的脉冲响应，就可以通过叠加积 分完全确定系统的输出；
g1 x, y L f1 x, y
g2 x, y L f2 x, y
对于任意复数常数a1和a2，均有如下关系成立：
L a1 f1 x, y a2 f2 x, y L a1 f1 x, y L a2 f2 x, y
g x, y


f , L x , y d d
第一节 线性系统
若令
f , L x , y d d h x, y; , L x , y
g x, y
g x, y

f , h x , y d d
f x, y h x, y
第二节 线性不变系统
空不变(二维)系统 : 等晕成像系统
(x,y)
h(x,y)
(x- ; y-)
( ;)
晕斑 y
x x
y
光学成像系统在等晕区内是空间不变的.
H f x , f y = F h x, y
F fx , f y
F f x, y
输出频谱 从空间域入手计算系统的输出
频率响应
输入频谱
传递函数
从频率域入手计算Hale Waihona Puke Baidu统的输出
* 传递函数定义为系统脉冲响应的傅里叶变换.
第二节 线性不变系统
二、 线性不变系统的传递函数
第二节 线性不变系统
对于线性不变系统，系统的作用可以用统一的一个脉冲响应函数来表征，系 统的分析得到简化！ 叠加积分：
g x, y


f , h x, y; , d d
h x, y; , h x , y

卷积积分：
第二章 二维线性系统
主讲教师：刘 毅
太原理工大学物理与光电工程学院
本章主要内容
一．线性系统
二．线性不变系统 三．抽样定理
第一节 线性系统
1、系统的数学表示
g x, y L f x, y
用算符 L 描述系统的作用！
第一节 线性系统
2、线性系统的定义
若对于任意两个输入函数f1和f2
分 解
L ai fi x, y ai gi x, y
合 成
一系列的“基元函数”的和
对应的“基元函数”响应的和
f x, y ai fi x, y
i 1
m
a g x, y g x , y
i 1 i i
m
常用的基元函数有函数、阶跃函数、余弦函数、复指数函数等
若系统输入和输出满足上述叠加积分关系，该系统必然是线性系统。
第二节 线性不变系统
一、线性不变系统——线性系统的一个子类
根据“叠加积分”原理，只要知道系统对位于输入平面上所有可能点的 脉冲响应，就可以通过叠加积 分完全确定系统的输出。但是，要得到输 入平面上所有可能位置上的脉冲响应是非常困难的，甚至是不可能的。