空间解析几何简介.
空间解析几何
空间解析几何空间解析几何是解析几何的一个重要分支，它通过坐标系和向量的概念来研究空间中的几何关系和性质。
本文将会介绍空间解析几何的基本概念、特点以及应用，以便读者对此有更深入的了解。
一、坐标系的建立在研究空间解析几何之前，我们首先需要建立合适的坐标系。
常用的坐标系有直角坐标系、柱坐标系和球坐标系。
直角坐标系是最常见的坐标系，可以通过三个相互垂直的坐标轴来描述空间中的点。
柱坐标系和球坐标系较为常用于对称性较强的问题。
通过建立坐标系，我们可以将空间中的点与数值进行对应，进而进行进一步的分析与计算。
二、向量的表示和运算向量是空间解析几何中非常重要的一个概念，它可以表示空间中的位移、速度、加速度等物理量。
向量具有长度和方向两个特点，可以用有向线段或坐标表示。
在解析几何中，我们常常使用坐标表示向量。
例如，在直角坐标系中，向量a可以表示为(a₁, a₂, a₃)，其中a₁、a₂、a₃分别表示在x、y、z轴上的分量。
在解析几何中，向量的运算有加法、减法、数量乘法和点乘法等。
向量的加法与减法可以通过对应分量相加或相减来进行，数量乘法可以将向量的每个分量与一个实数相乘，而点乘法可以通过两个向量的对应分量相乘再相加得到。
三、直线和平面的方程在空间解析几何中，直线和平面是重要的几何基本要素。
直线可以通过一点和一个方向向量来表示，方程通常为(x, y, z) = (x₁, y₁, z₁) +t(a, b, c)，其中(x₁, y₁, z₁)为直线上的一点，(a, b, c)为直线的方向向量，t为参数。
平面可以通过一个点和两个不共线的向量来表示，方程通常为Ax + By + Cz + D = 0，其中A、B、C为平面法向量的分量，D为常数项。
四、空间曲线和曲面除了直线和平面，空间解析几何还研究了各种曲线和曲面的性质。
空间曲线可以通过参数方程、一般方程或者向量函数来表示，例如，圆柱面的参数方程可以表示为x = a cosθ，y = a sinθ，z = hθ，其中a为圆柱的半径，h为圆柱的高度，θ为参数。
空间解析几何简介
Ax By Cz D 0
其中 A, B, C, D 为常数，且 A, B, C 不全为零.
13
例2 建立球心在点 M 0 ( x0 , y0 , z0 ),
z
半径为 R 的球面的方程
解 设 M (x,y,z) 是球面上的任一点，
M0M R
o
x 12 y 22 z 12 x 22 y 12 z 32
化简得： x y 2z 4 0
12
例1. 求三个坐标平面方程.
解 显然 xy 平面上的点都满足方程 z = 0, 而满足方程 z = 0的点都在 x y 平面上. 由定义4.1知: x y 平面方程是 z = 0.
同理 ： y z 平面方程是 x = 0. z x 平面方程是 y = 0.
z
R2 R
R1
M 1•
P
Q1
P1 o
P2
x
•M 2
Q
N
y Q2
d M1M2 (x2 x1)2 ( y2 y1)2 (z2 z1)2
M (x, y, z), O(0,0,0), d OM x2 y2 z2
8
例3 在 z 轴上求一点，使之到 A 4,1,7 和 B3,5,2
的距离相等．
这曲面可以看作是由平行于z 轴的直线l
沿xoy面上的圆x2 y2 R2 移动而成.
即 (x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 R
x
(x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 R2
如果球心在原点，则 x2 y 2 z2 R2
M0 R M y
例3 方 程 x2 y2 z2 2x 4y 0 表示怎样的曲面? 解 通过配方，原方程可写为: ( x 1)2 ( y 2)2 z2 5
空间解析几何
空间解析几何空间解析几何是三维空间中研究点、线、面等几何对象的数学分支。
通过坐标系和向量等数学工具，可以描述和分析三维空间中的几何形状、位置关系和运动方式。
本文将介绍空间解析几何的基本概念、坐标系、向量运算和几何性质，并应用于实际问题。
一、空间解析几何的基本概念在空间解析几何中，我们首先需要了解点、直线、平面和空间的基本概念。
1. 点：点是空间中最基本的几何对象，用坐标表示。
在三维空间中，一个点可以由三个坐标确定，分别表示其在x轴、y轴和z轴上的位置。
2. 直线：直线是由无数个点组成的，在空间中没有宽度和厚度。
直线可以由一个点和一个方向向量确定，或者由两个不重合的点确定。
3. 平面：平面是由无数个点组成的，在空间中有宽度但没有厚度。
平面可以由一个点和两个不共线的方向向量确定，或者由三个不共线的点确定。
4. 空间：空间是由所有的点组成的，是点的集合。
在空间中，我们可以研究点、直线、平面和它们之间的相互关系。
二、空间解析几何的坐标系为了方便描述和计算，在空间解析几何中常常使用坐标系来表示点、向量和几何对象。
常用的坐标系有直角坐标系和柱面坐标系。
1. 直角坐标系：直角坐标系由三个相互垂直的坐标轴构成，分别是x轴、y轴和z轴。
在直角坐标系中，点的坐标表示为(x, y, z)，它们分别表示点在x轴、y轴和z轴上的投影长度。
2. 柱面坐标系：柱面坐标系由极径、极角和高度构成。
极径表示点到z轴的距离，极角表示点在xy平面上的投影与x轴正半轴之间的夹角，高度表示点在z轴上的投影长度。
三、空间解析几何的向量运算在空间解析几何中，向量是一个有大小和方向的量。
向量可以表示位移、速度、力等物理量，也可以用来表示线段、直线、平面等几何对象。
1. 向量的表示：在空间解析几何中，向量通常用有序数组表示，如a = (a₁, a₂, a₃)。
其中，a₁、a₂和a₃分别表示向量在x轴、y轴和z轴上的分量。
2. 向量的运算：空间解析几何中的向量运算包括加法、减法、数乘和点乘等。
空间解析几何
空间解析几何.求解答过程谢谢.空间解析几何是一种系统的空间几何学，它使用简单的几何元素，如点、线段、面和体，来推理复杂的空间结构。
求解空间几何问题的基本步骤是：1.准备所需的元素；2.根据定义、定理和原理解释该空间结构的构造；3.对空间变换和其它变换进行适当的推理。
空间解析几何是一门探究物体的定位和形状的学科。
它集合了几何、微积分、代数、物理和计算机科学等多项学科协同创新，并使用数学解决一些空间问题的解决方法。
本文的目的是介绍空间解析几何的基本概念，并通过实例给出求解空间问题的步骤。
一、什么是空间解析几何空间解析几何（Spatial Analytic Geometry）是探究物体的定位和形状的学科，也可以叫做空间几何学。
它集合了几何、算术、代数、物理和计算机科学等多项学科、术语和概念，应用数学解决解析几何问题，研究方式综合多元素、多模态。
它不仅涉及形状和位置的探究，还有基于图像的空间加工、性能分析和可视化的处理，是一门相当丰富的学科。
二、空间解析几何主要概念1、坐标定位：坐标定位是将物体定位于一个特定的位置的表示方法，股票投资者可以使用坐标定位来实现多轴上的测量。
2、几何形体量度：用以测量几何形状的各种参量，如内接圆直径，面积，体积等，常用于测量地形面、工程坑槽等三维物体。
3、平面投影：使用几何学方法将三维物体投射到二维平面上，用以分析物体的位置、形状和尺寸等。
4、位置运算：位置运算是一种基于位置的算法，可以用于分析几何对象之间的关系。
三、空间解析几何求解过程1、收集数据：空间解析几何需要收集几何形状相关的位置数据，并按照特定格式用计算机处理这些数据。
2、定义几何形状：将收集到的数据用定义空间几何形状的方法（如坐标定位、几何沿面记号法等）转换成一系列几何内容。
3、应用计算机：针对这些定义的几何形状，可使用计算机空间分析技术，建立计算机模型，实现物体的分析和可视化。
4、结果统计：根据模拟或实际的空间物体分析数据，进行分析处理，得出完整的结果统计。
8.1空间解析几何简介
By + Cz = 0
因平面过点(4, −3, −1)，该点坐标满足上述方程， 该点坐标满足上述方程，
C=故 −3B − C = 0，即 C=-3B
C=将 C=-3B 代入方程 By + Cz = 0
并消去 B，即得所求平面方程为
y − 3z = 0
例 3 求球心在点 M0( x0 , y0 , z0 )， 半径为 R 的球 面的方程． 面的方程．
x 2 + y 2 = R2 是由平行于z轴的直线沿 轴的直线沿xOy平面上的圆 是由平行于 轴的直线沿 平面上的圆
叫作它的准线， 移动而形成的圆柱面. 移动而形成的圆柱面 x + y = R 叫作它的准线，圆
2 2 2
柱面上平行于z轴并与 轴相距 轴相距R的直线叫作它的母线. 柱面上平行于 轴并与 z轴相距 的直线叫作它的母线
F(x, y, z) = 0
z
S
x
O
y
常见的空间曲面有平面、柱面、锥面、 常见的空间曲面有平面、柱面、锥面、旋转曲 面和二次曲面等. 面和二次曲面等. 两个基本问题: 两个基本问题: (1) 已知一曲面作为点的几何轨迹时, 已知一曲面作为点的几何轨迹时, 求曲面方程. 求曲面方程. (2) 已知方程时,研究它所表示的几何形状 已知方程时, (必要时需作图). 必要时需作图).
2 2 2 2 2
2
化简后即得点 M 的轨迹方程为
x + y − 2z − 3 = 0
这个方程表示空间中的一个平面． 这个方程表示空间中的一个平面．
一般地， 一般地， 一次方程 Ax + By + Cz + D = 0表示空间
高等数学-01空间解析几何(课件
表示两个向量的夹角。
向量的向量积与向量的混合积
向量的向量积
表示两个向量的垂直程度。
向量的混合积
表示三个向量的空间关系。
向量在空间几何中的应用
力的合成与分解
在物理中，力可以表示为向量，力的 合成与分解可以通过向量的加法、数 乘和向量积进行计算。
速度和加速度的分析
在运动学中，速度和加速度可以表示 为向量，通过向量的加法、数乘、向 量积和混合积进行计算和分析。
空间解析几何在计算机图形学中 用于三维建模、动画制作和虚拟 现实技术。
空间解析几何的基本概念
空间向量
表示空间中具有大小和方向的 量。
向量积
表示两个向量的外积，是一个 向量运算，结果是一个向量。
空间点
表示空间中一个位置的点。
向量运算
包括加法、数乘、向量的模等 基本运算。
混合积
表示三个向量的内积，结果是 一个标量。
习题三
总结词
向量的数量积、向量积和混合积
详细描述
习题三主要涉及向量的数量积、向量积和混合积的计算和性质。通过这些练习题，学生 可以深入理解向量的数量积、向量积和混合积的概念和计算方法，掌握其性质和应用，
提高解题能力。
THANKS
感谢观看
曲线方程
通过给定的方程，可以描 述曲线的形状和路径。
常见曲线
圆、椭圆、抛物线、双曲 线等。
曲面与曲线的应用
工程设计
在机械工程、航空航天、船舶制造等领域，曲面与曲线被广泛应 用于产品设计和优化。
数学建模
在物理、化学、生物等学科中，曲面与曲线可以用来描述自然现 象和规律，建立数学模型。
数据分析
在统计学和数据分析领域，曲面与曲线可以用来可视化数据和探 索数据之间的关系。
空间解析几何
空间解析几何空间解析几何是解析几何的一个重要分支，它是研究空间内点、直线、平面等几何元素的相互关系和性质的数学分支。
在空间解析几何中，我们通过向量和坐标等工具来描述和分析空间内的几何问题。
本文将介绍空间解析几何的基本概念、常用方法和一些实际应用。
基本概念在空间解析几何中，我们通常使用三维笛卡尔坐标系来描述空间内的几何元素。
点在空间中用其三维坐标(x,y,z)来表示，直线可用参数方程、点向式方程或标准式方程等来表示，平面则通常用点法式方程表示。
在空间解析几何中，向量是一个非常重要的概念，它能够很好地描述空间内的方向和长度。
方法和技巧解析几何中有很多方法和技巧可以应用到空间解析几何中。
例如，我们可以通过向量的线性运算来求解点到直线的距离，通过向量的数量积和向量积来判断点和直线、平面的位置关系，通过方向比值来判断两直线的平行性或垂直性等。
此外，我们还可以利用三角函数和投影的概念来解决一些空间几何中的问题。
实际应用空间解析几何不仅仅是一种理论工具，它在实际应用中也具有广泛的意义。
在工程建筑中，空间解析几何可以帮助工程师设计和规划建筑物的结构和布局；在航天航空领域，空间解析几何可以帮助科学家研究轨道、飞行路径等问题；在计算机图形学中，空间解析几何是实现三维模型和动画的重要基础。
总的来说，空间解析几何是一门极具实用性的数学分支，它在各个领域都有着广泛的应用。
通过掌握空间解析几何的基本概念和方法，我们可以更好地理解和解决空间内的几何问题，为我们的工程设计和科学研究提供有力的支持。
以上是关于空间解析几何的简要介绍，希望对读者理解和学习空间解析几何有所帮助。
愿大家在空间解析几何的世界中能够不断探索、学习和创新，为数学事业的发展贡献自己的力量。
空间解析几何
空间解析几何空间解析几何是数学中的一个重要分支，它研究的是三维空间中的几何图形和其性质。
本文将介绍空间解析几何的基本概念、常见图形以及解析方法，帮助读者更好地理解和应用空间解析几何。
一、基本概念在空间解析几何中，我们使用坐标系来描述点、直线、平面等几何对象。
一般常用的坐标系有直角坐标系和柱面坐标系。
直角坐标系中，我们使用三个坐标轴x、y、z来确定一个点的位置。
柱面坐标系中，我们使用极坐标和一个垂直轴来确定一个点的位置。
通过坐标系，我们可以得到点的坐标、距离和角度等信息。
二、常见图形1. 点：空间中的一个点可以通过其坐标表示。
例如，点A(2,3,4)表示空间中的一个点，它的x坐标为2，y坐标为3，z坐标为4。
2. 直线：空间中两个不重合的点可以确定一条直线。
直线可以用参数方程、对称式、一般式等形式表示。
3. 平面：平面是由三个不共线的点所确定的。
平面可以用一般式、点法式等形式表示。
4. 球：由空间中的一个固定点和到该点距离等于定值的所有点构成的集合称为球。
5. 圆柱体：由一个闭合的曲线和平行于该曲线的直线段所围成的曲面称为圆柱体。
圆柱体可以通过其底面半径、高和母线方程等参数表示。
三、解析方法在空间解析几何中，我们可以使用向量、点法式、平面截距式等方法来求解各种几何问题。
1. 向量：向量是空间解析几何中一个重要的工具。
它可以用来表示线段、直线的方向和长度等信息。
通过向量，我们可以进行向量加法、减法、内积、外积等运算，用来求解直线的夹角、垂直平分线等问题。
2. 点法式：点法式是求解平面方程的一种方法。
它通过平面上的一点和法向量来表示平面的方程。
利用点法式，我们可以求解平面的交点、两平面的夹角等问题。
3. 平面截距式：平面截距式可以用来表示平面上与坐标轴相交的三个截距，通过截距可以确定平面的位置和方程。
我们可以利用平面截距式来求解平面的方程、直线与平面的交点等问题。
通过以上的解析方法，我们可以将空间解析几何中的各种问题转化为代数方程或方程组求解，从而得到几何图形的性质和关系。
8_1空间解析几何简介
例4. 求球心在点 半径为R的球面方程 解: 设点 为球面上的任一点， 依题意： ( x x0 )2 ( y y0 )2 ( z z0 ) 2 R ( x x0 )2 ( y y0 )2 ( z z0 )2 R2 特殊球面： 球心M0=原点o, 2 2 2 2 x y z R z R2 x2 y 2 上半球面： 下半球面： z R2 x2 y 2
双曲抛物面或马鞍面 图8-8
曲面方程 F ( x, y, z) 0 1， 2，F ( x, y ) 0表示柱面,其母线∥z轴
3， 平面 Ax By Cz D 0 坐标面 z 0, y 0 , x 0 4， ∥坐标面即⊥坐标轴的平面 5，
习题八
一.1，2，3;
6， 球面( x x0 )2 ( y y0 )2 ( z z0 )2 R2 2 2 2 2 2 2 2 ; z R x y x y z R 2 2 2 2 7， 旋转抛物面 z x y ; 双曲抛物面z y x
第八章 多元函数微积分
第一节 空间解析几何简介
在三维空间中 空间形式 — 点,线,面等
数量关系 坐标,方程组,方程等
一、空间直角坐标系 过空间定点 o ,作三条相互垂直的数轴 ox, oy, oz 其正向符合右手规则 这样的三条数轴 构成一个空间直角坐标系。 z (竖轴) • 坐标原点 Ⅱ Ⅲ • 坐标轴 yoz面 • 坐标面 Ⅳ Ⅰ • 卦限(八个) y (纵轴) o
截痕法
zc yb xa
,｛
c 0, 截痕为(0,0,0); 圆心 (0, 0, c) c 0, 交线即截痕为圆： 半径 c c 0, 无截痕； 用平面x = a, y=b去截曲面,
空间解析几何
空间解析几何1. 引言空间解析几何是解析几何学中的一个分支，主要研究空间中的点、直线、平面之间的关系和性质。
它通过使用代数方法来解决几何问题，是几何和代数相结合的重要工具。
本文将介绍空间解析几何的相关概念和基本原理，并提供一些例题来帮助读者更好地理解和应用这些知识。
2. 空间直角坐标系空间解析几何的基础是空间直角坐标系。
一个空间直角坐标系可以由三条两两相交且相互垂直的坐标轴来确定，通常分别称为x轴、y轴和z轴。
在这个坐标系中，空间中的任意一点P可以通过三个有序实数(x, y, z)来表示，其中x、y和z分别表示P在x轴、y轴和z轴上的坐标。
3. 点、直线和平面在空间解析几何中，点、直线和平面是最基本的几何元素。
3.1 点点是空间中的一个位置，用有序实数(x, y, z)表示。
例如，点P(1, 2, 3)表示坐标为(1, 2, 3)的点P。
3.2 直线直线是由无数个点组成的，其中任意两点可以确定一条直线。
在空间解析几何中，一条直线可以用参数方程或者一般方程来表示。
例如，参数方程为：x = x0 + aty = y0 + btz = z0 + ct其中(a, b, c)是一条方向向量，表示直线的方向，(x0, y0, z0)是直线上的一个点，t为参数。
3.3 平面平面是由无限多个点组成的一个二维空间，其中任意三点不共线可以确定一个平面。
在空间解析几何中，一个平面可以用一般方程来表示。
例如，一般方程为：Ax + By + Cz + D = 0其中A、B、C和D是实数且不同时为零，(x, y, z)是平面上的一个点。
4. 空间解析几何的基本原理在空间解析几何中，有一些基本原理可以帮助我们求解空间几何问题。
4.1 距离公式空间中两点之间的距离可以通过距离公式来计算。
设A(x1, y1, z1)和B(x2, y2, z2)是空间中两点，其距离为：d = √((x2-x1)² + (y2-y1)² + (z2-z1)²)4.2 点到直线的距离设点P(x0, y0, z0)和直线L的参数方程为：x = x1 + aty = y1 + btz = z1 + ct点P到直线L的距离为：d = |(x0-x1)a + (y0-y1)b + (z0-z1)c| / √(a² + b² + c²)其中(a, b, c)是直线L的方向向量。
8-1 空间解析几何简介
(x +1)2 + y2 + (z 4)2 = (x 1)2 + y 2 2 + (z +1)2 ( )
4x + 4y 10z +11 = 0
故M( x, y, z)的轨迹方程 (即A,B两点连线的垂直平分 的轨迹方程 即 , 两点连线的垂直平分 面的方程)为 面的方程 为 4x + 4y 10z +11 = 0 平面上任意一点的坐标满足z 因x y平面上任意一点的坐标满足 = 0; 而凡满足 = 0的 平面上任意一点的坐标满足 ; 而凡满足z 的 平面上; 坐标平面的方程分别为 点又都在 x y平面上;故坐标平面的方程分别为 平面上 x y面的方程为 z = 0 面的方程为 x z面的方程为 y =0 面的方程为 y z面的方程为 x = 0 面的方程为
2
(3) x2 + y2 = R2
(4) z = x + y
2
(5) x2 = 4.
则曲面过原点. 由方程2x- z = 0不含 知:D = 0. 则曲面过原点 不含y知 解 (1)由方程 由方程 不含 取何值, 都有2x- z = 0 且无论 y 取何值 都有 即用平行于xz面的任何平面 即用平行于 面的任何平面 Y = a去截曲面,其截痕都 去截曲面, 去截曲面
巳知曲面的几何轨迹, 1. 巳知曲面的几何轨迹, 建立曲面的方程
一动点M( 与两定点A(例1 一动点 x, y, z)与两定点 -1,0,4)和B(1,2,-1)的 与两定点 和B(1,2,-1)的 距离相等, 求此动点M的轨迹方程 的轨迹方程. 距离相等 求此动点 的轨迹方程
解 因MA = MB
这与平面解几中两点间的距离公式是一样的. 这与平面解几中两点间的距离公式是一样的. 各作三个分别垂直于三条坐标轴的平面. 过 M1, M2 各作三个分别垂直于三条坐标轴的平面
空间解析几何
空间解析几何空间解析几何是数学中的一个分支，主要研究点、线、面在三维空间中的位置关系和运动规律。
通过坐标系和向量的表示方法，可以对三维空间中的几何问题进行分析和解决。
本文将从坐标系的建立、向量和点的运算以及空间图形的性质等几个方面介绍空间解析几何的基本概念和方法。
一、坐标系的建立在空间解析几何中，我们常常使用三维直角坐标系来描述点的位置。
三维直角坐标系由三个互相垂直的坐标轴x、y和z组成，它们的交点O称为坐标原点。
我们可以通过确定原点O和三个坐标轴的方向来确定一个三维坐标系。
在三维直角坐标系中，每个点的位置都可以通过它到三个坐标轴的垂直距离来表示。
二、向量的表示与运算向量是空间解析几何中的重要概念，它不仅可以表示空间中的位移和运动方向，还可以表示线段和有向线段。
在三维空间中，向量可以用一组有序的实数表示。
常用的向量表示方法有点表示法、坐标表示法和分量表示法。
1. 点表示法：在空间中，一个点可以用大写字母表示，如A、B、C 等。
2. 坐标表示法：对于给定的三维直角坐标系，我们可以通过一个有序的三元组(x, y, z)来表示一个点P的坐标。
3. 分量表示法：给定一组基向量i、j和k。
对于向量a，我们可以将其表示为各个分量与基向量之积的和，即a = xi + yj + zk，其中x、y和z分别为向量a在x轴、y轴和z轴上的投影长度。
在空间解析几何中，向量之间可以进行加法、减法和数量乘法等运算。
这些运算遵循一定的规律，使得向量能够描述和计算空间中的相对位置和方向。
三、点和直线的运算在空间解析几何中，点和直线是两个基本的几何要素。
点是空间中的一个位置，用坐标表示；直线是由无数个点连成的轨迹，可以用不同的参数方程、对称方程或一般方程来表示。
1. 点的运算：两个点之间可以计算距离和中点。
- 距离公式：设点A(x₁, y₁, z₁)和点B(x₂, y₂, z₂)，则AB的距离为√((x₂-x₁)² + (y₂-y₁)² + (z₂-z₁)²)。
空间解析几何
空间解析几何.求解答过程谢谢.空间解析几何是一种数学和几何学结合的方法，主要用于解决三维空间中的几何问题，其中利用几何图形来分析和计算问题，并尝试为给定的几何形状和位置找出恰当的解决方案，从而在空间中进行解析。
以下是常用于空间解析几何的策略：首先要弄清楚问题的跨度，仔细观察图形，运用几何和数学原理来理清问题，并尝试提出解答。
借助图形，解决难题更为容易，因此，准确地推断几何图形的概念显空间解析几何是介绍几何相关问题的一种数学方法，主要用于解决几何问题，处理图形和空间结构。
在这种数学方法中，探讨和求解问题的基本方法是以坐标系方式反映和表示空间的物理状况、分析各元素之间的相互作用，从而推断出问题的解决方案。
下面就来分析解析几何的解决过程。
一、建立空间坐标系首先，要建立空间坐标系，建立三维坐标系，将空间中的每一个点和每一条线定义为三个坐标轴所确定的空间坐标位置。
这样可以使解析几何的空间操作变得容易，也可以将各种几何图像表示为相应的数字坐标。
二、确定问题并抽象表示其次，要确定问题，有参数地抽象表示出来。
几何的问题可以用相应的几何方程表示，其实就是一个建模表达，其形式如下：f(x,y,z)=0其中，x、y、z分别是坐标轴上的三个坐标变量，函数《f》可以是任何几何函数，表示问题的本质，0表示函数满足等于0的时候，其坐标就找到了问题的答案。
三、求解几何模型最后，要求解出几何模型，也就是要把几何学中的一切问题转化成一个可以求解的数学问题。
求解几何模型的方法可以有多种，例如直角坐标系方法，极坐标系方法，空间直线方程法，圆锥全等式法等。
求解过程不仅要考虑本身的几何问题，还要考虑几何模型的特性，最终获得准确的解决方案。
空间解析几何解决过程就是以上这三个步骤：建立空间坐标系，确定问题并抽象表示，最后求解几何模型。
这种方法能够容易地明确几何问题，并以节省时间、节约空间的方式高效求解几何问题。
空间解析几何
空间解析几何空间解析几何是数学中的一个分支，研究的是三维空间中点、直线和平面的性质和相互关系。
它广泛应用于物理学、工程学和计算机图形学等领域，为我们对三维世界的理解和描述提供了重要的数学工具。
一、点的坐标表示在空间解析几何中，我们可以使用三维坐标系来表示点的位置。
三维坐标系由三个相互垂直的坐标轴组成，通常分别表示为x轴、y轴和z轴。
一个点的位置可以用(x, y, z)来表示，其中x、y、z分别表示点在x轴、y轴和z轴上的坐标值。
二、直线的表示与性质直线是空间解析几何中最基本的几何对象之一。
在空间中，直线可以用参数方程的形式表示。
假设直线通过一个已知点P0(x0, y0, z0)并且沿着一个已知方向向量a(a1, a2, a3)延伸，那么直线上的任意一点P(x, y, z)可以用以下参数方程表示：x = x0 + a1ty = y0 + a2tz = z0 + a3t其中t是一个参数，可以取任意实数。
直线的性质有很多，例如两条直线之间的夹角、直线与平面的关系等。
三、平面的表示与性质平面是由无数直线组成的一个二维对象，在空间解析几何中也是一个重要的研究对象。
在三维空间中，平面可以用一般方程的形式表示。
一般方程的形式为Ax + By + Cz + D = 0，其中A、B、C和D是实数，且A、B和C不全为零。
这个方程表示了平面上的所有点的坐标满足方程的关系。
除了一般方程外，平面也可以用点法向式方程、截距式方程等形式表示。
平面的性质包括平面与直线的关系、平面之间的夹角等。
四、距离计算在空间解析几何中，我们经常需要计算点之间的距离。
对于两个点P1(x1, y1, z1)和P2(x2, y2, z2)，它们之间的距离可以用欧几里得距离公式计算：d = √[(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2]其中d表示两点之间的距离。
这个公式在计算机图形学中经常被使用，用于计算空间中物体之间的距离或者点到物体表面的距离等。
空间解析几何简介
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（1） 椭球面
x y z 2 2 1 ( a, b, c 为正数 ) 2 a b c
2 2 2
y
沿曲线C平行于 z 轴的一切直线所形成的曲面称为圆
柱面. 其上所有点的坐标都满足此方程, 故在空间
x y R 表示圆柱面
2 2 2
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定义
平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线 l 形成 表示抛物柱面,
的轨迹叫做柱面. C 叫做准线, l 叫做母线.
• A x+C z+D = 0 表示 平行于 y 轴的平面;
• A x+B y+D = 0 表示 平行于 z 轴的平面; • C z + D = 0 表示 平行于 xoy 面 的平面; • A x + D =0 表示 平行于 yoz 面 的平面； • B y + D =0 表示 平行于 zox 面 的平面.
z
x
y
z
x z 2 1 2 a c b y y1
2
2
y12 2
0
x
y
(实轴平行于z 轴; 虚轴平行于x 轴）
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(5) 双叶双曲面
z
x2 y2 z 2 2 2 1 ( a, b, c 为正数 ) 2 a b c 平面 y y1 上的截痕为 双曲线
3) 截痕: 与 z z1 ( z1 c)的交线为椭圆：
10 空间解析几何简介
2
| MA || MB |,
2 2
M ( x, y, z )
x 1 y 2 z 3
x 22 y 12 z 42 , A
M
B
化简得所求方程
2 x 6 y 2 z 7 0.
结论：三元一次方程：A x + B y + C z + D = 0 表示空间一个平面。
到点 P2 (0,1,1)的距离的两倍，求点 P 的坐标.
解 因为 P 在x 轴上， 设P点坐标为 ( x ,0,0),
PP1 x 2 2 2 32 x 2 11,
2 2 PP2 x 1 1 2
x 2 2,
PP1 2 PP2 , x 2 11 2 x 2 2
所得旋转曲面叫圆锥面．两直线的交点叫圆锥面 的顶点，两直线的夹角 0 叫圆锥面的 2 半顶角．试建立顶点在坐标原点，旋转轴为 z 轴，
半顶角为 的圆锥面方程．
解 yoz 面上直线方程为
z
z y cot
圆锥面方程
M ( 0, y , zபைடு நூலகம்)
L
z x 2 y 2 cot
（讨论柱面、二次曲面）
3、柱面
引例：分析方程 x 2 y 2 R 2 表示怎样的曲面
分析提问：
•方程有怎样的特点？ • 曲面是怎样形成的？
z
M ( x, y, z)
L
o
准线
y
M ( x, y,0)
x
母线
分析提问：
2 2 2 x y R •方程有怎样的特点？
空间解析几何
空间解析几何空间解析几何是数学中的一个重要分支，它研究的是空间中的点、直线和平面，以及它们之间的关系和性质。
通过解析几何，我们可以更好地理解和描述三维空间中的几何图形，从而解决与空间相关的问题。
一、平面方程在空间解析几何中，平面是一个基本概念。
为了方便研究和描述平面，我们需要找到一种方式来表示平面。
平面方程就是用来表示平面的一种方式。
一个平面可以由一个点和一个法向量确定。
假设平面上的一点为P，法向量为n，那么平面的方程可以表示为Ax + By + Cz +D = 0，其中A、B、C和D是常数。
这就是平面的一般方程。
二、直线方程与平面类似，直线也是空间解析几何中的一个重要概念。
为了描述直线，我们同样需要找到一种方式来表示它。
直线方程可以通过点和向量来确定。
设直线上的一点为P，方向向量为v，那么直线的方程可以表示为x = x0 + at，y = y0 + bt，z = z0 + ct，其中x0、y0、z0是直线上的一点的坐标，a、b、c是方向向量v的分量，t是参数。
三、直线与平面的位置关系在解析几何中，直线与平面的位置关系也是一个重要的问题。
直线可以与平面相交、平行或重合。
为了判断直线和平面的位置关系，我们可以通过求解方程组来解决。
假设直线的方程为L：x = x0 + at，y =y0 + bt，z = z0 + ct，平面的方程为P：Ax + By + Cz + D = 0。
将直线方程代入平面方程，将得到一个关于参数t的一元方程。
如果这个方程有解，那么直线与平面相交；如果方程无解，那么直线与平面平行；如果方程有无穷多解，那么直线与平面重合。
四、空间曲线除了点、直线和平面，空间解析几何还涉及到更为复杂的空间曲线。
空间曲线可以由参数方程、一般方程或者向量方程来表示。
不同的曲线有着不同的性质和特点，如曲率、切线等。
通过研究空间曲线，我们可以理解曲线在空间中的运动和变化规律。
总结：空间解析几何是数学中的一个重要分支，通过解析几何的方法，我们可以更好地研究和描述空间中的几何图形。
§6.1 空间解析几何简介
解
根据题意有 z 1
用平面z c 去截图形得圆：
z
( x 1)2 ( y 2)2 1 c (c 1)
当平面z c 上下移动时， 得到一系列圆
c
o
x
y
圆心在(1,2, c )，半径为 1 c
半径随c 的增大而增大. 图形上不封顶，下封底．
2、平面
平面的一般方程 Ax By Cz D 0 平面一般方程的几种特殊情况：
坐标面上和坐标轴上的点 其坐标各有一定的 特征 例如: • 点M在yOz面上 则x0; 点M在zOx面上的点 y0; 点M在xOy面上的点 z0 • 点M在x轴上 则yz0; 点M在y轴上,有zx0; 点M在z轴上的点 有xy0 • 点M为原点 则xyz0
的多项式, 方程表示的曲面就称为代数曲面. 多项
式的次数称为代数曲面的次数. 一次方程所表示的 曲面称为一次曲面, 即平面; 二次方程表示的曲面 称为二次曲面. 下面我们将讨论几种简单的二次 曲面.
平面的一般方程 具有特征位置的平面方程:
(1) 平面通过坐标原点 (2) 平面 平行于坐标轴: (3) 平面 平行于坐标面: Cz D 0 或 z 常数 A. // xOy 面 ( xOy 面: z 0); B. // xOz 面 ( xOz 面: y 0); C. // yOz 面
例 求平行于 z 轴且过 M1 (1,0,0), M (0,1,0) 两点的 2 平面方程. 解 因所求平面平行于 z 轴, 故可设其方程为
Ax By D 0.
又点 M1 和 M 2 都在平面上, 于是
A D 0 A B D, B D 0 代入方程得 Dx Dy D 0.
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Ⅵ x<0,y>0,z<0
Ⅲ x<0,y<0,z>0
Ⅶ x<0,y<0,z<0
Ⅳ x>0,y<0,z>0
Ⅷ x>0,y<0,z<0
空间两点间的距离
设 M1( x1 , y1 , z1 )、M2 ( x2 , y2 , z2 )为空间两点，
M1M2 x2 x1 2 y2 y1 2 z2 z1 2 .
z 轴；
x 0
绕 y 轴旋转
y2 a2
x2 c2
z2
1
旋 转 椭
绕z 轴旋转
x2 a2
y2
z2 c2
1
空间两点间距离公式
特殊地：若两点分别为 M( x, y, z) , O(0,0,0) 则 d OM x2 y2 z2 .
例１求点 M1 (4,1, 9) 到点 M2 (10, 1, 6) 的距离．
解： | M1M2 |
( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 (z1 z2 )2
起点M
z
0
(
x0
,
y0
,
z0
)，终点M( x, y,
ax x
z)
x0
向量在x轴上的投影
az
•M
a y y y0
M 0•
ax
ay
O
向量在y轴上的投影
y
az z z0
向量在z轴上的投影
x
向量的坐标表达式：
a {ax , a y , az }
M0M { x x0 , y y0 , z z0 }
a {ax , ay , az },
a {ax , ay , az }
特殊地，一向量与其单位向量的关系为
a0
|
a a|
三、曲面与方程
如果空间曲面 S 与三元方程 F(x, y, z) 0有如下关系： (1)曲面 S 上任意一点的坐标都使方程 F(x, y, z) 0成立. (2)不在曲面S 上的点的坐标都不满足方程 F(x, y, z) 0,
解: XY 坐标平面的方程是:z 0;
YZ 坐标平面的方程是: x 0; ZX 坐标平面的方程是: y 0.
例4 讨论 z d 的图形.
（二）柱面与旋转曲面
1. 柱面( cylinder )
定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面。
这条定曲线C叫 柱面的准线
(directrix) ,动直 线L叫柱面的母 线(generatrix).
则称方程F (x, y, z) 0 叫做曲面S 的方程,曲面 S 为方程 F(x, y, z) 0 的图形.
（一）平面
例2 设 M1(1, 1, 0)与 M2 (2, 0, 2) 是空间两点,求线段 M1M2 的垂直平分面的方程.
解: 设 M(x, y, z) 是垂直平分面上的任意一点,那么
| M1M || MM2 |, 于是
z
R(0,0, z)
B(0, y, z)
C( x,0, z)
O x P( x,0,0)
• M(x, y, z)
y
Q(0, y,0) A( x, y,0)
八个卦限中点的坐标
卦限 点的坐标 x, y, z 卦限 点的坐标 x, y, z
Ⅰ x>0,y>0,z>0
Ⅴ x>0,y>0,z<0
Ⅱ x<0,y>0,z>0
特殊地：OM { x, y, z}
向量的模（大小）：
| a|
a2 x
a2 y
a2 z
向量加减法的坐标表达式
a {ax , ay , az }, b {bx , by , bz },
a
b
{ax
bx
,
ay
by ,
az
bz }
a
b
{a
x
bx ,
ay
by ,
az
bz }
向量与数的乘法的坐标表达式
(4 10)2 (1 1)2 (9 6)2
62 22 32 7.
二、向量
M2
向量(vector)：既有大小又有方向的量.
向量表示：a 或 M1M2
M1
以M1为起点，M2 为终点的有向线段.
向径： 空间直角坐标系中任一点 M与原点 构成的向量 OM .
向量的坐标表示
设有向线段M0M代表向量 a
第七章 空间解析几何简介
一、空间直角坐标系 二、向量 三、曲面与方程
一、空间直角坐标系
三条坐标轴的正方向 符合右手法则.
z 竖轴
(vertical axis)
即以右手握住 z
轴，当右手的四个
原点 o •
手指从 x轴正向以
2
角度转向正向 y 轴
(origin)
y 纵轴
(ordinate axis)
观察柱面的形
成过程:
播放
柱面举例
z
z
y2 2x
o
y
o
x
xHale Waihona Puke 抛物柱面( Cylinder of the second order parabolic )
平面
y
y x
从柱面方程看柱面的特征：
只含 x, y而缺z的方程F(x, y) 0，在
空间直角坐标系中表示母线平行于 z 轴的柱
面，其准线为 xoy面上曲线C .（其他类推）
实 例
y2 b2
z2 c2
1
椭圆柱面 母线// x轴
x2 a2
y2 b2
1
双曲柱面 母线// z轴
x2 2 pz 抛物柱面 母线// y轴
2.旋转曲面(surfaces of revolution )
定义 以一条平面
曲线绕其平面上的
一条直线旋转一周
所成的曲面称为旋
转曲面.
这条定直线叫旋转
曲面的轴(axis)．
横轴 x (abscissa axis)
时，大拇指的指向
就是 z 轴的正向.
空间直角坐标系
( space rectangular coordinates system )
Ⅲ
yOz面 Ⅳ
xOy面
Ⅶ
x
Ⅷ
z zOx面
o
Ⅴ
空间被分为八个卦限
Ⅱ
yⅠ
Ⅵ
空间的点一一对应有序数组( x, y, z)
特殊点的表示: 坐标轴上的点 P, Q, R, 坐标面上的点 A, B, C, 坐标原点O(0,0,0)
(x 1)2 ( y 1)2 (z 0)2 (x 2)2 ( y 0)2 (z 2)2 2x 2y 4z 6 0
x y 2z 3 0 就是所求垂直平分面的方程.
平面方程:
Ax By Cz D 0, 其中ABC不同时为零。
例3 求 XY ,YZ, ZX 坐标平面的方程.
播放
例2 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求 生成的旋转曲面的方程．
（1）双曲线
x2 a2
z2 c2
1分别绕 x轴和z轴；
绕x 轴旋转
x2 a2
y2 z2 c2
1
旋 转
双
绕z 轴旋转
x2 a2
y2
z2 c2
1
曲 面
( hyperboloid )
y2
（2）椭圆
a
2
z2 c2
1绕 y 轴和