习题一 随机事件与概率计算
《概率论与数理统计》第01章习题解答
第一章 随机事件及其概率第1章1、解：（1）{}2,3,4,5,6,7S = （2）{} ,4,3,2=S （3）{} ,,,TTH TH H S =（4）{}6,5,4,3,2,1,,T T T T T T HT HH S =2、设A , B 是两个事件，已知81)(,21)(,41)(===AB P B P A P ，求)(B A P ，)(B A P ，)(AB P ，)])([(AB B A P 解：81)(,21)(,41)(===AB P B P A P ∴)()()()(AB P B P A P B A P -+= 85812141=-+=)()()(AB P B P B A P -=838121=-=87811)(1)(=-=-=AB P AB P)])([(AB B A P )]()[(AB B A P -=)()(AB P B A P -= )(B A AB ⊂218185=-=3、解：用A 表示事件“取到的三位数不包含数字1”2518900998900)(191918=⨯⨯==C C C A P 4、在仅由0，1，2，3，4，5组成且每个数字至多出现一次的全体三位数字中，任取一个三位数，（1）该数是奇数的概率；（2）求该数大于330的概率。
解：用A 表示事件“取到的三位数是奇数”，用B 表示事件“取到的三位数大于330”(1) 455443)(2515141413⨯⨯⨯⨯==A C C C C A P =0.48 2） 455421452)(251514122512⨯⨯⨯⨯+⨯⨯=+=A C C C A C B P =0.48 5、袋中有5只白球，4只红球，3只黑球，在其中任取4只，求下列事件的概率（1）4只中恰有2只白球，1只红球，1只黑球； （2）4只中至少有2只红球； （3）4只中没有白球解：用A 表示事件“4只中恰有2只白球，1只红球，1只黑球”（1）412131425)(C C C C A P ==495120=338（2）用B 表示事件“4只中至少有2只红球”16567)(4124418342824=++=C C C C C C B P 或4124838141)(C C C C B P +-==16567495201= （3）用C 表示事件“4只中没有白球”99749535)(41247===C C C P 6、解：用A 表示事件“某一特定的销售点得到k 张提货单”nkn k n MM C A P --=)1()( 7、解：用A 表示事件“3只球至少有1只配对”，B 表示事件“没有配对”（1）3212313)(=⨯⨯+=A P 或321231121)(=⨯⨯⨯⨯-=A P （2）31123112)(=⨯⨯⨯⨯=B P 8、（1）设1.0)(,3.0)(,5.0)(===AB P B P A P ，求(),(),(),(),P A B P B A P A B P A A B(),()P AB A B P A AB ；（2）袋中有6只白球，5只红球每次在袋中任取一只球，若取到白球，放回，并放入1只白球，若取到红球不放回也不再放回另外的球，连续取球四次，求第一、二次取到白球且第三、四次取到红球的概率。
概率计算练习题随机事件的概率
概率计算练习题随机事件的概率概率是数学中一个重要的概念，用于描述不确定性事件的可能性。
在概率计算中，随机事件的概率是我们常常碰到的一种计算问题。
在本文中，我们将通过一些练习题来学习如何计算随机事件的概率。
题目一：投掷一枚均匀的骰子，问得到的点数为奇数的概率是多少？解析：骰子有6个面，分别标有数字1、2、3、4、5、6。
总共有6个可能的点数，其中奇数的点数有1、3、5个，所以得到奇数点数的概率为3/6或1/2。
题目二：一副标准扑克牌中，取出一张牌，问取得的牌为红桃的概率是多少？解析：一副标准扑克牌有52张牌，其中红桃牌有13张。
所以取得红桃牌的概率为13/52或1/4。
题目三：从1至100的整数中，随机选取一个数，问该数能被3整除且不能被4整除的概率是多少？解析：在1至100的整数中，能被3整除且不能被4整除的数有3、6、9、15、18、21、...、99，这是一个等差数列。
可以先找到大于等于1且小于等于100的整数中，满足条件的数，再计算数量。
其中，满足条件的数的个数为33个，所以概率为33/100。
题目四：一个袋子里有3个红球和4个蓝球，从袋子中连续取2个球，问两个球颜色相同的概率是多少？解析：首先计算取出两个红球的概率，可以通过组合数学中的排列组合来计算。
有3个红球中选取2个球的组合数为C(3, 2) = 3。
同时，从总共的球数7个中选取2个的组合数为C(7, 2) = 21。
所以取出两个红球的概率为3/21。
同理，取出两个蓝球的概率为C(4, 2) / C(7, 2) = 6/21。
由于取出两个球颜色相同的情况只有取出2个红球或2个蓝球两种情况，所以概率为3/21 + 6/21 = 9/21或3/7。
通过以上几个练习题，我们可以看到在计算随机事件的概率时，需要先明确事件的总量和符合条件的事件数量，再进行计算。
利用概率计算的方法，我们可以更好地理解随机事件的可能性，帮助我们做出更合理的决策。
高考数学概率计算与随机事件选择题
高考数学概率计算与随机事件选择题1. 某班级共有50名学生，其中有20名女生和30名男生。
随机抽取一名学生，抽到女生的概率是多少？2. 一个袋子里有5个红球和6个蓝球，随机取出一个球，取出红球的概率是多少？3. 抛掷一枚公平的六面骰子，得到偶数的概率是多少？4. 在一次抽奖活动中，共有100个奖品，其中有20个一等奖，30个二等奖，50个三等奖。
随机抽取一个奖品，抽到一等奖的概率是多少？5. 某班级共有40名学生，其中有25名喜欢数学，20名喜欢物理。
随机抽取一名学生，抽到喜欢数学或喜欢物理的概率是多少？6. 一个盒子里有5个苹果和3个橙子，随机取出一个水果，取出苹果的概率是多少？7. 抛掷两枚公平的六面骰子，两个骰子点数之和为5的概率是多少？8. 某班级共有30名学生，其中有15名参加了数学竞赛，10名参加了物理竞赛。
随机抽取一名学生，抽到参加了数学竞赛或参加了物理竞赛的概率是多少？9. 某班级共有50名学生，其中有25名男生和25名女生。
随机抽取一名学生，抽到男生的概率是多少？10. 一个袋子里有7个红球和8个蓝球，随机取出一个球，取出蓝球的概率是多少？11. 抛掷一枚公平的六面骰子，得到一个素数的概率是多少？12. 在一次抽奖活动中，共有150个奖品，其中有30个一等奖，50个二等奖，70个三等奖。
随机抽取一个奖品，抽到二等奖的概率是多少？13. 某班级共有40名学生，其中有20名参加了数学竞赛，15名参加了物理竞赛。
随机抽取一名学生，抽到参加了数学竞赛或参加了物理竞赛的概率是多少？14. 一个盒子里有4个苹果和6个橙子，随机取出一个水果，取15. 抛掷两枚公平的六面骰子，两个骰子点数之和为6的概率是多少？16. 某班级共有30名学生，其中有10名喜欢数学，15名喜欢物理。
随机抽取一名学生，抽到喜欢数学或喜欢物理的概率是多少？17. 某班级共有50名学生，其中有25名男生和25名女生。
随机抽取一名学生，抽到女生的概率是多少？18. 一个袋子里有6个红球和4个蓝球，随机取出一个球，取出红球的概率是多少？19. 抛掷一枚公平的六面骰子，得到一个质数的概率是多少？20. 在一次抽奖活动中，共有200个奖品，其中有40个一等奖，60个二等奖，100个三等奖。
概率论习题
第_章随机事件及其概率第一节随机事件第1题设A,B,C为三个随机事件，试用A,B,C的运算关系表示下列事件；⑴D= “A,B,C至少有一个发生”；(2) E= 发生，而B,C都不发生”；⑶F= “A,B,C中恰有一个发生”；(4) G= “A,B,C中恰有两个发生”;(5) H= “A,B,C中至少有两个不发生”;第2题设A={xl<x<5} ,B={x3<x<7},C={xx<]},都是/?={x|-oo<x<+oo冲的集合，试求下列各集合。
(AUB)riC第3题化简(ABUC)(AC)第4题证明：(AHB)-B=A-AB=AB=A-B第5题设A,B,C为3个随机事件，与A互斥的事件是(D)o(A) ABUAC(B) A(BUC)(C) ABC(D)AUMJC第6题对于任意2事件A和B,与AUB=B,不等价的是(D)。
(A)A U B,(B)P U A,(C)AP=0,(Q)BA=0第二节随机事件的概率第7题设随机事件A、B、C互不相容，且P(A)=0・2,P(B)=0・3,P(C)=0・4, 则円(AU®-C］等于()。
第8题对于随机事件A和B,有P(A-B) 等于(C).(A)P(A)-P(B)； (B).P(A)-P(B)+P(AB) (C).P(A)-P(AB)(D).P(A)+P(B)+P(AB)第9题设A、B、C是三个随机事件, 且P(A)=0・3, P(B)=0.4, P(C)=0.6,P(AC)=P(BC)=P(AB)=0.25,P(ABC)=0.2,试求下列各事件的概率：(1)“三个事件中至少有一个发生”记为D1;(2)“三个事件中至少有两个发生”记为D2;第10题设A,B,C为三个事件，已知P(A)=0.3,P(B)=0. & P(C)=0.6, P(AB)=0・2, P(AC)=0, P(BC)=0.6,试求：(1) P(AU^) ；(2) P(AB) ；(C) P(AU5UQ第行题设A和B为随机事件，A和B 至少有一个发生的概率为1/4, A生且B不发生的概率为1/12,求P(B).第12题已知P(A)=P(B)=P(C)=1,P(AC)=P(BC)=^,P(AB)=O,求事件A,BC全不发生的概率。
概率习题
第一章 随机事件与概率习题1.1 P92. 在抛三枚硬币的试验中写出下列事件的集合表示:A=”至少出现一个正面”; B=”最多出现一个正面”; C=”恰好出现一个正面”; D=”出现三面相同”.5. 设X 为随机变量,其样本空间为},20{≤≤=ΩX 记事件}15.0{≤<=X A , }5.125.0{<≤=X B ,写出下列各事件：（1）B A ，（2）B A ，（3）AB ，（4）B A .6. 对飞机进行两次射击,每次射一弹,设A={恰有一弹击中飞机},B={至少有一弹击中飞机},C={两面三刀弹都击中飞机},D={两面三刀弹都没击中飞机}.又设随机变量X 为击中飞机的次数,试用X 表示事件A,B,C,D 中哪些是互不相容的事件?哪些是对立的事件?9. 请叙述下列事件的对立事件: (1) A=”掷两枚硬币,皆为正面”; (2) B=”射击三次,皆命中目标”;(3) C=”加工四个零件,至少有一个合格品”.习题1.2 P283. 任取两个正整数,求它们的和为偶数的概率.11. 口袋中有10个球,分别标有号码1至10,现从中不返回地任取3个,记下取出球的号码,试求: (1) 最小号码为5的概率; (2) 最大号码为5的概率.12. 掷三颗骰子，求以下事件的概率： (1)所得的最大点数小于等于5; (2)所得的最大点数等于5.15. 5个人在第一层进入十一层楼的电梯,假如每个人以相同的概率走出任一层(从第二层开始),求此5个人在不同楼层走出的概率.20. 将3个球随机地放入4个杯子中去,求杯子中球的最大个数分别为1,2,3的概率各为多少?22. 将n 个完全相同的球(这时也称球是不可辨的)随机地放入N 个盒子中,试求:(1) 某个指定的盒子中恰好有k 个球的概率; (2) 恰好有m 个空盒的概率;(3) 某指定的m 个盒子中恰好有j 个球的概率.23. 在区间(0,1)中随机地取两个数,求事件”两数之和小于6/5”的概率.24. 甲乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头,它们在一昼夜内到达的时间是等可能的. 如果甲船的停泊时间是一小时,乙船的停泊时间是两小时,求它们中任何一艘都不需要等候码头空出的概率是多少?27. 设一个质点落在xoy 平面上由x 轴y 轴及直线x+y=1所围成的三角形内,而落在这三角形内各点处的可能性相等,即落在这三角形内任何区域上的概率与这区域的面积成正比,试求此质点落在直线x=1/3的左边的概率是多少?习题1.3 P364. 从0,1,2,…,9等十个数字中任意选出三个不同的数字,试求下列事件的概率: (1)};50{1和三个数字中不含=A (2)};50{2或三个数字中不含=A (3)}.50{3但不含三个数字中含=A8. 从数字1,2,…,9中可重复地任取n 次, 求n 次所取数字的乘积能被10整除的概率.10. 甲掷硬币n+1次, 乙掷n 次. 求甲掷出的正面数比乙掷出的正面数多的概率.14. 某班n 个战士各有1支归个人保管使用的枪, 这些枪的外形完全一样, 在一次夜间紧急集合中, 每人随机地取了1支枪, 求至少有1人拿到自己的枪的概率. 18.设2/1)()(==B P A P , 试证)()(,B A P AB P =19. 对任意的事件A, B, C, 证明: (1));()()()(A P BC P AC P AB P ≤-+ (2))()()(BC P AC P AB P ++1)()()(-++≥C P B P A P22. 证明:(1);1)()()(-+≥B P A P AB P (2)≥)(21n A A A P )1()()()(21--+++n A P A P A P n习题1.4 P484. 设某种动物由出生活到10岁的概率为0.8, 而活到15岁的概率为0.4. 问现年为10岁的这种动物能活到15岁的概率是多少?6. 设n 件产品中有m 件不合格品, 从中任取两件, 已知两件中有一件是不合格品, 求另一件也是不合格品的概率 .9. 已知,3.0)(=A P ,4.0)(=B P 5.0)(=B A P ,求)|(B A B P13. 甲口袋有a 个黑球,b 个白球, 乙口袋有n 个黑球,m 个白球.(1) 从甲口袋任取1个球放入乙口袋, 然后再从乙口袋任取1个球,试求最后从乙口袋取出的是黑球的概率.(2) 从甲口袋任取2个球放入乙口袋, 然后再从乙口袋任取1个球, 试求最后从乙口袋取出的是黑球的概率.16. 钥匙掉了, 掉在宿舍里,掉在教室里,掉在路上的概率分别是40%,35%和25%,而掉在上述三处地方被找到的概率分别是0.8,0.3和0.1, 试求找到钥匙的概率.18. 有两箱零件, 第一箱装50件, 其中10件是一等品; 第二箱装30件, 其中18件是一等品, 现从两箱中随意挑出一箱,然而从该箱中先后任取两个零件,(1) 第一次取出的零件是一等品的概率;(2) 在第一次取出的是一等品的条件下,第二次取出的零件仍然是一等品的概率.19. 学生在做一道有4个选项的单项选择题时,如果他不知道总是的正确答案时,就作随机猜测. 现从卷面上看题是答对了, 试在以下情况下求学生确实知道正确答案的概率.(1) 学生知道正确答案和胡乱猜测的概率是1/2. (2) 学生知道正确答案的概率是0.2.27. 设P(A)>0, 试证)()(1)|(A P B P A B P -≥28. 若事件A 与B 互不相容, 且0)(≠B P , 证明:)(1)()|(B P A P B A P -=31. 设ε-==1)(,)(B P p A P , 证明:εεε-≤≤--1)|(1pB A P p习题1.5 P553. 甲乙两人独立地对同一目标射击一次,其命中率分别为0.6和0.7,现已知目标被击中,求它是甲射中的概率.5. 在一小时内甲,乙,丙三台机床需维修的概率分别是0.9,0.8和0.85,求一小时内(1) 没有一台机床需要维修的概率; (2) 至少有一台机床不需要维修的概率; (3) 至多只有一台机床需要维修的概率.6. 设321,,A A A 相互独立,且3/1)(=i A P ,I=1,2,3. 试求321,,A A A 中 (1) 至少出现一个的概率; (2) 恰好出现一个的概率; (3) 最多出现一个的概率.8. 假设7.0)(,4.0)(==B A P A P , 在以下情况下求)(B P : (1) A, B 不相容; (2) A, B 独立;(3) B A ⊂.14. 每次射击命中率为0.2, 试求:射击多少次才能使至少击中一次的概率不小于0.9?22. 设A,B,C 三事件相互独立, 试证A-B 与C 独立.23. 设0<P(B)<1, 试证事件A 与B 独立的充要条件是)|()|(B A P B A P =第二章 随机变量及其分布习题2.1 P732. 一颗骰子抛两次,以X 表示两次中所得的最小点数.(1) 试求X 的分布列;(2) 写出X 的分布函数, 并作图.4. 有3个盒子,第一个盒子装有1个白球,4个黑球; 第二个盒子装有2个白球,3个黑球; 第三个盒子装有3个白球,2个黑球. 现任取一个盒子,从中任取3个球. 以X 表示所取到的白球数. (1) 试求X 的概率分布列;(2) 取到的白球数不少于2个的概率是多少?6. 设随机变量X 的分布函数为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<≤<=.6,1;63,2/1;31,3/1;10,4/1;0,0)(x x x x x x F试求X 的概率分布列及P(X<3),P(X ≤3),P(X>1),P(X≥1).11. 如果X 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<≤-<≤=其他,021,210,)(x x x x x p试求P(X ≤1.5).13. 设连续随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=.1,1;10,;0,0)(2x x Ax x x F试求(1) 系数A;(2) X 落在区间(0.3,0.7)内的概率; (3) X 的密度函数.15. 设随机变量X 和Y 同分布,X 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<<=.,0;20,83)(2其他x x x p 已知事件A={X>a}和B={Y>a 独立, 且P(A ∪B)=3/4,求常数a.16. 设连续随机变量X 的密度函数p(x)是一个偶函数,F(x)为X 的分布函数, 求证对任意实数a>0, 有 (1);)(5.0)(1)(0⎰-=-=-adx x p a F a F(2);1)(2)|(|-=<a F a X P (3))].(1[2)|(|a F a X P -=>习题2.2 P81试求E(X)和E(3X+5).5. 用天平称某种物品的质量(砝码仅允许放在一个盘中), 现有三组砝码(甲)1,2,2.5,10(g); (乙)1,2,3,4,10(g); (丙)1,1,2,5,10(g), 称重时只能使用一组砝码. 问:当物品的质量为1g, 2g, …, 10g 的概率是相同的, 用哪一组砝码称重所用的平均砝码数最少?7. 对一批产品进行检查, 如查到第a 件全为合格品, 就认为这批产品合格;若在前a 件中发现不合格品即停止检查,且认为这批产品不合格. 设产品的数量很大, 可认为每次查到不合格品的概率都是p, 问每批产品平均要查多少件?11. 设随机变量X 的分布函数如下, 试求E(X).⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥-<≤<=--.1,211;10,21;0,2)()1(21x e x x e x F x x12. 某工程队完成某项工程的时间X(单位:月)是一个随机变量,它的分布列为(1) 试求该工程队完成此项工程的平均月数;(2) 设该工程队所获利润为Y=50(13-X),单位为万元. 试求工程队的平均利润;(3) 若该工程队高速安排,完成该项工程的时间1X (单位:月)的分布为则其平均利润可增加多少?13. 设随机变量X 的概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=.,0;0,2cos 21)(其他πx x x p 对X 独立重复观察4次,Y 表示观察值大于π/3的次数,求Y 2的数学期望.习题2.3 P884. 设随机变量X 的分布函数为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥-<≤<=--,1,211;10,21;0,2)()1(21x ex x e x F x x试求Var(X).5. 设随机变量X 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤<-+=,,0;10,1;01,1)(其他x x x x x p试求Var(3X+2).7. 设随机变量X 仅在区间[a,b]上取值,试证.)2()(,)(2a b X Var b X E a -≤≤≤9. 设g(x)为随机变量X 取值的集合上的非负不减函数,且E(g(X))存在,证明:对任意的ε>0,有.)())(()(εεg X g E X P ≤>11. 已知正常成人男性每升血液中的白细胞数平均是7.3×109,标准差是0.7×109. 试利用切比雪夫不等式估计每升血液中的白细胞数在5.2×109至9.4×109之间的概率的下界. 习题2.4 P1013. 某优秀射手命中10环的概率为0.7, 命中9环的概率为0.3. 试求该射手三次射击所是的环数不少于29环的概率.5. 设随机变量X~b(n,p),已知E(X)=2.4, Var(X)=1.44, 求两个参数n 与p 各为多少?7. 一批产品的不合格品率为0.02, 现从中任取40件进行检查,若发现两件或两件以上不合格品就拒收这批产品. 分别用以下方法求拒收的概率:(1)用二项分布作精确计算;(2)用泊松分布作近似计算.9. 已知某商场一天来的顾客数X 服从参数为λ的泊松分布,而每个来到商场的顾客购物的概率为p,证明:此商场一天内购物的顾客数服从参数为λp 的泊松分布.12. 设随机变量X 的密度函数为⎩⎨⎧<<=.,0;10,2)(其他x x x p 以Y 表示对X 的三次独立重复观察中事件{X ≤1/2}出现的次数,试求P(Y=2).13. 某产品的不合格品率为0.1,每次随机抽取10件进行检验,若发现其中不合格品数多于1, 就去调整设备.若检验员每天检验4次,试问每天平均要高速几次设备.习题2.5 P1153. 设K 服从(1,6)上的均匀分布,求方程012=++Kx x 有实根的概率.6. 设某种商品每周的需求量X 服从区间(10,30)上均匀分布,而商店进货数为区间(10,30)中的某一整数,商店每销售1单位商品可获利500元;若供大于求则削价处理,每处理1单位商品亏损100元;若供不应求,则可从外部调剂供应,此时每1单位商品仅获利300元.为使商店所获利润期望值不少于9280元,试确定最少进货量.10. 某种设备的使用寿命X(以年讲)服从指数分布,其平均寿命为4年.制造此种设备的厂家规定,若设备在使用一年之内损坏,则可以予以调换.如果设备制造厂每售出一台设备可赢利100元,而调换一台设备制造厂需花费300元.试求每台设备的平均利润.11. 设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X(以min 计)服从指数分布,其密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧>=-.,0;0,51)(5其他x e x p x某顾客在窗口等待服务,若超过10min,他就离开,他一个月要到银行5次,以Y 表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数,试求P(Y ≥1).13. 设随机变量X 的密度函数为⎩⎨⎧≤>=-.0,0;0,)(x x e x p x λλ(λ>0)20. 设X~N(3,22),(1)求P(2<X≤5);(2)求P(|X|>2);(3)确定c合得P(X>c)=P(X<c).23. 从甲地飞往乙地的航班,每天上午10:10起飞,飞行时间X服从均值是4h,标准差是20min的正态分布.(1)该机在下午2:30以后到达乙地的概率是多少?(2)该机在下午2:20以前到达乙地的枝率是多少?(3)该机在下午1:50至2:30之间到达乙地的概率是多少?24. 某单位招聘员工,共有10000人报考.假设考试以下有1151人.现按考试成绩从高分到低分依次录用2500人,试问被录用者最低分为多少?30. 设随机变量X~N(μ,σ2),求E|X-μ|.习题2.6 P123试求Y=X与Z=|X|的分布列.3. 设随机变量X服从(-1,2)上的均匀分布,记⎩⎨⎧<-≥=.0,1;0,1XXY试求Y的分布列.7. 设随时机变量X服从区间(1,2)上的均匀分布,试求XeY2=的密度函数.8. 设随机变量X服从区间(0,2)上的均匀分布,(1)求Y=X 2的密度函数.(2)P(Y<2).13. 设),(~2σμN X ,求Xe Y =的数学期望与方差.15. 设随机变量X 的密度函数为⎩⎨⎧≤>=-.0,0;0,)(x x e x p x 若若试求以下Y 的密度函数(1) Y=2X+1; (2)Xe Y =; (3)2X Y =.17.设),(~2σμLN X ,试证:).,(~ln 2σμN X Y =第三章 多维随机变量及其分布习题3.1 1432. 100件产品中有50件一等品,30件二等品,20件三等品.从中不放回地抽取5件,以X,Y 分别表示取出的5件中一等品,二等品的件数,求(X,Y)的联合分布列.5. 设随机变量(X,Y)的联合密度函数为⎩⎨⎧<<<<--=.,0;42,20),6(),(其他y x y x k y x p 试求(1) 常数k;(2) P(X<1,Y<3); (3) P(X<1.5); (4) P(X+Y ≤.6. 设随机变量(X,Y)的联合密度函数为⎩⎨⎧>>=+-.,0;0,0,,()43(其他y x ke yP x p y x 试求(1) 常数k;(2) (X,Y)的联合分布函数F(x,y); (3) P(0<X ≤1,0<Y ≤2).11. 设二维随时机变量(X,Y)的联合密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<<<<+=.,0;20,10,3),(2其他y x xyx y x p 求P(X+Y ≥1).13. 设二维随时机变量(X,Y)的联合密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<<<<=.,0;20,10,21),(其他y x y x p 求X 与Y 中至少有一个小于0.5的概率.习题3.2 P1534.设平面区域D 由曲线及直线y=1/x 及直线y=0,x=1,x=e2所围成,二维随机变量(X.,Y)在区域D 上服从均匀分布,试求X 的边际密度函数.6. 设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为⎩⎨⎧<<<<=.,0;10,6),(2其他x y x y x p试求边际密度函数).()(y p x p Y X 和12. 设X 与Y 是两个相互独立的随机变量, X~U(0,1), Y~Exp(1). 试求(1)X 与Y 的联合密度函数; (2)P(Y ≤X); (3)P(X+Y ≤1).14. 设随机变量(X,Y)的联合密度函数为⎩⎨⎧<<<=.,0;10,||,1),(其他y y x y x p 试求(1)边际密度函数)()(y p x p Y X 和;(2)X 与Y 是否独立?16. 设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为p(x,y). 证明:X 与Y 相互独立的充要条件是p(x,y)可分离变量,即p(x,y)=h(x)g(y). 又问h(x),g(y)与边际密度函数有什么关系?习题3.3 P163试分别求U=max(X,Y)和V=min(X,Y)的分布列.已知P(XY=0)=1,试求Z=max(X,Y)的分布列.5. 设X 和Y 为两个随机变量,且.74)0()0(,73)0,0(=≥=≥=≥≥Y P X P Y X P 试求).0),(max(≥Y X P6. 设X 与Y 的联合密度函数为⎩⎨⎧>>=+-.,0;0,0,),()(其他y x e y x p y x试求以下随机变量的密度函数(1)Z=(X+Y)/2;(2)Z=Y-X.8. 某种商品一周的需要量是一个随机变量,其密度函数为⎩⎨⎧≤>=-.0,0;0,)(1t t te t p t 设各周的需要量是相互独立的,试求 (1) 两周需要量的密度函数)(2x p ; (2) 三周需要量的密度函数).(3x p10. 设二维随机变量(X,Y)在矩形}10,20|),{(≤≤≤≤=y x y x G上服从均匀分布,试求边长分别为X 和Y 的矩形面积Z 的密度函数. 16. 设随机变量n X X X ,,,21 相互独立,且)(~i i Exp X λ,试证:nin i X X X X P λλλλ+++== 2121)),,,min((18. 设随机变量X 与Y 独立同分布,其密度函数为⎩⎨⎧≤>=-.0,0;0,)(x x e x p x (1) 求)/(Y X X V Y X U +=+=与的联合密度函数);,(,v u p V U (2) 以上的U 与V 独立吗?19. 设随机变量X 与Y 相互独立,且).,(~),,(~21λαλαGa Y Ga X 试证:U=X+Y 与C=X/Y 相互独立.习题3.4 P1812. 求掷n 颗骰子出现点数之和的数学期望与方差.3. 从数字0,1,…,n 中任取两个不同的数字,求这两个数字之差的绝对值的数学期望.5. 盒中有n 个不同的球,其上分别写有数字1,2,…,n.每次随机抽出一个,记下其号码,放回去再抽.直到抽到有两个不同的数字为止.求平均抽球次数.9. 设521,,X X X 是独立同分布的随机变量，其共同密度函数为⎩⎨⎧<<=其他,0;10,2)(x x x p使求),,,max(521X X X Y =的密度函数、数学期望和方差。
第一章：随机事件与概率(练习一)
第一章：随机事件与概率（练习一）1.设A 与B 互为对立事件，且P （A ）>0，P （B ）>0，则下列各式中错误．．的是（ ） A.P （A ）=1-P （B ）B.P （AB ）=P （A ）P （B ）C.P 1)(=ABD.P （A ∪B ）=12．设A 为随机事件，则下列命题中错误．．的是（ ） A ．A 与A 互为对立事件B ．A 与A 互不相容C ．Ω=⋃A AD ．A A =3．设A ，B 为两个互不相容事件，则下列各式错误．．的是（ ） A ．P （AB ）=0 B ．P （A ∪B ）=P （A ）+P （B ）C ．P （AB ）=P （A ）P （B ）D ．P （B-A ）=P （B ）4．设事件A 与B 互不相容，且P (A )>0，P (B ) >0，则有（ ）A ．P (AB )=l B ．P (A )=1-P (B )C ．P (AB )=P (A )P (B )D ．P (A ∪B )=15．设A 、B 相互独立，且P (A )>0，P (B )>0，则下列等式成立的是（ ）A ．P (AB )=0B ．P (A -B )=P (A )P (B )C ．P (A )+P (B )=1D ．P (A |B )=06．设A ，B 为两个随机事件，且0)(,>⊂B P A B ，则P (A |B )=（ ）A ．1B ．P (A )C ．P (B )D ．P (AB )7．从标号为1，2，…，101的101个灯泡中任取一个，则取得标号为偶数的灯泡的概率为（ ）A ．10150 B ．10151 C ．10050 D ．10051 8．设事件A 、B 满足P （A B ）=0.2，P （B ）=0.6，则P （AB ）=（ ）A ．0.12B ．0.4C ．0.6D ．0.89．设每次试验成功的概率为p(0<p<1)，则在3次独立重复试验中至少成功一次的概率为（ ）A ．1-（1-p ）3B ．p(1-p)2C ．213)1(p p C -D ．p+p 2+P 310．某人射击三次，其命中率为0.8，则三次中至多命中一次的概率为（ ）A ．0.002B ．0.04C ．0.08D ．0.10411.同时抛掷3枚均匀的硬币，则恰好三枚均为正面朝上的概率为（ ）A.0.125B.0.25C.0.375D.0.512．设在三次独立重复试验中，事件A 出现的概率都相等，若已知A 至少出现一次的概率为19／27，则事件A 在一次试验中出现的概率为（ ）A ．61B ．41 C ．31 D ．21 13．设随机事件A 与B 互不相容，P （A ）=0.2，P(B)=0.4，则P （B|A ）=（ ）A ．0B ．0.2C ．0.4D ．114．设事件A ，B 互不相容，已知P （A ）=0.4，P(B)=0.5，则P(A B )=（ ）A ．0.1B ．0.4C ．0.9D ．115.设A 、B 为任意两个事件，则有（ ）A.（A ∪B ）-B=AB.(A-B)∪B=AC.(A ∪B)-B ⊂AD.(A-B)∪B ⊂A16．设事件A ，B 相互独立，且P （A ）=31，P （B ）>0，则P （A|B ）=（ ） A ．151 B ．51 C ．154 D ．31 17．某人每次射击命中目标的概率为p (0<p <1)，他向目标连续射击，则第一次未中第二次命中的概率为（ ）A ．p 2B ．(1-p )2C ．1-2pD ．p (1-p )18．已知P (A )=0.4，P (B )=0.5，且A ⊂B ，则P (A |B )=（ ）A ．0B ．0.4C ．0.8D ．119．一批产品中有5%不合格品，而合格品中一等品占60%，从这批产品中任取一件，则该件产品是一等品的概率为（ ）A ．0.20B ．0.30C ．0.38D ．0.5720.设A ，B 为两事件，已知P （A ）=31，P （A|B ）=32，53)A |B (P =，则P （B ）=（ ） A.51 B. 52 C. 53 D. 54。
概率统计习题集（含答案）
第一章 随机事件及其概率一、选择题：1．设A 、B 、C 是三个事件，与事件A 互斥的事件是： （ ）A ．AB AC + B ．()A B C + C ．ABCD ．A B C ++2．设B A ⊂ 则 （ ）A ．()P AB =1-P （A ） B ．()()()P B A P B A -=-C ． P(B|A) = P(B)D ．(|)()P AB P A =3．设A 、B 是两个事件，P （A ）> 0，P （B ）> 0,当下面的条件（ ）成立时，A 与B 一定独立A ．()()()P AB P A P B = B ．P （A|B ）=0C ．P （A|B ）= P （B ）D ．P （A|B ）= ()P A4．设P （A ）= a ，P （B ）= b, P （A+B ）= c, 则 ()P AB 为： （ ）A ．a-bB ．c-bC ．a(1-b)D ．b-a5．设事件A 与B 的概率大于零，且A 与B 为对立事件，则不成立的是 （ ）A ．A 与B 互不相容 B ．A 与B 相互独立C ．A 与B 互不独立D ．A 与B 互不相容6．设A 与B 为两个事件，P （A ）≠P （B ）> 0，且A B ⊃，则一定成立的关系式是（ ）A ．P （A|B ）=1 B ．P(B|A)=1C ．(|A)1p B =D ．(A|)1p B =7．设A 、B 为任意两个事件，则下列关系式成立的是 （ ）A ．()AB B A -= B ．()A B B A -⊃C ．()A B B A -⊂D ．()A B B A -=8．设事件A 与B 互不相容，则有 （ ）A ．P （AB ）=p （A ）P （B ） B ．P （AB ）=0C ．A 与B 互不相容D ．A+B 是必然事件9．设事件A 与B 独立，则有 （ ）A ．P （AB ）=p （A ）P （B ） B ．P （A+B ）=P （A ）+P （B ）C ．P （AB ）=0D ．P （A+B ）=110．对任意两事件A 与B ，一定成立的等式是 （ ）A ．P （AB ）=p （A ）P （B ） B ．P （A+B ）=P （A ）+P （B ）C ．P （A|B ）=P （A ）D ．P （AB ）=P （A ）P （B|A ）11．若A 、B 是两个任意事件，且P （AB ）=0，则 （ ）A ．A 与B 互斥 B ．AB 是不可能事件C ．P （A ）=0或P （B ）=0D ．AB 未必是不可能事件12．若事件A 、B 满足A B ⊂，则 （ ）A ．A 与B 同时发生 B ．A 发生时则B 必发生C ．B 发生时则A 必发生D ．A 不发生则B 总不发生13．设A 、B 为任意两个事件，则P （A-B ）等于 （ ）A ． ()()PB P AB - B ．()()()P A P B P AB -+C ．()()P A P AB -D ．()()()P A P B P AB --14．设A 、B 、C 为三事件，则AB BC AC 表示 （ ）A ．A 、B 、C 至少发生一个 B ．A 、B 、C 至少发生两个C ．A 、B 、C 至多发生两个D ．A 、B 、C 至多发生一个15．设0 < P (A) < 1. 0 < P (B) < 1. P(|B)+P(A B A )=1. 则下列各式正确的是（ ）A ．A 与B 互不相容 B ．A 与B 相互独立C ．A 与B 相互对立D ．A 与B 互不独立16．设随机实际A 、B 、C 两两互斥，且P （A ）=0.2，P （B ）=0.3，P （C ）=0.4，则PA B C -= （）（ ）. A ．0.5 B ．0.1 C ．0.44 D ．0.317掷两枚均匀硬币，出现一正一反的概率为 （ ）A ．1/2B ．1/3C ．1/4D ．3/418．一种零件的加工由两道工序组成，第一道工序的废品率为 1p ，第二道工序的废品率为2p ，则该零件加工的成品率为 （ ）A ．121p p --B ．121p p -C ．12121p p p p --+D ．122p p --19．每次试验的成功率为)10(<<p p ，则在3次重复试验中至少失败一次概率为（ ）。
第1章随机事件及其概率习题解答
第1章随机事件及其概率习题解答一．选择题1．下列关系正确的是( C )．A ．．B ．．C ．0∈∅{0}∅∈{0}∅⊂．D ．{0}∅=．2．随机试验E 为：统计某路段一个月中的重大交通事故的次数，A ={无重大交通事故}；B ={至少有一次重大交通事故}；C ={重大交通事故的次数大于1}；{重大交通事故的次数小于2}，则互不相容的事件是( D )．D =A ．B 与C ． B ．A 与． C ．D B 与． D ．C 与．D D 3．设{}{}2222(,)1,(,)4P x y x y Q x y x y =+==+=，则( C )．A ．．B ．．C ．与P Q ⊂P Q <P Q ⊂P Q ⊃都不对．D ．．4P Q =4．打靶3发，事件{击中发}，i =0，1，2，3．那么事件i A =i 12A A A A 3=U U 表示( B )． A ．全部击中．B ．至少有一发击中．C ．必然击中．D ．击中不少于3发．5．设,,A B C 为随机试验中的三个事件，则A B C U U 等于( B ) ．A ．ABC U U ． B ．A B C I I ． C ．．D ．．A B C I I A B C U U 6．设A 与B 互斥(互不相容)，则下列结论肯定正确的是( D ) ．A ．A 与B 不相容． B ．A 与B 必相容．C ．．D ．()()()P AB P A P B =()(P A B P A )−=．7．设随机事件A 、B 互斥，(), (),P A p P B q ==则()P A B =U ( D )．A ．．B ．1．C ．．D ．1q q −p p −．8．设随机事件A 、B 互斥，(), ()P A p P B q ==，则()P A B =I ( A )．A ．．B ．1．C ．．D ．1p p −q q −．9．设有10个人抓阄抽取两张戏票，则第三个人抓到戏票的概率等于( D )．A ．0 ．B ．14．C ．18．D ．15．10．设，则下列公式正确的是( C )．()0, ()0P A P B >>A ．[]()() 1(P A B PA PB −=−)． B ．( )()()P A B P A P B =⋅．C ．(|)(|P AB A P B A )=．D ．()(|P A B P B A =)．11．随机事件A 、B 适合B A ⊂，则以下各式错误的是( B )．A ．．B ．()(P A B P A =U )(|)()P B A P B =．C ．( )()P A B P A =．D ．()()P B P A ≤．12．设A ．B 为任意两个事件并适合A B ⊂，，则下结论必然成立的是( B )． ()0P B >A ．． B ．()(|)P A P A B <()(|)P A P A B ≤．C ．．D ．．()(|)P A P A B >()(|)P A P A B ≥13．已知()0.8, ()0.6, ()0.96P A P B P A B ===U ，则(|)P B A =( B )．A ．．B ．0.55．C ．0.441115． D ．． 0.4814．设,A B 相互独立，，()0.75P A =()0.8P B =，则()P A B =U ( B )．A ．0.45．B ．0.4．C ．0.6．D ．0.55．15．某类灯泡使用时数在500小时以上的概率为0.5，从中任取3个灯泡使用，则在使用500小时之后无一损坏的概率为( A )．A ．18．B ．28．C ．38．D ．48． 16．一批产品，优质品占20%，进行重复抽样检查，共取5件产品进行检查，则恰有三件是优质品的概率等于( D )．A ． ．B ．．C ． 30.230.20.8×230.210×．D ． ．32100.20.8××17．若,A B 相互独立，，()0.3P B =()0.6P A =，则(P B A )等于( B )．A ．0.6B ．0.3C ．0.5D ．0.1818．设,A B 相互独立且()0.7,()0.4P A B P A ==U ，则()P B =( A )．A ．0.5．B ．0.3．C ．0.75．D ．0.42．19．一批产品的废品率为0.01，从中随机抽取10件，则10件中废品数是2件的概率为( C )．A ．B ．210(0.01)C 22822810(0.01)(0.99)C C ． D ．8210(0.01)(0.99)C 8810(0.01)(0.99)C 20．每次试验的成功率为(01)p p <<，则在三次独立重复试验中，至少失败一次的概率为( B )．A ．3(1)p −．B ．31p −．C ．3(1)p −．D ．23(1)(1)(1)p p p −+−+−． 二．填空题21． 设A ={掷一颗骰子出现偶数点}，B ={掷一颗骰子出现2点}，则A 与B 有关系B A ⊂．22．如果A B A =U ，且AB A =，则事件A 与B 满足的关系是__ A=B ________．23．对目标进行射击，设表示恰好射中i 次的事件，(=0，1，2，3，4)．那么表示事件“射中次数___i A i 23A A A A =U U 4不小于二次(或≥2)______”24．设样本空间，则{1,2,10},{2,3,4,},{3,4,5,},{5,6,7}U A B C ====L ()A B C =U {1,2,5,6,7,8,9,10}．25．已知，()0.72P AB =()0.18P AB =，则()P A =____0.90_______．26．设,A B 是两个互不相容的随机事件，且知11(),()42P A P B ==则()P A B =U ()()()()(()()1/2P A P B P AB P A P B P A P AB +−=+−+=． 27．一批产品1000件，其中有10件次品，每次任取一件，取出后不放回去，连取二次，则取得的都是正品的概率等于99098910879100099911100×=．28．已知：．则__()0.4, ()0.3, ()0.3P A P B P A B ==−=()P A B =U _0.6_______．29．已知和，则()P A (P AB )()P A B =U 1()()P A P AB −+． 30．已知：11()()() ()() ()0416P A P B P C P AB P BC P AC ======． 则(P A B C ⋅⋅=)___3/8_______．31．已知()0.5 ()0.4 ()0.7P A P B P A B ===U ．则()P A B −=____0.3______．32．已知()0.1,()0.3,()0.2P A P B P A B ===，则(|)P A B =__4/70_______.33．已知11(),()24P A P B A ==，则()P AB =_____3/8_____． 34．已知1334(),(|),(|)35P A P B A P B A ===(|)P A B ，则=__2/7___． 35．已知12(),(),(|)25P A P B P B A 23===，则()P A B =U ___17/30_________． 36．设是随机试验123,,A A A E 的三个相互独立的事件，已知1()P A α=，2()P A β=，3()P A γ=，则至少有一个发生的概率是123,,A A A αβγαββγγααβγ++−−−+． 37．事件,A B 相互独立，且(),(01),()(01)P A p p P B q q =<<=<<，则{}P A B =U 1pq −．38．设,A B 相互独立，且知11(),()23P A P B ==，则()P A B =U ___2/3________． 39．从含有6个红球，4个白球和5个蓝球的盒中随机地摸取一个球，则取到的不是红球的事件的概率等于_______3/5______________．40．某车间有5台机器，每天每台需要维修的概率为0.2，则同一天恰好有一台需要维修的概率为145(0.2)(0.8)0.4096C =．41．一只袋中有4只白球和2只黑球，另一只袋中有3只白球和5只黑球，如果从每只袋中独立地各摸一只球，则事件“两只球都是白球”的概率等于___1/4______．42．设袋中有两个白球和三个黑球，从袋中依次取出一个球，有放回地连续取两次，则取得二个白球的事件的概率是220.1655⋅=．43．某产品的次品率为0.002，现对其进行重复抽样检查，共取200件样品，则查得其中有4件次品的概率的计算式是p 44196200(0.002)(0.998)C ××．44．设在一次试验中事件A 发生的概率为p ，则在5次重复独立试验中．A 至少发生一次的概率是51(1)p −−．三．应用计算题 45．已知()0.3P A =，()0.4P AB =，()0.5P B =，求(1)； (2)； (3)； (4)(P AB )))(P B A −(P A B U (P AB )．解：(1)由 ()0.3P A =，()()()0.4P AB P A P AB =−=得，()0.P AB =3（2）()()()0.50.30.2P B A P B P AB −=−=−=（3）()()()()0.9P A B P A P B P AB =+−=U （4）(()1()0.P P A B P A B ==−U U 1= 46. 已知3.0)(=A P ，4.0)(=B P ，5.0(=B A P ，求(B A B P U ．解：由()()()0.5P AB P A P AB =−=得，()0.P AB 2=[()]()()P B A B P B A B P A B =I U U U ()()()()P A B P A P B P AB =+−I 0.20.250.8== 47. 已知41)(=A P ，31)(=AB P ，21)(=B A P ，求. )(B A P U 解：由()1()()3P AB P B A P A ==，得11()()31P AB P A 2==；又由()1()()2P AB P A B P B ==， 得1()2()6P B P AB ==，由此得 ()()()()P A B P A P B P AB =+−U 111146123=+−= 48. 某门课只有通过口试及笔试两种考试才能结业．某学员通过口试的概率为80%，通过笔试的概率为65%，至少通过两者之一的概率为85%．问这名学生能完成这门课程结业的概率是多少？解：设A ={通过口试}，B ={通过笔试}，则这名学生能完成这门课程结业的概率为 ()()()()0.80.650.850.6P AB P A P B P A B =+−U =+−=49．一批产品总数为100件，其中有2件为不合格品，现从中随机抽取5件，问其中有不合格品的概率是多少？解：设A ={所抽取的5件没有不合格品}，则其中有不合格品的概率为598510089397()1()11990990C P B P A C =−=−=−= 50. 在区间(0,1)中随机地取两个数，求这两个数只差的绝对值小于21的概率． 解：设A ={取到的两个数只差的绝对值小于21}，又设取到的两个数分别为和x y ，则，{(,)|01,01}x y x y Ω=<<<<{(,)|||1/2}A x y x y =−<，则有11/43()0.7514A S P A S Ω−==== 51. 设某种动物由出生算起活20年以上的概率为0.8，活25年以上的概率为0.4.如果现在有一只20岁的这种动物，问它能活到25岁以上的概率是多少？解：设A ={某种动物由出生算起活20年以上}，B ={某种动物由出生算起活25年以上}，则一只20岁的这种动物，它能活到25岁以上的概率为()()0.4(|)0.5()()0.8P AB P B P B A P A P A ==== 52. 设有100件产品，其中有次品10件，现依次从中取3件产品，求第3次才取到合格品的概率．解：设{第i 次取到合格品}，则第3次才取到合格品的概率为i A =123121312()()(|)(|)P A A A P A P A A P A A A =10990910099981078=××= 53. 有两个口袋，甲袋中盛有2个白球，1个黑球；乙袋中盛有1个白球，2个黑球.由甲袋中任取一球放入乙袋，再从乙袋任取一球，问从乙袋取得白球的概率是多少?解：设A={从甲袋中取白球放入乙袋}，B={从乙袋取得白球}，则()()(|)()(|P B P A P B A P A P B A =+22115343412=×+×= 54. 设男女两性人口之比为51：49．又设男人色盲率为2%，女人色盲率为0.25%．现随机抽到一个人为色盲，问该人是男人的概率是多少？解：设A={男}，B={色盲}，则()(|)()P AB P A B P B =()(|)()(|)()(|)P A P B A P A P B A P A P B A =+ 0.510.020.89280.510.020.490.0025×=≈×+× 55. 做一系列独立的试验，每次试验中成功的概率为p ，求在成功次之前已经失败次的概率．n m 解：设A={前1n m +−试验中有失败}，B={n m m +次试验成功}，则在成功n 次之前已经失败m 次的概率为111()()()(1)(1)m n m m n m n m n P AB P A P B C p p p C p p −+−+−==−⋅=−m56. 加工某一零件共需经过四道工序，设各道工序的次品率分别是2%， 3%，5%，3%，假定各道工序是互不影响的，求加工出来的零件的次品率．解：设{第i 道工序合格}，则加工出来的零件的次品率为i A =12341234()()P P A A A A =U U U I I I 12341(P A A A A )=−I I I12341()()()()P A P A P A P A =−10.980.970.950.970.124=−×××≈。
概率第一章-随机事件-参考习题-带答案
装订线内请勿答装订线内请勿答一、填空题1.设A , B为两个随机事件，则A , B都发生的事件的表示为；其对立事件为；至少有一个发生的事件为。
2.一袋中装有3只白球，5只黑球.现从中任取2球，则2只球都是黑球的概率为.3.设A,B为两个事件, 若概率P（B）＝103，P(B|A)=61, P(A+B)=54, 则概率P（A）＝.4.设A，B为两个事件，且已知概率P（A）=0.4, P（B）=0.3, 若事件A,B互斥，则概率P(A+B)= ；若事件A, B相互独立，则概率P(A+B)= .5.一批商品共有100件, 次品率为0.05.连续两次有放回地从中任取一个, 则到第二次才取到正品的概率为6.设A，B，C为三个随机事件，则至少有一个事件发生记作(1)__________；(2) 至多有两个事件发生记作____7、设事件{,}A x x n n N==∈，事件{2,}B x x k k N==∈，则(1)A B+= (2) A B-=8、将一枚均匀硬币抛掷两次，若设X表示出现正面的次数则(1)P X≥=9、设A，B为三个随机事件，则至少有一个事件发生记作(1)__________ (2) 至少有两个事件不发生记作____10、设事件{1,2,3,4,5}A=，事件{2,4,6}B=，则(1)A B+=(2) A B-=11、将一颗骰子抛掷一次，则样本空间(1)S＝___________(2)若A＝{偶数点}，则()P A=__12.设A , B为两个随机事件，则A , B都发生的事件的表示为；其对立事件为；A , B都发生或都不发生可表示为；其对立事件为.13.设A,B为两个事件, 若概率P（B）＝103，P(B|A)=61, P(A+B)=54, 则概率P（A）＝.14.一袋中装有3只白球，5只黑球.现从中任取2球，则2只球都是黑球的概率为.15.设A，B为两个事件，且已知概率P（A）=0.4, P（B）=0.3, 若事件A,B互斥，则概率P(A+B)= ；若事件A, B相互独立，则概率P(A+B)= .16.一批电子元件共有100个, 次品率为0.05.连续两次有放回地从中任取一个, 则第二次才取到正品的概率为.17、若A，B，C为三个随机事件，则A，B，C至少有一个发生的事件记作。
习题1 随机事件及其概率
习题一 随机事件及其概率一、填空题1．设随机试验E 对应的样本空间S ,与其任何事件不相容的事件为φ，而与其任何事件相互独立的事件为φP （A|B ）=1, 则A 、B 两事件的关系为 A=B ；设E 为等可能型试验，且S 包含 10 个样本点，则按古典概率的定义其任一基本事件发生的概率为 0.1 。
2．若A 表示某甲得100分的事件，B 表示某乙得100分的事件，则（1）A 表示 甲未得100分的事件；（2）A B ⋃表示 甲乙至少有一人得100分的事件；（3）AB 表示 甲乙都得100的事件；（4）AB 表示 甲得100分，但乙未得100分的事件；（5）AB 表示 甲乙都没得100分的事件；（6）AB 表示 甲乙不都得100分的事件；3．若事件,,A B C 相互独立，则()P A B C ⋃⋃= ()()()()()()()()()()P A P B P C P A P B P A P C P B P C P A PB PC ++---+。
4．若事件,A B 相互独立，且()0.5,()0.25,P A P B ==则 ()P A B ⋃=0.625。
5．设111()()(),()()(),(),4816P A P B P C P AB P AC P BC P ABC =======则 ()P A B C ⋃⋃=167；()P ABC =169；(,,)P A B C =至多发生一个43；(,,P A B C =恰好发生一个）163；(|)P A A B C ⋃⋃=74。
6．袋中有 50 个乒乓球，其中 20 个是黄球，30 个白球，今有两人依次随机地从袋中各取1球，取后不放回，则第二个人取得黄球的概率是 0.4 。
7．将 C ，C ，E ，E ，I,N,S 七个字母随机地排成一行，则恰好排成英文单词 SCIENCE 的概率为11260。
8．10 件产品有 4 件次品，现逐个进行检查，则不连续出现 2 个次品的概率为 。
概率论与数理统计练习题附答案详解
第一章《随机事件及概率》练习题一、单项选择题1、设事件A 与B 互不相容，且P (A )＞0，P (B )＞0，则一定有（ ）（A ）()1()P A P B =-； （B ）(|)()P A B P A =；（C ）(|)1P A B =； （D ）(|)1P A B =。
2、设事件A 与B 相互独立，且P (A )＞0，P (B )＞0，则（ ）一定成立 （A ）(|)1()P A B P A =-； （B ）(|)0P A B =；（C ）()1()P A P B =-； （D ）(|)()P A B P B =。
3、设事件A 与B 满足P (A )＞0，P (B )＞0，下面条件（ ）成立时，事件A 与B 一定独立（A ）()()()P AB P A P B =； （B ）()()()P A B P A P B =；（C ）(|)()P A B P B =； （D ）(|)()P A B P A =。
4、设事件A 和B 有关系B A ⊂，则下列等式中正确的是（ ）（A ）()()P AB P A =； （B ）()()P A B P A =；（C ）(|)()P B A P B =； （D ）()()()P B A P B P A -=-。
5、设A 与B 是两个概率不为0的互不相容的事件，则下列结论中肯定正确的是（ ） （A ）A 与B 互不相容； （B ）A 与B 相容； （C ）()()()P AB P A P B =； （D ）()()P A B P A -=。
6、设A 、B 为两个对立事件，且P (A )≠0，P (B ) ≠0，则下面关系成立的是（ ） （A ）()()()P AB P A P B =+； （B ）()()()P A B P A P B ≠+； （C ）()()()P AB P A P B =； （D ）()()()P AB P A P B =。
7、对于任意两个事件A 与B ，()P A B -等于（ ）（A ）()()P A P B - （B ）()()()P A P B P AB -+； （C ）()()P A P AB -； （D ）()()()P A P B P AB +-。
概率论与数理统计统计习题册
第一章 随机事件与概率一、填空题1. 设 A 、B 、C 是三个随机事件。
试用 A 、B 、C 的运算关系表示下列事件： 1）A 、B 、C 至少有一个发生 2）A 、B 、C 中恰有一个发生3）A 、B 、C 不多于一个发生2. 设 A 、B 为随机事件， ，，P (A)=0.5P(B)=0.6P(B A )=0.8。
则P(＝ B )A3. 若事件A 和事件B 相互独立, P()=,A αP(B)=0.3，P(A B)=0.7, 则α=4. 将C,C,E,E,I,N,S 等7个字母随机的排成一行，那末恰好排成英文单词SCIENCE 的概率为5. 甲、乙两人独立的对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为 二、选择题1. 设A,B 为两随机事件，且B A ⊂，则下列式子正确的是（ ） （A ）P (A B) = P (A) （B ）⋃()P(A)P AB ;= （C ）(|A)P(B);P B = （D ）(A)P B -=()P(A)P B -2. 以A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件A 为（ ） （A ）“甲种产品滞销，乙种产品畅销”； （B ）“甲、乙两种产品均畅销” （C ）“甲种产品滞销”； （D ）“甲种产品滞销或乙种产品畅销”。
3. 袋中有50个乒乓球，其中20个黄的，30个白的，现在两个人不放回地依次从袋中随机各取一球。
则第二人取到黄球的概率是（ ）（A ）1/5 （B ）2/5 （C ）3/5 （D ）4/5 4. 对于事件A ，B ，下列命题正确的是（ ） （A ）若A ，B 互不相容，则A 与B 也互不相容。
（B ）若A ，B 相容，那么A 与B 也相容。
（C ）若A ，B 互不相容，且概率都大于零，则A ，B 也相互独立。
（D ）若A ，B 相互独立，那么A 与B 也相互独立。
5. 若()P B A =1，那么下列命题中正确的是（ ）（A ）A （B ）B ⊂B A ⊂ （C ）A B -=∅ （D ） ()P A B -=0三、计算题1. 一个袋内装有7个球，其中4个白球，3个黑球。
概率论与数理统计——第一章练习题
第一章 随机事件与概率（一）随机事件知识点1、称试验E 的样本空间的子集为随机事件，用A 、B 、C …表示。
事件A 的元素是样本点，它在一次试验中，可能出现，也可能不出现。
A 中的某个样本点出现了，事件A 发生，否则，A 不发生。
因此，在一次试验中，可能发生也可能不发生的事情，就是随机事件。
样本空间S 有两个特殊的子集；S 自身和空集φ。
S 含所有的样本点，每次试验，必然发生；φ不含样本点，每次试验一定不发生。
在一定条件下，每次试验一定发生的事情，称为必然事件。
每次试验一定不发生的事情，称为不可能事件。
必然事件S ，不可能事件φ是事先就能明确是否会发生，属于确定性现象，但在概率统计中，为了研究问题的需要，仍将其作为特殊的随机事件处理，使得事件间有着完整的关系，S A ⊂⊂φ。
此外，在样本空间的子集中，只含一个样本点的事件，称为基本事件。
样本点的个数超过一个的事件，称为复合事件。
2、事件之间的关系和运算由于事件是样本点的集合，因此，事件之间的关系和运算可借助集合之间的关系与运算来定义。
其运算规律也同集合间的运算规律。
(1)事件的包含与相等若事件A 发生必然导致事件B 发生，则称A 包含于B (或B 包含A )，记B A ⊂(或A B ⊃)。
若B A ⊂且A B ⊃，则称事件A 与事件B 相等，记B A =。
(2)事件的和事件A 与事件B 至少有一个发生的事件，记作B A ，称为A 与B 的和事件，有{}B e A e e B A ∈∈=或 。
同样地有限个事件n A A A ,,,21 至少有一个发生的事件，记作 ni i A 1=，称为有限个事件的和事件。
可列多个事件 ,,,,21i A A A 至少有一个发生的事件，记作 ∞=1i i A ，称为可列多个事件的和事件。
(3)事件的积事件A 与事件B 同时发生的事件，记作B A (或AB )，称为A 与B 的积事件，{}B e A e e AB ∈∈=且 类似地，有限个多个事件n A A A ,,,21 同时发生的事件，记作 ni i A 1=。
第一章随机事件及其概率习题
第一章 随机事件及其概率习题一 、填空题：1.设A ，B ，C 为三个事件，用A 、B 、C 的运算关系表示（1）A 和B 都发生，而C 不发生为 ，（2）A 、B 、C 至少有两个发生的事件为 。
2.设A ，B 为两个互不相容的事件，P(A)=0.2, P(B)=0.4, P(A+B)= 。
3.设A ，B ，C 为三个相互独立的事件，已知P(A)=a, P(B)=b, P(C)=c,则A ，B ，C 至少有一个发生的概率为 。
4.把一枚硬币抛四次，则无反面的概率为 ，有反面的概率为 。
5.电话号码由0，1，……9中的8数字排列而成，则电话号码后四位数字全都不相同的概率表示为 。
6.设公寓中的每一个房间都有4名学生，任意挑选一个房间，则这4人生日无重复的概率表示为 （一年以365天计算）。
7. 设A ，B 为两个事件，P(A)=0.4, ,P(B)=0.8,P(B A )=0.5,则P(B|A)= 。
8.设A ，B ，C 构成一个随机试验的样本空间的一个划分，且7.0)(,5.0)(==B P A P ,则P(C)= ,P(AB)= 。
9.设A ，B 为两个相互独立的事件，P(A)=0.4，P(A+B)=0.7，则P(B)= 。
10.3个人独立地猜一谜语，他们能够猜出的概率都是31，则此谜语被猜出的概率为 。
二 、选择题 ：1. 设A 与B 是两随机事件，则AB 表示（ ）（A ）A 与B 都不发生 （B ）A 与B 同时发生（C ）A 与B 中至少有一个发生 （D ）A 与B 中至少有一个不发生 2.设A 与B 是两随机事件，则))((B A B A ++表示（ ） （A ）必然事件 （B ）不可能事件（C ）A 与B 恰好有一个发生 （D ）A 与B 不同时发生3.设c B A P b B P a A P =+==)(,)(,)(，则)(B A P 为 （A ）b a -（B ）b c -（C ）)1(b a -（D ）)1(c a -4.若A ，B 是两个互不相容的事件，P （A ）>0，P （B ）>0，则一定有（ ） （A ）P （A ）=1—P （B ） （B ） P （A|B ）=0 （C ） P （A|B ）=1 （D ）P （A |B ）=05. 每次试验失败的概率为p (0<p<1),则在3次重复试验中至少成功一次的概率为（ ）（A ）)1(3p - (B)3)1(p -(C) 31p - (D)13C 3)1(p p -三、计算：1.掷两颗质地均匀的骰子，求出现的两个点数之和等于5的概率。
第一章_随机事件及其概率习题
<x≤1},B={x|≤x<}，则A Y B ={x|0≤x<}U{x|≤x≤2},AB={x|≤x≤}U{x|1<x<}.{},且P(A+B+C)=，第一章随机事件及其概率习题一一、填空题1．设样本空间Ω={x|0≤x≤2}，事件A={x|11324214311324222.连续射击一目标，A表示第i次射中，直到射中为止的试验样本空间Ω，则iΩ=A；A A；L；A A L A A；L.11212n-1n3．一部四卷的文集，按任意次序放在书架上，各卷自左向右，或自右向左顺序恰好为1、2、3、4概率为1.124．一批(N个)产品中有M个次品、从这批产品中任取n个，其中恰有个m个次品的概率是C m C n-m/C n.M n-M N5．某地铁车站,每5分钟有一趟列车到站，乘客到达车站的时刻是任意的，则乘客侯车时间不超过3分钟的概率为.6．在区间（0,1）中随机地取两个数，则事件“两数之和小于7．已知P(A)=,P(B)=,(1)当A,B互不相容时,P(A∪B)=;P(AB)=0.(2)当B A时,P(A+B)=;P(AB)=；65”的概率为.8.若P(A)=α,P(B)=β,P(A B)=γ,P(A+B)=1-γ;P(AB)=β-γ;P(A+B)=1-α+γ.9.事件A,B,C两两独立,满足ABC=φ，P(A)=P(B)=P(C)<19216则P(A)=.10．已知随机事件A的概率P(A)=0.5，随机事件B的概率P(B)=0.6，及条件概率P(B|A)=0.8，则和事件A+B的概率P(A+B)=.12．假设一批产品中一、二、三等品各占60%、30%、10%，从中随机取一件结果不是三3.=-n n等品，则取到一等品的概率为213.已知P(A)=a,P(B|A)=b,则P（AB）a-ab.14.一批产品共10个正品,2个次品,任取两次,每次取一件(取后不放回),则第2次抽取为次品的概率1.621215.甲、乙、丙三人入学考试合格的概率分别是,,，三人中恰好有两人合格的概325率为2/5.16.一次试验中事件A发生的概率为p,现进行n次独立试验,则A至少发生一次的概率为1（1-p）；A至多发生一次的概率为（1-p）+np(1-p)n-1.17.甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为和，现已知目标被击中，则它是甲中的概率为.二、选择题1．以A表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”则其对立事件A为（D）.（A）“甲种产品畅销，乙种产品滞销”;（B）“甲、乙两种产品均畅销”;（C）“甲种产品滞销”;（D）“甲种产品滞销或乙种产品畅销”.2.对于任意二事件A和B,与A Y B=B不等价的是（D）.(A)A⊂B;(B)B⊂A;(C)AB=Φ;(D)AB=Φ.3.如果事件A，B有B A，则下述结论正确的是（C）.（A）A与B同时发生;（B）A发生，B必发生；（C）A不发生B必不发生；（D）B不发生A必不发生.4.A表示“五个产品全是合格品”，B表示“五个产品恰有一个废品”，C表示“五个产品不全是合格品”，则下述结论正确的是（B）.(A)A=B;(B)A=C;(C)B=C;（D）A=B-C.5.若二事件A和B同时出现的概率P(AB)=0则（C）.（A）A和B不相容；（B）AB是不可能事件；（C）AB未必是不可能事件；（D）P(A)=0或P(B)=0.6.对于任意二事件A和B有P(A-B)=(C).(A)P(A)-P(B);（B）P(A)-P(B)+P(A B);（C）P(A)-P(A B);（D）P(A)+P(B)+P(B)-P(AB).8.设A,B是任意两个概率不为0的不相容的事件,则下列事件肯定正确的（D）.(A)A与B不相容;(B)A与B相容;(C)P(AB)=P(A)P(B);(D)P(A B)=P(A).9.当事件A、B同时发生时，事件C必发生则（B）.(A)P(C)≤P(A)+P(B)-1;(B)P(C)≥P(A)+P(B)-1;(C)P(C)=P(AB);(D)P(C)=P(A+B).10.设A,B为两随机事件，且B⊂A，则下列式子正确的是(A).（A）P(A+B)=P(A);(B)P(A B)=P(A);(C)P(B|A)=P(B);(D)P(B-A)=P(B)-P(A).11.设A、B、C是三随机事件，且P(C)>0,则下列等式成立的是(B).(A)P(A|C)+P(A|C)=1;(B)P(A U B|C)=P(A|C)+P(B|C)-P(AB|C);(C)P(A|C)+P(A|C)=1;(D)P(A U B|C)=P(A|C)P(B|C).12.设A,B是任意两事件,且A⊂B,P(B)>0,则下列选项必然成立的是（B）.(A)P(A)<P(A|B);(B)P(A)≤P(A|B);(C)P(A)>P(A|B);(D)P(A)≥P(A|B).13．设A,B是任意二事件,且P(B)>0,P(A|B)=1,则必有（C）.(A)P(A+B)>P(A);(B)P(A+B)>P(B);(C)P(A+B)=P(A);(D)P(A+B)=P(B)．14.袋中有5个球，其中2个白球和3个黑球，又有5个人依次从袋中任取一球，取后不放回，则第二人取到白球的概率为（D）.1212 (A);(B);(C);(D).445515.设0<P(A)<1,0<P(B)<1,P(A|B)+P(A|B)=1,则（D）.(A)事件A和B互不相容；(B)事件A和B互相对立；(C)事件A和B互不独立；(D)事件A和B相互独立.16.某人向同一目标重复射击，每次射击命中目标的概率为p(0<p<1)，则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为（C）.， )； ；(A) 3 p (1- p )2 ;(B) 6 p (1- p ) 2; (C) 3 p 2 (1- p )2 ;(D) 6 p 2 (1- p )2.三、解答题1.写出下列随机实验样本空间：(1) 同时掷出三颗骰子，记录三只骰子总数之和；(2) 10 只产品中有 3 次产品，每次从中取一只（取出后不放回），直到将 3 只次品都取出，记录抽取的次数；(3) 对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品” 不合格的盖上“次品” 如连续查出二个次品就停止检查，或检查 4 个产品就停止检查，记录检查的结果。
概率论与数理统计第一章习题参考答案
1第一章 随机事件及其概率1．解：（1）{}67,5,4,3,2=S （2）{} ,4,3,2=S （3）{} ,,,TTH TH H S =（4）{}6,5,4,3,2,1,,T T T T T T HT HH S = 2．解：81)(,21)(,41)(===AB P B P A P\)()()()(AB P B P A P B A P -+= 85812141=-+=)()()(AB P B P B A P -==838121=-= 87811)(1)(=-=-=AB P AB P)])([(AB B A P )]()[(AB B A P -=)()(AB P B A P -= )(B A AB Ì 218185=-=3．解：用A 表示事件“取到的三位数不包含数字1” 2518900998900)(191918=´´==C C C A P4、解：用A 表示事件“取到的三位数是奇数”，用B 表示事件“取到的三位数大于330330””(1)455443)(2515141413´´´´==A C C C C A P =0.482）455421452)(251514122512´´´´+´´=+=A C C C A C B P =0.485、解：用A 表示事件“表示事件“44只中恰有2只白球，只白球，11只红球，只红球，11只黑球”， 用B 表示事件“表示事件“44只中至少有2只红球”， 用C 表示事件“表示事件“44只中没有只白球”只中没有只白球” （1）412131425)(C C C C A P ==495120=338（2）4124838141)(C C C C B P +-==16567495201= 或16567)(4124418342824=++=C C C C C C B P（3）99749535)(41247===CC C P6．解：用A 表示事件“某一特定的销售点得到k 张提货单”张提货单” nkn k n MM C A P --=)1()(7、解：用A 表示事件“表示事件“33只球至少有1只配对”，用B 表示事件“没有配对”表示事件“没有配对” （1）3212313)(=´´+=A P 或321231121)(=´´´´-=A P（2）31123112)(=´´´´=B P8、解、解 1.0)(,3.0)(,5.0)(===AB P B P A P（1）313.01.0)()()(===B P AB P B A P ，515.01.0)()()(===A P AB P A B P7.01.03.05.0)()()()(=-+=-+=AB P B P A P B A P)()()()()()]([)(B A P AB P B A P AB A P B A P B A A P B A A P ===757.05.0==717.01.0)()()()])([()(====B A P AB P B A P B A AB P B A AB P1)()()()]([)(===AB P AB P AB P AB A P AB A P（2）设{}次取到白球第i A i = 4,3,2,1=i则)()()()()(32142131214321A A A A P A A A P A A P A P A A A A P =0408.020592840124135127116==´´´=9、解： 用A 表示事件表示事件“取到的两只球中至少有“取到的两只球中至少有1只红球”，用B 表示事件表示事件“两只都是红球”“两只都是红球”方法1651)(2422=-=C C A P ，61)(2422==C C B P ，61)()(==B P AB P516561)()()(===A P AB P A B P方法2 在减缩样本空间中计算在减缩样本空间中计算在减缩样本空间中计算 51)(=A B P1010、解：、解：A 表示事件“一病人以为自己得了癌症”，用B 表示事件“病人确实得了癌症”表示事件“病人确实得了癌症” 由已知得，%40)(%,10)(%,45)(%,5)(====B A P B A P B A P AB P （1）B A AB B A AB A 与,=互斥互斥5.045.005.0)()()()(=+=+==\B A P AB P B A AB P A P同理同理15.01.005.0)()()()(=+=+==B A P AB P B A AB P B P （2）1.05.005.0)()()(===A P AB P A B P（3）2.05.01.0)()()(,5.05.01)(1)(====-=-=A P B A P A B P A P A P（4）17985.045.0)()()(,85.015.01)(1)(====-=-=B P B A P B A P B P B P（5）3115.005.0)()()(===B P AB P B A P1111、解：用、解：用A 表示事件“任取6张，排列结果为ginger ginger””92401)(61113131222==A A A A A A P1212、、解：用A 表示事件“A 该种疾病具有症状”，用B 表示事件“B 该种疾病具有症状”由已知2.0)(=B A P3.0)(=B A P 1.0)(=AB P （1）,B A AB B A B A S=且B A AB B A B A ,,,互斥互斥()6.01.03.02.0)()()(=++=++=\AB P B A P B A P B A P4.06.01)(1)()(=-=-==B A P B A P B A P ()()()4.0)(1=---=AB P B A P B A P B A P（2）()()()6.01.03.02.0)(=++=++=AB P B A P B A P AB B A B A P（3）B A AB B =， B A AB ,互斥互斥4.03.01.0)()()()(=+=+==B A P AB P B A AB P B P )()()(])[()(B P AB P B P B AB P B AB P ==414.01.0==1313、解：用、解：用i A 表示事件“讯号由第i 条通讯线输入”，,4,3,2,1=i B 表示“讯号无误差地被接受”接受”;2.0)(,1.0)(,3.0)(,4.0)(4321====A P A P A P A P9998.0)(1=A B P ，9999.0)(2=A B P ，,9997.0)(3=A B P 9996.0)(4=A B P 由全概率公式得由全概率公式得9996.02.09997.01.09999.03.09998.04.0)()()(41´+´+´+´==å=ii iA B P A P B P99978.0=1414、、解：用A 表示事件“确实患有关节炎的人”，用B 表示事件“检验患有关节炎的人”由已知由已知1.0)(=A P ，85.0)(=A B P ，04.0)(=A B P ， 则9.0)(=A P ，85.0)(=A B P ，96.0)(=A B P ， 由贝叶斯公式得由贝叶斯公式得 017.096.09.015.01.015.01.0)()()()()()()(=´+´´=+=A B P A P A B P A P A B P A P B A P1515、解：用、解：用A 表示事件“程序交与打字机A 打字”，B 表示事件“程序交与打字机B 打字”， C 表示事件“程序交与打字机C 打字”；D 表示事件“程序因计算机发生故障被打坏”坏”由已知得由已知得6.0)(=A P ，3.0)(=B P ，1.0)(=C P ； 01.0)(=A D P ，05.0)(=B D P ，04.0)(=C D P由贝叶斯公式得由贝叶斯公式得)()()()()()()()()(C D P C P B D P B P A D P A P A D P A P D A P ++=24.025604.01.005.03.001.06.001.06.0==´+´+´´=)()()()()()()()()(C D P C P B D P B P A D P A P B D P B P D B P ++=6.05304.01.005.03.001.06.005030==´+´+´´=)()()()()()()()()(C D P C P B D P B P A D P A P C D P C P D A P ++=16.025604.01.005.03.001.06.004.01.0==´+´+´´=1616、解：用、解：用A 表示事件“收到可信讯息”，B 表示事件“由密码钥匙传送讯息”表示事件“由密码钥匙传送讯息”由已知得由已知得 95.0)(=A P ，05.0)(=A P ，1)(=A B P ，001.0)(=A B P由贝叶斯公式得由贝叶斯公式得999947.0001.005.0195.0195.0)()()()()()()(»´+´´=+=A B P A P A B P A P A B P A P B A P1717、解：用、解：用A 表示事件“第一次得H ”，B 表示事件“第二次得H ”， C 表示事件“两次得同一面”表示事件“两次得同一面”则,21)(,21)(==B P A P ,21211)(2=+=C P ,4121)(2==AB P ,4121)(2==BC P ,4121)(2==AC P )()()(),()()(),()()(C P A P AC P C P B P BC P B P A P AB P ===\C B A ,,\两两独立两两独立而41)(=ABC P ，)()()()(C P B P A P ABC P ¹C B A ,,\不是相互独立的不是相互独立的1818、解：用、解：用A 表示事件“运动员A 进球”，B 表示事件“运动员B 进球”， C 表示事件“运动员C 进球”，由已知得由已知得5.0)(=A P ，7.0)(=B P ，6.0)(=C P 则5.0)(=A P ，3.0)(=B P ，4.0)(=C P （1）{})(C B A C B A C B A P P =恰有一人进球)()()(C B A P C B A P C B A P ++= （C B A C B A C B A ,,互斥）互斥） )()()()()()()()()(C P B P A P C P B P A P C P B P A P ++=相互独立）C B A ,,(29.06.03.05.04.07.05.04.03.05.0=´´+´´+´´=（2）{})(C B A BC A C AB P P =恰有二人进球)()()(C B A P BC A P C AB P ++= （C B A BC A C AB ,,互斥）互斥） )()()()()()()()()(C P B P A P C P B P A P C P B P A P ++= 相互独立）C B A ,,(44.06.03.05.06.07.05.04.07.05.0=´´+´´+´´= （3）{})(C B A P P =至少有一人进球)(1C B A P -= )(1C B A P -=)()()(1C P B P A P -=相互独立）C B A ,,( 4.03.05.01´´-=94.0= 1919、解：用、解：用i A 表示事件“第i 个供血者具有+-RHA 血型”， ,3,2,1=iB 表示事件“病人得救”表示事件“病人得救”,4321321211A A A A A A A A A A B=4321321211,,,A A A A A A A A A A 互斥，i A （ ,3,2,1=i ）相互独立）相互独立 ()()(1P A P B P +=\+)21A A )()(4321321A A A A P A A A P +8704.04.06.04.06.04.06.04.032=´+´+´+=2020、解：设、解：设i A 表示事件“可靠元件i ” i=1,2,3,4,5 ，B 表示事件“系统可靠”由已知得p A P i =)(1,2,3,4,5)(i = 54321,,,,A A A A A 相互独立相互独立法1：54321A A A A A B =)()(54321A A A A A P B P =\()()()()()()542154332154321A A A A P A A A P A A A P A A P A P A A P ---++=()54321A A A A A P +543322p p p p p p p +---++= ()相互独立54321,,,,A A A A A543222p p p p p +--+=法2：)(1)(54321A A A A A P B P -=)()()(154321A A P A P A A P -= ()相互独立54321,,,,A A A A A()()]1][1)][(1[154321A A P A P A A P ----=()()()]1][1)][()(1[154321A P A P A P A P A P ----=()相互独立54321,,,,A A A A A()()()221111pp p----=543222p p p p p +--+=2121、解：令、解：令A ：“产品真含杂质”，A ：“产品真不含杂质”“产品真不含杂质” 则4.0)(=A P ，6.0)(=A P2.08.0)|(223´´=C A B P 9.01.0)|(223´´=C A B P \)()|()()|()(A P A B P A P A B P B P +=6.09.01.04.02.08.0223223´´´+´´´=C C\)()|()()|()()|()()()|(A P A B P A P A B P A P A B P B P AB P B A P +==905.028325660901********.02.08.0223223223»=´´´+´´´´´´=C C C第二章习题答案 1、{}()4.04.011´-==-k k Y Pk=1,2,… 2、用个阀门开表示第i A i))()()()()(())((}0{32321321A P A P A P A P A P A A A P X P -+=== 072.0)2.02.02.02.0(2.0=´-+=23213218.02.0)04.02.02.0(8.0])([}1{´+-+===A A A A A A P X P416.0=512.08.0)(}2{3321====A A A P X P 3、()2.0,15~b X{}kkk C k X P -´==15158.02.0 k=0,1,2,……,15（1）{}2501.08.02.03123315=´==C X P（2）{}8329.08.02.08.02.01214115150015=´-´-=³C C X P（3）{}6129.08.02.08.02.08.02.031123315132215141115=´+´+´=££C C C X P（4）{}0611.08.02.01551515=´-=>å=-k kkk C X P4、用X 表示5个元件中正常工作的个数个元件中正常工作的个数9914.09.01.09.01.09.0)3(54452335=+´+´=³C C X P5、设X={}件产品的次品数8000 则X~b(8000,0.001)由于n 很大，P 很小，所以利用)8(p 近似地～X {}3134.0!8768==<å=-k k k eX P6、(1)X~p (10){}{}0487.09513.01!101151151510=-=-=£-=>\å=-k k k eX P X P (2)∵ X~p ( l ) {}{}!01010210ll --==-=>=\e X P X P{}210==\X P21=\-le7.02ln ==\l {}{}1558.08442.01!7.0111217.0=-=-=£-=³\å=-k k k eX P X P或{}{}{}2ln 2121!12ln 21110122ln -=--==-=-=³-e X P X P X P 7、)1( )2(~p X 1353.0!02}0{22====--e e X P )2( 00145.0)1()(24245=-=--eeC p)3( 52)!2(å¥=-=k kk e p8、(1) 由33)(11312k x k dx kx dx x f ====òò¥+¥- 3=\k（2）{}()2713331331231====£òò¥-xdx x dx x f X P（3）64764181321412141321412=-===þýüîí죣òxdx x X P（4）271927813)(321323132232=-====þýüîíì>òò¥+xdx x dx x f X P9、方程有实根04522=-++X Xt t ，则，则 0)45(4)2(2³--=D X X 得.14£³X X 或 有实根的概率有实根的概率937.0003.0003.0}14{104212=+=£³òòdx x dx x X X P10、)1( 005.01|100}1{200110200200122»-=-==<---òeedx ex X P x x)2(=>}52{X P 0|100200525220020052222»-=-=-¥--¥òeedx exx x)3( 25158.0}20{}26{}20|26{200202002622==>>=>>--ee X P X P X X P 11、解：、解： （1）{}()275271942789827194491)(12132121=+--=÷øöçèæ-=-==>òò¥+x x dx x dx x f X P（2）Y~b(10，275){}kk kC k Y P -÷øöçèæ´÷øöçèæ==10102722275k=0,1,2,……,10（3）{}2998.027*******2210=÷øöçèæ´÷øöçèæ==C Y P{}{}{}1012=-=-=³Y P Y P Y P 5778.027222752722275191110100210=÷øöçèæ÷øöçèæ-÷øöçèæ´÷øöçèæ-=C C 12（1）由()()òòò++==-+¥¥-10012.02.01dy cy dy dy y f24.0)22.0(2.01201c y c y y +=++=-2.1=\c ()ïîïíì£<+£<-=\其它102.12.0012.0y yy y f ()()ïïïïîïïïïíì³+<£++<£--<==òòòòòò--¥-¥-12.12.0102.12.02.0012.010)()(100011y dyy y dy y dy y dt y dtdt t f y F y yyyYïïîïïíì³<£++<£-+-<=11102.02.06.0012.02.0102y y y y y y y{}()()25.02.05.06.05.02.02.005.05.002=-´+´+=-=££F F Y P {}()774.01.06.01.02.02.011.011.02=´-´--=-=>F Y P {}()55.05.06.05.02.02.015.015.02=´-´+-=-=>F Y P{}{}{}{}{}7106.0774.055.01.05.01.01.0,5.01.05.0==>>=>>>=>>\Y P Y P Y P Y Y P Y Y P(2) ()()ïïïîïïïíì³<£+<£<==òòòò¥-41428812081002200x x dtt dt x dt x dt t f x F xxxïïïîïïïíì³<£<£<=4142162081002x x x x xx{}()()167811691331=-=-=££F F X P{}()16933==£F X P{}{}{}9716916733131==£££=£³\X P X P X X P 13、解：{}111,-´===n nj Y i X Pn j i j i ，¼¼=¹,2,1,,{}0,===i Y i X P 当n=3时，（X ，Y ）联合分布律为）联合分布律为14、)1(2.0}1,1{===Y X P ，}1,1{}0,1{}1,0{}0,0{}1,1{==+==+==+===££Y X P Y X P Y X P Y X P Y X P42.020.004.008.010.0=+++= )2( 90.010.01}0,0{1=-===-Y X P)3(}2,2{}1,1{}0,0{}{==+==+====Y X P Y X P Y X P Y X P60.030.020.010.0=++= }0,2{}1,1{}2,0{}2{==+==+====+Y X P Y X P Y X P Y X P28.002.020.006.0=++= 15、()()()88104242c ee cdxdy ce dx x f yx y x =-×-===+¥-+¥-+¥+¥+-+¥¥-òòò8=\c{}()()()4402042228,2-+¥-+¥-+¥+-+¥>=-×-===>òòòòe ee dy edxdxdy y x f X P yyxx y x xY X 1 2 31 0 1/6 1/62 1/6 0 1/6 31/6 1/6 0D ：xy x ££¥<£00{}()òò>=>yx dxdy y x f Y X P ,()()dx e e dy edxx yx xy x 0402042028-+¥-+-+¥-×==òòò()ò¥++¥----=÷øöçèæ-=+-=2626323122x x xxe e dx eeD ：xy x -££££101{}()dy edxY X P xyx òò-+-=<+10421081 ()()òò------=-=1422101042222dx eedx eex xx yx()()22104221----=--=e e ex x16、（1）61)2(122=-=òdx x x s ， îíìÎ=其他,0),(,6),(G y x y x f（2）îíì<<==ò其他,010,36)(2222x x dy x f x xXïïïîïïíì<£-=<<-==òò其他,0121),1(66210),2(66),(12y y yY y y dx y y y dx y x f17、（1）Y X0 1 2 P{X=x i } 0 0.10 0.08 0.06 0.24 1 0.04 0.20 0.14 0.38 20.02 0.06 0.300.38 P{Y=y i } 0.16 0.34 0.501（2）D ：+¥<£+¥<£y x x 0或：yx y <£+¥<£00()()ïîïíì£>==\òò+¥-¥+¥-00,x x dye dy y xf x f xy Xîíì£>=-00x x e x()()ïîïíì£>==òò-¥+¥-00,0y y dxe dx y xf y f yy Yîíì£>=--00y y ye y22、（1）Y 1 Y 2 -11-14222qq q =×()q q-124222qq q =×()q q-12()21q -()q q-1214222qq q =×()q q-124222qq q =×且{}{}{}{}1,10,01,121212121==+==+-=-===Y Y P Y Y P Y Y P Y YP()12234142222+-=+-+=q qqqq（2）{}10.00,0===Y X P{}{}0384.000==×=Y P X P 又 {}0,0==Y X P {}{}00=×=¹Y P X P∴X 与Y 不相互独立不相互独立23、()1,0~U X ()ïîïíì<<=其它2108y yy f Y且X 与Y 相互独立相互独立则()()()ïîïíì<<<<=×=其它0210,108,y x yy f x f y x f Y XD ：1210<£<£x y y32|)384()8(8}{21032212=-=-==>òòò>y y dy y y ydxdy Y X P yx24X-2-11 3 k p51 61 51151301112+=X Y 52 1 2 10Y 12 510k p5115161+513011即Y 12 5 10 k p5130751301125、U=|X|，当0)|(|)()(0=£=£=<y X P y Y P y F y U时，1)(2)()()()|(|)()(0-F =--=££-=£=£=³y y F y F y X y P y X P y Y P y F y X X U 时，当故ïîïíì<³==-0,00,2)(||22y y e y f X U y U p的概率概率密度函数为26、（1）X Y =，当0)()()(0=£=£=<y X P y Y P y F y Y 时，)()()()()(022y F y X P y X P y Y P y F y X Y =£=£=£=³时，当故 ïîïíì<³==-0,00,2)(2y y ye y f X Y y Y 的概率概率密度函数为（2）)21(+=X Y ，当0)21()()(0=£+=£=£y X P y Y P y F y Y 时，1)(1)12()12()21()()(01=³-=-£=£+=£=>>y F y y F y X P y X P y Y P y F y Y X Y 时，当时，当故 ïîïíì>>=+=其他的概率概率密度函数为,001,21)(21y y f X Y Y（3）2X Y =，当0)()()(02=£=£=£y X P y Y P y F y Y 时，)()()()()()(02y F y F y X y P y XP y Y P y F y X X Y --=££-=£=£=>时，当故 ïîïíì£>==-0,00,21)(22y y e yy f X Y y Y p 的概率概率密度函数为27、()()ïîïíì<<+=其它201381x x x f X()()p p 4,02,02Î=ÞÎx y x 当y 0£时,()0=y F Yp 40<<y (){}þýüîí죣-=£=p p p y X yP y X P y F Y2()()òò+==-pppyyyx dx x dx x f 01381p 4³y()()113812=+=þýüîí죣-=òdx x y X yP y F Y p p时当p 4,0¹¹\y y ()()ïîïíì><<<×÷÷øöççèæ+×==pp p p 4,0040211381'y y y y yy F y f Y Y()ïîïíì<<+=\其它40161163p p p y yy f Y28、因为X 与 Y 相互独立，且服从正态分布),0(2s N2222221)()(),(sp sy x Y X ey f x f y x f +-==由知，22Y XZ+=0)(0=£z f z Z 时，当时，当0>z òò----=xxx z x z Z z F 2222)(2222221spsy x e+-dydx=2222220202121sspq p sz r zedr rd e---=òòïîïíì³=-其他,0,)()2(222z ez z f z Z ss29、ïîïíì<<-=其他,011,21)(x x f X))1arctan()1(arctan(21)1(21)()()(112--+=+=-=òò+-¥¥-z z dy y dy y f y z f z f z z Y X Z pp30、0)(0=£z f z Z时，当时当0>z2)()()(2302)(z e dy ye edy y f y z f z f zyzyz YX Zll l l l l ----¥¥-==-=òò31、îíì<<=其他,010,1)(x x f X ， íì<<=其他,010,1)(y y f Y ，ïïîïïí죣-=<£==-=òòò-¥¥-其他,021,210,)()()(110z zY X Z z z dy z z dy dy y f y z f z f32 解（1）()()îíì£>=ïîïíì£>==---¥+¥-òò00030023,3203x x e x x dye dy y xf x fxxX()()ïîïí죣=ïîïí죣==òò¥+-¥+¥-其它其它20212023,03y y dx e dx y x f y f xY（2）()()îíì>-£=ïîïíì>£==--¥-òò100030303x e x x dt e x dt t f x F xx txX X()()ïïîïïíì³<£<=ïïîïïíì³<£<==òò¥-21202121202100y y yy y y dt y dt t f y F y yY Y ()(){}()()Z F Z F Z Y X P Z FY X ×=£=\,max max ()ïïîïïíì³-<£-<=--21201210033z e z z ez Z z（3）()÷øöçèæ-=þýüîíìì£<211121max max F F Z P ()21121121233×÷÷øöççèæ---=--e e 233412141--+-=ee33、（1）ïîïíì<<=其他率密度为）上服从均匀分布，概，在（,00,1)(10l x lx f X X（2）两个小段均服从上的均匀分布),0(l ,ïîïíì<<=其他,010,1)(1x lx f X),m i n (21X X Y =, 2)1(1)(ly y F Y --=ïîïíì<<-=其他,00,)(2)(2l y l y l y f Y 34、（1）U 的可能取值是0，1，2，31201}2,3{}1,3{}0,3{}3{12029}2,1{}2,0{}2,2{}1,2{}0,2{}2{32}1,1{}0,1{}1,0{}1{121}0,0{}0{===+==+=======+==+==+==+=======+==+=========Y X P Y X P Y X P U P Y X P Y X P Y X P Y X P Y X P U P Y X P Y X P y X P U P Y X P U P U 0 1 2 3 P12132120291201(2) V 的可能取值为0,1,2}2{4013}1,3{}1,2{}2,1{}1,1{}1{4027}0,3{}0,2{}0,1{}2,0{}1,0{}0,0{}0{=====+==+==+=======+==+==+==+==+====V P Y X P Y X P Y X P Y X P V P Y X P Y X P Y X P Y X P Y X P Y X P V PV 0 1 2 P40274013(3) W 的可能取值是0，1，2，3，4，5 0}5{}4{121}2,1{}1,2{}0,3{}3{125}2,0{}1,1{}0,2{}2{125}1,0{}0,1{}1{121}0,0{}0{=======+==+=======+==+=======+=========W P W P Y X P Y X P Y X P W P Y X P Y X P Y X P W P Y X P Y X P W P Y X P W PW 0 1 2 3 P121125125121概率统计第三章习题解答1、52}7{,51}6{}5{}4{========X P X P X P X P529)(=X E2、2914}7{,296}6{,295}5{,294}4{========Y P Y P Y P Y P29175)(=Y E 3、设X 为取到的电视机中包含的次品数，为取到的电视机中包含的次品数， 2,1,0,}{3123102===-k CC C k X P kkX 0 1 2 p k 221222922121)(=X E4、设X 为所得分数为所得分数 5,4,3,2,1,61}{===k k X P 12,11,10,9,8,7,361}{===k k X P1249)(=X E5、（1）由}6{}5{===X P X P ，则，则l l l l --=e e !6!565 解出6=l ，故6)(==l X E（2）由于åå¥=-¥=--=-11212211)1(66)1(k k k k kkkpp 不是绝对收敛，则)(X E 不存在。
高考数学概率计算与随机事件选择题
高考数学概率计算与随机事件选择题1. 甲、乙两人进行射击比赛，甲的命中率为0.8，乙的命中率为0.6。
甲、乙两人各射击3次，求甲至少命中2次而乙恰好命中2次的概率。
2. 一个袋子里有5个红球，3个蓝球，2个绿球。
不放回地依次抽取3个球，求抽到两个红球和一个蓝球的概率。
3. 抛掷两个公平的六面骰子，求两个骰子的点数之和为7的概率。
4. 某班级有男生20人，女生15人，随机选取5人参加比赛，求选取的5人中恰好有3名男生的概率。
5. 某人射击10次，每次射击命中率为0.7，求此人射击10次中至少命中7次的概率。
6. 一个袋子里有5个红球，3个蓝球，2个绿球。
不放回地依次抽取3个球，求抽到两个蓝球和一个红球的概率。
7. 抛掷两个公平的六面骰子，求两个骰子的点数之和为6的概率。
8. 某班级有男生20人，女生15人，随机选取5人参加比赛，求选取的5人中恰好有4名女生的概率。
9. 某人射击10次，每次射击命中率为0.7，求此人射击10次中恰好命中5次的概率。
10. 一个袋子里有5个红球，3个蓝球，2个绿球。
不放回地依次抽取3个球，求抽到两个绿球和一个红球的概率。
11. 抛掷两个公平的六面骰子，求两个骰子的点数之和为5的概率。
12. 某班级有男生20人，女生15人，随机选取5人参加比赛，求选取的5人中恰好有2名男生和3名女生的概率。
13. 某人射击10次，每次射击命中率为0.7，求此人射击10次中恰好命中6次的概率。
14. 一个袋子里有5个红球，3个蓝球，2个绿球。
不放回地依次抽取3个球，求抽到两个蓝球和一个绿球的概率。
15. 抛掷两个公平的六面骰子，求两个骰子的点数之和为8的概率。
16. 某班级有男生20人，女生15人，随机选取5人参加比赛，求选取的5人中恰好有3名男生和2名女生的概率。
17. 某人射击10次，每次射击命中率为0.7，求此人射击10次中恰好命中8次的概率。
18. 一个袋子里有5个红球，3个蓝球，2个绿球。
随机事件与概率习题
（2）恰好有m个空盒的概率；
C C m ( N m N n1 Cn N 1n
)1
(3）某指定的m个盒子中恰好有j 个球的概率.
C C j
n j
m1 j ( N m)1(n 练习： （P49第23题）
甲乙两人轮流掷一颗骰子，甲先掷. 每当某人 掷出1点时，则交给对方掷，否则此人继续掷. 试求第n次由甲掷的概率.
Cn2r 22r C2r
2n
（3）C
＝｛
2r只鞋中至少有两只配对｝
1
Cn2r 22r C2r
2n
练习3：(球不可辨的放球问题）(P29第22题)
将n个完全相同的球随机地放入N 个盒子中(每盒
容球数量不限), 试求：
C nk ( N 1)1(nk )
（1）某个指定的盒子中恰好有k 个球的概率C；Nn 1n
练习：一质点从直线上原点开始等可能
地向左、向右两个方向游动，每次游动的 距离为1，求经过n次游动质点位于k的概 率.（k>0)
第一章 习题课
练习1：
从1，2，…，n中有放回地抽取k 个数，求
其中最大数为m的概率.（m≤n) mk (m 1)k
练习2:
nk
从n双不同的鞋子中任取2r只（0<2r<n），
求下列事件的概率：
C C 2 k 2r2k 2r2k n nk
（1）A＝｛ 2r只鞋中恰有k 双配对｝
C2r 2n
（2）B ＝｛ 2r只鞋中没有一 双配对｝
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习题一随机事件与概率计算
1.写出下列随机试验的样本空间：；
（1）抛三枚硬币；
（2）抛三颗骰子；
（3）连续抛一枚硬币，直至出现正面为止；
（4）在某十字路口，一小时内通过的机动车辆数。
2.在抛三枚硬币的试验中写出下列事件的集合表示：
A=“至少出现一个正面”；
B=“最多出现一个正面”；
C=“恰好出现一个正面”；
D =“出现三面相同”。
3.对飞机进行两次射击，每次射一次弹，设A={恰有一弹击中飞机}，B={至少有一弹击中飞机}，C={两弹都击中飞机}，D={两弹都没击中飞机}。
又设随机变量X为击中飞机的次数，试用X表示事件A，B，C，D。
进一步问A，B，C，D中哪些是互不相容的事件？哪些是对立的事件？
4．试问下列命题是否成立？
（1）A—（B—C）=（A—B）∪C；
（2）若AB≠∅且C A
,则BC=∅；
（3）（A∪B）—B=A；
（4）（A—B）∪B=A。
5.抛两枚硬币，求至少出现一个正面的概率。
6.任取两个正整数，求它们的和为偶数的概率。
7.掷两颗骰子，求下列事件的概率：
（1）点数之和为7；
（2）点数之和不超过5；
（3）两个点数中一个恰是另一个的两倍。
8.从一副52张的扑克牌中任取4张，求下列事件的概率：
（1）全是黑桃；
（2）同花；
（3）没有两张同一花色；
（4）同色。
9.设5个产品中3个合格品、2个不合格品。
从中不返回地任取2个，求取出的2个全是合格品、仅有一个合格品和没有合格品的概率各为多少？
10.从n个数1,2，……，n中任取2个，问其中一个小于k（1<k<n）,l 另一个大于k的概率是多少？
11.一批产品分一、二、三级，其中一级品是二级品的两倍，三级品是二级品的一半，从这批产品中随机地抽取一件，试求取到二级品的概率。
12．某工厂一个班共有男工7人，女工4人，现要选出3个代表，问选的3个代表中至少有1个女工的概率？
13．设P（A）=P（B）=1/2，试证()()
= 。
P AB P A B
14.已知P（A）=0.7，P（A—B）=0.3，试求()
P AB。
15. 已知事件A，B满足()()
= ，记Ｐ（Ａ）＝ｐ，试求Ｐ（Ｂ）。
P AB P A B
16.某班级学生的考试成绩数学不及格的占15%，语文不及格的占5%，这两门都不及格的占3%.
(1)已知一学生数学不及格，他语文也不及格的概率是多少？
(2)已知一学生语文不及格，他数学也不及格的概率是多少？
17．设某种动物由出生活到10岁的概率为0.8，而活到15岁的概率为0.4.问现年为10岁的这种动物能活到15岁的概率是多少？
18.设n件产品中有m件不合格产品从中任取两件，已知两件中有一
件是不合格品，求另一件也是不合格品的概率。
19．一盒晶体管中有6只合格品、4只不合格品，从中不返回地一只一只取出，试求第二次取出合格品的概率。
20.三人独立地破译一个密码，他们能单独译出的概率分别为1/5,1/3,1/4,求此密码被译出的概率。
21.有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.7，在两批种子中各任取一粒，求：
（1）两粒种子都能发芽的概率；
（2）至少有一粒种子能发芽的概率；
（3）恰好有一粒种子能发芽的概率。
22.甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.7，现已知目标被击中，求它是甲射中的概率。
23.每次射击命中率为0.2，试求：射击多少次才能使至少击中一次的概率不少于0.9？
24.一个人的血型为A,B,AB,O型的概率分别为0.37,0.21,0.08, 0.34。
现任意挑选四个人，试求：
（1）此四人的血型全不相同的概率；
（2）此四人的血型全部相同的概率。
25.甲、乙两选手进行乒乓球单打比赛，已知在每局甲胜的概率为0.6，乙胜的概率为0.4，比赛可采用三局两胜或五局三胜制，问哪一种比赛制度对甲更有利？。