集合论与图论习题册
集合论与图论答案 第一章习题
若存在 Gfi ,Gf j (i j) ，使得 Gfi Gf j 且 Gf j Gfi ，则结论成立。
反证法：假设不存在 G fi 和 G f j 满足 Gfi Gf j 且 Gf j Gfi 。于是
i, j(i j),Gfi与Gf j 应满足： Gfi Gf j 或 Gf j Gfi 必有一个成立。
设 A 1, B 2，则 2A ,1, 2B ,2 。 2A 2B ,1,2，而 A B 1, 2, 2A B ,1,2,1, 2，
所以 2A 2B 2A B 。 例 5 (多项选择)设集合 A 是以空集 为唯一元素的集合，集合 B 22A ，则下列 各式那个正确？
(1) B ；(2) B ；(3) B ；(4), B ；(5), B 。
i 1
n
x Mn \ Nn MnNn (NiMi ) 。
i 1
n
综上可得： NnQn (NiMi ) 。
i 1
例 4 (P225 ) 设 A, B 为集合，证明： A B B A 充要条件是下列三个条件至少一个 成立：（1） A ；（2） B ；（3） A B 。
1．若 A B B A ，则 A 或 B 。
即{x} B ，所以 x B ，即 A B 。
（2） P(A) P(B) (P(A) P(B)) (P(B) P(A)) ABB A AB。
例 4 设 A, B 是两个任意集合，证明： (1) 2A 2B 2A B ；(2) 2A 2B 2A B ；(3) 举例说明 2A 2B 2A B 。 其中 2A 表示集合 A 的幂集。 证：(1) 证 2A 2B 2A B 。 x 2A 2B ，有 x 2A 或 x 2B 。 若 x 2A ，则 x A ，而 A A B ，故 x A B ，因此 x 2A B 。 同理，若 x 2B ，也有 x 2A B 。 因此 2A 2B 2A B 。 (2) 证 2A 2B 2A B 。 证 x 2A 2B x 2A 且 x 2B x A且 x B x A B x2A B 。 所以 2A 2B 2A B 。 (3) 下面举例说明 2A 2B 2A B 。
哈工大集合与图论习题
集合与图论习题第一章习题．画出具有个顶点地所有无向图(同构地只算一个).．画出具有个顶点地所有有向图(同构地只算一个).．画出具有个、个、个顶点地三次图.．某次宴会上，许多人互相握手.证明：握过奇数次手地人数为偶数(注意，是偶数).．证明：哥尼斯堡七桥问题无解.．设与是图地两个不同顶点.若与间有两条不同地通道(迹)，则中是否有回路？．证明：一个连通地(，)图中≥.．设是一个(，)图，δ()≥[]，试证是连通地.．证明：在一个连通图中，两条最长地路有一个公共地顶点.．在一个有个人地宴会上，每个人至少有个朋友(≤≤).试证：有不少于个人，使得他们按某种方法坐在一张圆桌旁，每人地左、右均是他地朋友.b5E2R。
．一个图是连通地，当且仅当将划分成两个非空子集和时，总有一条联结地一个顶点与地一个顶点地边.．设是图.证明：若δ()≥ ，则包含长至少是δ()地回路.．设是一个(，)图，证明：()≥，则中有回路；()若≥，则包含两个边不重地回路.．证明：若图不是连通图，则是连通图.．设是个(，)图，试证：()δ()·δ()≤[()]([()])，若≡，，( )() δ()·δ()≤[()]·[()]，若≡( )．证明：每一个自补图有或个顶点.．构造一个有个顶点而没有三角形地三次图，其中≥..给出一个个顶点地非哈密顿图地例子，使得每一对不邻接地顶点和，均有≥．试求中不同地哈密顿回路地个数.．试证：图四中地图不是哈密顿图.．完全偶图，为哈密顿图地充分必要条件是什么？．菱形面体地表面上有无哈密顿回路？．设是一个(≥)个顶点地图.和是地两个不邻接地顶点，并且≥.证明：是哈密顿图当且仅当是哈密顿图.．设是一个有个顶点地图.证明：若>δ()，则有长至少为δ()地路.．证明具有奇数顶点地偶图不是哈密顿图.．证明：若为奇数，则中有()个两两无公共边地哈密顿回路.．中国邮路问题：一个邮递员从邮局出发投递信件，然后返回邮局.若他必须至少一次走过他所管辖范围内地每条街道，那么如何选择投递路线，以便走尽可能少地路程.这个问题是我国数学家管梅谷于年首先提出地，国外称之为中国邮路问题.p1Ean。
集合论与图论
集合论与图论一、 解答下列问题，要求只给出答案（每题2分，共16分）1.设A B 、为集合，试求一个集合X ，合得A X B ∆=。
（ A B ∆ ）2.设{}1,2,3,4A =，{}1,2B =，试求从A 到B 的满射的个数。
（42214-=）3.设{}1,2,,10A =，试求A 上反自反二无关系的个数。
（29022n n -=）4.设{}12,,,p A u u u =，()112q p p ≤-。
试求以V 为顶点集具有条边的无向图的个数。
（ ⎝⎛-2/)1(p p q）5.设T 是一个有P 个顶点的正则二元树，试求下的叶子数，其中P 是奇数。
（12P +）6.正整数m 和n 为什么值时,Km n 为欧拉图？（m n 和为偶数）7.设(),G V E =为无向图，,V P E P ==。
如果G 是边通图，那么G 至少有几个生成树？ （3个）8. 具有p 个顶点q 条边的平面连通图中，p 和q 应满足什么样的关系式？(36q p ≤-)二、以下各题要求只给出答案（每题2分，共14分）１.设{}()()(){},,,,,,,,,X a b c d R a b b c c a ==，试求R 的传递闭包。
（()()()()()()()()(),,,,,,,,,,a a b b c c a b b c c a a c b a c b ，，，，，，，）2.将置换（123456789791652348）分解为循环置换的乘积，然后分解成对换的乘积()()()()()()()()()173298465171329282426=。
3.设0000010110100000010000000A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦12345110000210110310100410110500001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 如果A 4.设{}{}0,1,,,,,,,B E a b c x y z ==。
字母表B 上所有字符串之集记为*B ，字母表E 上所有字符串之集记为*E 。
北工大-集合与图论习题整理版
习题集（一） 一、填空1．设}7|{)},5()(|{<∈=<∈=+x E x x B x N x x A 且且（N ：自然数集，E + 正偶数） 则 =⋃B A 。
2．A ，B ，C 表示三个集合，文图中阴影部分的集合表达式为 。
6．设A={1，2，3，4}，A 上关系图为则 R 2 = 。
7．设A={a ，b ，c ，d}，其上偏序关系R 的哈斯图为则 R= 。
8．图的补图为 。
二、选择2、下列集合中相等的有（ ）A ．{4，3}Φ⋃；B ．{Φ，3，4}；C ．{4，Φ，3，3}；D ． {3，4}。
3、设A={1，2，3}，则A上的二元关系有（）个。
A．23 ；B．32 ；C．332⨯；D．223⨯。
4、设R，S是集合A上的关系，则下列说法正确的是（）R 是自反的；A．若R，S 是自反的，则SR 是反自反的；B．若R，S 是反自反的，则SR 是对称的；C．若R，S 是对称的，则SR 是传递的。
D．若R，S 是传递的，则S5、设A={1，2，3，4}，P（A）（A的幂集）上规定二元系如下t st spR=∈=则P（A）/ R=（）<>A∧s(||||})(,{t|,A．A ；B．P(A) ；C．{{{1}}，{{1，2}}，{{1，2，3}}，{{1，2，3，4}}}；D．{{Φ}，{2}，{2，3}，{{2，3，4}}，{A}}6、设A={Φ，{1}，{1，3}，{1，2，3}}则A上包含关系“⊆”的哈斯图为（）7、下列函数是双射的为（）A．f : I→E , f (x) = 2x ；B．f : N→N⨯N, f (n) = <n , n+1> ；C．f : R→I , f (x) = [x] ；D．f :I→N, f (x) = | x | 。
（注：I—整数集，E—偶数集，N—自然数集，R—实数集）8、图中从v1到v3长度为3 的通路有（）条。
A．0；B．1；C．2；D．3。
集合论与图论参考答案
℘({∅, {∅}}) = {∅, {∅}, {∅, {∅}} }
这是错误的，记住对任意的集合A，℘(A)中的元素个数总是2的幂，所以不可能是3个元素。注意下面 几个集合的差别：
∅
{∅}
{{∅}}
{{{∅}}}
对于(3)，有些同学没有想到上面的说明方法，对于计算℘℘℘({∅})又没有耐心，所以要么计算错，要 么直接写上了答案（我怀疑是参考别人的答案）。对于(4)，很多同学忘记了 ℘(A) = A这个等式， 而在计算时也有不少同学出错，最多错的答案是：
(1) A ∪ B ∪ C ∪ D = {−7, −6, −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 12, 15, 16, 18, 21, 24, 27, 30, 32, 64}
(2) A ∩ B ∩ C ∩ D = ∅ (3) B − (A ∪ C) = {−7, −6, −5, −4, −3, −2, −1, 0, 4, 5, }
若 且 ，则 。 (5) A∈B B∈C A∈C
解答：
(1) 该命题为真。因为B ⊆ C意味着对任意的x，若x∈B，则x∈C，因此若A∈B，则A∈C。
该命题为假。例如 ，则 及 ，但 。 的子 (2)
A = {1}, B = {{1}}, C = {{1}, 2} A∈B B ⊆ C A ⊆ C C
由 ， 就得到 。 A∪ ∼ A = E B ∩ E = B, C ∩ E = C
B=C
点评：这一比较简单，类似课堂上举的例子：A ∩ B = A ∩ 且C A ∪ B = A ∪ C蕴含B = C，但有
些同学没有认真听课，而没有想到这一点。
作业1.8 化简下列各式
集合论与图论答案 第四章习题
第四章 无穷集合及其基数习题136P 1.设A 为由序列12,,,,n a a a的所有项组成的集合，则是否市可数的？为什么？解：因为序列是可以重复的，故若A 是由有限个数组成的集合，则A 是有限的集合；若A 是由无限个数组成的集合，则A 是可数的。
故本题A 是至多可数的。
2.证明：直线上互不相交的开区间的全体所构成的集合至多可数。
证：在每个开区间中取一个有理数，则这些有理数构成的集合是整个有理数集合Q 的子集，因此是至多可数的。
3.证明：单调函数的不连续点的集合至多可数。
证：设A 是所有不连续点的集合，f 是一个单调函数，则00,x A x ∀∈对应着一个区间0((0),(0))f x f x -+，于是由上题便得到证明。
4.任一可数集A 的所有有限子集构成的集族是可数集合。
证：设1212{,,,,},{,,,},n i i ik A a a a B a a a ==则B A ⊆且B k =<∞。
令{,}B B A B B =⊆<∞，设:{0,1}A ϕ→，则ϕ是Ａ的子集的特征函数。
,()B B ϕ∀∈B =｛0，1的有穷序列｝，即i a A ∀∈， 若i a B ∈，则对应1；若i a B ∉则对应0。
于是,()B B ϕ∀∈B 就对应着一个由0，1组成的有限序列0，1，1，0，…，0，1。
此序列对应着一个二进制小数，而此小数是有理数。
于是，可数集A 的所有有限子集B 对应着有理数的一个子集。
又121212,,,,B B B B B B ∀∈B ≠对应的小数也不同，故ϕ是单射。
而可数集Ａ的所有有限子集B 是无穷的，故B 是可数的。
5．判断下列命题之真伪：(1)若:f X Y →且f 是满射，则只要X 是可数的，那么Y 是至多可数的；(2)若:f X Y →且f 是单射，那么只要Y 是可数的，则X 也是可数的；(3)可数集在任一映射下的像也是可数的； 答案：对，错，错。
7．设Ａ是有限集，Ｂ是可数集，证明：{|:}A B f f A B =→是可数的。
大学集合论与图论期末考试复习资料
集合论与图论JK211009——在线考试复习资料2021版一、单选题1.设G是简单有向图,可达矩阵P(G)刻画下列关系中的是()A.点与边B.边与点C.点与点D.边与边答案：C2.A.6B.5C.4D.3答案：B3.图中满足以下哪个条件?()A.有欧拉回路和哈密尔顿回路B.有欧拉回路,但无哈密尔顿回路C.无欧拉回路,但有哈密尔顿回路D.既无欧拉回路,又无哈密尔顿回路答案：D4.A.B.C.D.答案：B5.下面不能成为图的度数序列是()A.(1,2,3,4)B.(1,2,3,6)C.(1,3,5,7)D.(1,3,4,9)答案：D6.设简单无向图G有15条边,有3个4度结点,有4个3度结点,其余结点的度数均为2,那么G的结点总数为()A.9B.10C.11D.12答案：B7.如图所示,以下说法正确的是()A.e是割点B.{a,e}是点割集C.{b,e}是点割集D.{d}是点割集答案：A8.图G和G1的结点以及边分别存在一一对应关系,此对应关系是两图同构的()A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分也非必要条件答案：B9.设顶点集为V={a,b,c,d,e},下列几个无向图是简单图的有()A.G1=(V,E1),E1={(a,b),(b,c),(c,b),(a,e)}B.G2=(V,E2),E2={(a,b),(b,c),(c,a),(a,d),(d,e)}C.G3=(V,E3),E3={(a,b),(b,c),(c,d),(e,e)}D.G4=(V,E4),E4={(a,a),(a,b),(c,c),(c,e)}答案：B10.若R是集合A上的等价关系,则下面哪个不一定满足()A.B.R2=RC.t(R)=RD.R-1=R答案：A11.A.B.C.D.答案：A12.A.B.C.D.答案：A13.下列哪个关系矩阵具有反自反性?()A.B.C.D.答案：A14.设集合A={1,2,3,4},A上的等价关系R={<1,3>,<3,1>,<2,4>,<4,2>}∪I A,则对应于R的A划分是()A.B.C.D.答案：B15.设集合A={1,2,3,4}上的二元关系,R={<1,1>,<2,2>,<2,3>,<4,4>},S={<1,1>,<2,2>,<2,3>,<3,2>,<4,4>},则S是R的()A.自反闭包B.传递闭包C.对称闭包D..不是任何闭包答案：C16.哈密尔顿回路是()A.只是简单回路B.是基本回路,但不是简单回路C.既是基本回路也是简单回路D.既非基本回路也非简单回路答案：C17.设A={1,2,3,4,5,6,7,8},R是A上的整除关系,B={2,4,6},则集合的最大元、最小元、上界、下界依次为()A.8、2、8、2B.无、2、无、2C.6、2、6、2D.8、1、6、1答案：B18.下列各组数中不能构成无向图的度数序列的是()A.(1,1,2,3,5)B.(1,3,1,3,2)C.(1,2,3,4,5)D.(1,2,3,4,6)答案：C19.A.自反的B.对称的C.传递且对称的D.反自反且传递的答案：B20.图中满足以下哪个条件?()A.有欧拉回路和哈密尔顿回路B.有欧拉回路,但无哈密尔顿回路C.无欧拉回路,但有哈密尔顿回路D.既无欧拉回路,又无哈密尔顿回路答案：B21.设A={a,{a}},下列命题错误的是()A.B.C.D.答案：A22.设G1、G2、G3、G4都是(4,3)的简单无向图,则它们之间至少有几个是同构的?()A.2个B.3个C.4个D.可能都不同构答案：B23.若集合A的元素个数为4,则其幂集的元素个数为()A.1个B.4个C.8个D.16个答案：D24.设结点集V={a,b,c,d},则下列与V构成强连通图的边集的是()A.E1={<a,d>,<b,a>,<b,d>,<c,b>,<d,c>}B.E2={<a,d>,<b,a>,<b,c>,<b,d>,<d,c>}C.E3={<a,c>,<b,a>,<b,c>,<d,a>,<d,c>}D.E4={<a,b>,<a,c>,<a,d>,<b,d>,<c,d>}答案：A25.在0()之间写上正确的符号。
集合论、图论重要习题100
例：1、设A,B是两个集合,B≠¢,试证:若A×B=B×B, 则A=B。
2、设A,B,C,D是任意四个集合，证明：（A∩B)×(C∩D)=(A×C)∩(B×D)3、某班30名学生中学英语有7人，学日语有5人，这两科都选有3人，问两科都不选的有多少人？(|AC∩BC|+|A∪B|=30, |AC∩BC|=21人)4、令N={1,2,3,…}，S:N→N，则(1)∀n∈N,S(n)=n+1,Ｓ称为自然数集N上的后继函数。
(2)S(1)=1,∀n∈N,S(n)=n-1,n≥2,Ｓ称为自然数集N 上的前仆函数。
5、设f:N×N →N,f((x,y))=xy。
则（1）说明f是否是单射、满射或双射？（2）求f(N×{1}),f-1({0})。
(1,4)≠(2,2),f((1,4))=f((2,2))=4；∀y∈N,f((1,y))=1·y=y,任一元都有原象；[f不是单射,f是满射]f(N×{1})={n·1|n ∈N}=N；f-1({0})={(x,y)|xy=0}={N×{0}}⋃{{0}×N}。
6、设R、I、N是实数、整数、自然数集合，下面定义映射f1,f2,f3,f4,f5,f6，试确定它们的性质。
（0 ∈N）（1）f1:R→R,f1(x)=2x；（2）f2:I→N,f2(x)=|x|；f1单射，不是满射。
f2不是单射，满射。
（3）f3:N→N,f3(n)=n(mod3)；（4）f4:N→N×N,f4(n)=(n,n+1)；f3不是单射，不是满射；f4单射，不是满射。
（5）f5:R→R,f5(x)=x+2；（6）f6:R→R,f6(x)=x2,x≥0,f6(x)=-2,x<0；f5是双射(单射,满射)；f6不是单射,不是满射。
7、证明：在52个正整数中，必有两个整数，使得这两个整数之和或差能被100整除。
集合论与图论答案 第三章习题
证：因为 R 是传递的，故 (R ) R 。
（3） (R S) R S
证：因为 R S R 且 R S S ，故 (R S) R ，且 (R S) S ，从而
(R S) R S 例 3 如图 5 所示给出下图中每个关系的自反、对称和传递闭包。
3
·
·
（a）
（1）自反闭包
（b） 图5
（c）
R {(a,b) | a b } 等价于 aRb a b (a,b) R a b 。 解：(1)自反性。 因为 2A ，但 ，所以 (,) R ，故 R 不是自反的。
2
（2）反自反性。 因为{1} 2A ，{1} {1} {1} ，故 ({1},{1}) R ，故 R 不是反自反的。 （3）对称性。 x, y 2A ，若 (x, y) R ，则 x y ，所以 y x ，故 ( y, x) R ，从而 R 是对称的。 （4）反对称性。 令 x {1, 2} ， y {1,3} ，则 x y y x {1} ，故 (x, y) R 且 ( y, x) R ，
解：设 N {1, 2,3, }，在 N 上定义小于关系“ ”，则 s(t()) s() “不等关系≠”；
4
而 t(s()) t() “全关系”。
因此的确不相等。
例 7（ P988 ）是否存在 X （ X n ）上的一个二元关系 R，使得 R, R2, , Rn 两两 不相等。
解：存在。令 X {1, 2,3, , n} ， R {(1, 2),(2,3), ,(n 1, n)}即可。
但 x y ，所以 (x, y) ( y, x) ，从而 R 不是反对称的。 （5）传递性。 令 x {1} ， y {1, 2} ， z {2} ， 则 有 x y {1} 且 y z {2} ， 故
《集合与图论》习题
第一章习题1．画出具有4个顶点的所有无向图(同构的只算一个)。
2．画出具有3个顶点的所有有向图(同构的只算一个)。
3．画出具有4个、6个、8个顶点的三次图。
4．某次宴会上，许多人互相握手。
证明：握过奇数次手的人数为偶数(注意，0是偶数)。
5．证明：哥尼斯堡七桥问题无解。
6．设u与v是图G的两个不同顶点。
假设u与v间有两条不同的通道(迹)，那么G中是否有回路？7．证明：一个连通的(p，q)图中q ≥p-1。
8．设G是一个(p，q)图，δ(G)≥[p/2]，试证G是连通的。
9．证明：在一个连通图中，两条最长的路有一个公共的顶点。
10．在一个有n个人的宴会上，每个人至少有m个朋友(2≤m≤n)。
试证：有不少于m+1个人，使得他们按某种方法坐在一张圆桌旁，每人的左、右均是他的朋友。
11．一个图G是连通的，当且仅当将V划分成两个非空子集V1和V2时，G总有一条联结V1的一个顶点与V2的一个顶点的边。
12．设G是图。
证明：假设δ(G)≥ 2，那么G包含长至少是δ(G)+1的回路。
13．设G是一个(p，q)图，证明：(a)q≥p，那么G中有回路；(b)假设q≥p+4，那么G包含两个边不重的回路。
14．证明：假设图G不是连通图，那么G c 是连通图。
15．设G是个(p，q)图，试证：(a)δ(G)·δ(G C)≤[(p-1)/2]([(p+1)/2]+1)，假设p≡0，1，2(mod 4)(b) δ(G)·δ(G C)≤[(p-3)/2]·[(p+1)/2]，假设p≡3(mod 4)16．证明：每一个自补图有4n或4n+1个顶点。
17．构造一个有2n个顶点而没有三角形的三次图，其中n≥3。
18.给出一个10个顶点的非哈密顿图的例子，使得每一对不邻接的顶点u和v，均有degu+degv≥919．试求Kp中不同的哈密顿回路的个数。
20．试证：图四中的图不是哈密顿图。
21．完全偶图Km，n为哈密顿图的充分必要条件是什么？22．菱形12面体的外表上有无哈密顿回路？23．设G是一个p(p≥3)个顶点的图。
集合论与图论 离散数学 模拟题1
一．列式题。
用谓词表示法表示如下集合：1．所有偶数组成的集合AA={x| x∈Z ∧x mod 2 =0}.2．所有奇数组成的集合BB={x| x∈Z ∧x mod 2 =1}.3．10的整倍数组成的集合AA={x| x∈Z ∧x mod 10 =0}.4．5的整倍数组成的集合BA={x| x∈Z ∧x mod 5 =0}.5．方程x2-1=0的所有实数解的集合B。
B={x|x∈R ∧x2-1=0}6．小于5的非负整数组成的集合A：A={x | x ∈N ∧x < 5 }.二．判断题1．（ F ）包含三个元素的集合A表示成：A=（1，2，3）。
2．（ F ）集合A ={1，2，3}与集合B ={2，3，1}是两个不同的集合。
3．（T ）R=Φ是一个二元关系。
4．（T ）设A= {1, 2, 3}，R= {<1, 1>, <2, 2>, <3, 3>, <1, 2>}，则R是A上自反的关系。
5．（T ）设A= {1, 2, 3}，R= {<1, 1>, <1, 2>, <2, 1>}，则R是A上对称的关系。
6．（T ）设A= {1, 2, 3}，R= {<1, 2>,<1, 3>}，则R是A上反对称的关系。
7．（T ）设A= {1, 2, 3}，R= {<1, 1>,<2, 2>}，则R是A上传递的关系。
8．（ F ）设A= {1, 2, 3}，R= {<1, 2>,<2, 3>}，则R是A上传递的关系。
9．（T ）R是R的子集。
10．（T ）设f：A→B是双射，则称f-1：B→A是它的反函数。
这个反函数也是双射的。
三．计算题1．求集合A={1, 2, 3} 的所有子集？答：A的0元子集，只有一个Φ，A的1元子集，即单元集，有三：{1}、{2}、{3}；A的2元子集有三：{1，2}、{2，3}、{1，3}；A的3元子集就是它本身{1,2,3} ，因为A就是三元集。
哈工大集合与图论习题
集合与图论习题第一章习题1．画出具有4个顶点的所有无向图(同构的只算一个)。
2．画出具有3个顶点的所有有向图(同构的只算一个)。
3．画出具有4个、6个、8个顶点的三次图。
4．某次宴会上，许多人互相握手。
证明：握过奇数次手的人数为偶数(注意，0是偶数)。
5．证明：哥尼斯堡七桥问题无解。
6．设u与v是图G的两个不同顶点。
若u与v间有两条不同的通道(迹)，则G中是否有回路？7．证明：一个连通的(p，q)图中q ≥p-1。
8．设G是一个(p，q)图，δ(G)≥[p/2]，试证G是连通的。
9．证明：在一个连通图中，两条最长的路有一个公共的顶点。
10．在一个有n个人的宴会上，每个人至少有m个朋友(2≤m≤n)。
试证：有不少于m+1个人，使得他们按某种方法坐在一张圆桌旁，每人的左、右均是他的朋友。
11．一个图G是连通的，当且仅当将V划分成两个非空子集V1和V2时，G总有一条联结V1的一个顶点与V2的一个顶点的边。
12．设G是图。
证明：若δ(G)≥ 2，则G包含长至少是δ(G)+1的回路。
13．设G是一个(p，q)图，证明：(a)q≥p，则G中有回路；(b)若q≥p+4，则G包含两个边不重的回路。
14．证明：若图G不是连通图，则G c 是连通图。
15．设G是个(p，q)图，试证：(a)δ(G)·δ(G C)≤[(p-1)/2]([(p+1)/2]+1)，若p≡0，1，2(mod 4)(b) δ(G)·δ(G C)≤[(p-3)/2]·[(p+1)/2]，若p≡3(mod 4)16．证明：每一个自补图有4n或4n+1个顶点。
17．构造一个有2n个顶点而没有三角形的三次图，其中n≥3。
18.给出一个10个顶点的非哈密顿图的例子，使得每一对不邻接的顶点u和v，均有degu+degv≥919．试求Kp中不同的哈密顿回路的个数。
20．试证：图四中的图不是哈密顿图。
21．完全偶图Km，n为哈密顿图的充分必要条件是什么？22．菱形12面体的表面上有无哈密顿回路？23．设G 是一个p(p ≥3)个顶点的图。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
集合论与图论习题册软件基础教研室刘峰2015.02第一章 集合及其运算8P 习题1. 写出方程2210x x ++=的根所构成的集合。
2.下列命题中哪些是真的，哪些为假a)对每个集A ，A φ∈； b)对每个集A ，A φ⊆；c)对每个集A ，{}A A ∈；d)对每个集A ，A A ∈； e)对每个集A ，A A ⊆；f)对每个集A ，{}A A ⊆； g)对每个集A ，2A A ∈；h)对每个集A ，2A A ⊆； i)对每个集A ，{}2A A ⊆；j)对每个集A ，{}2A A ∈； k)对每个集A ，2A φ∈； l)对每个集A ，2A φ⊆； m)对每个集A ，{}A A =；n) {}φφ=； o){}φ中没有任何元素； p)若A B ⊆，则22A B ⊆q)对任何集A ，{|}A x x A =∈； r)对任何集A ，{|}{|}x x A y y A ∈=∈； s)对任何集A ，{|}y A y x x A ∈⇔∈∈； t)对任何集A ，{|}{|}x x A A A A ∈≠∈。
答案：3.设有n 个集合12,,,n A A A 且121n A A A A ⊆⊆⊆⊆ ，试证：12n A A A === 。
4.设{,{}}S φφ=，试求2S ？5.设S 恰有n 个元素，证明2S 有2n 个元素。
16P 习题 6.设A 、B 是集合，证明:(\)()\A B B A B B B φ=⇔= 。
7.设A 、B 是集合，试证A B A B φ=⇔=∆。
9.设A ，B ，C 为集合，证明：\()(\)\A B C A B C = 。
10.设A ，B ，C 为集合，证明：()\(\)(\)A B C A C B C = 。
11.设A ，B ，C 为集合，证明：()\(\)(\)A B C A C B C = 。
12.设A ，B ，C 都是集合，若A B A C = 且A B B C = ，试证B=C 。
15.下列命题是否成立？说明理由（举例）。
(1)(\)\(\)A B C A B C = ；(2)(\)()\A B C A B C = ；(3)\()()\A B C A B B = 。
（答案：都不正确）16．下列命题哪个为真？ 答案：_________a)对任何集合A,B,C ，若A B B C = ，则A=C 。
b)设A,B,C 为任何集合，若A B A C = ，则B=C 。
c)对任何集合A,B ，222A B A B = 。
d)对任何集合A,B ，222A B A B = 。
e)对任何集合A,B ，\22\2A B A B =。
f)对任何集合A,B ，222A B A B ∆=∆。
17．填空：设A,B 是两个集合。
a)x A B ∈⇔ ________________； b)x A B ∈⇔ _________________ c)\x A B ∈⇔_________________； d)x A B ∈∆⇔_________________。
18．设A ，B ，C 为三个集合，下列集合表达式哪一个等于\()A B C ？答案：____（a ）(\)(\)A B A C ；（b ）()\()A B A C ；（c ）(\)(\)A B A C ；（d ）()\()A B A C ；（e ）()()A B A C 。
20P 习题20．设A,B,C 为集合，并且A B A C = ，则下列断言哪个成立？(1)B C =；(2)A B A C = ；(3)C C A B A C = ；(4)C C A B A C = 。
答案：21．设A,B,C 为任意集合，化简()()()()()()()C C C C C C C C C A B C A B C A B C A B C A B C A B C A B C25P 习题24．设{,,},{,,,},{,,}A a b c B e f g h C x y z ===。
求2,,,A B B A A C A B ⨯⨯⨯⨯。
25．设A,B 为集合，试证：A×B＝B×A 的充要条件是下列三个条件至少一个成立：（1）A φ=；（2）B φ=；（3）A B =。
26．设A,B,C,D 为任四个集合，证明：()()()()A B C D A C B D ⨯=⨯⨯29．设,,A B C 是三个任意集合，证明：()()()A B C A B A C ⨯∆=⨯∆⨯。
30．设A,B 为集合，下列命题哪些为真？（1）(,)x y A B x A ∈⨯⇔∈且y B ∈； （2）(,)x y A B x A ∈⨯⇔∈或y B ∈；（3）222A B A B ⨯=⨯； （4）若A C B C ⨯=⨯，则A B =；（5）若,A C B C C ⨯=⨯≠∅，则A B =。
答案：______31．设A 有m 个元素，B 有n 个元素，则A×B 是多少个序对组成的？A×B 有多少个不同的子集？ 答案：_______32．设,A B 是两个集合，B ≠∅，试证：若B B B A ⨯=⨯，则A B =。
33P 习题33．设A,B 是两个有限集，试求22?A B ⨯=34.某班学生中有45％正在学德文，65％正在学法文。
问此班中至少有百分之几的学生正同时学德文和法文？第二章 映射习题39P 习题1. 设A ，B 是有穷集，,A m B n ==。
则（1）计算B A ； （2）从A 到A 有多少个双射？43P 习题3. 证明：从一个边长为1的等边三角形中任意选5个点，那么这5个点中必有2个点，它们之间的距离至多为1/2，而任意10个点中必有2个点其距离至多是1/3。
5. 证明在52个整数中，必有两个整数，使这两个整数之和或差能被100整除。
6.设12,,,n a a a 为1,2,3,,n 的任一排列，若n 是奇数且12(1)(2)()0n a a a n ---≠ ，则乘积为偶数。
46P 习题7.设:f X Y →，,C D Y ⊆，证明111(\)()\()f C D f C f D ---=8. 设:f X Y →，X B A ⊆,，，证明)(\)()\(B f A f B A f ⊇。
10.设:,,f X Y A X B Y →⊆⊆。
以下四个小题中，每个小题均有四个命题，这四个命题有且仅有一个正确，请找出正确的那个。
（1）（a ）若()()f x f A ∈，则x 未必在A 中；（b ）若()()f x f A ∈，则x A ∈；（c ）若()()f x f A ∈，则x A ∈； （d ）若()()f x f A ∈，则c x A ∈。
（2）（a ）1(())f f B B -=； （b ）1(())f f B B -⊆；（c ）1(())f f B B -⊇； （d ）1(())c f f B B -=。
（3）（a ）1(())f f A A -=； （b ）1(())f f A A -⊆；（c ）1(())f f A A -⊇； （d ）上面三个均不对。
（4）（a ）()f A ≠∅； （b ）()f B ≠∅；（c ）若1,()y Y f y x -∈∈则； （d ）若1,()y Y f y x -∈⊆则。
50P 习题15. 设{,,},{0,1},{2,3},:,()()0X a b c Y Z f X Y f a f b ===→==，()1;:f c g Y =→Z ，(0)2,(1)3g g ==，试求g f 。
55P 习题17．设{1,2,3,}N = ，试构造两个映射f 和g ：N N →，使得（1）N fg I =，但N gf I ≠；（2）N gf I =，但N fg I ≠。
18.设:f X Y →则（1）若存在唯一的一个映射:g Y X →，使得X gf I =，则f 是可逆的吗？（2）若存在唯一的一个映射:g Y X →，使得Y fg I =，则f 是可逆的吗？20. 是否有一个从X 到X 的一一对应f ，使得1f f -=，但X f I ≠？63P 习题21.设1212345123454321532514σσ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，＝，求11122112,,,σσσσσσ--。
22.将置换123456789791652348⎛⎫ ⎪⎝⎭分解成对换的乘积。
第三章 关系习题86P 习题1.给出一个既不是自反的又不是反自反的二元关系？2.是否存在一个同时不满足自反性，对称性，反对称性，传递性和反自反性的 二元关系？3.设R ，S 是X 上的二元关系，下列命题哪些成立：a)若R 与S 是自反的，则,R S R S 分别也是自反的；b) 若R 与S 是对称的，则,R S R S 分别对称的；c) 若R 与S 是传递的，则R S 也是传递的；d) 若R 与S 不是自反的，则R S 也不是自反的；e) 若R 与S 是反自反的，则,R S R S 也是反自反的；f) 若R 是自反的，则c R 也是反自反的；g) 若R 与S 是传递的，则R\S 是传递的。
答案：________________________________________________4.实数集合上的“小于”关系<是否是反自反的？集合X 的幂集上的“真包含”关系⊂是否是反自反的？为什么？5.设R 、S 是X 上的二元关系。
证明：（1）11()R R --=； （2）111()R S R S ---= ；（3）111()R S R S ---= ； （4）若R S ⊆，则11R S --⊆；6．设R 是X 上的二元关系，证明：1R R - 是对称的二元关系。
7．设R 为X 上的是反自反的和传递的二元关系,证明：R 是反对称的。
92P 习题9.“父子“关系的平方是什么关系？ 答案：_____________11.设R 与S 为X 上的任两个二元关系，下列命题哪些为真？ 答案：_______a ）若R,S 都是自反的，则R S 也是自反的；b ）若R,S 都是对称的，则R S 也是对称的；c ）若R,S 都是反自反的，则R S 也是反自反的；d ）若R,S 都是反对称的，则R S 也是反对称的；e ）若R,S 都是传递的，则R S 也是传递的。
12．设R 1是A 到B ，R 2和R 3是B 到C 的二元关系，则一般情况下：1231213(\)()\()R R R R R R R ≠ 。
但有人声称等号成立，他的证明如下：设123(,)(\)a c R R R ∈ ，则b X ∃∈，使得1(,)a b R ∈且23(,)\b c R R ∈。
于是2(,)b c R ∈且3(,)b c R ∈。